თეორემა არაჰომოგენური წრფივი ოდების ნორმალური სისტემის ზოგადი ამოხსნის (ზოგადი ამონახსნის აგებულების შესახებ). ხაზოვანი განსხვავება. n-ე რიგის განტოლებები. თეორემა n-ე რიგის არაერთგვაროვანი წრფივი განტოლების ზოგადი ამოხსნის შესახებ წრფივი განტოლების თვისებები
უფასო უჯრედის შეფასება- (იხილეთ პოტენციური მეთოდი)
ციკლი -უჯრედების ასეთი თანმიმდევრობა სატრანსპორტო ცხრილში (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(i k ,j 1), რომელშიც ორი და მხოლოდ ორი მიმდებარე უჯრედია განლაგებულია ერთ მწკრივში ან სვეტში, პირველი და ბოლო უჯრედები ასევე იმავე მწკრივში ან სვეტშია.
(?)პერმუტაცია ციკლის გასწვრივ - (ციკლის გასწვრივ ცვლა t მნიშვნელობით)-მოცულობის ზრდა ციკლის ყველა კენტ უჯრედში, რომელიც აღინიშნება "+" ნიშნით t-ით და ტრანსპორტირების მოცულობების შემცირება ყველა ლუწი უჯრედში, რომლებიც აღინიშნება "-" ნიშნით t.
^ საცნობარო გეგმის ოპტიმალურობის პირობა.
ტრანსპორტირების ოპტიმალური გეგმა შეესაბამება ხაზოვანი მიზნობრივი ფუნქციის მინიმუმს f(X)= min მოხმარებისა და მიწოდების შეზღუდვის პირობებში.
No 32. ჩამოაყალიბეთ k რიგის განსხვავების განტოლების განმარტება და მისი ზოგადი ამონახსნები. ჩამოთვალეთ k რიგის წრფივი სხვაობის განტოლების განმარტება მუდმივი კოეფიციენტებით. ჩამოაყალიბეთ თეორემები ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი სხვაობის განტოლებების ზოგადი ამოხსნის შესახებ (დამტკიცების გარეშე).
ფორმის განტოლება F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, სადაც k არის ფიქსირებული რიცხვი და n არის თვითნებური ნატურალური რიცხვი, x n; x n +1 ;…; x n + k არის უცნობი რიცხვების მიმდევრობის ტერმინები, რომელსაც ეწოდება k რიგის განსხვავების განტოლება.
განსხვავების განტოლების ამოხსნა ნიშნავს ყველა მიმდევრობის (x n) პოვნას, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას.
kth რიგის განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის მისი ამონახსნი x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), დამოკიდებულია k დამოუკიდებელ თვითნებურ მუდმივებზე C 1 , C 2 , …, C k . k მუდმივების რაოდენობა უდრის განსხვავების განტოლების რიგითობას და დამოუკიდებლობა ნიშნავს, რომ არცერთი მუდმივი არ შეიძლება გამოისახოს სხვების მიხედვით.
განვიხილოთ k რიგის წრფივი სხვაობის განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით:
a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n, სადაც a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) და
(f n ) – მოცემული რიცხვები და მიმდევრობა.
^ თეორემა არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნის შესახებ.
წრფივი არაერთგვაროვანი სხვაობის განტოლების ზოგადი ამონახსნი x n არის ამ განტოლების კონკრეტული ამოხსნის x n * და შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის n ჯამი.
^ თეორემა ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნის შესახებ.
მოდით x n 1 ,…, x n k იყოს სისტემა, რომელიც შედგება წრფივი ერთგვაროვანი სხვაობის განტოლების k წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნებისაგან. შემდეგ ამ განტოლების ზოგადი ამოხსნა მოცემულია ფორმულით: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
No 33. აღწერეთ მუდმივი კოეფიციენტებით ერთგვაროვანი წრფივი განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. ჩამოაყალიბეთ შემდეგი ცნებების განმარტებები: წრფივი სხვაობის განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები, დამახასიათებელი განტოლება, კასორატის დეტერმინანტი.
დამახასიათებელი განტოლების ფესვების ცოდნა საშუალებას გვაძლევს ავაშენოთ ჰომოგენური განსხვავების განტოლების ზოგადი ამოხსნა. მოდით განვიხილოთ ეს მეორე რიგის განტოლების მაგალითის გამოყენებით: მიღებული ამონახსნები ადვილად შეიძლება გადავიდეს უფრო მაღალი რიგის განტოლების შემთხვევაში.
დამახასიათებელი განტოლების დისკრიმინანტული D=b 2 -4ac მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:
C 1 , C 2 არის თვითნებური მუდმივები.
kth რიგის წრფივი ერთგვაროვანი სხვაობის განტოლების ამონახსნების სიმრავლე ქმნის k-განზომილებიან წრფივ სივრცეს და k წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების სიმრავლე (ე.წ. ფუნდამენტური სიმრავლე) არის მისი საფუძველი. ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების წრფივი დამოუკიდებლობის ნიშანია ის, რომ კაზორატის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი:
განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი წრფივი განტოლების დამახასიათებელი განტოლება.
