Квадрат теңдеудің түбірінің анықтамасын тұжырымдаңыз. Квадрат теңдеудің түбірлері. Толық емес квадрат теңдеулерді шешу

Жай. Формулалар мен түсінікті, қарапайым ережелерге сәйкес. Бірінші кезеңде

берілген теңдеуді стандартты түрге келтіру қажет, яғни. қарау:

Егер теңдеу сізге осы формада берілген болса, сізге бірінші қадамды жасаудың қажеті жоқ. Ең бастысы - дұрыс

барлық коэффициенттерді анықтау; а, бжәне c).

Квадрат теңдеудің түбірлерін табу формуласы.

Түбір белгісінің астындағы өрнек деп аталады кемсітушілік ... Көріп отырғаныңыздай, x табу үшін біз

қолдану тек a, b және c. Анау. коэффициенттері квадрат теңдеу... Тек мұқият ауыстырыңыз

мағынасы a, b және cосы формулаға енгізіңіз және есептеңіз. -Мен алмастырыңыз олардың тарапынанбелгілер!

Мысалға, теңдеуде:

а =1; б = 3; c) = -4.

Мәндерді ауыстырыңыз және жазыңыз:

Мысал дерлік шешілді:

Бұл жауап.

Ең жиі кездесетін қателіктер - мағыналық белгілермен шатастыру. а, бжәне бар... Керісінше, ауыстырумен

теріс мәндерді түбірлерді есептеу формуласына енгізеді. Мұнда формуланың егжей -тегжейлі жазбасы сақталады

нақты сандармен. Егер сізде есептеулерде қиындықтар болса, жасаңыз!

Бұл мысалды шешу керек делік:

Мұнда а = -6; б = -5; c) = -1

Біз барлық белгілермен және жақшалармен ештеңені жібермей, мұқият егжей -тегжейлі бояймыз:

Квадрат теңдеулер әдетте сәл өзгеше көрінеді. Мысалы, мына сияқты:

Әзірге қателерді күрт азайтатын ең жақсы тәжірибеге назар аударыңыз.

Бірінші қабылдау... Бұрын жалқау болмаңыз квадрат теңдеудің шешіміоны стандартты түрге келтіріңіз.

Бұл нені білдіреді?

Айталық, кейбір түрлендірулерден кейін сіз келесі теңдеуді алдыңыз:

Түбірлік формуланы жазуға асықпаңыз! Сіз, әрине, мүмкіндікті араластырасыз. a, b және c.

Мысалды дұрыс құрастырыңыз. Алдымен Х квадрат, содан кейін квадратсыз, содан кейін бос мүше. Бұл сияқты:

Минусынан құтылыңыз. Қалай? Барлық теңдеуді -1 -ге көбейту керек. Біз алып жатырмыз:

Бірақ енді сіз тамырлардың формуласын қауіпсіз түрде жаза аласыз, дискриминантты есептеп, мысалды толтыра аласыз.

Өзің жаса. Сізде 2 және -1 түбірлері болуы керек.

Екіншіні қабылдау.Тамырды тексеріңіз! Бойынша Вьетнам теоремасы.

Берілген квадрат теңдеулерді шешу үшін, яғни. егер коэффициент

x 2 + bx + c = 0,

ондаx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -б

Толық квадрат теңдеу үшін а ≠ 1:

x 2 +бx +c)=0,

бүтін теңдеуді бөліңіз а:

→ →

қайда x 1және x 2 - теңдеудің түбірлері.

Үшінші қабылдау... Егер сіздің теңдеуде бөлшек коэффициенттері болса, бөлшектерден арылыңыз! Көбейту

ортақ бөлгіш теңдеу.

Шығу. Практикалық кеңестер:

1. Шешу алдында квадрат теңдеуді стандартты түрге келтіреміз, оны тұрғызамыз дұрыс.

2. Егер квадратта х -тың алдында теріс коэффициент болса, біз оны жалпыға көбейту арқылы жоямыз

-1 -ге теңдеу.

3. Егер коэффициенттер бөлшек болса, онда барлық теңдеуді сәйкесінше көбейту арқылы бөлшектерді жоямыз

фактор

4. Егер х квадрат таза болса, ондағы коэффициент бірге тең, шешімді оңай тексеруге болады

Бейне оқулық 2: Квадрат теңдеулерді шешу

Дәріс: Квадрат теңдеулер

Теңдеу

Теңдеу- бұл теңдіктің бір түрі, оның өрнектерінде айнымалысы бар.

