Funkcijos vienaskaitos taškai ir jų klasifikacija. Izoliuoti vienaskaitos taškai. Likučiai ir jų skaičiavimo formulės
Modeliai, aprašyti dviejų autonominių diferencialinių lygčių sistemomis.
fazinė plokštuma. Fazinis portretas. izoklino metodas. pagrindinės izoklinos. Pastovios būsenos stabilumas. Linijinės sistemos. Pagrindiniai taškų tipai: mazgas, balnas, židinys, centras. Pavyzdys: pirmosios eilės cheminės reakcijos.
Įdomiausi biologinių sistemų savybių kokybinio modeliavimo rezultatai gauti naudojant dviejų diferencialinių lygčių modelius, kurie leidžia atlikti kokybinį tyrimą naudojant metodą. fazinė plokštuma. Apsvarstykite dviejų autonominių bendrosios formos paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą
(4.1)
P(x,y), Q(x,y)- nuolatinės funkcijos, apibrėžtos tam tikroje srityje G Euklido plokštuma ( x,y- Dekarto koordinatės) ir šioje srityje turinčios ne žemesnės nei pirmosios eilės išvestines.
Regionas G gali būti neribotas arba ribotas. Jei kintamieji x, y turi specifinę biologinę reikšmę (medžiagų koncentracijos, rūšių gausa), dažniausiai plotas G yra dešinės pusės plokštumos teigiamas kvadrantas:
0 £ x< ¥ ,0 £ y< ¥ .
Medžiagų koncentracijas ar rūšių gausą taip pat gali riboti iš viršaus laivo tūris arba buveinės plotas. Tada kintamųjų diapazonas turi tokią formą:
0 £ x< x 0 , 0 £ y< y 0 .
Kintamieji x, y laiko pokytis pagal lygčių sistemą (4.1), kad kiekviena sistemos būsena atitiktų kintamųjų reikšmių porą ( x, y).
|
|
Ir atvirkščiai, kiekvienai kintamųjų porai ( x, y) atitinka tam tikrą sistemos būseną.
Apsvarstykite plokštumą su koordinačių ašimis, kuriose brėžiamos kintamųjų reikšmės x,y. Kiekvienas taškas Mši plokštuma atitinka tam tikrą sistemos būseną. Tokia plokštuma vadinama fazine plokštuma ir vaizduoja visų sistemos būsenų visumą. Taškas M(x, y) vadinamas vaizduojančiu arba reprezentuojančiu tašku.
Leiskite iš pradžių t=t 0 reiškia taško koordinates M 0 (x(t 0),y(t 0)). Kiekvieną kitą akimirką t vaizdavimo taškas judės pagal kintamųjų reikšmių pokyčius x(t),y(t). Taškų rinkinys M(x(t), y (t)) fazinėje plokštumoje, kurios padėtis atitinka sistemos būsenas keičiantis kintamiesiems laikui bėgant x(t), y(t) pagal lygtis (4.1), vadinamas fazės trajektorija.
Fazių trajektorijų rinkinys skirtingoms pradinėms kintamųjų reikšmėms suteikia lengvai matomą sistemos „portretą“. Pastatas fazinis portretas leidžia daryti išvadas apie kintamųjų pokyčių pobūdį x, y nežinant pradinės lygčių sistemos analitinių sprendinių(4.1).
Norint pavaizduoti fazinį portretą, kiekviename fazinės plokštumos taške būtina sukurti sistemos trajektorijų vektorinį krypčių lauką. Nurodant prieaugįD t>0,gauname atitinkamus prieaugius D x ir D y iš posakių:
D x=P(x,y)D t,
D y=Q(x,y)D t.
vektoriaus kryptis dy/dx taške ( x, y) priklauso nuo funkcijų ženklo P(x, y), Q(x, y) ir gali būti pateikta lentelė:
|
P(x,y)>0, Q(x,y)>0 |
|
|
P(x,y)<0,Q(x,y)<0 |
|
|
P(x,y)>0,Q(x,y)<0 |
|
|
P(x,y)<0,Q(x,y)>0 |
|
.(4.2)
Šios lygties sprendimas y=y(x, c), arba netiesiogiai F(x,y)=c, kur Su yra integracijos konstanta, pateikia lygties (4.2) integralų kreivių šeimą - fazių trajektorijos sistema (4.1) plokštumoje x, y.
Izoklininis metodas
Faziniam portretui sukurti naudojamas izoklino metodas - fazinėje plokštumoje nubrėžiamos linijos, kurios kerta integralines kreives vienu konkrečiu kampu. Izoklininę lygtį lengva gauti iš (4.2). Padėkime
kur A– tam tikra konstanta. Reikšmė A reiškia fazės trajektorijos liestinės nuolydžio liestinę ir gali paimti vertes iš -¥ prie + ¥ . Pakeičiant vietoj dy/dx(4.2) kiekis A gauname izoklinijos lygtį:
.(4.3)
(4.3) lygtis kiekviename plokštumos taške apibrėžia vienintelę atitinkamos integralinės kreivės liestinę, išskyrus tašką, kuriame P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , kurioje liestinės kryptis tampa neapibrėžta, nes išvestinės reikšmė tampa neapibrėžta:
.
Šis taškas yra visų izoklinijų susikirtimo taškas - specialus taškas. Kartu dingsta ir kintamųjų laiko išvestinės x ir y.
Taigi viename taške kintamųjų kitimo greičiai yra lygūs nuliui. Todėl fazių trajektorijų diferencialinių lygčių vienaskaitos taškas (4.2) atitinka stacionari sistemos būklė(4.1), o jo koordinatės yra stacionarios kintamųjų reikšmės x, y.
Ypatingą susidomėjimą kelia Pagrindinės izoklinos:
dy/dx=0, P(x,y)=0 – horizontaliųjų liestinių izoklinija ir
dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – vertikalių liestinių izoklinija.
Sukonstruojant pagrindines izoklinijas ir radus jų susikirtimo tašką (x, y), kurių koordinatės atitinka sąlygas:
taip rasime visų fazinės plokštumos izoklinijų susikirtimo tašką, kuriame fazių trajektorijų liestinių kryptis yra neapibrėžta. tai - vienaskaitos taškas, kuris atitinka stacionari sistemos būklė(4.2 pav.).
Sistema (4.1) turi tiek stacionarių būsenų, kiek yra pagrindinių izoklinijų susikirtimo taškų fazinėje plokštumoje.
Kiekviena fazinė trajektorija atitinka dinaminės sistemos judesių rinkinį, einantį per tas pačias būsenas ir besiskiriančius vienas nuo kito tik laiko atskaitos pradžia.
 |
|
Jei įvykdytos Koši teoremos sąlygos, tai per kiekvieną erdvės tašką x, y, t eina per vieną integralo kreivę. Dėl autonomijos tas pats pasakytina ir apie fazių trajektorijas: unikali fazės trajektorija eina per kiekvieną fazės plokštumos tašką.
Pastovios būsenos stabilumas
Tegul sistema būna pusiausvyroje.
Tada reprezentacinis taškas yra viename iš atskirų sistemos taškų, kuriame pagal apibrėžimą:
.
Ar vienaskaitos taškas yra stabilus, ar ne, nustatoma pagal tai, ar reprezentacinis taškas išeina su nedideliu nuokrypiu nuo stacionarios būsenos, ar ne. Taikant dviejų lygčių sistemai, kalbos stabilumo apibrėžimase, dtaip.
Pusiausvyros būsena yra stabili, jei tam tikroje srityje nukrypstama nuo pusiausvyros būsenos (e )plotas gali būti nurodytas d (e ), supančios pusiausvyros būseną ir turinčios savybę, kad trajektorija neprasideda regione d , niekada nepasieks sienos e . (4.4 pav.)
 |
|
Didelei sistemų klasei - grubios sistemos – kurių elgsenos pobūdis nekinta šiek tiek pasikeitus lygčių tipui, informaciją apie elgesio tipą šalia stacionarios būsenos galima gauti tiriant ne pirminį, o supaprastintą tiesinis sistema.
Linijinės sistemos.
Apsvarstykite dviejų tiesinių lygčių sistemą:
.(4.4)
čia a, b, c, d- konstantos, x, y- Dekarto koordinatės fazinėje plokštumoje.
Bendras sprendimas bus ieškomas tokia forma:
.(4.5)
Pakeiskite šias išraiškas (4.4) ir sumažinkite iki e l t:
(4.6)
Algebrinė lygčių sistema (4.6) su nežinomaisiais A, B turi nulinį sprendimą tik tada, kai jo determinantas, sudarytas iš nežinomųjų koeficientų, yra lygus nuliui:
.
Išplėsdami šį determinantą, gauname būdingą sistemos lygtį:
.(4.7)
Šios lygties sprendimas pateikia indikatoriaus reikšmesl 1,2 , pagal kurią galimos ne nulinės vertės A ir B(4.6) lygties sprendiniai. Šios vertybės yra
.(4.8)
Jei radikali išraiška yra neigiama, tadal 1,2 kompleksiniai konjuguoti skaičiai. Tarkime, kad abi (4.7) lygties šaknys turi ne nulines realiąsias dalis ir kad nėra kelių šaknų. Tada sistemos (4.4) bendrąjį sprendinį galima pavaizduoti kaip tiesinį rodiklių ir rodiklių derinįl 1 , l 2 :
(4.9)
Norėdami išanalizuoti galimų sistemos trajektorijų fazinėje plokštumoje pobūdį, naudojame tiesinė vienalyčių koordinačių transformacija, kuri atves sistemą į kanoninė forma:
,(4.10)
kuri leidžia patogiau vaizduoti fazinėje plokštumoje lyginant su pradine sistema (4.4). Pristatome naujas koordinatesξ , η pagal formules:
(4.1)
Iš tiesinės algebros žinoma, kad jei tikrosios dalys nėra lygios nuliuil 1 , l 2 pradinę sistemą (4.4) transformacijų (4.11) pagalba visada galima transformuoti į kanoninę formą (4.10) ir ištirti jos elgseną fazinėje plokštumojeξ , η . Apsvarstykite įvairius atvejus, kurie gali atsirasti čia.
Šaknys λ 1 , λ 2 – galiojantis ir to paties ženklo
Šiuo atveju transformacijos koeficientai yra realūs, judame iš tikrosios plokštumosx,yį tikrąją plokštumą ξ, η. Padalinę antrąją lygtį (4.10) iš pirmosios, gauname:
.(4.12)
Integravę šią lygtį, randame:
Kur .(4.13)
Sutikime suprasti pagal λ 2 būdingos lygties šaknis su dideliu moduliu, kuri nepažeidžia mūsų samprotavimų bendrumo. Tada, kadangi nagrinėjamu atveju šaknys λ 1 , λ2 – galiojantis ir to paties ženklo,a>1 , ir mes susiduriame su parabolinio tipo integralinėmis kreivėmis.
Visos integralinės kreivės (išskyrus ašį η , kuris atitinka ) prisilietimas prie ašies pradžios ξ, kuri taip pat yra (4.11) lygties integralinė kreivė. Koordinačių pradžia yra vienaskaitos taškas.
Dabar išsiaiškinkime reprezentatyvaus taško judėjimo kryptį išilgai fazių trajektorijų. Jei λ 1, λ 2 yra neigiami, tada, kaip matyti iš (4.10) lygčių, |ξ|, |η| laikui bėgant mažėti. Reprezentacinis taškas artėja prie pradžios, bet niekada jos nepasiekia. Priešingu atveju tai prieštarautų Koši teoremai, teigiančiai, kad per kiekvieną fazės plokštumos tašką eina tik viena fazės trajektorija.
Toks išskirtinis taškas, per kurį eina integralinės kreivės, kaip ir parabolių šeima 
eina per pradžią, vadinamas mazgu (1 pav.). 4.5)
Mazgo tipo pusiausvyros būsena esant λ 1, λ 2 < 0 pagal Lyapunovą yra stabilus, nes reprezentacinis taškas juda visomis integralinėmis kreivėmis link koordinačių pradžios. Tai stabilus mazgas. Jei λ 1, λ 2 > 0, tada |ξ|, |η| laikui bėgant didėja ir reprezentacinis taškas tolsta nuo pradžios. Šiuo atveju vienaskaitos taškas– nestabilus mazgas .
Fazinėje plokštumoje x, y bendras kokybinis integralinių kreivių elgsenos pobūdis išliks, bet integralų kreivių liestinės nesutaps su koordinačių ašimis. Šių liestinių pasvirimo kampas bus nustatomas pagal koeficientų santykį α , β , γ , δ lygtyse (4.11).
Šaknys λ 1 , λ 2 galioja ir turi skirtingus ženklus.
Konvertuoti iš koordinates x,y į koordinates ξ, η vėl tikra. Kanoninių kintamųjų lygtys vėl turi formą (4.10), bet dabar ženklai λ 1, λ 2 skirtinga. Fazės trajektorijos lygtis turi formą:
Kur , (4.14)
Integruodami (4.14), randame
(4.15)
Tai lygtis apibrėžia hiperbolinio tipo kreivių šeimą, kurioje yra abi koordinačių ašys yra asimptotai (at a=1 turėtume lygiašonių hiperbolių šeimą). Šiuo atveju koordinačių ašys taip pat yra integralios kreivės– tai bus vienintelės integralios kreivės, einančios per pradinį tašką. kiekvienaiš kurių susideda iš trijų fazių trajektorijų: dviejų judesių link pusiausvyros būsenos (arba tolyn nuo pusiausvyros būsenos) ir iš pusiausvyros būsenos. Visos kitos integralinės kreivės– yra hiperbolės, kurios nepraeina per pradinę vietą (1 pav.). 4.6) Šis vienaskaitos taškas vadinamas "balnas ». Lygio linijos šalia kalno balno elgiasi kaip fazinės trajektorijos šalia balno.
Panagrinėkime reprezentatyvaus taško judėjimo fazinėmis trajektorijomis netoli pusiausvyros būsenos pobūdį. Tegu pvz.λ 1 > 0 , λ 2<0 . Tada reprezentacinis taškas dedamas ant ašies ξ , nutols nuo pradžios ir padėtas ant ašies η – neribotą laiką priartės prie koordinačių pradžios, nepasiekęs jo per ribotą laiką. Kur reprezentacinis taškas yra pradiniu momentu (išskyrus vienaskaitos tašką ir asimptotės taškus η =0), ilgainiui jis nutols nuo pusiausvyros būsenos, net jei pradžioje judės viena iš integralinių kreivių link vienaskaitos taško.
Tai akivaizdu balno tipo vienaskaitos taškas visada yra nestabilus . Tik specialiai pasirinktomis pradinėmis sąlygomis asimptoteη =0 sistema priartės prie pusiausvyros būsenos. Tačiau tai neprieštarauja tvirtinimui, kad sistema yra nestabili. Jei skaičiuosi, kad visos pradinės sistemos būsenos fazinėje plokštumoje yra vienodai tikėtinos, tada tokios pradinės būsenos, atitinkančios judėjimą kryptimi, tikimybėĮ vienaskaitos taškas lygus nuliui. Todėl bet koks tikras judėjimas pašalins sistemą iš pusiausvyros būsenos.Grįžtant prie koordinačiųx,y,gauname tą patį kokybinį vaizdą apie trajektorijų judėjimo aplink pradžią prigimtį.
Riba tarp nagrinėjamų mazgo ir balno atvejų yra atvejis kada vienas iš būdingų rodiklių, pavyzdžiui λ 1 , išnyksta, o tai įvyksta, kai sistemos determinantas- išraiška adbc=0(žr. 4.8 formulę ). Šiuo atveju lygčių (4.4) dešiniųjų pusių koeficientai yra proporcingi vienas kitam:
o sistema savo pusiausvyros būsenoms turi visus tiesės taškus:
Likusios integralinės kreivės yra lygiagrečių linijų su nuolydžiu šeima , išilgai kurios reprezentaciniai taškai arba artėja prie pusiausvyros būsenos, arba tolsta nuo jos, priklausomai nuo charakteristikų lygties λ antrosios šaknies ženklo 2 = a+d.(4. 7 pav ) Šiuo atveju pusiausvyros būsenos koordinatės priklauso nuo pradinės kintamųjų reikšmės.
Šaknys λ 1 , λ 2 – kompleksaskonjugatas
Šiuo atveju tikraix ir y mes turi sudėtingų konjugatų ξ , η (4.10) . Tačiau įvedant dar vieną tarpinę transformaciją, šiuo atveju taip pat galima svarstymą sumažinti iki realios tiesinės vienalytės transformacijos. Padėkime:
(4.16)
kur a, b, ir u, v – tikrosios vertybės. Galima parodyti, kad transformacija išx,yĮ u, v pagal mūsų prielaidas yra tikras, tiesinis, vienalytis su nuliniu determinantu. Dėl lygčių(4.10, 4.16) turime:
kur
(4.17)
Antrąją lygtį padalijus iš pirmosios, mes gauname:
kurią lengviau integruoti, jei pereisime prie polinės koordinačių sistemos (r, φ ) . Po pakeitimo gauname iš kur:
.(4.18)
Taigi, fazinėje plokštumojeu, vmes susiduriame su logaritminių spiralių šeima, kurių kiekviena turiasimptotinis taškas pradinėje vietoje.Vienaskaitos taškas, kuris yra visų integralinių kreivių, turinčių spiralę, asimptotinis taškas, įdėtas draugasdraugas, paskambino sutelkti dėmesį ( pav.4.8 ) .
Panagrinėkime reprezentuojančio taško judėjimo fazinėmis trajektorijomis pobūdį. Pirmąją iš lygčių (4.17) padauginus išu, o antrasis - v ir pridėjus , gauname:
Kur
Leisti a 1 < 0 (a 1 = Reλ ) . Tada reprezentacinis taškas nuolat artėja prie pradžios, nepasiekdamas jos per ribotą laiką. Tai reiškia, kad fazių trajektorijos yra besisukančios spiralės ir atitinka slopintus svyravimus kintamieji. tai - pastovus dėmesys .
Stabilaus židinio atveju, kaip ir stabilaus mazgo atveju, tenkinama ne tik Lyapunov sąlyga, bet ir griežtesnis reikalavimas. Būtent, esant bet kokiems pradiniams nukrypimams, sistema galiausiai grįš taip arti pusiausvyros padėties, kiek norima. Toks stabilumas, kuriame pradiniai nuokrypiai ne tik nedidėja, bet ir mažėja, linkę į nulį, vadinamas absoliutus stabilumas .
Jei formulėje (4.18) a 1 >0 , tada reprezentacinis taškas nutolsta nuo pradžios, ir mes susiduriame su nestabilus dėmesys . Judant iš lėktuvou, vį fazinę plokštumąx, yspiralės taip pat liks spiralėmis, bet bus deformuotos.
Dabar apsvarstykite atvejį, kaia 1
=0
. Fazių trajektorijos lėktuveu, vbus apskritimai 
kuris lėktuvex,ytinka elipsėms:
Taigi, vala 1=0 per specialų taškąx= 0,y= 0 integralinė kreivė nepraeina. Toks izoliuotas vienaskaitos taškas, šalia kurio integralinės kreivės yra uždaros kreivės, ypač elipsės, įterptos viena į kitą ir gaubiančios vienaskaitos tašką, vadinamas centru.
Taigi, priklausomai nuo charakteristikų (4.7) lygties šaknų pobūdžio, galimi šeši pusiausvyros tipai. Fazių trajektorijų vaizdas plokštumoje x, yšiems šešiems atvejams parodyta Fig. 4.9.
Ryžiai. 4.9.Tiesinių lygčių sistemos fazinių portretų tipai stacionarios būsenos kaimynystėje (4.4).
Penkių tipų pusiausvyros būsenos yra grubios, jų prigimtis nekinta esant pakankamai mažiems pokyčiams dešiniosiose lygčių pusėse (4.4). Tokiu atveju pokyčiai turėtų būti nedideli ne tik dešiniosiose pusėse, bet ir jų pirmosios eilės dariniuose. Šeštoji pusiausvyros būsena – centras – nėra grubi. Esant nedideliems dešiniosios lygčių pusės parametrų pakeitimams, jis pereina į stabilų arba nestabilų židinį.
Bifurkacijos diagrama
Supažindinsime su užrašu:
.
(4.11)
Tada charakteristikos lygtis gali būti parašyta tokia forma:
.
(4.12)
Apsvarstykite plokštumą su stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis s , D ir pažymėkite ant jo sritis, atitinkančias vieną ar kitą pusiausvyros būsenos tipą, kurį lemia charakteristikos lygties šaknų pobūdis.
.(4.13)
Pusiausvyros būsenos stabilumo sąlyga bus neigiamos tikrosios y dalies buvimasl 1 ir l 2 . Tam būtina ir pakankama sąlyga yra nelygybių išsipildymass > 0, D > 0 . Diagramoje (4.15) ši sąlyga atitinka taškus, esančius pirmajame parametrų plokštumos ketvirtyje. Vienetinis taškas bus dėmesys, jeil 1 ir l 2 kompleksas. Ši sąlyga atitinka tuos plokštumos taškus, kuriems , tie. taškai tarp dviejų parabolės šakųs 2 = 4 D. Pusiau ašies taškai s = 0, D>0, atitinka centro tipo pusiausvyros būsenas. Taip pat,l 1 ir l 2 - galiojantys, bet skirtingi ženklai, t.y. vienaskaitos taškas bus balnas, jei D<0, ir tt Rezultate gauname parametrų plokštumos skaidymo schemą s, D, į regionus, atitinkančius skirtingų tipų pusiausvyros būsenas.
Ryžiai. 4.10. Bifurkacijos diagrama
tiesinių lygčių sistemai 4.4
Jei tiesinės sistemos koeficientai a, b, c, d priklauso nuo kokio nors parametro, tada pakeitus šį parametrą reikšmės taip pat pasikeiss , D . Peržengus ribas kokybiškai pasikeičia fazinio portreto pobūdis. Todėl tokios ribos vadinamos bifurkacinėmis ribomis – priešingose ribos pusėse sistema turi du topologiškai skirtingus fazių portretus ir atitinkamai du skirtingus elgesio tipus.
Diagrama parodo, kaip tokie pokyčiai gali vykti. Jei atmesime ypatingus atvejus – koordinačių kilmę – tuomet nesunku pastebėti, kad kertant y ašį balnas gali patekti į mazgą, stabilų ar nestabilų. Stabilus mazgas gali pereiti į balną arba į stabilų židinį ir pan. Atkreipkite dėmesį, kad stabilaus mazgo – stabilaus židinio ir nestabilaus mazgo – nestabilaus židinio perėjimai nėra bifurkaciniai, nes fazių erdvės topologija šiuo atveju nesikeičia. Plačiau apie fazių erdvės topologiją ir bifurkacijų perėjimus kalbėsime 6 paskaitoje.
Vykstant bifurkaciniams perėjimams, pasikeičia vienaskaitos taško stabilumo pobūdis. Pavyzdžiui, stabilus židinys per centrą gali virsti nestabiliu židiniu. Ši bifurkacija vadinama Andronovo-Hopfo bifurkacija jį tyrinėjusių mokslininkų vardais. Su šia bifurkacija netiesinėse sistemose gimsta ribinis ciklas, ir sistema tampa savaime svyruojančia (žr. 8 paskaitą).
Pavyzdys. Linijinių cheminių reakcijų sistema
Medžiaga X teka iš išorės pastoviu greičiu, virsta medžiaga Y ir greičiu, proporcingu medžiagos koncentracijai Y, paimamas iš reakcijos sferos. Visos reakcijos yra pirmos eilės, išskyrus materijos antplūdį iš išorės, kuris yra nulinės eilės. Reakcijos schema atrodo taip:
(4.14)
ir apibūdinama lygčių sistema:
(4.15)
Stacionarias koncentracijas gauname prilygindami dešiniąsias puses nuliui:
.(4.16)
Apsvarstykite sistemos fazės portretą. Antrąją sistemos (4.16) lygtį padalinkime iš pirmosios. Mes gauname:
.(4.17)
(4.17) lygtis nustato kintamųjų elgesį fazinėje plokštumoje. Sukurkime šios sistemos fazinį portretą. Pirmiausia fazinėje plokštumoje nubrėžiame pagrindines izoklines. Vertikaliųjų liestinių izoklinijos lygtis:
Horizontaliųjų liestinių izoklinijos lygtis:
Vienaskaitos taškas (stacionari būsena) yra pagrindinių izoklinijų sankirtoje.
Dabar nustatykime, kokiu kampu koordinačių ašys kerta integralų kreives.
Jeigu x= 0, tada.
Taigi integralinių kreivių liestinės nuolydžio liestinė y=y(x), kertantis y ašį x=0, yra neigiamas viršutinėje pusės plokštumoje (atminkite, kad kintamieji x, y turi koncentracijos vertes, todėl mus domina tik viršutinis dešinysis fazės plokštumos kvadrantas). Šiuo atveju liestinės polinkio kampo liestinės reikšmė didėja didėjant atstumui nuo pradžios.
Apsvarstykite ašį y= 0. Šios ašies sankirtoje integralinės kreivės apibūdinamos lygtimi
At integralinių kreivių, kertančių abscisių ašį, nuolydžio liestinė yra teigiama ir didėja nuo nulio iki begalybės x.
Prie .
Tada, toliau didėjant, nuolydžio liestinė sumažėja absoliučia verte, išlieka neigiama ir linkusi į -1 x ® ¥ . Žinant integralinių kreivių liestinių kryptį pagrindinėse izoklinijose ir koordinačių ašyse, nesunku sudaryti visą fazių trajektorijų vaizdą.
 |
|
Vienaskaitos taško stabilumo pobūdis bus nustatytas naudojant Lyapunov metodą. Būdingas sistemos determinantas turi tokią formą:
.
Išplėsdami determinantą, gauname būdingą sistemos lygtį: , t.y. charakteristikų lygties šaknys yra tiek neigiamos. Todėl stacionari sistemos būsena yra stabilus mazgas. Tuo pačiu metu medžiagos koncentracija X linkęs į stacionarią būseną visada monotoniškai, Y medžiagos koncentracija gali praeiti per min arba max. Virpesių režimai tokioje sistemoje neįmanomi.
Leisti zq - funkcijos f(z) vienaskaitos taškas, t.s. f(z) bet šiuo metu yra analitinis (ypač gali būti neapibrėžtas). Jei yra tokia pradurta taško kaimynystė zq (t. y. aibė O z - zq f(z) yra aliatic, tada zo paskambino izoliuotas vienaskaitos taškas funkcijas f(z).Šis apibrėžimas taip pat išsaugotas byloje zn = oo, jei jodas yra pradurta taško kaimynystė zq = oo suprasti aibę z > AŠ ESU - kokio nors apskritimo, kurio centras yra ištakoje, atsiradimas. Kitaip tariant, vienetinis taškas Sakoma, kad zq yra izoliuotas, jei yra šio taško kaimynystė, kurioje yra kitų vienaskaitos taškų, kurie skiriasi nuo zq. Visur toliau nagrinėjame tik vienareikšmio simbolio (funkcijos f(z) laikoma unikalia).
Priklausomai nuo funkcijos elgesio f(z) adresu z -> zq Yra trijų tipų vienaskaitos taškai. Izoliuotas vienaskaitos taškas zq funkcijos f(z) vadinamas:
1) nuimamas vienaskaitos taškas jei yra baigtinė riba
2) stulpas jei yra riba 
3) esminis dalykas, jeigu f(z) neturi nei baigtinės, nei begalinės ribos z-> zq.
26.1 PAVYZDYS. Parodykime, kad visi trys vienaskaitos taškai yra realizuoti. Apsvarstykite f(z)= taškas zq = 0 yra izoliuotas
šios funkcijos vienetinis taškas. Naudodami formulę (22.12), gauname išplėtimą
iš ko išplaukia, kad egzistuoja lim fi(z)= 1. Todėl zq = 0 yra
yra nuimamas funkcijos vienaskaitos taškas fi(z).
Funkcija f'j(z) =--- turi stulpą taške zo= 1, nes
2 r"X
Dabar apsvarstykite funkciją )z(z)= e 1 ^ r ir parodykite tai zo = O yra esminis šios funkcijos vienaskaitos taškas. Kai stengiamasi z iki nulio išilgai tikrosios ašies, funkcijos f kairės ir dešinės ribos (z) skiriasi: lim Su 1 / 1 = 0, lim su 1 /* = os. Tai reiškia,
x->0-0 x->0+0
ką f:i(z) neturi nei baigtinės, nei begalinės 2 ribos ->
O t.y. zq = 0 iš esmės yra šios funkcijos vienaskaitos taškas. (Atkreipkite dėmesį, kad kaip esmė z-iy iki nulio pagal įsivaizduojamos ašies funkciją 
neturi jokių apribojimų.)
Žinoma, yra ir neišskirtų vienaskaitos taškų. Pavyzdžiui. funkcija taškuose turi polius z n = -, P= ±1, ±2,...
Vadinasi, Zq = 0 yra neišskirtas šios funkcijos vienaskaitos taškas: bet kurioje (savavališkai mažoje) šio taško kaimynystėje yra kitų vienaskaitų taškų g p.
Leisti zo- galutinis izoliuotas funkcijos vienaskaitos taškas f(z). Tada f(z) yra panašus kai kuriose pradurtos apylinkėse 0 taško Zo zoši kaimynystė gali būti laikoma žiedu, kurio vidinis spindulys r = 0. Pagal 25.1 teoremą nagrinėjamoje kaimynystėje funkcija f(z) galima išplėsti Laurent serijoje (25.2). Parodysime, kad funkcijos elgsena 2 -> zq (ty vienaskaitos taško tipas zo) priklauso nuo pagrindinės skaidymo dalies formos (25.2); ši aplinkybė paaiškina termino „pagrindinė dalis“ kilmę.
TEOREMA 2G.2. Funkcijos f(z) izoliuotas vienaskaitos taškas zo yra pašalinamas tada ir tik tuo atveju, jei Lorapo plėtinys pradurtoje šio taško kaimynystėje turi oid
tie. susideda tik iš teisingos dalies, o visi pagrindinės dalies koeficientai lygūs kulka.
Įrodymas. 1. Leiskite zo yra nuimamas vienaskaitos taškas. Įrodykime, kad Laurento funkcijos išplėtimas f(z) turi formą (26.1). Nuo vienetinio taško zo nuimamas, tada yra baigtinė ribinė riba f(z) = A. Vadinasi, f(z) apribota tam tikroje pradurtoje apylinkėje 0 z - zq taško zo, tie. )(z) visiems z iš šios apylinkės. Imk bet kurį R. U р /?| ir Laurent serijos koeficientams naudokite formules (25.3):
Pagrindinės plėtimosi dalies koeficientams n =- 1,-2,... Tokioms vertybėms P mes turime p~n-e 0 val R-> 0. Kadangi vertė R gali būti pasirinktas savavališkai mažas, tada ponas ~" gali būti savavališkai mažas. Nuo |c t,| ^ Mr~n ir cn nepriklauso nuo p, tada cn = 0 ir= - 1, -2,..., kurį reikėjo įrodyti.
2. Tarkime, kad Laurent plėtinys turi formą (26.1). Serija (26.1) yra galios serija ir. todėl susilieja ne tik pradurtoje, bet ir visoje kaimynystėje z-zq įskaitant tašką zo; jos suma S(z) yra analitinis z ir S(z) = )(z) ties 0 z - zo R. Todėl yra baigtinė ribinė riba )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Todėl vienaskaitos taškas zq
Z->Zo Z-*Zo
vienkartiniai. Teorema įrodyta.
komentuoti. Iš teoremos įrodymo matyti, kad išimamo vienaskaitos taško pradurtoje kaimynystėje 0 z - zo funkcija f(z) sutampa su funkcija S(r), kuri yra analitinė visoje kaimynystėje z - zo . Todėl, jei įdėsime /(th) = S(zq), tada nekeičiant funkcijos reikšmių f(z) bet kuriame pradurtos apylinkės taške šią funkciją paverčiame analitine r, t.y. „pašalinti“ funkciją. Tai paaiškina terminą „nuimamas singuliarumas“. Natūralu, kad tokie taškai yra reguliarūs, o ne vienetiniai funkcijos taškai f(z).
Apsvarstykite, pavyzdžiui, funkciją
26.1 pavyzdyje buvo parodyta, kad Pm (n) = 1. t.y. vienaskaitos taškas
zq = 0 yra nuimamas. Nustatę /i(0) = 1, pašaliname singuliarumą ir gauname funkciją, kuri taške yra analitinė zq = 0 (ir visoje plokštumoje C).
Dabar apibūdinkime polius pagal Laurento išsiplėtimus.
26.3 teorema. Funkcijos f(z) izoliuotas vienaskaitos taškas Zo yra polius tada ir tik tada, kai pagrindinė Laurent plėtimosi dalis su centru Zq turi tik baigtinį skaičių atskirų
iš nulinių koeficientų su n:
Įrodymas. 1. Leiskite zq – stulpas, t.y. lim /( z) = oo.
Įrodykime, kad Laurento funkcijos išplėtimas f(z) turi formą (2G.2). Kadangi lim f(z)= oo. tada egzistuoja pradurta taško kaimynystė
ki zq. kurioje f(z) yra analitinis ir neturi nulių. Tada funkcija g(z) = 1 /f(z) taip pat bus analitinis šioje pradurtoje kaimynystėje, o lim g(z)= 0. Todėl Zo yra vienkartinis *-? *0
funkcijos vienaskaitos taškas g(z). Apibrėžkime iš naujo g(z) taške zo, dėjimas g(zo)= 0. Tada g(z) tampa analitinis visoje (nepradurto) taško kaimynystėje z 0 , ir z0 bus jos izoliuotas nulis. Pažymėti Nšio nulio dauginys (eilės). Kaip parodyta §23, taško kaimynystėje zq funkcija g(z) vaizduojamas forma (žr. (23.2))
ir (z$) f 0 ir y>(z) yra analitinis tam tikroje taško kaimynystėje zo- Nes ip (z) nenutrūkstama taške zo ir g> (zo) F 0" tada ip (z) kai kuriose šio taško apylinkėse taip pat nėra nulių. Todėl 1 funkcija /-p(z) taip pat bus analitinis šioje kaimynystėje, todėl joje plečiasi Taylor serijoje:
Išplėsdami skliaustus ir keisdami koeficientų žymėjimus, formoje rašome paskutinį išplėtimą
kur c_jv = 1>o f 0. Taigi pagrindinėje f(r) Laurent'o plėtinio dalyje yra tik baigtinis terminų skaičius; pasiekėme reikiamą lygybę (26.2).
2. Įleisti į pradurtą taško apylinkę th funkcija )(z) yra pavaizduotas Laurento plėtiniu (26.2) (labiau išplėsta forma, žr. (26.3)), kurios pagrindinėje dalyje yra tik baigtinis terminų skaičius, ir Su- d" f 0. Turime tai įrodyti Zq – funkcinis polius f(z). Lygybę (26,3) padauginus iš (G - G o) iV , gauname funkciją
(26.4) eilutė yra laipsnių eilutė, susiliejanti į analitinę funkciją ne tik pradurtoje, bet ir visoje taško kaimynystėje Zq. Todėl funkcija h(z) tampa analitiška šioje kaimynystėje, jei ją pratęsime nustatydami h(zo)= s_dg f 0. Tada
Taigi taškas o yra polius, o teorema 26.3 įrodyta.
Nulinės funkcijos dauginys (tvarka). g(z)= 1//(r) vadinamas polių tvarka funkcija /(r). Jeigu N- tada poliaus tvarka yra th g(z)= (r - Zo)N ip(z), ir eik) F 0, ir, kaip parodyta pirmoje 26.3 teoremos įrodymo dalyje, f(r) išplėtimas turi formą (26.3), kur c_/v f 0. Ir atvirkščiai, jei f(r) išsiplečia į eilutę (26.3) ir e-z F 0, tada
t.s. N- funkcijos f(r) poliaus tvarka. Šiuo būdu, funkcijos zq poliaus tvarka/(G) yra lygus Laurent'o plėtimosi pagrindinės dalies pirminio nulinio koeficiento skaičiui pradurtoje taško zq kaimynystėje(t. y. lygus tokiam skaičiui N, kas s_dg f 0 ir sp= 0 at P > N).
Įrodykime šį tvirtinimą, kuris yra patogus) programoms.
Išvada 26.4. Taškas zq yra N eilės polius/(G) Jeigu, ir tik jeigu/(G) atstovauti formoje
čia h(z) yra analitinė funkcija taško kaimynystėje th ir h(zo) f 0.
Įrodymas. Funkcija cp(z) = l/h(z) yra analitinis kai kuriose taško r apylinkėse. 26.4 išvados sąlyga yra lygiavertė:
Taigi zq - daugybos nulis N funkcijas g(z). taigi ir daugybos polius N funkcijos /(2).
II pavyzdys 26.5. Raskite atskirtus funkcijos vienaskaitinius taškus 
ir nustatyti jų tipą.
D e u c i o s Taškai, kuriuose (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Jei z 2 L- 1 = 0, tada 2 = ±g jeigu (z 4- H) 2 = 0, tada z= -3. Todėl funkcija turi tris vienaskaitos taškus z= r, 22 = -r, Z3 = – 3. Apsvarstykite z:
G - pirmos eilės stulpas (naudojome 26.4 išvadą). Panašiai galima įrodyti, kad 22 = -i taip pat pirmos eilės stulpas. 2h turime:
Pereikime prie iš esmės vienaskaitos taškų svarstymo.
26.6 teorema. Funkcijos f(z) izoliuotas vienaskaitos taškas zq iš esmės yra vienaskaita tada ir tik tada, kai pagrindinė Laurento plėtimosi dalis, kurios centras yra zq, turi be galo daug skirtingų. nulis, koeficientai su p.
Įrodymas. 26.6 teorema tiesiogiai išplaukia iš 26.2 ir 26.3 teoremų. Iš tiesų, jei esmė zq iš esmės yra vienaskaita, tada pagrindinės Laurent išplėtimo dalies negali nebūti arba negali būti baigtinis terminų skaičius (kitaip taškas Zq bus arba nuimamas, arba stulpelis). Todėl pagrindinėje dalyje terminų skaičius turi būti begalinis.
Ir atvirkščiai, jei pagrindinėje dalyje yra be galo daug narių, tada Zq negali būti nei nuimamas taškas, nei stulpas. Vadinasi, šis taškas iš esmės yra vienaskaita.
Pagal apibrėžimą, iš esmės vienaskaitos taškas pasižymi tuo, kad funkcija f(2) neturi nei baigtinės, nei begalinės ribos z ->zq. Išsamesnę idėją apie tai, kaip netaisyklinga funkcijos elgsena iš esmės vienaskaitos taško kaimynystėje, pateikia ši teorema.
26.7 teorema (Sochockio teorema). Jei zq iš esmės yra vienaskaita, tada funkcijos f(z), tada bet kuriam kompleksiniam skaičiui L, įskaitant A = oo, yra tokia taškų z n seka, kad z n -> zo ir lim f(zn) = A.
n->os
Įrodymas. Pirmiausia apsvarstykite atvejį A = oo. Pirmoje 2G.2 teoremos įrodymo dalyje nustatėme, kad jei f(z) yra apribotas tam tikra taško r0 punkcija kaimynystėje, tada visi koeficientai c, n = - Pagrindinės dalies 1, - 2,... yra lygūs nuliui (taigi, singuliarumas th yra pašalinamas). Kadangi remiantis prielaida, r0 yra iš esmės vienaskaitos taškas, funkcija f(r) yra neapribota bet kurioje taško r0 pertrauktoje aplinkoje. Paimkime siaurą 0 Z apylinkę, tokią, kad f(zi) > 1 (jei |/(r)| z - zo R/2 yra taškas z-2 , kur |/(dd)| > 2 ir tt: pradurtoje kaimynystėje O 71. Akivaizdu, kad rn -e go ir lim /(r«) = oo. Taigi, jei A = oo, 26.7 teorema
įrodyta.
Leisk dabar A f oo. Pirmiausia tarkime, kad yra pradurta kaimynystė 0
= -yy---- bus analitiškas šioje pramuštoje kaimynystėje, todėl
/(G) - A
vadinasi, r yra izoliuotas funkcijos Φ(r) vienaskaitos taškas. Parodykime. kad r0 yra iš esmės vienaskaitos Φ(r) taškas. Tegul būna negerai. Tada egzistuoja riba lim Φ(r), baigtinė arba begalinė. Nes
/(r) = A + , tada Hsh /(r) taip pat egzistuoja, o tai prieštarauja sąlygai
F(g) ~ :-*z 0
teoremos vaizdas. Taigi r0 iš esmės yra funkcijos Φ(r) vienaskaita. Pagal tai, kas buvo įrodyta aukščiau, yra tokia taškų r n seka, kad r n o ir lim Φ(r n) = oo. Iš čia
Mes įrodėme reikalingą teiginį darydami prielaidą, kad f(r) F A kurioje nors pradurtoje taško r kaimynystėje Tarkime, kad tai netiesa, t.y. bet kurioje savavališkai mažoje pradurtoje taško kaimynystėje yra toks taškas G", kad f(r") = A. Tada bet kuriai P pradurtoje kaimynystėje 0 f(z u) = L. Taigi reikalingas teiginys yra teisingas P-juo
visais atvejais ir 26.7 teorema įrodyta.
Pagal (Sokhotskio) 26.7 teoremą, bet kurioje (savavališkai mažoje) pradurtoje iš esmės vienaskaitos taško kaimynystėje funkcija f(r) įgauna reikšmes, savavališkai artimas bet kuriam skaičiui išplėstinėje kompleksinėje plokštumoje C.
Norint ištirti atskirtus vienaskaitos taškus, dažnai praverčia gerai žinomi Teiloro pagrindinių elementariųjų funkcijų išplėtimai.
2G PAVYZDYS.8. Nustatykite funkcijos vienaskaitos taško tipą zq = 0
Išspręsta ir e. Išplečiame skaitiklį ir vardiklį Taylor serijoje r laipsniais. Pakeičiame į (22.11) 3 z vietoj r ir atėmus 1, gauname
Naudodamiesi (22.12), gauname vardiklio išplėtimą:
Šių išplėtimų serijos susilieja visoje kompleksinėje plokštumoje €. Mes turime
ir /2(2) yra analogiški taško kaimynystėje zo = 0 (ir net visoje plokštumoje) ir /2(20) F 0, tada h(z) taip pat yra analitinis tam tikroje taško gF 0 kaimynystėje. Pagal 26.4 išvadą taškas Zo = 0 yra eilės polius N = 4.
II pavyzdys 26.9. Raskite funkcijos vienatinius taškus f(z)= sin j – ir nustatyti jų tipą.
P e in e ir e. Funkcija turi vieną galutinį vienaskaitos tašką zq = 1. Kituose taškuose iš C funkcija w =--- analitinis; taigi nuodėmės funkcija w bus analitinis.
Pakeičiant sinuso plėtimąsi (22.12) - vietoj r gauname
Gavome nuodėmės funkcijos išplėtimą Laurent'o serijoje taško 20 = 1 pradurtoje kaimynystėje. Kadangi gautame išplėtime yra be galo daug neigiamų galių (r - 1), tada zq = 1 yra esminis vienaskaitos taškas (šiuo atveju Laurento plėtinį sudaro tik pagrindinė dalis, o teisingos dalies trūksta).
Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju singuliarumo pobūdį taip pat buvo galima nustatyti tiesiogiai iš apibrėžimo, nenaudojant serijos išplėtimo. Iš tiesų, yra sekos (r") ir (2"), kurios susilieja zo= 1, ir toks f(z"n)= 1, /(2") = 0 (tokias sekas nurodykite patys). Taigi, f(z) neturi limito kada z -> 1 ir iš čia esmė zq - 1 iš esmės yra vienaskaita.
Supažindinkime su Laurent funkcijos išplėtimu taško kaimynystėje Zq = 00 ir apsvarstykite ryšį tarp plėtimosi ir singuliarumo pobūdžio šiuo metu. Atkreipkite dėmesį, kad izoliuoto vienaskaitos taško ir jo tipo (nuimamas, polius arba iš esmės vienaskaitos) apibrėžimai perkeliami į atvejį zq = oc nepakitęs. Bet teoremos 26.2. 26.3 ir 26.6, susijusius su Laurent plėtinių pobūdžiu, reikia pakeisti. Esmė ta, kad nariai c n (z - 2o) p. P= -1,-2,..., pagrindinė dalis, apibrėžianti funkcijos „netaisyklingumą“ netoli galutinio taško Zq, kadangi 2 linkę į oo, jie elgsis „teisingai“ (linkę į 0). Priešingai, įprastos dalies nariai su P= 1,2,... links oo; jie nustato singuliarumo prigimtį Zq = oo. Todėl pagrindinė plėtros dalis oo kaimynystėje bus teigiamų galių turintys terminai P, ir teisingai – su neigiamu.
Įveskime naują kintamąjį w = 12. Funkcija tv = 1/2, išplėstas taip, kad u(oo) = 0, vienas su vienu ir atitinkamai atvaizduoja apylinkes z > R taškų zq = 00 šalia |w| wq = 0. Jei funkcija f(z) analitika pramuštoje kaimynystėje R z Zq = oc, tada funkcija G(w) = f(l/w) bus analitinis geltonojoje kaimynystėje 0 wo = 0. Kadangi už 2 -> oo bus w-> 0, tada
Taigi G(w) turi taške wq = 0 yra to paties tipo kaip ir singuliarumas f(z) taške Zq = 00. Išplėskime funkciją G(w) Laurento serijoje taško wo = 0 pradūrtoje kaimynystėje:
Dešinėje (26.5) pusėje esančios sumos atitinkamai parodo teisingą ir pagrindinę išplėtimo dalis. Pereikime prie kintamojo z, pakeičiant w = 1/z: 
reiškiantis P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ "\u003d su p ir tai pastebėjęs G(l/z) = f(z), mes gauname
Skilimas (2G.G) vadinamas Funkcijos f(z) Laurent'o išplėtimas taško zq pradūrtoje kaimynystėje= oo. Pirmoji (2G.6) suma vadinama dešinioji dalis, o antroji suma yra Pagrindinė dalisšis skilimas. Kadangi šios sumos atitinka teisingą ir pagrindinę išplėtimo (26.5) dalis, tai išplėtimas (26.6) tenkina 26.2, 26.3 ir 26.6 teoremų analogus. Taigi sekanti teorema yra 26.2 teoremos analogas.
26.10 teorema. Izoliuotas vienaskaitos taškasZq - os (funkcijos/(G) yra pašalinamas tada ir tik tada, jei Laurent išplėtimas pradurtoje šio taško kaimynystėje turi formą
t.s. susideda tik iš teisingos dalies.
Mes įdedame / (oo) = co. Funkcija, apibrėžta kaimynystėje susiliejančios eilutės (26.7). z > R taškai 2o \u003d oc, vadinami analitinis taške z o = oo. (Atkreipkite dėmesį, kad šis apibrėžimas atitinka funkcijos analitiškumą G(w) taške va = 0.)
26.11 pavyzdys. Ištirkite funkcijos vienaskaitos tašką zq = oo
Kadangi riba yra baigtinė, tada zo = oo yra nuimamas funkcijos f(r) vienaskaitos taškas. Jei įdėtume /(oo) = lim J(z)= 0, tada f(z) taps
tik taške Zo= os. Parodykime, kaip rasti atitinkamą plėtinį (26.7). Pereikime prie kintamojo w = 1 fz. Pakeičiant z= 1 /?e, gauname
(paskutinė lygybė galioja taško ww = 0 punkcinėje kaimynystėje, bet apibrėžimą išplėsime (7(0) = 0). Gauta funkcija turi vienaskaitos taškus) w =± aš, w =-1/3, ir taške Wq = 0 yra analitinė. Išsiplečianti funkcija G(w) pagal laipsnius w(kaip buvo padaryta 25.7 pavyzdyje) ir pakeičiant į gautas galių eilutes w = 1/z galima gauti funkcijos išplėtimą (26.7). f(z).
26.3 teorema atvejui zo= oo bus perrašyta tokia forma.
26.12 teorema. Izoliuotas vienaskaitos taškas eiti = oc funkcija f(z) yra polius tada ir tik tada, kai pagrindinė Laurent'o plėtimosi dalis (26.6) turi tik baigtinį skaičių nenulinių koeficientų Su":
Čia serija yra įprasta dalis, o daugianario skliausteliuose yra pagrindinė išplėtimo dalis. Ašigalio daugyba oc yra apibrėžiama kaip poliaus daugialypė wq = 0 funkcijų G(z). Nesunku pastebėti, kad ašigalio daugyba sutampa su skaičiumi Nį (26.8).
Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2
Užduotis. Parodykite, kad funkcija f(z) =-- -- turi
tašką zo = oo eilės tvarka 3.
26.6 teorema apie esminį vienaskaitos tašką perrašoma atvejui zo= os beveik pažodžiui, ir mes prie to nesiginame.
Taylor serijos yra veiksminga priemonė tiriant funkcijas, kurios yra analitinės apskritime zol. Norint ištirti funkcijas, kurios yra analitinės žiedinėje srityje, paaiškėja, kad galima sukurti teigiamų ir neigiamų galių (z - zq) plėtinius. forma, apibendrinančia Teiloro plėtinius. Serija (1), suprantama kaip dviejų serijų suma, vadinama Laurent serija. Akivaizdu, kad (1) eilučių konvergencijos sritis yra kiekvienos (2) eilutės konvergencijos sričių bendroji dalis. Suraskime ją. Pirmosios eilutės konvergencijos sritis yra apskritimas, kurio spindulys nustatomas pagal Cauchy-Hadamard formulę. Konvergencijos apskritimo viduje serija (3) susilieja į analitinę funkciją ir bet kuriame mažesnio spindulio apskritime absoliučiai suartėja. ir vienodai. Antroji serija yra laipsnio eilutė kintamojo atžvilgiu. Eilutė (5) savo konvergencijos apskritime konverguoja į kompleksinio kintamojo m-*oo analitinę funkciją ir bet kuriame mažesnio spindulio apskritime konverguoja absoliučiai ir tolygiai, o tai reiškia, kad serijos (4) konvergencijos sritis yra apskritimo išvaizda - Jei tada yra bendra (3) ir (4) eilučių konvergencijos sritis - apskritas žiedas, kuriame serija (1) susilieja su analitine funkcija. Be to, bet kuriame žiede jis susilieja absoliučiai ir vienodai. 1 pavyzdys. Nustatykite rad Laurent serijos konvergencijos sritį. Atskirti vienareikšmiai taškai ir jų klasifikacija (z), kuri yra vienareikšmė ir apolitiška apskritimo žiede, šiame žiede gali būti pavaizduota kaip konvergencinės eilutės, kurios koeficientai Cn yra vienareikšmiškai nustatomi ir apskaičiuojami pagal formules, kur 7p yra apskritimas, kurio spindulys yra m. Nustatykime savavališką tašką z žiedo R viduje Konstruojame apskritimus, kurių centrai yra taške r, kurių spinduliai tenkina nelygybes ir svarstome naują žiedą.. Pagal Koši integralo teoremą daugybinei sričiai, turime Transformuokime kiekvieną sumos (8) integralą atskirai. Visiems taškams £ išilgai apskritimo 7d* yra patenkinamas tolygiai konvergencinės eilutės 1 1 sumos santykis. Todėl trupmeną ^ galima pavaizduoti vi- /" / Kiek kitaip, visuose taškuose ξ ant apskritimas ir> turime ryšį Todėl trupmeną ^ galima pavaizduoti kaip tolygiai susiliejančių eilučių sumą formulėse (10) ir (12) yra analitinės funkcijos apskritimo žiede. Todėl pagal Koši teoremą atitinkamų integralų reikšmės nesikeičia, jei apskritimai 7/r ir 7r/ pakeičiami bet kokiu apskritimu. Tai leidžia sujungti formules (10) ir (12). Dešinėje formulės (8) pusėje esančius integralus pakeitę atitinkamai jų išraiškomis (9) ir (11), gauname norimą išplėtimą. Kadangi z yra savavališkas žiedo taške, seka ( 14) suartėja su funkcija f(z) visur šiame žiede, o bet kuriame žiede serija absoliučiai ir vienodai konverguoja į šią funkciją. Dabar įrodykime, kad formos (6) skaidymas yra unikalus. Tarkime, kad vyksta dar vienas skilimas. Tada visur žiedo R viduje turime Ant apskritimo serijos (15) susilieja tolygiai. Padauginkite abi lygybės puses (kur m yra fiksuotas sveikasis skaičius ir integruokite abi eilutes po termino. Dėl to gauname kairę pusę, o dešinėje - Csh. Taigi, (4, \u003d St. Kadangi m yra savavališkas skaičius, tai paskutinė lygybių eilutė (6), kurios koeficientai apskaičiuojami pagal (7) formules, vadinama funkcijos f(z) Laurent'o eilute žiede 7) Laurent'o eilutės koeficientams. praktikoje naudojami retai, nes, kaip taisyklė, reikalauja sudėtingų skaičiavimų.Paprastai, jei įmanoma, naudojami jau paruošti Teiloro elementariųjų funkcijų išplėtimai.Remiantis išplėtimo unikalumu, bet koks teisėtas metodas veda prie to paties rezultato. 2 pavyzdys Apsvarstykite skirtingų sričių funkcijų Laurent serijos išplėtimus, darant prielaidą, kad Fuiscius /(r) turi du vienaskaitos taškus: Todėl yra trys žiedo domenai. ir, centruotas taške r = 0. kurių kiekvienoje funkcija f(r) yra analitinė: a) apskritimas yra apskritimo išorė (27 pav.). Raskime funkcijos /(z) Laurent plėtinius kiekviename iš šių regionų. Atvaizduojame /(z) kaip elementariųjų trupmenų sumą a) Apskritimo transformacijos sąryšį (16) taip Naudodami geometrinės progresijos narių sumos formulę, gauname b) Funkcijos -z žiedas šiame žiede išlieka konvergentinis, nes funkcijos j^j serija (19) |z| > 1 skiriasi. Todėl funkciją /(z) transformuojame taip: taikydami formulę (19) dar kartą gauname, kad This series konverguoja už. Išplėtimus (18) ir (21) pakeitę į santykį (20), gauname c) funkcijos -z apskritimo išorę su |z| > 2 skiriasi, o funkcijos serija (21) Pavaizduokime funkciją /(z) tokia forma: /<*> Naudodami (18) ir (19) formules gauname ARBA 1 Šis pavyzdys rodo, kad tai pačiai funkcijai f(z) Laurent'o plėtinys, paprastai tariant, turi skirtingą formą skirtingiems žiedams. 3 pavyzdys. Raskite funkcijos Laurent serijos 8 Laurent serijos išskaidymą Išskirti vienaskaitos taškai ir jų klasifikacija žiedinėje srityje A Mes naudojame funkcijos f (z) atvaizdavimą tokia forma: ir transformuojame antrąjį narį Naudojant geometrinės progresijos narių sumos formulę, gauname Pakeitę rastas išraiškas į formulę (22), turime 4 pavyzdį. Išplėskite funkciją Laurent'o eilutėje plonos zq = 0 kaimynystėje. , turime Tegul Šis išplėtimas galioja bet kuriam taškui z Ф 0. Šiuo atveju žiedinė sritis yra visa kompleksinė plokštuma su vienu išmestu tašku z - 0. Ši sritis gali būti apibrėžta tokiu ryšiu: Ši funkcija yra analitinė. srityje Iš formulių (13) Laurent'o eilutės koeficientams, remiantis tuo pačiu argumentu, kaip ir ankstesnėje pastraipoje, galima gauti Kouiw nelygybes. jei funkcija f(z) yra apribota apskritimu, kur M yra konstanta), tada izoliuoti vienaskaitos taškai Taškas zo vadinamas funkcijos f(z) izoliuotu vienaskaitos tašku, jei taško ( () yra žiedinė kaimynystė ši aibė kartais dar vadinama taško 2o punkcija kaimynyste, kur funkcija f(z) yra vienareikšmė ir analitinė. Pačiame taške zo funkcija arba neapibrėžta, arba nėra vienareikšmė ir analitinė. Priklausomai nuo funkcijos /(z) elgsenos artėjant prie taško zo, išskiriami trys vienaskaitos taškų tipai. Sakoma, kad izoliuotas vienaskaitos taškas yra: 1) pašalinamas, jei yra baigtinis 2) pmusach, jei 3) iš esmės vienaskaitos taškas, jei funkcijai f(z) nėra ribos. 16 teorema. Funkcijos f(z) izoliuotas vienaskaitos taškas z0 yra pašalinamas vienaskaitos taškas tada ir tik tada, kai funkcijos f(z) Laurent'o plėtinyje taško zo kaimynystėje nėra pagrindinės dalies, ty. turi formą Let zo – nuimamas vienaskaitos taškas. Tada egzistuoja baigtinis, taigi funkcija f(z) yra apribota prokologinėje taško r kaimynystėje. Nustatome pagal Koši nelygybes Kadangi ρ galima pasirinkti tiek mažą, kiek norime, tada visos koeficientai esant neigiamoms laipsnėms (z - 20) yra lygūs nuliui: Ir atvirkščiai, tegul Laurent'o funkcijos /(r) išplėtimas taško zq kaimynystėje turi tik teisingą dalį, ty jos formą (23) ir todėl yra Teiloras. Nesunku pastebėti, kad z -* z0 funkcija /(r) turi ribinę reikšmę: 17 teorema. Funkcijos f(z) izoliuotas vienaskaitos taškas zq yra pašalinamas tada ir tik tada, kai funkcija J(z) yra ribojasi tam tikroje pradurtoje taško zq kaimynystėje, Zgmechai ne. Tegul r0 yra nuimamas f(r) vienaskaitos taškas. Darant prielaidą, kad funkcija f(r) yra analitinė tam tikrame apskritime, kurio centras yra taške th. Taip apibrėžiamas taško pavadinimas – vienkartinis. 18 teorema. Funkcijos f(z) izoliuotas vienaskaitos taškas zq yra polius tada ir tik tada, kai pagrindinėje funkcijos f(z) Laurent'o išplėtimo dalyje taško kaimynystėje yra baigtinis (ir teigiamas) skaičius. nulinių terminų, ty turi formą 4 Tegul z0 yra polius. Nuo tada egzistuoja taško z0 pradurta kaimynystė, kurioje funkcija f(z) yra analitinė ir nulinė. Tada šioje kaimynystėje apibrėžiama analitinė funkcija, taigi taškas zq yra nuimamas funkcijos vienaskaitos taškas (nulis) arba kur h(z) yra analitinė funkcija, h(z0) ∩ 0. yra analitinė kaimynystėje. taško zq, taigi, iš kur gauname, kad Tarkime, kad funkcija f(z) turi formos (24) skaidymą taško zo punkcinėje kaimynystėje. Tai reiškia, kad šioje kaimynystėje funkcija f(z) yra analitinė kartu su funkcija. Funkcijos g(z) plėtinys galioja iš kurio aišku, kad zq yra nuimamas funkcijos g(z) vienaskaitos taškas ir egzistuoja Tada funkcija linkusi ties 0 - funkcijos polius Yra dar vienas paprastas faktas. Taškas Zq yra funkcijos f(z) polius tada ir tik tada, jei funkcija g(z) = y gali būti išplėsta iki analitinės funkcijos, esančios taško zq kaimynystėje, nustatant g(z0) = 0. funkcijos f(z) poliaus yra vadinama funkcijos jfa nuline eile. 16 ir 18 teoremos reiškia tokį teiginį. 19 teorema. Izoliuotas vienaskaitos plonas iš esmės yra vienaskaita tada ir tik tada, kai pagrindinėje Laurento plėtimo dalyje šio taško pradūrtoje kaimynystėje yra be galo daug nulinių dalių. 5 pavyzdys. Funkcijos vienaskaitos taškas yra zo = 0. Turime Laurent'o seriją Išskirti vienaskaitos taškai ir jų klasifikacija Todėl zo = 0 yra pašalinamas vienaskaitos taškas. Funkcijos /(z) išplėtimas Laurento serijoje netoli nulinio taško turi tik teisingą dalį:7 pavyzdys. f(z) = Funkcijos f(z) vienaskaitos taškas yra zq = 0. Apsvarstykite šios funkcijos elgseną tikrosioje ir įsivaizduojamoje ašyse: realiojoje ašyje x 0, menamojoje ašyje Todėl nei baigtinė, nei menama ašis begalinės ribos f(z) ties z -* 0 neegzistuoja. Vadinasi, taškas r0 = 0 iš esmės yra funkcijos f(z) vienaskaitos taškas. Raskime funkcijos f(z) Laurent'o plėtinį nulinio taško kaimynystėje. Bet kuriam kompleksui C, kurį mes nustatėme. Tada Laurento plėtinyje yra begalinis skaičius narių, kurių neigiamos galios yra z.
Apibrėžimas. Funkcijos vienaskaitos taškas vadinamas izoliuotas, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje yra analitinė funkcija (ty analitinė žiede).
Funkcijos izoliuotų vienaskaitos taškų klasifikacija yra susijusi su šios funkcijos elgesiu vienaskaitos taško kaimynystėje.
Apibrėžimas. Taškas vadinamas vienkartiniai funkcijos vienaskaitos taškas, jei yra baigtinė šios funkcijos riba ties .
5 pavyzdys Parodykite, kad funkcija taške turi pašalinamą išskirtinumą.
Sprendimas. Prisimindami pirmąją pastebimą ribą, apskaičiuojame
Tai reiškia, kad duota funkcija taške turi pašalinamą išskirtinumą.
4 užduotis. Parodykite, kad taškas yra nuimamas .
Apibrėžimas. Taškas vadinamas stulpas funkcija , jei ši funkcija neribotai didėja , tai yra .
Atkreipkime dėmesį į ryšį tarp analitinės funkcijos nulio ir poliaus sąvokų. Pavaizduokime funkciją kaip .
Jei taškas yra paprastas funkcijos nulis, tai funkcija turi paprastą polių
Jei funkcijos taškas yra nulis, tai funkcijai jis yra polius įsakymas.
6 pavyzdys Parodykite, kad funkcija taške turi trečios eilės polių.
Sprendimas. Darant prielaidą, mes gauname. Kaip mes linkę į nulį, pagal bet kurį dėsnį, mes turime . Tada , o kartu ir pati funkcija neribotai didėja. Todėl , Tai yra, vienaskaitos taškas yra polius. Funkcijai šis taškas akivaizdžiai yra trigubas nulis. Vadinasi, šiai funkcijai taškas yra trečios eilės polius.
5 užduotis. Parodykite, kad taškas turi paprastą polių.
Apibrėžimas. Taškas vadinamas iš esmės ypatingas funkcijos taškas, jei šiame taške nėra nei baigtinės, nei begalinės funkcijos ribos (funkcijos elgsena neapibrėžta).
Leisti būti esminis vienaskaitos taškas funkcija . Tada bet kuriam iš anksto priskirtam kompleksiniam skaičiui yra tokia taškų seka, susiliejanti su , pagal kurią reikšmės linkusios : ( Sochockio teorema).
7 pavyzdys Parodykite, kad funkcija taške turi esminį singuliarumą.
Sprendimas. Apsvarstykite tam tikros funkcijos elgesį taško kaimynystėje. Nes išilgai teigiamos tikrosios ašies dalies (ty ) turime ir ; jei išilgai neigiamos tikrosios ašies dalies (t. y.), tada ir . Taigi nėra jokių apribojimų. Pagal apibrėžimą funkcija taške turi esminį singuliarumą.
Panagrinėkime funkcijos elgseną ties nuliu Sochockio teoremos požiūriu. Leisti būti bet koks kompleksinis skaičius, išskyrus nulį ir begalybę.
Iš lygybės randame . Darant prielaidą, kad gauname taškų seką , . Akivaizdu,. Kiekviename šios sekos taške funkcija yra lygi , taigi
6 užduotis. Parodykite, kad funkcija taške turi esminį singuliarumą.
Taškas begalybėje visada laikomas ypatingu funkcijai. Taškas vadinamas izoliuotu funkcijos vienaskaitos tašku, jei ši funkcija neturi kitų vienaskaitos taškų už apskritimo, kurio centras yra pradinėje vietoje.
Atskirų vienaskaitos taškų klasifikacija taip pat gali būti išplėsta į atvejį.
8 pavyzdys Parodykite, kad funkcija turi dvigubą polių begalybėje.
Sprendimas. Apsvarstykite funkciją , kur yra analitinė funkcija taško kaimynystėje ir . Tai reiškia, kad funkcija turi dvigubą nulį begalybėje, bet tada funkcijos taškas yra dvigubas polius.
9 pavyzdys Parodykite, kad funkcija turi esminį singuliarumą begalybėje.
Sprendimas. Panaši problema nagrinėjama pr.7. Apsvarstykite funkcijos elgesį be galo tolimo taško kaimynystėje. Išilgai teigiamos tikrosios ašies dalies ir išilgai neigiamos tikrosios ašies dalies. Tai reiškia, kad taške funkcijos ribos nėra ir, remiantis apibrėžimu, šis taškas iš esmės yra vienaskaita.
Apie funkcijos singuliarumo pobūdį taške galima spręsti iš Pagrindinė dalis Laurent plėtra šio taško kaimynystėje.
1 teorema. Kad esmė būtų vienkartiniai funkcijos vienaskaitos taškas , būtina ir pakanka, kad atitinkama Laurent plėtra nebuvo pagrindinės dalies.
6 užduotis. Naudodami funkcijos Teiloro išplėtimą taško kaimynystėje, parodykite, kad jis turi pašalinamąjį singuliarumą esant nuliui.
2 teorema. Kad esmė būtų stulpas funkcijos , yra būtinas ir pakankamas, kad Pagrindinė dalis atitinkama Laurent plėtra buvo ribotas narių skaičius :
Didžiausio neigiamo nario skaičius lemia poliaus eiliškumą.
Šiuo atveju funkcija gali būti pavaizduota kaip
kur yra funkcija analitinė taške, , yra poliaus tvarka.
10 pavyzdys Parodykite, kad funkcija taškuose turi paprastus polius.
Sprendimas. Apsvarstykime tašką. Šalia šio taško naudojame šios funkcijos Laurent plėtinį, gautą 2 pavyzdyje:
Kadangi didžiausia (ir vienintelė) neigiama galia pagrindinėje šios išplėtimo dalyje yra lygi vienetui, taškas yra paprastas šios funkcijos polius.
Tokį rezultatą buvo galima gauti kitu būdu. Leiskite mums atstovauti formoje ir įdėti - tai funkcija, kuri yra analitinė taške ir . Vadinasi, dėl (8) ši funkcija turi paprastą polių taške.
Kitas būdas: apsvarstykite funkciją, kurios taške yra paprastas nulis. Vadinasi, šiuo metu jis turi paprastą stulpą.
Panašiai, jei funkciją įrašome formoje , kur yra funkcija, kuri yra analitinė taške ir , tada iš karto tampa aišku, kad taškas yra paprastas funkcijos polius.
7 užduotis. Parodykite, kad funkcijos taške yra 2-osios eilės polius, o taške - 4-osios eilės polius.
3 teorema. Kad esmė būtų iš esmės ypatingas funkcijos taškas , būtina ir pakanka, kad Pagrindinė dalis Laurento plėtra taško kaimynystėje buvo be galo daug narių .
11 pavyzdys. Nustatykite singuliarumo pobūdį funkcijos taške
Sprendimas.Į gerai žinomą kosinuso išplėtimą mes įdedame vietoj:
Vadinasi, Laurento plėtra taško kaimynystėje turi formą
Čia teisinga dalis yra vienas terminas. O pagrindinėje dalyje yra begalinis skaičius terminų, todėl esmė iš esmės yra vienaskaita.
8 užduotis. Parodykite, kad tam tikrame taške funkcija turi esminį singuliarumą.
Apsvarstykite tam tikrą funkciją ir užrašykite jos Laurent išplėtimą taške:
Pakeiskime, kol esmė eina į esmę. Dabar, begalybės taško kaimynystėje, turime
Belieka įvesti naują pavadinimą . Mes gauname
kur yra pagrindinė dalis ir yra taisyklinga Laurent funkcijos plėtimosi taško begalybėje dalis. Taigi, Laurent'o funkcijos plėtinyje taško kaimynystėje pagrindinė dalis yra teigiamų galių serija, o teisinga dalis yra neigiamų galių serija. Atsižvelgiant į tai
Tačiau aukščiau pateikti singuliarumo prigimties nustatymo kriterijai galioja be galo nutolusiam taškui.
12 pavyzdys. Išsiaiškinkite funkcijos singuliarumo pobūdį taške. , tada tam tikru momentu gali pasirodyti, kad jis nėra izoliuotas.
15 pavyzdys Funkcija be galo nutolusiame taške turi esminį singuliarumą. Parodykite, kad funkcijos taškas nėra izoliuotas vienaskaitos taškas.
Sprendimas. Funkcija turi begalinį skaičių polių ties vardiklio nuliais, tai yra taškuose , . Kadangi Tada taškas , Bet kurioje kaimynystėje yra polių , yra polių ribinis taškas.
vienaskaitos taškas matematikoje. 1) Vienaskaitos kreivės taškas, pateiktas lygtimi F ( x, y) = 0, - taškas M 0 ( x 0, y 0), kurioje abi funkcijos F () dalinės išvestinės x, y) išnykti: Be to, ne visos antrosios funkcijos F () dalinės išvestinės x, y) taške M 0 yra lygūs nuliui, tada O. t. vadinama dviguba. Jeigu kartu su pirmųjų išvestinių nykimu taške M 0 išnyksta ir visos antrosios išvestinės, bet ne visos trečiosios išvestinės yra lygios nuliui, tai O. t. vadinama triguba ir pan. Tiriant kreivės struktūrą prie dvigubo O. t., svarbų vaidmenį atlieka išraiškos ženklas Jei Δ > 0, tai O. t. vadinama izoliuota; pavyzdžiui, kreivė y 2 - x 4 + 4x 2= 0 kilmė yra izoliuota O. t. (žr ryžių. vienas
). Jei Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - 4= 0 koordinačių pradžia yra mazgas O. t. (žr ryžių. 2
). Jei Δ = 0, tada O. t kreivė yra izoliuota arba apibūdinama tuo, kad skirtingos kreivės atšakos šiame taške turi bendrą liestinę, pavyzdžiui: liestinė ir sudaro tašką, kaip kreivę y 2 - 3= 0 (žr ryžių. 3
, a); b) 2-osios rūšies smaigalys - skirtingos kreivės atšakos yra toje pačioje bendrosios liestinės pusėje, kaip kreivė
(y – x 2)2–5= 0 (žr ryžių. 3
, b); c) savaiminio sąlyčio taškas (kreivei y 2 - 4= 0 kilmė yra savaiminio kontakto taškas; (cm. ryžių. 3
, v). Kartu su nurodytais O. t. yra daug kitų specialių pavadinimų O. t.; Pavyzdžiui, asimptotinis taškas yra spiralės su begaliniu posūkių skaičiumi viršūnė (žr. ryžių. 4
), lūžio taškas, kampinis taškas ir kt. 2) Diferencialinės lygties vienaskaitos taškas yra taškas, kuriame vienu metu išnyksta ir diferencialinės lygties dešinės pusės skaitiklis, ir vardiklis (žr. Diferencialinės lygtys) kur P ir Q yra nuolat diferencijuojamos funkcijos. Darant prielaidą, kad O. t. yra koordinačių pradžioje ir naudojant Teiloro formulę (žr. Teiloro formulę), (1) lygtį galime pavaizduoti formoje kur P 1 ( x, y) ir Q 1 ( x, y) yra be galo maži Būtent, jei λ 1 ≠ λ 2 ir λ 1 λ 2 > 0 arba λ 1 = λ 2, tai O.t. yra mazgas; į jį patenka visos integralinės kreivės, einančios per pakankamai mažos mazgo kaimynystės taškus. Jei λ 1 ≠ λ 2 ir λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 ir β ≠ 0, tai O.t yra židinys; visos integralios kreivės, einančios per taškus pakankamai mažoje židinio kaimynystėje, yra spiralės su begaliniu posūkių skaičiumi bet kurioje savavališkai mažoje židinio apylinkėje. Jei galiausiai λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, tada O. t. pobūdis nėra nulemtas tiesiniais P plėtimų terminais ( x, y) ir Q ( x, y), kaip buvo visais aukščiau nurodytais atvejais; čia O. t. gali būti židinys arba centras, arba jis gali turėti sudėtingesnį pobūdį. Centro kaimynystėje visos integralinės kreivės yra uždaros ir jų viduje yra centras. Taigi, pavyzdžiui, taškas (0, 0) yra lygčių mazgas adresu" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; žr ryžių. 5
, a) ir y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; žr ryžių. 5
, b), lygties balnas y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. ryžių. 6
), lygties židinys y" =(x + y) /
(x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. ryžių. 7
) ir lygties centras y" = -x / y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. ryžių. aštuoni
). Jei x, y) ir Q ( x, y) yra analitinės, aukštesnio laipsnio O. t kaimynystę galima suskirstyti į sritis: D 1 - užpildyta integralinėmis kreivėmis, kurių abu galai įtraukti į O. t. (elipsines sritis), D 2 - užpildyti su integralinėmis kreivėmis, kurių vienas galas įtrauktas į O. t. (parabolinės sritys), o D 3 - sritys, apribotos dviejų integralinių kreivių, įtrauktų į O. t., tarp kurių yra hiperbolių tipo integralinės kreivės (hiperbolinės sritys) (žr. ryžių. 9
). Jei į O tašką įeinančių integralinių kreivių nėra, tai O taškas vadinamas stabilaus tipo tašku. Stabilios O. t. kaimynystę sudaro uždaros vientisos kreivės, kurių viduje yra O. t., tarp kurių yra spiralės (žr. ryžių. 10
). O. t. diferencialinių lygčių tyrimas, tai yra, iš esmės, integralinių kreivių šeimų elgsenos tyrimas O. t. M. Lyapunov a, A. Poincaré ir kt.). 3) Vienvertės analitinės funkcijos vienaskaitos taškas yra taškas, kuriame pažeidžiamas funkcijos analitiškumas (žr. Analitinės funkcijos). Jeigu yra kaimynystė O. t. a, laisvas nuo kitų O. t., tada taškas a vadinamas izoliuotu O. t.. Jei a yra izoliuotas O.T. ir egzistuoja baigtinis O.T. vadinamas nuimamu O.T. Tinkamai pakeitus funkcijos apibrėžimą taške a (arba iš naujo apibrėžiant jį šiame taške, jei funkcija jame iš viso neapibrėžta), būtent, nustatant f(a)= b, tai įmanoma pasiekti a taps įprastu pataisytos funkcijos tašku. Pavyzdžiui, taškas z= 0 yra nuimamas funkcijos f 1 ( z) = f(z), jei z≠ 0 ir f 1(0),=1, taškas z= 0 yra įprastas taškas [ f 1 (z) taške yra analitinis z= 0]. Jeigu a- izoliuotas O. t. ir a vadinamas poliu arba neesminiu funkcijos tašku f(z), jei Laurent serija) veikia f(z) izoliuotos O. t kaimynystėje neturi neigiamų galių z - a, jei a- nuimamas O. t., turi baigtinį skaičių neigiamų galių z - a, jei a- stulpas (šiuo atveju stulpo tvarka R apibrėžiamas kaip didžiausia galia a – iš esmės vienaskaitos taškas. Pavyzdžiui, dėl funkcijos taškas z= 0 yra eilės polius R, funkcijai taškas z= 0 yra esminis vienaskaitos taškas. Ant laipsnių eilutės konvergencijos apskritimo ribos turi būti bent vienas O. t. funkcijos, kuri šiame apskritime vaizduojama duota laipsnių eilute. Visi vienareikšmės analitinės funkcijos (natūralios ribos) egzistavimo srities ribiniai taškai yra šios funkcijos ribiniai taškai. Taigi visi vienetinio apskritimo taškai | z| = 1 yra specifiniai funkcijai Kelių reikšmių analitinei funkcijai sąvoka „O. T." sunkiau. Be O. t., atskiruose funkcijos Riemann paviršiaus lapuose (tai yra vienareikšmių analitinių elementų O. t.), bet kuris šakos taškas taip pat yra funkcijos O. t. Izoliuoti Riemann paviršiaus šakos taškai (t. y. šakos taškai, kurių kai kuriose jų apylinkėse jokiame lape nėra kitų O.t. funkcijų) klasifikuojami taip. Jei a yra izoliuotas baigtinės eilės šakos taškas ir egzistuoja baigtinis a, jis vadinamas kritiniu poliumi. Jeigu a yra begalinės eilės izoliuotas šakos taškas, o a vadinamas transcendentiniu O. t. Visi kiti izoliuoti šakos taškai vadinami kritiniais iš esmės vienaskaitiniais taškais. Pavyzdžiai: taškas z= 0 yra įprastas kritinis funkcijos f ( z) = žurnalas z ir kritinis esminis funkcijos vienaskaitos taškas f (z) = nuodėmės žurnalas z. Bet koks O. t., išskyrus nuimamą, yra kliūtis analitiniam tęstinumui, t. Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.
1969-1978
.
p = 2, 3, …)
Pažiūrėkite, kas yra „specialusis taškas“ kituose žodynuose:
Taškai čia. Taip pat žr. vienaskaitos tašką (diferencialinės lygtys). Matematikos ypatybė arba singuliarumas yra taškas, kuriame matematinis objektas (dažniausiai funkcija) nėra apibrėžtas arba veikia netaisyklingai (pavyzdžiui, taškas, kuriame ... ... Vikipedija
Analitinė funkcija yra taškas, kuriame pažeidžiamos analitiškumo sąlygos. Jei analitinė funkcija f(z) visur apibrėžta kažkurioje taško z0 kaimynystėje… Fizinė enciklopedija
Analitinė funkcija yra taškas, kuriame pažeidžiamas funkcijos analitiškumas ... Didysis enciklopedinis žodynas
vienaskaitos taškas- - [Ja.N. Luginskis, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirovas. Anglų rusų k. Elektros inžinerijos ir energetikos žodynas, Maskva, 1999] Elektros inžinerijos temos, pagrindinės sąvokos LT vienaskaita ... Techninis vertėjo vadovas
1) Analitinės funkcijos f(z) OT yra kliūtis kompleksinio kintamojo z funkcijos f(z) elemento analitiniam tęsimui tam tikru keliu šio kintamojo plokštumoje. Tegul analitinė funkcija f(z) yra apibrėžta kai kuriais ... ... Matematinė enciklopedija
Analitinė funkcija, taškas, kuriame pažeidžiamas funkcijos analitiškumas. * * * SINGULAR POINT Analitinės funkcijos vienaskaitos TAŠKAS, taškas, kuriame pažeidžiamas funkcijos analitiškumas... enciklopedinis žodynas
vienaskaitos taškas- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. vienaskaitos taškas vok. vienaskaita Punkt, m rus. vienaskaitos taškas, fpranc. taškinė dalelė, m; point singulier, m … Automatikos terminalų žodynas
