1. ასიმპტოტების ცნება

ფუნქციების გრაფიკების აგების ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი არის ასიმპტოტების ძიება. ჩვენ არაერთხელ შევხვდით ასიმპტოტებს: ფუნქციების შედგენისას, y=tgx, y=ctgx. ჩვენ განვსაზღვრეთ ისინი, როგორც ხაზები, რომლებსაც ფუნქციის გრაფიკი „მიდრეკილია“, მაგრამ არასოდეს კვეთს. დროა მივცეთ ასიმპტოტების ზუსტი განმარტება.

არსებობს სამი სახის ასიმპტოტები: ვერტიკალური, ჰორიზონტალური და ირიბი. ნახაზში ასიმპტოტები ჩვეულებრივ აღინიშნება წერტილოვანი ხაზებით.

განვიხილოთ შემდეგი ხელოვნურად გამოსახული ფუნქციის გრაფიკი (ნახ. 16.1), რომლის მაგალითზე ნათლად ჩანს ყველა ტიპის ასიმპტოტი:

ჩვენ ვაძლევთ განმარტებას თითოეული ტიპის ასიმპტოტისთვის:

1. პირდაპირი x=aდაურეკა ვერტიკალური ასიმპტოტი ფუნქციები თუ.

2. პირდაპირი y=sდაურეკა ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ფუნქციები თუ.

3. პირდაპირი y=kx+bდაურეკა ირიბი ასიმპტოტი ფუნქციები თუ.

გეომეტრიულად, ირიბი ასიმპტოტის განმარტება ნიშნავს, რომ →∞ ფუნქციის გრაფიკი უახლოვდება სწორ ხაზს თვითნებურად დახურვისას. y=kx+b, ე.ი. ისინი პრაქტიკულად იგივეა. თითქმის იდენტური გამონათქვამების განსხვავება ნულისკენ მიისწრაფვის.

გაითვალისწინეთ, რომ ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები განიხილება მხოლოდ პირობით →∞. ზოგჯერ ისინი განასხვავებენ ჰორიზონტალურ და ირიბ ასიმპტოტებად, როგორც →+∞ და →-∞.

1. ასიმპტოტის ძიების ალგორითმი

შემდეგი ალგორითმი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ასიმპტოტების მოსაძებნად:

შეიძლება იყოს ერთი ვერტიკალური ასიმპტოტი, რამდენიმე ან საერთოდ არცერთი.

• თუ c არის რიცხვი, მაშინ y=sარის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი;
• თუ c არის უსასრულობა, მაშინ არ არსებობს ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

თუ ფუნქცია არის ორი მრავალწევრის თანაფარდობა, მაშინ თუ ფუნქციას აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტები, ჩვენ არ ვეძებთ ირიბ ასიმპტოტებს - ისინი არ არსებობენ.

განვიხილოთ ფუნქციის ასიმპტოტების პოვნის მაგალითები:

მაგალითი 16.1.იპოვეთ მრუდის ასიმპტოტები.

გამოსავალი X-1≠0; X≠1.

მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ხაზი x= 1 ვერტიკალური ასიმპტოტი. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის ლიმიტს წერტილში x= 1: .

x= 1 - ვერტიკალური ასიმპტოტი.

თან= .

თან= = . იმიტომ რომ თან=2 (რიცხვი), მაშინ y=2არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

ვინაიდან ფუნქცია არის მრავალწევრების თანაფარდობა, ჰორიზონტალური ასიმპტოტების არსებობისას ვამტკიცებთ, რომ არ არსებობს ირიბი ასიმპტოტები.

x= 1 და ჰორიზონტალური ასიმპტოტი y=2.სიცხადისთვის, ამ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 16.2.

მაგალითი 16.2. იპოვეთ მრუდის ასიმპტოტები.

გამოსავალი. 1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი: X-2≠0; X≠2.

მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ხაზი x= 2 ვერტიკალური ასიმპტოტი. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის ლიმიტს წერტილში x= 2: .

ჩვენ მივიღეთ, შესაბამისად, x= 2 - ვერტიკალური ასიმპტოტი.

2. ჰორიზონტალური ასიმპტოტების მოსაძებნად ვპოულობთ: თან= .

ვინაიდან ლიმიტში არის გაურკვევლობა, ჩვენ ვიყენებთ L'Hopital წესს: თან= = . იმიტომ რომ თანარის უსასრულობა, მაშინ არ არსებობს ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

3. ირიბი ასიმპტოტების მოსაძებნად ვპოულობთ:

მივიღეთ ფორმის გაურკვევლობა, ვიყენებთ L'Hopital წესს: = =1. ბფორმულის მიხედვით: .

b= = =

Გავიგე b= 2. მაშინ y=kx+b –ირიბი ასიმპტოტი. ჩვენს შემთხვევაში, ასე გამოიყურება: y=x+2.

ბრინჯი. 16.3

ამრიგად, ამ ფუნქციას აქვს ვერტიკალური ასიმპტოტი x= 2 და ირიბი ასიმპტოტი y=x+2.სიცხადისთვის, ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 16.3.

საკონტროლო კითხვები:

ლექცია 17

ამ ლექციაში შევაჯამებთ ყველა ადრე შესწავლილ მასალას. ჩვენი გრძელი მოგზაურობის საბოლოო მიზანია შეგვეძლოს ნებისმიერი ანალიტიკურად მოცემული ფუნქციის გამოკვლევა და მისი გრაფიკის აგება. ჩვენი კვლევის მნიშვნელოვანი ნაწილი იქნება ექსტრემებისთვის ფუნქციის შესწავლა, გრაფიკის ერთფეროვნების, ამოზნექილობის და ჩაზნექილი ინტერვალების დადგენა, დახრის წერტილების ძიება, ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

ყველა ზემოაღნიშნული ასპექტის გათვალისწინებით, წარმოგიდგენთ ფუნქციის შესწავლისა და შედგენის სქემა .

1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი.

2. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ლუწი-კენტისთვის:

თუ , მაშინ ფუნქცია ლუწია (ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ OU);

თუ , მაშინ ფუნქცია კენტია (კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ);

წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

3. გამოიკვლიეთ ფუნქცია პერიოდულობისთვის (ჩვენს შესწავლილ ფუნქციებს შორის პერიოდული შეიძლება იყოს მხოლოდ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები).

4. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:

· ოჰ: ზე=0 (განტოლებას ვხსნით მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ჩვენთვის ცნობილი მეთოდების გამოყენება შეგვიძლია);

· OU: X=0.

5. იპოვეთ ფუნქციის პირველი წარმოებული და პირველი სახის კრიტიკული წერტილები.

6. იპოვეთ ერთფეროვნების ინტერვალები და ფუნქციის უკიდურესობები.

7. იპოვეთ მეორე სახის ფუნქციისა და კრიტიკული წერტილების მეორე წარმოებული.

8. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილ-ჩაზნექის ინტერვალები და დახრის წერტილები.

9. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

10. ფუნქციის გრაფიკის დახატვა. მშენებლობისას გაითვალისწინეთ ასიმპტოტებთან გრაფის შესაძლო მდებარეობის შემთხვევები :

11. საჭიროების შემთხვევაში შეარჩიეთ საკონტროლო წერტილები უფრო ზუსტი კონსტრუქციისთვის.

განვიხილოთ ფუნქციის შესწავლის სქემა და მისი გრაფიკის გამოსახვა კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით:

მაგალითი 17.1. დახაზეთ ფუნქცია.

