სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი - ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე (2020). განტოლება sin x = a როგორ გამოვთვალოთ სინუსები

თუ ავაშენებთ ერთეულ წრეს ცენტრით საწყისზე და დავაყენებთ თვითნებურ მნიშვნელობას არგუმენტისთვის x 0და დათვალეთ ღერძიდან ოქსიკუთხე x 0, მაშინ ეს კუთხე ერთეულ წრეზე შეესაბამება გარკვეულ წერტილს ა(ნახ. 1) და მისი პროექცია ღერძზე ოჰიქნება წერტილი მ. მონაკვეთის სიგრძე OMწერტილის აბსცისის აბსოლუტური მნიშვნელობის ტოლია ა. მოცემული არგუმენტის მნიშვნელობა x 0ფუნქციის ღირებულება შედგენილია წ= cos x 0 აბსცისის წერტილების მსგავსად ა. შესაბამისად, წერტილი IN(x 0 ;ზე 0) ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს ზე= cos X(ნახ. 2). თუ წერტილი აარის ღერძის მარჯვნივ OU, მიმდინარე სინუსი იქნება დადებითი, მაგრამ თუ მარცხნივ იქნება უარყოფითი. მაგრამ მაინც, პერიოდი ავერ ტოვებს წრეს. მაშასადამე, კოსინუსი მდებარეობს -1-დან 1-მდე დიაპაზონში:

–1 = cos x = 1.

დამატებითი ბრუნვა ნებისმიერი კუთხით, 2-ის ჯერადი გვ, დაბრუნების წერტილი აიმავე ადგილას. ამიტომ ფუნქცია y = cos xგვ:

cos( x+ 2გვ) = cos x.

თუ ავიღებთ არგუმენტის ორ მნიშვნელობას, ტოლი აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით, xდა - x, იპოვნეთ წრეზე შესაბამისი წერტილები Ნაჯახიდა Ნაჯახი. როგორც ჩანს ნახ. 3 მათი პროექცია ღერძზე ოჰიგივე წერტილია მ. Ამიტომაც

cos(- x) = cos ( x),

იმათ. კოსინუსი არის თანაბარი ფუნქცია, ვ(–x) = ვ(x).

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიკვლიოთ ფუნქციის თვისებები წ= cos Xსეგმენტზე , შემდეგ კი გავითვალისწინოთ მისი პარიტეტი და პერიოდულობა.

ზე X= 0 ქულა აღერძზე დევს ოჰ, მისი აბსციზა არის 1 და შესაბამისად cos 0 = 1. გაზრდით Xწერტილი ამოძრაობს წრის გარშემო ზევით და მარცხნივ, მისი პროექცია, ბუნებრივია, არის მხოლოდ მარცხნივ და x = გვ/2 კოსინუსი ტოლი ხდება 0. წერტილი აამ მომენტში ის ადის მაქსიმალურ სიმაღლემდე, შემდეგ კი აგრძელებს მოძრაობას მარცხნივ, მაგრამ უკვე დაღმავალი. მისი აბსციზა მცირდება მანამ, სანამ არ მიაღწევს უმცირეს მნიშვნელობას, რომელიც უდრის –1 at X= გვ. ამრიგად, ინტერვალზე ფუნქცია ზე= cos Xმონოტონურად მცირდება 1-დან –1-მდე (სურ. 4, 5).

კოსინუსის პარიტეტიდან გამომდინარეობს, რომ ინტერვალზე [- გვ, 0] ფუნქცია მონოტონურად იზრდება –1-დან 1-მდე, იღებს ნულოვან მნიშვნელობას x =–გვ/2. თუ აიღებთ რამდენიმე პერიოდს, მიიღებთ ტალღოვან მრუდს (სურ. 6).

ასე რომ ფუნქცია წ= cos xიღებს ნულოვან მნიშვნელობებს წერტილებში X= გვ/2 + კპ, სად კ –ნებისმიერი მთელი რიცხვი. 1-ის ტოლი მაქსიმუმები მიიღწევა წერტილებში X= 2კპ, ე.ი. ნაბიჯებით 2 გვ, და მინიმუმები -1-ის ტოლია წერტილებში X= გვ + 2კპ.

ფუნქცია y = sin x.

ერთეული წრის კუთხეში x 0 შეესაბამება წერტილს ა(ნახ. 7), და მისი პროექცია ღერძზე OUიქნება წერტილი ნ.ზფუნქციის მნიშვნელობა y 0 =ცოდვა x 0განისაზღვრება როგორც წერტილის ორდინატი ა. Წერტილი IN(კუთხე x 0 ,ზე 0) ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს წ= ცოდვა x(ნახ. 8). გასაგებია, რომ ფუნქცია y =ცოდვა xპერიოდული, მისი პერიოდია 2 გვ:

ცოდვა ( x+ 2გვ) = ცოდვა ( x).

ორი არგუმენტის მნიშვნელობისთვის, Xდა -, მათი შესაბამისი წერტილების პროგნოზები Ნაჯახიდა Ნაჯახითითო ღერძზე OUმდებარეობს წერტილის მიმართ სიმეტრიულად შესახებ. Ამიტომაც

ცოდვა (- x) = –ცოდვა ( x),

იმათ. სინუსი არის კენტი ფუნქცია, f(- x) = –f( x) (ნახ. 9).

თუ წერტილი აროტაცია წერტილის მიმართ შესახებკუთხით გვ/2 საათის ისრის საწინააღმდეგოდ (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ კუთხე Xგაზრდის მიერ გვ/2), მაშინ მისი ორდინატი ახალ თანამდებობაზე იქნება აბსცისის ტოლი ძველში. Რაც ნიშნავს

ცოდვა ( x+ გვ/2) = cos x.

წინააღმდეგ შემთხვევაში, სინუსი არის კოსინუსი "გვიან". გვ/2, ვინაიდან ნებისმიერი კოსინუსის მნიშვნელობა „განმეორდება“ სინუსში, როდესაც არგუმენტი გაიზრდება გვ/2. ხოლო სინუსური გრაფიკის ასაგებად, საკმარისია კოსინუსური გრაფიკის გადატანა გვ/2 მარჯვნივ (სურ. 10). სინუსის უაღრესად მნიშვნელოვანი თვისება გამოიხატება თანასწორობით

თანასწორობის გეომეტრიული მნიშვნელობა ჩანს ნახ. 11. აი X -ეს არის ნახევარი რკალი AB, როგორც X -შესაბამისი აკორდის ნახევარი. აშკარაა, რომ რაც უფრო უახლოვდება ქულები ადა INაკორდის სიგრძე სულ უფრო უახლოვდება რკალის სიგრძეს. იგივე ფიგურიდან მარტივია უტოლობის გამოტანა

|ცოდვა x| x|, მართალია ნებისმიერისთვის X.

მათემატიკოსები ფორმულას (*) აღსანიშნავ ზღვარს უწოდებენ. მისგან, კერძოდ, გამომდინარეობს, რომ ცოდვა X» Xპატარაზე X.

ფუნქციები ზე= ტგ x, y=ctg X. დანარჩენი ორი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, ტანგენსი და კოტანგენსი, ყველაზე მარტივად განისაზღვრება როგორც ჩვენთვის უკვე ცნობილი სინუსის და კოსინუსის თანაფარდობა:

სინუსისა და კოსინუსის მსგავსად, ტანგენსი და კოტანგენსი პერიოდული ფუნქციებია, მაგრამ მათი პერიოდები ტოლია გვ, ე.ი. ისინი სინუსისა და კოსინუსის ზომის ნახევარია. ამის მიზეზი ნათელია: თუ სინუსი და კოსინუსი ორივე ცვლის ნიშანს, მაშინ მათი თანაფარდობა არ შეიცვლება.

ვინაიდან ტანგენტის მნიშვნელი შეიცავს კოსინუსს, ტანგენსი არ არის განსაზღვრული იმ წერტილებში, სადაც კოსინუსი არის 0 - როცა X= გვ/2 +კპ. ყველა სხვა წერტილში ის მონოტონურად იზრდება. პირდაპირი X= გვ/2 + კპტანგენტისთვის არის ვერტიკალური ასიმპტოტები. წერტილებზე კპტანგენსი და დახრილობა არის 0 და 1, შესაბამისად (ნახ. 12).

კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული იქ, სადაც სინუსი არის 0 (როდის x = კპ). სხვა წერტილებში ის მონოტონურად მცირდება და სწორი ხაზები x = კპ – მისი ვერტიკალური ასიმპტოტები. წერტილებზე x = გვ/2 +კპკოტანგენსი ხდება 0 და დახრილობა ამ წერტილებში უდრის –1 (ნახ. 13).

პარიტეტი და პერიოდულობა.

ფუნქცია იწოდება მაშინაც კი, თუ ვ(–x) = ვ(x). კოსინუსი და სეკანტური ფუნქციები ლუწია, ხოლო სინუსური, ტანგენსი, კოტანგენსი და კოსეკანტური ფუნქციები კენტია:

sin (–α) = – ცოდვა α	თან (–α) = – თან α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = – ctg α
წმ (–α) = წმ α	cosec (–α) = – cosec α

პარიტეტული თვისებები გამომდინარეობს წერტილების სიმეტრიიდან პა და რ- ა (სურ. 14) ღერძის მიმართ X. ასეთი სიმეტრიით, წერტილის ორდინატი ცვლის ნიშანს (( X;ზე) მიდის ( X; –უ)). ყველა ფუნქციას - პერიოდულს, სინუსს, კოსინუსს, სეკანტს და კოსეკანტს აქვს 2 პერიოდი გვ, და ტანგენსი და კოტანგენსი - გვ:

ცოდვა (α + 2 კπ) = ცოდვა α	cos(α+2 კπ) = cos α
tg(α+ კπ) = თან α	საწოლი (α+ კπ) = cotg α
წმ (α + 2 კπ) = წმ α	კოსეკი (α+2 კπ) = cosec α

სინუსის და კოსინუსის პერიოდულობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ ყველა წერტილი პ a+2 კპ, სად კ= 0, ±1, ±2,…, ემთხვევა და ტანგენსის და კოტანგენსის პერიოდულობა განპირობებულია იმით, რომ წერტილები პ a + კპმონაცვლეობით მოხვდება წრის ორ დიამეტრულად საპირისპირო წერტილში, რაც იძლევა იმავე წერტილს ტანგენტის ღერძზე.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები შეიძლება შეჯამდეს ცხრილში:

ფუნქცია	დომენი	მრავალი მნიშვნელობა	პარიტეტი	ერთფეროვნების სფეროები ( კ= 0, ± 1, ± 2,…)
ცოდვა x	– Ґ x Ґ	[–1, +1]	უცნაური	იზრდება ერთად x O((4 კ – 1) გვ /2, (4კ + 1) გვ/2), მცირდება x O((4 კ + 1) გვ /2, (4კ + 3) გვ/2)
cos x	– Ґ x Ґ	[–1, +1]	თუნდაც	იზრდება ერთად x O((2 კ – 1) გვ, 2კპ), მცირდება x O(2 კპ, (2კ + 1) გვ)
ტგ x	x № გვ/2 + გვ კ	(–Ґ , +Ґ )	უცნაური	იზრდება ერთად x O((2 კ – 1) გვ /2, (2კ + 1) გვ /2)
ctg x	x № გვ კ	(–Ґ , +Ґ )	უცნაური	მცირდება xშესახებ ( კპ, (კ + 1) გვ)
წმ x	x № გვ/2 + გვ კ	(–Ґ , –1] და [+1, +Ґ )	თუნდაც	იზრდება ერთად x O(2 კპ, (2კ + 1) გვ), მცირდება x O((2 კ– 1) გვ, 2 კპ)
კოსეკი x	x № გვ კ	(–Ґ , –1] და [+1, +Ґ )	უცნაური	იზრდება ერთად x O((4 კ + 1) გვ /2, (4კ + 3) გვ/2), მცირდება x O((4 კ – 1) გვ /2, (4კ + 1) გვ /2)

შემცირების ფორმულები.

ამ ფორმულების მიხედვით a არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა, სადაც გვ/2 a p , შეიძლება შემცირდეს არგუმენტის ფუნქციის a მნიშვნელობამდე, სადაც 0 a p /2, მისი იგივე ან დამატებითი.

არგუმენტი ბ	-ა	+ ა	გვ-ა	გვ+ ა	+ ა	+ ა	2გვ-ა
ცოდვა ბ	cos ა	cos ა	ცოდვა ა	-ცოდვა ა	- cos ა	- cos ა	-ცოდვა ა
cos b	ცოდვა ა	-ცოდვა ა	- cos ა	- cos ა	-ცოდვა ა	ცოდვა ა	cos ა

ამიტომ, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილებში მნიშვნელობები მოცემულია მხოლოდ მწვავე კუთხეებისთვის და საკმარისია შევიზღუდოთ, მაგალითად, სინუსზე და ტანგენტზე. ცხრილში მოცემულია მხოლოდ ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფორმულები სინუსისა და კოსინუსისთვის. აქედან ადვილია ტანგენტისა და კოტანგენტის ფორმულების მიღება. ფორმის არგუმენტიდან ფუნქციის გადმოცემისას კპ/2 ± a, სადაც კ- მთელი რიცხვი, არგუმენტის ფუნქციისთვის a:

1) ფუნქციის სახელი შენახულია თუ კლუწი და იცვლება „შემავსებელად“ თუ კკენტი;

2) მარჯვენა მხარეს ნიშანი ემთხვევა წერტილის შემცირების ფუნქციის ნიშანს კპ/2 ± a თუ კუთხე a მწვავეა.

მაგალითად, ctg-ის ჩამოსხმისას (a – გვ/2) ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ - გვ/2 0 a p /2 დევს მეოთხე კვადრატში, სადაც კოტანგენსი უარყოფითია და 1 წესის მიხედვით ვცვლით ფუნქციის სახელს: ctg (a – გვ/2) = –tg a .

დამატების ფორმულები.

ფორმულები მრავალი კუთხისთვის.

ეს ფორმულები მიღებულია უშუალოდ დამატების ფორმულებიდან:

sin 2a = 2 sin a cos a;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a;

cos 3a-ს ფორმულა გამოიყენა ფრანსუა ვიეტმა კუბური განტოლების ამოხსნისას. ის იყო პირველი, ვინც იპოვა გამონათქვამები cos-ისთვის ნა და ცოდვა ნა, რომლებიც მოგვიანებით უფრო მარტივი გზით მიიღეს მოივრის ფორმულიდან.

თუ ორმაგი არგუმენტის ფორმულებში a-ს ჩაანაცვლებთ /2-ით, ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ნახევარკუთხის ფორმულებად:

უნივერსალური ჩანაცვლების ფორმულები.

ამ ფორმულების გამოყენებით, ერთი და იგივე არგუმენტის სხვადასხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გამოხატულება შეიძლება გადაიწეროს, როგორც ერთი ფუნქციის რაციონალური გამოხატულება tg (a /2), ეს შეიძლება სასარგებლო იყოს ზოგიერთი განტოლების ამოხსნისას:

თანხების პროდუქტებად და პროდუქტების ჯამებად გადაქცევის ფორმულები.

კომპიუტერების მოსვლამდე ამ ფორმულებს იყენებდნენ გამოთვლების გასამარტივებლად. გამოთვლები გაკეთდა ლოგარითმული ცხრილების გამოყენებით, ხოლო მოგვიანებით - სლაიდების წესი, რადგან ლოგარითმები საუკეთესოდ შეეფერება რიცხვების გასამრავლებლად, ამიტომ ყველა ორიგინალური გამონათქვამი მოყვანილია ლოგარითმიზაციისთვის მოსახერხებელ ფორმაში, ე.ი. სამუშაოებისთვის, მაგალითად:

2 ცოდვა ა sin b = cos ( ა–ბ) – cos ( ა+ბ);

2 cos ა cos ბ=cos( ა–ბ) + cos ( ა+ბ);

2 ცოდვა ა cos ბ= ცოდვა ( ა–ბ) + ცოდვა ( ა+ბ).

ტანგენსისა და კოტანგენსების ფუნქციების ფორმულების მიღება შესაძლებელია ზემოთ ჩამოთვლილიდან.

ხარისხის შემცირების ფორმულები.

მრავალი არგუმენტის ფორმულებიდან გამომდინარეობს შემდეგი ფორმულები:

sin 2 a = (1 – cos 2a)/2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4;	cos 3 a = (3 cos a + cos 3ა)/4.

ამ ფორმულების გამოყენებით, ტრიგონომეტრიული განტოლებები შეიძლება შემცირდეს უფრო დაბალი ხარისხის განტოლებამდე. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემცირების ფორმულები სინუსისა და კოსინუსების უფრო მაღალი სიმძლავრეებისთვის.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები და ინტეგრალები
(ცოდვა x)` = cos x;	(კოს x)` = –ცოდვა x;
(ტგ x)` = ;	(ctg x)` = – ;
ცოდვა x dx= – cos x + C;	თ კოს x dx= ცოდვა x + C;
ტ ტგ x dx= –ln|cos x| + C;	t ctg x dx = ln|ცოდვა x| + C;

თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მისი განსაზღვრის დომენის თითოეულ წერტილში არის უწყვეტი და უსასრულოდ დიფერენცირებადი. უფრო მეტიც, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ხოლო ინტეგრირებისას ასევე მიიღება ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ან მათი ლოგარითმები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების რაციონალური კომბინაციების ინტეგრალები ყოველთვის ელემენტარული ფუნქციებია.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოდგენა სიმძლავრის სერიის და უსასრულო პროდუქტების სახით.

ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს სიმძლავრის სერიებში. ამ შემთხვევაში ფუნქციები სცოდავს x bcos xწარმოდგენილია რიგებში. კონვერგენტული ყველა მნიშვნელობისთვის x:

ეს სერიები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცოდვის სავარაუდო გამონათქვამების მისაღებად xდა cos xმცირე ღირებულებებით x:

ზე | x| p/2;

0 x| გვ

(ბ n – ბერნულის რიცხვები).

ცოდვის ფუნქციები xდა cos xშეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო პროდუქტების სახით:

ტრიგონომეტრიული სისტემა 1, cos x, ცოდვა x, cos 2 xცოდვა 2 x, ¼, კო nx, ცოდვა nx, ¼, ფორმები სეგმენტზე [– გვ, გვ] ფუნქციათა ორთოგონალური სისტემა, რომელიც შესაძლებელს ხდის ფუნქციების წარმოდგენას ტრიგონომეტრიული სერიების სახით.

განისაზღვრება, როგორც რეალური არგუმენტის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ანალიტიკური გაგრძელება კომპლექსურ სიბრტყეში. დიახ, ცოდო ზდა cos ზშეიძლება განისაზღვროს ცოდვის სერიების გამოყენებით xდა cos x, თუ ნაცვლად xდადება ზ:

ეს სერიები იყრის თავს მთელ თვითმფრინავზე, ამიტომ ცოდვა ზდა cos ზ- მთელი ფუნქციები.

ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ფორმულებით:

tg ფუნქციები ზდა ctg ზ- მერომორფული ფუნქციები. ტგ ბოძები ზდა წმ ზ- მარტივი (1 რიგი) და განთავსებულია წერტილებში z = გვ/2 + pn,ბოძები ctg ზდა კოსეკი ზ- ასევე მარტივი და განლაგებულია წერტილებში ზ = p n, n = 0, ±1, ±2,…

ყველა ფორმულა, რომელიც მოქმედებს რეალური არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის, ასევე მოქმედებს რთული არგუმენტისთვის. Კერძოდ,

ცოდვა (- ზ) = –ცოდვა ზ,

cos(- ზ) = cos ზ,

tg (- ზ) = –ტგ ზ,

ctg (– ზ) = –ctg z,

იმათ. შენარჩუნებულია ლუწი და კენტი პარიტეტი. ფორმულებიც შენახულია

ცოდვა ( ზ + 2გვ) = ცოდვა ზ, (ზ + 2გვ) = cos ზ, (ზ + გვ) = ტგ ზ, (ზ + გვ) = ctg ზ,

იმათ. პერიოდულობაც შენარჩუნებულია და პერიოდები იგივეა რაც რეალური არგუმენტის ფუნქციებისთვის.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება გამოიხატოს წმინდა წარმოსახვითი არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქციის მიხედვით:

უკან, e izგამოიხატება cos-ით ზდა ცოდვა ზფორმულის მიხედვით:

e iz= cos ზ + მეცოდვა ზ

ამ ფორმულებს ეილერის ფორმულებს უწოდებენ. ლეონჰარდ ეილერმა ისინი 1743 წელს შეიმუშავა.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ასევე შეიძლება გამოიხატოს ჰიპერბოლური ფუნქციების მიხედვით:

ზ = –მეშ iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

სადაც sh, ch და th არის ჰიპერბოლური სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი.

რთული არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები z = x + iy, სად xდა წ- რეალური რიცხვები, შეიძლება გამოიხატოს რეალური არგუმენტების ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ფუნქციებით, მაგალითად:

ცოდვა ( x + iy) = ცოდვა xჩვ წ + მე cos xშ წ;

cos( x + iy) = cos xჩვ წ + მეცოდვა xშ წ.

რთული არგუმენტის სინუსსა და კოსინუსს შეუძლია მიიღოს რეალური მნიშვნელობები 1-ზე მეტი აბსოლუტური მნიშვნელობით. Მაგალითად:

თუ უცნობი კუთხე შედის განტოლებაში, როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არგუმენტი, მაშინ განტოლებას ტრიგონომეტრიული ეწოდება. ასეთი განტოლებები იმდენად გავრცელებულია, რომ მათი მეთოდები გადაწყვეტილებები ძალიან დეტალური და საგულდაგულოდ არის შემუშავებული. თანსხვადასხვა ტექნიკისა და ფორმულის გამოყენებით, ტრიგონომეტრიული განტოლებები მცირდება ფორმის განტოლებამდე ვ(x)= ა, სად ვ– ნებისმიერი უმარტივესი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი. შემდეგ გამოხატეთ არგუმენტი xეს ფუნქცია მისი ცნობილი მნიშვნელობით ა.

ვინაიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია, იგივეა ამნიშვნელობების დიაპაზონიდან არის არგუმენტის უსასრულოდ ბევრი მნიშვნელობა და განტოლების ამონახსნები არ შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც ერთი ფუნქცია. ა. მაშასადამე, თითოეული მთავარი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განსაზღვრის დომენში არჩეულია განყოფილება, რომელშიც იგი იღებს მის ყველა მნიშვნელობას, თითოეულს მხოლოდ ერთხელ, და ამ განყოფილებაში არის მის საწინააღმდეგო ფუნქცია. ასეთი ფუნქციები აღინიშნება თავდაპირველი ფუნქციის სახელზე პრეფიქსის რკალის (რკალის) დამატებით და ეწოდება შებრუნებული ტრიგონომეტრიული. ფუნქციები ან უბრალოდ რკალი ფუნქციები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

ცოდვისთვის X, cos X, ტგ Xდა ctg Xინვერსიული ფუნქციები შეიძლება განისაზღვროს. ისინი შესაბამისად აღინიშნება arcsin-ით X(წაიკითხეთ "არქსინი" x"), არკოსები x, არქტანი xდა arcctg x. განმარტებით, arcsin Xარის ასეთი რიცხვი y,Რა

ცოდვა ზე = X.

ანალოგიურად სხვა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის. მაგრამ ეს განმარტება განიცდის გარკვეულ უზუსტობას.

თუ ცოდვას ირეკლავ X, cos X, ტგ Xდა ctg Xკოორდინატთა სიბრტყის პირველი და მესამე კვადრანტების ბისექტრისთან შედარებით, მაშინ ფუნქციები, მათი პერიოდულობის გამო, ორაზროვანი ხდება: უსასრულო რაოდენობის კუთხე შეესაბამება იმავე სინუსს (კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი).

გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, მრუდის მონაკვეთი სიგანეზე გვ, ამ შემთხვევაში აუცილებელია არგუმენტსა და ფუნქციის მნიშვნელობას შორის ერთი-ერთზე კორესპონდენციის შენარჩუნება. არჩეულია კოორდინატების წარმოშობის მახლობლად მდებარე არეები. სინუსისთვის როგორც "ერთ-ერთ ინტერვალს" ვიღებთ სეგმენტს [- გვ/2, გვ/2], რომელზეც სინუსი მონოტონურად იზრდება –1-დან 1-მდე, კოსინუსისთვის – სეგმენტი, ტანგენსისთვის და კოტანგენსისთვის, შესაბამისად, ინტერვალები (– გვ/2, გვ/2) და (0, გვ). ინტერვალზე თითოეული მრუდი აისახება ბისექტრის მიმართ და ახლა შეიძლება განისაზღვროს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. მაგალითად, მიეცით არგუმენტის მნიშვნელობა x 0,ისეთი, რომ 0 Ј x 0 Ј 1. შემდეგ ფუნქციის მნიშვნელობა წ 0 = რკალი x 0 იქნება მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა ზე 0 , ისეთივე როგორც - გვ/2 Ј ზე 0 Ј გვ/2 და x 0 = ცოდვა წ 0 .

ამრიგად, არქსინი არის არქსინის ფუნქცია ა, განსაზღვრულია [–1, 1] ინტერვალზე და ტოლია თითოეულისთვის აასეთ ღირებულებამდე, - გვ/2 a p /2 რომ ცოდვა a = ა.ძალიან მოსახერხებელია მისი წარმოდგენა ერთეული წრის გამოყენებით (სურ. 15). როდის | ა| წრეზე 1 არის ორი წერტილი ორდინატით ა, სიმეტრიული ღერძის მიმართ u.ერთი მათგანი შეესაბამება კუთხეს ა= რკალი ა, და მეორე არის კუთხე პ - ა. თანსინუსის პერიოდულობის გათვალისწინებით განტოლების ცოდვის ამოხსნა x= აიწერება შემდეგნაირად:

x =(–1)ნრკალი ა + 2p n,

სად ნ= 0, ±1, ±2,...

სხვა მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებები შეიძლება ამოხსნას ანალოგიურად:

cos x = ა, –1 =ა= 1;

x =±არკოსი ა + 2p n,

სად პ= 0, ±1, ±2,... (სურ. 16);

ტგ X = ა;

x= არქტანი ა + გვ n,

სად n = 0, ±1, ±2,... (სურ. 17);

ctg X= ა;

X= arcctg ა + გვ n,

სად n = 0, ±1, ±2,... (სურ. 18).

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები:

რკალი X(სურ. 19): განსაზღვრების დომენი – სეგმენტი [–1, 1]; დიაპაზონი - [- გვ/2, გვ/2], მონოტონურად მზარდი ფუნქცია;

არკები X(ნახ. 20): განსაზღვრების დომენი – სეგმენტი [–1, 1]; დიაპაზონი - ; მონოტონურად კლებადი ფუნქცია;

arctg X(სურ. 21): განსაზღვრების სფერო – ყველა რეალური რიცხვი; მნიშვნელობების დიაპაზონი - ინტერვალი (- გვ/2, გვ/2); მონოტონურად მზარდი ფუნქცია; სწორი ზე= –გვ/2 და y = p /2 –ჰორიზონტალური ასიმპტოტები;

arcctg X(სურ. 22): განსაზღვრების სფერო – ყველა რეალური რიცხვი; მნიშვნელობების დიაპაზონი - ინტერვალი (0, გვ); მონოტონურად კლებადი ფუნქცია; სწორი წ= 0 და y = გვ- ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

იმიტომ რომ რთული არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ზდა cos ზ(რეალური არგუმენტის ფუნქციებისგან განსხვავებით) იღებენ ყველა კომპლექსურ მნიშვნელობას, შემდეგ განტოლებები სინ ზ = ადა cos ზ = ააქვს გადაწყვეტილებები ნებისმიერი კომპლექსისთვის ნაჯახიდა წარის რეალური რიცხვები, მოქმედებს უტოლობები

½| e\e y–e-y| ≤|ცოდვა ზ|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|კოს ზ|≤½( e y +e -y),

რომელთაგან ზე წ® Ґ ასიმპტომური ფორმულები მოყვება (ერთგვაროვნად x)

|ცოდვა ზ| » 1/2 ე |y| ,

|კოს ზ| » 1/2 ე |y| .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პირველად გამოჩნდა ასტრონომიისა და გეომეტრიის კვლევებთან დაკავშირებით. სამკუთხედისა და წრის სეგმენტების შეფარდება, რომლებიც არსებითად ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია, უკვე III საუკუნეშია ნაპოვნი. ძვ.წ ე. ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსთა ნაშრომებში – ევკლიდე, არქიმედეს, პერგას აპოლონიოსი და სხვები, თუმცა ეს ურთიერთობები არ იყო დამოუკიდებელი კვლევის ობიექტი, ამიტომ ისინი არ სწავლობდნენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, როგორც ასეთებს. ისინი თავდაპირველად ითვლებოდა სეგმენტებად და ამ ფორმით იყენებდნენ არისტარქეს (ძვ. წ. IV საუკუნის ბოლოს - III სს. II ნახევარი), ჰიპარქეს (ძვ. წ. II ს.), მენელაოსმა (ახ. წ. I ს.) და პტოლემეოსმა (ახ. წ. II საუკუნე). სფერული სამკუთხედების ამოხსნა. პტოლემემ შეადგინა აკორდების პირველი ცხრილი მწვავე კუთხისთვის ყოველ 30" სიზუსტით 10 –6. ეს იყო სინუსების პირველი ცხრილი. როგორც თანაფარდობა, ფუნქცია sin a უკვე გვხვდება არიაბჰატაში (V საუკუნის დასასრული). ფუნქციები tg a და ctg a გვხვდება ალ-ბატანში (მე-9 ნახევარი - მე-10 საუკუნის დასაწყისი) და აბულ-ვეფაში (მე-10 საუკუნე), რომელიც ასევე იყენებს sec a-ს და cosec a-ს... არიაბჰატამ უკვე იცოდა ფორმულა ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, ასევე ფორმულები sin და cos ნახევარი კუთხით, რომელთა დახმარებით ავაგები სინუსების ცხრილები 3°45"-მდე კუთხეებისთვის; ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილ მნიშვნელობებზე დაყრდნობით უმარტივესი არგუმენტებისთვის. ბჰასკარამ (მე-12 საუკუნე) მისცა ცხრილების აგების მეთოდი 1-ის თვალსაზრისით დამატების ფორმულების გამოყენებით. სხვადასხვა არგუმენტების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის პროდუქტად გადაქცევის ფორმულები გამოიღეს Regiomontanus-მა (XV საუკუნე) და J. Napier-მა ამ უკანასკნელის ლოგარითმების გამოგონებასთან დაკავშირებით (1614). რეგიომონტანმა მისცა სინუსების სიდიდეების ცხრილი 1-ის მიხედვით". ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გაფართოება სიმძლავრეების სერიებში მიიღო ი. ნიუტონმა (1669 წ.). ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თეორია თანამედროვე ფორმაში შემოიტანა ლ. ეილერმა ( მე-18 საუკუნე). მას ეკუთვნის მათი განმარტება რეალური და რთული არგუმენტებისთვის, ახლა მიღებული სიმბოლიზმი, ამყარებს კავშირებს სინუსებისა და კოსინუსების სისტემის ექსპონენციალურ ფუნქციასთან და ორთოგონალურობასთან.

ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად, სასარგებლო იქნება ტრიგონომეტრიული იდენტობების ცხრილი, რაც მნიშვნელოვნად გაამარტივებს ფუნქციების გარდაქმნას:

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

კუთხის ალფას სინუსის გაყოფის კოეფიციენტი იმავე კუთხის კოსინუსზე უდრის ამ კუთხის ტანგენტს (ფორმულა 1). აგრეთვე უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობების გარდაქმნის სისწორის მტკიცებულება.
ალფა კუთხის კოსინუსის გაყოფის კოეფიციენტი იმავე კუთხის სინუსზე უდრის იმავე კუთხის კოტანგენტს (ფორმულა 2)
კუთხის სეკანტი ტოლია ერთის გაყოფილი იმავე კუთხის კოსინუსზე (ფორმულა 3)
ერთი და იგივე კუთხის სინუსის და კოსინუსის კვადრატების ჯამი უდრის ერთს (ფორმულა 4). აგრეთვე კოსინუსისა და სინუსების კვადრატების ჯამის დადასტურება.
ერთის ჯამი და კუთხის ტანგენსი უდრის ერთის შეფარდებას ამ კუთხის კოსინუსის კვადრატთან (ფორმულა 5)
ერთს პლუს კუთხის კოტანგენსი ტოლია ერთის გაყოფის ამ კუთხის სინუს კვადრატზე (ფორმულა 6)
ერთი და იგივე კუთხის ტანგენსის და კოტანგენსის ნამრავლი უდრის ერთს (ფორმულა 7).

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უარყოფითი კუთხის გადაქცევა (ლუწი და კენტი)

იმისათვის, რომ თავი დააღწიოთ კუთხის ხარისხის საზომის უარყოფით მნიშვნელობას სინუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის გაანგარიშებისას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნები (იდენტობები) ლუწი ან კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პრინციპებზე დაყრდნობით.

Როგორც ვნახეთ, კოსინუსიდა სეკანტი არის ფუნქციაც კი, სინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი უცნაური ფუნქციებია.

უარყოფითი კუთხის სინუსი უდრის იგივე დადებითი კუთხის სინუსის უარყოფით მნიშვნელობას (მინუს სინუს ალფა).
კოსინუსი მინუს ალფა მისცემს იგივე მნიშვნელობას, რასაც ალფა კუთხის კოსინუსი.
ტანგენტი მინუს ალფა უდრის მინუს ტანგენტს ალფას.

ორმაგი კუთხეების შემცირების ფორმულები (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და ორმაგი კუთხეების კოტანგენსი)

თუ საჭიროა კუთხის გაყოფა ნახევრად, ან პირიქით, გადაადგილება ორმაგი კუთხიდან ერთ კუთხეზე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული იდენტობები:

ორმაგი კუთხის კონვერტაცია (ორმაგი კუთხის სინუსი, ორმაგი კუთხის კოსინუსი და ორმაგი კუთხის ტანგენსი) ერთჯერადად ხდება შემდეგი წესების მიხედვით:

ორმაგი კუთხის სინუსიტოლია ერთი კუთხის სინუსისა და კოსინუსის ნამრავლის ორჯერ

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის განსხვავებას ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატსა და ამ კუთხის სინუსის კვადრატს შორის

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ორჯერ მინუს ერთი

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის ერთ მინუს ორმაგი სინუსის კვადრატში ერთ კუთხეს

ორმაგი კუთხის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი ორჯერ აღემატება ერთი კუთხის ტანგენტს, ხოლო მნიშვნელი უდრის ერთს გამოკლებული ერთი კუთხის ტანგენტის კვადრატში.

ორმაგი კუთხის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის ერთი კუთხის კოტანგენსის კვადრატი მინუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი ტოლია ერთი კუთხის კოტანგენსის ორჯერ.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები

ქვემოთ მოცემული კონვერტაციის ფორმულები შეიძლება გამოგადგეთ, როდესაც გჭირდებათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის (sin α, cos α, tan α) გაყოფა ორზე და გამოსახულების შემცირება კუთხის ნახევარზე. α-ს მნიშვნელობიდან ვიღებთ α/2.

ამ ფორმულებს ე.წ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები. მათი ღირებულება მდგომარეობს იმაში, რომ მათი დახმარებით ტრიგონომეტრიული გამოხატულება მცირდება ნახევარი კუთხის ტანგენტის გამოხატვამდე, მიუხედავად იმისა, თუ რა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (sin cos tan ctg) იყო თავდაპირველად გამოხატულებაში. ამის შემდეგ, განტოლება ნახევარი კუთხის ტანგენტით გაცილებით ადვილი ამოსახსნელია.

ტრიგონომეტრიული იდენტობები ნახევარკუთხის გარდაქმნებისთვის

ქვემოთ მოცემულია ფორმულები ნახევარი კუთხის მთელ მნიშვნელობაზე ტრიგონომეტრიული გარდაქმნისთვის.
α/2 ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა მცირდება α ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობამდე.

კუთხეების დამატების ტრიგონომეტრიული ფორმულები

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

კუთხეების ჯამის ტანგენსი და კოტანგენსიალფა და ბეტა შეიძლება გარდაიქმნას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონვერტაციისთვის შემდეგი წესების გამოყენებით:

კუთხეების ჯამის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის პირველი კუთხის ტანგენსის და მეორე კუთხის ტანგენსის ჯამი, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი გამოკლებული პირველი კუთხის ტანგენტისა და მეორე კუთხის ტანგენსის ნამრავლი.

კუთხის სხვაობის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის შემცირებული კუთხის ტანგენტსა და გამოკლებულ კუთხის ტანგენტს შორის სხვაობას, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი პლუს ამ კუთხეების ტანგენტების ნამრავლი.

კუთხეების ჯამის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის ამ კუთხეების კოტანგენსების ნამრავლს პლუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი უდრის სხვაობას მეორე კუთხის კოტანგენსსა და პირველი კუთხის კოტანგენსს შორის.

კუთხის სხვაობის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის ამ კუთხეების კოტანგენსების ნამრავლი მინუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი უდრის ამ კუთხეების კოტანგენსების ჯამს.

ეს ტრიგონომეტრიული იდენტობები მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც საჭიროა გამოთვალოთ, მაგალითად, 105 გრადუსიანი ტანგენსი (tg 105). თუ წარმოგიდგენიათ, როგორც tg (45 + 60), მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კუთხეების ჯამის ტანგენტის მოცემული იდენტური გარდაქმნები და შემდეგ უბრალოდ ჩაანაცვლოთ ტანგენსი 45 და ტანგენსი 60 გრადუსიანი ცხრილის მნიშვნელობები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის ან სხვაობის გარდაქმნის ფორმულები

გამონათქვამები, რომლებიც წარმოადგენენ sin α + sin β ფორმის ჯამს, შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

სამკუთხა ფორმულები - sin3α cos3α tan3α გარდაქმნა sinα cosα tanα

ზოგჯერ საჭიროა კუთხის სამმაგი მნიშვნელობის გარდაქმნა ისე, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი 3α-ის ნაცვლად გახდეს α კუთხე.
ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სამმაგი კუთხის ტრანსფორმაციის ფორმულები (იდენტობები):

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პროდუქტების გარდაქმნის ფორმულები

თუ საჭიროა სხვადასხვა კუთხის სინუსების, სხვადასხვა კუთხის კოსინუსების, ან თუნდაც სინუსისა და კოსინუსის ნამრავლის გარდაქმნა, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული იდენტობები:


ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა კუთხის სინუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის ფუნქციების ნამრავლი გარდაიქმნება ჯამად ან განსხვავებად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულები

თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემცირების ცხრილი შემდეგნაირად. ხაზში ვირჩევთ ჩვენთვის საინტერესო ფუნქციას. სვეტში არის კუთხე. მაგალითად, კუთხის (α+90) სინუსი პირველი მწკრივისა და პირველი სვეტის გადაკვეთაზე, აღმოვაჩენთ, რომ sin (α+90) = cos α.

ვარჯიში.
იპოვეთ x-ის მნიშვნელობა ზე.

გამოსავალი.
ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობის პოვნა, რომლის დროსაც იგი უდრის ნებისმიერ მნიშვნელობას, ნიშნავს იმის დადგენას, რომელ არგუმენტებზე იქნება სინუსის მნიშვნელობა ზუსტად ისე, როგორც მითითებულია პირობაში.
ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გავარკვიოთ, რა მნიშვნელობებზე იქნება სინუსის მნიშვნელობა 1/2-ის ტოლი. ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით.
მაგალითად, გამოიყენეთ, რომლითაც განვსაზღვროთ x-ის რომელ მნიშვნელობებზე იქნება სინუს ფუნქცია 1/2-ის ტოლი.
კიდევ ერთი გზაა გამოყენება. შეგახსენებთ, რომ სინუსების მნიშვნელობები დევს Oy ღერძზე.
ყველაზე გავრცელებული გზაა გამოყენება, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც საქმე გვაქვს მნიშვნელობებთან, რომლებიც სტანდარტულია ამ ფუნქციისთვის, როგორიცაა 1/2.
ყველა შემთხვევაში არ უნდა დავივიწყოთ სინუსის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება - მისი პერიოდი.
მოდი ვიპოვოთ ცხრილის სინუს 1/2 მნიშვნელობა და ვნახოთ რა არგუმენტები შეესაბამება მას. არგუმენტები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს არის Pi / 6 და 5Pi / 6.
ჩამოვწეროთ ყველა ფესვი, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას. ამისათვის ჩვენ ვწერთ უცნობი არგუმენტს x, რომელიც გვაინტერესებს და ცხრილიდან მიღებული არგუმენტის ერთ-ერთ მნიშვნელობას, ანუ Pi / 6. ჩვენ ვწერთ მას სინუსის პერიოდის გათვალისწინებით. არგუმენტის ყველა მნიშვნელობა:

ავიღოთ მეორე მნიშვნელობა და მივყვეთ იგივე ნაბიჯებს, როგორც წინა შემთხვევაში:

თავდაპირველი განტოლების სრული ამოხსნა იქნება:
და
ქშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მთელი რიცხვის მნიშვნელობა.

სინუსი არის ერთ-ერთი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომლის გამოყენება არ შემოიფარგლება მხოლოდ გეომეტრიით. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოსათვლელი ცხრილები, როგორიცაა საინჟინრო კალკულატორები, ყოველთვის ხელთ არ არის და სინუსის გამოთვლა ზოგჯერ საჭიროა სხვადასხვა პრობლემების გადასაჭრელად. ზოგადად, სინუსის გამოთვლა ხელს შეუწყობს ხატვის უნარებისა და ტრიგონომეტრიული იდენტობების ცოდნის კონსოლიდაციას.

თამაშები სახაზავებით და ფანქრით

მარტივი ამოცანა: როგორ მოვძებნოთ ქაღალდზე დახატული კუთხის სინუსი? გადასაჭრელად დაგჭირდებათ ჩვეულებრივი სახაზავი, სამკუთხედი (ან კომპასი) და ფანქარი. კუთხის სინუსის გამოსათვლელად უმარტივესი ხერხია მართკუთხა კუთხით სამკუთხედის შორი წრის გრძელ მხარეს - ჰიპოტენუზაზე გაყოფა. ამრიგად, თქვენ ჯერ უნდა დაასრულოთ მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედის ფორმასთან, კუთხის წვეროდან თვითნებური დაშორებით ერთ-ერთი სხივის პერპენდიკულარული ხაზის დახაზვით. ჩვენ დაგვჭირდება ზუსტად 90°-იანი კუთხის შენარჩუნება, რისთვისაც გვჭირდება სასულიერო სამკუთხედი.

კომპასის გამოყენება ცოტა უფრო ზუსტია, მაგრამ მეტი დრო დასჭირდება. ერთ-ერთ სხივზე თქვენ უნდა მონიშნოთ 2 წერტილი გარკვეულ მანძილზე, დააყენოთ რადიუსი კომპასზე დაახლოებით ტოლი წერტილებს შორის მანძილით და დახაზოთ ნახევარწრეები ცენტრებით ამ წერტილებში, სანამ არ მიიღება ამ ხაზების კვეთა. ჩვენი წრეების გადაკვეთის წერტილების ერთმანეთთან დაკავშირებით, ჩვენ ვიღებთ მკაცრ პერპენდიკულარულს ჩვენი კუთხის სხივის მიმართ; რჩება მხოლოდ ხაზის გახანგრძლივება, სანამ ის სხვა სხივთან გადაიკვეთება.

შედეგად სამკუთხედში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სახაზავი, რათა გაზომოთ კუთხის მოპირდაპირე მხარე და გრძელი მხარე ერთ-ერთ სხივზე. პირველი განზომილების შეფარდება მეორესთან იქნება მახვილი კუთხის სინუსის სასურველი მნიშვნელობა.

იპოვეთ სინუსი 90°-ზე მეტი კუთხისთვის

ბლაგვი კუთხისთვის ამოცანა არ არის ბევრად უფრო რთული. წვეროდან საპირისპირო მიმართულებით უნდა დავხატოთ სხივი სახაზავის გამოყენებით, რათა ჩამოვაყალიბოთ სწორი ხაზი იმ კუთხის ერთ-ერთი სხივით, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს. მიღებული მწვავე კუთხე უნდა დამუშავდეს ისე, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი; მიმდებარე კუთხეების სინუსები, რომლებიც ერთად ქმნიან 180°-ის საპირისპირო კუთხეს, ტოლია.

სინუსის გამოთვლა სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით

ასევე, სინუსის გამოთვლა შესაძლებელია, თუ ცნობილია კუთხის სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ან მინიმუმ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები. ამაში დაგვეხმარება ტრიგონომეტრიული იდენტობები. მოდით შევხედოთ საერთო მაგალითებს.

როგორ ვიპოვოთ სინუსი კუთხის ცნობილი კოსინუსით? პირველი ტრიგონომეტრიული იდენტობა, რომელიც დაფუძნებულია პითაგორას თეორემაზე, ამბობს, რომ ერთი და იგივე კუთხის სინუსის და კოსინუსის კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია.

როგორ ვიპოვოთ სინუსი კუთხის ცნობილი ტანგენტით? ტანგენსი მიიღება შორეული მხარის ახლო მხარეს ან სინუსის კოსინუსზე გაყოფით. ამრიგად, სინუსი იქნება კოსინუსისა და ტანგენსის ნამრავლი, ხოლო სინუსის კვადრატი იქნება ამ ნამრავლის კვადრატი. ჩვენ ვცვლით კვადრატულ კოსინუსს ერთიანსა და კვადრატულ სინუსს შორის სხვაობით პირველი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით და მარტივი მანიპულაციების საშუალებით ვამცირებთ განტოლებას კვადრატული სინუსის გამოთვლაზე ტანგენტის მეშვეობით; შესაბამისად, სინუსის გამოსათვლელად, უნდა ამოიღოთ მიღებული შედეგის ფესვი.

როგორ ვიპოვოთ სინუსი კუთხის ცნობილი კოტანგენსით? კოტანგენსის სიდიდე შეიძლება გამოითვალოს კუთხესთან ყველაზე ახლოს ფეხის სიგრძის გაყოფით შორის სიგრძეზე, ასევე კოსინუსის გაყოფით სინუსზე, ანუ კოტანგენსი არის ტანგენტის ნათესავთან შებრუნებული ფუნქცია. 1 რიცხვამდე. სინუსის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოთვალოთ ტანგენსი ფორმულის გამოყენებით tg α = 1 / ctg α და გამოიყენოთ ფორმულა მეორე ვარიანტში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ პირდაპირი ფორმულა ტანგენტის ანალოგიით, რომელიც ასე გამოიყურება.

როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის სამი გვერდის სინუსი

არსებობს ფორმულა ნებისმიერი სამკუთხედის და არა მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედის უცნობი გვერდის სიგრძის საპოვნელად ორი ცნობილი გვერდიდან მოპირდაპირე კუთხის კოსინუსის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოყენებით. ის ასე გამოიყურება.

კარგად, სინუსი შეიძლება შემდგომ გამოითვალოს კოსინუსიდან ზემოთ მოცემული ფორმულების მიხედვით.

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკური მეცნიერების ფილიალი, რომელიც შეისწავლის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და მათ გამოყენებას გეომეტრიაში. ტრიგონომეტრიის განვითარება ძველ საბერძნეთში დაიწყო. შუა საუკუნეებში ახლო აღმოსავლეთისა და ინდოეთის მეცნიერებმა მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ამ მეცნიერების განვითარებაში.

ეს სტატია ეძღვნება ტრიგონომეტრიის ძირითად ცნებებსა და განმარტებებს. მასში განხილულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. მათი მნიშვნელობა ახსნილია და ილუსტრირებულია გეომეტრიის კონტექსტში.

თავდაპირველად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები, რომელთა არგუმენტი არის კუთხე, გამოიხატებოდა მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები

კუთხის სინუსი (sin α) არის ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის კოსინუსი (cos α) - მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის ტანგენსი (t g α) - მოპირდაპირე მხარის შეფარდება მეზობელ მხარეს.

კუთხის კოტანგენსი (c t g α) - მიმდებარე მხარის შეფარდება მოპირდაპირე მხარეს.

ეს განმარტებები მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისთვის!

მოდით მივცეთ ილუსტრაცია.

სამკუთხედში ABC მართი კუთხით C, A კუთხის სინუსი უდრის BC ფეხისა და AB ჰიპოტენუზას შეფარდებას.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!

სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის -1-დან 1-მდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სინუსი და კოსინუსი იღებენ მნიშვნელობებს -1-დან 1-მდე. ტანგენტისა და კოტანგენსის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის მთელი რიცხვითი წრფე. ანუ ამ ფუნქციებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა.

ზემოთ მოცემული განმარტებები ვრცელდება მწვავე კუთხეებზე. ტრიგონომეტრიაში შემოტანილია ბრუნვის კუთხის ცნება, რომლის მნიშვნელობა, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება 0-დან 90 გრადუსამდე. ბრუნის კუთხე გრადუსებში ან რადიანებში გამოიხატება ნებისმიერი რეალური რიცხვით - ∞-დან + ∞-მდე. .

ამ კონტექსტში შეგვიძლია განვსაზღვროთ თვითნებური სიდიდის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. წარმოვიდგინოთ ერთეული წრე თავისი ცენტრით დეკარტის კოორდინატთა სისტემის სათავეში.

საწყისი წერტილი A კოორდინატებით (1, 0) ბრუნავს ერთეული წრის ცენტრის გარშემო α კუთხით და მიდის A 1 წერტილამდე. განმარტება მოცემულია A 1 (x, y) წერტილის კოორდინატების მიხედვით.

ბრუნვის კუთხის სინუსი (ცოდვა).

α ბრუნვის კუთხის სინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატი. sin α = y

ბრუნვის კუთხის კოსინუსი (cos).

α ბრუნვის კუთხის კოსინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისა. cos α = x

ბრუნვის კუთხის ტანგენტი (tg).

α ბრუნვის კუთხის ტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატის თანაფარდობა მის აბსცისასთან. t g α = y x

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი (ctg).

ბრუნვის კუთხის α კოტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან. c t g α = x y

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი ბრუნვის კუთხისთვის. ეს ლოგიკურია, რადგან ბრუნვის შემდეგ წერტილის აბსცისა და ორდინატი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი კუთხით. განსხვავებული სიტუაციაა ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ტანგენსი განუსაზღვრელია, როდესაც წერტილი ბრუნვის შემდეგ მიდის წერტილამდე ნულოვანი აბსცისით (0, 1) და (0, - 1). ასეთ შემთხვევებში ტანგენტის t g α = y x გამოხატვას უბრალოდ აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. ანალოგიური სიტუაციაა კოტანგენტთან დაკავშირებით. განსხვავება ისაა, რომ კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული იმ შემთხვევებში, როდესაც წერტილის ორდინატი ნულამდე მიდის.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის.

ტანგენტი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

კოტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას არ თქვათ „α ბრუნვის კუთხის სინუსი“. სიტყვები „ბრუნვის კუთხე“ უბრალოდ გამოტოვებულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ კონტექსტიდან უკვე ნათელია, რაზეა საუბარი.

ნომრები

რაც შეეხება რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს და არა ბრუნვის კუთხეს?

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ტარის რიცხვი, რომელიც შესაბამისად უდრის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს ტრადიანი.

მაგალითად, 10 π რიცხვის სინუსი ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს 10 π rad.

არსებობს კიდევ ერთი მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის დასადგენად. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას.

ნებისმიერი რეალური რიცხვი ტერთეული წრის წერტილი ასოცირდება ცენტრთან მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისთან. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატებით.

წრეზე საწყისი წერტილი არის A წერტილი კოორდინატებით (1, 0).

დადებითი ნომერი ტ

უარყოფითი რიცხვი ტშეესაბამება იმ წერტილს, რომელზედაც ამოვა საწყისი წერტილი, თუ ის მოძრაობს წრის გარშემო საათის ისრის საწინააღმდეგოდ და გაივლის t გზას.

ახლა, როდესაც წრეზე რიცხვსა და წერტილს შორის კავშირი დამყარდა, გადავდივართ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განსაზღვრებაზე.

ტ-ის სინუსი (ცოდვა).

რიცხვის სინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეულ წრეზე წერტილის ორდინატი ტ. sin t = y

ტ-ის კოსინუსი (cos).

რიცხვის კოსინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსციზა ტ. cos t = x

ტ-ის ტანგენსი (ტგ).

რიცხვის ტანგენტი ტ- ორდინატის შეფარდება წერტილის აბსცისასთან ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს ტ. t g t = y x = sin t cos t

უახლესი განმარტებები შეესაბამება და არ ეწინააღმდეგება ამ პუნქტის დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მიუთითეთ რიცხვის შესაბამისი წრე ტ, ემთხვევა წერტილს, რომლისკენაც მიდის საწყისი წერტილი კუთხით შემობრუნების შემდეგ ტრადიანი.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

α კუთხის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ამ კუთხის სინუსის და კოსინუსის გარკვეულ მნიშვნელობას. ისევე, როგორც α = 90 ° + 180 ° k-ის გარდა α ყველა კუთხე, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) შეესაბამება გარკვეულ ტანგენტის მნიშვნელობას. კოტანგენსი, როგორც ზემოთ აღინიშნა, განისაზღვრება ყველა α-სთვის, გარდა α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ sin α, cos α, t g α, c t g α არის კუთხის ალფა ფუნქციები, ან კუთხოვანი არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, შეგვიძლია ვისაუბროთ სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე, როგორც რიცხვითი არგუმენტის ფუნქციებზე. ყველა რეალური რიცხვი ტშეესაბამება რიცხვის სინუსის ან კოსინუსის გარკვეულ მნიშვნელობას ტ. ყველა რიცხვი, გარდა π 2 + π · k, k ∈ Z, შეესაბამება ტანგენტის მნიშვნელობას. კოტანგენსი, ანალოგიურად, განისაზღვრება ყველა რიცხვისთვის, გარდა π · k, k ∈ Z.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფუნქციები

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რომელ არგუმენტთან (კუთხური არგუმენტი თუ რიცხვითი არგუმენტი) გვაქვს საქმე.

დავუბრუნდეთ თავიდანვე მოცემულ განმარტებებს და ალფა კუთხეს, რომელიც 0-დან 90 გრადუსამდეა. სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის ტრიგონომეტრიული განმარტებები მთლიანად შეესაბამება მართკუთხა სამკუთხედის ასპექტის თანაფარდობით მოცემულ გეომეტრიულ განმარტებებს. ვაჩვენოთ.

ავიღოთ ერთეული წრე ცენტრით მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. მოვატრიალოთ საწყისი წერტილი A (1, 0) 90 გრადუსამდე კუთხით და მივიღოთ აბსცისის ღერძის პერპენდიკულარული A 1 (x, y) წერტილიდან. მიღებულ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 O H კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, O H ფეხის სიგრძე უდრის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისს. კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატს, ხოლო ჰიპოტენუზის სიგრძე უდრის ერთს, რადგან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი.

გეომეტრიის განმარტებით, α კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე მხარის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

ეს ნიშნავს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განსაზღვრა ასპექტის თანაფარდობით უდრის ბრუნვის α კუთხის სინუსის განსაზღვრას, ალფა კი 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონშია.

ანალოგიურად, განმარტებების შესაბამისობა შეიძლება ნაჩვენები იყოს კოსინუსისთვის, ტანგენსისთვის და კოტანგენსისთვის.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter