Trigonometrinių eilučių sumavimas naudojant analitines funkcijas. trigonometrinė Furjė serija trigonometrinė Furjė serija

Parodykime, kad beveik bet kuri periodinė funkcija gali būti pavaizduota kaip eilutė, kurios nariai yra paprastos harmonikos, naudojant vadinamąsias trigonometrines eilutes.

Apibrėžimas. Trigonometrinė serija yra funkcinė formos eilutė

kur yra tikrieji skaičiai a 0 , a n , b n vadinami serijos koeficientais.

Laisvasis serijos terminas rašomas formoje, kad vėliau gautos formulės būtų vienodos.

Reikia atsakyti į du klausimus:

1) Kokiomis sąlygomis atlieka funkciją f(x) su periodu 2π galima išplėsti eilute (5.2.1)?

2) Kaip apskaičiuoti šansus a 0 ,… a n , b n ?

Pradėkime nuo antrojo klausimo. Tegul funkcija f(x) yra tęstinis intervale ir turi tašką T = 2π. Toliau pateikiame formules, kurių mums prireiks.

Bet kuriam sveikajam skaičiui , nes funkcija yra lyginė.

Bet kuriai visumai.

(m ir n Sveiki skaičiai)

Tuo ( m ir n sveikieji skaičiai) kiekvienas integralas (III, IV, V) paverčiamas integralų (I) arba (II) suma. Jei , tai formulėje (IV) gauname:

Lygybė (V) įrodoma panašiai.

Tarkime, kad funkcija pasirodė tokia, kad jai buvo rastas išplėtimas į konvergentinę Furjė eilutę, ty

(Atkreipkite dėmesį, kad sumavimas viršija indeksą n).

Jei eilutė suartėja, pažymėkite jos sumą S(x).

Termininė integracija (teisėta dėl eilučių konvergencijos prielaidos) diapazone nuo iki suteikia

nes visi terminai, išskyrus pirmąjį, yra lygūs nuliui (santykiai I, II). Iš čia randame

Padauginus (5.2.2) iš ( m=1,2,…) ir integruodami terminą po termino intervale nuo iki , randame koeficientą a n.

Dešinėje lygybės pusėje visi terminai yra lygūs nuliui, išskyrus vieną m=n(santykiai IV, V), Taigi gauname

Padauginus (5.2.2) iš ( m\u003d 1,2, ...) ir integruodami terminą po termino diapazone nuo iki , panašiai randame koeficientą b n

Reikšmės, nustatytos formulėmis (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5), vadinamos Furjė koeficientais, o trigonometrinė eilutė (5.2.2) yra Furjė eilė tam tikrai funkcijai. f(x).

Taigi, gavome funkcijos išskaidymą f(x) Furjė serijoje

Grįžkime prie pirmojo klausimo ir išsiaiškinkime, kokias savybes turi turėti funkcija f(x), kad sudaryta Furjė eilutė būtų konvergentiška ir jos suma būtų lygiai lygi f(x).

Apibrėžimas. Funkcija f(x) vadinama ištisine tęstine, jei jis yra ištisinis arba turi baigtinį pirmojo tipo nenutrūkstamų taškų skaičių.

Apibrėžimas. F(x) funkcija, nurodytas intervale vadinamas fragmentiškai monotoniškas, jei atkarpą galima padalinti taškais į baigtinį intervalų skaičių, kurių kiekviename funkcija monotoniškai kinta (didėja arba mažėja).

Apsvarstysime funkcijas f(x), turintis menstruacijų T = 2π. Tokios funkcijos vadinamos 2π- periodiškai.

Suformuluokime teoremą, vaizduojančią pakankamą funkcijos išplėtimo į Furjė eilutę sąlygą.

Dirichlet teorema(priimti be įrodymų) . Jeigu 2π- periodinė funkcija f(x) atkarpoje yra fragmentiškai ištisinė ir dalimis monotoniška, tada Furjė eilutė, atitinkanti funkciją, susilieja į šį segmentą ir šiuo atveju:

1. Funkcijos tęstinumo taškuose sekos suma sutampa su pačia funkcija S(x)=f(x);

2. Kiekviename taške x 0 funkcijos pertrauka f(x) serijos suma yra

tie. funkcijos ribų aritmetinis vidurkis į kairę ir į dešinę nuo taško x 0 ;

3. Taškuose (atkarpos galuose) Furjė eilutės suma yra ,

tie. funkcijos ribinių verčių atkarpos galuose aritmetinis vidurkis, kai argumentas linkęs į šiuos taškus iš intervalo vidaus.

Pastaba: jei funkcija f(x) su periodu 2π yra tęstinis ir diferencijuojamas visame intervale, o jo reikšmės intervalo galuose yra lygios, t. y. dėl periodiškumo ši funkcija yra ištisinė visoje realioje ašyje ir bet kuriai X jos Furjė eilutės suma yra tokia pati kaip f(x).

Taigi, jei funkcija integruojama į intervalą f(x) tenkina Dirichlet teoremos sąlygas, tada lygybė vyksta intervale (išplėtimas Furjė eilutėje):

Koeficientai apskaičiuojami pagal (5.2.3) - (5.2.5) formules.

Dirichleto sąlygas tenkina dauguma matematikos ir jos taikymo funkcijų.

Furjė eilutės, kaip ir laipsnio eilutės, naudojamos apytiksliai funkcijų reikšmėms apskaičiuoti. Jei funkcijos išplėtimas f(x)į trigonometrinę seriją vyksta, tuomet visada galima naudoti apytikslę lygybę , šią funkciją pakeičiant kelių harmonikų suma, t.y. dalinė suma (2 n+1) Furjė serijos terminas.

Trigonometrinės serijos plačiai naudojamos elektrotechnikoje, jų pagalba išsprendžiama daug matematinės fizikos problemų.

Furjė eilutėje išplėskite funkciją, kurios periodas yra 2π, nurodytą intervale (-π; π).

Sprendimas. Raskite Furjė eilutės koeficientus:

Funkcija buvo išplėsta Furjė serijoje

Tęstinumo taškuose Furjė eilutės suma yra lygi funkcijos reikšmei f(x)=S(x), taške x=0 S(x)=1/2, taškuose x=π,2π,… S(x)=1/2.

Prisiminkite, kad realioje analizėje trigonometrinė eilutė yra kelių lankų kosinusų ir sinusų serija, t.y. formos eilutė

Truputis istorijos. Pradinis tokių eilučių teorijos laikotarpis siejamas su stygų virpesių problema siejamas su XVIII amžiaus viduriu, kai norimos funkcijos buvo ieškoma kaip eilučių suma (14.1). Tokio vaizdavimo galimybės klausimas sukėlė karštas diskusijas tarp matematikų, kurios truko kelis dešimtmečius. Ginčai, susiję su funkcijos sąvokos turiniu. Tuo metu funkcijos dažniausiai buvo siejamos su jų analitiniu priskyrimu, tačiau čia atsirado būtinybė pavaizduoti funkciją šalia (14.1), kurios grafikas yra gana savavališka kreivė. Tačiau šių ginčų reikšmė yra didesnė. Tiesą sakant, jie iškėlė klausimus, susijusius su daugeliu iš esmės svarbių matematinės analizės idėjų.

Ir ateityje, kaip ir šiuo pradiniu laikotarpiu, trigonometrinių eilučių teorija buvo naujų idėjų šaltinis. Pavyzdžiui, su jais atsirado aibių teorija ir tikrojo kintamojo funkcijų teorija.

Šiame baigiamajame skyriuje apžvelgsime medžiagą, kuri dar kartą susieja tikrą ir sudėtingą analizę, tačiau mažai atsispindi TFCT vadovėliuose. Analizės metu jie rėmėsi iš anksto nustatyta funkcija ir išplėtė ją į trigonometrinę Furjė eilutę. Čia mes svarstome atvirkštinę problemą: tam tikros trigonometrinės eilutės konvergenciją ir sumą nustatykite. Tam Euler ir Lagrange sėkmingai panaudojo analitines funkcijas. Matyt, Euleris pirmą kartą (1744 m.) gavo lygybes

Toliau sekame Eulerio pėdomis, apsiribodami tik ypatingais serijų (14.1) atvejais, būtent trigonometrinėmis serijomis.

komentuoti. Iš esmės bus naudojamas toks faktas: jei teigiamų koeficientų seka a p monotoniškai linksta į nulį, tada šios eilutės tolygiai susilieja bet kuriame uždarame intervale, kuriame nėra formos taškų 2lx (iki gZ). Visų pirma, intervale (0,2n -) bus taškinė konvergencija. Apie tai žr. darbe, p. 429-430.

Eulerio idėja susumuoti eilutes (14.4), (14.5) yra tokia, kad naudojant pakaitalą z = e a pereiti prie galios serijos

Jei vieneto apskritimo viduje galima aiškiai rasti jo sumą, tada problema dažniausiai išsprendžiama atskiriant nuo jos tikrąją ir įsivaizduojamą dalis. Pabrėžiame, kad taikant Eulerio metodą reikia patikrinti eilučių (14.4), (14.5) konvergenciją.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių. Daugeliu atvejų geometrinė serija bus naudinga

taip pat serijas, gautas iš jo diferencijuojant ar integruojant pagal terminą. Pavyzdžiui,

14.1 pavyzdys. Raskite serijos sumą

Sprendimas. Pristatome panašią seriją su kosinusais

Abi serijos sutampa visur, nes suskirstyta pagal geometrinę eilutę 1 + r + r 2+.... Darant prielaidą z = e"x, mes gauname

Čia frakcija sumažinama iki formos

kur gauname atsakymą į problemos klausimą:

Pakeliui nustatėme lygybę (14.2): 14.2 pavyzdys. Sumos eilutės

Sprendimas. Remiantis aukščiau pateikta pastaba, abi eilutės susilieja į nurodytą intervalą ir yra Furjė eilutės funkcijoms, kurias jos apibrėžia. f(x) 9 g(x). Kokios yra šios funkcijos? Norėdami atsakyti į klausimą, pagal Eulerio metodą sudarome eilutes (14.6) su koeficientais a p= -. Sutinku-

bet lygybę (14.7) gauname

Praleidžiant detales (skaitytojas turėtų jas atkurti), atkreipiame dėmesį, kad išraiška po logaritmo ženklu gali būti pavaizduota kaip

Šios išraiškos modulis yra lygus -, o argumentas (tiksliau, pagrindinė jo reikšmė yra

• 2 nuodėmė-

reikšmė) yra lygi Todėl In ^ = -ln(2sin

14.3 pavyzdys. At - Sumuoju eilutes

Sprendimas. Abi serijos susilieja visur, nes jose dominuoja konvergentas

šalia bendro nario -! . Eilutė (14,6)

n(n +1)

tiesiogiai

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) P /1 + 1

ns duos žinomą sumą. Remiantis tuo, mes jį atstovaujame formoje

lygybė

Čia skliausteliuose esanti išraiška yra ln(l + z), o išraiška laužtiniuose skliaustuose yra ^ ^ + ** ^--. Vadinasi,

= (1 + -)ln(1 + z). Dabar

reikia įdėti čia z = eLX ir atlikite tuos pačius veiksmus, kaip ir ankstesniame pavyzdyje. Praleidę detales, atkreipiame dėmesį į tai

Belieka atidaryti skliaustus ir parašyti atsakymą. Tai paliekame skaitytojui.

14 skyriaus užduotys

Apskaičiuokite šių eilučių sumas.

• 1.3.1. a) z = 0 ir z-- 2;
• b) z = l ir z = -1;
• v) z = i ir z= -Aš esu.
• 1.3.2. a) 1; 6)0; c) oo.
• 2.1.1. Parabolės lankas, r = adresu 2 einantis iš taško (1;1) į tašką (1;- 1) ir atgal.
• 2.1.2. Segmentas su pradžia a, pabaiga b.
• 2.1.3. Jordano ištaisytas kelias pav. devyniolika.

• 2.1.4. parabolės lankas y = x 2 su pradžia (-1;0), pabaiga (1;1).
• 2.1.5. Apskritimas dg 2 + (prie - 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Pusė plokštuma Rez > .
• 2.2.2. Atidarykite apskritimą C x ""^) 2 + Y 2
• 2.2.3. Parabolės vidus 2m = 1 - x 2 .
• 2.2.4. Užburtas ratas (d: - 2) 2 + 2 val
• 2.2.5. Parabolės išvaizda 2x \u003d - y 2.

3.1.a). Jei w=u + iv, tada ir= -r- -v = -^-^. Vadinasi

l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2

Koordinačių pradžios taškas turėtų būti neįtrauktas į šį apskritimą, nes (m, v) 9* (0; 0) V* e R, tonas ir= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• b). Pašalinti x,y nuo lygybių x + y \u003d l ir \u003d x 2 - y, v = 2 xy. Atsakymas: parabolė 2v = l-ir 2 .
• 3.2. Tiesė l: = i (l^O) eina į apskritimą
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 su pradurtu tašku (r/, v) = (0; 0). Taikykite jį su
• 2a 2 a

a = 1, a = 2.

• 3.4. A), b) atvejais naudokite „ribos nebuvimo ženklą“. C atveju riba egzistuoja ir yra lygi 2.
• 3.5. Nėra. Apsvarstykite funkcijų ribas per dvi sekas atitinkamai su bendrais terminais

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1. a) niekur ns skiriasi; b) visur skiriasi.
• 4.2. a) turi išvestinę visuose tiesės taškuose y = x, kiekviename iš

juos w = 2x; niekur nėra holomorfinis;

• b) yra holomorfinis C(0), ir / = - j.
• 4.3. holomorfinis C, W=3z 2 .
• 4.4. Iš lygybių / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 iš to išplaukia, kad w,v nėra

Šv

priklauso nuo kintamojo „t. Cauchy-Rieman sąlygos reiškia, kad šios funkcijos taip pat nepriklauso nuo y.

4.5. Apsvarstykite, pavyzdžiui, atvejį Re f(z) = i(x, y) = konst. SU

naudodami Koši-Riemano sąlygas, iš to išveskite, kad Im/(z) = v (x 9 m.) = konst.

• 5.1. a) nes J=--=- =-* 0(z * -/) ir pagal uždavinio sąlygą
• (l-/z) 2 (z+/) 2

išvestinės argumentas lygus nuliui, tada jo menamoji dalis lygi nuliui, o tikroji – teigiama. Iš čia gaukite atsakymą: tiesiai adresu = -X-1 (X* 0).

b) apskritimas z + i=j2.

• 5.3. Patikrinkite, ar funkcija neįgyja nulinės reikšmės, o jos išvestinė yra visur ir yra lygi nurodytai funkcijai.
• 6.1. Įrodykite tai pagal tangento apibrėžimą kaip sinuso ir kosinuso santykį tg(z + n^-tgz su galiojančiomis argumentų reikšmėmis. Leisti T kitas laikotarpis tg(z + T) = tgz. Iš čia ir iš ankstesnės lygybės išveskite tą nuodėmę (/r- T)= 0, iš kur tai išplaukia T daugkartinis Į .
• 6.2. Naudokite lygybes (6.6).
• 6.3. Pirmoji formulė neteisinga, nes ne visada arg(zH ,) = argz + argvv (imkime, pavyzdžiui, z = -1, w = -1). Antroji formulė taip pat klaidinga. Apsvarstykite, pavyzdžiui, atvejį, kai z = 2.
• 6.4. Iš lygybės a a = e 01 "0 padaryti išvadą, kad čia dešinioji pusė turi formą |i|« , e ca(a^a+2 jakas)? sli p r ir kai kurie skirtingi sveikieji skaičiai iki 19 iki 2

posakis skliausteliuose įgavo tą pačią reikšmę, tada jie turėtų

kas prieštarauja iracionalumui a .

• 6.5. z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63).
• 7.1. a) kampas - Aš esu w
• b) žiedinis sektorius | w2, | argvr|
• 7.2. Abiem atvejais 1 spindulio apskritimas, kurio centras yra taške.
• 7.3. Mes judėsime išilgai puslankio ribos, kad jo vidus liktų kairėje. Mes naudojame žymėjimą z = x + yi, w = u + vi. Vieta įjungta

adresu= 0, -1 x 1 turime ir =--e [-1,1]" v = 0. Apsvarstykite antrąjį ribos atkarpą – puslankį z=e u,tg. Šiame skyriuje išraiška

paverčiamas į formą w=u=-- ,/* -. Tarp. Pagal (8.6) norimas integralas yra lygus

b). Apatinė puslankiu lygtis turi formą z(t) = e“,t e[l, 2n). Pagal formulę (8.8) integralas yra lygus

• 8.2. a). Padalinkite norimą integralą į atkarpos integralų sumą O A ir išilgai segmento AB. Jų lygtys yra atitinkamai z= / + //,/ su ir

z = t + i,te. Atsakymas: - + - i.

• b). Integracijos kreivės lygtį galima parašyti kaip z = e“, t € . Tada Vz turi dvi skirtingas reikšmes, būtent,

.1 .t+2/r

e 2, e 2. Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad kalbama apie pagrindinę šaknies reikšmę: Vz, t.y. apie pirmąjį iš jų. Tada integralas yra

8.3. Sprendžiant problemą, brėžinys sąmoningai nepateikiamas, bet skaitytojas turėtų jį užpildyti. Naudojama tiesės atkarpos lygtis, jungianti du duotus taškus i, /> e C (a - Pradėti, b - pabaiga): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Suskaidykime norimą integralą į keturias dalis:

I = I AB + I BC + I CD +1 D.A. Ant segmento AB mes turime z- (1 -1) ? 1 +1 /, todėl integralas šiame segmente pagal (8.8) yra lygus

Elgdamiesi panašiai, randame

• 9.1. a) 2n7; b) 0.
• 9.2. Padarykite pakaitalą z = z0 + re 11,0 t2/g.
• 9.3 Funkcija f(z)=J yra holomorfinis kai kuriuose tiesiog sujungtuose z-a

sritis D, kurioje yra Г ir ns a. Pagal integralo teoremą, taikomą /),/], norimas integralas yra lygus nuliui.

• 9.4. a) 2/n(cosl2 + /sinl2); b) 34l-/.
• 9.5. A) atveju vienaskaitos taškai ±2/ yra duotojo apskritimo viduje, taigi integralas lygus

• b). Vienaskaitos taškai ±3/ taip pat yra apskritimo viduje. Sprendimas panašus. Atsakymas: 0.
• 10.1. Pateikite funkciją kaip /(z) = -----use
• 3 1 + -

geometrinė serija 1 + q + q2 (||

• 1 -h
• 10.2. Atskirkite geometrinę eilutę pagal terminą.
• 10.3. a) | z+/1t = z2. Atsakymas: z .
• 11.1. Naudokite eksponento ir sinuso galios plėtinius. A) atveju eilė yra 3, b) atveju - 2.
• 11.2. Iki akivaizdaus kintamojo pasikeitimo lygtis gali būti

pavaizduoti forma /(z) = /(-^z). Neprarasdami bendrumo galime manyti, kad

funkcijos, kurios centras yra taške 0, Teiloro eilutės konvergencijos spindulys yra didesnis už vienetą. Mes turime:

Funkcijos reikšmės yra vienodos diskrečioje rinkinyje su ribiniu tašku, priklausančiu konvergencijos apskritimui. Pagal unikalumo teoremą /(z) = konst.

11.3. Tarkime, kad norima analitinė funkcija /(z) egzistuoja. Palyginkime jo reikšmes su funkcija (z) = z2 filmavimo aikštelėje E,

susidedantis iš taškų z n = - (n = 2,3,...). Jų reikšmės tos pačios, ir kadangi E

turi ribinį tašką, priklausantį duotam apskritimui, tada pagal unikalumo teoremą /(z) = z 2 visiems duoto apskritimo argumentams. Bet tai prieštarauja sąlygai /(1) = 0. Atsakymas: ns neegzistuoja.

• 11.4. Taip, /(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Prieštaravimų nėra, nes vienetų verčių ribinis taškas nėra funkcijos srityje.
• - 1 1
• 12.1. a) 0; b) 2

  12.2. a). Atvaizduokite funkciją formoje ir išskleiskite skliaustus.

  • b). Sukeiskite terminus, naudokite standartinius kosinuso ir sinuso plėtinius.
  • 12.3.
  
  • 12.4. a) taškai 0, ± 1 yra paprastieji poliai;
  • b) z = 0 - nuimamas taškas;
  • c) z = 0 yra iš esmės vienaskaitos taškas.
  • 13.1. a). Taškai a = 1, a = 2 yra integrando poliai. Lieka pirmojo (paprastojo) poliaus atžvilgiu randama pagal (13.2), ji lygi 1. Likutis antrojo poliaus atžvilgiu randama pagal formulę (13.3) su daugybos tvarka u = 2 ir yra lygus -1. Likučių suma lygi nuliui, taigi integralas lygus nuliui pagal pagrindinės liekanos teoremą.
  • b). Stačiakampio viduje su nurodytomis viršūnėmis yra trys

  paprasti poliai 1,-1,/. Juose esančių likučių suma lygi --, o integralas lygus

  v). Tarp polių 2 Trki (kGZ) integrando, duotame apskritime yra tik du. Tai 0 ir 2 Aš esu abu jie paprasti, likučiai juose lygūs 1. Atsakymas: 4z7.

  padauginkite iš 2/r/. Praleidę detales, nurodome atsakymą: / = -i .

  13.2. a). Tada įdėkime e"=z e"idt =dz , dt= - . Ho

  e" - e~" z-z~ x

  sin / =-=-, intefalas bus sumažintas iki formos

  

  Čia vardiklis koeficientas (z-z,)(z-z 2), kur z, = 3 - 2 V2 / yra apskritimo viduje adresu , a z,=3 + 2V2 / yra aukščiau. Belieka rasti likutį paprasto poliaus z atžvilgiu, naudojant formulę (13.2) ir

  b) . Darant prielaidą, kaip aukščiau, e" = z , intefal sumažiname iki formos

  

  Subintefalinė funkcija turi tris paprastus polius (kurie?). Palikę skaitytojui apskaičiuoti jose esančius likučius, nurodome atsakymą: aš = .

  • v) . Subintegralo funkcija lygi 2(1--=-), norimam integralui
  • 1 + cos t

  lygus 2(^-1- h-dt). Skliausteliuose esantį integralą pažymėkite /.

  Taikydami lygybę cos "/ = - (1 + cos2f) gauname, kad / = [- cit .

  Analogiškai su a), b) atvejais atlikti keitimą e 2,t = z, integralą sumažinkite iki formos

  

  kur integravimo kreivė yra to paties vienetinio apskritimo. Kiti argumentai yra tokie patys kaip ir a) atveju. Atsakymas: pradinis, ieškomas integralas yra lygus /r(2-n/2).

  13.3. a). Apsvarstykite pagalbinį kompleksinį integralą

  /(/?)=f f(z)dz, kur f(z) = - p-, G (I) - kontūras, sudarytas iš

  puslankiai y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 ir visi skersmenys (padarykite brėžinį). Padalinkime šį integralą į dvi dalis – pagal intervalą [-/?,/?] ir pagal y(R).

  į. Taip.

  Grandinės viduje yra tik paprasti poliai z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (186 pav.). Kalbant apie jų likučius, mes nustatome:

  Belieka patikrinti, ar integralas baigėsi y(R) linkęs į nulį as R. Iš nelygybės |g + A|>||i|-|/>|| o iš integralo įverčio už z e y(R) tai seka

Daugeliu atvejų, tiriant (C) formos eilučių koeficientus arba galima nustatyti, kad šios eilutės susilieja (galbūt išskyrus atskirus taškus) ir yra Furjė savo sumomis (žr., pavyzdžiui, ankstesnį Nr. ), tačiau visais šiais atvejais natūraliai kyla klausimas

kaip rasti šių eilučių sumas arba, tiksliau, kaip jas išreikšti galutine forma elementariomis funkcijomis, jei jos išvis išreikštos tokia forma. Net Euleris (ir taip pat Lagrange'as) sėkmingai panaudojo sudėtingo kintamojo analitines funkcijas, kad susumuotų trigonometrines eilutes galutine forma. Eulerio metodo idėja yra tokia.

Tarkime, kad tam tikram koeficientų rinkiniui serija (C) ir susilieja su funkcijomis visame intervale, neįskaitant tik atskirų taškų. Dabar apsvarstykite laipsnių eilutę su tais pačiais koeficientais, išdėstytais kompleksinio kintamojo laipsniais

Vienetinio apskritimo perimetru, t. y. ties , ši serija suartėja pagal prielaidą, neįskaitant atskirų taškų:

Šiuo atveju, pagal gerai žinomą laipsnių eilučių savybę, serija (5) neabejotinai konverguoja ties, t.y., vieneto apskritimo viduje, apibrėždama ten tam tikrą kompleksinio kintamojo funkciją. Naudojant mums žinomus [žr. XII skyriaus 5 §] kompleksinio kintamojo elementariųjų funkcijų išplėtimo, dažnai galima funkciją redukuoti iki jų. Tada turime:

ir pagal Abelio teoremą, kai tik serija (6) suartėja, jos suma gaunama kaip riba

Paprastai ši riba yra tiesiog lygi, kuri leidžia mums apskaičiuoti funkciją galutine forma

Pavyzdžiui, serialas

Ankstesniame skyriuje įrodyti teiginiai leidžia daryti išvadą, kad abi šios eilutės sutampa (pirmoji, išskyrus taškus 0 ir

tarnauja kaip Furjė eilutės funkcijoms, kurias jos apibrėžia, bet kokios tai yra funkcijos? Norėdami atsakyti į šį klausimą, sudarome seriją

Pagal panašumą su logaritmine eilute jos suma lengvai nustatoma:

vadinasi,

Dabar paprastas skaičiavimas suteikia:

taigi šios išraiškos modulis yra , o argumentas yra .

ir taip galiausiai

Šie rezultatai mums yra žinomi ir netgi kažkada buvo gauti „sudėtingais“ svarstymais; bet pirmuoju atveju pradėjome nuo funkcijų ir , o antruoju - nuo analitinės funkcijos.Čia pirmą kartą atspirties tašku pasitarnavo pačios serijos. Skaitytojas daugiau tokių pavyzdžių ras kitame skyriuje.

Dar kartą pabrėžiame, kad turi būti tikras iš anksto dėl konvergencijos ir eilučių (C) ir norint turėti teisę nustatyti jų sumas naudojant ribinę lygybę (7). Vien tik ribos egzistavimas dešinėje šios lygybės pusėje dar neleidžia daryti išvados, kad aukščiau pateiktos eilutės suartėja. Norėdami tai parodyti pavyzdžiu, apsvarstykite seriją

Moksle ir technikoje dažnai tenka susidurti su periodiškais reiškiniais, t.y. tie, kurie atkuriami po tam tikro laiko T vadinamas periodu. Paprasčiausia iš periodinių funkcijų (išskyrus konstantą) yra sinusinė reikšmė: asin(x+ ), harmoninis svyravimas, kur yra „dažnis“, susijęs su periodu santykiu: . Iš tokių paprastų periodinių funkcijų galima sudaryti sudėtingesnes. Akivaizdu, kad sudedamieji sinusoidiniai dydžiai turi būti skirtingų dažnių, nes pridėjus to paties dažnio sinusoidinius dydžius, gaunamas to paties dažnio sinusoidinis kiekis. Jei pridėsime kelias formos reikšmes

Pavyzdžiui, čia atkuriame trijų sinusoidinių dydžių pridėjimą: . Apsvarstykite šios funkcijos grafiką

Šis grafikas labai skiriasi nuo sinusinės bangos. Tai dar labiau pasakytina apie begalinės serijos, sudarytos iš šio tipo terminų, sumą. Užduokime klausimą: ar tai įmanoma tam tikrai periodinei periodo funkcijai T pavaizduoti kaip baigtinės ar bent jau begalinės sinusoidinių dydžių aibės sumą? Pasirodo, kad kalbant apie didelę funkcijų klasę, į šį klausimą galima atsakyti teigiamai, tačiau tai tik tuo atveju, jei įtrauksime būtent visą begalinę tokių terminų seką. Geometriškai tai reiškia, kad periodinės funkcijos grafikas gaunamas uždedant sinusoidų eilę. Jei kiekvieną sinusoidinę reikšmę laikysime tam tikru harmoniniu svyruojančiu judesiu, tai galime pasakyti, kad tai sudėtingas svyravimas, kuriam būdinga funkcija arba tiesiog jos harmonika (pirma, antra ir kt.). Periodinės funkcijos skaidymo į harmonikas procesas vadinamas harmoninė analizė.

Svarbu pažymėti, kad tokie išplėtimai dažnai būna naudingi tiriant funkcijas, kurios yra apibrėžtos tik tam tikrame baigtiniame intervale ir nėra generuojamos jokiais svyravimo reiškiniais.

Apibrėžimas. Trigonometrinė serija yra šios formos serija:

Arba (1).

Tikrieji skaičiai vadinami trigonometrinės eilutės koeficientais. Šią seriją taip pat galima parašyti taip:

Jei pirmiau pateikto tipo eilutė suartėja, tada jos suma yra periodinė funkcija su periodu 2p.

Apibrėžimas. Trigonometrinės eilutės Furjė koeficientai vadinami: (2)

(3)

(4)

Apibrėžimas. Netoli Furjė funkcijai f(x) vadinama trigonometrine eilute, kurios koeficientai yra Furjė koeficientai.

Jei funkcijos Furjė serija f(x) suartėja su juo visuose tęstinumo taškuose, tada sakome, kad funkcija f(x) plečiasi Furjė serijoje.

Teorema.(Dirichlet teorema) Jei funkcijos periodas yra 2p ir ji yra ištisinė atkarpoje arba turi baigtinį skaičių pirmos rūšies nenutrūkstamų taškų, atkarpą galima padalyti į baigtinį skaičių atkarpų, kad funkcija kiekvienoje viduje būtų monotoniška. iš jų, tada funkcijos Furjė eilutė suartėja visoms reikšmėms X, o funkcijos tęstinumo taškuose – jos suma S(x) yra lygus , o nenutrūkstamumo taškuose jo suma lygi , t.y. kairėje ir dešinėje esančių ribinių verčių aritmetinis vidurkis.

Šiuo atveju funkcijos Furjė serija f(x) tolygiai konverguoja į bet kurį intervalą, priklausantį funkcijos tęstinumo intervalui.

Funkcija, kuri tenkina šios teoremos sąlygas, vadinama dalimis lygia intervale.

Panagrinėkime Furjė serijos funkcijos išplėtimo pavyzdžius.

1 pavyzdys. Išplėskite funkciją Furjė serijoje f(x)=1-x, kuris turi laikotarpį 2p ir pateikta segmente .

Sprendimas. Nubraižykime šią funkciją

Ši funkcija yra ištisinė atkarpoje , tai yra atkarpoje, kurios ilgis yra periodas, todėl ją galima išplėsti į Furjė eilutę, kuri suartėja į ją kiekviename šios atkarpos taške. Naudodami (2) formulę randame šios serijos koeficientą: .

Taikome integravimo pagal dalis formulę ir atitinkamai randame bei naudojame (3) ir (4) formules:

Pakeitę koeficientus į (1) formulę, gauname arba .

Ši lygybė vyksta visuose taškuose, išskyrus taškus ir (grafų klijavimo taškus). Kiekviename iš šių taškų serijos suma yra lygi jos ribinių verčių dešinėje ir kairėje aritmetiniam vidurkiui, ty.

Pateiksime funkcijos išplėtimo algoritmą Furjė serijoje.

Bendra iškeltos problemos sprendimo procedūra yra tokia.