გამოსავალი. 1. ეს ფუნქცია განსაზღვრულია მთელ რიცხვით ხაზზე გარდა X=3, რადგან ამ დროს მნიშვნელი მიდის ნულზე.

2. ფუნქციის ტოლობისა და უცნაურობის დასადგენად ვპოულობთ:

ჩვენ ვხედავთ ამას და, შესაბამისად, ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

3. ფუნქცია არაპერიოდულია.

4. იპოვეთ გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. ღერძთან გადაკვეთის წერტილის პოვნა ოჰმიღება ზე=0. ვიღებთ განტოლებას: . ამრიგად, წერტილი (0; 0) არის კოორდინატთა ღერძებთან გადაკვეთის წერტილი.

5. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წილადის დიფერენცირების წესის მიხედვით: = = = = .

კრიტიკული წერტილების საპოვნელად ვპოულობთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული 0-ის ტოლია ან არ არსებობს.

თუ =0, შესაბამისად, . პროდუქტი მაშინ არის 0, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც არის 0: ან .

X-3) 2 უდრის 0-ს, ე.ი. არ არსებობს X=3.

ამრიგად, ფუნქციას აქვს პირველი ტიპის სამი კრიტიკული წერტილი: ; ; .

6. რეალურ ღერძზე ვნიშნავთ პირველი სახის კრიტიკულ წერტილებს და წერტილს პუნქცია წერტილით, რადგან ის არ განსაზღვრავს ფუნქციას.

დაალაგეთ წარმოებულის ნიშნები = თითოეულ ინტერვალზე:

თ.წ

ტ.მაქს

ინტერვალებში, სადაც , თავდაპირველი ფუნქცია იზრდება (-ზე (-∞;0] ), სადაც - მცირდება (-ზე).

Წერტილი X=0 არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი. ფუნქციის მაქსიმუმის საპოვნელად ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა 0 წერტილში: .

Წერტილი X=6 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი. ფუნქციის მინიმუმის საპოვნელად ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მე-6 წერტილში: .

კვლევის შედეგები შეიძლება შევიდეს ცხრილში. ცხრილის სტრიქონების რაოდენობა ფიქსირებულია და ოთხის ტოლია, ხოლო სვეტების რაოდენობა დამოკიდებულია შესასწავლ ფუნქციაზე. პირველი რიგის უჯრედებში თანმიმდევრულად არის შეტანილი ინტერვალები, რომლებშიც კრიტიკული წერტილები ყოფენ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს, მათ შორის თავად კრიტიკულ წერტილებს. იმისათვის, რომ თავიდან ავიცილოთ შეცდომები პუნქტების აგებისას, რომლებიც არ განეკუთვნება განსაზღვრების არეალს, შესაძლებელია მათი არ ჩართვა ცხრილში.

ცხრილის მეორე სტრიქონი შეიცავს წარმოებულის ნიშნებს თითოეულ განხილულ ინტერვალზე და წარმოებულის მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილებში. ფუნქციის წარმოებულის ნიშნების შესაბამისად მესამე სტრიქონში აღინიშნება ფუნქციის ზრდის, კლების და ექსტრემის ინტერვალები.

ბოლო ხაზი გამოიყენება ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური აღსანიშნავად.

X	(-∞;0)		(0;3)		(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-		-		+
f(x)
დასკვნები		მაქს				წთ

7. იპოვეთ ფუნქციის მეორე წარმოებული, როგორც პირველი წარმოებულის წარმოებული: = =

ამოიღეთ მრიცხველში X-3 ფრჩხილების გარეთ და გააკეთეთ შემცირება:

მრიცხველში წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს: .

ვიპოვოთ მეორე სახის კრიტიკული წერტილები: წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის მეორე წარმოებული ტოლია ან არ არსებობს.

0 თუ =0. ეს წილადი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, შესაბამისად, არ არსებობს წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის მეორე წარმოებული ნულის ტოლია.

არ არსებობს, თუ მნიშვნელი ( X-3) 3 არის 0, ე.ი. არ არსებობს X=3. : ოჰ, OU, წარმოშობა, საზომი ერთეულები თითოეული ღერძისთვის.

ფუნქციის შედგენამდე საჭიროა:

დახაზეთ ასიმპტოტები წერტილოვანი ხაზებით;

მონიშნეთ გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით;

ბრინჯი. 17.1

მონიშნეთ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმუმი და რეკომენდირებულია ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმუმის დანიშვნა პირდაპირ ნახაზზე რკალებით: k ან ;

· მიღებული მონაცემების გამოყენებით გაზრდის, კლების, ამოზნექის და ჩაზნექის ინტერვალებზე ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი. გრაფიკის ტოტები უნდა „მიდრეკილდეს“ ასიმპტოტებისკენ, მაგრამ არ გადაკვეთოს ისინი.

შეამოწმეთ შეესაბამება თუ არა ფუნქციის გრაფიკი შესწავლას: თუ ფუნქცია ლუწია თუ კენტი, მაშინ შეიმჩნევა თუ არა სიმეტრია; თეორიულად ნაპოვნი მატებისა და შემცირების ინტერვალები, ამოზნექილი და ჩაზნექილი, დახრის წერტილები.

11. უფრო ზუსტი კონსტრუქციისთვის შეგიძლიათ აირჩიოთ მრავალი საკონტროლო წერტილი. მაგალითად, ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები -2 და 7 წერტილებში:

ჩვენ ვასწორებთ გრაფიკს საკონტროლო წერტილების გათვალისწინებით.

საკონტროლო კითხვები:

1. რა არის ალგორითმი ფუნქციის გრაფიკის გამოსაწერად?
2. შეიძლება თუ არა ფუნქციას ჰქონდეს ექსტრემუმი იმ წერტილებში, რომლებიც არ მიეკუთვნება განსაზღვრების სფეროს?

თავი 3. 3. ფუნქციის ინტეგრალური გამოთვლა

- (ბერძნულიდან უარყოფითი ნაწილი და symptotos ერთად ემთხვევა). სწორი ხაზი, რომელიც მუდმივად უახლოვდება მრუდს და ხვდება მას მხოლოდ უსასრულობაში. რუსულ ენაში შეტანილი უცხო სიტყვების ლექსიკონი. ჩუდინოვი A.N., 1910. ASYMPTOE დან ... ... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი

ასიმპტოტი- (ბერძნულიდან asymptotos non-cocident), სწორი ხაზი, რომელსაც მრუდის უსასრულო განშტოება განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება, მაგალითად, ჰიპერბოლის ასიმპტოტას ... თანამედროვე ენციკლოპედია

ასიმპტოტი- (ბერძნულიდან asymptotos შეუსაბამო) მრუდი უსასრულო განშტოებით არის სწორი ხაზი, რომელსაც ეს ტოტი განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება, მაგალითად, ჰიპერბოლის ასიმპტოტას ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ასიმპტოტი- სწორი ხაზი, რომელსაც თანდათან უახლოვდება მრუდი. ასიმპტოტი სწორი ხაზი, რომელსაც უახლოვდება (არასდროს აღწევს მას) მრუდით, რომელსაც აქვს რაიმე ფუნქციის უსასრულო განშტოება, როდესაც მისი არგუმენტი იზრდება განუსაზღვრელი ვადით ან ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