№ 34. მოცემულია წრფივი სხვაობის განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
^ რა ფორმით უნდა ვეძებოთ მისი კონკრეტული გამოსავალი? ახსენით პასუხი.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n რა ფორმით უნდა ვეძებოთ მისი კონკრეტული ამოხსნა? პასუხი უნდა იყოს ახსნილი.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n
X n +2 -4x n +1 +3x n =0
X n =C 1 3 n +C 2 1 n
X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n
X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n
X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
No35. მოცემულია წრფივი სხვაობის განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. რა ფორმით უნდა ვეძებოთ მისი კონკრეტული გამოსავალი?
x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n
1) x n +2 -4x n +1 +3x=0
λ 1 =3, λ 2 =1
x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2
2) f(n)=2 n, g(n)=3 n, z(n)=n 2
ვინაიდან ექსპონენციური სიმძლავრის f(n)=2 n-ის ტოლი 2-ის ფუძე არ ემთხვევა დამახასიათებელი განტოლების არცერთ ფესვს, ჩვენ ვეძებთ შესაბამის კონკრეტულ ამონახსნას Y n =C(2) n სახით. . ვინაიდან ექსპონენციალური ფუნქციის g(n)=3 n-ის ტოლი 3-ის ფუძე ემთხვევა დამახასიათებელი განტოლების ერთ-ერთ ფესვს, ვეძებთ შესაბამის კონკრეტულ ამონახს X n =Bn(3) n სახით. ვინაიდან z(n)=n 2 არის მრავალწევრი, ჩვენ ვეძებთ კონკრეტულ ამონახს პოლინომის სახით: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
No36. მოცემულია წრფივი სხვაობის განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. რა ფორმით უნდა ვეძებოთ მისი კონკრეტული გამოსავალი?
x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2
1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0
λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i
ვინაიდან ექსპონენციური სიმძლავრის f(n)=3 n უდრის 3-ის ფუძე არ ემთხვევა დამახასიათებელი განტოლების არცერთ ფესვს, ჩვენ ვეძებთ შესაბამის კონკრეტულ ამოხსნას Y n =B(3) n სახით. . ვინაიდან g(n)=n 2 არის მრავალწევრი, ჩვენ ვეძებთ კონკრეტულ ამონახსნებს მრავალწევრის სახით: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
No37. მოცემულია წრფივი სხვაობის განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . რა ფორმით უნდა ვეძებოთ მისი კონკრეტული გამოსავალი?
x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2
λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i
X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )
2) f(n)=3 n, g(n)=n 2, z(n)=cos
ვინაიდან ექსპონენციური სიმძლავრის f(n)=3 n უდრის 3-ის ფუძე არ ემთხვევა დამახასიათებელი განტოლების არცერთ ფესვს, ჩვენ ვეძებთ შესაბამის კონკრეტულ ამოხსნას Y n =B(3) n სახით. . ვინაიდან g(n)=n 2 არის პოლინომი, ჩვენ ვეძებთ კონკრეტულ ამონახს პოლინომის სახით: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: აღწერეთ სამუელსონ-ჰიქსის მოდელი. რა ეკონომიკური ვარაუდები ემყარება მას? რა შემთხვევაში არის ჰიქსის განტოლების ამონახსნი სტაციონარული მიმდევრობით?
სამუელსონ-ჰიქსის ბიზნეს ციკლის მოდელი ითვალისწინებს ინვესტიციების მოცულობების პირდაპირპროპორციულობას ეროვნული შემოსავლის ზრდასთან (აჩქარების პრინციპი), ე.ი.
სადაც კოეფიციენტი V>0 არის აჩქარების კოეფიციენტი,
I t - ინვესტიციის ოდენობა t პერიოდში,
X t -1 ,X t -2 - ეროვნული შემოსავლის მნიშვნელობა (t-1) და (t-2) პერიოდებში, შესაბამისად.
ასევე ვარაუდობენ, რომ მოთხოვნა ამ ეტაპზე 
დამოკიდებულია წინა ეტაპზე ეროვნული შემოსავლის ოდენობაზე 
ხაზოვანი 
. მიწოდებისა და მოთხოვნის თანასწორობის პირობას ფორმა აქვს 
. შემდეგ მივდივართ ჰიქსის განტოლებამდე
სადაც a, b არის მოთხოვნის წრფივი გამოხატვის კოეფიციენტები ამ ეტაპზე:
სტაციონარული თანმიმდევრობა 
არის გამოსავალი ჰიქსის განტოლებისთვის მხოლოდ 
; ფაქტორი 
ეწოდება კეინსის მულტიპლიკატორი (მთლიანი ხარჯების მატრიცის ერთგანზომილებიანი ანალოგი).
№ ^
39. აღწერეთ ობობის ბაზრის მოდელი. რა ეკონომიკური ვარაუდები ემყარება მას? იპოვეთ ვებ ბაზრის მოდელის წონასწორული მდგომარეობა.
40. ჩამოაყალიბეთ კუპონური ობლიგაციების მიმდინარე ღირებულების განსაზღვრის პრობლემა. რა არის კოშის პრობლემა სხვაობის განტოლებისთვის? იპოვნეთ წონასწორული გამოსავალი კუპონის ობლიგაციების მიმდინარე ღირებულების განსაზღვრის კუშის პრობლემისთვის. შეამოწმეთ, რომ ნაპოვნი ღირებულება ემთხვევა იმ თანხას, რომელიც უნდა გადაიხადოთ იმ მომენტში, რათა მიიღოთ კუპონის თანხა თითოეულ კუპონურ პერიოდში უსასრულოდ დიდი ხნის განმავლობაში მოცემული საპროცენტო განაკვეთით ერთი კუპონის პერიოდისთვის.
დაე ფ
– კუპონური ობლიგაციების ნომინალური ღირებულება (ანუ ემიტენტის მიერ გადახდილი თანხის ოდენობა გამოსყიდვის დროს, რომელიც ემთხვევა ბოლო კუპონური პერიოდის დასასრულს), კ
- კუპონის ღირებულება (ანუ გადახდილი თანხის ოდენობა ყოველი კუპონის პერიოდის ბოლოს), X 
- ობლიგაციების მიმდინარე ღირებულება მე-1 კუპონური პერიოდის ბოლოს,
იმათ. გვ 
ემთხვევა იმ თანხას, რომელიც უნდა გადაიხადოთ იმ მომენტში, რათა მიიღოთ კუპონის თანხა თითოეულ კუპონურ პერიოდში უსასრულოდ დიდი ხნის განმავლობაში მოცემული საპროცენტო განაკვეთით ერთი კუპონის პერიოდისთვის.
სადაც C 1 და C 2 უცნობია.
ყველა y არის ცნობილი რიცხვი, გამოითვლება x = x 0-ზე. იმისათვის, რომ სისტემას ჰქონდეს გამოსავალი ნებისმიერი მარჯვენა მხარისთვის, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მთავარი განმსაზღვრელი განსხვავებული იყოს 0-დან.
ვრონსკის განმსაზღვრელი. თუ განმსაზღვრელი არის 0, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ არსებობს საწყისი პირობების პროპორცია. მაშასადამე, აქედან გამომდინარეობს, რომ საწყისი პირობების არჩევა ექვემდებარება კანონს, ასე რომ, ნებისმიერი საწყისი პირობის მიღება შეუძლებელია და ეს არის კოშის პრობლემის პირობების დარღვევა.
თუ , მაშინ ვრონსკის განმსაზღვრელი არ არის 0-ის ტოლი, x 0-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
მტკიცებულება. დეტერმინანტი იყოს 0-ის ტოლი, მაგრამ ავირჩიოთ საწყისი არანულოვანი პირობები y=0, y’=0. შემდეგ ვიღებთ შემდეგ სისტემას:
ამ სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, როდესაც განმსაზღვრელი არის 0. C 11 და C 12 არის ამონახსნები სისტემისთვის.
ეს ეწინააღმდეგება პირველ შემთხვევას, რაც ნიშნავს, რომ ვრონსკის განმსაზღვრელი არ არის 0-ის ტოლი ნებისმიერი x 0-ისთვის, თუ . ყოველთვის შესაძლებელია კონკრეტული გადაწყვეტის არჩევა ზოგადი გადაწყვეტილებიდან.
ბილეთი No33
თეორემა მე-2 რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის შესახებ მტკიცებით.
თეორემა დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის შესახებ:
ამ განტოლების ამონახსნები, შემდეგ ფუნქცია 
ასევე გამოსავალი. ამ თეორემიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის სტრუქტურის შესახებ: თუ 1 და 2-ს აქვთ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები ისეთი, რომ მათი თანაფარდობა არ იყოს მუდმივის ტოლი, მაშინ ამ ფუნქციების წრფივი კომბინაცია არის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა. ტრივიალური ამონახსნი (ან ნულოვანი) არ შეიძლება იყოს ამ განტოლების ამონახსნი.
მტკიცებულება:
ბილეთი No34
მე-2 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის თეორემა მტკიცებით.
მიეცეს მარჯვენა მხარის განტოლება: . განტოლება მარჯვენა მხარის გარეშე
თუ ფუნქციის ნაცვლად 0-ს დავსვამთ, მას მახასიათებელს ვუწოდებთ.
თეორემა მარჯვენა მხარის განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის შესახებ.
T.1 განტოლების ზოგადი ამონახსნები მარჯვენა მხარეს შეიძლება შედგებოდეს როგორც განტოლების ზოგადი ამონახსნის ჯამი მარჯვენა მხარის გარეშე და ამ განტოლების რაიმე კონკრეტული ამონახსნები.
მტკიცებულება.
მოდით აღვნიშნოთ ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნით და ზოგიერთი კონკრეტული ამონახსნით. ავიღოთ ფუნქცია 
. Ჩვენ გვაქვს
, 
.
y, y', y'' გამონათქვამებით განტოლების მარცხენა მხარეს შევცვლით, ვპოულობთ: პირველ კვადრატულ ფრჩხილში გამოსახულება 0-ის ტოლია. მეორე ფრჩხილში კი გამოსახულება f(x ფუნქციას უდრის. ). ამიტომ ფუნქცია 
ამ განტოლების გამოსავალი არსებობს.
ბილეთი No35
მე-2 რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით, F.S.R. და ზოგადი ამოხსნა სხვადასხვა რეალური ფესვების შემთხვევაში, დამახასიათებელი განტოლებები მტკიცებულებით.
ავიღოთ მეორე რიგის ერთგვაროვანი წრფივი განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით:
,
სადაც a არის რიცხვები.
შევეცადოთ დავაკმაყოფილოთ განტოლება ფორმის ფუნქციით. აქედან გვაქვს:
აქედან ჩვენ ვხედავთ, როგორი იქნება ამ განტოლების ამონახსნი, თუ r არის კვადრატული განტოლების ფესვი. ამ განტოლებას მახასიათებელი ეწოდება. დამახასიათებელი განტოლების შესაქმნელად, თქვენ უნდა შეცვალოთ y ერთით, ხოლო თითოეული წარმოებული r-ით, წარმოებულის რიგის ხარისხში.
1) დამახასიათებელი განტოლების ფესვები რეალური და განსხვავებულია.
ამ შემთხვევაში, ორივე ფესვი შეიძლება მივიღოთ r ფუნქციის ინდიკატორად. აქ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ მიიღოთ ორი განტოლება. ნათელია, რომ მათი თანაფარდობა არ არის მუდმივი სიდიდის ტოლი.
რეალური და განსხვავებული ფესვების შემთხვევაში ზოგადი ამოხსნა მოცემულია ფორმულით:
.
ბილეთი No36
მე-2 რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით, F.S.R. და ზოგადი ამოხსნა მრავალი ფესვის შემთხვევაში, დამახასიათებელი განტოლებები მტკიცებულებით.
რეალური განტოლების ფესვები რეალური და ტოლია.
თეორემა არაჰომოგენური წრფივი ოდების ნორმალური სისტემის ზოგადი ამოხსნის (ზოგადი ამონახსნის აგებულების შესახებ).
განვიხილოთ n-ე რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების არაჰომოგენური წრფივი სისტემა
Აქ 
ა 
მართალია შემდეგი ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის თეორემა ODE-ების ამ არაჰომოგენური ხაზოვანი სისტემის შესახებ.
თუ მატრიცა ა(x) და ვექტორული ფუნქცია ბ
(x) უწყვეტია [ ა,
ბ], გაუშვი Φ
(x) არის ერთგვაროვანი წრფივი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური მატრიცა, შემდეგ არაჰომოგენური სისტემის ზოგადი ამონახსნები Y"
= ა(x) ი
+ ბ(x) აქვს ფორმა: 
სად C- თვითნებური მუდმივი სვეტის ვექტორი, x 0 - თვითნებური ფიქსირებული წერტილი სეგმენტიდან.
ზემოაღნიშნული ფორმულიდან ადვილია მივიღოთ კოშის ამოცანის ამოხსნის ფორმულა წრფივი არაჰომოგენური ODE სისტემისთვის - კოშის ფორმულა.
კოშის პრობლემის გადაჭრა, ი(x 0) = ი 0 არის ვექტორული ფუნქცია
თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი არაერთგვაროვანი წრფივი ოდების ნორმალური სისტემის ნაწილობრივი ამონახსნების საპოვნელად.
არაჰომოგენური წრფივი ODE-ების სისტემის განმარტება. ODU სისტემატიპი:
დაურეკა ხაზოვანი ჰეტეროგენული . დაე
სისტემა (*) ვექტორ-მატრიცის სახით: .- სისტემა ერთგვაროვანია, წინააღმდეგ შემთხვევაში არაერთგვაროვანი.
თავად მეთოდი.
იყოს წრფივი არაჰომოგენური სისტემა 
, მაშინ არის წრფივი ერთგვაროვანი სისტემა, რომელიც შეესაბამება წრფივ არაერთგვაროვან სისტემას. მოდით იყოს გადაწყვეტილების სისტემის ფუნდამენტური მატრიცა, 
, სადაც C არის თვითნებური მუდმივი ვექტორი, არის სისტემის ზოგადი ამოხსნა. მოდით ვეძიოთ (1) სისტემის გამოსავალი ფორმაში 
, სადაც C(x) არის უცნობი (ჯერ) ვექტორული ფუნქცია. ჩვენ გვინდა, რომ ვექტორული ფუნქცია (3) იყოს ამონახსნი სისტემის (1). მაშინ ვინაობა უნდა იყოს ჭეშმარიტი:
(თვითნებური მუდმივი ვექტორი, რომელიც მიიღება ინტეგრაციის შედეგად, შეიძლება ჩაითვალოს 0-ის ტოლი). აქ წერტილები x 0 არის ნებისმიერი.
ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ (3)-ში ვიღებთ როგორც C(t) 
, შემდეგ ვექტორული ფუნქცია 
იქნება გამოსავალი სისტემის (1).
წრფივი არაერთგვაროვანი სისტემის (1) ზოგადი ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს ფორმით 
. მოდით, საჭირო გახდეს სისტემის (1) გამოსავლის პოვნა, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას 
. საწყისი მონაცემების (5) ჩანაცვლება (4) იძლევა 
. მაშასადამე, კოშის ამოცანის ამოხსნა (1)-(5) შეიძლება დაიწეროს როგორც: 
. განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როდესაც ბოლო ფორმულა იღებს ფორმას: 
.
ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების ნორმალური სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა მუდმივი კოეფიციენტებით დამახასიათებელი განტოლების მარტივი რეალური ფესვების შემთხვევაში.
ნორმალური ხაზოვანი ერთგვაროვანი სისტემანშეკვეთა მუდმივი კოეფიციენტებით
-
ან 
, მოძიებული ფუნქციების წრფივი კომბინაციების კოეფიციენტები მუდმივია. ეს სისტემა არის მატრიცული სახით 
– მატრიცის ფორმა, სადაც A არის მუდმივი მატრიცა. მატრიცული მეთოდი: დან დამახასიათებელი განტოლება 
ვიპოვით სხვადასხვა ფესვს და თითოეული ფესვისთვის (მისი სიმრავლის გათვალისწინებით) განვსაზღვრავთ შესაბამის კონკრეტულ ამონახსნებს. ზოგადი გამოსავალი არის: 
. ამ შემთხვევაში 1) თუ -
არის მრავლობითი 1-ის რეალური ფესვი, მაშინ 
, სად არის მატრიცის A საკუთრივ ვექტორი, რომელიც შეესაბამება საკუთრივ მნიშვნელობას, ანუ. 2)
–
სიმრავლის ფესვი, შემდეგ ამ ფესვის შესაბამისი სისტემური ამონახსნილია ვექტორის სახით 
(**), რომლის კოეფიციენტები 
განისაზღვრება წრფივი განტოლებათა სისტემიდან, რომელიც მიღებულია კოეფიციენტების განტოლებით იმავე სიმძლავრეზეx, ვექტორის (**) საწყის სისტემაში ჩანაცვლების შედეგად.
NLOS გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემაარის თვითნებური n წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების კოლექცია
გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა ერთგვაროვანი წრფივი ODE-ების ნორმალური სისტემისთვის მუდმივი კოეფიციენტებით იმ შემთხვევაში, როდესაც დამახასიათებელი განტოლების ყველა ფესვი მარტივია, მაგრამ არსებობს რთული ფესვები.
კითხვა ამოღებულია.
სისტემის ზოგადი ხედი
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - სისტემის კოეფიციენტები; - თავისუფალი წევრები; - ცვლადები;
თუ ყველა = 0, სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი.
წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამოხსნა
განმარტება 1. ჰომოგენური სისტემა მწრფივი ალგებრული განტოლებები ნუცნობებს განტოლებათა სისტემას უწოდებენ
ტიპი (1) ან მატრიცული ფორმით (2)
სადაც A არის mxn ზომის კოეფიციენტების მოცემული მატრიცა,
უცნობის n სვეტი არის m სიმაღლის ნულოვანი სვეტი.
ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია (გაფართოებული მატრიცა ემთხვევა A-ს) და აქვს აშკარა ამონახსნები: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
ამ ამოხსნას ეწოდება ნული ან ტრივიალური. ნებისმიერი სხვა გამოსავალი, თუ არსებობს, ეწოდება არატრივიალური.
თეორემა 1. თუ მატრიცის A რანგი უდრის უცნობთა რაოდენობას, მაშინ (1) სისტემას აქვს უნიკალური (ტრივიალური) ამონახსნი.
მართლაც, კრამერის თეორემის მიხედვით, r=n და ამოხსნა უნიკალურია.
თეორემა 2. იმისათვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მატრიცის რანგი იყოს უცნობის რაოდენობაზე ნაკლები ( გამომდინარეობს ამონახსნების რაოდენობის შესახებ თეორემიდან).
Þ თუ არის არანულოვანი ამონახსნები, მაშინ ამოხსნა არ არის უნიკალური, მაშინ სისტემის განმსაზღვრელი უდრის ნულს, მაშინ r Ü თუ r თეორემა 3. n განტოლების ერთგვაროვან სისტემას n უცნობით აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ detA = 0. Þ თუ არის არანულოვანი ამონახსნები, მაშინ არის უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები, მაშინ ამონახსნების რაოდენობის შესახებ თეორემის მიხედვით r Ü თუ detA = 0, მაშინ r თეორემა 4. იმისათვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია, რომ სისტემის განტოლებათა რიცხვი იყოს უცნობის რაოდენობაზე ნაკლები. ვინაიდან კოეფიციენტების მატრიცის რანგი არ შეიძლება იყოს მისი მწკრივების (ისევე როგორც სვეტების რაოდენობაზე) მეტი, მაშინ r განმარტება 2. სისტემური ცვლადები, რომლებიც მდებარეობს ორიგინალური კოეფიციენტების მატრიცის სვეტებზე, ეწოდება ძირითადი ცვლადები, და სისტემის დარჩენილი ცვლადები ეწოდება უფასო. განმარტება 4. პირადი გადაწყვეტილებაარაჰომოგენური სისტემა AX = B ეწოდება სვეტის ვექტორს X მიერ მიღებული ნულიღირებულებები უფასოცვლადები. თეორემა 6. არაჰომოგენური სისტემის ზოგადი გადაწყვეტაწრფივ განტოლებებს AX = B აქვს ფორმა, სადაც არის AX = B განტოლებათა სისტემის კონკრეტული ამონახსნი და არის ერთგვაროვანი სისტემის FSR AX = 0. წრფივი განტოლებათა არაერთგვაროვანი სისტემა არის ფორმის სისტემა: მისი გაფართოებული მატრიცა. თეორემა (არაერთგვაროვანი სისტემების ზოგადი ამოხსნის შესახებ). · თუ , სად არის სისტემის ცვლადების რაოდენობა (2), მაშინ ამოხსნა (2) არსებობს და ის უნიკალურია; · თუ , მაშინ (2) სისტემის ზოგად ამონახსანს აქვს ფორმა, სადაც არის (1) სისტემის ზოგადი ამონახსნები, ე.წ. ზოგადი ერთგვაროვანი ხსნარი, არის (2) სისტემის კონკრეტული ამოხსნა, ე.წ კერძო არაჰომოგენური გადაწყვეტა. წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა არის ფორმის სისტემა: (1) სისტემის ნულოვანი ამონახსნი ეწოდება ტრივიალური გადაწყვეტა. ჰომოგენური სისტემები ყოველთვის თავსებადია, რადგან ყოველთვის არის ტრივიალური გამოსავალი. თუ არსებობს სისტემის რაიმე არანულოვანი გამოსავალი, მაშინ მას უწოდებენ არატრივიალური. ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნებს აქვთ წრფივობის თვისება: თეორემა (ერთგვაროვანი სისტემების წრფივი ამოხსნის შესახებ). თეორემა (ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის შესახებ). · თუ , სად არის სისტემის ცვლადების რაოდენობა, მაშინ მხოლოდ ტრივიალური გამოსავალი არსებობს; · თუ , მაშინ არსებობს განსახილველი სისტემის წრფივი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებები: , და მისი საერთო გადაწყვეტილებააქვს ფორმა: , სადაც არის მუდმივები. 2. პერმუტაციები და ჩანაცვლებები. n-ე რიგის განმსაზღვრელი. დეტერმინანტების თვისებები. განმსაზღვრელი - რიგის განმარტება. მიეცით პირველი რიგის კვადრატული მატრიცა: განმარტება. A მატრიცის ელემენტების ნამრავლს, აღებული თითო მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან, ეწოდება A მატრიცის განმსაზღვრელი წევრი. საპირისპირო. 4 თუ მატრიცა შეიცავს ნულოვან მწკრივს (სვეტს), მაშინ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.5 თუ მატრიცის ორი მწკრივი (სვეტი) უდრის ერთმანეთს, მაშინ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლია ნულამდე.6 თუ მატრიცის ორი მწკრივი (სვეტი) ერთმანეთის პროპორციულია, მაშინ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.7 სამკუთხა მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ელემენტების ნამრავლს მთავარი დიაგონალი.8 თუ ყველა ელემენტი კგანმსაზღვრელი რიგი (სვეტი) წარმოდგენილია ჯამების სახით კ ჯ + ბ კ ჯ, მაშინ განმსაზღვრელი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შესაბამისი განმსაზღვრელთა ჯამი.9 განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ მისი რომელიმე მწკრივის (ან შესაბამისი სვეტის) ელემენტებს დაემატება სხვა მწკრივის (ან შესაბამისი სვეტის) შესაბამისი ელემენტები. , გამრავლებული იმავე რიცხვზე.10. დაე ადა ბარის ერთი და იმავე რიგის კვადრატული მატრიცები. მაშინ მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია დეტერმინანტების ნამრავლის: ხაზოვანი დიფერენციალური სისტემები განტოლებები. დიფერენციალური განტოლებათა სისტემა ე.წ ხაზოვანი,თუ იგი წრფივია უცნობი ფუნქციების და მათი წარმოებულების მიმართ. სისტემა ნ-1 რიგის წრფივი განტოლებები იწერება სახით: სისტემის კოეფიციენტები არის const. მოსახერხებელია ამ სისტემის დაწერა მატრიცის სახით: სადაც არის უცნობი ფუნქციების სვეტის ვექტორი, რომელიც დამოკიდებულია ერთ არგუმენტზე. ამ ფუნქციების წარმოებულების სვეტის ვექტორი. თავისუფალი წევრების სვეტის ვექტორი. კოეფიციენტების მატრიცა. თეორემა 1:თუ ყველა მატრიცის კოეფიციენტი აარიან უწყვეტები გარკვეულ ინტერვალზე და შემდეგ ყოველი მ-ის გარკვეულ სამეზობლოში. მართლაც, ამ შემთხვევაში, სისტემის მარჯვენა მხარეები უწყვეტია არგუმენტების სიმრავლის მიმართ და მათი ნაწილობრივი წარმოებულები (მატრიცის A კოეფიციენტების ტოლი) შეზღუდულია დახურულ ინტერვალზე უწყვეტობის გამო. SLD-ების ამოხსნის მეთოდები 1.
დიფერენციალური განტოლებათა სისტემა შეიძლება შემცირდეს ერთ განტოლებამდე უცნობის აღმოფხვრის გზით. მაგალითი:ამოხსენით განტოლებათა სისტემა: გამოსავალი:გამორიცხავს ზამ განტოლებიდან. პირველი განტოლებიდან გვაქვს. მეორე განტოლებაში ჩანაცვლება, განტოლებათა ეს სისტემა (1)
შემცირდა ერთი მეორე რიგის განტოლებამდე. ამ განტოლებიდან აღმოჩენის შემდეგ წ, უნდა მოიძებნოს ზ, თანასწორობის გამოყენებით. 2.
უცნობების აღმოფხვრის გზით განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას, ჩვეულებრივ, უფრო მაღალი რიგის განტოლება მიიღება, ამიტომ ხშირ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია სისტემის ამოხსნა მოძიებით. ინტეგრირებული კომბინაციები. გაგრძელდა 27ბ მაგალითი:გადაჭრით სისტემა გამოსავალი: მოდით გადავჭრათ ეს სისტემა ეილერის მეთოდით. დავწეროთ განმსაზღვრელი მახასიათებლის საპოვნელად განტოლება: , (რადგან სისტემა ერთგვაროვანია, იმისათვის რომ ჰქონდეს არატრივიალური ამონახსნები, ეს განმსაზღვრელი უნდა იყოს ნულის ტოლი). ჩვენ ვიღებთ დამახასიათებელ განტოლებას და ვპოულობთ მის ფესვებს: ზოგადი გამოსავალი არის: ჩვენ ვწერთ გამოსავალს: ჩვენ ვწერთ გამოსავალს: ჩვენ ვიღებთ ზოგად გადაწყვეტას: მოდით შევამოწმოთ: მოდი ვიპოვოთ: და ჩავანაცვლოთ ამ სისტემის პირველ განტოლებაში, ე.ი. . ჩვენ ვიღებთ: ხაზოვანი განსხვავება. n-ე რიგის განტოლებები. თეორემა n-ე რიგის არაერთგვაროვანი წრფივი განტოლების ზოგადი ამოხსნის შესახებ. n-ე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება: (1)
თუ ამ განტოლებას აქვს კოეფიციენტი, მაშინ მასზე გაყოფით მივიღებთ განტოლებას: (2)
. ჩვეულებრივ ტიპის განტოლებები (2).
დავუშვათ, რომ ურ-ი (2)
ყველა შანსები, ასევე f(x)უწყვეტი გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ).შემდეგ, TS&E-ს მიხედვით, განტოლება (2)
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს: , , …, for . აქ - ნებისმიერი წერტილი ინტერვალიდან (ა, ბ),და ყველა - ნებისმიერი მოცემული რიცხვი. განტოლება (2)
აკმაყოფილებს TC&E ,
ამიტომ არ აქვს სპეციალური გადაწყვეტილებები. განმარტება: განსაკუთრებულიწერტილები არის ის, სადაც =0. წრფივი განტოლების თვისებები: Def:თუ განტოლებაში (2)
დადება f(x)=0, მაშინ მივიღებთ ფორმის განტოლებას: (3)
, რომელსაც ქვია ერთგვაროვანი განტოლებაარაჰომოგენურ განტოლებასთან შედარებით (2).
მოდით წარმოვიდგინოთ ხაზოვანი დიფერენციალური ოპერატორი: (4).
ამ ოპერატორის გამოყენებით შეგიძლიათ გადაწეროთ განტოლება მოკლე ფორმით (2)
და (3):
L(y)=f(x), L(y)=0.ოპერატორი (4)
აქვს შემდეგი მარტივი თვისებები: ამ ორი თვისებიდან შეიძლება გამოვიტანოთ დასკვნა: . ფუნქცია y=y(x)არის არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნი (2),
თუ L(y(x))=f(x), მაშინ f(x)უწოდა განტოლების ამონახსნი. ასე რომ, განტოლების ამონახსნი (3)
ფუნქციას უწოდებენ y(x), თუ L(y(x))=0განხილულ ინტერვალებზე. განვიხილოთ არაჰომოგენური წრფივი განტოლება: , L(y)=f(x). დავუშვათ, რომ ჩვენ ვიპოვეთ კონკრეტული გამოსავალი რაიმე გზით, მაშინ . მოდით შემოვიტანოთ ახალი უცნობი ფუნქცია ზფორმულის მიხედვით: სად არის კონკრეტული გამოსავალი. ჩავანაცვლოთ განტოლებაში: , გავხსნათ ფრჩხილები და მივიღოთ: . შედეგად მიღებული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: ვინაიდან ეს არის ორიგინალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, მაშინ . ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ერთგვაროვანი განტოლება მიმართ ზ. ამ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის წრფივი კომბინაცია: , სადაც ფუნქციები - ქმნიან ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას. ჩანაცვლება ზჩანაცვლების ფორმულაში ვიღებთ: ამრიგად, არაჰომოგენური ხაზის ზოგადი გადაწყვეტა. განტოლება წარმოდგენილია როგორც ერთგვაროვანი წრფივი განტოლების ზოგადი ამოხსნის და არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგიერთი კონკრეტული ამოხსნის ჯამი. (გაგრძელება მეორე მხარეს) 30. დიფერენციალური ამოხსნის არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა. განტოლებები თეორემა:თუ განტოლების მარჯვენა მხარე უწყვეტია მართკუთხედში მტკიცებულება: განვიხილოთ სრული მეტრული სივრცე თან,რომლის წერტილები არის ყველა შესაძლო უწყვეტი ფუნქცია y(x) განსაზღვრული ინტერვალზე მოდით შევცვალოთ დიფერენციალი. განტოლება მოცემული საწყისი პირობებით ეკვივალენტური ინტეგრალური განტოლებისთვის: ლიპშიცის უტოლობის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ, რომ მანძილი . ახლა ავირჩიოთ ერთი, რომლისთვისაც შემდეგი უტოლობა იქნება: . ასე უნდა აირჩიო, მაშინ. ამით ჩვენ ვაჩვენეთ რომ. შეკუმშვის რუკების პრინციპის მიხედვით, არსებობს ერთი წერტილი ან, რაც იგივეა, ერთი ფუნქცია - დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ საწყის პირობებს.
მოდით (ანუ სისტემა (2) იყოს თანმიმდევრული), მაშინ:
მოდით იყოს ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნები (1) და იყოს თვითნებური მუდმივები. შემდეგ ასევე განიხილება სისტემის გადაწყვეტა.
მოდით მაშინ:
1
| | | | | | | | | | |
TS&E პირობები შესრულებულია. შესაბამისად, თითოეულ ასეთ წერტილში ერთი ინტეგრალური მრუდი გადის.
(1)
გამარტივების შემდეგ ვიღებთ: 
.
;
- საკუთარი ვექტორი.
;
- საკუთარი ვექტორი.
;
.
- ნამდვილი თანასწორობა.
(*) ფუნქციისთვის წ– საწყისი განტოლების უცნობი ფუნქცია. თავდაპირველი განტოლების ყველა ამონახსნი იქნება (*).
და შეზღუდულია და ასევე აკმაყოფილებს ლიპშიცის პირობას: , N=const, მაშინ არის უნიკალური ამონახსნები, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს და განისაზღვრება სეგმენტზე 
, სად ., რომლის გრაფიკები დევს მართკუთხედის შიგნით და მანძილი განისაზღვრება ტოლობით: 
. ეს სივრცე ხშირად გამოიყენება მათემატიკური ანალიზისას და ე.წ ერთიანი კონვერგენციის სივრცე, ვინაიდან ამ სივრცის მეტრიკაში კონვერგენცია ერთგვაროვანია.
და განიხილეთ ოპერატორი A(y)ტოლია ამ განტოლების მარჯვენა მხარის: 
. ეს ოპერატორი ანიჭებს თითოეულ უწყვეტ ფუნქციას
