ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

ისე, ჩვენ შორს არ წავალთ, მაშინვე განვიხილავთ შებრუნებულ ფუნქციას. რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:

ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:

ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: ამის ნაცვლად ვწერთ.

რისი ტოლია? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2. რა არის ფუნქციის წარმოებული?

პასუხები: ექსპონენტი და ბუნებრივი ლოგარითმი წარმოებულის თვალსაზრისით ცალსახად მარტივი ფუნქციებია. ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ერთად ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ექნებათ განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენციაციის წესები

რა წესები? კიდევ ერთი ახალი ტერმინი, ისევ?!...

დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.

მხოლოდ და ყველაფერი. რა არის სხვა სიტყვა ამ პროცესისთვის? არა proizvodnovanie... მათემატიკის დიფერენციალს ეწოდება ფუნქციის თვით ზრდა. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.

ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

სულ 5 წესია.

მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან.

თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესიც მუშაობს განსხვავებაზე: .

დავამტკიცოთ. მოდით, ან უფრო ადვილია.

მაგალითები.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

1. წერტილში;
2. წერტილში;
3. წერტილში;
4. წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

1. (წარმოებული ყველა წერტილში ერთნაირია, რადგან ის წრფივი ფუნქციაა, გახსოვს?);

პროდუქტის წარმოებული

აქ ყველაფერი მსგავსია: ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ფუნქციას და ვპოულობთ მის ზრდას:

წარმოებული:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ მაჩვენებლის (დაგავიწყდათ კიდევ რა არის?).

მაშ სად არის რაღაც რიცხვი.

ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე მივიყვანოთ:

ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:

ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

მოხდა?

აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:

ფორმულა ძალიან ჰგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.

მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

პასუხები:

ეს არის მხოლოდ რიცხვი, რომლის გამოთვლა შეუძლებელია კალკულატორის გარეშე, ანუ არ შეიძლება ჩაწეროთ უფრო მარტივი ფორმით. მაშასადამე, პასუხში ის დარჩა ამ ფორმით.

გაითვალისწინეთ, რომ აქ არის ორი ფუნქციის კოეფიციენტი, ამიტომ ჩვენ ვიყენებთ დიფერენციაციის შესაბამის წესს:

ამ მაგალითში ორი ფუნქციის პროდუქტია:

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:

მაშასადამე, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმიდან განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:

ჩვენ უნდა მივიყვანოთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

მხოლოდ ახლა ამის ნაცვლად დავწერთ:

მნიშვნელი აღმოჩნდა მხოლოდ მუდმივი (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული ძალიან მარტივია:

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები გამოცდაზე თითქმის არ გვხვდება, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.

რთული ფუნქციის წარმოებული.

რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც რკალის ტანგენსი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთულად გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი რთულად მოგეჩვენებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და ყველაფერი გამოვა), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.

წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ობიექტებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი მას ლენტით აკრავს. გამოდის ასეთი კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.

შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი გამოვასწორებთ მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ისინი გვაძლევენ რიცხვს (შოკოლადი), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც მისი მნიშვნელობის საპოვნელად ვაკეთებთ პირველ მოქმედებას პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მეორე მოქმედებასთან, რაც მოხდა პირველის შედეგად.

Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

ჩვენი მაგალითისთვის,.

ჩვენ შეგვიძლია იგივე მოქმედებები გავაკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატულობთ, შემდეგ კი მე ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს:. ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც მოქმედებების თანმიმდევრობა იცვლება, ფუნქცია იცვლება.

მეორე მაგალითი: (იგივე). .

ბოლო მოქმედება, რომელსაც ჩვენ გავაკეთებთ, იქნება დაძახებული "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში

1. რა ქმედებებს მივიღებთ პირველ რიგში? ჯერ ვიანგარიშებთ სინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ ავწევთ მას კუბამდე. ასე რომ, ეს არის შიდა ფუნქცია და არა გარეგანი.
   ხოლო ორიგინალური ფუნქციაა მათი შემადგენლობა: .
2. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
3. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
4. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
5. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.

ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.

კარგი, ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადს - მოძებნეთ წარმოებული. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალური მაგალითისთვის, ასე გამოიყურება:

Სხვა მაგალითი:

ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

როგორც ჩანს, მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

გადაწყვეტილებები:

1) შიდა: ;

გარე: ;

2) შიდა: ;

(უბრალოდ აქამდე ნუ ეცდებით შემცირებას! კოსინუსიდან არაფერი ამოღებულია, გახსოვს?)

3) შიდა: ;

გარე: ;

მაშინვე ცხადია, რომ აქ არის სამდონიანი კომპლექსური ფუნქცია: ბოლოს და ბოლოს, ეს უკვე თავისთავად რთული ფუნქციაა და მისგან ფესვს მაინც გამოვყოფთ, ანუ ვასრულებთ მესამე მოქმედებას (შოკოლადი ჩავდოთ შესაფუთში. და ლენტით პორტფელში). მაგრამ შიშის საფუძველი არ არის: ყოველ შემთხვევაში, ჩვენ ამ ფუნქციას "გახსნით" იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ყოველთვის: ბოლოდან.

ანუ ჯერ განვასხვავებთ ფესვს, შემდეგ კოსინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ გამონათქვამს ფრჩხილებში. და შემდეგ ვამრავლებთ ყველაფერს.

ასეთ შემთხვევებში მოსახერხებელია მოქმედებების დანომრვა. ანუ წარმოვიდგინოთ რა ვიცით. რა თანმიმდევრობით შევასრულებთ მოქმედებებს ამ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოსათვლელად? მოდით შევხედოთ მაგალითს:

რაც უფრო გვიან შესრულდება მოქმედება, მით უფრო "გარე" იქნება შესაბამისი ფუნქცია. მოქმედებების თანმიმდევრობა - როგორც ადრე:

აქ ბუდე ძირითადად 4 დონისაა. მოდით განვსაზღვროთ მოქმედების კურსი.

1. რადიკალური გამოხატულება. .

2. ფესვი. .

3. სინუსი. .

4. მოედანი. .

5. ყველაფრის ერთად შეკრება:

წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ

ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნაზრდით:

ძირითადი წარმოებულები:

დიფერენცირების წესები:

მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან:

ჯამის წარმოებული:

წარმოებული პროდუქტი:

კოეფიციენტის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

1. ჩვენ განვსაზღვრავთ "შინაგან" ფუნქციას, ვპოულობთ მის წარმოებულს.
2. ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას, ვიპოვით მის წარმოებულს.
3. ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.

და თეორემა რთული ფუნქციის წარმოებულზე, რომლის ფორმულირება ასეთია:

მოდით 1) $u=\varphi (x)$ ფუნქციას აქვს $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ რაღაც მომენტში $x_0$, 2) ფუნქცია $y=f(u)$ აქვს შესაბამის წერტილში $u_0=\varphi (x_0)$ წარმოებული $y_(u)"=f"(u)$. მაშინ კომპლექსურ ფუნქციას $y=f\left(\varphi (x) \right)$ აღნიშნულ წერტილში ასევე ექნება წარმოებული $f(u)$ და $\varphi ფუნქციების წარმოებულების ნამრავლის ტოლი. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \მარჯვნივ)\cdot \varphi"(x_0) $$

ან, უფრო მოკლე აღნიშვნით: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

ამ განყოფილების მაგალითებში ყველა ფუნქციას აქვს ფორმა $y=f(x)$ (ანუ განვიხილავთ მხოლოდ $x$ ცვლადის ფუნქციებს). შესაბამისად, ყველა მაგალითში $y"$ წარმოებული აღებულია $x$ ცვლადის მიმართ. იმის ხაზგასასმელად, რომ წარმოებული აღებულია $x$ ცვლადის მიმართ, ხშირად $-ის ნაცვლად წერენ $y"_x$. y"$.

#1, #2 და #3 მაგალითები იძლევა დეტალურ პროცესს რთული ფუნქციების წარმოებულის მოსაძებნად. მაგალითი No4 განკუთვნილია წარმოებულების ცხრილის უფრო სრულყოფილი გაგებისთვის და აზრი აქვს გაეცნოთ მას.

მიზანშეწონილია No1-3 მაგალითებში მასალის შესწავლის შემდეგ გადავიდეთ No5, No6 და No7 მაგალითების დამოუკიდებლად გადაჭრაზე. #5, #6 და #7 მაგალითები შეიცავს მოკლე გადაწყვეტას, რათა მკითხველმა შეძლოს მისი შედეგის სისწორის შემოწმება.

მაგალითი #1

იპოვეთ $y=e^(\cos x)$ ფუნქციის წარმოებული.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $y"$ რთული ფუნქციის წარმოებული. ვინაიდან $y=e^(\cos x)$, მაშინ $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. იპოვეთ წარმოებული $ \left(e^(\cos x)\right)"$ გამოიყენეთ ფორმულა #6 წარმოებულების ცხრილიდან. იმისათვის, რომ გამოიყენოთ ფორმულა No6, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენს შემთხვევაში $u=\cos x$. შემდგომი გამოსავალი შედგება გამოხატვის $\cos x$-ის ნაცვლად $u$-ის ბანალურ ჩანაცვლებაში No6 ფორმულაში:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \მარჯვნივ)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \ tag (1.1)$$

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გამოთქმის მნიშვნელობა $(\cos x)"$. კვლავ მივმართავთ წარმოებულების ცხრილს, მისგან ვირჩევთ ფორმულას No10. $u=x$-ის ჩანაცვლებით მე-10 ფორმულაში გვაქვს. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. ახლა ვაგრძელებთ თანასწორობას (1.1) და ვავსებთ მას ნაპოვნი შედეგით:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \ tag (1.2) $$

ვინაიდან $x"=1$, ჩვენ ვაგრძელებთ თანასწორობას (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \ tag (1.3) $$

ასე რომ, ტოლობიდან (1.3) გვაქვს: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. ბუნებრივია, ახსნა-განმარტებები და შუალედური ტოლობები ჩვეულებრივ გამოტოვებულია, წარმოებული იწერება ერთ სტრიქონში, როგორც ტოლობაში. (1.3) ასე რომ, ნაპოვნია რთული ფუნქციის წარმოებული, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

მაგალითი #2

იპოვეთ $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ფუნქციის წარმოებული.

ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ წარმოებული $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მუდმივი (ანუ რიცხვი 9) შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \ tag (2.1) $$

ახლა მივმართოთ გამოთქმას $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. წარმოებულების ცხრილიდან სასურველი ფორმულის არჩევის გასაადვილებლად წარმოგიდგენთ გამონათქვამს. შეკითხვა ამ ფორმით: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. ახლა გასაგებია, რომ აუცილებელია No2 ფორმულის გამოყენება, ე.ი. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ჩაანაცვლეთ $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ და $\alpha=12$ ამ ფორმულაში:

ტოლობის (2.1) შევსების შედეგად მიღებული შედეგი გვაქვს:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \ tag (2.2) $$

ამ სიტუაციაში ხშირად უშვებს შეცდომას, როდესაც ამომხსნელი პირველ საფეხურზე ირჩევს ფორმულას $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ ფორმულის ნაცვლად. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. საქმე იმაშია, რომ ჯერ უნდა მოიძებნოს გარე ფუნქციის წარმოებული. იმის გასაგებად, თუ რომელი ფუნქცია იქნება გარე გამოხატვის $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ითვლით გამოხატვის $\arctg^(12)(4\cdot 5^ მნიშვნელობას. x)$ გარკვეული ღირებულებისთვის $x$. ჯერ გამოთვალეთ $5^x$-ის მნიშვნელობა, შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი 4-ზე და მიიღეთ $4\cdot 5^x$. ახლა ავიღებთ არქტანგენტს ამ შედეგიდან, ვიღებთ $\arctg(4\cdot 5^x)$. შემდეგ მივიღებთ მიღებულ რიცხვს მეთორმეტე ხარისხამდე, ვიღებთ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. ბოლო მოქმედება, ე.ი. ამაღლება 12-ის სიმძლავრემდე, - და იქნება გარე ფუნქცია. და სწორედ მისგან უნდა დაიწყოს წარმოებულის პოვნა, რომელიც გაკეთდა თანასწორობაში (2.2).

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. ჩვენ ვიყენებთ წარმოებულების ცხრილის ფორმულას No. 19, ჩავანაცვლებთ მასში $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

მოდით ოდნავ გავამარტივოთ მიღებული გამონათქვამი, გავითვალისწინოთ $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ტოლობა (2.2) ახლა გახდება:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ tag (2.3) $$

რჩება $(4\cdot \ln x)"$-ის პოვნა. ჩვენ ვიღებთ მუდმივას (ე.ი. 4) წარმოებულის ნიშნიდან: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ $(\ln x)"$, ვიყენებთ ფორმულას No. 8, ჩანაცვლებით $u=x$ მასში: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. ვინაიდან $x"=1$, მაშინ $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ მიღებული შედეგის (2.3) ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

შეგახსენებთ, რომ რთული ფუნქციის წარმოებული ყველაზე ხშირად ერთ სტრიქონშია, როგორც ეს ბოლო ტოლობაში წერია. ამიტომ, სტანდარტული გამოთვლების ან ტესტების გაკეთებისას, სულაც არ არის საჭირო ხსნარის დახატვა იმავე დეტალებში.

