მათემატიკური სტატისტიკა და მისი მეთოდები. მათემატიკური სტატისტიკა სხვადასხვა დარგის სპეციალისტებისთვის. ვიბორკას ვარიაციის სერიას აქვს ფორმა

მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდები

1. შესავალი

მათემატიკური სტატისტიკა არის მეცნიერება, რომელიც შეიმუშავებს ექსპერიმენტული მონაცემების მიღების, აღწერისა და დამუშავების მეთოდებს, შემთხვევითი მასობრივი მოვლენების ნიმუშების შესწავლის მიზნით.

მათემატიკურ სტატისტიკაში შეიძლება გამოიყოს ორი მიმართულება: აღწერითი სტატისტიკა და ინდუქციური სტატისტიკა (სტატისტიკური დასკვნა). აღწერითი სტატისტიკა ეხება ექსპერიმენტული მონაცემების დაგროვებას, სისტემატიზაციას და მოსახერხებელი ფორმით წარმოდგენას. ინდუქციური სტატისტიკური მონაცემები ამ მონაცემებზე დაყრდნობით საშუალებას იძლევა გარკვეული დასკვნები გამოიტანოს იმ ობიექტების შესახებ, რომელთა შესახებ აგროვებენ მონაცემებს, ან მათი პარამეტრების შეფასებას.

მათემატიკური სტატისტიკის ტიპიური მიმართულებებია:

1) შერჩევის თეორია;

2) შეფასების თეორია;

3) სტატისტიკური ჰიპოთეზების ტესტირება;

4) რეგრესიის ანალიზი;

5) ვარიაციის ანალიზი.

მათემატიკური სტატისტიკა ემყარება რიგ ძირითად ცნებებს, რომელთა გარეშე შეუძლებელია ექსპერიმენტული მონაცემების დამუშავების თანამედროვე მეთოდების შესწავლა. მათ შორის პირველს წარმოადგენს ზოგადი პოპულაციისა და ნიმუშის კონცეფცია.

მასობრივ ინდუსტრიულ წარმოებაში, ხშირად საჭიროა თითოეული წარმოებული პროდუქტის შემოწმების გარეშე დადგინდეს, შეესაბამება თუ არა პროდუქტის ხარისხი სტანდარტებს. მას შემდეგ, რაც წარმოებული პროდუქციის რაოდენობა ძალიან დიდია ან პროდუქციის შემოწმება ასოცირდება მისი გამოუყენებლობით, ხდება მცირე რაოდენობის პროდუქციის შემოწმება. ამ შემოწმების საფუძველზე უნდა გაკეთდეს დასკვნა პროდუქციის მთელ სერიაზე. რა თქმა უნდა, არ შეიძლება ითქვას, რომ ყველა ტრანზისტორი 1 მილიონი ცალიდან კარგია ან ცუდი, რომელიმე მათგანის შემოწმებით. მეორეს მხრივ, ვინაიდან ტესტირებისა და ტესტირების სინჯის აღების პროცესი შეიძლება შრომატევადი და ძვირადღირებული იყოს, პროდუქტის შემოწმების სფერო ისეთი უნდა იყოს, რომ მასში წარმოდგენილი იყოს პროდუქციის მთელი ჯგუფის საიმედო წარმოდგენა, მინიმალური ზომით. ამ მიზნით, ჩვენ გავეცნობით უამრავ ცნებას.

შესწავლილი საგნების ან ექსპერიმენტული მონაცემების მთლიან წყობას ზოგადი პოპულაცია ეწოდება. ჩვენ N- ით აღვნიშნავთ ობიექტების რაოდენობას ან მონაცემთა რაოდენობას, რომელიც ქმნის ზოგად მოსახლეობას. მნიშვნელობას N ეწოდება ზოგადი პოპულაციის მოცულობას. თუ N \u003e\u003e 1, ანუ N არის ძალიან დიდი, მაშინ ჩვეულებრივ განიხილება N \u003d.

შემთხვევითი ან უბრალოდ ნიმუში არის ზოგადი პოპულაციის ნაწილი, მისგან შემთხვევით შერჩეული. სიტყვა "შემთხვევით" ნიშნავს, რომ ზოგადი პოპულაციიდან ნებისმიერი ობიექტის არჩევის ალბათობა იგივეა. ეს მნიშვნელოვანი მოსაზრებაა, თუმცა, პრაქტიკაში ხშირად რთულია მისი გამოცდა.

ნიმუშის ზომა არის ობიექტის რაოდენობა ან მონაცემთა რაოდენობა, რომელიც ქმნის ნიმუშს და არის ნ ... შემდეგში, ჩავთვლით, რომ ნიმუშის ელემენტებს შეიძლება მიენიჭოთ, შესაბამისად, რიცხვითი მნიშვნელობები x 1, x 2, ... x n. მაგალითად, წარმოებული ბიპოლარული ტრანზისტორების ხარისხის კონტროლის პროცესში, ეს შეიძლება იყოს მათი DC მოგების გაზომვები.

2. ნიმუშის რიცხვითი მახასიათებლები

2.1 საშუალო ნიმუში

N ზომის კონკრეტული ნიმუშისთვის მისი საშუალო მნიშვნელობაა

განისაზღვრება თანაფარდობით

სადაც x i არის ნიმუშის ელემენტების მნიშვნელობა. ჩვეულებრივ, გსურთ აღწეროთ შემთხვევითი ნიმუშების სტატისტიკური თვისებები და არა ერთი მათგანი. ეს ნიშნავს, რომ განხილულია მათემატიკური მოდელი, რომელიც გულისხმობს n ზომის საკმარისად დიდ რაოდენობის ნიმუშებს. ამ შემთხვევაში, ნიმუშის ელემენტები განიხილება, როგორც შემთხვევითი ცვლადები X i, მნიშვნელობებით x i ალბათობის სიმკვრივით f (x), რაც არის ზოგადი პოპულაციის ალბათობის სიმკვრივე. მაშინ ნიმუშის საშუალო ასევე არის შემთხვევითი ცვლადი

თანაბარი

როგორც ადრე, ჩვენ აღვნიშნავთ შემთხვევით ცვლადებს დიდი ასოებით, ხოლო შემთხვევითი ცვლადების მნიშვნელობებს - მცირე ასოებით.

ზოგადი პოპულაციის საშუალო მნიშვნელობას, რომლისგანაც მზადდება ნიმუში, ეწოდება საერთო საშუალო და აღინიშნება m x- ით. შეიძლება მოსალოდნელი იყოს, რომ თუ ნიმუშის ზომა მნიშვნელოვანია, მაშინ ნიმუშის საშუალო მნიშვნელოვნად არ განსხვავდება ზოგადი საშუალოსაგან. მას შემდეგ, რაც ნიმუშის საშუალო შემთხვევითი ცვლადია, მათემატიკური მოლოდინის პოვნა შესაძლებელია მისთვის:

ამრიგად, ნიმუშის საშუალო მათემატიკური მოლოდინი ტოლია ზოგადი საშუალო. ამ შემთხვევაში, ნათქვამია, რომ ნიმუშის საშუალო არის ზოგადი საშუალო მიუკერძოებელი შეფასება. ამ ტერმინს მოგვიანებით დავუბრუნდებით. მას შემდეგ, რაც ნიმუშის საშუალო არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იცვლება ზოგადი საშუალო მაჩვენებლის გარშემო, სასურველია შეფასდეს ამ რყევების შერჩევა საშუალო ცვალებადობის გამოყენებით. განვიხილოთ ნიმუში, რომლის ზომა n მნიშვნელოვნად ნაკლებია, ვიდრე ზოგადი მოსახლეობის N (n)<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

X i და X j (i¹j) შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება ჩაითვალოს დამოუკიდებლად, შესაბამისად,

შეცვალეთ ეს შედეგი ვარიაციის ფორმულაში:

სადაც s 2 არის ზოგადი პოპულაციის ვარიაცია.

ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ნიმუშის ზომის ზრდასთან ერთად, ნიმუშის რყევების საშუალო საშუალო შემცირება ხდება s 2 / n. მოდით ამის მაგალითზე ილუსტრაციებით. მოდით იყოს შემთხვევითი სიგნალი მათემატიკური მოლოდინით და ვარიაციით, შესაბამისად, ტოლი m x \u003d 10, s 2 \u003d 9.

სიგნალის ნიმუშები აღებულია ტოლ მანძილზე t 1, t 2, ...,

X (ტ)
X 1

t 1 t 2. ... ... t n t

მას შემდეგ, რაც ნიმუშები შემთხვევითი ცვლადებია, ჩვენ აღვნიშნავთ მათ X (t 1), X (t 2),. ... ... , X (t n).

მოდით განვსაზღვროთ თვლემების რაოდენობა ისე, რომ სიგნალის მათემატიკური მოლოდინის შეფასების სტანდარტული გადახრა არ აღემატებოდეს მისი მათემატიკური მოლოდინის 1% -ს. მას შემდეგ, რაც m x \u003d 10, აუცილებელია, რომ

მეორე მხრივ, აქედან გამომდინარე, ან აქედან ვიღებთ, რომ n n 900 ნიმუშს.

2.2 ნიმუშის ვარიაცია

ნიმუშის მონაცემებისთვის მნიშვნელოვანია იცოდეთ არა მხოლოდ საშუალო ნიმუში, არამედ ნიმუშის მნიშვნელობების გავრცელება ნიმუშის საშუალო გარშემო. თუ ნიმუშის საშუალო არის საშუალო საშუალო შეფასება, მაშინ ნიმუშის ვარიაცია უნდა იყოს ზოგადი ვარიანტის შეფასება. ნიმუშის ვარიაცია

შემთხვევითი ცვლადებისგან შემდგარი ნიმუში განისაზღვრება შემდეგნაირად

ნიმუშის ვარიაციის ამ წარმოდგენის გამოყენებით ვხვდებით მის მათემატიკურ მოლოდინს

(E.P. Vrublevsky, O.E. Likhachev, L.G. Vrublevskaya)

კვლევაში გარკვეული მეთოდების გამოყენება, საბოლოოდ, ექსპერიმენტატორი მიიღებს სხვადასხვა რიცხვითი ინდიკატორების მეტ-პატარა ნაკრებებს, რომლებიც შექმნილია შესწავლილი ფენომენის დასახასიათებლად. მაგრამ მიღებული შედეგების სისტემატიზაციისა და სათანადო დამუშავების გარეშე, ფაქტების ღრმა და ყოვლისმომცველი ანალიზის გარეშე შეუძლებელია მათში ინფორმაციის მოპოვება, ნიმუშების აღმოჩენა, დასაბუთებული დასკვნების გაკეთება. ტექსტში წარმოდგენილი შედეგების მათემატიკური დამუშავების მეთოდები ყველაზე ელემენტარული და საკმაოდ ხელმისაწვდომია თითოეული სტუდენტისათვის, სადემონსტრაციო ხასიათისაა. ეს ნიშნავს, რომ მაგალითები ასახავს ამა თუ იმ მათემატიკური და სტატისტიკური მეთოდის გამოყენებას და არ იძლევა მის დეტალურ ინტერპრეტაციას.

ვარიაციის საშუალო მნიშვნელობები და ინდიკატორებიუფრო მნიშვნელოვან საკითხებზე საუბრის დაწყებამდე აუცილებელია ისეთი სტატისტიკური ცნებების გაგება, როგორიცაა ზოგადი და მოსახლეობის ნიმუში. ციფრების ჯგუფს, რომლებიც გაერთიანებულია ნებისმიერი ნიშნით, ეწოდება კრებული . ზოგიერთ ობიექტზე ჩატარებულმა დაკვირვებამ შეიძლება მოიცვას შესწავლილი მოსახლეობის ყველა წევრი, გამონაკლისის გარეშე, ან შემოიფარგლოს მხოლოდ მისი გარკვეული ნაწილის გამოკვლევით. პირველ შემთხვევაში, დაკვირვებას უწოდებენ უწყვეტი, ან სრული, მეორეში - ნაწილობრივი, ან შერჩევითი. სრული გამოკვლევა ძალიან იშვიათად ტარდება, რადგან მრავალი მიზეზის გამო ის პრაქტიკულად ან არაპრაქტიკულია, ან არაპრაქტიკული. ასე რომ, შეუძლებელია, მაგალითად, მძლეოსნობაში სპორტის ყველა ოსტატის გამოკვლევა. ამიტომ, უმეტეს შემთხვევებში, უწყვეტი დაკვირვების ნაცვლად, კვლევაში ექვემდებარება გამოკითხული პოპულაციის ზოგიერთი ნაწილი, რომლის საფუძველზეც შეფასებულია მისი მდგომარეობა მთლიანობაში.

პოპულაციას, საიდანაც მისი წევრების ნაწილი შეირჩევა ერთობლივი შესწავლისთვის, ეწოდება ზოგადი პოპულაცია, ხოლო ამ პოპულაციის ნაწილს, რომელიც ამა თუ იმ გზით არის შერჩეული, ეწოდა პოპულაციური პოპულაცია ან უბრალოდ ნიმუში. უნდა დაზუსტდეს, რომ ზოგადი მოსახლეობის ცნება ფარდობითია. ერთ შემთხვევაში, ესენი არიან სპორტსმენები, ხოლო მეორეში - ქალაქები, უნივერსიტეტები. მაგალითად, ზოგადი მოსახლეობა შეიძლება იყოს უნივერსიტეტის ყველა სტუდენტი, ხოლო ნიმუში შეიძლება იყოს ფეხბურთის სპეციალობის სტუდენტები. ობიექტების რაოდენობას ნებისმიერ პოპულაციაში ეწოდება მოცულობა (ზოგადი პოპულაციის ზომა აღინიშნება N– ით, ხოლო ნიმუშის ზომა n).

ივარაუდება, რომ სათანადო სანდოობის მქონე ნიმუში წარმოადგენს ზოგად პოპულაციას მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ელემენტები შეირჩევა ზოგადი პოპულაციიდან არა ტენდენციური წესით. ამის გაკეთების რამდენიმე გზა არსებობს: ნიმუშის შერჩევა შემთხვევითი რიცხვების ცხრილის შესაბამისად, ზოგადი პოპულაციის დაყოფა არაფარად გადახურულ ჯგუფებად, როდესაც თითოეულიდან შერჩეულია ობიექტების გარკვეული რაოდენობა და ა.შ.

რაც შეეხება ნიმუშის ზომას, მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი დებულებების შესაბამისად, ნიმუში უფრო წარმომადგენლობითია (უფრო წარმომადგენლობითია), მით უფრო სრულყოფილია ის. მკვლევარი, რომელიც ცდილობს თავისი შრომის მომგებიანობას, დაინტერესებულია მინიმალური ნიმუშის ზომით და ასეთ სიტუაციაში ნიმუში შერჩეული ობიექტების რაოდენობა კომპრომისული გადაწყვეტის შედეგია. იმის ცოდნა, თუ რამდენად არის ნიმუში საკმარისად საიმედო ზოგადი მოსახლეობის წარმოსადგენად, საჭიროა განისაზღვროს მთელი რიგი ინდიკატორები (პარამეტრები).

არითმეტიკული საშუალო გამოთვლანიმუშის არითმეტიკული საშუალო ახასიათებს შესწავლილი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების საშუალო დონეს დაკვირვებულ შემთხვევებში და გამოითვლება შესწავლილი ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობების ჯამის დაყოფით დაკვირვების საერთო რაოდენობაზე:

, (1)

სადაც x მე - მწკრივის ვარიანტი;

n არის მოსახლეობის მოცულობა.

თანხა Σ გამოიყენება იმ მონაცემების ჯამების აღსანიშნავად, რომლებიც მისგან მარჯვნივ მდებარეობს. ქვედა და ზედა ინდექსები Σ მიუთითებს რა რიცხვში უნდა დაიწყოს დამატება და რა ინდიკატორებით უნდა დასრულდეს იგი. ამრიგად, ნიშნავს, რომ აუცილებელია ყველა x- ს დაემატოს რიგითი რიცხვები 1-დან პ... ნიშანი აჩვენებს ყველა x– ს ჯამს პირველიდან ბოლო მაჩვენებლამდე.

ამრიგად, ფორმულის (1) გამოყენებით გამოთვლები ითვალისწინებს შემდეგ პროცედურას:

1. ჯამში მიღებული x i, ანუ,

2. ნაპოვნი თანხა - დაყოფილი მოსახლეობის ზომაზე პ.

ინდიკატორებთან მუშაობის მოხერხებულობისა და სიწმინდისთვის აუცილებელია ცხრილის შედგენა, ვინაიდან ისინი დამატებას ექვემდებარება x მე განმეორდა პირველიდან ბოლო რიცხვამდე.

მაგალითად, არითმეტიკული საშუალო განისაზღვრება ფორმულით:

გაზომვის შედეგები ნაჩვენებია ცხრილში 1.

ცხრილი 1

სპორტსმენების ტესტირების შედეგები

ექსპერიმენტის შედეგად მიღებულ მონაცემებს ახასიათებს ცვალებადობა, რაც შეიძლება გამოწვეული იყოს შემთხვევითი შეცდომით: საზომი მოწყობილობის შეცდომა, ნიმუშების არაერთგვაროვნება და ა.შ. დიდი რაოდენობით ერთგვაროვანი მონაცემების ჩატარების შემდეგ, ექსპერიმენტატორმა უნდა დაამუშაოს ისინი, რათა ამოიღოს ყველაზე ზუსტი ინფორმაცია განსახილველი ღირებულების შესახებ. გაზომვის მონაცემების დიდი მასივების, დაკვირვების და ა.შ. დამუშავებისათვის, რომელთა მიღება შესაძლებელია ექსპერიმენტის დროს, მისი გამოყენება მოსახერხებელია მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდები.

მათემატიკური სტატისტიკა განუყოფლად არის დაკავშირებული ალბათობის თეორიასთან, მაგრამ ამ მეცნიერებებს შორის მნიშვნელოვანი განსხვავებაა. ალბათობის თეორია იყენებს შემთხვევითი ცვლადების უკვე ცნობილ განაწილებას, რის საფუძველზეც გამოითვლება მოვლენების ალბათობა, მათემატიკური მოლოდინი და ა.შ. მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემა - მიიღონ ყველაზე სანდო ინფორმაცია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების შესახებ, ექსპერიმენტულ მონაცემებზე დაყრდნობით.

Ტიპიური მიმართულებები მათემატიკური სტატისტიკა:

• შერჩევის თეორია;
• შეფასების თეორია;
• სტატისტიკური ჰიპოთეზების ტესტირება;
• რეგრესიული ანალიზი;
• ვარიაციის ანალიზი.

მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდები

ჰიპოთეზების შეფასებისა და ტესტირების მეთოდები ემყარება მონაცემთა წარმოშობის ალბათურ და ჰიპერ-შემთხვევით მოდელებს.

მათემატიკური სტატისტიკა აფასებს მათგან პარამეტრებსა და ფუნქციებს, რომლებიც წარმოადგენს განაწილების მნიშვნელოვან მახასიათებლებს (მედიანა, მათემატიკური მოლოდინი, სტანდარტული გადახრა, კვანტილები და ა.შ.), სიმკვრივისა და განაწილების ფუნქციები და ა.შ. გამოყენებულია წერტილოვანი და ინტერვალის შეფასებები.

თანამედროვე მათემატიკური სტატისტიკა შეიცავს დიდ ნაწილს - სტატისტიკური თანმიმდევრული ანალიზი, რომელშიც დაშვებულია ერთი მასივის მიერ დაკვირვების მასივის შექმნა.

მათემატიკური სტატისტიკა შეიცავს ზოგადსაც ჰიპოთეზის ტესტირების თეორია და მეთოდების დიდი რაოდენობა კონკრეტული ჰიპოთეზების ტესტირება (მაგალითად, განაწილების სიმეტრიის შესახებ, პარამეტრებისა და მახასიათებლების მნიშვნელობების შესახებ, მოცემული განაწილების ფუნქციასთან ემპირიული განაწილების ფუნქციის შეთანხმების შესახებ, ჰომოგენურობის ტესტირების ჰიპოთეზა (მახასიათებლების ან განაწილების ფუნქციების თანხვედრა ორ ნიმუშში) და ა.შ.).

დირიჟორობით კვლევის ნიმუშიჰიპოთეზების შეფასებისა და ტესტირების ადეკვატური მეთოდების შექმნასთან დაკავშირებით, სხვადასხვა შერჩევის სქემების თვისებებით, მათემატიკური სტატისტიკის განყოფილებას დიდი მნიშვნელობა აქვს. მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდები პირდაპირ იყენებს შემდეგ ძირითად ცნებებს.

ნიმუში

განმარტება 1

შერჩევა ექსპერიმენტის დროს მიღებულ მონაცემებს ეწოდება.

მაგალითად, ტყვიის დაშორების შედეგები იმავე ან მსგავსი იარაღის ჯგუფის გასროლისას.

ემპირიული განაწილების ფუნქცია

შენიშვნა 1

განაწილების ფუნქცია საშუალებას იძლევა გამოვხატოთ შემთხვევითი ცვლადი ყველა ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი.

მათემატიკურ სტატისტიკაში არსებობს ცნება თეორიული (წინასწარ არ არის ცნობილი) და ემპირიული განაწილების ფუნქციები.

ემპირიული ფუნქცია განისაზღვრება გამოცდილების მონაცემებით (ემპირიული მონაცემები), ე.ი. ნიმუშით.

ზოლის გრაფიკი

ჰისტოგრამები გამოიყენება უცნობი განაწილების ვიზუალური, მაგრამ სავარაუდო, გამოსახვისთვის.

ზოლის გრაფიკი არის მონაცემთა განაწილების გრაფიკული გამოსახულება.

მაღალი ხარისხის ჰისტოგრამის მისაღებად, დაიცავით შემდეგი წესები:

• ელემენტთა რაოდენობა ნიმუშში მნიშვნელოვნად ნაკლები უნდა იყოს ნიმუშის ზომაზე.
• გაყოფილი ინტერვალები უნდა შეიცავდეს ნიმუშების საკმარისი რაოდენობის რაოდენობას.

თუ ნიმუში ძალიან დიდია, ნიმუშის ელემენტების ინტერვალი ხშირად იყოფა თანაბარ ნაწილად.

ნიმუშის საშუალო და ვარიანტის ნიმუში

ამ ცნებების დახმარებით შესაძლებელია უცნობი განაწილების საჭირო რიცხვითი მახასიათებლების შეფასება, განაწილების ფუნქციის, ჰისტოგრამის და ა.შ.

მათი განაწილების შემთხვევითი ღირებულებები და კანონები.

შემთხვევითი ეწოდება ისეთ მნიშვნელობას, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს, შემთხვევითი გარემოებების დამთხვევის შესაბამისად. განასხვავებენ დისკრეტული და შემთხვევითი უწყვეტი სიდიდეები.

დისკრეტულისიდიდე ეწოდება, თუ იგი იღებს თვლადი სიმრავლეების სიმრავლეს. ( მაგალითი:ექიმის დანიშვნისას პაციენტების რაოდენობა, ასოების რაოდენობა გვერდზე, მოლეკულების რაოდენობა მოცემულ ტომიში).

უწყვეტიარის სიდიდე, რომელსაც შეუძლია გარკვეული ინტერვალის განმავლობაში მიიღოს მნიშვნელობები. ( მაგალითი: ჰაერის ტემპერატურა, სხეულის წონა, ადამიანის სიმაღლე და ა.შ.)

განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადი არის ამ რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობების ერთობლიობა და, ამ მნიშვნელობებთან შესაბამისობის, ალბათობის (ან შემთხვევითი სიხშირის) შესაბამისად.

PRI me R:

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
გვ	გვ 1	გვ 2	გვ 3	გვ 4	...	p n

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
მ	მ 1	მ 2	მ 3	მ 4	...	მ n

შემთხვევითი ღირებულებების რიცხვითი მახასიათებლები.

ხშირ შემთხვევაში, შემთხვევითი ცვლადის განაწილებასთან ერთად ან მის ნაცვლად, ამ სიდიდეების შესახებ ინფორმაციის მოწოდება შესაძლებელია რიცხვითი პარამეტრებით, ე.წ. შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები ... ყველაზე გავრცელებული პირობა:

1 .Მოსალოდნელი ღირებულება - შემთხვევითი ცვლადის (საშუალო მნიშვნელობა) არის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის პროდუქტის ჯამი ამ მნიშვნელობების ალბათობის მიხედვით:

2 .დისპერსია შემთხვევითი ცვლადი:

3 .კვადრატის საშუალო გადახრა :

წესი "სამი სიგმა" - თუ შემთხვევითი ცვლადი განაწილებულია ნორმალური კანონის შესაბამისად, მაშინ ამ მნიშვნელობის გადახრა საშუალო მნიშვნელობიდან აბსოლუტურ მნიშვნელობაში არ აღემატება სტანდარტულ გადახრას სამჯერ

GAUSS LAW - განაწილების ნორმალური კანონი

ხშირად არის გადანაწილებული რაოდენობა ნორმალური კანონი (გაუსის კანონი). მთავარი მახასიათებელი : ეს არის შემზღუდველი კანონი, რომელსაც უახლოვდება განაწილების სხვა კანონები.

შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება ნორმალური კანონის შესაბამისად, თუ ის არის ალბათობის სიმკვრივე როგორც ჩანს:

მ (X)- შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი;

სსტანდარტული გადახრაა.

ალბათობის სიმკვრივე (განაწილების ფუნქცია) გვიჩვენებს, თუ როგორ იცვლება ალბათობა ინტერვალთან შედარებით dx შემთხვევითი ცვლადი, რაც დამოკიდებულია რაოდენობის მნიშვნელობაზე:

მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი კონცეფციები

მათემატიკის სტატისტიკა - გამოყენებითი მათემატიკის ნაწილი, რომელიც უშუალოდ უკავშირდება ალბათობის თეორიას. ძირითადი განსხვავება მათემატიკურ სტატისტიკასა და ალბათობის თეორიას შორის არის ის, რომ მათემატიკურ სტატისტიკაში განიხილება არა მოქმედება განაწილების კანონებზე და შემთხვევითი ცვლადების რიცხვითი მახასიათებლები, არამედ ექსპერიმენტების შედეგების მიხედვით ამ კანონების პოვნის სავარაუდო მეთოდები და რიცხვითი მახასიათებლები.

Ძირითადი ცნებები მათემატიკური სტატისტიკაა:

1. ზოგადი მოსახლეობა;

2. ნიმუში;

3. ვარიაციის დიაპაზონი;

4. მოდა;

5. საშუალო;

6. პროცენტილი,

7. სიხშირის მრავალკუთხედი,

8. ზოლის გრაფიკი.

ზოგადი მოსახლეობა- დიდი სტატისტიკური პოპულაცია, საიდანაც ზოგიერთი ობიექტი შეირჩევა კვლევისთვის

(მაგალითი: რეგიონის მთელი მოსახლეობა, მოცემული ქალაქის უნივერსიტეტების სტუდენტები და ა.შ.)

ნიმუში (მოსახლეობის ნიმუში) - ზოგადი მოსახლეობისგან შერჩეული ობიექტების ნაკრები.

ვარიაციული სერია- სტატისტიკური განაწილება, რომელიც შედგება ვარიანტისგან (შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები) და შესაბამისი სიხშირეებისაგან.

მაგალითი:

X, კგ

მ

x - შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა (10 წლის ასაკის გოგონების წონა);

მ- კლების სიხშირე.

მოდა - შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება შემთხვევის ყველაზე მაღალ სიხშირეს. (ზემოთ მოყვანილ მაგალითში, მოდი შეესაბამება 24 კგ მნიშვნელობას, ის უფრო გავრცელებულია, ვიდრე სხვები: m \u003d 20).

საშუალო - შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც ანაწილებს განაწილებას ნახევარზე: მნიშვნელობების ნახევარი განლაგებულია მედიანის მარჯვნივ, ნახევარი (აღარ) - მარცხნივ.

მაგალითი:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

მაგალითში, ჩვენ ვაკვირდებით შემთხვევითი ცვლადის 40 მნიშვნელობას. ყველა მნიშვნელობა განლაგებულია ზრდადობით, მათი სიხშირის საფუძველზე. თქვენ ხედავთ, რომ 40 მნიშვნელობიდან 20 (ნახევარი) განლაგებულია ხაზგასმული მნიშვნელობის 7 მარჯვნივ. ამიტომ, 7 არის საშუალო.

სკატერის დასახასიათებლად ვხვდებით მნიშვნელობებს, რომლებიც არ აღემატებოდა გაზომვის შედეგების 25 და 75% -ს. ამ მნიშვნელობებს 25-ე და 75-ე ეწოდება პროცენტილები ... თუ საშუალო განაწილება განახევრდება, მაშინ 25-ე და 75-ე პროცენტილები წყდება მეოთხედით. (სხვათა შორის, მედიანა შეიძლება ჩაითვალოს 50-ე პროცენტილზე.) როგორც მაგალითზე ხედავთ, 25-ე და 75-ე პერცენტილები შესაბამისად 3 და 8-ის ტოლია.

გამოყენება დისკრეტული (წერტილი) სტატისტიკური განაწილება და უწყვეტი (ინტერვალი) სტატისტიკური განაწილება.

სიცხადისთვის, სტატისტიკური განაწილებები გრაფიკულად გამოსახულია, როგორც სიხშირის მრავალკუთხედი ან - ჰისტოგრამები .

სიხშირის მრავალკუთხედი- პოლილაინი, რომლის სეგმენტები წერტილებს აკავშირებს კოორდინატებთან ( x 1, მ 1), (x 2, მ 2), ..., ან იმისთვის ფარდობითი სიხშირეების მრავალკუთხედი - კოორდინატებით ( x 1, p * 1), (x 2, გვ * 2), ... (ნახ. 1).

მ მ / ნ ვ (x)

ნახ .1 ნახ .2

სიხშირის ჰისტოგრამა- ერთ სწორ ხაზზე აგებული მომიჯნავე მართკუთხედების ერთობლიობა (ნახ .2), მართკუთხედების ფუძეები იგივე და ტოლია dx , და სიმაღლეები ტოლია სიხშირის თანაფარდობისა dx ან რ * რომ dx (ალბათობის სიმჭიდროვე).

მაგალითი:

x, კგ	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
მ

სიხშირის მრავალკუთხედი

ფარდობითი სიხშირის შეფარდება ინტერვალის სიგანესთან ეწოდება ალბათობის სიმკვრივე f (x) \u003d m i / n dx \u003d p * i / dx

ჰისტოგრამის აგების მაგალითი .

მოდით გამოვიყენოთ მონაცემები წინა მაგალითიდან.

1. კლასის ინტერვალების რაოდენობის გაანგარიშება

სად ნ - დაკვირვების რაოდენობა. ჩვენს შემთხვევაში ნ = 100 ... აქედან:

2. ინტერვალის სიგანის გაანგარიშება dx :

,

3. ინტერვალის სერიის შედგენა:

dx	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
მ
f (x)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

ზოლის გრაფიკი

როგორც წესი, მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდები გამოიყენება კვლევის მასალების ანალიზის ყველა ეტაპზე კონკრეტული ნიმუშის მონაცემებზე დაყრდნობით პრობლემების გადაჭრის სტრატეგიის არჩევისთვის, შედეგების შეფასების მიზნით. მასალის დასამუშავებლად გამოიყენეს მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდები. მასალების მათემატიკური დამუშავება იძლევა ობიექტური ინფორმაციის რაოდენობრივი პარამეტრების მკაფიოდ იდენტიფიცირებასა და შეფასებას, მათი ანალიზსა და წარმოდგენას სხვადასხვა თანაფარდობებში და დამოკიდებულებებში. ისინი საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ შეგროვებული მასალების მნიშვნელობების ვარიაციის ზომა, რომელიც შეიცავს რაოდენობრივ ინფორმაციას შემთხვევათა ნაკადის შესახებ, რომელთაგან ზოგიერთი ამტკიცებს სავარაუდო კავშირებს, ზოგი არ ამჟღავნებს მათ, გამოთვლით რაოდენობრივ სხვაობათა საიმედოობას შერჩეულ შემთხვევებში და მიიღებთ სხვა მათემატიკურ მახასიათებლებს, რაც აუცილებელია ფაქტების სწორი ინტერპრეტაციისთვის. ... კვლევის დროს მიღებული განსხვავებების საიმედოობა განისაზღვრა სტუდენტის t- ტესტით.

გამოითვალეს შემდეგი მნიშვნელობები.

1. ნიმუშის საშუალო არითმეტიკა.

ახასიათებს განსახილველი მოსახლეობის საშუალო მნიშვნელობას. მოდით აღვნიშნოთ გაზომვების შედეგები. შემდეგ:

სადაც Y არის ყველა მნიშვნელობის ჯამი, როდესაც მიმდინარე ინდექსი i იცვლება 1 – დან n– მდე.

2. დისპერსიის მახასიათებელი საშუალო კვადრატული გადახრა (სტანდარტული გადახრა), გათვალისწინებული მოსახლეობის დისპერსია არითმეტიკულ საშუალოზე.

\u003d (x მაქს - x წთ) / კ

სად არის სტანდარტული გადახრა

хmaх არის ცხრილის მაქსიმალური მნიშვნელობა;

хmin არის ცხრილის მინიმალური მნიშვნელობა;

k - კოეფიციენტი

3. არითმეტიკული საშუალო შეცდომა ან რეპრეზენტაციულობის შეცდომა (მ). არითმეტიკული საშუალო სტანდარტული შეცდომა ახასიათებს ზოგადი პოპულაციის საშუალო არითმეტიკულიდან ნიმუშის საშუალო არითმეტიკის გადახრის ხარისხს.

არითმეტიკული საშუალო სტანდარტული შეცდომა გამოითვლება ფორმულით:

სადაც y არის გაზომვის შედეგების სტანდარტული გადახრა,

n არის ნიმუშის ზომა. რაც უფრო მცირეა m, მით უფრო მაღალია შედეგების სტაბილურობა და მდგრადობა.

4. სტუდენტის კრიტერიუმი.

(მრიცხველში - განსხვავება ორი ჯგუფის საშუალებებს შორის, მნიშვნელში - ამ საშუალებების სტანდარტული შეცდომების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი).

შესწავლის შედეგების დამუშავებისას გამოიყენეს კომპიუტერული პროგრამა Excel პაკეტით.

კვლევის ორგანიზაცია

კვლევა ჩვენს მიერ ჩატარდა საყოველთაოდ მიღებული წესების შესაბამისად და ჩატარდა 3 ეტაპად.

პირველ ეტაპზე შეგროვდა და გაანალიზდა მიღებული მასალა განხილული საკვლევი პრობლემის შესახებ. ჩამოყალიბდა სამეცნიერო კვლევის საგანი. ამ ეტაპზე ლიტერატურის ანალიზმა შესაძლებელი გახადა კვლევის მიზნისა და მიზნების დაზუსტება. ჩატარდა 30 მეტრზე გაშვების ტექნიკის პირველადი ტესტირება.<... class="gads_sm">

მესამე ეტაპზე სისტემატიზირდა სამეცნიერო კვლევის შედეგად მიღებული მასალა, განზოგადდა ყველა არსებული ინფორმაცია კვლევის პრობლემის შესახებ.

ექსპერიმენტული კვლევა ჩატარდა სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულების "ლიახოვიჩის საშუალო სკოლის" ბაზაზე, საერთო ჯამში, ნიმუში შედგებოდა 6 კლასის (11-12 წლის) 20 სტუდენტისგან.

თავი 3. კვლევის შედეგების ანალიზი

პედაგოგიური ექსპერიმენტის შედეგად, ჩვენ დავადგინეთ 30 მ გაშვების ტექნიკის საწყისი დონე საკონტროლო და ექსპერიმენტულ ჯგუფებში მყოფი სტუდენტებისათვის (დანართები 1-2). მიღებული შედეგების სტატისტიკური დამუშავების შედეგად შესაძლებელი გახდა შემდეგი მონაცემების მიღება (ცხრილი 6).

ცხრილი 6. გაშვებული ხარისხის საწყისი დონე

როგორც მე -6 ცხრილიდან ჩანს, საკონტროლო და ექსპერიმენტულ ჯგუფებში სპორტსმენთა შორის ქულათა საშუალო რაოდენობა სტატისტიკურად არ განსხვავდება; ექსპერიმენტულ ჯგუფში საშუალო ქულა იყო 3,6 ქულა, ხოლო საკონტროლო ჯგუფში 3,7 ქულა. T- ტესტი ორივე ჯგუფში temp \u003d 0.3; P? 0,05, tcrit \u003d 2,1; პირველადი ტესტირების შედეგებმა აჩვენა, რომ ინდიკატორები ტრენინგისგან დამოუკიდებელია და შემთხვევითი ხასიათისაა. საწყისი ტესტირების თანახმად, საკონტროლო ჯგუფში გაშვებული ხარისხის მაჩვენებლები ოდნავ აღემატებოდა ექსპერიმენტულ ჯგუფში. მაგრამ ჯგუფებში სტატისტიკურად მნიშვნელოვანი განსხვავება არ ყოფილა, რაც ადასტურებს, რომ საკონტროლო და ექსპერიმენტულ ჯგუფებში სტუდენტების ვინაობა 30 მ გაშვების ტექნიკაშია.

ექსპერიმენტის დროს ორივე ჯგუფში გაუმჯობესდა ინდიკატორები, რომლებიც ახასიათებს გაშვებული ტექნიკის ეფექტურობა. ამასთან, ეს გაუმჯობესება განსხვავებული იყო ექსპერიმენტის მონაწილეთა სხვადასხვა ჯგუფში. ტრენინგის შედეგად, გამოვლინდა ინდიკატორების რეგულარული მცირე ზრდა საკონტროლო ჯგუფში (3,8 ქულა). როგორც დანართი 2-დან ჩანს, ექსპერიმენტულ ჯგუფში ინდიკატორების დიდი ზრდა გამოვლინდა. სტუდენტებმა შეისწავლეს ჩვენს მიერ შემოთავაზებული პროგრამის შესაბამისად, რამაც მნიშვნელოვნად გააუმჯობესა ინდიკატორები.

ცხრილი 7. ექსპერიმენტული ჯგუფის სუბიექტებს შორის გაშვებული ხარისხის ცვლილებები

ექსპერიმენტის დროს აღმოვაჩინეთ, რომ ექსპერიმენტულ ჯგუფში გაზრდილი დატვირთვები მნიშვნელოვნად აუმჯობესებს სისწრაფის განვითარებას, ვიდრე საკონტროლო ჯგუფში.

მოზარდობის ასაკში მიზანშეწონილია განვითარდეს სიჩქარე ფიზიკური აღზრდის საშუალებების გაბატონებული გამოყენებით, რაც მიზნად ისახავს მოძრაობების სიხშირის გაზრდას. 12-15 წლის ასაკში იზრდება სიჩქარის უნარი, ძირითადად, სიჩქარისა და ძალის ვარჯიშების გამოყენების შედეგად, რომლებიც გამოვიყენეთ ფიზიკური კულტურის გაკვეთილებისა და კლასგარეშე აქტივობების დროს კალათბურთისა და მძლეოსნობის სპორტის სექციაში.

ექსპერიმენტულ ჯგუფში გაკვეთილების განმავლობაში ჩატარდა გართულების მკაცრი ეტაპები და მოტორული გამოცდილება. შეცდომების დროულად გამოსწორება მოხდა. როგორც ფაქტობრივი მონაცემების ანალიზმა აჩვენა, ექსპერიმენტული სწავლების მეთოდმა მნიშვნელოვნად შეცვალა გაშვებული ტექნიკის ხარისხი (ტემპი \u003d 2.4). ექსპერიმენტულ ჯგუფში მიღებული შედეგების ანალიზი და მათი შედარება საკონტროლო ჯგუფში მიღებულ მონაცემებთან საყოველთაოდ მიღებული სწავლების მეთოდოლოგიის გამოყენებით იძლევა საფუძველს იმის მტკიცების, რომ შემოთავაზებული მეთოდოლოგია გაზრდის სწავლების ეფექტურობას.

ამრიგად, სკოლაში 30 მ გაშვების მეთოდოლოგიის გაუმჯობესების ეტაპზე გამოვავლინეთ ექსპერიმენტულ და საკონტროლო ჯგუფებში ტესტირების ინდიკატორების ცვლილებების დინამიკა. ექსპერიმენტის შემდეგ, ტექნიკის ხარისხი ექსპერიმენტულ ჯგუფში 4.9 პუნქტამდე გაიზარდა (t \u003d 3.3; P? 0.05). ექსპერიმენტის ბოლოს, ექსპერიმენტულ ჯგუფში გაშვების ტექნიკის ხარისხი უფრო მაღალი იყო, ვიდრე საკონტროლო ჯგუფში.