ასიმპტოტი- (ბერძნულიდან asymptotos mismatched), სწორი ხაზი, რომელსაც მრუდის უსასრულო ტოტი უსასრულოდ უახლოვდება, როგორიცაა ჰიპერბოლის ასიმპტოტი. … ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ასიმპტოტი- ქალი, გეომ. სწორი ხაზი, რომელიც ყოველთვის უახლოვდება მრუდს (ჰიპერბოლა), მაგრამ არასოდეს ემთხვევა მას. მაგალითი ამის ასახსნელად: თუ რომელიმე რიცხვი იყოფა ნახევრად, მაშინ ის შემცირდება უსასრულობამდე, მაგრამ არასოდეს გახდება ნული. დალის განმარტებითი ლექსიკონი

ასიმპტოტი- არსებითი სახელი, სინონიმების რაოდენობა: 1 სტრიქონი (182) ASIS სინონიმური ლექსიკონი. ვ.ნ. ტრიშინი. 2013... სინონიმური ლექსიკონი

ასიმპტოტი- (ბერძნული სიტყვებიდან: a, sun, piptw) შეუსაბამობა. ასიმპტოტში იგულისხმება ისეთი ხაზი, რომელიც განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება მოცემულ მრუდე ხაზს ან მის ზოგიერთ ნაწილს, ისე რომ საერთო ხაზებს შორის მანძილი ნაკლები ხდება ... ...

ასიმპტოტიზედაპირი არის სწორი ხაზი, რომელიც ზედაპირს კვეთს უსასრულობაში მინიმუმ ორ წერტილში... ბროკჰაუზისა და ეფრონის ენციკლოპედია

ასიმპტოტი- (ასიმპტოტი) მნიშვნელობა, რომლისკენაც მიდრეკილია ეს ფუნქცია, როდესაც არგუმენტი (არგუმენტი) იცვლება, მაგრამ არ აღწევს მას არგუმენტის რაიმე საბოლოო მნიშვნელობით. მაგალითად, თუ გამომავალი x-ის ჯამური ღირებულება მოცემულია TC=a+bx ფუნქციით, სადაც a და b მუდმივებია... ეკონომიკური ლექსიკონი

ასიმპტოტი- სწორი ხაზი, რომელიც მიდრეკილია (არასდროს აღწევს მას), რომელსაც აქვს რაიმე ფუნქციის მრუდის უსასრულო განშტოება, როდესაც მისი არგუმენტი იზრდება ან მცირდება განუსაზღვრელი ვადით. მაგალითად, ფუნქციაში: y = c + 1/x, y-ის მნიშვნელობა უახლოვდება ... ... ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

რამდენი ასიმპტოტი შეიძლება ჰქონდეს ფუნქციის გრაფიკს?

არცერთი, ერთი, ორი, სამი... ან უსასრულო რიცხვი. მაგალითებისთვის შორს არ წავალთ, ელემენტარულ ფუნქციებს გავიხსენებთ. პარაბოლას, კუბურ პარაბოლას, სინუსოიდს საერთოდ არ აქვთ ასიმპტომები. ექსპონენციალური, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკს აქვს ერთი ასიმპტოტი. არქტანგენტს, რკოტანგენტს აქვს ორი მათგანი, ხოლო ტანგენტს, კოტანგენტს აქვს უსასრულო რიცხვი. არც ისე იშვიათია, როდესაც გრაფიკს აქვს ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ასიმპტოტები. ჰიპერბოლა, ყოველთვის მეყვარები.

რას ნიშნავს ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტების პოვნა?

ეს ნიშნავს მათი განტოლებების გარკვევას და სწორი ხაზების დახატვას, თუ პრობლემის მდგომარეობა ამას მოითხოვს. პროცესი მოიცავს ფუნქციის საზღვრების პოვნას.

ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტები

გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი, როგორც წესი, ფუნქციის უსასრულო შეწყვეტის წერტილშია. ეს მარტივია: თუ ფუნქცია გარკვეულ მომენტში განიცდის უსასრულო შესვენებას, მაშინ განტოლებით მოცემული სწორი ხაზი არის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი.

შენიშვნა: გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ აღნიშვნა გამოიყენება ორი სრულიად განსხვავებული ცნების მიმართ. წერტილი იგულისხმება ან სწორი ხაზის განტოლება - დამოკიდებულია კონტექსტზე.

ამრიგად, ვერტიკალური ასიმპტოტის არსებობის დასადგენად წერტილში, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ მინიმუმ ერთი ცალმხრივი ზღვარი უსასრულოა. ყველაზე ხშირად, ეს ის წერტილია, სადაც ფუნქციის მნიშვნელი ნულის ტოლია. ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე ვიპოვეთ ვერტიკალური ასიმპტოტები ფუნქციის უწყვეტობის შესახებ გაკვეთილის ბოლო მაგალითებში. მაგრამ რიგ შემთხვევებში არსებობს მხოლოდ ერთი ცალმხრივი ზღვარი, და თუ ის უსასრულოა, მაშინ ისევ - გიყვარდეთ და ემხრობა ვერტიკალურ ასიმპტოტს. უმარტივესი ილუსტრაცია: და y-ღერძი.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს ასევე აშკარა ფაქტი: თუ ფუნქცია უწყვეტია, მაშინ ვერტიკალური ასიმპტოტები არ არსებობს. რატომღაც პარაბოლა გამახსენდა. მართლაც, სად შეიძლება აქ სწორი ხაზის „გამაგრება“? ... დიახ ... მესმის ... ბიძა ფროიდის მიმდევრები ისტერიკაში ჩაეყარნენ =)

საპირისპირო განცხადება ზოგადად არ არის ჭეშმარიტი: მაგალითად, ფუნქცია არ არის განსაზღვრული მთელ რეალურ ხაზზე, მაგრამ ის მთლიანად მოკლებულია ასიმპტოტებს.

ფუნქციის გრაფიკის ირიბი ასიმპტოტები

დახრილი (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - ჰორიზონტალური) ასიმპტოტების დახატვა შესაძლებელია, თუ ფუნქციის არგუმენტი მიდრეკილია "პლუს უსასრულობისკენ" ან "მინუს უსასრულობისკენ". მაშასადამე, ფუნქციის გრაფიკს არ შეიძლება ჰქონდეს 2 ირიბი ასიმპტოტაზე მეტი. მაგალითად, ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკს აქვს ერთი ჰორიზონტალური ასიმპტოტი at, ხოლო არქტანგენტის გრაფიკს აქვს ორი ასეთი ასიმპტოტი და განსხვავებული.

როდესაც გრაფიკი აქეთ-იქით უახლოვდება ერთადერთ ირიბ ასიმპტოტას, მაშინ ჩვეულებრივია "უსასრულობების" გაერთიანება ერთი ჩანაწერის ქვეშ. მაგალითად, ... თქვენ სწორად გამოიცანით: .

ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

ასიმპტოტის აჩრდილი დიდი ხანია ტრიალებს საიტზე, რათა საბოლოოდ მატერიალიზდეს ერთ სტატიაში და განსაკუთრებული აღფრთოვანება მოუტანოს დაბნეულ მკითხველს სრული ფუნქციის შესწავლა. გრაფიკის ასიმპტოტების პოვნა არის მითითებული ამოცანის იმ რამდენიმე ნაწილიდან, რომელიც სასკოლო კურსში მხოლოდ მიმოხილვის თანმიმდევრობით არის დაფარული, რადგან მოვლენები ტრიალებს გაანგარიშების გარშემო. ფუნქციის ლიმიტები, მაგრამ ისინი მაინც უმაღლეს მათემატიკას მიეკუთვნებიან. მათემატიკურ ანალიზში ცუდად მცოდნე სტუმრები, ვფიქრობ, რომ მინიშნება გასაგებია ;-) ... გაჩერება-გაჩერდი, სად მიდიხარ? საზღვრები- ადვილია!