Теңдеуді шешіңіз- дұрыс теңдікке жеткізетін айнымалының орнына осындай санды табуды білдіреді.

Теңдеудің бір шешімі, бірнеше шешімі болуы мүмкін немесе шешімі мүлде жоқ.

Кез келген теңдеуді шешу үшін оны мүмкіндігінше жеңілдету қажет:

Сызықтық: a * x = b;

Шаршы: a * x 2 + b * x + c = 0.

Яғни кез келген теңдеу шешілмес бұрын стандартты түрге айналуы керек.

Кез келген теңдеуді екі жолмен шешуге болады: аналитикалық және графикалық.

Графикте теңдеудің шешімі графиктің ОХ осімен қиылысатын нүктелері болып саналады.

Квадрат теңдеулер

Теңдеуді квадрат деп атауға болады, егер ол жеңілдетілген болса, онда ол келесі түрде болады:

a * x 2 + b * x + c = 0.

Сонымен бірге a, b, cтеңдеудің нөлден айырмашылығы бар коэффициенттері. A «NS»- теңдеудің түбірі. Квадрат теңдеудің екі түбірі бар немесе шешімі жоқ болуы мүмкін деп есептеледі. Алынған тамырлар бірдей болуы мүмкін.

«а»квадрат түбірдің алдындағы коэффициент.

«б»- бірінші дәрежеде белгісіздердің алдында тұрады.

«бар»теңдеудің бос мүшесі болып табылады.

Егер, мысалы, бізде формуланың теңдеуі болса:

2x 2 -5x + 3 = 0

Онда «2»-теңдеудің ең жоғарғы мүшесіндегі коэффициент, «-5»-екінші коэффициент, ал «3»-бос мүше.

Квадрат теңдеуді шешу

Квадрат теңдеуді шешудің көптеген әдістері бар. Дегенмен, мектептегі математика курсында шешімді Вьетнамның теоремасы бойынша зерттейді, сонымен қатар дискриминантты қолданады.

Дискриминантты шешім:

Бұл әдісті қолдана отырып, формуланы пайдаланып дискриминантты есептеу қажет:

Егер есептеулер кезінде дискриминант нөлден аз болса, онда бұл теңдеуде шешімдер жоқ дегенді білдіреді.

Егер дискриминант нөлге тең болса, онда теңдеудің екі бірдей шешімі бар. Бұл жағдайда көпмүшені қысқартылған көбейту формуласы бойынша қосынды немесе айырманың квадратына дейін жинауға болады. Содан кейін оны сызықтық теңдеу ретінде шешіңіз. Немесе формуланы қолданыңыз:

Егер дискриминант нөлден үлкен болса, онда келесі әдісті қолдану қажет:

Вьетнам теоремасы

Егер теңдеу кішірейтілсе, яғни жетекші мүшедегі коэффициент бірге тең болса, онда қолдануға болады Вьетнам теоремасы.

Сонымен, теңдеу келесідей болсын:

Теңдеудің түбірлері келесідей:

Толық емес квадрат теңдеу

Толық емес квадрат теңдеуді алудың бірнеше нұсқасы бар, олардың формасы коэффициенттердің болуына байланысты.

1. Егер екінші және үшінші коэффициенттер нөлге тең болса (b = 0, c = 0), онда квадрат теңдеу болады:

Бұл теңдеудің бірегей шешімі болады. Егер теңдеудің шешімі нөлге тең болса, теңдік ақиқат болады.

Естеріңізге сала кетейік, толық квадрат теңдеу мына түрдегі теңдеу болып табылады:

Толық квадрат теңдеулерді шешу берілгендерге қарағанда біршама қиын (сәл ғана).

Есіңізде болсын, кез келген квадрат теңдеуді дискриминант көмегімен шешуге болады!

Тіпті толық емес.

Қалған әдістер мұны тезірек жасауға көмектеседі, бірақ егер сізде квадрат теңдеулермен проблемалар туындаса, алдымен дискриминантты қолдана отырып шешімді үйреніңіз.

1. Дискриминант көмегімен квадрат теңдеулерді шешу.

Квадрат теңдеулерді осылайша шешу өте қарапайым, ең бастысы - әрекеттер тізбегі мен бірнеше формуланы есте сақтау.

Егер болса, онда теңдеудің 2 түбірі бар. Сіз 2 -қадамға ерекше назар аударуыңыз керек.

Д дискриминант бізге теңдеудегі түбірлердің санын айтады.

• Егер, онда қадамдағы формула дейін төмендетіледі. Осылайша, теңдеудің түбірі болады.
• Егер, онда біз қадамдағы кемсітушіліктен түбірді шығара алмаймыз. Бұл теңдеудің түбірлері жоқ екенін көрсетеді.

Квадрат теңдеудің геометриялық мағынасына жүгінейік.

Функция графигі парабола болып табылады:

Теңдеулерімізге оралып, бірнеше мысалдарды қарастырайық.

Мысал 9

Теңдеуді шешіңіз

1 -қадамөткізіп жіберу.

2 -қадам.

Біз дискриминантты табамыз:

Демек, теңдеудің екі түбірі бар.

3 -қадам.

Жауап:

Мысал 10

Теңдеуді шешіңіз

Теңдеу стандартты түрде берілген, сондықтан 1 -қадамөткізіп жіберу.

2 -қадам.

Біз дискриминантты табамыз:

Демек, теңдеудің бір түбірі бар.

Жауап:

Мысал 11

Теңдеуді шешіңіз

Теңдеу стандартты түрде берілген, сондықтан 1 -қадамөткізіп жіберу.

2 -қадам.

Біз дискриминантты табамыз:

Сондықтан біз кемсітушіліктен түбірді шығара алмаймыз. Теңдеудің түбірлері жоқ.

Енді біз мұндай жауаптарды қалай дұрыс жазу керектігін білеміз.

Жауап:Тамыры жоқ

2. Виета теоремасын қолданып квадрат теңдеулерді шешу

Егер есіңізде болса, онда теңдеулердің кішірейтілген деп аталатын түрі бар (а коэффициенті тең болғанда):

Мұндай теңдеулерді Вьетнам теоремасы арқылы шешу өте оңай:

Тамырлардың қосындысы берілгенквадрат теңдеу тең, ал түбірлердің көбейтіндісі.

Сізге көбейтіндісі теңдеудің бос мүшесіне тең болатын қос сандар таңдалуы керек, ал қосынды екінші таңбамен алынған екінші коэффициент.

Мысал 12

Теңдеуді шешіңіз

Бұл теңдеу Вьетнам теоремасын қолдана отырып шешуге қолайлы, себебі ...

Теңдеудің түбірлерінің қосындысы тең, яғни. біз бірінші теңдеуді аламыз:

Ал өнім мынаған тең:

Жүйені құрайық және шешейік:

• және. Сомасы тең;
• және. Сомасы тең;
• және. Сомасы тең.

және жүйенің шешімі болып табылады:

Жауап: ; .

Мысал 13

Теңдеуді шешіңіз

Жауап:

Мысал 14

Теңдеуді шешіңіз

Теңдеу қысқартылды, бұл мынаны білдіреді:

Жауап:

Квадраттық теңдеулер. ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Квадрат теңдеу дегеніміз не?

Басқаша айтқанда, квадрат теңдеу - бұл формадағы теңдеу, мұнда белгісіз, кейбір сандар, сонымен қатар.

Бұл сан ең үлкен немесе бірінші мүмкіншіліктерквадрат теңдеу екінші коэффициент, а - еркін мүше.

Өйткені егер, теңдеу бірден сызықты болады, себебі жоғалу

Оның үстіне, және нөлге тең болуы мүмкін. Бұл орындықта теңдеу аталады толық емес.

Егер барлық терминдер орнында болса, яғни теңдеу - толық.

Толық емес квадрат теңдеулерді шешу әдістері

Алдымен біз толық емес квадрат теңдеулерді шешу әдістерін талдаймыз - олар қарапайым.

Теңдеулердің келесі түрлерін ажыратуға болады:

I., бұл теңдеуде коэффициент пен қиылысу тең.

II. , бұл теңдеуде коэффициент.

III. , бұл теңдеуде бос мүше тең.

Енді осы кіші түрлердің әрқайсысының шешімін қарастырайық.

Бұл теңдеудің әрқашан бір ғана түбірі болатыны анық:

Квадрат сан теріс бола алмайды, себебі екі теріс немесе екі оң санды көбейткенде нәтиже әрқашан оң сан болады. Сондықтан:

егер, онда теңдеудің шешімдері жоқ;

егер бізде екі тамыр болса

Бұл формулаларды есте сақтаудың қажеті жоқ. Есте сақтау керек бастысы - бұл кем болмауы мүмкін.

Квадрат теңдеуді шешуге мысалдар

Мысал 15

Жауап:

Теріс тамырларды ешқашан ұмытпаңыз!

Мысал 16

Санның квадраты теріс болуы мүмкін емес, бұл теңдеуді білдіреді

тамыр жоқ.

Мәселенің шешімі жоқ екенін қысқаша жазу үшін біз бос жиын белгісін қолданамыз.

Жауап:

Мысал 17

Сонымен, бұл теңдеудің екі түбірі бар: және.

Жауап:

Жақшадан жалпы факторды шығарыңыз:

Егер факторлардың кем дегенде біреуі нөлге тең болса, өнім нөлге тең болады. Бұл теңдеудің шешімі бар екенін білдіреді:

Сонымен, бұл квадрат теңдеудің екі түбірі бар: және.

Мысал:

Теңдеуді шешіңіз.

Шешім:

Теңдеудің сол жағын бөліп, түбірлерін табыңыз:

Жауап:

Толық квадрат теңдеулерді шешу әдістері

1. Дискриминант

Квадрат теңдеулерді осылайша шешу оңай, ең бастысы - әрекеттер тізбегі мен бірнеше формуланы есте сақтау. Есіңізде болсын, кез келген квадрат теңдеуді дискриминант көмегімен шешуге болады! Тіпті толық емес.

Түбірлік формуладағы дискриминанттың түбірін байқадыңыз ба?

Бірақ дискриминант теріс болуы мүмкін.

Не істеу?

2 -қадамға ерекше назар аудару қажет. Дискриминант бізге теңдеудің түбірлерінің санын көрсетеді.

• Егер теңдеудің түбірі болса:
• Егер теңдеудің түбірі бірдей болса, бірақ іс жүзінде бір түбірі болса:

  Мұндай тамырларды қос тамыр деп атайды.

• Егер, онда дискриминанттың түбірі алынбайды. Бұл теңдеудің түбірлері жоқ екенін көрсетеді.

Неліктен тамырлардың басқа саны бар?

Квадрат теңдеудің геометриялық мағынасына жүгінейік. Функция графигі парабола болып табылады:

Ерекше жағдайда, бұл квадрат теңдеу.

Ал бұл квадрат теңдеудің түбірлері абсцисс осімен (осьпен) қиылысу нүктелері екенін білдіреді.

Парабола осьпен мүлдем қиылыспауы мүмкін немесе оны бір (параболаның төбесі осьте жатқанда) немесе екі нүктеде қиылысуы мүмкін.

Сонымен қатар, коэффициент парабола тармақтарының бағытына жауап береді. Егер, онда параболаның бұтақтары жоғары бағытталған, ал егер - содан кейін төмен бағытталған.

Квадрат теңдеуді шешуге 4 мысал

Мысал 18

Жауап:

Мысал 19

Жауап:.

Мысал 20

Жауап:

Мысал 21

Сондықтан шешімдер жоқ.

Жауап:.

2. Вьетнам теоремасы

Вьетнам теоремасын қолдану өте оңай.

Сізге тек қажет алукөбейтіндісі теңдеудің бос мүшесіне тең болатын қосынды сандар қосындысы екінші таңбамен алынған екінші коэффициент.

Вьетнам теоремасын тек қана қолдануға болатынын есте ұстаған жөн кішірейтілген квадрат теңдеулер ().

Бірнеше мысалды қарастырайық:

Мысал 22

Теңдеуді шешіңіз.

Шешім:

Бұл теңдеу Вьетнам теоремасын қолдана отырып шешуге қолайлы, себебі ... Басқа коэффициенттер :; ...

Теңдеудің түбірлерінің қосындысы:

Ал өнім мынаған тең:

Көбейту көбейтіндісі тең болатын осындай жұп сандарды алып, олардың қосындысы тең екенін тексерейік:

• және. Сомасы тең;
• және. Сомасы тең;
• және. Сомасы тең.

және жүйенің шешімі болып табылады:

Осылайша, және біздің теңдеудің түбірі.

Жауабы:; ...

Мысал 23

Шешім:

Өнім беретін сандардың жұптарын таңдап, олардың қосындысының тең екендігін тексерейік:

және: қосынды беріледі.

және: қосынды беріледі. Алу үшін болжамды тамырлардың белгілерін өзгерту жеткілікті: және, ақырында, жұмыс.

Жауап:

Мысал 24

Шешім:

Теңдеудің бос мүшесі теріс, яғни түбірлердің көбейтіндісі теріс сан болып табылады. Бұл тамырлардың бірі теріс, екіншісі оң болған жағдайда ғана мүмкін болады. Демек, түбірлердің қосындысы олардың модульдерінің айырмашылығы.

Өнімге берілген және айырмасы тең болатын сандардың жұптарын таңдайық.

және: олардың айырмашылығы тең - сәйкес келмейді;

және: - сәйкес келмейді;

және: - сәйкес келмейді;

және: - сәйкес келеді. Тек тамырлардың бірі теріс екенін есте ұстау ғана қалады. Олардың қосындысы тең болуы керек болғандықтан, түбір абсолюттік мәнде теріс болуы керек :. Біз тексереміз:

Жауап:

Мысал 25

Теңдеуді шешіңіз.

Шешім:

Теңдеу қысқартылды, бұл мынаны білдіреді:

Еркін термин теріс, яғни тамырлардың өнімі теріс. Және бұл теңдеудің бір түбірі теріс, екіншісі оң болғанда ғана мүмкін болады.

Көбейтуі көбейтіндісі тең болатын осындай жұп сандарды таңдап алайық, содан кейін қай түбірде теріс таңба болуы керек екенін анықтайық:

Әлбетте, тек тамырлар ғана бірінші шартқа сәйкес келеді:

Жауап:

Мысал 26

Теңдеуді шешіңіз.

Шешім:

Теңдеу қысқартылды, бұл мынаны білдіреді:

Түбірлердің қосындысы теріс, яғни тамырлардың кем дегенде біреуі теріс болады. Бірақ олардың өнімі оң болғандықтан, екі тамырда минус белгісі бар.

Көбейтіндісі тең болатын осындай жұп сандарды таңдайық.

Әлбетте, сандар мен түбірлер.

Жауап:

Келісіңіз, бұл жағымсыз дискриминантты санамай, ауызша тамыр шығару өте ыңғайлы.

Вьетнам теоремасын мүмкіндігінше жиі қолдануға тырысыңыз!

Бірақ Вьетнам теоремасы тамырларды табуды жеңілдету және жылдамдату үшін қажет.

Оны тиімді пайдалану үшін сіз әрекеттерді автоматизмге жеткізуіңіз керек. Және бұл үшін тағы бес мысалды шешіңіз.

Бірақ алдамаңыз: дискриминантты қолдануға болмайды! Тек Вьетнам теоремасы!

Вьетнам жұмысының өзіндік жұмыс теоремасы бойынша 5 мысал

Мысал 27

Тапсырма 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Вьетнам теоремасы бойынша:

Әдеттегідей, біз таңдауды келесі бөліктен бастаймыз:

Қолайсыз, себебі бұл сома;

: сома сізге қажет.

Жауабы:; ...

Мысал 28

2 -тапсырма.

Тағы да, біздің сүйікті Вьетнам теоремасы: қосынды есептелуі керек, бірақ өнім тең.

Бірақ болмауы керек, бірақ, біз тамыр белгілерін өзгертеміз: және (барлығы).

Жауабы:; ...

Мысал 29

3 -тапсырма.

Хмм ... Бұл қайда?

Барлық шарттарды бір бөлікке көшіру қажет:

Түбірлердің қосындысы өнімге тең.

Сондықтан тоқта! Теңдеу берілмеген.

Бірақ Вьетнам теоремасы тек жоғарыдағы теңдеулерде ғана қолданылады.

Сондықтан алдымен теңдеуді шығару керек.

Егер сіз оны көтере алмасаңыз, бұл кәсіпті тастаңыз және оны басқа жолмен шешіңіз (мысалы, дискриминант арқылы).

Естеріңізге сала кетейін, квадрат теңдеуді шығару дегеніміз - жетекші коэффициентке тең болуды білдіреді:

Сонда түбірлердің қосындысы тең болады, ал туынды.

Бұл жерден алу оңай: ақырында - қарапайым сан (тавтология үшін кешірім сұраймын).

Жауабы:; ...

Мысал 30

4 -тапсырма.

Еркін термин теріс.

Оның ерекшелігі неде?

Ал тамыры әр түрлі белгілерде болады.

Ал енді іріктеу кезінде біз түбірлердің қосындысын емес, олардың модульдерінің айырмашылығын тексереміз: бұл айырмашылық тең, бірақ өнім.

Сонымен, тамырлар тең, бірақ олардың біреуі минус.

Виета теоремасы бізге түбірлердің қосындысы қарама -қарсы белгісі бар екінші коэффициентке тең екенін айтады, яғни.

Бұл кіші тамырда минус болады дегенді білдіреді: және, бері.

Жауабы:; ...

Мысал 31

5 -тапсырма.

Ең бірінші не істеу керек?

Дұрыс, теңдеуді беріңіз:

Тағы да: біз санның факторларын таңдаймыз және олардың айырмашылығы келесідей болуы керек:

Тамырлар тең, бірақ олардың біреуі минус. Қайсысы? Олардың қосындысы тең болуы керек, яғни минус үлкен тамырға ие болады.

Жауабы:; ...

Қорытындылау

1. Виета теоремасы тек берілген квадрат теңдеулерде қолданылады.
2. Виета теоремасын қолдана отырып, сіз тамырын таңдау арқылы, ауызша таба аласыз.
3. Егер теңдеу берілмесе немесе бос мерзімді көбейткіштердің сәйкес жұбы болмаса, онда бүтін түбірлер болмайды және оны басқа жолмен шешу керек (мысалы, дискриминант арқылы).

3. Толық квадрат таңдау әдісі

Егер белгісіз бар барлық терминдер қысқартылған көбейту формулаларынан терминдер түрінде ұсынылса - қосынды немесе айырым квадраты - онда айнымалыларды өзгерткеннен кейін теңдеуді түрдің толық емес квадрат теңдеуі түрінде ұсынуға болады.

Мысалға:

Мысал 32

Теңдеуді шеш:

Шешім:

Жауап:

Мысал 33

Теңдеуді шеш:

Шешім:

Жауап:

Жалпы, трансформация келесідей болады:

Бұл мынаны білдіреді:.

Ештеңеге ұқсамайды ма?

Бұл дискриминант! Дұрыс, біз дискриминациялық формуланы алдық.

Квадраттық теңдеулер. БАСТЫ ТУРАЛЫ қысқаша

Квадрат теңдеу- формадағы теңдеу, мұнда белгісіз, квадрат теңдеудің коэффициенттері, бос мүше.

Толық квадрат теңдеу- коэффициенттері нөлге тең емес теңдеу.

Кішірейтілген квадрат теңдеу- теңдеу, онда коэффициент, яғни :.

Толық емес квадрат теңдеу- c коэффициенті немесе бос мүшесі нөлге тең болатын теңдеу:

• егер коэффициент болса, теңдеудің келесі формасы бар:
• егер бос мүше болса, теңдеудің келесі формасы бар:
• егер және теңдеудің келесі формасы бар :.

1. Толық емес квадрат теңдеулерді шешу алгоритмі

1.1. Пішіннің толық емес квадрат теңдеуі, мұнда:

1) белгісізді білдірейік :,

2) Өрнектің белгісін тексеріңіз:

• егер теңдеудің шешімі болмаса,
• болса, онда теңдеудің екі түбірі бар.

1.2. Пішіннің толық емес квадрат теңдеуі, мұнда:

1) жалпы факторды жақшадан шығарыңыз :,

2) Егер факторлардың кем дегенде біреуі нөлге тең болса, өнім нөлге тең болады. Демек, теңдеудің екі түбірі бар:

1.3. Толық емес квадрат теңдеу, мұнда:

Бұл теңдеуде әрқашан бір ғана түбір бар :.

2. Мұндағы толық квадрат теңдеулерді шешу алгоритмі

2.1. Дискриминантты шешім

1) Теңдеуді стандартты түрге келтірейік :,

2) Дискриминантты теңдеудің түбірлерінің санын көрсететін формула бойынша есептейміз:

3) теңдеудің түбірлерін табыңыз:

• егер теңдеудің түбірлері болса, олар мына формуламен табылған:
• егер, онда теңдеудің түбірі бар, ол мына формуламен табылады:
• болса, онда теңдеудің түбірлері болмайды.

2.2. Вьетнам теоремасын қолданатын шешім

Кішірейтілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы (формадағы теңдеулер, мұнда) тең, ал түбірлердің көбейтіндісі тең, яғни. , а.

2.3. Толық шаршы шешім

Квадрат теңдеудің түбірлеріне арналған формулалар. Нақты, көптік және күрделі түбірлердің жағдайлары қарастырылады. Төртбұрышты үшбұрышты факторинг. Геометриялық түсіндіру. Түбір мен факторингті анықтауға мысалдар.

Мазмұны

Сондай -ақ қараңыз: Квадрат теңдеулерді желіде шешу

Негізгі формулалар

Квадрат теңдеуді қарастырайық:
(1) .
Квадрат түбірлер(1) формулалармен анықталады:
; .
Бұл формулаларды келесідей біріктіруге болады:
.
Квадрат теңдеудің түбірлері белгілі болғанда, екінші дәрежелі көпмүшені көбейткіштер көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады (факторизацияланған):
.

Бұдан басқа, біз бұл нақты сандар деп ойлаймыз.
Қарастырыңыз квадраттық дискриминант:
.
Егер дискриминант оң болса, онда квадрат теңдеудің (1) екі түрлі нақты түбірі бар:
; .
Квадрат үшмүшенің факторизациясы:
.
Егер дискриминант нөлге тең болса, онда (1) квадрат теңдеудің екі еселенген (тең) нақты түбірі бар:
.
Факторизация:
.
Егер дискриминант теріс болса, онда (1) квадрат теңдеудің екі күрделі конъюгация түбірі бар:
;
.
Міне, қиялдағы бірлік;
және - тамырлардың нақты және ойдан шығарылған бөліктері:
; .
Содан кейін

.

Графикалық түсіндіру

Егер сіз функцияны құрсаңыз
,
бұл парабола, онда графиктің осьпен қиылысу нүктелері теңдеудің түбірлері болады
.
Қашан, график абсцисс осін (осін) екі нүктеден () қиып өтеді.
Бұл кезде графика абсцисс осіне бір нүктеде тиеді ().
Қашан, график абсцисс осінен () өтпейді.

Пайдалы квадрат теңдеулер

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

Біз түрлендірулер жасаймыз және (f.1) және (f.3) формулаларын қолданамыз:




,
қайда
; .

Сонымен, біз екінші дәрежелі көпмүшенің формуласын алдық:
.
Демек, бұл теңдеу екені көрінеді

кезінде орындалды
және .
Яғни, олар квадрат теңдеудің түбірлері
.

Квадрат теңдеудің түбірлерін анықтауға мысалдар

Мысал 1

(1.1) .

.
(1.1) теңдеуімізбен салыстыра отырып, біз коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Біз дискриминантты табамыз:
.
Дискриминант оң болғандықтан, теңдеудің екі нақты түбірі бар:
;
;
.

Бұдан квадрат үшмүшенің факторизациясын аламыз:

.

Y = функциясының графигі 2 x 2 + 7 x + 3абсцисс осін екі нүктеде қиып өтеді.

Функцияны құрайық
.
Бұл функцияның графигі парабола болып табылады. Ол абсцисса осінен (осінен) екі нүктеден өтеді:
және .
Бұл нүктелер бастапқы теңдеудің түбірлері болып табылады (1.1).

;
;
.

Мысал 2

Квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз:
(2.1) .

Квадрат теңдеуді жалпы түрде жазайық:
.
(2.1) бастапқы теңдеуімен салыстыра отырып, біз коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Біз дискриминантты табамыз:
.
Дискриминант нөлге тең болғандықтан, теңдеудің екі еселенген (тең) түбірі бар:
;
.

Содан кейін триномиальды факторизация:
.

Y = x функциясының графигі 2 - 4 x + 4абсцисс осіне бір нүктеде тиеді.

Функцияны құрайық
.
Бұл функцияның графигі парабола болып табылады. Ол абсцисса осіне (осіне) бір нүктеде тиеді:
.
Бұл нүкте (2.1) бастапқы теңдеудің түбірі болып табылады. Бұл тамыр факторизацияға екі рет енгендіктен:
,
онда мұндай түбір әдетте еселік деп аталады. Яғни, олар екі бірдей тамыр бар деп есептейді:
.

;
.

Мысал 3

Квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз:
(3.1) .

Квадрат теңдеуді жалпы түрде жазайық:
(1) .
Біз (3.1) бастапқы теңдеуді қайта жазамыз:
.
(1) -мен салыстыра отырып, біз коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Біз дискриминантты табамыз:
.
Дискриминант теріс. Сондықтан жарамды тамырлар жоқ.

Күрделі тамырларды табуға болады:
;
;
.

Содан кейін


.

Функцияның графигі абсцисс осінен өтпейді. Жарамды түбірлер жоқ.

Функцияны құрайық
.
Бұл функцияның графигі парабола болып табылады. Ол абцисса осінен (осьтен) өтпейді. Сондықтан жарамды тамырлар жоқ.

Жарамды түбірлер жоқ. Күрделі тамырлар:
;
;
.

Сондай -ақ қараңыз:

», Яғни бірінші дәрежелі теңдеулер. Бұл сабақта біз талдау жасаймыз квадрат теңдеу деп аталадыжәне оны қалай шешуге болады.

Квадрат теңдеу деп аталады

Маңызды!

Теңдеу дәрежесі белгісіз тұрған ең үлкен дәрежемен анықталады.

Егер белгісіз тұрған максималды қуат «2» болса, онда сіздің алдыңызда квадрат теңдеу бар.

Квадрат теңдеулерге мысалдар

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• -X 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Маңызды! Квадрат теңдеудің жалпы көрінісі келесідей:

A x 2 + b x + c = 0

«А», «б» және «в» сандары берілген.

• «А» - бірінші немесе ең маңызды коэффициент;
• «В» - екінші коэффициент;
• «С» - бұл еркін мүше.

«A», «b» және «c» табу үшін теңдеуді «ax 2 + bx + c = 0» квадрат теңдеуінің жалпы түрімен салыстыру қажет.

Квадрат теңдеулердегі «а», «б» және «в» коэффициенттерін анықтауға жаттығайық.

5x 2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 - 13x + 8 = 0 -X 2 + x +

Теңдеу	Мүмкіндіктер
а = 5 b = -14 с = 17
a = -7 b = -13 с = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• с =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Квадрат теңдеулерді шешу жолдары

Сызықтық теңдеулерден айырмашылығы, квадрат теңдеулерді шешу үшін арнайы түбірлерді табу формуласы.

Есіңізде болсын!

Квадрат теңдеуді шешу үшін сізге қажет:

• квадрат теңдеуді «ax 2 + bx + c = 0» жалпы түріне келтіріңіз. Яғни оң жақта тек «0» қалуы керек;
• тамырлар үшін формуланы қолданыңыз:

Квадрат теңдеудің түбірлерін табу үшін формуланы қалай қолдану керектігін мысалға алайық. Квадрат теңдеуді шешейік.

X 2 - 3x - 4 = 0

«X 2 - 3x - 4 = 0» теңдеуі «ax 2 + bx + c = 0» жалпы түріне келтірілген және қосымша жеңілдетуді қажет етпейді. Оны шешу үшін бізге тек өтініш беру керек квадрат теңдеудің түбірлерін табу формуласы.

Осы теңдеу үшін «а», «б» және «в» коэффициенттерін анықтайық.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Оның көмегімен кез келген квадрат теңдеу шешіледі.

«X 1; 2 =» формуласында радикалды өрнек жиі ауыстырылады
«B 2 - 4ac» «D» әрпімен және дискриминант деп аталады. Дискриминант ұғымы «Дискриминант дегеніміз не» сабағында толығырақ талқыланады.

Квадрат теңдеудің тағы бір мысалын қарастырайық.

x 2 + 9 + x = 7x

Бұл формадағы «a», «b» және «c» коэффициенттерін анықтау өте қиын. Алдымен теңдеуді «ax 2 + bx + c = 0» жалпы түріне келтірейік.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Енді сіз түбірлік формуланы қолдана аласыз.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Жауабы: x = 3

Квадрат теңдеулерде түбірлер болмайтын кездер болады. Бұл жағдай формуладағы түбірдің астында теріс сан табылғанда пайда болады.