ყველა ფორმულა ვექტორების სკალარული ნამრავლის თემაზე. როგორ მოვძებნოთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი. ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება კოორდინატების მიხედვით

სკალარული პროდუქტივექტორები (შემდგომში SP). Ძვირფასო მეგობრებო! მათემატიკის გამოცდა მოიცავს ვექტორების ამოხსნის ამოცანების ჯგუფს. ჩვენ უკვე განვიხილეთ რამდენიმე პრობლემა. მათი ნახვა შეგიძლიათ "ვექტორების" კატეგორიაში. ზოგადად ვექტორების თეორია მარტივია, მთავარია მისი თანმიმდევრული შესწავლა. სასკოლო მათემატიკის კურსში ვექტორებით გამოთვლები და მოქმედებები მარტივია, ფორმულები არ არის რთული. Ჩახედვა . ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ამოცანებს ვექტორების ერთობლივ საწარმოზე (გამოცდაში). ახლა "ჩაძირვა" თეორიაში:

ჰ ვექტორის კოორდინატების საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოვაკლოთ მისი ბოლო კოორდინატებიმისი საწყისის შესაბამისი კოორდინატები

და შემდგომ:

*ვექტორის სიგრძე (მოდული) განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ეს ფორმულები უნდა დაიმახსოვროთ!!!

ვაჩვენოთ კუთხე ვექტორებს შორის:

ნათელია, რომ ის შეიძლება განსხვავდებოდეს 0-დან 180 0-მდე(ან რადიანებში 0-დან Pi-მდე).

ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ გარკვეული დასკვნები სკალარული პროდუქტის ნიშნის შესახებ. ვექტორების სიგრძე დადებითია, ცხადია. ასე რომ, სკალარული ნამრავლის ნიშანი დამოკიდებულია ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობაზე.

შესაძლო შემთხვევები:

1. თუ ვექტორებს შორის კუთხე მკვეთრია (0 0-დან 90 0-მდე), მაშინ კუთხის კოსინუსს ექნება დადებითი მნიშვნელობა.

2. თუ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია (90 0-დან 180 0-მდე), მაშინ კუთხის კოსინუსს ექნება უარყოფითი მნიშვნელობა.

*ნულ გრადუსზე, ანუ როცა ვექტორებს ერთი და იგივე მიმართულება აქვთ, კოსინუსი ერთის ტოლია და შესაბამისად შედეგიც დადებითი იქნება.

180 o-ზე, ანუ როდესაც ვექტორებს აქვთ საპირისპირო მიმართულებები, კოსინუსი უდრის მინუს ერთი,და შედეგი უარყოფითი იქნება.

ახლა მნიშვნელოვანი წერტილი!

90 o-ზე, ანუ როცა ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, კოსინუსი არის ნულის ტოლი და შესაბამისად ერთობლივი საწარმო ნულის ტოლია. ეს ფაქტი (შედეგი, დასკვნა) გამოიყენება მრავალი პრობლემის გადაჭრისას, სადაც საუბარია შედარებითი პოზიციავექტორები, მათ შორის მათემატიკაში ამოცანების ღია ბანკში შემავალი ამოცანები.

ჩვენ ვაყალიბებთ დებულებას: სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოცემული ვექტორები დევს პერპენდიკულარ ხაზებზე.

ასე რომ, SP ვექტორების ფორმულებია:

თუ ცნობილია ვექტორების კოორდინატები ან მათი საწყისისა და ბოლოების წერტილების კოორდინატები, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ კუთხე ვექტორებს შორის:

განიხილეთ დავალებები:

27724 იპოვეთ a და b ვექტორების შიდა ნამრავლი.

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ორიდან ერთი ფორმულის გამოყენებით:

ვექტორებს შორის კუთხე უცნობია, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია ადვილად ვიპოვოთ ვექტორების კოორდინატები და შემდეგ გამოვიყენოთ პირველი ფორმულა. ვინაიდან ორივე ვექტორის დასაწყისი ემთხვევა საწყისს, ამ ვექტორების კოორდინატები უდრის მათი ბოლოების კოორდინატებს, ანუ

როგორ ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები აღწერილია.

ჩვენ ვიანგარიშებთ:

პასუხი: 40

იპოვეთ ვექტორების კოორდინატები და გამოიყენეთ ფორმულა:

ვექტორის კოორდინატების საპოვნელად საჭიროა მისი დასაწყისის შესაბამისი კოორდინატების გამოკლება ვექტორის ბოლო კოორდინატებს, რაც ნიშნავს

ჩვენ ვიანგარიშებთ სკალარულ პროდუქტს:

პასუხი: 40

იპოვეთ კუთხე a და b ვექტორებს შორის. მიეცით პასუხი გრადუსით.

დაე, ვექტორების კოორდინატებს ჰქონდეს ფორმა:

ვექტორებს შორის კუთხის საპოვნელად ვიყენებთ ვექტორების სკალარული ნამრავლის ფორმულას:

ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი:

აქედან გამომდინარე:

ამ ვექტორების კოორდინატებია:

მოდით ჩავრთოთ ისინი ფორმულაში:

ვექტორებს შორის კუთხე 45 გრადუსია.

პასუხი: 45

სიბრტყის ამოცანის შემთხვევაში, a = (a x ; a y ) და b = (b x ; b y ) ვექტორების სკალარული ნამრავლი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

a b = a x b x + a y b y

ვექტორების სკალარული ნამრავლის ფორმულა სივრცითი ამოცანებისთვის

სივრცითი ამოცანის შემთხვევაში a = (a x ; a y ; a z ) და b = (b x ; b y ; b z ) ვექტორების სკალარული ნამრავლი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

n-განზომილებიანი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის ფორმულა

n-განზომილებიანი სივრცის შემთხვევაში a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) და b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) ვექტორების სკალარული ნამრავლი შეიძლება მოიძებნოს გამოყენებით შემდეგი ფორმულა:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

1. ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან ყოველთვის მეტია ან ტოლია ნულის:

2. ვექტორის სკალარული ნამრავლი საკუთარ თავთან არის ნულის ტოლი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ვექტორი ტოლია ნულოვანი ვექტორის:

a = 0<=>a = 0

3. ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთავად უდრის მისი მოდულის კვადრატს:

4. სკალარული გამრავლების ოპერაცია კომუნიკაციურია:

5. თუ ორი არანულოვანი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია, მაშინ ეს ვექტორები ორთოგონალურია:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ ბ

6. (αa) b = α(a b)

7. სკალარული გამრავლების მოქმედება განაწილებითია:

(a + b) c = a c + b c

ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლის ამოცანების მაგალითები

სიბრტყის ამოცანების ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლის მაგალითები

იპოვეთ a = (1; 2) და b = (4; 8) ვექტორების სკალარული ნამრავლი.

გამოსავალი: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

იპოვეთ a და b ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ მათი სიგრძე |a| = 3, |ბ| = 6 და კუთხე ვექტორებს შორის არის 60˚.

გამოსავალი: a · b = |a| |ბ| cos α = 3 6 cos 60˚ = 9.

იპოვეთ ვექტორების შიდა ნამრავლი p = a + 3b და q = 5a - 3 b, თუ მათი სიგრძე |a| = 3, |ბ| = 2 და a და b ვექტორებს შორის კუთხე არის 60˚.

გამოსავალი:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |ა| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლის მაგალითი სივრცითი ამოცანებისთვის

იპოვეთ a = (1; 2; -5) და b = (4; 8; 1) ვექტორების სკალარული ნამრავლი.

გამოსავალი: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

n-განზომილებიანი ვექტორებისთვის წერტილოვანი ნამრავლის გამოთვლის მაგალითი

იპოვეთ a = (1; 2; -5; 2) და b = (4; 8; 1; -2) ვექტორების სკალარული ნამრავლი.

გამოსავალი: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. ვექტორებისა და ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი ეწოდება მესამე ვექტორი , განისაზღვრება შემდეგნაირად:

2) პერპენდიკულარული, პერპენდიკულარული. (1"")

3) ვექტორები ორიენტირებულია ისევე, როგორც მთელი სივრცის საფუძველი (დადებითად ან უარყოფითად).

დანიშნეთ: .

ფიზიკური მნიშვნელობავექტორული პროდუქტი

არის ძალის მომენტი O წერტილის მიმართ; არის რადიუსი არის ძალის გამოყენების წერტილის ვექტორი, მაშინ

უფრო მეტიც, თუ გადატანილია O წერტილში, მაშინ სამეული უნდა იყოს ორიენტირებული, როგორც საფუძვლის ვექტორი.

1. განმარტება და მარტივი თვისებები. ავიღოთ არა ნულოვანი ვექტორები a და b და განვდევოთ ისინი თვითნებური O წერტილიდან: OA = a და OB = b. AOB კუთხის მნიშვნელობა ეწოდება a და b ვექტორებს შორის კუთხეს და აღინიშნება (ა, ბ). თუ ორი ვექტორიდან ერთი მაინც არის ნული, მაშინ მათ შორის კუთხე, განსაზღვრებით, მართებულად ითვლება. გაითვალისწინეთ, რომ განმარტებით, კუთხე ვექტორებს შორის არის მინიმუმ 0 და მაქსიმუმ . უფრო მეტიც, კუთხე ორ არანულოვან ვექტორს შორის არის 0-ის ტოლი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს ვექტორები თანამიმართულები არიან და ტოლია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი საპირისპირო მიმართულებით არიან.

შევამოწმოთ, რომ ვექტორებს შორის კუთხე არ იყოს დამოკიდებული O წერტილის არჩევანზე. ეს აშკარაა, თუ ვექტორები წრფივია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ გამოვყოფთ თვითნებურ პუნქტს O 1 ვექტორები O 1 ა 1 = ა და ო 1 IN 1 = b და გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედები AOB და A 1 შესახებ 1 IN 1 ტოლია სამი მხრიდან, რადგან |OA| = |ო 1 ა 1 | = |a|, |OB| = |ო 1 IN 1 | = |ბ|, |აბ| = |ა 1 IN 1 | = |ბ–ა|. მაშასადამე, კუთხეები AOB და A 1 შესახებ 1 IN 1 თანაბარი არიან.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ მთავარი ამ პუნქტში

(5.1) განმარტება. ორი a და b ვექტორის სკალარული ნამრავლი (აღნიშნული ab-ით) არის რიცხვი 6 ტოლია ამ ვექტორების სიგრძისა და ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლის. მოკლედ რომ ვთქვათ:

აბ = |ა||ბ|ქოს (ა, ბ).

სკალარული ნამრავლის პოვნის ოპერაციას ვექტორების სკალარული გამრავლება ეწოდება. თავისთან ვექტორის სკალარული ნამრავლი aa ეწოდება ამ ვექტორის სკალარული კვადრატი და აღინიშნება 2 .

(5.2) ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მისი სიგრძის კვადრატს.

 თუ |ა|  0, მაშინ (აა) = 0, საიდანაც ა 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . თუ a = 0, მაშინ a 2 = |ა| 2 = 0. 

(5.3) კოშის უტოლობა. ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლის მოდული არ აღემატება ფაქტორების მოდულების ნამრავლს: |ab| |ა||ბ|. ამ შემთხვევაში, თანასწორობა მიიღწევა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები a და b არის კოლინარული.

 განმარტებით |აბ| = ||ა||ბ|ქოს (a,b)| = |ა||ბ||ქო (a,b)|  |ა||ბ. ეს ადასტურებს თავად კოშის უთანასწორობას. ახლა შევამჩნიოთ. რომ არანულოვანი ვექტორებისთვის a და b მასში ტოლობა მიიღწევა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ |cos (a,b)| = 1, ე.ი. ზე (ა, ბ) = 0 ან (ა, ბ) =  . ეს უკანასკნელი ექვივალენტურია იმისა, რომ a და b ვექტორები თანამიმართული ან საპირისპიროდ მიმართული, ე.ი. კოლინარული. თუ a და b ვექტორებიდან ერთი მაინც არის ნული, მაშინ ისინი ხაზოვანი და |ab| არიან = |ა||ბ| = 0. 

2. სკალარული გამრავლების ძირითადი თვისებები. ეს მოიცავს შემდეგს:

(CS1) ab = ba (კომუტატიულობა);

(CS2) (xa)b = x(ab) (ასოციაციურობა);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (განაწილება).

კომუტატიურობა აქ აშკარაა, რადგან აბ =  ბა. ასევე აშკარაა ასოციაციურობა x = 0-ისთვის. თუ x > 0 მაშინ

(ჰა) ბ = |ჰა||ბ|ქო (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

ამისთვის (xa, b) = (a,b) (xa და a ვექტორების თანამიმართულებიდან - სურ. 21). თუ x< 0, მაშინ

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

ამისთვის (xa, b) = –  (a,b) (xa და a ვექტორების საპირისპირო მიმართულებიდან - სურ.22). ამრიგად, ასოციაციურობაც დადასტურებულია.

განაწილების მტკიცება უფრო რთულია. ამისთვის გვჭირდება ასეთი

(5.4) ლემა. დავუშვათ, რომ a იყოს არა ნულოვანი ვექტორი l წრფის პარალელურად და b თვითნებური ვექტორი. შემდეგ ორთოგონალური პროექციაბ" b ვექტორიდან l წრფეზე უდრის
.



თუ b = 0, მაშინბ" = 0 და ab = 0, ასე რომ ამ შემთხვევაში ლემა არის ჭეშმარიტი. შემდეგში ჩავთვლით, რომ ვექტორი b" არ არის ნულოვანი. ამ შემთხვევაში, l სწორი წრფის თვითნებური წერტილიდან გვერდიდან ვაყენებთ ვექტორებს OA = a და OB = b და ასევე ავწევთ BB პერპენდიკულარულ "B წერტილიდან l სწორ ხაზამდე. განმარტებით.ოB" = ბ"და (ა, ბ) =  AOW. აღნიშნეთ AOB მეშვეობით და დაადასტურეთ ლემა ცალ-ცალკე თითოეული შემდეგი სამი შემთხვევისთვის:

1)  <  /2. შემდეგ ვექტორები a და თანადადგმული (სურ. 23) და

ბ" = =
=
.

2)  >  /2. შემდეგ ვექტორები a დაბ„საპირისპიროდ მიმართული (სურ. 24) და

ბ" = – = –
= .

3)  =  /2. მაშინბ" = 0 და აბ = 0, საიდანაცბ" =
= 0. 

ჩვენ ახლა ვამტკიცებთ (CS3) დისტრიბუციულობას. აშკარაა, თუ ვექტორი a არის ნული. დაე ა  0. შემდეგ დახაზეთ ხაზი l || ა და აღვნიშნოთბ"დაგb და c ვექტორების ორთოგონალური პროგნოზები მასზე და მეშვეობითდ" იყოს d = b + c ვექტორის ორთოგონალური პროექცია მასზე. თეორემა 3.5-ითდ" = ბ"+ გლემა 5.4-ის ბოლო ტოლობის გამოყენებით მივიღებთ ტოლობას
=
. სკალარულად გამრავლებით a-ზე, ვხვდებით, რომ 2 =
, საიდანაც ad = ab+ac, რომელიც დასამტკიცებელი იყო.

ჩვენ მიერ დადასტურებული ვექტორების სკალარული გამრავლების თვისებები რიცხვთა გამრავლების შესაბამისი თვისებების მსგავსია. მაგრამ რიცხვების გამრავლების ყველა თვისება არ გადადის ვექტორების სკალარულ გამრავლებაზე. აქ არის ტიპიური მაგალითები:

) თუ ab = 0, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ a = 0 ან b = 0. მაგალითი: ორი არანულოვანი ვექტორი, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს.

2) თუ ab = ac, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ b = c, თუნდაც ვექტორი a არ იყოს ნულოვანი. მაგალითი: b და c არის ერთი და იგივე სიგრძის ორი განსხვავებული ვექტორი, რომლებიც ქმნიან თანაბარ კუთხეებს a ვექტორთან (ნახ. 25).

3) არ არის მართალი, რომ ყოველთვის a(bc) = (ab)c: თუ მხოლოდ იმიტომ, რომ ასეთი ტოლობის მართებულობა bc, ab 0 ნიშნავს, რომ a და c ვექტორები თანამიმართულია.

3. ვექტორთა ორთოგონალობა. ორ ვექტორს ეწოდება ორთოგონალური, თუ მათ შორის კუთხე სწორია. ვექტორების ორთოგონალურობა მითითებულია ხატით .

როდესაც ჩვენ განვსაზღვრეთ კუთხე ვექტორებს შორის, შევთანხმდით, რომ კუთხე ნულოვან ვექტორსა და ნებისმიერ სხვა ვექტორს შორის სწორ ხაზად მივიჩნიეთ. ამიტომ ნულოვანი ვექტორი ორთოგონალურია ნებისმიერის მიმართ. ეს შეთანხმება გვაძლევს ამის დამტკიცების საშუალებას

(5.5) ორი ვექტორის ორთოგონალურობის ნიშანი. ორი ვექტორი ორთოგონალურია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი წერტილოვანი ნამრავლია 0.

 დაე, a და b იყოს თვითნებური ვექტორები. თუ ერთი მათგანი მაინც არის ნული, მაშინ ისინი ორთოგონალურია და მათი სკალარული ნამრავლი 0-ის ტოლია. ამრიგად, ამ შემთხვევაში თეორემა ჭეშმარიტია. ახლა დავუშვათ, რომ ორივე მოცემული ვექტორი არ არის ნულოვანი. განმარტებით, ab = |a||b|cos (ა, ბ). ვინაიდან ჩვენი ვარაუდით რიცხვები |a| და |ბ| არ არის 0-ის ტოლი, მაშინ ab = 0 cos (a, b) = 0  (ა, ბ) = /2, რაც დასამტკიცებელი იყო.

თანასწორობა ab = 0 ხშირად აღებულია ვექტორების ორთოგონალურობის განმარტებად.

(5.6) დასკვნა. თუ ვექტორი a ორთოგონალურია a ვექტორების მიმართ 1 ,…, ა პ , მაშინ ის ასევე ორთოგონალურია მათი რომელიმე წრფივი კომბინაციის მიმართ.

 საკმარისია აღინიშნოს, რომ თანასწორობიდან ა.ა 1 = … = აა პ = 0 გულისხმობს ტოლობას a(x 1 ა 1 + … +x პ ა პ ) = x 1 (აჰ 1 ) + … + x პ (აჰ პ ) = 0. 

დასკვნა 5.6-დან ადვილია წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის სკოლის კრიტერიუმის გამოყვანა. მართლაც, რომელიმე ხაზი MN იყოს პერპენდიკულარული ორი გადამკვეთი წრფის AB და AC. მაშინ ვექტორი MN ორთოგონალურია AB და AC ვექტორების მიმართ. ავიღოთ ნებისმიერი სწორი ხაზი DE ABC სიბრტყეში. ვექტორი DE თანაპლენარულია AB და AC არათანმიმდევრული ვექტორების მიმართ და ამიტომ ფართოვდება მათში. მაგრამ მაშინ ის ასევე ორთოგონალურია ვექტორთან MN, ანუ წრფეები MN და DE პერპენდიკულარულია. გამოდის, რომ MN წრფე პერპენდიკულარულია ABC სიბრტყის რომელიმე წრფეზე, რაც დასამტკიცებელი იყო.

4. ორთონორმული ბაზები. (5.7) განმარტება. ვექტორული სივრცის საფუძველს ამბობენ, რომ ორთონორმალურია, თუ, პირველ რიგში, მის ყველა ვექტორს აქვს ერთეული სიგრძე და, მეორეც, მისი ნებისმიერი ორი ვექტორი ორთოგონალურია.

სამგანზომილებიან სივრცეში ორთონორმალური საფუძვლის ვექტორები ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით i, j და k, ხოლო ვექტორულ სიბრტყეზე ასოებით i და j. ორი ვექტორის ორთოგონალურობის ნიშნის და ვექტორის სკალარული კვადრატის ტოლობის გათვალისწინებით მისი სიგრძის კვადრატთან, V სივრცის საფუძვლის (i,j,k) ორთონორმალობის პირობები. 3 შეიძლება დაიწეროს ასე:

(5.8) ი 2 = ჯ 2 = კ 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

და ვექტორული სიბრტყის საფუძველი (i,j) შემდეგნაირად:

(5.9) ი 2 = ჯ 2 = 1, ij = 0.

ორთონორმალურ საფუძველში a და b ვექტორებს ჰქონდეთ V სივრცეები (i,j,k). 3 კოორდინატები (ა 1 , ა 2 , ა 3 ) და (ბ 1 ბ 2 ,ბ 3 ) შესაბამისად. მაშინab = (ა 1 მე+ა 2 j+ა 3 ლ) (ბ 1 მე+ბ 2 j+b 3 ლ) = ა 1 ბ 1 მე 2 +ა 2 ბ 2 ჯ 2 +ა 3 ბ 3 კ 2 +ა 1 ბ 2 იჯ+ა 1 ბ 3 იკ+ა 2 ბ 1 ჯი+ა 2 ბ 3 ჯკ+ა 3 ბ 1 კი+ა 3 ბ 2 kj = ა 1 ბ 1 +ა 2 ბ 2 +ა 3 ბ 3 . ასე გამოიყენებოდა a ვექტორების სკალარული ნამრავლის ფორმულა (a 1 , ა 2 , ა 3 ) და ბ (ბ 1 ,ბ 2 ,ბ 3 ) მოცემულია მათი კოორდინატებით V სივრცის ორთონორმულ საფუძველში 3 :

(5.10) ab = a 1 ბ 1 +ა 2 ბ 2 +ა 3 ბ 3 .

ვექტორებისთვის a(a 1 , ა 2 ) და ბ (ბ 1 ,ბ 2 ) ვექტორულ სიბრტყეზე მათი კოორდინატების მიხედვით ორთონორმალურ საფუძველზე, მას აქვს ფორმა

(5.11) ab = a 1 ბ 1 +ა 2 ბ 2 .

მოდით ჩავანაცვლოთ b = a ფორმულაში (5.10). გამოდის, რომ ორთონორმალურ საფუძველზე ა 2 = ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 . რადგან ა 2 = |ა| 2 , ვიღებთ ასეთ ფორმულას a ვექტორის სიგრძის საპოვნელად (a 1 , ა 2 , ა 3 ) განსაზღვრულია მისი კოორდინატებით V სივრცის ორთონორმალურ საფუძველში 3 :

(5.12) |ა| =
.

ვექტორულ სიბრტყეზე, (5.11) ძალით, ის იღებს ფორმას

(5.13) |ა| =
.

b = i, b = j, b = k ფორმულაში (5.10) ჩანაცვლებით, მივიღებთ კიდევ სამ სასარგებლო ტოლობას:

(5.14) ai = a 1 , aj = ა 2 , აკ = ა 3 .

ვექტორების სკალარული ნამრავლისა და ვექტორის სიგრძის საპოვნელად კოორდინატთა ფორმულების სიმარტივე ორთონორმალური ფუძეების მთავარი უპირატესობაა. არაორთონორმალური ბაზებისთვის ეს ფორმულები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არასწორია და მათი გამოყენება ამ შემთხვევაში უხეში შეცდომაა.

5. მიმართულების კოსინუსები. აიღეთ ორთონორმალური საფუძველზე (i,j,k) სივრცეები V 3 ვექტორი a (a 1 , ა 2 , ა 3 ). მაშინai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (ა, ი).მეორე მხრივ, ai = a 1 ფორმულის მიხედვით 5.14. თურმე

(5.15) ა 1 = |ა|ქო (ა, ი).

და, ანალოგიურად,

ა 2 = |ა|ქო (a,j) და 3 = |ა|ქო (ა, კ).

თუ ვექტორი a არის ერთეული, ეს სამი ტოლობა იღებს განსაკუთრებით მარტივ ფორმას:

(5.16) ა 1 = cos (ა, მე),ა 2 = cos (a, j),ა 3 = cos (ა, კ).

ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხეების კოსინუსებს ორთონორმალური საფუძვლის ვექტორებთან ერთად ამ ვექტორის მიმართულების კოსინუსებს უწოდებენ მოცემულ საფუძველში. როგორც ფორმულები 5.16 გვიჩვენებს, ერთეული ვექტორის კოორდინატები ორთონორმალურ საფუძველზე უდრის მისი მიმართულების კოსინუსებს.

5.15-დან გამომდინარეობს, რომ ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 = |ა| 2 (კოს 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (ა, კ)). მეორე მხრივ, ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 = |ა| 2 . თურმე

(5.17) არანულოვანი ვექტორის კვადრატული მიმართულების კოსინუსების ჯამი 1-ის ტოლია.

ეს ფაქტი სასარგებლოა ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად.

(5.18) პრობლემა. მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი ყალიბდება, რომლის ორი კიდე გამოდის ერთი და იგივე წვეროს კუთხიდან 60. . რა კუთხეს ქმნის ის ამ წვეროდან გამომავალი მესამე კიდით?

 განვიხილოთ V სივრცის ორთონორმალური საფუძველი 3 , რომლის ვექტორები წარმოდგენილია მოცემული წვეროდან გამომავალი პარალელეპიპედის კიდეებით. ვინაიდან დიაგონალური ვექტორი ქმნის 60-იან კუთხეებს ამ საფუძვლის ორი ვექტორით , მისი სამი მიმართულების კოსინუსებიდან ორის კვადრატები უდრის cos-ს 2 60  = 1/4. მაშასადამე, მესამე კოსინუსის კვადრატი არის 1/2, ხოლო თავად ეს კოსინუსი არის 1/
. ასე რომ, სასურველი კუთხე არის 45 . 

კუთხე ვექტორებს შორის

განვიხილოთ ორი მოცემული ვექტორი $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$. მოდით გამოვყოთ $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ და $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ თვითნებურად არჩეული წერტილიდან $O$, შემდეგ კუთხე $AOB$ ე.წ. კუთხე $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორებს შორის (ნახ. 1).

სურათი 1.

აქვე გაითვალისწინეთ, რომ თუ ვექტორები $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ თანამიმართულები არიან, ან ერთ-ერთი მათგანი ნულოვანი ვექტორია, მაშინ ვექტორებს შორის კუთხე $0^0$-ის ტოლია.

აღნიშვნა: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

ვექტორების სკალარული ნამრავლის კონცეფცია

მათემატიკურად, ეს განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

სკალარული პროდუქტი შეიძლება იყოს ნული ორ შემთხვევაში:

თუ რომელიმე ვექტორი იქნება ნულოვანი ვექტორი (მაშასადამე მისი სიგრძე არის ნული).

თუ ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულურია (ანუ $cos(90)^0=0$).

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ შიდა ნამრავლი ნულზე მეტია, თუ ამ ვექტორებს შორის კუთხე მკვეთრია (რადგან $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) და ნულზე ნაკლები, თუ ამ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია (რადგან $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

სკალარული კვადრატის კონცეფცია დაკავშირებულია სკალარული პროდუქტის კონცეფციასთან.

განმარტება 2

$\overrightarrow(a)$ ვექტორის სკალარული კვადრატი არის ამ ვექტორის სკალარული ნამრავლი საკუთარ თავთან.

მივიღებთ, რომ სკალარული კვადრატი არის

სკალარული ნამრავლის გამოთვლა ვექტორების კოორდინატებით

გარდა წერტილოვანი პროდუქტის მნიშვნელობის პოვნის სტანდარტული გზით, რომელიც გამომდინარეობს განმარტებიდან, არსებობს კიდევ ერთი გზა.

განვიხილოთ.

დაე, ვექტორებს $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ჰქონდეთ კოორდინატები $\left(a_1,b_1\right)$ და $\left(a_2,b_2\right)$, შესაბამისად.

თეორემა 1

$\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორების სკალარული ნამრავლი უდრის შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამს.

მათემატიკურად, ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

მტკიცებულება.

თეორემა დადასტურდა.

ამ თეორემას აქვს რამდენიმე მნიშვნელობა:

დასკვნა 1: ვექტორები $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ პერპენდიკულარულია თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ $a_1a_2+b_1b_2=0$

შედეგი 2: ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი არის $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

ნებისმიერი სამი ვექტორისთვის და რეალური რიცხვისთვის $k$, მართებულია შემდეგი:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

ეს თვისება გამომდინარეობს სკალარული კვადრატის განმარტებიდან (განმარტება 2).

გადაადგილების კანონი:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

ეს თვისება გამომდინარეობს შიდა პროდუქტის განმარტებიდან (განმარტება 1).

გამანაწილებელი კანონი:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \დასრულება (ჩათვლა)

თეორემა 1-ით გვაქვს:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

კომბინაციის კანონი:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \დასრულება (ჩათვლა)

თეორემა 1-ით გვაქვს:

\[\ მარცხენა (k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლის პრობლემის მაგალითი

მაგალითი 1

იპოვეთ $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორების შიდა ნამრავლი, თუ $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ და $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$ და მათ შორის კუთხეა $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

გამოსავალი.

განმარტება 1-ის გამოყენებით, მივიღებთ

$(30)^0:$-ად

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$-ად

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$-ად

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$-ად

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ მარჯვნივ)=-3\sqrt(2)\]

თუ ამოცანაში ვექტორების სიგრძეც და კუთხეც მათ შორისაა წარმოდგენილი "ვერცხლის ლანგარზე", მაშინ პრობლემის მდგომარეობა და მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება:

მაგალითი 1მოცემულია ვექტორები. იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ მათი სიგრძე და მათ შორის კუთხე წარმოდგენილია შემდეგი მნიშვნელობებით:

ასევე მოქმედებს სხვა განმარტება, რომელიც სრულიად ექვივალენტურია განმარტება 1-ისა.

განმარტება 2. ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი (სკალარული) ტოლი ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთის სიგრძისა და მეორე ვექტორის პროექციის ღერძზე, რომელიც განსაზღვრულია ამ ვექტორებიდან პირველით. ფორმულა მე-2 განმარტების მიხედვით:

ამოცანას ამ ფორმულის გამოყენებით მოვაგვარებთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თეორიული პუნქტის შემდეგ.

ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება კოორდინატების მიხედვით

იგივე რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, თუ გამრავლებული ვექტორები მოცემულია მათი კოორდინატებით.

განმარტება 3.ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი არის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამის ტოლი რიცხვი.

ზედაპირზე

თუ ორი ვექტორი და სიბრტყეში განისაზღვრება მათი ორით დეკარტის კოორდინატები

მაშინ ამ ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილთა ნამრავლის ჯამს:

მაგალითი 2იპოვეთ ვექტორის პროექციის რიცხვითი მნიშვნელობა ვექტორის პარალელურ ღერძზე.

გამოსავალი. ვექტორების სკალარული ნამრავლს ვპოულობთ მათი კოორდინატების წყვილი ნამრავლის დამატებით:

ახლა ჩვენ უნდა გავაიგივოთ მიღებული სკალარული ნამრავლი ვექტორის სიგრძის ნამრავლთან და ვექტორის პროექცია ვექტორის პარალელურ ღერძზე (ფორმულის შესაბამისად).

ვექტორის სიგრძეს ვპოულობთ როგორც Კვადრატული ფესვიმისი კოორდინატების კვადრატების ჯამიდან:

დაწერეთ განტოლება და ამოხსენით:

უპასუხე. სასურველი რიცხვითი მნიშვნელობა არის მინუს 8.

Კოსმოსში

თუ ორი ვექტორი და სივრცეში განისაზღვრება მათი სამი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატით

მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ასევე უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამს, მხოლოდ იქ უკვე სამი კოორდინატია:

სკალარული პროდუქტის განხილული გზით პოვნის ამოცანაა სკალარული პროდუქტის თვისებების ანალიზი. რადგან ამოცანაში საჭირო იქნება იმის დადგენა, თუ რა კუთხეს ქმნიან გამრავლებული ვექტორები.

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

ალგებრული თვისებები

1. (კომუტაციური თვისება: მათი სკალარული ნამრავლის მნიშვნელობა არ იცვლება გამრავლებული ვექტორების ადგილების შეცვლით).

2. (ასოციაციური თვისება რიცხვითი ფაქტორის მიმართ: ვექტორის სკალარული ნამრავლი გამრავლებული რომელიმე ფაქტორზე და სხვა ვექტორი ტოლია ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამრავლებული იმავე კოეფიციენტზე).

3. (გამანაწილებელი თვისება ვექტორთა ჯამის მიმართ: მესამე ვექტორის მიერ ორი ვექტორის ჯამის სკალარული ნამრავლი უდრის პირველი ვექტორის სკალარული ნამრავლების ჯამს მესამე ვექტორზე და მეორე ვექტორის მესამე ვექტორზე).

4. (ნულზე მეტი ვექტორის სკალარული კვადრატი) თუ არის არანულოვანი ვექტორი და, თუ არის ნულოვანი ვექტორი.

გეომეტრიული თვისებები

შესასწავლი ოპერაციის განმარტებებში უკვე შევეხეთ ორ ვექტორს შორის კუთხის ცნებას. დროა ამ კონცეფციის გარკვევა.

ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ჩანს ორი ვექტორი, რომლებიც მიყვანილია საერთო საწყისამდე. და პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ: ამ ვექტორებს შორის ორი კუთხეა - φ 1 და φ 2 . ამ კუთხიდან რომელი ჩნდება ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტებებსა და თვისებებში? განხილული კუთხეების ჯამი არის 2 π და ამიტომ ამ კუთხეების კოსინუსები ტოლია. წერტილოვანი პროდუქტის განმარტება მოიცავს მხოლოდ კუთხის კოსინუსს და არა მისი გამოხატვის მნიშვნელობას. მაგრამ თვისებებში მხოლოდ ერთი კუთხეა გათვალისწინებული. და ეს არის ერთი ორი კუთხიდან, რომელიც არ აღემატება π ანუ 180 გრადუსი. ეს კუთხე ნაჩვენებია ფიგურაში, როგორც φ 1 .

1. ორი ვექტორი ეწოდება ორთოგონალური და ამ ვექტორებს შორის კუთხე არის მართი (90 გრადუსი ან π /2) თუ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული :

ორთოგონალობა ვექტორულ ალგებრაში არის ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობა.

2. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება მკვეთრი კუთხე (0-დან 90 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა, ნაკლები π წერტილოვანი პროდუქტი დადებითია .

3. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება ბლაგვი კუთხე (90-დან 180 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - მეტი π /2) თუ და მხოლოდ თუ წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია .

მაგალითი 3ვექტორები მოცემულია კოორდინატებში:

გამოთვალეთ მოცემული ვექტორების ყველა წყვილის წერტილოვანი ნამრავლები. რა კუთხეს (მწვავე, მარჯვენა, ბლაგვი) ქმნიან ვექტორების ეს წყვილი?

გამოსავალი. გამოვთვლით შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების მიმატებით.

მივიღეთ უარყოფითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან ბლაგვ კუთხეს.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

მივიღეთ ნული, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მართ კუთხეს.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .

მაგალითი 4მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე:

დაადგინეთ რიცხვის რომელ მნიშვნელობზეა ვექტორები და არიან ორთოგონალური (პერპენდიკულარული).

გამოსავალი. ვექტორებს ვამრავლებთ მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით:

ახლა მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ტერმინი:

მოდით შევადგინოთ განტოლება (ნამრავლის ტოლობა ნულამდე), მივცეთ მსგავსი ტერმინები და ამოვხსნათ განტოლება:

პასუხი: ჩვენ მივიღეთ ღირებულება λ = 1.8, სადაც ვექტორები ორთოგონალურია.

მაგალითი 5დაამტკიცეთ რომ ვექტორი ორთოგონალური (პერპენდიკულარული) ვექტორზე

გამოსავალი. ორთოგონალურობის შესამოწმებლად, ჩვენ ვამრავლებთ ვექტორებს და პოლინომებად, მის ნაცვლად ვცვლით პრობლემის მდგომარეობაში მოცემულ გამოსახულებას:

ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი მრავალწევრის თითოეული წევრი (ტერმინი) მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები:

შედეგად, ფრაქცია მცირდება. მიიღება შემდეგი შედეგი:

დასკვნა: გამრავლების შედეგად მივიღეთ ნული, შესაბამისად, დადასტურებულია ვექტორების ორთოგონალურობა (პერპენდიკულარულობა).

თავად მოაგვარეთ პრობლემა და შემდეგ იხილეთ გამოსავალი

მაგალითი 6მოცემული ვექტორების სიგრძეები და , და კუთხე ამ ვექტორებს შორის არის π /4. განსაზღვრეთ რა ღირებულებით μ ვექტორები და ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

ვექტორების სკალარული ნამრავლის და n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლის მატრიცული წარმოდგენა

ზოგჯერ, სიცხადისთვის, ხელსაყრელია ორი გამრავლებული ვექტორის წარმოდგენა მატრიცების სახით. შემდეგ პირველი ვექტორი წარმოდგენილია მწკრივის მატრიცის სახით, ხოლო მეორე - სვეტის მატრიცის სახით:

მაშინ ვექტორების სკალარული ნამრავლი იქნება ამ მატრიცების პროდუქტი :

შედეგი იგივეა, რაც ჩვენ მიერ უკვე განხილული მეთოდით მიღებული. ჩვენ მივიღეთ ერთი რიცხვი და მატრიცა-სტრიქონის ნამრავლი მატრიცა-სვეტის მიერ არის ასევე ერთი რიცხვი.

მატრიცის სახით მოსახერხებელია აბსტრაქტული n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლის წარმოდგენა. ამრიგად, ორი ოთხგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ოთხი ელემენტით სვეტის მატრიცით ასევე ოთხი ელემენტით, ორი ხუთგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ხუთი ელემენტით. სვეტის მატრიცა ასევე ხუთი ელემენტით და ა.შ.

მაგალითი 7იპოვნეთ ვექტორთა წყვილი წერტილოვანი პროდუქტები

მატრიცული წარმოდგენის გამოყენებით.

გამოსავალი. ვექტორების პირველი წყვილი. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ ვექტორს, როგორც მწკრივის მატრიცას, ხოლო მეორეს, როგორც სვეტის მატრიცას. ჩვენ ვპოულობთ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლს, როგორც მწკრივის მატრიცის ნამრავლს სვეტის მატრიცით:

ანალოგიურად, ჩვენ წარმოვადგენთ მეორე წყვილს და ვპოულობთ:

როგორც ხედავთ, შედეგები იგივეა, რაც იგივე წყვილებისთვის მე-2 მაგალითიდან.

კუთხე ორ ვექტორს შორის

ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის წარმოშობა ძალიან ლამაზი და ლაკონურია.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის გამოხატვა

(1)

ვ კოორდინატთა ფორმა, ჯერ ვპოულობთ ორტების სკალარული ნამრავლს. ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთავად არის:

რაც წერია ზემოთ მოცემულ ფორმულაში ნიშნავს: ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან უდრის მისი სიგრძის კვადრატს. ნულის კოსინუსი უდრის ერთს, ამიტომ თითოეული ორთის კვადრატი იქნება ერთის ტოლი: