Бөлу теңдеулерін шешу жолдары. Қарапайым сызықтық теңдеулерді шешу. Сызықтық теңдеулерді шешу. Мысалдар

Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді әкелгеннен кейін пішінді алатын бір белгісізі бар теңдеу

ax + b = 0, мұндағы a және b ерікті сандар деп аталады сызықтық теңдеу белгісіз біреумен. Бүгін біз осы сызықтық теңдеулерді қалай шешуге болатынын анықтаймыз.

Мысалы, барлық теңдеулер:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - сызықтық.

Теңдеуді шын теңдікке айналдыратын белгісіздің мәні деп аталады шешім немесе теңдеудің түбірі .

Мысалы, егер 3x + 7 = 13 теңдеуінде белгісіз х орнына 2 санын қойсақ, 3 2 +7 = 13 дұрыс теңдігін аламыз. Бұл x = 2 мәні шешім немесе түбір екенін білдіреді. теңдеуінің.

Ал x = 3 мәні 3x + 7 = 13 теңдеуін шын теңдікке айналдырмайды, өйткені 3 2 +7 ≠ 13. Бұл x = 3 мәні теңдеудің шешімі немесе түбірі емес екенін білдіреді.

Кез келген сызықтық теңдеулерді шешу түрдегі теңдеулерді шешуге келтіреді

ax + b = 0.

Бос мүшені теңдеудің сол жағынан оңға жылжытайық, b алдындағы таңбаны керісінше өзгертейік,

Егер a ≠ 0 болса, онда x = ‒ b/a .

1-мысал. 3x + 2 =11 теңдеуін шешіңіз.

Теңдеудің сол жағынан 2-ні оңға жылжытайық, 2-нің алдындағы таңбаны керісінше өзгертеміз, аламыз
3x = 11 – 2.

Олай болса азайтуды орындайық
3x = 9.

х табу үшін көбейтіндіні белгілі көбейткішке бөлу керек, яғни
x = 9:3.

Бұл x = 3 мәні теңдеудің шешімі немесе түбірі екенін білдіреді.

Жауабы: x = 3.

Егер a = 0 және b = 0 болса, онда 0x = 0 теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шексіз көп шешімдері бар, өйткені кез келген санды 0-ге көбейткенде 0 шығады, бірақ b да 0-ге тең. Бұл теңдеудің шешімі кез келген сан болады.

2-мысал. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 теңдеуін шешіңіз.

Жақшаларды кеңейтейік:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Міне, бірнеше ұқсас терминдер:
0x = 0.

Жауабы: x - кез келген сан.

Егер a = 0 және b ≠ 0 болса, онда 0x = - b теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімі жоқ, өйткені кез келген санды 0-ге көбейткенде 0 шығады, бірақ b ≠ 0.

3-мысал. x + 8 = x + 5 теңдеуін шешіңіз.

Сол жағында белгісіз, ал оң жағында бос терминдер бар терминдерді топтастырайық:
x – x = 5 – 8.

Міне, бірнеше ұқсас терминдер:
0х = ‒ 3.

Жауап: шешімдер жоқ.

Қосулы 1-сурет сызықтық теңдеуді шешуге арналған диаграмманы көрсетеді

Бір айнымалысы бар теңдеулерді шешудің жалпы схемасын құрастырайық. 4-мысалдың шешімін қарастырайық.

4-мысал. Теңдеуді шешуіміз керек делік

1) Теңдеудің барлық мүшелерін 12-ге тең бөлгіштердің ең кіші ортақ еселігіне көбейт.

2) Қысқартқаннан кейін аламыз
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Белгісіз және бос терминдерден тұратын терминдерді бөлу үшін жақшаларды ашыңыз:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Бір бөлігінде белгісіз, ал екіншісінде бос терминдерді топтастырайық:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Ұқсас терминдерді көрсетейік:
- 22x = - 154.

6) – 22-ге бөлсек, аламыз
x = 7.

Көріп отырғаныңыздай, теңдеудің түбірі жеті.

Жалпы осындай теңдеулерді келесі схема арқылы шешуге болады:

а) теңдеуді бүтін түрге келтіру;

б) жақшаларды ашыңыз;

в) теңдеудің бір бөлігінде белгісіз, ал екінші бөлігінде бос мүшелерді қамтитын мүшелерді топтаңыз;

г) ұқсас мүшелерді әкелу;

д) ұқсас мүшелерді әкелгеннен кейін алынған ах = b түріндегі теңдеуді шешу.

Дегенмен, бұл схема әрбір теңдеу үшін қажет емес. Көптеген қарапайым теңдеулерді шешкенде біріншіден емес, екіншісінен бастау керек ( Мысал. 2), үшінші ( Мысал. 13) және тіпті бесінші кезеңнен бастап, 5-мысалдағыдай.

5-мысал. 2х = 1/4 теңдеуін шешіңіз.

Белгісіз x = 1/4: 2 мәнін табыңыз,
x = 1/8 .

Негізгі мемлекеттік емтиханда табылған кейбір сызықтық теңдеулерді шешуді қарастырайық.

6-мысал. 2 (x + 3) = 5 – 6x теңдеуін шешіңіз.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Жауабы: - 0,125

7-мысал.– 6 (5 – 3х) = 8х – 7 теңдеуін шешіңіз.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Жауабы: 2.3

8-мысал. Теңдеуді шеш

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

9-мысал. f (x + 2) = 3 7 болса, f(6) мәнін табыңыз

Шешім

Біз f(6) табуымыз керек болғандықтан және біз f (x + 2) білеміз,
онда x + 2 = 6.

x + 2 = 6 сызықтық теңдеуін шешеміз,
х = 6 – 2, x = 4 аламыз.

Егер x = 4 болса, онда
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Жауабы: 27.

Егер сізде әлі де сұрақтарыңыз болса немесе теңдеулерді шешуді тереңірек түсінгіңіз келсе, КЕСТЕСТЕ менің сабақтарыма жазылыңыз. Мен сізге көмектесуге қуаныштымын!

TutorOnline сонымен қатар біздің тәрбиешіміз Ольга Александровнаның сызықтық теңдеулерді де, басқаларды да түсінуге көмектесетін жаңа бейне сабағын көруді ұсынады.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

Сырттай шешімнің, заңда көзделген шешудің ерекше әдістерінен басқа, егер ол өзінің кінәсін дәлелдейтінін дәлелдесе, жауапкердің өтінішхаты бойынша істі мәні бойынша қайта қарауды сол сот күшін жоюы мүмкін. сот отырысына келмеу дәлелді себептермен туындаған.

Егер сот дәлелді себеппен өткізіп алған кассациялық мерзімін қалпына келтірсе, заңды күшіне енген шешімді кассациялық тәртіпте қайта қарауға болады.

Эксклюзивті қасиет:

Айрықшалық қасиеті - сол тараптардың немесе олардың құқықтық мирасқорларының арасындағы іс бойынша, сол нысан бойынша және сол мән-жайлар (талап ету негіздері) бойынша сотқа талаппен, шағыммен, арызбен қайта жүгінудің мүмкін еместігі, заңды күшіне енген шешім болған жағдайда.

Егер жауапкерден мерзімді төлемдерді өндіріп алу туралы шешім заңды күшіне енгеннен кейін төлемдердің мөлшерін анықтауға әсер ететін мән-жайлар немесе олардың ұзақтығы өзгерсе, онда тараптардың әрқайсысы жаңа талап қою арқылы соттың шешімін талап етуге құқылы. төлемдердің мөлшері мен мерзімдерінің өзгеруі.

Бұл ретте жаңа талаптар соттың қарау нысанасына айналады, жалпы ережелер бойынша заңды күшіне енетін жаңа шешім шығарылады.

Алғашқы қарау кезінде тараптар арасындағы дау бітімгершілік келісімді бекіту туралы немесе арыз берушінің өз талаптарын қанағаттандырудан бас тартуы туралы ұйғарыммен түпкілікті шешілген жағдайда да бірдей өтінішті қарауға беруге жол берілмейді. Іс бойынша іс жүргізу тоқтатылған жағдайда сотқа екінші рет шағымдануға жол берілмейді.

Міндетті мүлік:

Міндетті деп мемлекеттік органдардың, лауазымды тұлғалардың, ұйымдар мен азаматтардың өз қызметін шешімнің мазмұнына бағындыруға міндетті екендігін білдіреді.

Азаматтық іс жүргізу кодексі шешімнің Ресей Федерациясының бүкіл аумағында міндетті күші бар екенін және заңда көзделген жағдайларда Ресей Федерациясының соттары шешімдерді орындау туралы өтінішпен шетелдік соттарға жүгіне алатынын атап көрсетеді.

Мемлекеттік органдар мен лауазымды адамдар соттың заңды күшіне енген шешімімен белгіленген құқықтарды ресімдеу және тіркеу бойынша қажетті әрекеттерді жасауға міндетті.

Сот шешімі заңды күшіне енгеннен кейін міндетті тұлғалар ерікті түрде, ал қажет болған жағдайда атқарушы органдар мәжбүрлеп орындауға тиіс.

Шешімде қарастырылған әрекеттерді орындау қажеттілігі шешімдердің орындалу мүмкіндігі деп аталады.

Ол міндеттеменің ажырамас бөлігі болып табылады. Міндеттеменің түсінігі орындалу мүмкіндігінен кеңірек, сонымен қатар ол белгілі бір іске тікелей заңды мүддесі жоқ барлық адамдар мен ұйымдардың сот шешімінің беделін ескеру және оның орындалуына ықпал ету міндетін қамтиды.

Барлық жағдайларда шешімдер міндетті болып табылады, бірақ олардың барлығы орындауды талап етпейді, өйткені оларды орындау мүмкін емес. Мысалы, тану туралы талаптар бойынша шешімдер жауапкер даулап отырған құқықты қорғау бойынша нақты әрекеттерді талап етпейді. Олардың міндетті болуы үшін соттың белгілі бір мән-жайларды немесе құқықтық қатынастарды (мысалы: әке болуды анықтау, авторлық құқықты тану және т.б.) мойындауы жеткілікті.

Тану туралы талап қоюлар бойынша шешімдер сотқа тарту туралы талап бойынша іс бойынша преюдициялық әсер етуі мүмкін. Мысалы, әке болуды анықтау туралы шешімнің алимент өндіріп алу туралы талап қою ісі үшін преюдициялық маңызы бар. Сондай-ақ, авторлық құқықты тану туралы шешімді баспадан қаламақы өндіріп алған жағдайда сот орындауы міндетті.

Ресей Федерациясының Отбасы кодексі отбасылық құқық мәселелерінен басқа, шешім қабылданғаннан кейін соттың әрекеттеріне (міндеттеріне) қатысты бірнеше процессуалдық нормаларды енгізеді. Мысалы, СК сот некені бұзу туралы сот шешімі заңды күшіне енген күннен бастап 3 күн ішінде осы шешімнен үзінді көшірмені некені мемлекеттік тіркеу орны бойынша азаматтық хал актілерін жазу органына жіберуге міндетті екенін көрсетеді. неке.

Отбасы құқығы соттан шешімді орындау үшін белгілі бір әрекеттерді жасауды талап етеді. Заңды күшіне енгеннен кейін сот шешімдері заңды күшінің мәнінен, преюдициалдылық (предлиция) сапасынан туындайтын қасиеттерге ие болады.

Преюдициялық деп сот белгілеген және қаулымен тіркелген қатынастар мен фактілерді сот және әкімшілік органдары қайталап зерделеу кезінде теріске шығаруға болмайтынын білдіреді.

Алдын ала қарау ережелерге байланысты:

1. Сот, заңды күшiне енген шешiмiнде мазмұнын сот белгiлеген толық немесе iшiнара фактiлер мен қатынастарды қайта талдай отырып, сот, әкiмшiлiк органдар ретiнде негiздеуге мiндеттi. олардың осы фактілер бойынша шешімдері мен қатынастары олар белгіленген нысанда, яғни сот шешімінде бұрыннан белгіленген фактілер қайтадан дәлелденбейді.

2. Өз талаптарын толық немесе ішінара заңды күшіне енген сот шешімінің нысанасы болған құқықтық қатынастарға негіздейтін тарап осы құқықтық қатынастардың бар-жоғын, оның құрамдары элементтерінің мазмұнын бірнеше рет дәлелдеуге, сондай-ақ тараптардың талаптарының негізінде жатқан заңды фактілер.

Қатынастар мен фактілер шешімнің заңды күші күшінде болғанға дейін, яғни шешімнің күші жойылғанға дейін заңды деп танылады және дәлелдеуге жатпайды. Арыз берушінің талабына қарсылық білдірген екінші тарап сот бұрын белгілеген фактілер мен мән-жайларды жоққа шығаратын дәлелдемелерді ұсына алмайды, сондай-ақ соттан оларды зерттеп, іске қосуды талап ете алмайды.

3. Егер зерттеу пәні мазмұны заңды күшіне енген шешіммен белгіленген қатынастар болса, онда алдын ала анықтау, яғни преюдициялық құқық қатынастарына оның кез келген бөлігінде толық көлемде ол нысанда қолданылады. сот зерттеуінің нысаны болды.

Заңды күшіне енген қаулының қылмыстық істі қарау кезінде преюдициялық маңызы бар. Қылмыстық iс бойынша заңды күшiне енген үкiм өзiне қатысты сот үкiмi шығарылған адам әрекеттерiнiң азаматтық-құқықтық салдары туралы iстi қарайтын сот үшiн осы әрекеттiң болған-болмағаны туралы мәселелер бойынша мiндеттi. оны осы адам жасады ма.

Бұл бейнеде біз бір алгоритм арқылы шешілетін сызықтық теңдеулердің тұтас жиынтығын талдаймыз - сондықтан олар ең қарапайым деп аталады.

Алдымен анықтап алайық: сызықтық теңдеу дегеніміз не және қайсысы қарапайым деп аталады?

Сызықтық теңдеу - тек бір ғана айнымалысы бар және тек бірінші дәрежелі теңдеу.

Ең қарапайым теңдеу мынаны білдіреді:

Барлық басқа сызықтық теңдеулер алгоритмді пайдаланып ең қарапайымға дейін қысқартылады:

1. Бар болса, жақшаларды кеңейтіңіз;
2. Айнымалысы бар мүшелерді теңдік белгісінің бір жағына, ал айнымалысы жоқ мүшелерді екінші жағына жылжытыңыз;
3. Теңдік белгісінің сол және оң жағына ұқсас мүшелерді беріңіз;
4. Алынған теңдеуді $x$ айнымалысының коэффициентіне бөліңіз.

Әрине, бұл алгоритм әрқашан көмектесе бермейді. Өйткені, кейде барлық осы айла-шарғылардан кейін $x$ айнымалысының коэффициенті нөлге тең болып шығады. Бұл жағдайда екі нұсқа болуы мүмкін:

1. Теңдеудің шешімі мүлдем жоқ. Мысалы, $0\cdot x=8$ сияқты нәрсе шыққанда, яғни. сол жақта нөл, ал оң жақта нөлден басқа сан. Төмендегі бейнеде біз бұл жағдайдың мүмкін болуының бірнеше себептерін қарастырамыз.
2. Шешім - барлық сандар. Бұл мүмкін болатын жалғыз жағдай теңдеу $0\cdot x=0$ конструкциясына келтірілгенде болады. Қандай $x$ ауыстырсақ та, ол бәрібір «нөл нөлге тең» болып шығатыны әбден қисынды, яғни. дұрыс сандық теңдік.

Енді өмірден алынған мысалдар арқылы мұның бәрі қалай жұмыс істейтінін көрейік.

Теңдеулерді шешуге мысалдар

Бүгін біз сызықтық теңдеулермен айналысамыз, тек ең қарапайымдары. Жалпы алғанда, сызықтық теңдеу құрамында бір айнымалы бар кез келген теңдікті білдіреді және ол тек бірінші дәрежеге жетеді.

Мұндай конструкциялар шамамен бірдей жолмен шешіледі:

1. Ең алдымен, егер бар болса, жақшаларды кеңейту керек (біздің соңғы мысалдағыдай);
2. Содан кейін ұқсас біріктіріңіз
3. Соңында, айнымалыны оқшаулаңыз, яғни. айнымалыға байланысты барлық нәрсені - ол қамтылған терминдерді - бір жаққа жылжытыңыз, ал онсыз қалғанның барлығын екінші жағына жылжытыңыз.

Содан кейін, әдетте, алынған теңдіктің әр жағына ұқсастарды әкелу керек, содан кейін «x» коэффициентіне бөлу ғана қалады, біз түпкілікті жауапты аламыз.

Теориялық тұрғыдан бұл жақсы және қарапайым көрінеді, бірақ іс жүзінде тіпті тәжірибелі орта мектеп оқушылары өте қарапайым сызықтық теңдеулерде қорлайтын қателіктер жібере алады. Әдетте, қателер жақшаларды ашу кезінде немесе «плюс» және «минустарды» есептеу кезінде жасалады.

Сонымен қатар, сызықтық теңдеудің шешімдері мүлдем жоқ немесе шешімі бүкіл сандар сызығы болып табылады, яғни. кез келген сан. Біз бүгінгі сабақта осы нәзіктіктерді қарастырамыз. Бірақ біз, сіз түсінгеніңіздей, ең қарапайым тапсырмалардан бастаймыз.

Қарапайым сызықтық теңдеулерді шешу схемасы

Алдымен, қарапайым сызықтық теңдеулерді шешудің барлық схемасын тағы бір рет жазуға рұқсат етіңіз:

1. Бар болса, жақшаларды кеңейтіңіз.
2. Біз айнымалыларды оқшаулаймыз, яғни. Біз құрамында «Х» бар барлық нәрсені бір жағына, ал «Х» жоқ нәрсені екінші жағына жылжытамыз.
3. Біз ұқсас терминдерді ұсынамыз.
4. Біз бәрін «х» коэффициентіне бөлеміз.

Әрине, бұл схема әрқашан жұмыс істемейді, онда белгілі бір нәзіктіктер мен трюктар бар, енді біз олармен танысамыз.

Қарапайым сызықтық теңдеулердің нақты мысалдарын шешу

№1 тапсырма

Бірінші қадам бізден жақшаларды ашуды талап етеді. Бірақ олар бұл мысалда жоқ, сондықтан біз бұл қадамды өткізіп жібереміз. Екінші қадамда айнымалыларды оқшаулау керек. Назар аударыңыз: біз тек жеке шарттар туралы айтып отырмыз. Оны жазып алайық:

Біз сол және оң жақта ұқсас шарттарды ұсынамыз, бірақ бұл жерде бұрыннан жасалған. Сондықтан біз төртінші қадамға көшеміз: коэффициентке бөлеміз:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Сонымен, біз жауап алдық.

№2 тапсырма

Біз бұл мәселеде жақшаларды көре аламыз, сондықтан оларды кеңейтейік:

Сол жақта да, оң жақта да біз шамамен бірдей дизайнды көреміз, бірақ алгоритмге сәйкес әрекет етейік, яғни. айнымалыларды ажырату:

Міне, кейбір ұқсастары:

Бұл қай тамырда жұмыс істейді? Жауап: кез келген үшін. Сондықтан $x$ кез келген сан деп жаза аламыз.

№3 тапсырма

Үшінші сызықтық теңдеу қызықтырақ:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Мұнда бірнеше жақша бар, бірақ олар ештеңеге көбейтілмейді, олардың алдында әртүрлі белгілер бар. Оларды бөлшектеп көрейік:

Біз өзімізге белгілі екінші қадамды орындаймыз:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Есеп шығарайық:

Біз соңғы қадамды орындаймыз - бәрін «x» коэффициентіне бөлеміз:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Сызықтық теңдеулерді шешу кезінде есте сақтау керек нәрселер

Тым қарапайым тапсырмаларды елемейтін болсақ, мен мынаны айтқым келеді:

• Жоғарыда айтқанымдай, кез келген сызықтық теңдеудің шешімі бола бермейді – кейде түбірлері болмайды;
• Тамырлар болса да, олардың арасында нөл болуы мүмкін - бұл жерде ешқандай қате жоқ.

Нөл басқалармен бірдей сан; сіз оны ешқандай түрде кемсітпеуіңіз керек немесе егер сіз нөлге ие болсаңыз, онда сіз дұрыс емес нәрсе жасадыңыз деп ойламаңыз.

Тағы бір ерекшелігі жақшалардың ашылуына қатысты. Назар аударыңыз: олардың алдында «минус» болса, біз оны алып тастаймыз, бірақ жақшадағы белгілерді өзгертеміз қарама-қарсы. Содан кейін біз оны стандартты алгоритмдер арқылы аша аламыз: біз жоғарыдағы есептеулерде көргенімізді аламыз.

Осы қарапайым фактіні түсіну сізге орта мектепте ақымақ және ауыр қателіктер жібермеуге көмектеседі, өйткені мұндай әрекеттер әдеттегідей қабылданады.

Күрделі сызықтық теңдеулерді шешу

Күрделі теңдеулерге көшейік. Енді конструкциялар күрделене түседі және әртүрлі түрлендірулерді орындағанда квадраттық функция пайда болады. Дегенмен, біз бұдан қорықпауымыз керек, өйткені егер автордың жоспары бойынша біз сызықтық теңдеуді шешетін болсақ, онда түрлендіру процесінде квадраттық функциясы бар барлық мономалдар жойылады.

№1 мысал

Бірінші қадам жақшаларды ашу екені анық. Мұны өте мұқият жасайық:

Енді құпиялылықты қарастырайық:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Міне, кейбір ұқсастары:

Әлбетте, бұл теңдеудің шешімі жоқ, сондықтан біз оны жауапқа жазамыз:

\[\ештеңе\]

немесе тамыры жоқ.

№2 мысал

Біз бірдей әрекеттерді орындаймыз. Алғашқы қадам:

Айнымалысы бар барлығын солға, ал онсыз оңға жылжытайық:

Міне, кейбір ұқсастары:

Әлбетте, бұл сызықтық теңдеудің шешімі жоқ, сондықтан оны былай жазамыз:

\[\ештеңе\],

немесе тамыры жоқ.

Шешімнің нюанстары

Екі теңдеу де толық шешілген. Мысал ретінде осы екі өрнекті пайдалана отырып, біз ең қарапайым сызықтық теңдеулердің өзінде бәрі соншалықты қарапайым болмауы мүмкін екеніне тағы бір рет көз жеткіздік: не біреу, не ешқайсысы, не шексіз көп түбір болуы мүмкін. Біздің жағдайда біз екі теңдеуді қарастырдық, екеуінің де түбірі жоқ.

Бірақ мен сіздердің назарларыңызды тағы бір фактіге аударғым келеді: жақшалармен қалай жұмыс істеу керек және олардың алдында минус таңбасы болса, оларды қалай ашу керек. Мына өрнекті қарастырыңыз:

Ашпас бұрын барлығын «X»-ке көбейту керек. Назар аударыңыз: көбейтеді әрбір жеке термин. Ішінде екі термин бар - сәйкесінше екі мүше және көбейтілген.

Осы қарапайым болып көрінетін, бірақ өте маңызды және қауіпті түрлендірулер аяқталғаннан кейін ғана жақшаны одан кейін минус белгісі бар деген көзқараспен ашуға болады. Иә, иә: қазір ғана, түрлендірулер аяқталған кезде, жақшалардың алдында минус таңбасы бар екенін есте ұстаймыз, бұл төмендегі барлық жай ғана белгілерді өзгертетінін білдіреді. Сонымен қатар, жақшалардың өзі жоғалады, ең бастысы, алдыңғы «минус» да жоғалады.

Екінші теңдеумен де солай істейміз:

Менің бұл шағын, елеусіз болып көрінетін фактілерге назар аударуым кездейсоқ емес. Өйткені теңдеулерді шешу әрқашан қарапайым әрекеттерді анық және сауатты орындай алмау жоғары сынып оқушыларының маған келіп, осындай қарапайым теңдеулерді шешуді қайтадан үйренуіне әкелетін қарапайым түрлендірулердің тізбегі болып табылады.

Әрине, сіз бұл дағдыларды автоматты түрде шыңдайтын күн келеді. Енді әр жолы сонша түрлендіруді орындаудың қажеті болмайды, барлығын бір жолға жазасыз. Бірақ сіз жаңа ғана үйреніп жатқанда, әр әрекетті бөлек жазуыңыз керек.

Одан да күрделі сызықтық теңдеулерді шешу

Біз қазір шешетін нәрсені ең қарапайым тапсырма деп атауға болмайды, бірақ мағынасы өзгеріссіз қалады.

№1 тапсырма

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Бірінші бөліктегі барлық элементтерді көбейтейік:

Біраз құпиялылық жасайық:

Міне, кейбір ұқсастары:

Соңғы қадамды аяқтаймыз:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Міне, біздің соңғы жауабымыз. Шешу процесінде бізде квадраттық функциясы бар коэффициенттер болғанына қарамастан, олар бір-бірін жойды, бұл теңдеуді квадраттық емес, сызықтық етеді.

№2 тапсырма

\[\сол(1-4х \оң)\сол(1-3х \оң)=6x\сол(2x-1 \оң)\]

Бірінші қадамды мұқият орындап көрейік: бірінші жақшадағы әрбір элементті екіншісінің әрбір элементіне көбейтіңіз. Трансформациядан кейін барлығы төрт жаңа термин болуы керек:

Енді әр мүшедегі көбейтуді мұқият орындайық:

«Х» бар терминдерді солға, ал жоқтарды оңға жылжытайық:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Міне, ұқсас терминдер:

Біз тағы да түпкілікті жауап алдық.

Шешімнің нюанстары

Бұл екі теңдеу туралы ең маңызды ескертпе мынада: біз бірнеше мүшесі бар жақшаларды көбейте бастағанда, бұл келесі ережеге сәйкес орындалады: біріншіден бірінші мүшені аламыз және әрбір элементпен көбейтеміз екінші; онда бірінші элементтен екінші элементті аламыз да, екіншісінің әрбір элементіне сол сияқты көбейтеміз. Нәтижесінде бізде төрт термин болады.

Алгебралық қосынды туралы

Осы соңғы мысал арқылы мен студенттерге алгебралық қосындының не екенін еске салғым келеді. Классикалық математикада $1-7$ деп қарапайым құрылысты айтамыз: біреуден жетіні шегеріңіз. Алгебрада біз мынаны айтамыз: «бір» санына тағы бір санды, атап айтқанда «минус жеті» санын қосамыз. Алгебралық қосындының қарапайым арифметикалық қосындыдан айырмашылығы осылай.

Барлық түрлендірулерді, әрбір қосу мен көбейтуді орындаған кезде жоғарыда сипатталғанға ұқсас конструкцияларды көре бастайсыз, көпмүшелермен және теңдеулермен жұмыс істеу кезінде сізде алгебрадан қиындықтар болмайды.

Соңында, біз қарастырғандардан да күрделірек болатын тағы бірнеше мысалды қарастырайық және оларды шешу үшін стандартты алгоритмімізді сәл кеңейтуге тура келеді.

Бөлшектері бар теңдеулерді шешу

Мұндай тапсырмаларды шешу үшін біз алгоритмімізге тағы бір қадам қосуымыз керек. Бірақ алдымен алгоритмімізді еске түсіруге рұқсат етіңіз:

1. Жақшаларды ашыңыз.
2. Бөлек айнымалылар.
3. Ұқсастарын әкеліңіз.
4. Пропорцияға бөліңіз.

Өкінішке орай, бұл керемет алгоритм, оның барлық тиімділігіне қарамастан, алдымызда фракциялар болған кезде мүлдем сәйкес келмейді. Төменде көретінімізде екі теңдеуде де сол жақта да, оң жақта да бөлшек бар.

Бұл жағдайда қалай жұмыс істеу керек? Иә, бұл өте қарапайым! Мұны істеу үшін алгоритмге тағы бір қадам қосу керек, оны бірінші әрекетке дейін де, кейін де жасауға болады, атап айтқанда, фракциялардан құтылу. Сонымен, алгоритм келесідей болады:

1. Бөлшектерден арылыңыз.
2. Жақшаларды ашыңыз.
3. Бөлек айнымалылар.
4. Ұқсастарын әкеліңіз.
5. Пропорцияға бөліңіз.

«Бөлшектерден құтылу» деген нені білдіреді? Неліктен мұны бірінші стандартты қадамнан кейін де, оған дейін де жасауға болады? Шын мәнінде, біздің жағдайда, барлық бөлшектер олардың бөлгішінде сандық болып табылады, яғни. Барлық жерде деноминатор жай ғана сан. Сондықтан теңдеудің екі жағын да осы санға көбейтсек, бөлшектерден құтыламыз.

№1 мысал

\[\frac(\left(2x+1 \оң)\сол(2x-3 \оң))(4)=((x)^(2))-1\]

Осы теңдеудегі бөлшектерден құтылайық:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \оң)\cdot 4\]

Назар аударыңыз: бәрі бір рет «төртке» көбейтіледі, яғни. Сізде екі жақша бар болғандықтан, әрқайсысын «төртке» көбейту керек дегенді білдірмейді. Жазып көрейік:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Енді кеңейтейік:

Біз айнымалыны ажыратамыз:

Біз ұқсас терминдерді қысқартуды орындаймыз:

\[-4x=-1\сол| :\сол(-4 \оң) \оң.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Біз соңғы шешімді алдық, екінші теңдеуге көшейік.

№2 мысал

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+(x)^(2))=1\]

Мұнда біз бірдей әрекеттерді орындаймыз:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Мәселе шешілді.

Шын мәнінде, мен бүгін сізге айтқым келгені осы болды.

Негізгі нүктелер

Негізгі қорытындылар:

• Сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмін білу.
• Жақшаларды ашу мүмкіндігі.
• Егер сізде бір жерде квадраттық функциялар болса, алаңдамаңыз, олар одан әрі түрлендіру процесінде азаяды.
• Сызықтық теңдеулерде түбірлердің үш түрі бар, тіпті ең қарапайымдары да бар: бір түбір, бүкіл сан сызығы түбір, түбірі мүлде болмайды.

Бұл сабақ қарапайым, бірақ барлық математиканы одан әрі түсіну үшін өте маңызды тақырыпты меңгеруге көмектеседі деп үміттенемін. Егер бірдеңе түсініксіз болса, сайтқа өтіп, онда келтірілген мысалдарды шешіңіз. Бізде болыңыз, сізді әлі көптеген қызықты нәрселер күтеді!