ასიმპტოტების მაგალითები მაშინვე შეხვდა პირველ გაკვეთილს შესახებ ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკებიდა ახლა თემა დეტალურად განიხილება.

მაშ რა არის ასიმპტოტი?

წარმოიდგინე ცვლადი წერტილი, რომელიც "მოგზაურობს" ფუნქციის გრაფიკის გასწვრივ. ასიმპტოტი არის სწორი, რომელზე შეუზღუდავი დახურვაფუნქციის გრაფიკი უახლოვდება, რადგან მისი ცვლადი წერტილი მიდის უსასრულობამდე.

შენიშვნა : განმარტება აზრიანია, თუ მათემატიკური ანალიზის აღნიშვნაში ფორმულირება გჭირდებათ, მიმართეთ სახელმძღვანელოს.

თვითმფრინავზე ასიმპტოტები კლასიფიცირდება მათი ბუნებრივი განლაგების მიხედვით:

1) ვერტიკალური ასიმპტოტები, რომლებიც მოცემულია ფორმის განტოლებით, სადაც "ალფა" არის რეალური რიცხვი. პოპულარული წარმომადგენელი თავად განსაზღვრავს y-ღერძს,
მსუბუქი გულისრევის შეტევით, ჩვენ ვიხსენებთ ჰიპერბოლას.

2) ირიბი ასიმპტოტებიტრადიციულად დაწერილი სწორი ხაზის განტოლებადახრილობის ფაქტორით. ზოგჯერ ცალკეულ ჯგუფად გამოიყოფა განსაკუთრებული შემთხვევა - ჰორიზონტალური ასიმპტოტები. მაგალითად, იგივე ჰიპერბოლა ასიმპტოტით.

სასწრაფოდ მივდივართ, მოკლე ავტომატური აურზაურით შევეხოთ თემას:

რამდენი ასიმპტოტი შეიძლება ჰქონდეს ფუნქციის გრაფიკს?

არცერთი, ერთი, ორი, სამი... ან უსასრულო რიცხვი. მაგალითებზე შორს არ წავალთ, გავიხსენებთ ელემენტარული ფუნქციები. პარაბოლას, კუბურ პარაბოლას, სინუსოიდს საერთოდ არ აქვთ ასიმპტომები. ექსპონენციალური, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკს აქვს ერთი ასიმპტოტი. არქტანგენტს, რკოტანგენტს აქვს ორი მათგანი, ხოლო ტანგენტს, კოტანგენტს აქვს უსასრულო რიცხვი. არც ისე იშვიათია, როდესაც გრაფიკს აქვს ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ასიმპტოტები. ჰიპერბოლა, ყოველთვის მეყვარები.

Რას ნიშნავს ?

ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტები

გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი ჩვეულებრივ უსასრულობის წერტილშიფუნქციები. ეს მარტივია: თუ ფუნქცია გარკვეულ მომენტში განიცდის უსასრულო შესვენებას, მაშინ განტოლებით მოცემული სწორი ხაზი არის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი.

შენიშვნა : გაითვალისწინეთ, რომ აღნიშვნა გამოიყენება ორი სრულიად განსხვავებული ცნების მიმართ. წერტილი იგულისხმება ან სწორი ხაზის განტოლება - დამოკიდებულია კონტექსტზე.

ამრიგად, ვერტიკალური ასიმპტოტის არსებობის დასადგენად წერტილში, საკმარისია ამის ჩვენება ერთი მაინცცალმხრივი საზღვრებიდან გაუთავებელი. ყველაზე ხშირად, ეს ის წერტილია, სადაც ფუნქციის მნიშვნელი ნულის ტოლია. ფაქტობრივად, გაკვეთილის ბოლო მაგალითებში უკვე ვიპოვეთ ვერტიკალური ასიმპტოტები. ფუნქციის უწყვეტობაზე. მაგრამ ზოგ შემთხვევაში არსებობს მხოლოდ ერთი ცალმხრივი ზღვარი, და თუ ის უსასრულოა, მაშინ ისევ - გიყვარდეთ და ემხრობოდეთ ვერტიკალურ ასიმპტოტს. უმარტივესი ილუსტრაცია: და y-ღერძი (იხ. ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები).

ზემოაღნიშნულიდან აშკარა ფაქტიც გამოდის: თუ ფუნქცია უწყვეტია, მაშინ არ არსებობს ვერტიკალური ასიმპტოტები. რატომღაც პარაბოლა გამახსენდა. მართლაც, სად შეიძლება აქ სწორი ხაზის „გამაგრება“? ... დიახ ... მესმის ... ბიძა ფროიდის მიმდევრები ისტერიკაში ჩაეყარნენ =)

საპირისპირო განცხადება ზოგადად არ არის ჭეშმარიტი: მაგალითად, ფუნქცია არ არის განსაზღვრული მთელ რეალურ ხაზზე, მაგრამ ის მთლიანად მოკლებულია ასიმპტოტებს.

ფუნქციის გრაფიკის ირიბი ასიმპტოტები

დახრილი (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - ჰორიზონტალური) ასიმპტოტები შეიძლება იყოს დახატული, თუ ფუნქციის არგუმენტი მიდრეკილია "პლუს უსასრულობის" ან "მინუს უსასრულობისკენ". Ამიტომაც ფუნქციის გრაფიკს არ შეიძლება ჰქონდეს ორზე მეტი ირიბი ასიმპტოტი. მაგალითად, ექსპონენციური ფუნქციის გრაფიკს აქვს ერთი ჰორიზონტალური ასიმპტოტი at-ზე, ხოლო რკალის ტანგენტის გრაფიკს აქვს ორი ასეთი ასიმპტოტი და განსხვავებული.

როდესაც გრაფიკი აქეთ-იქით უახლოვდება ერთადერთ ირიბ ასიმპტოტას, მაშინ ჩვეულებრივია „უსასრულობების“ გაერთიანება ერთი ჩანაწერის ქვეშ. მაგალითად, ... თქვენ სწორად გამოიცანით: .

ზოგადი წესი:

თუ არის ორი საბოლოოზღვარი , მაშინ სწორი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკის ირიბი ასიმპტოტი at. თუ ერთი მაინცზემოაღნიშნული საზღვრები უსასრულოა, მაშინ არ არსებობს ირიბი ასიმპტოტი.

შენიშვნა : ფორმულები ძალაში რჩება, თუ "x" მიდრეკილია მხოლოდ "პლუს უსასრულობისკენ" ან მხოლოდ "მინუს უსასრულობისკენ".

მოდით ვაჩვენოთ, რომ პარაბოლას არ აქვს ირიბი ასიმპტოტები:

ზღვარი უსასრულოა, ამიტომ არ არსებობს ირიბი ასიმპტოტა. გაითვალისწინეთ, რომ ლიმიტის პოვნაში აღარ არის საჭირო, რადგან პასუხი უკვე მიღებულია.

შენიშვნა : თუ გაგიჭირდებათ (ან გექნებათ) პლიუს-მინუს, მინუს-პლუს ნიშნების გაგება, გთხოვთ იხილოთ დახმარება გაკვეთილის დასაწყისში.
უსასრულოდ მცირე ფუნქციების შესახებ, სადაც მე ვუთხარი, თუ როგორ უნდა სწორად ინტერპრეტაცია ეს ნიშნები.

აშკარაა, რომ მე-4 და უმაღლესი ხარისხის ნებისმიერ კვადრატულ, კუბურ ფუნქციას, პოლინომს ასევე არ აქვს ირიბი ასიმპტოტები.

ახლა კი დავრწმუნდეთ, რომ გრაფიკს ასევე არ აქვს ირიბი ასიმპტოტი. გაურკვევლობის გამოსავლენად ვიყენებთ L'Hopital-ის წესი:
, რომელიც გადამოწმებული იყო.

თუმცა, როდესაც ფუნქცია განუსაზღვრელი ვადით იზრდება, არ არსებობს ისეთი სწორი ხაზი, რომელსაც მისი გრაფიკი მიუახლოვდება უსასრულოდ ახლოს.

გადავიდეთ გაკვეთილის პრაქტიკულ ნაწილზე:

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები?

ასე ყალიბდება ტიპიური დავალება და ის გულისხმობს გრაფის ყველა ასიმპტოტის მოძიებას (ვერტიკალური, ირიბი / ჰორიზონტალური). თუმცა, უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ კითხვის ფორმულირებაში, ჩვენ ვსაუბრობთ კვლევაზე ასიმპტოტების არსებობისთვის (ბოლოს და ბოლოს, შეიძლება საერთოდ არ იყოს). დავიწყოთ რაღაც მარტივით:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

გამოსავალიმოსახერხებელია მისი გაყოფა ორ პუნქტად:

1) ჯერ ვამოწმებთ არის თუ არა ვერტიკალური ასიმპტოტები. მნიშვნელი ქრება ზე და მაშინვე ცხადია, რომ ამ დროს ფუნქცია ზარალდება გაუთავებელი უფსკრული, ხოლო განტოლებით მოცემული სწორი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი . მაგრამ ასეთი დასკვნის გაკეთებამდე აუცილებელია ცალმხრივი საზღვრების პოვნა:

შეგახსენებთ გაანგარიშების ტექნიკას, რომელზეც ასევე ვისაუბრე სტატიაში ფუნქციის უწყვეტობა. შესვენების წერტილები. ზღვრული ნიშნის ქვეშ გამოსახულებაში „x“-ის ნაცვლად ვცვლით . მრიცხველში არაფერია საინტერესო:
.

მაგრამ მნიშვნელში გამოდის უსასრულო უარყოფითი რიცხვი:
, ის განსაზღვრავს ლიმიტის ბედს.

მარცხენა ლიმიტი უსასრულოა და, პრინციპში, ვერტიკალური ასიმპტოტის არსებობის შესახებ განაჩენის გამოტანა უკვე შესაძლებელია. მაგრამ ცალმხრივი საზღვრები საჭიროა არა მხოლოდ ამისათვის - ისინი გვეხმარებიან გაგებაში, ᲠᲝᲒᲝᲠფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს და დახაზეთ იგი სწორად. ამიტომ, ჩვენ ასევე უნდა გამოვთვალოთ მარჯვენა ლიმიტი:

დასკვნა: ცალმხრივი ზღვრები უსასრულოა, რაც ნიშნავს, რომ წრფე არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტა.

პირველი ლიმიტი სასრული, რაც ნიშნავს, რომ აუცილებელია „საუბრის გაგრძელება“ და მეორე ლიმიტის პოვნა:

მეორე ლიმიტიც სასრული.

ასე რომ, ჩვენი ასიმპტოტი არის:

დასკვნა: განტოლებით მოცემული სწორი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

ჰორიზონტალური ასიმპტოტის საპოვნელად
შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამარტივებული ფორმულა:

თუ არსებობს სასრულილიმიტი , მაშინ წრფე არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი at .

ადვილი მისახვედრია ფუნქციის მრიცხველი და მნიშვნელი ზრდის ერთი რიგი, რაც ნიშნავს, რომ სასურველი ლიმიტი იქნება სასრული:

უპასუხე:

პირობის მიხედვით, არ არის აუცილებელი ნახატის დასრულება, მაგრამ თუ გაჩაღდა ფუნქციის კვლევა, შემდეგ პროექტზე ჩვენ დაუყოვნებლივ ვაკეთებთ ესკიზს:

ნაპოვნი სამი ლიმიტის საფუძველზე, შეეცადეთ დამოუკიდებლად გაარკვიოთ, როგორ შეიძლება განთავსდეს ფუნქციის გრაფიკი. Საკმაოდ რთული? იპოვეთ 5-6-7-8 ქულა და მონიშნეთ ნახაზზე. თუმცა, ამ ფუნქციის გრაფიკი აგებულია გამოყენებით ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკის გარდაქმნებიდა მკითხველები, რომლებმაც ყურადღებით შეისწავლეს ამ სტატიის მაგალითი 21, ადვილად გამოიცნობენ, რა სახის მრუდია ეს.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. პროცესი, შეგახსენებთ, მოხერხებულად იყოფა ორ პუნქტად - ვერტიკალური ასიმპტოტები და ირიბი ასიმპტოტები. ნიმუშის ხსნარში ჰორიზონტალური ასიმპტოტი გვხვდება გამარტივებული სქემის გამოყენებით.

პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გვხვდება წილად-რაციონალური ფუნქციები და ჰიპერბოლებზე ვარჯიშის შემდეგ დავალებას გავართულებთ:

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

გამოსავალი: ერთი, ორი და დასრულებული:

1) ნაპოვნია ვერტიკალური ასიმპტოტები უსასრულო შეწყვეტის წერტილებში, ასე რომ თქვენ უნდა შეამოწმოთ თუ მნიშვნელი ნულამდე მიდის. ჩვენ გადავწყვეტთ კვადრატული განტოლება:

დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი და სამუშაო მნიშვნელოვნად ემატება =)

ცალმხრივი ზღვრების შემდგომი პოვნის მიზნით, მოსახერხებელია კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირება:
(კომპაქტური აღნიშვნებისთვის, "მინუსი" იყო შემოღებული პირველ ფრჩხილში). უსაფრთხოების ქსელისთვის, ჩვენ შევამოწმებთ, გონებრივად ან ნახაზზე, გავხსნით ფრჩხილებს.

გადავიწეროთ ფუნქცია ფორმაში

იპოვეთ ცალმხრივი ლიმიტები წერტილში:

და წერტილში:

ამრიგად, სწორი ხაზები განსახილველი ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტებია.

2) თუ დააკვირდებით ფუნქციას , მაშინ სავსებით აშკარაა, რომ ზღვარი იქნება სასრული და გვაქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტა. მოკლედ ვაჩვენოთ:

ამრიგად, სწორი ხაზი (აბსციზა) არის ამ ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

უპასუხე:

ნაპოვნი ლიმიტები და ასიმპტოტები იძლევა უამრავ ინფორმაციას ფუნქციის გრაფიკის შესახებ. შეეცადეთ გონებრივად წარმოიდგინოთ ნახატი შემდეგი ფაქტების გათვალისწინებით:

დახაზეთ გრაფიკის თქვენი ვერსია მონახაზზე.

რა თქმა უნდა, ნაპოვნი ლიმიტები ცალსახად არ განსაზღვრავს გრაფიკის ტიპს და შეიძლება შეცდომა დაუშვათ, მაგრამ თავად ვარჯიში ფასდაუდებელ დახმარებას მოგცემთ. სრული ფუნქციის შესწავლა. სწორი სურათი არის გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

ეს არის ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად. ორივე გრაფიკს კვლავ აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტები, რომლებიც დაუყოვნებლივ გამოვლენილია შემდეგი მახასიათებლებით: მაგალითში 4 ზრდის ბრძანებამნიშვნელი მეტივიდრე მრიცხველის ზრდის რიგი და მე-5 მაგალითში მრიცხველი და მნიშვნელი ზრდის ერთი რიგი. ნიმუშის ხსნარში, პირველი ფუნქცია გამოკვლეულია ირიბი ასიმპტოტების არსებობისთვის სრულად, ხოლო მეორე - ლიმიტის გავლით.

ჰორიზონტალური ასიმპტოტები, ჩემი სუბიექტური შთაბეჭდილებით, შესამჩნევად უფრო ხშირია, ვიდრე „ნამდვილად დახრილი“. დიდი ხნის ნანატრი ზოგადი შემთხვევა:

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

გამოსავალი: ჟანრის კლასიკა:

1) ვინაიდან მნიშვნელი დადებითია, ფუნქცია უწყვეტიმთელ რიცხვთა ხაზზე და არ არის ვერტიკალური ასიმპტოტები. …კარგია? არ არის სწორი სიტყვა - შესანიშნავი! პუნქტი #1 დახურულია.

2) შეამოწმეთ ირიბი ასიმპტოტების არსებობა:

პირველი ლიმიტი სასრული, ასე რომ, მოდით გადავიდეთ. მეორე ლიმიტის გაანგარიშებისას აღმოფხვრა გაურკვევლობა "უსასრულობა მინუს უსასრულობა"ჩვენ მივყავართ გამოთქმას საერთო მნიშვნელთან:

მეორე ლიმიტიც სასრულიმაშასადამე, განსახილველი ფუნქციის გრაფიკს აქვს ირიბი ასიმპტოტი:

დასკვნა:

ამრიგად, ფუნქციის გრაფიკისთვის უსასრულოდ ახლოსუახლოვდება სწორ ხაზს:

გაითვალისწინეთ, რომ ის კვეთს თავის ირიბ ასიმპტოტას საწყისთან და ასეთი გადაკვეთის წერტილები საკმაოდ მისაღებია - მნიშვნელოვანია, რომ "ყველაფერი ნორმალურია" უსასრულობაში (სინამდვილეში, სწორედ იქ ასიმპტოტებზეა საუბარი).

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

გამოსავალი: ბევრი არაფერია კომენტარის გაკეთება, ამიტომ მე შევადგენ საბოლოო ამოხსნის სავარაუდო ნიმუშს:

1) ვერტიკალური ასიმპტოტები. მოდით გამოვიკვლიოთ წერტილი.

სწორი ხაზი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი ნაკვეთისთვის.

2) ირიბი ასიმპტოტები:

სწორი ხაზი არის ირიბი ასიმპტოტი გრაფიკისთვის.

უპასუხე:

ნაპოვნი ცალმხრივი ლიმიტები და ასიმპტოტები საშუალებას გვაძლევს მაღალი დარწმუნებით ვივარაუდოთ, როგორ გამოიყურება ამ ფუნქციის გრაფიკი. სწორი ნახატი გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, ზოგიერთი ლიმიტის გამოთვლის მოხერხებულობისთვის, შეგიძლიათ მრიცხველი გაყოთ მნიშვნელის ტერმინით. და ისევ, შედეგების გაანალიზებით, შეეცადეთ დახატოთ ამ ფუნქციის გრაფიკი.

ცხადია, „რეალური“ ირიბი ასიმპტოტების მფლობელები არიან იმ წილად-რაციონალური ფუნქციების გრაფიკები, რომლებისთვისაც მრიცხველის უმაღლესი ხარისხია. კიდევ ერთიმნიშვნელის უმაღლესი ხარისხი. თუ მეტია, არ იქნება ირიბი ასიმპტოტა (მაგალითად, ).

მაგრამ სხვა სასწაულები ხდება ცხოვრებაში:

მაგალითი 9

მაგალითი 11

შეისწავლეთ ფუნქციის გრაფიკი ასიმპტოტებისთვის

გამოსავალი: აშკარაა მაშასადამე, განვიხილავთ მხოლოდ მარჯვენა ნახევარ სიბრტყეს, სადაც არის ფუნქციის გრაფიკი.

ამრიგად, სწორი ხაზი (y-ღერძი) არის ვერტიკალური ასიმპტოტი ფუნქციის გრაფიკისთვის.

2) ირიბი ასიმპტოტის შესწავლა შეიძლება განხორციელდეს სრული სქემის მიხედვით, მაგრამ სტატიაში L'Hospital-ის წესებიჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ უფრო მაღალი რიგის ზრდის წრფივი ფუნქცია, ვიდრე ლოგარითმული, შესაბამისად: (იხილეთ იგივე გაკვეთილის მაგალითი 1).

დასკვნა: აბსცისის ღერძი არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

უპასუხე:
თუ ;
, თუ .

ნახაზი სიცხადისთვის:

საინტერესოა, რომ ერთი შეხედვით მსგავს ფუნქციას საერთოდ არ აქვს ასიმპტოტები (მათ მსურველებს შეუძლიათ ამის შემოწმება).

ორი საბოლოო თვითშესწავლის მაგალითი:

მაგალითი 12

შეისწავლეთ ფუნქციის გრაფიკი ასიმპტოტებისთვის

ასე ყალიბდება ტიპიური დავალება და ის გულისხმობს გრაფის ყველა ასიმპტოტის მოძიებას (ვერტიკალური, ირიბი / ჰორიზონტალური). თუმცა, უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ კითხვის ფორმულირებაში, ჩვენ ვსაუბრობთ კვლევაზე ასიმპტოტების არსებობისთვის (ბოლოს და ბოლოს, შეიძლება საერთოდ არ იყოს).

დავიწყოთ რაღაც მარტივით:

მაგალითი 1

გამოსავალი მოსახერხებელია მისი გაყოფა ორ პუნქტად:

1) ჯერ ვამოწმებთ არის თუ არა ვერტიკალური ასიმპტოტები. მნიშვნელი ქრება ზე და მაშინვე ცხადია, რომ ამ დროს ფუნქცია ზარალდება გაუთავებელი უფსკრული, ხოლო განტოლებით მოცემული სწორი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი . მაგრამ ასეთი დასკვნის გაკეთებამდე აუცილებელია ცალმხრივი საზღვრების პოვნა:

შეგახსენებთ გაანგარიშების ტექნიკას, რომელზეც ასევე ვისაუბრე სტატიაში ფუნქციის უწყვეტობა. შესვენების წერტილები. ზღვრული ნიშნის ქვეშ გამოსახულებაში „x“-ის ნაცვლად ვცვლით . მრიცხველში არაფერია საინტერესო:
.

მაგრამ მნიშვნელში გამოდის უსასრულო უარყოფითი რიცხვი:
, ის განსაზღვრავს ლიმიტის ბედს.

მარცხენა ლიმიტი უსასრულოა და, პრინციპში, ვერტიკალური ასიმპტოტის არსებობის შესახებ განაჩენის გამოტანა უკვე შესაძლებელია. მაგრამ ცალმხრივი საზღვრები საჭიროა არა მხოლოდ ამისათვის - ისინი ხელს უწყობენ გაგებას ᲠᲝᲒᲝᲠფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს და დახაზეთ იგი სწორად. ამიტომ, ჩვენ ასევე უნდა გამოვთვალოთ მარჯვენა ლიმიტი:

დასკვნა: ცალმხრივი ზღვრები უსასრულოა, რაც ნიშნავს, რომ წრფე არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტა.

პირველი ლიმიტი სასრული, რაც ნიშნავს, რომ აუცილებელია „საუბრის გაგრძელება“ და მეორე ლიმიტის პოვნა:

მეორე ლიმიტიც სასრული.

ასე რომ, ჩვენი ასიმპტოტი არის:

დასკვნა: განტოლებით მოცემული სწორი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

ჰორიზონტალური ასიმპტოტის საპოვნელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამარტივებული ფორმულა:

თუ არსებობს სასრული ზღვარი, მაშინ წრფე არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

ადვილი მისახვედრია ფუნქციის მრიცხველი და მნიშვნელი ზრდის ერთი რიგი, რაც ნიშნავს, რომ სასურველი ლიმიტი იქნება სასრული:

უპასუხე:

პირობის მიხედვით, არ არის აუცილებელი ნახატის დასრულება, მაგრამ თუ გაჩაღდა ფუნქციის კვლევა, შემდეგ პროექტზე ჩვენ დაუყოვნებლივ ვაკეთებთ ესკიზს:

ნაპოვნი სამი ლიმიტის საფუძველზე, შეეცადეთ დამოუკიდებლად გაარკვიოთ, როგორ შეიძლება განთავსდეს ფუნქციის გრაფიკი. Საკმაოდ რთული? იპოვეთ 5-6-7-8 ქულა და მონიშნეთ ნახაზზე. თუმცა, ამ ფუნქციის გრაფიკი აგებულია გამოყენებით ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკის გარდაქმნებიდა მკითხველები, რომლებმაც ყურადღებით შეისწავლეს ამ სტატიის მაგალითი 21, ადვილად გამოიცნობენ, რა სახის მრუდია ეს.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. პროცესი, შეგახსენებთ, მოხერხებულად იყოფა ორ პუნქტად - ვერტიკალური ასიმპტოტები და ირიბი ასიმპტოტები. ნიმუშის ხსნარში ჰორიზონტალური ასიმპტოტი გვხვდება გამარტივებული სქემის გამოყენებით.

პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გვხვდება წილად-რაციონალური ფუნქციები და ჰიპერბოლებზე ვარჯიშის შემდეგ დავალებას გავართულებთ:

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

გამოსავალი: ერთი, ორი და დასრულებული:

1) ნაპოვნია ვერტიკალური ასიმპტოტები უსასრულო შეწყვეტის წერტილებში, ასე რომ თქვენ უნდა შეამოწმოთ თუ მნიშვნელი ნულამდე მიდის. ჩვენ გადავწყვეტთ კვადრატული განტოლება :

დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი და სამუშაო მნიშვნელოვნად ემატება =)

ცალმხრივი ზღვრების შემდგომი პოვნის მიზნით, მოსახერხებელია კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირება:
(კომპაქტური აღნიშვნებისთვის, "მინუსი" იყო შემოღებული პირველ ფრჩხილში). უსაფრთხოების ქსელისთვის, ჩვენ შევამოწმებთ, გონებრივად ან ნახაზზე, გავხსნით ფრჩხილებს.

გადავიწეროთ ფუნქცია ფორმაში

იპოვეთ ცალმხრივი ლიმიტები წერტილში:

და წერტილში:

ამრიგად, სწორი ხაზები განსახილველი ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტებია.

2) თუ დააკვირდებით ფუნქციას , მაშინ სავსებით აშკარაა, რომ ზღვარი იქნება სასრული და გვაქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტა. მოკლედ ვაჩვენოთ:

ამრიგად, სწორი ხაზი (აბსციზა) არის ამ ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

უპასუხე:

ნაპოვნი ლიმიტები და ასიმპტოტები იძლევა უამრავ ინფორმაციას ფუნქციის გრაფიკის შესახებ. შეეცადეთ გონებრივად წარმოიდგინოთ ნახატი შემდეგი ფაქტების გათვალისწინებით:

დახაზეთ გრაფიკის თქვენი ვერსია მონახაზზე.

რა თქმა უნდა, ნაპოვნი ლიმიტები ცალსახად არ განსაზღვრავს გრაფიკის ტიპს და შეიძლება შეცდომა დაუშვათ, მაგრამ თავად ვარჯიში ფასდაუდებელ დახმარებას მოგცემთ. სრული ფუნქციის შესწავლა. სწორი სურათი არის გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

ეს არის ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად. ორივე გრაფიკს კვლავ აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტები, რომლებიც დაუყოვნებლივ გამოვლენილია შემდეგი მახასიათებლებით: მაგალითში 4 ზრდის ბრძანებამნიშვნელი აღემატება მრიცხველის ზრდის რიგს, ხოლო მაგალით 5-ში მრიცხველი და მნიშვნელი ზრდის ერთი რიგი. ნიმუშის ხსნარში, პირველი ფუნქცია გამოკვლეულია ირიბი ასიმპტოტების არსებობისთვის სრულად, ხოლო მეორე - ლიმიტის გავლით.

ჰორიზონტალური ასიმპტოტები, ჩემი სუბიექტური შთაბეჭდილებით, შესამჩნევად უფრო ხშირია, ვიდრე „ნამდვილად დახრილი“. დიდი ხნის ნანატრი ზოგადი შემთხვევა:

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

გამოსავალი: ჟანრის კლასიკა:

1) ვინაიდან მნიშვნელი დადებითია, ფუნქცია უწყვეტიმთელ რიცხვთა ხაზზე და არ არის ვერტიკალური ასიმპტოტები. …კარგია? არ არის სწორი სიტყვა - შესანიშნავი! პუნქტი #1 დახურულია.

2) შეამოწმეთ ირიბი ასიმპტოტების არსებობა:

პირველი ლიმიტი სასრული, ასე რომ, მოდით გადავიდეთ. მეორე ლიმიტის გაანგარიშებისას აღმოფხვრა გაურკვევლობა "უსასრულობა მინუს უსასრულობა"ჩვენ მივყავართ გამოთქმას საერთო მნიშვნელთან:

მეორე ლიმიტიც სასრულიმაშასადამე, განსახილველი ფუნქციის გრაფიკს აქვს ირიბი ასიმპტოტი:

დასკვნა:

ამრიგად, ფუნქციის გრაფიკისთვის უსასრულოდ ახლოსუახლოვდება სწორ ხაზს:

გაითვალისწინეთ, რომ იგი კვეთს თავის ირიბ ასიმპტოტს საწყისზე და ასეთი გადაკვეთის წერტილები საკმაოდ მისაღებია - მნიშვნელოვანია, რომ "ყველაფერი ნორმალურია" უსასრულობაში (სინამდვილეში, სწორედ იქ დგება ასიმპტოტების განხილვა).

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

გამოსავალი: ბევრი არაფერია კომენტარის გაკეთება, ამიტომ მე შევადგენ საბოლოო ამოხსნის სავარაუდო ნიმუშს:

1) ვერტიკალური ასიმპტოტები. მოდით გამოვიკვლიოთ წერტილი.

სწორი ხაზი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი ნაკვეთისთვის.

2) ირიბი ასიმპტოტები:

სწორი ხაზი არის ირიბი ასიმპტოტი გრაფიკისთვის.

უპასუხე:

ნაპოვნი ცალმხრივი ლიმიტები და ასიმპტოტები საშუალებას გვაძლევს მაღალი დარწმუნებით ვივარაუდოთ, როგორ გამოიყურება ამ ფუნქციის გრაფიკი. სწორი ნახატი გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, ზოგიერთი ლიმიტის გამოთვლის მოხერხებულობისთვის, შეგიძლიათ მრიცხველი გაყოთ მნიშვნელის ტერმინით. და ისევ, შედეგების გაანალიზებით, შეეცადეთ დახატოთ ამ ფუნქციის გრაფიკი.

ცხადია, „რეალური“ ირიბი ასიმპტოტების მფლობელები არიან იმ წილად-რაციონალური ფუნქციების გრაფიკები, რომლებისთვისაც მრიცხველის უმაღლესი ხარისხია. კიდევ ერთიმნიშვნელის უმაღლესი ხარისხი. თუ მეტია, არ იქნება ირიბი ასიმპტოტა (მაგალითად, ).

მაგრამ სხვა სასწაულები ხდება ცხოვრებაში:

მაგალითი 9

გამოსავალი: ფუნქცია უწყვეტიმთელ რიცხვთა ხაზზე, რაც ნიშნავს, რომ ვერტიკალური ასიმპტოტები არ არის. მაგრამ შეიძლება იყოს ფერდობები. ჩვენ ვამოწმებთ:

მახსოვს, როგორ შემხვდა მსგავსი ფუნქცია უნივერსიტეტში და უბრალოდ ვერ დავიჯერე, რომ მას აქვს ირიბი ასიმპტოტი. სანამ არ გამოვთვალე მეორე ლიმიტი:

მკაცრად რომ ვთქვათ, აქ ორი გაურკვევლობაა: და, მაგრამ ასე თუ ისე, თქვენ უნდა გამოიყენოთ გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც განხილულია სტატიის 5-6 მაგალითებში. გაზრდილი სირთულის საზღვრების შესახებ. გაამრავლეთ და გაყავით კონიუგატური გამოსახულებით ფორმულის გამოსაყენებლად:

უპასუხე:

ალბათ ყველაზე პოპულარული ირიბი ასიმპტოტი.

აქამდე უსასრულობა ახერხებდა „იგივე ფუნჯით ამოჭრას“, მაგრამ ხდება ისე, რომ ფუნქციის გრაფიკი ორი განსხვავებულიირიბი ასიმპტოტები და ამისთვის:

მაგალითი 10

შეისწავლეთ ფუნქციის გრაფიკი ასიმპტოტებისთვის

გამოსავალი: ძირეული გამოხატულება დადებითია, რაც ნიშნავს დომენი- ნებისმიერი რეალური რიცხვი და არ შეიძლება იყოს ვერტიკალური ჩხირები.

მოდით შევამოწმოთ, არსებობს თუ არა ირიბი ასიმპტოტები.

თუ "x" მიდრეკილია "მინუს უსასრულობისკენ", მაშინ:
(კვადრატული ფესვის ქვეშ "x"-ის შეყვანისას, თქვენ უნდა დაამატოთ "მინუს" ნიშანი, რათა არ დაკარგოთ უარყოფითი მნიშვნელი)

ეს უჩვეულოდ გამოიყურება, მაგრამ აქ გაურკვევლობა არის „უსასრულობა მინუს უსასრულობა“. გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი მიმდებარე გამოსახულებით:

ამრიგად, სწორი ხაზი არის გრაფიკის ირიბი ასიმპტოტი ზე.

"პლუს უსასრულობით" ყველაფერი უფრო ტრივიალურია:

და სწორი ხაზი - ზე.

უპასუხე:

თუ ;
, თუ .

მე ვერ ვეწინააღმდეგები გრაფიკულ სურათს:


ეს არის ერთ-ერთი ფილიალი ჰიპერბოლა .

იშვიათი არაა, როდესაც ასიმპტოტების პოტენციური არსებობა თავდაპირველად შეზღუდულია ფუნქციის ფარგლები:

მაგალითი 11

შეისწავლეთ ფუნქციის გრაფიკი ასიმპტოტებისთვის

გამოსავალი: აშკარაა მაშასადამე, განვიხილავთ მხოლოდ მარჯვენა ნახევარ სიბრტყეს, სადაც არის ფუნქციის გრაფიკი.

1) ფუნქცია უწყვეტიინტერვალზე, რაც ნიშნავს, რომ თუ ვერტიკალური ასიმპტოტი არსებობს, მაშინ ის შეიძლება იყოს მხოლოდ y-ღერძი. ჩვენ ვსწავლობთ ფუნქციის ქცევას წერტილთან ახლოს მარჯვნივ:

Შენიშვნა, აქ გაურკვევლობა არ არის(ასეთ შემთხვევებზე ყურადღება გამახვილდა სტატიის დასაწყისში ლიმიტის გადაწყვეტის მეთოდები).

ამრიგად, სწორი ხაზი (y-ღერძი) არის ვერტიკალური ასიმპტოტი ფუნქციის გრაფიკისთვის.

2) ირიბი ასიმპტოტის შესწავლა შეიძლება განხორციელდეს სრული სქემის მიხედვით, მაგრამ სტატიაში ლოპიტალის წესებიჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ უფრო მაღალი რიგის ზრდის წრფივი ფუნქცია, ვიდრე ლოგარითმული, შესაბამისად: (იხილეთ იგივე გაკვეთილის მაგალითი 1).

დასკვნა: აბსცისის ღერძი არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

უპასუხე:

თუ ;
, თუ .

ნახაზი სიცხადისთვის:

საინტერესოა, რომ ერთი შეხედვით მსგავს ფუნქციას საერთოდ არ აქვს ასიმპტოტები (მათ მსურველებს შეუძლიათ ამის შემოწმება).

ორი საბოლოო თვითშესწავლის მაგალითი:

მაგალითი 12

შეისწავლეთ ფუნქციის გრაფიკი ასიმპტოტებისთვის

ვერტიკალური ასიმპტოტების შესამოწმებლად, ჯერ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის ფარგლებიდა შემდეგ გამოთვალეთ ცალმხრივი ლიმიტების წყვილი "საეჭვო" წერტილებზე. ირიბი ასიმპტოტები ასევე არ არის გამორიცხული, რადგან ფუნქცია განისაზღვრება "პლუს" და "მინუს" უსასრულობაზე.

მაგალითი 13

შეისწავლეთ ფუნქციის გრაფიკი ასიმპტოტებისთვის

და აქ შეიძლება იყოს მხოლოდ ირიბი ასიმპტოტები და მიმართულებები ცალკე უნდა განიხილებოდეს.

იმედია იპოვე სწორი ასიმპტოტა =)

Წარმატებას გისურვებ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2:გამოსავალი :
. მოდი ვიპოვოთ ცალმხრივი საზღვრები:

პირდაპირ არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი at .
2) ირიბი ასიმპტოტები.

პირდაპირ .
უპასუხე:

ნახატი მაგალითზე 3:

მაგალითი 4:გამოსავალი :
1) ვერტიკალური ასიმპტოტები. ფუნქცია განიცდის უსასრულო შესვენებას ერთ წერტილში . მოდით გამოვთვალოთ ცალმხრივი ლიმიტები:

შენიშვნა: უსასრულოდ მცირე უარყოფითი რიცხვი ლუწი ხარისხზე უდრის უსასრულო დადებით რიცხვს: .

პირდაპირ არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი.
2) ირიბი ასიმპტოტები.


პირდაპირ (აბსცისა) არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი at .
უპასუხე: