ლექცია

რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

Გეგმა

1.კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიული გამოსახულება.

2.კომპლექსური რიცხვების ტრიგონომეტრიული აღნიშვნა.

3. მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ტრიგონომეტრიული ფორმით.

რთული რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა.

ა) რთული რიცხვები წარმოდგენილია სიბრტყის წერტილებით შემდეგი წესით: ა + ბი = მ ( ა ; ბ ) (ნახ. 1).

სურათი 1

ბ) კომპლექსური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ვექტორი, რომელიც იწყება წერტილიდანშესახებ და მთავრდება მოცემულ წერტილში (ნახ. 2).

სურათი 2

მაგალითი 7. კომპლექსური რიცხვების გამოსახული წერტილები:1; - მე ; - 1 + მე ; 2 – 3 მე (ნახ. 3).

სურათი 3

რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული აღნიშვნა.

კომპლექსური ნომერიზ = ა + ბი შეიძლება დაყენდეს რადიუსი - ვექტორის გამოყენებით კოორდინატებით( ა ; ბ ) (ნახ. 4).

სურათი 4

განმარტება . ვექტორის სიგრძე წარმოადგენს კომპლექსურ რიცხვსზ , ეწოდება ამ რიცხვის მოდული და აღინიშნება ანრ .

ნებისმიერი რთული რიცხვისთვისზ მისი მოდულირ = | ზ | ცალსახად განისაზღვრება ფორმულით .

განმარტება . კუთხის მნიშვნელობა რეალური ღერძის დადებით მიმართულებასა და ვექტორს შორის რთული რიცხვის გამოსახულებას ამ რთული რიცხვის არგუმენტი ეწოდება და აღინიშნებაა rg ზ ანφ .

რთული რიცხვის არგუმენტიზ = 0 განუსაზღვრელი. რთული რიცხვის არგუმენტიზ≠ 0 არის მრავალმნიშვნელოვანი სიდიდე და განისაზღვრება ტერმინამდე2 πკ (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): არგ ზ = არგ ზ + 2 πკ , სადარგ ზ - არგუმენტის მთავარი მნიშვნელობა, რომელიც ჩართულია ინტერვალში(-π; π] , ანუ-π < არგ ზ ≤ π (ზოგჯერ არგუმენტის მთავარ მნიშვნელობად მიიღება ინტერვალის კუთვნილი მნიშვნელობა .

ეს ფორმულა ამისთვისრ =1 ხშირად მოიხსენიებენ როგორც დე მოივრის ფორმულას:

(cos φ + i sin φ) ნ = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

მაგალითი 11 გამოთვალეთ(1 + მე ) 100 .

დავწეროთ რთული რიცხვი1 + მე ტრიგონომეტრიული ფორმით.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (კოს + ვცოდავ )] 100 = ( ) 100 (კოს 100 + ვცოდავთ 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) რთული რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღება.

რთული რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღებისასა + ბი გვაქვს ორი შემთხვევა:

თუბ > შესახებ , ეს ;

3.1. პოლარული კოორდინატები

ხშირად გამოიყენება თვითმფრინავში პოლარული კოორდინატთა სისტემა . იგი განისაზღვრება, თუ წერტილი O მოცემულია, ე.წ ბოძიდა ბოძიდან გამომავალი სხივი (ჩვენთვის ეს არის ღერძი Ox) არის პოლარული ღერძი. M წერტილის პოზიცია ფიქსირდება ორი რიცხვით: რადიუსი (ან რადიუსის ვექტორი) და კუთხე φ პოლარულ ღერძსა და ვექტორს შორის.კუთხე φ ეწოდება პოლარული კუთხე; იზომება რადიანებში და დათვლილია პოლარული ღერძიდან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

წერტილის პოზიცია პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია რიცხვების მოწესრიგებული წყვილით (r; φ). ბოძზე r = 0და φ არ არის განსაზღვრული. ყველა სხვა პუნქტისთვის r > 0და φ განისაზღვრება 2π-ის ჯერადამდე. ამ შემთხვევაში რიცხვების (r; φ) და (r 1 ; φ 1) წყვილებს ენიჭებათ ერთი და იგივე წერტილი, თუ .

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის xOyწერტილის დეკარტის კოორდინატები ადვილად გამოისახება მისი პოლარული კოორდინატების მიხედვით შემდეგნაირად:

3.2. რთული რიცხვის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია

განვიხილოთ სიბრტყეზე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა xOy.

ნებისმიერ კომპლექსურ რიცხვს z=(a, b) ენიჭება სიბრტყის წერტილი კოორდინატებით ( x, y), სად კოორდინატი x = a, ე.ი. რთული რიცხვის რეალური ნაწილი და კოორდინატი y = bi არის წარმოსახვითი ნაწილი.

სიბრტყე, რომლის წერტილები რთული რიცხვებია, რთული სიბრტყეა.

ფიგურაში, კომპლექსური რიცხვი z = (a, b)მატჩის წერტილი M(x, y).

ვარჯიში.დახაზეთ რთული რიცხვები კოორდინატულ სიბრტყეზე:

3.3. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

სიბრტყეში კომპლექსურ რიცხვს აქვს წერტილის კოორდინატები M(x; y). სადაც:

რთული რიცხვის დაწერა - რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

რიცხვი r ეწოდება მოდული რთული რიცხვი ზდა აღინიშნება. მოდული არის არაუარყოფითი რეალური რიცხვი. ამისთვის .

მოდული არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ z = 0, ე.ი. a=b=0.

რიცხვი φ ეწოდება არგუმენტი ზ და აღნიშნა. z არგუმენტი ორაზროვნად არის განსაზღვრული, ისევე როგორც პოლარული კუთხე პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში, კერძოდ, 2π-ის ჯერადამდე.

მაშინ ვიღებთ: , სადაც φ არის არგუმენტის უმცირესი მნიშვნელობა. აშკარაა რომ

.

თემის უფრო ღრმა შესწავლით შემოტანილია დამხმარე არგუმენტი φ*, ისეთი რომ

მაგალითი 1. იპოვეთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

გამოსავალი. 1) განვიხილავთ მოდულს: ;

2) ვეძებ φ: ;

3) ტრიგონომეტრიული ფორმა:

მაგალითი 2იპოვეთ რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა .

აქ საკმარისია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ჩანაცვლება და გამოხატვის გარდაქმნა:

მაგალითი 3იპოვეთ რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი;

1) ;

2) ; φ - 4 კვარტალში:

3.4. მოქმედებები რთული რიცხვებით ტრიგონომეტრიული ფორმით

· შეკრება და გამოკლებაუფრო მოსახერხებელია რთული რიცხვებით შესრულება ალგებრული ფორმით:

· გამრავლება– მარტივი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნების დახმარებით შეიძლება აჩვენოს, რომ გამრავლებისას მრავლდება რიცხვების მოდულები და ემატება არგუმენტები: ;

2.3. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმა

კომპლექსურ სიბრტყეზე ვექტორი რიცხვით იყოს მოცემული.

ფ-ით აღნიშნეთ კუთხე დადებით ნახევრადღერძს Ox-სა და ვექტორს შორის (კუთხე φ ითვლება დადებითად, თუ ის ითვლება საათის საწინააღმდეგოდ, ხოლო უარყოფითი).

აღნიშნეთ ვექტორის სიგრძე r-ით. მაშინ . ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ

არანულოვანი კომპლექსური რიცხვის z ჩაწერა როგორც

ეწოდება z რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა. რიცხვს r ეწოდება z რთული რიცხვის მოდული, ხოლო φ რიცხვს ამ რთული რიცხვის არგუმენტი და აღინიშნება Arg z-ით.

რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიული ფორმა - (ეილერის ფორმულა) - რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმა:

კომპლექსურ რიცხვს z აქვს უსასრულოდ ბევრი არგუმენტი: თუ φ0 არის z რიცხვის რომელიმე არგუმენტი, მაშინ ყველა დანარჩენი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით.

რთული რიცხვისთვის არგუმენტი და ტრიგონომეტრიული ფორმა არ არის განსაზღვრული.

ამრიგად, არანულოვანი რთული რიცხვის არგუმენტი არის განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი:

(3)

z რთული რიცხვის არგუმენტის φ მნიშვნელობას, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობებს, ეწოდება მთავარი მნიშვნელობა და აღინიშნება arg z-ით.

არგუმენტები Arg z და arg z დაკავშირებულია ტოლობით

, (4)

ფორმულა (5) არის (3) სისტემის შედეგი, ამიტომ კომპლექსური რიცხვის ყველა არგუმენტი აკმაყოფილებს ტოლობას (5), მაგრამ (5) განტოლების φ ამონახსნები არ არის z რიცხვის არგუმენტები.

არანულოვანი კომპლექსური რიცხვის არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა გვხვდება ფორმულებით:

ტრიგონომეტრიული ფორმით რთული რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფის ფორმულები შემდეგია:

. (7)

რთული რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანისას გამოიყენება დე მოივრის ფორმულა:

რთული რიცხვიდან ფესვის ამოღებისას გამოიყენება ფორმულა:

, (9)

სადაც k=0, 1, 2, ..., n-1.

ამოცანა 54. გამოთვალეთ , სადაც .

ამ გამოთქმის ამონახსნი წარმოვადგინოთ რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური სახით: .

თუ , მაშინ .

მაშინ, . ამიტომ, მაშინ და , სად .

პასუხი: , ზე.

ამოცანა 55. დაწერეთ რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით:

ა) ; ბ) ; V) ; გ) ; ე) ; ე) ; და) .

ვინაიდან რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა არის , მაშინ:

ა) კომპლექსურ რიცხვში: .

,

Ამიტომაც

ბ) , სად,

გ) , სად,

ე) .

და) , ა , რომ .

Ამიტომაც

პასუხი: ; 4; ; ; ; ; .

ამოცანა 56. იპოვეთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

.

დაე, .

მაშინ, , .

რადგან და , , შემდეგ , და

ამიტომ, ამიტომ

პასუხი: , სად .

ამოცანა 57. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმის გამოყენებით შეასრულეთ შემდეგი მოქმედებები: .

წარმოიდგინეთ რიცხვები და ტრიგონომეტრიული ფორმით.

1), სადაც მერე

მთავარი არგუმენტის მნიშვნელობის პოვნა:

ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები და გამოსახულებაში მივიღებთ

2) სად მაშინ

მერე

3) იპოვეთ კოეფიციენტი

თუ დავუშვებთ k=0, 1, 2, მივიღებთ სასურველი ფესვის სამ განსხვავებულ მნიშვნელობას:

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ .

პასუხი::

:

: .

ამოცანა 58. იყოს , , , სხვადასხვა რთული რიცხვები და . დაამტკიცე რომ

რიცხვი არის რეალური დადებითი რიცხვი;

ბ) თანასწორობა ხდება:

ა) წარმოვიდგინოთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით:

იმიტომ რომ .

მოდით ვიფიქროთ, რომ. მერე

.

ბოლო გამოხატულება არის დადებითი რიცხვი, რადგან სინუს ნიშნების ქვეშ არის რიცხვები ინტერვალიდან.

რადგან ნომერი რეალური და პოზიტიური. მართლაც, თუ a და b რთული რიცხვებია და არიან ნამდვილები და ნულზე მეტი, მაშინ .

გარდა ამისა,

აქედან გამომდინარე, დასტურდება საჭირო თანასწორობა.

ამოცანა 59. რიცხვი ჩაწერეთ ალგებრული ფორმით .

ჩვენ წარმოვადგენთ რიცხვს ტრიგონომეტრიული ფორმით და შემდეგ ვპოულობთ მის ალგებრულ ფორმას. Ჩვენ გვაქვს . ამისთვის ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

აქედან გამომდინარეობს თანასწორობა: .

დე მოივრის ფორმულის გამოყენება:

ვიღებთ

ნაპოვნია მოცემული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

ჩვენ ახლა ვწერთ ამ რიცხვს ალგებრული ფორმით:

.

პასუხი: .

ამოცანა 60. იპოვეთ ჯამი , ,

განიხილეთ ჯამი

დე მოივრის ფორმულის გამოყენებით ვხვდებით

ეს ჯამი არის გეომეტრიული პროგრესიის n პუნქტების ჯამი მნიშვნელთან და პირველი წევრი .

ასეთი პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულის გამოყენება გვაქვს

ბოლო გამონათქვამში წარმოსახვითი ნაწილის გამოყოფით ვპოულობთ

რეალური ნაწილის გამოყოფისას ასევე ვიღებთ შემდეგ ფორმულას: , , .

ამოცანა 61. იპოვეთ ჯამი:

ა) ; ბ) .

ნიუტონის ძალაუფლებამდე ამაღლების ფორმულის მიხედვით გვაქვს

დე მოივრის ფორმულის მიხედვით ვხვდებით:

მიღებული გამონათქვამების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გავატოლებით, გვაქვს:

და .

ეს ფორმულები შეიძლება დაიწეროს კომპაქტურ ფორმაში შემდეგნაირად:

,

, სად არის a რიცხვის მთელი ნაწილი.

ამოცანა 62. იპოვე ყველა, რისთვისაც .

Იმიტომ რომ , შემდეგ ფორმულის გამოყენება

, ფესვების ამოსაღებად ვიღებთ ,

აქედან გამომდინარე, , ,

, .

რიცხვების შესაბამისი წერტილები განლაგებულია კვადრატის წვეროებზე, რომელიც ჩაწერილია 2 რადიუსის წრეში, ცენტრით (0;0) წერტილში (სურ. 30).

პასუხი: , ,

, .

ამოცანა 63. ამოხსენით განტოლება , .

პირობით; მაშასადამე, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვი და, მაშასადამე, იგი განტოლების ტოლფასია.

იმისათვის, რომ z რიცხვი იყოს ამ განტოლების ფესვი, რიცხვი უნდა იყოს რიცხვი 1-ის n-ე ფესვი.

აქედან დავასკვნით, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ფესვები, რომლებიც განისაზღვრება ტოლობებიდან

,

ამრიგად,

,

ე.ი. ,

პასუხი: .

ამოცანა 64. ამოხსენით განტოლება კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეში.

ვინაიდან რიცხვი არ არის ამ განტოლების ფესვი, მაშინ ეს განტოლებისთვის უდრის განტოლებას

ანუ განტოლება.

ამ განტოლების ყველა ფესვი მიღებულია ფორმულიდან (იხ. ამოცანა 62):

; ; ; ; .

ამოცანა 65. კომპლექსურ სიბრტყეზე დახაზეთ წერტილთა სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას: . (45-ე პრობლემის გადაჭრის მე-2 გზა)

დაე .

კომპლექსური რიცხვები იგივე მოდულებით შეესაბამება სიბრტყის წერტილებს, რომლებიც დევს საწყისზე ორიენტირებულ წრეზე, ამიტომ უტოლობა დააკმაყოფილოს ღია რგოლის ყველა წერტილი, რომელიც შემოსაზღვრულია წრეებით საწყისთან და რადიუსებით საერთო ცენტრით და (სურ. 31). დაე, რთული სიბრტყის რომელიმე წერტილი შეესაბამებოდეს რიცხვს w0. ნომერი , აქვს w0 მოდულზე ჯერ მცირე მოდული, არგუმენტი, რომელიც აღემატება w0 არგუმენტს. გეომეტრიული თვალსაზრისით, w1-ის შესაბამისი წერტილი შეიძლება მივიღოთ საწყისზე და კოეფიციენტზე ორიენტირებული ჰომოთეტიკის გამოყენებით, ასევე საწყისთან მიმართებაში საათის ისრის საწინააღმდეგო ბრუნვის გამოყენებით. ამ ორი გარდაქმნის რგოლის წერტილებზე (სურ. 31) გამოყენების შედეგად ეს უკანასკნელი გადაიქცევა რგოლად, რომელიც შემოსაზღვრავს წრეებით იგივე ცენტრით და რადიუსებით 1 და 2 (სურ. 32).

ტრანსფორმაცია ხორციელდება ვექტორზე პარალელური ტრანსლაციის გამოყენებით. წერტილზე ორიენტირებული რგოლის მითითებულ ვექტორზე გადატანით, ვიღებთ იმავე ზომის რგოლს, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე (სურ. 22).

შემოთავაზებული მეთოდი, რომელიც იყენებს თვითმფრინავის გეომეტრიული გარდაქმნების იდეას, ალბათ ნაკლებად მოსახერხებელია აღწერილობაში, მაგრამ ძალიან ელეგანტური და ეფექტურია.

ამოცანა 66. იპოვეთ თუ .

მოდით, მაშინ და. ორიგინალური თანასწორობა მიიღებს ფორმას . ორი რთული რიცხვის ტოლობის პირობიდან ვიღებთ , , საიდანაც , . ამრიგად, .

ჩავწეროთ რიცხვი z ტრიგონომეტრიული ფორმით:

, სად , . დე მოივრის ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ .

პასუხი: - 64.

ამოცანა 67. რთული რიცხვისთვის იპოვეთ ყველა რთული რიცხვი ისეთი, რომ , და .

გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით:

. აქედან გამომდინარე, . ჩვენ მიერ მიღებული რიცხვისთვის შეიძლება ტოლი იყოს რომელიმეს.

პირველ შემთხვევაში , მეორეში

.

პასუხი:, .

ამოცანა 68. იპოვეთ ისეთი რიცხვების ჯამი, რომ . მიუთითეთ ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი.

გაითვალისწინეთ, რომ უკვე პრობლემის ფორმულირებიდან შეიძლება გავიგოთ, რომ განტოლების ფესვების ჯამის პოვნა შესაძლებელია თავად ფესვების გამოთვლის გარეშე. მართლაც, განტოლების ფესვების ჯამი არის კოეფიციენტი , აღებული საპირისპირო ნიშნით (განზოგადებული ვიეტას თეორემა), ე.ი.

მოსწავლეები, სასკოლო დოკუმენტაცია, აკეთებენ დასკვნებს ამ ცნების ათვისების ხარისხის შესახებ. შეაჯამეთ მათემატიკური აზროვნების თავისებურებების შესწავლა და რთული რიცხვის ცნების ჩამოყალიბების პროცესი. მეთოდების აღწერა. დიაგნოსტიკური: I სტადია. გასაუბრება ჩატარდა მათემატიკის მასწავლებელთან, რომელიც მე-10 კლასში ასწავლის ალგებრას და გეომეტრიას. საუბარი შედგა გარკვეული დროის გასვლის შემდეგ...

რეზონანსი "(!)), რომელიც ასევე მოიცავს საკუთარი ქცევის შეფასებას. 4. სიტუაციის გაგების კრიტიკული შეფასება (ეჭვები). 5. და ბოლოს, იურიდიული ფსიქოლოგიის რეკომენდაციების გამოყენება (აღრიცხვა იურისტის შესრულებული პროფესიული ქმედებების ფსიქოლოგიური ასპექტები - პროფესიული ფსიქოლოგიური მზადყოფნა) ახლა განვიხილოთ სამართლებრივი ფაქტების ფსიქოლოგიური ანალიზი. ...

ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების მათემატიკა და შემუშავებული სწავლების მეთოდოლოგიის ეფექტურობის შემოწმება. მუშაობის ეტაპები: 1. არჩევითი კურსის შემუშავება თემაზე: „ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენება ალგებრული ამოცანების ამოხსნისას“ მოსწავლეებთან მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით კლასებში. 2. შემუშავებული არჩევითი კურსის ჩატარება. 3. დიაგნოსტიკური კონტროლის ჩატარება...

შემეცნებითი ამოცანები მიზნად ისახავს მხოლოდ არსებული სასწავლო საშუალებების დამატებას და უნდა იყოს შესაბამის კომბინაციაში სასწავლო პროცესის ყველა ტრადიციულ საშუალებას და ელემენტთან. ჰუმანიტარული მეცნიერებების სწავლების საგანმანათლებლო ამოცანებს შორის განსხვავება ზუსტი, მათემატიკური ამოცანებისგან მხოლოდ იმაშია, რომ ისტორიულ ამოცანებში არ არსებობს ფორმულები, ხისტი ალგორითმები და ა.შ, რაც ართულებს მათ გადაწყვეტას. ...

სიბრტყეზე წერტილის პოზიციის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ პოლარული კოორდინატები [g, (p), სად გარის წერტილის დაშორება საწყისიდან და (რ- კუთხე, რომელსაც რადიუსი ქმნის - ამ წერტილის ვექტორი ღერძის დადებითი მიმართულებით ოჰ.კუთხის ცვლილების დადებითი მიმართულება (რგანიხილება საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულება. დეკარტისა და პოლარული კოორდინატებს შორის კავშირის გამოყენება: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (გვ,

ვიღებთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიულ ფორმას

z - r(sin (p + i sin

სად გ

Xi + y2, (p არის რთული რიცხვის არგუმენტი, რომელიც ნაპოვნია

ლ X . y y

ფორმულები cos(p --, ცოდო^9 = - ან იმის გამო, რომ tg(p --, (p-arctg

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელობების არჩევისას ოთხბოლო განტოლებიდან აუცილებელია ნიშნების გათვალისწინება x და y.

მაგალითი 47. დაწერეთ რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით 2 \u003d -1 + l / Z /.

გამოსავალი. იპოვეთ რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი:

= yj 1 + 3 = 2 . კუთხე ოთხიპოვნეთ ურთიერთობებიდან cos (გვ = -, sin(p = -.მერე

ვიღებთ cos(p = - სუუფ

უ/ზ გ~

• - -. ცხადია, წერტილი z = -1 + V3-/ არის
• 2 რომ 3

მეორე კვარტალში: (რ= 120°

ჩანაცვლება

2 კ.. cos-h; ცოდვა

ფორმულაში (1) ნაპოვნია 27 გ ლ

კომენტარი. რთული რიცხვის არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, მაგრამ ტერმინამდე, რომელიც არის ჯერადი 2გვ.შემდეგ მეშვეობით cn^rდანიშნოს

არგუმენტის მნიშვნელობა ჩართულია შიგნით (გვ 0 %2 მერე

ა) ^ რ = + 2 კკ.

ცნობილი ეილერის ფორმულის გამოყენებით ე, ვიღებთ კომპლექსური რიცხვის ექსპონენციალურ ფორმას.

Ჩვენ გვაქვს r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

ოპერაციები კომპლექსურ რიცხვებზე

• 1. ორი რთული რიცხვის ჯამი r, = X] + y x/ და r 2 - x 2 + y 2 / განისაზღვრება r ფორმულის მიხედვით! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' გ
• 2. კომპლექსური რიცხვების გამოკლების მოქმედება განისაზღვრება, როგორც შეკრების შებრუნებული ოპერაცია. კომპლექსური ნომერი g \u003d g x - g 2,თუ g 2 + g \u003d g x,

არის კომპლექსური რიცხვების სხვაობა 2 და გ 2 .შემდეგ r = (x, - x 2) + (y, - ზე 2) /.

• 3. ორი რთული რიცხვის ნამრავლი გ x= x, +y, -z და 2 2 = x 2+ U2 g განისაზღვრება ფორმულით
• *1*2 =(* +U"0 (X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + ზე1 ზე2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

Კერძოდ, წ-წ\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ რთული რიცხვების გამრავლების ფორმულები ექსპონენციალური და ტრიგონომეტრიული ფორმებით. Ჩვენ გვაქვს:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + ისინი
• 4. კომპლექსური რიცხვების დაყოფა განისაზღვრება როგორც შებრუნებული ოპერაცია

გამრავლება, ე.ი. ნომერი G--ეწოდება r-ის გაყოფის კოეფიციენტს! გ 2-ზე,

თუ r x -1 2 ? 2 . მერე

X + შენ _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^Y 2)(2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 ე

მე (რ გ

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - შდრ 1) + I- (რ-,)] >2 >2
• 5. კომპლექსური რიცხვის დადებით მთელ ხარისხზე აყვანა საუკეთესოა, თუ რიცხვი დაწერილია ექსპონენციალური ან ტრიგონომეტრიული ფორმებით.

მართლაც, თუ z = ge 1 მაშინ

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + іt gcr).

ფორმულა g" =r n (cosn(p+ არის n(p)დე მოივრის ფორმულა ეწოდება.

6. ფესვის ამოღება P-კომპლექსური რიცხვის th ხარისხი განისაზღვრება, როგორც ინვერსიული მოქმედება p, p- 1,2,3,... ე.ი. რთული რიცხვი = y[გფესვს უწოდებენ P-რთული რიცხვის ე ხარისხი

დ თუ გ = გ x. ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ გ - გ", ა გ x= ლ/გ. (p-psr x,ა sr^-sr/n, რომელიც გამომდინარეობს Moivre ფორმულიდან დაწერილი რიცხვისთვის = r/*+ ippp(p).

როგორც ზემოთ აღინიშნა, რთული რიცხვის არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, მაგრამ ტერმინამდე, რომელიც არის 2-ის ჯერადი. და.Ამიტომაც = (p + 2 ცდა r რიცხვის არგუმენტი, დამოკიდებულია რომ,აღნიშნავენ (გვდა ბუ

dem გამოთვლა ფორმულით (გვ= - +. გასაგებია რომ არსებობს პკომ-

პლექს ნომრები, პრომლის ხარისხი უდრის რიცხვს 2. ამ რიცხვებს აქვთ ერთი

და იგივე მოდული, ტოლია წ[რ,და ამ რიცხვების არგუმენტები მიღებულია რომ = 0, 1, P - 1. ამრიგად, ტრიგონომეტრიულ ფორმაში, i-ე ხარისხის ფესვი გამოითვლება ფორმულით:

(p + 2 კპ . . cf + 2 კპ

, რომ = 0, 1, 77-1,

.(p+2კგ

ხოლო ექსპონენციალური ფორმით - ფორმულის მიხედვით l[r - y[ge n

მაგალითი 48. შეასრულეთ მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ალგებრული ფორმით:

ა) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /ლ/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 ლ / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-ზლ/2/-5/-ლ/2/ 2 = -15 - ზლ/2/-5/+ ლ/2 = (-15 + ლ/2)-(5 + ზლ/2)/;

მაგალითი 49. აწიეთ რიცხვი r \u003d Uz - / მეხუთე ხარისხამდე.

გამოსავალი. ვიღებთ r რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიულ ფორმას.

G =ლ/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (რ =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (ისე რა

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

აქედან O--, ა r = 2

Moivre ვიღებთ: i-2

/ ^ _ 7r, . ?გ

• -ᲩᲕᲔᲜ-- IBIP -

• --ბ/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

მაგალითი 50 იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა

ამოხსნა, r = 2, a ოთხიპოვეთ განტოლებიდან coy(p = -, zt--.

ეს წერტილი 1 - /დ/ზ არის მეოთხე კვარტალში, ე.ი. f =--. მერე

• 1 - 2
• ( ( UG L

ძირეული მნიშვნელობები ნაპოვნია გამოხატულებიდან

V1 - /ლ/ს = ლ/2

• --+ 2A:/გ ---b 2 კკ
• 3 . . 3

С08--1- და 81П-

ზე - 0 გვაქვს 2 0 = ლ/2

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვი 2-ის ფესვის მნიშვნელობები ეკრანზე ნომრის წარმოდგენით

-* TO/ 3 + 2 კლასი

ზე რომ= 1 გვაქვს კიდევ ერთი root მნიშვნელობა:

• 7 გ. 7G_
• ---b27g ---b2;გ
• 3 . . თ

7 გ . . 7 გ ლ-C05- + 181P - 6 6

• --N-

თან? - 7G + / 5Sh - I"

ლ/3__ტ_

სხეულის ფორმა. იმიტომ რომ r= 2, ა ოთხ= , შემდეგ r = 2е 3 და y[გ = y/2e 2