უპასუხე: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

მაგალითი #3

იპოვეთ $y"$ ფუნქციის $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

პირველ რიგში, მოდით ოდნავ გარდავცვალოთ $y$ ფუნქცია რადიკალი (root) ხარისხად გამოსახვით: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9). ^x) \მარჯვნივ)^(\frac(3)(7))$. ახლა დავიწყოთ წარმოებულის პოვნა. ვინაიდან $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, მაშინ:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას No. 2 წარმოებულების ცხრილიდან, ჩანაცვლებით $u=\sin(5\cdot 9^x)$ და $\alpha=\frac(3)(7)$ მასში:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

ჩვენ ვაგრძელებთ ტოლობას (3.1) მიღებული შედეგის გამოყენებით:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \ tag (3.2) $$

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $(\sin(5\cdot 9^x))"$. ამისთვის ვიყენებთ ფორმულას No. 9 წარმოებულების ცხრილიდან, ჩავანაცვლებთ მასში $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

ტოლობის (3.2) შევსების შედეგად მიღებული შედეგი გვაქვს:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ tag (3.3) $$

რჩება $(5\cdot 9^x)"$-ის პოვნა. პირველ რიგში, ჩვენ ვიღებთ მუდმივას (რიცხვი $5$) წარმოებულის ნიშნიდან, ანუ $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. $(9^x)"$ წარმოებულის საპოვნელად, გამოვიყენებთ წარმოებულთა ცხრილის მე-5 ფორმულას, ჩავანაცვლებთ მასში $a=9$ და $u=x$: $. (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. ვინაიდან $x"=1$, მაშინ $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. ახლა შეგვიძლია გავაგრძელოთ თანასწორობა (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

თქვენ შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ ძალაუფლებიდან რადიკალებს (მაგ. ფესვებს) $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$-ად დაწერით $\ frac(1) )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. შემდეგ წარმოებული დაიწერება შემდეგი ფორმით:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

უპასუხე: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

მაგალითი #4

აჩვენეთ, რომ წარმოებულთა ცხრილის No3 და No4 ფორმულები ამ ცხრილის No2 ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევაა.

წარმოებულთა ცხრილის No2 ფორმულაში იწერება $u^\alpha$ ფუნქციის წარმოებული. $\alpha=-1$ ჩანაცვლებით ფორმულა #2-ში, მივიღებთ:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

ვინაიდან $u^(-1)=\frac(1)(u)$ და $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, თანასწორობა (4.1) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. ეს არის წარმოებულების ცხრილის ფორმულა ნომერი 3.

მოდით კვლავ მივმართოთ წარმოებულების ცხრილის No2 ფორმულას. ჩაანაცვლეთ $\alpha=\frac(1)(2)$ მასში:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

ვინაიდან $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ და $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, მაშინ ტოლობა (4.2) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

შედეგად მიღებული ტოლობა $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ არის წარმოებულების ცხრილის ფორმულა No. 4. როგორც ხედავთ, წარმოებულების ცხრილის No3 და No4 ფორმულები მიღებულია No2 ფორმულიდან $\alpha$-ის შესაბამისი მნიშვნელობის ჩანაცვლებით.

რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული.
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ დიფერენციაციის ტექნიკის გაუმჯობესებას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაერთიანებთ გაშუქებულ მასალას, განვიხილავთ უფრო რთულ წარმოებულებს და ასევე გავეცნობით წარმოებულის პოვნის ახალ ხრიკებს და ხრიკებს, კერძოდ, ლოგარითმული წარმოებულის.

იმ მკითხველებმა, რომლებსაც აქვთ დაბალი დონის მომზადება, უნდა მიმართონ სტატიას როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტის მაგალითებირაც საშუალებას მოგცემთ ამაღლოთ თქვენი უნარები თითქმის ნულიდან. შემდეგი, თქვენ უნდა ყურადღებით შეისწავლოთ გვერდი რთული ფუნქციის წარმოებული, გაიგე და გადაწყვიტე ყველაჩემს მიერ მოყვანილი მაგალითები. ეს გაკვეთილი ლოგიკურად ზედიზედ მესამეა და მისი დაუფლების შემდეგ დამაჯერებლად განასხვავებთ საკმაოდ რთულ ფუნქციებს. არასასურველია დარჩეს პოზიცია „სხვაგან სად? დიახ, და ეს საკმარისია! ”, რადგან ყველა მაგალითი და გამოსავალი აღებულია რეალური ტესტებიდან და ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

დავიწყოთ გამეორებით. გაკვეთილზე რთული ფუნქციის წარმოებულიჩვენ განვიხილეთ არაერთი მაგალითი დეტალური კომენტარებით. დიფერენციალური გამოთვლების და მათემატიკური ანალიზის სხვა განყოფილებების შესწავლის პროცესში, თქვენ მოგიწევთ ძალიან ხშირად დიფერენცირება და ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი (და არა ყოველთვის აუცილებელი) მაგალითების დეტალურად დახატვა. ამიტომ, ჩვენ ვივარჯიშებთ წარმოებულების ზეპირ პოვნაში. ამისათვის ყველაზე შესაფერისი "კანდიდატები" არის უმარტივესი რთული ფუნქციების წარმოებულები, მაგალითად:

რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით :

სამომავლოდ სხვა მატანის თემების შესწავლისას ასეთი დეტალური ჩანაწერი ყველაზე ხშირად არ არის საჭირო, ვარაუდობენ, რომ სტუდენტს შეუძლია ავტოპილოტზე მსგავსი წარმოებულების პოვნა. წარმოვიდგინოთ, რომ დილის 3 საათზე ტელეფონმა დარეკა და სასიამოვნო ხმამ იკითხა: "რა არის ორი x-ის ტანგენსის წარმოებული?". ამას უნდა მოჰყვეს თითქმის მყისიერი და თავაზიანი პასუხი: .

პირველი მაგალითი დაუყოვნებლივ იქნება განკუთვნილი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 1

იპოვეთ შემდეგი წარმოებულები ზეპირად, ერთი ნაბიჯით, მაგალითად: . დავალების შესასრულებლად, თქვენ მხოლოდ უნდა გამოიყენოთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი(თუ მას უკვე არ ახსოვდა). თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გირჩევთ გაკვეთილის ხელახლა წაკითხვას რთული ფუნქციის წარმოებული.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

რთული წარმოებულები

წინასწარი საარტილერიო მომზადების შემდეგ, მაგალითები ფუნქციების 3-4-5 დანართი ნაკლებად საშინელი იქნება. შესაძლოა, შემდეგი ორი მაგალითი ზოგს რთულად მოეჩვენოს, მაგრამ თუ მათი გაგება (ვიღაც ზარალდება), მაშინ დიფერენციალურ გამოთვლებში თითქმის ყველაფერი ბავშვის ხუმრობად მოეჩვენება.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას, პირველ რიგში, აუცილებელია უფლებაინვესტიციების გაგება. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს ეჭვები, შეგახსენებთ სასარგებლო ხრიკს: ჩვენ ვიღებთ ექსპერიმენტულ მნიშვნელობას "x", მაგალითად, და ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზზე) ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა "საშინელი გამოხატულებით".

1) ჯერ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატულება, ასე რომ ჯამი არის ყველაზე ღრმა ბუდე.

2) შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:

4) შემდეგ კუბური კოსინუსი:

5) მეხუთე საფეხურზე განსხვავება:

6) და ბოლოს, ყველაზე გარე ფუნქცია არის კვადრატული ფესვი:

კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციაციის ფორმულა გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით, ყველაზე გარე ფუნქციიდან შინაგანამდე. Ჩვენ ვწყვეტთ:

როგორც ჩანს, შეცდომა არ არის...

(1) ვიღებთ კვადრატული ფესვის წარმოებულს.

(2) ჩვენ ვიღებთ სხვაობის წარმოებულს წესის გამოყენებით

(3) სამეულის წარმოებული ტოლია ნულის. მეორე წევრში ვიღებთ ხარისხის წარმოებულს (კუბი).

(4) ვიღებთ კოსინუსის წარმოებულს.

(5) ვიღებთ ლოგარითმის წარმოებულს.

(6) და ბოლოს, ჩვენ ავიღებთ ყველაზე ღრმა ბუდეების წარმოებულს.

შეიძლება ძალიან რთული ჩანდეს, მაგრამ ეს არ არის ყველაზე სასტიკი მაგალითი. აიღეთ, მაგალითად, კუზნეცოვის კოლექცია და თქვენ დააფასებთ გაანალიზებული წარმოებულის მთელ ხიბლს და სიმარტივეს. შევამჩნიე, რომ მოსწონთ გამოცდაზე მსგავსი რამის მიცემა, რათა შეამოწმონ, ესმის თუ არა სტუდენტს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნა, თუ არ ესმის.

შემდეგი მაგალითი არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მინიშნება: პირველ რიგში ვიყენებთ წრფივობის წესებს და პროდუქტის დიფერენციაციის წესს

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

დროა გადავიდეთ უფრო კომპაქტურ და ლამაზზე.
იშვიათი არაა სიტუაცია, როდესაც მაგალითში მოცემულია არა ორი, არამედ სამი ფუნქციის ნამრავლი. როგორ მოვძებნოთ სამი ფაქტორის პროდუქტის წარმოებული?

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჯერ ვუყურებთ, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა სამი ფუნქციის ნამრავლის ორი ფუნქციის ნამრავლად გადაქცევა? მაგალითად, თუ ჩვენ გვქონდა ორი მრავალწევრი ნამრავლში, მაშინ შეგვიძლია გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ ამ მაგალითში ყველა ფუნქცია განსხვავებულია: ხარისხი, მაჩვენებელი და ლოგარითმი.

ასეთ შემთხვევებში აუცილებელია თანმიმდევრულადგამოიყენეთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესი ორჯერ

ხრიკი ის არის, რომ "y"-სთვის ჩვენ აღვნიშნავთ ორი ფუნქციის ნამრავლს: , ხოლო "ve" -სთვის - ლოგარითმს:. რატომ შეიძლება ამის გაკეთება? Ეს არის - ეს არ არის ორი ფაქტორის პროდუქტი და წესი არ მუშაობს?! არაფერია რთული:

ახლა რჩება წესის მეორედ გამოყენება ფრჩხილებში:

მაინც შეიძლება გარყვნილება და ფრჩხილებიდან რაღაცის ამოღება, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჯობია პასუხი ამ ფორმით დატოვო - უფრო ადვილი იქნება შემოწმება.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითი შეიძლება მოგვარდეს მეორე გზით:

ორივე გამოსავალი აბსოლუტურად ექვივალენტურია.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, ნიმუშში ის წყდება პირველი გზით.

განვიხილოთ მსგავსი მაგალითები წილადებით.

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ წასვლა რამდენიმე გზით:

ან ასე:

მაგრამ ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს უფრო კომპაქტურად, თუ, პირველ რიგში, გამოვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენციაციის წესს. მთელი მრიცხველის აღებით:

პრინციპში მაგალითი მოგვარებულია და ამ ფორმით თუ დარჩება შეცდომა არ იქნება. მაგრამ თუ დრო გაქვთ, ყოველთვის მიზანშეწონილია შეამოწმოთ პროექტი, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა პასუხის გამარტივება? მრიცხველის გამოსახულებას მივყავართ საერთო მნიშვნელთან და მოიშორეთ სამსართულიანი წილადი:

დამატებითი გამარტივების მინუსი არის ის, რომ არსებობს შეცდომის დაშვების რისკი არა წარმოებულის პოვნისას, არამედ ბანალური სკოლის გარდაქმნებისას. მეორეს მხრივ, მასწავლებლები ხშირად უარყოფენ დავალებას და ითხოვენ წარმოებულის „გახსენებას“.

უფრო მარტივი მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ წარმოებულის პოვნის ტექნიკის დაუფლებას და ახლა განვიხილავთ ტიპიურ შემთხვევას, როდესაც დიფერენციაციისთვის შემოთავაზებულია "საშინელი" ლოგარითმი.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გრძელი გზა გაიაროთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის გამოყენებით:

მაგრამ პირველივე ნაბიჯი მაშინვე გიბიძგებს სასოწარკვეთილებაში - თქვენ უნდა აიღოთ წილადი ხარისხის უსიამოვნო წარმოებული, შემდეგ კი წილადიდან.

Ამიტომაც ადრეროგორ ავიღოთ "ლამაზი" ლოგარითმის წარმოებული, ის ადრე გამარტივებულია ცნობილი სკოლის თვისებების გამოყენებით:

! თუ ხელთ გაქვთ სავარჯიშო რვეული, დააკოპირეთ ეს ფორმულები იქვე. თუ რვეული არ გაქვთ, დახატეთ ისინი ფურცელზე, რადგან გაკვეთილის დანარჩენი მაგალითები ამ ფორმულების გარშემო ტრიალებს.

თავად გამოსავალი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

მოდით გარდავქმნათ ფუნქცია:

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:

თავად ფუნქციის წინასწარმა ტრანსფორმაციამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გამოსავალი. ამრიგად, როდესაც მსგავსი ლოგარითმი შემოთავაზებულია დიფერენციაციისთვის, ყოველთვის მიზანშეწონილია მისი „დაშლა“.

ახლა კი რამდენიმე მარტივი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ყველა ტრანსფორმაცია და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებული

თუ ლოგარითმების წარმოებული ასეთი ტკბილი მუსიკაა, მაშინ ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა ზოგიერთ შემთხვევაში ლოგარითმის ხელოვნურად ორგანიზება? შეიძლება! და აუცილებელიც კი.

მაგალითი 11

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მსგავსი მაგალითები ჩვენ ახლახან განვიხილეთ. Რა უნდა ვქნა? შეიძლება თანმიმდევრულად გამოიყენოს კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი, შემდეგ კი პროდუქტის დიფერენცირების წესი. ამ მეთოდის მინუსი არის ის, რომ თქვენ მიიღებთ უზარმაზარ სამსართულიან წილადს, რომელსაც საერთოდ არ გსურთ გამკლავება.

მაგრამ თეორიასა და პრაქტიკაში არის ისეთი მშვენიერი რამ, როგორიცაა ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები შეიძლება ხელოვნურად დალაგდეს ორივე მხრიდან მათი „დაკიდებით“:

შენიშვნა : იმიტომ ფუნქციას შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოდულები: , რომლებიც დიფერენცირების შედეგად ქრება. თუმცა, ამჟამინდელი დიზაინიც მისაღებია, სადაც სტანდარტულად კომპლექსიღირებულებები. მაგრამ თუ მთელი სიმკაცრით, მაშინ ორივე შემთხვევაში აუცილებელია ამის დაჯავშნა.

ახლა თქვენ უნდა "დაანგრიოთ" მარჯვენა მხარის ლოგარითმი მაქსიმალურად (ფორმულები თქვენს თვალწინ?). მე დეტალურად აღვწერ ამ პროცესს:

დავიწყოთ დიფერენცირებით.
ორივე ნაწილს ვასრულებთ ინსულტით:

მარჯვენა მხარის წარმოებული საკმაოდ მარტივია, მასზე კომენტარს არ გავაკეთებ, რადგან თუ ამ ტექსტს კითხულობთ, მას თავდაჯერებულად უნდა გაუმკლავდეთ.

რაც შეეხება მარცხენა მხარეს?

მარცხენა მხარეს გვაქვს რთული ფუნქცია. მე ვგეგმავ კითხვას: "რატომ, არის ერთი ასო "y" ლოგარითმის ქვეშ?".

ფაქტია, რომ ეს "ერთი ასო y" - არის ფუნქცია თავისთავად(თუ ეს არ არის ძალიან ნათელი, იხილეთ სტატია ირიბად მითითებული ფუნქციის წარმოებული). მაშასადამე, ლოგარითმი არის გარე ფუნქცია, ხოლო "y" არის შიდა ფუნქცია. და ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს :

მარცხენა მხარეს, თითქოს ჯადოსნურად, გვაქვს წარმოებული. გარდა ამისა, პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ ვყრით "y"-ს მარცხენა მხარის მნიშვნელიდან მარჯვენა მხარის ზევით:

ახლა კი გვახსოვს, რა სახის "თამაშის" ფუნქციაზე ვისაუბრეთ დიფერენცირებისას? მოდით შევხედოთ მდგომარეობას:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 12

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამ ტიპის მაგალითის ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებულის დახმარებით შესაძლებელი გახდა 4-7 მაგალითის ამოხსნა, სხვა საქმეა, რომ ფუნქციები იქ უფრო მარტივია და, შესაძლოა, ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება არც თუ ისე გამართლებული იყოს.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ამ ფუნქციას. ექსპონენციალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს და ხარისხი და ბაზა დამოკიდებულია "x"-ზე. კლასიკური მაგალითი, რომელიც მოგცემთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ან ლექციაზე:

როგორ მოვძებნოთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული?

აუცილებელია ახლავე განხილული ტექნიკის გამოყენება - ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები ორივე მხარეს ვკიდებთ:

როგორც წესი, ხარისხი ამოღებულია ლოგარითმის ქვეშ მარჯვენა მხარეს:

შედეგად, მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფუნქციის პროდუქტი, რომელიც დიფერენცირებული იქნება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით. .

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს, ამისათვის ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ:

შემდეგი ნაბიჯები მარტივია:

საბოლოოდ:

თუ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია ბოლომდე გასაგები არ არის, გთხოვთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მაგალითი 11-ის განმარტებები.

პრაქტიკულ ამოცანებში ექსპონენციალური ფუნქცია ყოველთვის უფრო რთული იქნება, ვიდრე განხილული ლექციის მაგალითი.

მაგალითი 13

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმულ წარმოებულს.

მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფაქტორის მუდმივი და ნამრავლი - "x" და "x-ის ლოგარითმის ლოგარითმი" (ლოგარითმის ქვეშ ბუდობს სხვა ლოგარითმი). მუდმივის დიფერენცირებისას, როგორც გვახსოვს, სჯობს მაშინვე გამოვიყვანოთ წარმოებულის ნიშნიდან, რათა ხელი არ შეუშალოს; და, რა თქმა უნდა, გამოიყენეთ ნაცნობი წესი :

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით როგორ მოვძებნოთ რთული ფუნქციის წარმოებული. გაკვეთილი არის გაკვეთილის ლოგიკური გაგრძელება როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?, რომელზედაც გავაანალიზეთ უმარტივესი წარმოებულები, ასევე გავეცანით დიფერენციაციის წესებს და წარმოებულების პოვნის რამდენიმე ტექნიკურ მეთოდს. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად ფუნქციების წარმოებულებით ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი არ არის ბოლომდე გასაგები, მაშინ ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვთ, სერიოზულ განწყობას შეუდგეთ - მასალა ადვილი არ არის, მაგრამ მაინც შევეცდები მარტივად და ნათლად წარმოვაჩინო.

პრაქტიკაში, რთული ფუნქციის წარმოებულთან ძალიან ხშირად გიწევს საქმე, მე ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როცა დავალებებს აძლევენ წარმოებულების პოვნას.

ცხრილში განვიხილავთ კომპლექსური ფუნქციის დიფერენცირების წესს (No5):

ჩვენ გვესმის. უპირველეს ყოვლისა, მოდით შევხედოთ აღნიშვნას. აქ გვაქვს ორი ფუნქცია - და და ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ჩადებულია ფუნქციაში. ამ ტიპის ფუნქციას (როდესაც ერთი ფუნქცია მეორეშია ჩადგმული) რთული ფუნქცია ეწოდება.

დავრეკავ ფუნქციას გარე ფუნქციადა ფუნქცია – შიდა (ან წყობილი) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა გამოჩნდეს დავალებების საბოლოო დიზაინში. არაფორმალურ გამოთქმებს „გარე ფუნქცია“, „შინაგანი“ ფუნქცია ვიყენებ მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად, განიხილეთ:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსის ქვეშ, ჩვენ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "x", არამედ მთელი გამოხატულება, ამიტომ წარმოებულის პოვნა ცხრილიდან დაუყოვნებლივ არ იმუშავებს. ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ აქ პირველი ოთხი წესის გამოყენება შეუძლებელია, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ შეუძლებელია სინუსის „დაშლა“:

ამ მაგალითში, უკვე ჩემი ახსნა-განმარტებიდან, ინტუიციურად ირკვევა, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო პოლინომი შიდა ფუნქცია (ჩანერგვა) და გარე ფუნქცია.

Პირველი ნაბიჯი, რომელიც უნდა შესრულდეს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას არის გააცნობიეროს რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

მარტივი მაგალითების შემთხვევაში, აშკარად ჩანს, რომ პოლინომი მოთავსებულია სინუსის ქვეშ. მაგრამ რა მოხდება, თუ ეს არ არის აშკარა? როგორ განვსაზღვროთ ზუსტად რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს გონებრივად ან მონახაზზე.

წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოთქმის მნიშვნელობა კალკულატორით (ერთის ნაცვლად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

რა გამოვთვალოთ პირველ რიგში? Პირველ რიგშითქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი მოქმედება: , ასე რომ, მრავალწევრი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეცთქვენ უნდა იპოვოთ, ასე რომ, სინუსი - იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ გაიგეშიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოვიყენოთ რთული ფუნქციების დიფერენციაციის წესი.

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას. გაკვეთილიდან როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის იწყება ასე - ჩვენ ვამაგრებთ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვსვამთ შტრიხს ზედა მარჯვნივ:

Პირველადვპოულობთ გარეგანი ფუნქციის წარმოებულს (სინუსს), დავაკვირდებით ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილს და ვამჩნევთ, რომ . ყველა ცხრილის ფორმულა გამოიყენება მაშინაც კი, თუ "x" ჩანაცვლებულია რთული გამოსახულებით, ამ შემთხვევაში:

გაითვალისწინეთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, არ ვეხებით.

ისე, ეს სრულიად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების საბოლოო შედეგი ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ მოთავსებულია გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობაა, დაწერეთ გადაწყვეტილება ქაღალდზე და ხელახლა წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვწერთ:

ჩვენ ვხვდებით, სად გვაქვს გარეგანი ფუნქცია და სად არის შიდა. ამისათვის ჩვენ ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზზე) გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა . რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ რის ტოლია ფუძე:, რაც ნიშნავს, რომ პოლინომი არის შიდა ფუნქცია:

და, მხოლოდ ამის შემდეგ ხორციელდება ექსპონენტაცია, შესაბამისად, დენის ფუნქცია არის გარე ფუნქცია:

ფორმულის მიხედვით, ჯერ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში, ხარისხი. ჩვენ ვეძებთ სასურველ ფორმულას ცხრილში:. კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილის ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "x", არამედ რთული გამოსახულებისთვისაც. ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგია:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ, რომ როდესაც ვიღებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შიდა ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება შიდა ფუნქციის ძალიან მარტივი წარმოებულის პოვნა და შედეგის ოდნავ "დავარცხნა":

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულის გაგების გასამყარებლად, მაგალითს მივცემ კომენტარის გარეშე, შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ, მიზეზი, სად არის გარეგანი და სად შინაგანი ფუნქცია, რატომ წყდება ამოცანები ასე?

მაგალითი 5

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირების მიზნით, ის ხარისხით უნდა იყოს წარმოდგენილი. ამრიგად, ჩვენ პირველ რიგში მივყავართ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის შესაბამის ფორმაში:

ფუნქციის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამი წევრის ჯამი არის შიდა ფუნქცია, ხოლო სიძლიერე გარეგანი ფუნქციაა. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს:

ხარისხი კვლავ წარმოდგენილია როგორც რადიკალი (ფესვი), ხოლო შიდა ფუნქციის წარმოებულისთვის, ჯამის დიფერენცირების მარტივ წესს ვიყენებთ:

მზადაა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთქმა საერთო მნიშვნელამდე მიიყვანოთ ფრჩხილებში და დაწეროთ ყველაფერი ერთ წილადად. რა თქმა უნდა, მშვენიერია, მაგრამ როდესაც უხერხული გრძელი წარმოებულები მიიღება, უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, ზედმეტი შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის არასასიამოვნო იქნება შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი გარყვნილებას სასაცილოდ გამოიყურება. აქ არის ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია წარმოებულის პოვნა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესით:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის - ამოვიღებთ წარმოებულის მინუს ნიშანს და ვზრდით კოსინუსს მრიცხველამდე:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, ექსპონენტაცია გარეგანი ფუნქციაა.
მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი წესი:

ჩვენ ვპოულობთ შიდა ფუნქციის წარმოებულს, კოსინუსს უკან ვაყენებთ:

მზადაა. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ ნიშნებში არ დაიბნეთ. სხვათა შორის, შეეცადეთ მოაგვაროთ ეს წესით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე განვიხილეთ შემთხვევები, როცა კომპლექსურ ფუნქციაში მხოლოდ ერთი ბუდე გვქონდა. პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც მობუდული თოჯინების მსგავსად, ერთი მეორეში, ერთდროულად 3 ან თუნდაც 4-5 ფუნქციაა ჩასმული.

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ გვესმის ამ ფუნქციის დანართები. ჩვენ ვცდილობთ შევაფასოთ გამოხატულება ექსპერიმენტული მნიშვნელობის გამოყენებით. როგორ ვითვლით კალკულატორს?

ჯერ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არის ყველაზე ღრმა ბუდე:

მაშინ ერთიანობის ეს რკალი უნდა დაიწიოს კვადრატში:

და ბოლოს, ჩვენ ვაყენებთ შვიდს ძალამდე:

ანუ, ამ მაგალითში გვაქვს სამი განსხვავებული ფუნქცია და ორი ბუდე, ხოლო ყველაზე შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია.

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას

წესის მიხედვით, ჯერ უნდა აიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვათვალიერებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვპოულობთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს: ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რომელიც არ უარყოფს ამ ფორმულის ნამდვილობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგია:

ტირე ქვეშ, ჩვენ კვლავ გვაქვს სახიფათო ფუნქცია! მაგრამ ეს უკვე უფრო ადვილია. ადვილი მისახვედრია, რომ შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო გარე ფუნქცია არის ხარისხი. რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით, ჯერ უნდა აიღოთ ხარისხის წარმოებული.

რაც აქ მოხვედით, ალბათ უკვე მოახერხეთ ამ ფორმულის სახელმძღვანელოში ნახვა

და გააკეთე სახე ასეთი:

მეგობარო, არ ინერვიულო! სინამდვილეში, ყველაფერი მარტივია სამარცხვინოდ. აუცილებლად გაიგებ ყველაფერს. მხოლოდ ერთი მოთხოვნა - წაიკითხეთ სტატია ნელაშეეცადეთ გაიგოთ ყოველი ნაბიჯი. რაც შეიძლება მარტივად და გარკვევით დავწერე, მაგრამ თქვენ მაინც უნდა ჩაუღრმავდეთ იდეას. და დარწმუნდით, რომ გადაჭრით ამოცანები სტატიიდან.

რა არის რთული ფუნქცია?

წარმოიდგინეთ, რომ სხვა ბინაში გადადიხართ და ამიტომ ნივთებს დიდ ყუთებში აწყობთ. დაე, საჭირო გახდეს რამდენიმე პატარა ნივთის შეგროვება, მაგალითად, სკოლის საკანცელარიო ნივთები. თუ უბრალოდ ჩააგდებთ მათ უზარმაზარ ყუთში, ისინი სხვა საკითხებთან ერთად დაიკარგებიან. ამის თავიდან ასაცილებლად ჯერ დებთ, მაგალითად, ჩანთაში, რომელსაც შემდეგ დებთ დიდ ყუთში, რის შემდეგაც დალუქავთ. ეს "ურთულესი" პროცესი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე:

როგორც ჩანს, სად არის მათემატიკა? და გარდა ამისა, რთული ფუნქცია იქმნება ზუსტად იგივე გზით! მხოლოდ ჩვენ „ვფუთავთ“ არა ბლოკნოტებსა და კალმებს, არამედ \ (x\), ხოლო სხვადასხვა „პაკეტები“ და „ყუთები“ ემსახურება.

მაგალითად, ავიღოთ x და „შეფუთოთ“ ის ფუნქციაში:

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ, რა თქმა უნდა, \(\cos⁡x\). ეს არის ჩვენი "ნივთების ტომარა". ახლა კი „ყუთში“ ვდებთ – ვფუთავთ, მაგალითად, კუბურ ფუნქციაში.

რა მოხდება ბოლოს? დიახ, ეს ასეა, იქნება "შეფუთვა ნივთებით ყუთში", ანუ "X კუბური კოსინუსი".

შედეგად მიღებული კონსტრუქცია რთული ფუნქციაა. მარტივისგან იმით განსხვავდება რამდენიმე „ზემოქმედება“ (პაკეტი) გამოიყენება ერთ X-ზე ზედიზედდა გამოდის, როგორც ეს იყო, "ფუნქცია ფუნქციიდან" - "პაკეტი პაკეტში".

სასკოლო კურსში ამ იგივე „პაკეტების“ ძალიან ცოტა სახეობაა, მხოლოდ ოთხი:

მოდით ახლა „ჩაფუთოთ“ x ჯერ ექსპონენციალურ ფუნქციაში 7 ფუძით, შემდეგ კი ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაში. ჩვენ ვიღებთ:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

და ახლა მოდით, x ორჯერ გავაერთიანოთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებში, ჯერ და შემდეგ:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

მარტივი, არა?

ახლა ჩაწერეთ ფუნქციები, სადაც x:
- ჯერ "შეფუთულია" კოსინუსში, შემდეგ კი ექსპონენციალურ ფუნქციაში ფუძით \(3\);
- ჯერ მეხუთე ხარისხზე, შემდეგ კი ტანგენსზე;
- ჯერ საბაზისო ლოგარითმამდე \(4\) , შემდეგ სიმძლავრის \(-2\).

ამ კითხვაზე პასუხები იხილეთ სტატიის ბოლოს.

მაგრამ შეგვიძლია x არა ორჯერ, არამედ სამჯერ „ჩავაკრათ“? Არაა პრობლემა! და ოთხი, და ხუთი და ოცდახუთჯერ. აქ, მაგალითად, არის ფუნქცია, რომელშიც x "შეფუთულია" \(4\) ჯერ:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

მაგრამ ასეთი ფორმულები სასკოლო პრაქტიკაში არ მოიძებნება (მოსწავლეებს უფრო გაუმართლათ - შეიძლება უფრო რთული იყოს☺).

კომპლექსური ფუნქციის "გაშლა".

კიდევ ერთხელ გადახედეთ წინა ფუნქციას. შეგიძლიათ გაარკვიოთ "შეფუთვის" თანმიმდევრობა? რა X-ში ჩაყარეს ჯერ, რა მერე და ასე ბოლომდე. ანუ რომელი ფუნქცია რომელშია ჩასმული? აიღეთ ფურცელი და დაწერეთ რას ფიქრობთ. ამის გაკეთება შეგიძლიათ ისრების ჯაჭვით, როგორც ზემოთ დავწერეთ, ან სხვა გზით.

ახლა სწორი პასუხია: ჯერ x იყო "ჩაფუთული" \(4\)-ე ხარისხში, შემდეგ შედეგი ჩაფუთული იყო სინუსში, ის, თავის მხრივ, მოთავსდა ლოგარითმის ბაზაში \(2\) და ბოლოს მთელი კონსტრუქცია გადაიზარდა სიმძლავრის ხუთეულებში.

ანუ აუცილებელია თანმიმდევრობის გადახვევა საპირისპირო თანმიმდევრობით. და აქ არის მინიშნება, თუ როგორ უნდა გააკეთოთ ეს უფრო მარტივად: უბრალოდ შეხედეთ X-ს - თქვენ უნდა იცეკვოთ მისგან. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითად, აქ არის ფუნქცია: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). ჩვენ ვუყურებთ X-ს - რა ხდება მას პირველად? მისგან წაღებული. Და მერე? მიღებულია შედეგის ტანგენსი. და თანმიმდევრობა იგივე იქნება:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

კიდევ ერთი მაგალითი: \(y=\cos⁡((x^3))\). ვაანალიზებთ - ჯერ x იქნა კუბურები, შემდეგ კი კოსინუსი აიღეს შედეგიდან. ასე რომ, მიმდევრობა იქნება: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). ყურადღება მიაქციეთ, ფუნქცია თითქოს პირველის მსგავსია (სადაც სურათებით). მაგრამ ეს არის სრულიად განსხვავებული ფუნქცია: აქ კუბში x (ანუ \(\cos⁡((x x x)))\), და იქ კუბში კოსინუსი \(x\) (ანუ \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). ეს განსხვავება წარმოიქმნება სხვადასხვა "შეფუთვის" თანმიმდევრობით.

ბოლო მაგალითი (მასში მნიშვნელოვანი ინფორმაციაა): \(y=\sin⁡((2x+5))\). გასაგებია, რომ აქ ჯერ არითმეტიკული მოქმედებები ჩავატარეთ x-ით, შემდეგ აიღეს სინუსი შედეგიდან: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). და ეს მნიშვნელოვანი მომენტია: იმისდა მიუხედავად, რომ არითმეტიკული ოპერაციები თავისთავად არ არის ფუნქციები, აქ ისინი ასევე მოქმედებენ როგორც "შეფუთვის" საშუალება. მოდით ჩავუღრმავდეთ ამ დახვეწილობას.

როგორც ზემოთ ვთქვი, მარტივ ფუნქციებში x ერთხელ „შეფუთულია“, ხოლო რთულ ფუნქციებში – ორი ან მეტი. უფრო მეტიც, მარტივი ფუნქციების ნებისმიერი კომბინაცია (ანუ მათი ჯამი, სხვაობა, გამრავლება ან გაყოფა) ასევე მარტივი ფუნქციაა. მაგალითად, \(x^7\) არის მარტივი ფუნქცია და ასევე არის \(ctg x\). აქედან გამომდინარე, მათი ყველა კომბინაცია მარტივი ფუნქციებია:

\(x^7+ ctg x\) - მარტივი,
\(x^7 ctg x\) მარტივია,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) მარტივია და ა.შ.

თუმცა, თუ ამ კომბინაციაზე კიდევ ერთი ფუნქცია იქნება გამოყენებული, ეს უკვე რთული ფუნქცია იქნება, რადგან იქნება ორი „პაკეტი“. იხილეთ დიაგრამა:

კარგი, ახლავე გავაგრძელოთ. დაწერეთ "შეფუთვის" ფუნქციების თანმიმდევრობა:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
პასუხები ისევ სტატიის ბოლოსაა.

შიდა და გარე ფუნქციები

რატომ უნდა გავიგოთ ფუნქციის ბუდე? რას გვაძლევს ეს? საქმე იმაშია, რომ ასეთი ანალიზის გარეშე ჩვენ საიმედოდ ვერ ვიპოვით ზემოთ განხილული ფუნქციების წარმოებულებს.

და იმისათვის, რომ გადავიდეთ, დაგვჭირდება კიდევ ორი ​​კონცეფცია: შიდა და გარე ფუნქციები. ეს ძალიან მარტივი რამაა, უფრო მეტიც, ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე გავაანალიზეთ ისინი ზემოთ: თუ თავიდანვე გავიხსენებთ ჩვენს ანალოგიას, მაშინ შიდა ფუნქცია არის "პაკეტი", ხოლო გარე არის "ყუთი". იმათ. ის, რაც X პირველ რიგში "შეფუთულია" არის შინაგანი ფუნქცია, ხოლო ის, რაც "შეფუთულია" შიგნით, უკვე გარეგანია. გასაგებია, რატომაც - ის გარეთაა, ეს ნიშნავს გარეგანს.

აი ამ მაგალითში: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), ფუნქცია \(\log_2⁡x\) არის შიდა და
- გარე.

და ამ ერთში: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) არის შიდა, და
- გარე.

შეასრულეთ რთული ფუნქციების ანალიზის ბოლო პრაქტიკა და ბოლოს, გადავიდეთ იმ წერტილზე, რისთვისაც ყველაფერი დაიწყო - ჩვენ ვიპოვით რთული ფუნქციების წარმოებულებს:

შეავსეთ ცხრილის ხარვეზები:

რთული ფუნქციის წარმოებული

ბრავო ჩვენთან, ჩვენ მაინც მივედით ამ თემის "ბოსამდე" - ფაქტობრივად, რთული ფუნქციის წარმოებულამდე და კონკრეტულად იმ საშინელ ფორმულამდე სტატიის დასაწყისიდან.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

ეს ფორმულა ასე იკითხება:

რთული ფუნქციის წარმოებული უდრის გარე ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლს მუდმივი შინაგანი ფუნქციისა და შინაგანი ფუნქციის წარმოებულის მიმართ.

და დაუყოვნებლივ გადახედეთ ანალიზების სქემას "სიტყვით", რომ გაიგოთ, რასთან უნდა იყოს დაკავშირებული:

იმედი მაქვს, ტერმინები „წარმოებული“ და „პროდუქტი“ არ გამოიწვევს სირთულეებს. "კომპლექსური ფუნქცია" - ჩვენ უკვე დემონტაჟი გვაქვს. დაჭერა არის „გარე ფუნქციის წარმოებულში მუდმივი შიდა ფუნქციის მიმართ“. რა არის ეს?

პასუხი: ეს არის გარე ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული, რომელშიც იცვლება მხოლოდ გარეგანი ფუნქცია, ხოლო შიდა უცვლელი რჩება. ჯერ კიდევ გაუგებარია? კარგი, ავიღოთ მაგალითი.

ვთქვათ, გვაქვს ფუნქცია \(y=\sin⁡(x^3)\). ნათელია, რომ შიდა ფუნქცია აქ არის \(x^3\), ხოლო გარე
. ახლა ვიპოვოთ გარედან წარმოებული მუდმივი შინაგანის მიმართ.