Koordinačių sistemų transformacija plokštumoje. Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos transformacija plokštumoje. I. Privalovas "Analitinė geometrija"

Tegul plokštumoje pateikiamos dvi savavališkos Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos. Pirmasis nustatomas pagal O pradžią ir bazinius vektorius i j , antrasis – centras APIE' ir baziniai vektoriai i ’ j ’ .

Iškelkime tikslą išreikšti kokio nors taško M x y koordinates, palyginti su pirmąja koordinačių sistema per x’ Ir y’ – to paties taško koordinatės antrosios sistemos atžvilgiu.

pastebėti, kad

Taško O’ koordinates pirmosios sistemos atžvilgiu pažymėkime a ir b:

Išplėskime vektorius i ’ Ir j ’ pagal pagrindą i j :

(*)

Be to, mes turime:
. Čia pristatysime vektorių išplėtimą pagrindo atžvilgiu i ’ j ’ :

iš čia

Galime daryti išvadą: kad ir kokios būtų dvi savavališkos Dekarto sistemos plokštumoje, bet kurio plokštumos taško koordinatės pirmosios sistemos atžvilgiu yra tiesinės to paties taško koordinačių funkcijos antrosios sistemos atžvilgiu.

Pirmiausia padauginkime lygtis (*) skaliariai iš i , tada įjunkite j :

APIE žymimas  kampas tarp vektorių i Ir i ’ . Koordinačių sistema i j gali būti derinamas su sistema i ’ j ’ lygiagrečiai perkeliant ir paskesniu pasukimu kampu . Bet čia galimas ir lanko variantas: kampas tarp bazinių vektorių i i ’ taip pat , ir kampas tarp bazinių vektorių j ’ j ’ lygus  - . Šios sistemos negali būti derinamos su lygiagrečiu vertimu ir sukimu. Taip pat būtina pakeisti ašies kryptį adresuį priešingą.

Iš (**) formulės pirmuoju atveju gauname:

Antruoju atveju

Konversijos formulės yra šios:

Antrojo atvejo nenagrinėsime. Sutikime, kad abi sistemos yra teisingos.

Tie. Išvada: kad ir kokios būtų dvi dešiniosios koordinačių sistemos, pirmąją iš jų galima sujungti su antrąja lygiagrečiai perkeliant ir vėliau pasukus aplink pradžią tam tikru kampu .

Lygiagretaus perdavimo formulės:

Ašių sukimosi formulės:

Atvirkštinės konversijos:

Dekarto stačiakampių koordinačių transformacija erdvėje.

Erdvėje, samprotaudami panašiai, galime rašyti:

(***)

O koordinates gaukite:

(****)

Taigi, kad ir kokios būtų dvi savavališkos koordinačių sistemos erdvėje, kurio nors taško x y z koordinatės, palyginti su pirmąja sistema, yra tiesinės koordinačių funkcijos. x’ y’ z’ tas pats taškas, palyginti su antrąja koordinačių sistema.

Padauginus kiekvieną lygybę (***) skaliariai iš i ’ j ’ k ’ mes gauname:

IN Išaiškinkime transformacijos formulių (****) geometrinę reikšmę. Norėdami tai padaryti, manykite, kad abiejų sistemų pradžia yra bendra: a = b = c = 0 .

Įveskime į tris kampus, kurie visiškai apibūdina antrosios sistemos ašių vietą pirmosios atžvilgiu.

Pirmąjį kampą sudaro x ašis ir u ašis, kurios yra xOy ir x'Oy plokštumų sankirta. Kampo kryptis yra trumpiausias posūkis nuo x iki y ašies. Kampą pažymėkime . Antrasis kampas  yra kampas, neviršijantis  tarp Ozo ir Ozo ašių. Galiausiai, trečiasis kampas  yra kampas tarp u ašies ir Ox’, matuojamas nuo u ašies trumpiausio posūkio nuo Ox’ iki Oy’ kryptimi. Šie kampai vadinami Eulerio kampais.

Pirmosios sistemos transformacija į antrąją gali būti pavaizduota kaip trijų sukimų paeiliui: kampu  Ozo ašies atžvilgiu; kampu  Ox ašies atžvilgiu; ir kampu  Ozo ašies atžvilgiu.

Skaičiai  ij gali būti išreikšti Eilerio kampais. Šių formulių nerašysime, nes jos sudėtingos.

Pati transformacija yra lygiagrečios transliacijos ir trijų nuoseklių sukimų per Eulerio kampus superpozicija.

Visi šie argumentai gali būti naudojami tuo atveju, kai abi sistemos yra kairiosios arba turi skirtingą orientaciją.

Jei turime dvi savavališkas sistemas, tada paprastai jas galime sujungti lygiagrečiu vertimu ir vienu sukimu erdvėje aplink tam tikrą ašį. Mes jos neieškosime.

1) Perėjimas iš vienos Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje į kitą Dekarto stačiakampę sistemą su ta pačia orientacija ir ta pačia pradžia.

Tarkime, kad plokštumoje įvestos dvi Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos xOy ir su bendra kilme APIE, turintis tą pačią orientaciją (145 pav.). Pažymime ašių vienetinius vektorius Oi Ir OU atitinkamai per ir , ir ašių vienetų vektoriai ir per ir . Galiausiai, tegul yra kampas nuo ašies Oi prie ašies. Leisti X Ir adresu– savavališko taško koordinatės M sistemoje xOy, ir ir yra to paties taško koordinatės M sistemoje.

Kadangi kampas nuo ašies Oiį vektorių yra lygus , tada vektoriaus koordinatės

Kampas nuo ašies Oiį vektorių yra lygus ; todėl vektoriaus koordinatės lygios.

Formulės (3) § 97 yra tokios formos

Perėjimo matrica iš vieno Dekarto xOy stačiakampė koordinačių sistema į kitą stačiakampę sistemą su ta pačia orientacija turi formą

Matrica vadinama stačiakampe, jei kiekviename stulpelyje esančių elementų kvadratų suma lygi 1, o skirtingų stulpelių atitinkamų elementų sandaugų suma lygi nuliui, t.y. Jeigu

Taigi perėjimo matrica (2) iš vienos stačiakampės koordinačių sistemos į kitą stačiakampę sistemą su ta pačia orientacija yra stačiakampė. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad šios matricos determinantas yra +1:

Ir atvirkščiai, jei pateikiama stačiakampė matrica (3), kurios determinantas lygus +1, ir plokštumoje įvesta Dekarto stačiakampių koordinačių sistema xOy, tada dėl santykių (4) vektoriai yra ir vienetiniai, ir vienas kitam statmeni, todėl vektoriaus koordinatės sistemoje xOy yra lygūs ir , Kur yra kampas nuo vektoriaus iki vektoriaus, ir kadangi vektorius yra vienetas ir mes gauname iš vektoriaus sukdami pagal , Tada arba , arba .

Antroji galimybė yra atmesta, nes jei mes turėjome , tada mums duota, kad .

Tai reiškia , ir matricą A atrodo kaip

tie. yra perėjimo matrica iš vienos stačiakampės koordinačių sistemos xOyį kitą stačiakampę sistemą, kurios orientacija yra tokia pati, o kampas .

2. Perėjimas iš vienos Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje į kitą Dekarto stačiakampę sistemą su priešinga orientacija ir ta pačia pradžia.

Plokštumoje įvestos dvi Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos xOy ir su bendra kilme APIE, bet turėdami priešingą orientaciją, pažymėkime kampą nuo ašies Oiį ašį per (plokštumos orientaciją nustato sistema xOy).

Kadangi kampas nuo ašies Oi vektoriui yra lygus , tada vektoriaus koordinatės yra lygios:

Dabar kampas nuo vektoriaus iki vektoriaus lygus (146 pav.), taigi kampas nuo ašies Oi vektoriui yra lygi (pagal Chasles'o kampų teoremą), todėl vektoriaus koordinatės yra lygios:

O formulės (3) § 97 įgauna formą

Perėjimo matrica

stačiakampis, bet jo determinantas yra –1. (7)

Ir atvirkščiai, bet kuri stačiakampė matrica, kurios determinantas lygus –1, nurodo vienos stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje transformaciją į kitą stačiakampę sistemą su ta pačia pradžia, bet priešinga orientacija. Taigi, jei dvi Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos xOy ir tada turėkite bendrą pradžią

Kur X, adresu– bet kurio sistemos taško koordinates xOy; ir yra to paties sistemos taško koordinatės, ir

ortogonalioji matrica.

Atgal, jei

savavališka stačiakampė matrica, tada santykiai

išreiškia Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos transformaciją į Dekarto stačiakampę sistema tos pačios kilmės; - koordinatės sistemoje xOy vieneto vektorius, nurodantis teigiamą ašies kryptį; - koordinatės sistemoje xOy vieneto vektorius, nurodantis teigiamą ašies kryptį.

koordinačių sistemos xOy ir turi tą pačią orientaciją, o šiuo atveju – priešingą.

3. Bendras vienos Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje transformavimas į kitą stačiakampę sistemą.

Remdamiesi šios pastraipos 1) ir 2) punktais, taip pat remdamiesi § 96, darome išvadą, kad jei plokštumoje įvedamos stačiakampės koordinačių sistemos xOy ir , tada koordinates X Ir adresu savavališkas taškas M plokštumos sistemoje xOy su to paties taško koordinatėmis M sistemoje yra sujungtos ryšiais – koordinačių sistemos pradžios koordinatės sistemoje xOy.

Atkreipkite dėmesį, kad senos ir naujos koordinatės X, adresu ir , vektoriai pagal bendrą Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos transformaciją yra susieti ryšiais

jei sistemos xOy ir turėti tą pačią orientaciją bei santykius

jei šios sistemos yra priešingos orientacijos, arba forma

ortogonalioji matrica. Transformacijos (10) ir (11) vadinamos ortogoninėmis.

5 tema. Tiesinės transformacijos.

Koordinačių sistemayra metodas, leidžiantis vienareikšmiškai nustatyti taško padėtį tam tikros geometrinės figūros atžvilgiu naudojant skaičius. Pavyzdžiai apima koordinačių sistemą tiesioje linijoje – koordinačių ašį ir stačiakampes Dekarto koordinačių sistemas atitinkamai plokštumoje ir erdvėje.

Pereikime iš vienos xy koordinačių sistemos plokštumoje į kitą sistemą, t.y. Išsiaiškinkime, kaip to paties taško Dekarto koordinatės šiose dviejose sistemose yra susijusios viena su kita.

Pirmiausia pasvarstykime lygiagretus perdavimas stačiakampė Dekarto koordinačių sistema xy, t.y. atvejis, kai naujosios sistemos ašys ir yra lygiagrečios atitinkamoms senosios sistemos ašims x ir y ir jų kryptys yra vienodos.

Jeigu xy sistemoje žinomos taškų M (x; y) ir (a; b) koordinatės, tai (15 pav.) sistemoje taškas M turi koordinates: .

Tegul ρ ilgio atkarpa OM sudaro kampą su ašimi ir. Tada (16 pav.) atkarpa OM sudaro kampą su x ašimi ir taško M koordinatės xy sistemoje yra lygios , .

Atsižvelgiant į tai, kad sistemoje M taško koordinatės yra lygios ir , gauname

Sukant kampu „pagal laikrodžio rodyklę“, gauname atitinkamai:

0.54 uždavinys. Nustatykite taško M(-3; 7) koordinates naujoje koordinačių sistemoje x / y /, kurios pradžia 0 / yra taške (3; -4), o ašys lygiagrečios senosios ašims. koordinačių sistemą ir turi tokias pačias kryptis kaip ir jie.

Sprendimas. Pakeiskime žinomas taškų M ir O / koordinates į formules: x / = x-a, y / = y-b.
Gauname: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Atsakymas: M/(-6; 11).

§2. Tiesinės transformacijos samprata, jos matrica.

Jei kiekvienas aibės X elementas x pagal kokią nors taisyklę f atitinka vieną ir tik vieną aibės Y elementą y, tai sakome, kad duotoji ekranas f aibės X į aibę Y ir iškviečiama aibė X apibrėžimo sritis ekranas f . Jei konkrečiai elementas x 0 Î X atitinka elementą y 0 Î Y, tada parašykite y 0 = f (x 0). Šiuo atveju vadinamas elementas y 0 būdu elementas x 0 ir elementas x 0 - prototipas elementas 0. Vadinamas aibės Y poaibis Y 0, susidedantis iš visų vaizdų reikšmių rinkinys ekranas f.

Jei atvaizde f skirtingi aibės X elementai atitinka skirtingus aibės Y elementus, tada atvaizdavimas f vadinamas grįžtamasis.

Jei Y 0 = Y, tada atvaizdavimas f vadinamas aibės X atvaizdavimu įjungta setY.

Vadinamas apverčiamas aibės X atvaizdavimas aibėje Y vienas prieš vieną.

Ypatingi aibės atvaizdavimo į aibę sampratos atvejai yra sąvoka skaitinė funkcija ir koncepcija geometrinis žemėlapis.

Jei susiejimas f su kiekvienu aibės X elementu susieja vieną tos pačios aibės X elementą, toks susiejimas vadinamas transformacija rinkiniai X.

Tegu duota tiesinės erdvės L n n matmenų vektorių aibė.

Vadinama n-matės tiesinės erdvės L n transformacija f linijinis transformacija, jei

bet kokiems vektoriams iš L n ir bet kokiems realiesiems skaičiams α ir β. Kitaip tariant, transformacija vadinama tiesine, jei linijinis vektorių derinys virsta linijiniu jų vaizdų deriniu. su tuo pačiu koeficientai.

Jei vektorius pateiktas tam tikrame pagrinde ir transformacija f yra tiesinė, tai pagal apibrėžimą , kur yra bazinių vektorių atvaizdai.

Todėl tiesinė transformacija yra visiškai apibrėžta, jei pateikiami nagrinėjamos tiesinės erdvės bazinių vektorių vaizdai:

(12)

Matrica kurioje k-tas stulpelis yra vektoriaus koordinačių stulpelis bazėje, vadinama matrica linijinis transformacija f šiuo pagrindu.

Determinantas det L vadinamas transformacijos f determinantu, o Rg L vadinamas tiesinės transformacijos f rangu.

Jei tiesinės transformacijos matrica yra ne vienaskaita, tai ir pati transformacija yra ne vienaskaita. Jis paverčia erdvę L n vienas prieš vieną į save, t.y. kiekvienas vektorius iš L n yra jo unikalaus vektoriaus vaizdas.

Jei tiesinės transformacijos matrica yra vienaskaita, tai ir pati transformacija yra vienaskaita. Jis paverčia tiesinę erdvę L n į kokią nors jos dalį.

Teorema.Taikant vektoriui tiesinę transformaciją f su matrica L pasirodo, kad tai vektorius toks kad.

Skaičiai, parašyti skliausteliuose, yra vektoriaus koordinatės pagal pagrindą:

(13)

Pagal matricos daugybos operacijos apibrėžimą, sistema (13) gali būti pakeista matrica

lygybė , ką ir reikėjo įrodyti.

Pavyzdžiaitiesinės transformacijos.

1. Ruožas išilgai x ašies k 1 karto, o išilgai y ašies – k 2 kartus xy plokštumoje nustatomas pagal matricą ir koordinačių transformacijos formulės yra tokios formos: x / = k 1 x; y / = k 2 m.

2. Veidrodinis atspindys y ašies atžvilgiu xy plokštumoje nustatomas pagal matricą, o koordinačių transformacijos formulės yra tokios formos: x / = -x, y / = y.

Tegul plokštumoje pateikiamos dvi savavališkos Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos. Pirmasis nustatomas pagal O pradžią ir bazinius vektorius i j , antrasis – centras APIE' ir baziniai vektoriai i ’ j ’ .

Iškelkime tikslą išreikšti kokio nors taško M x y koordinates, palyginti su pirmąja koordinačių sistema per x’ Ir y’ – to paties taško koordinatės antrosios sistemos atžvilgiu.

pastebėti, kad

Taško O’ koordinates pirmosios sistemos atžvilgiu pažymėkime a ir b:

Išplėskime vektorius i ’ Ir j ’ pagal pagrindą i j :

(*)

Be to, mes turime:
. Čia pristatysime vektorių išplėtimą pagrindo atžvilgiu i ’ j ’ :

iš čia

Galime daryti išvadą: kad ir kokios būtų dvi savavališkos Dekarto sistemos plokštumoje, bet kurio plokštumos taško koordinatės pirmosios sistemos atžvilgiu yra tiesinės to paties taško koordinačių funkcijos antrosios sistemos atžvilgiu.

Pirmiausia padauginkime lygtis (*) skaliariai iš i , tada įjunkite j :

Kampą tarp vektorių pažymėkime  i Ir i ’ . Koordinačių sistema i j gali būti derinamas su sistema i ’ j ’ lygiagrečiai perkeliant ir paskesniu pasukimu kampu . Bet čia galimas ir lanko variantas: kampas tarp bazinių vektorių i i ’ taip pat , ir kampas tarp bazinių vektorių j ’ j ’ lygus  - . Šios sistemos negali būti derinamos su lygiagrečiu vertimu ir sukimu. Taip pat būtina pakeisti ašies kryptį adresuį priešingą.

Iš (**) formulės pirmuoju atveju gauname:

Antruoju atveju

Konversijos formulės yra šios:

Antrojo atvejo nenagrinėsime. Sutikime, kad abi sistemos yra teisingos.

Tie. Išvada: kad ir kokios būtų dvi dešiniosios koordinačių sistemos, pirmąją iš jų galima sujungti su antrąja lygiagrečiai perkeliant ir vėliau pasukus aplink pradžią tam tikru kampu .

Lygiagretaus perdavimo formulės:

Ašių sukimosi formulės:

Atvirkštinės konversijos:

Dekarto stačiakampių koordinačių transformacija erdvėje.

Erdvėje, samprotaudami panašiai, galime rašyti:

(***)

O koordinates gaukite:

(****)

Taigi, kad ir kokios būtų dvi savavališkos koordinačių sistemos erdvėje, kurio nors taško x y z koordinatės, palyginti su pirmąja sistema, yra tiesinės koordinačių funkcijos. x’ y’ z’ tas pats taškas, palyginti su antrąja koordinačių sistema.

Padauginus kiekvieną lygybę (***) skaliariai iš i ’ j ’ k ’ mes gauname:

IN Išaiškinkime transformacijos formulių (****) geometrinę reikšmę. Norėdami tai padaryti, manykite, kad abiejų sistemų pradžia yra bendra: a = b = c = 0 .

Įveskime į tris kampus, kurie visiškai apibūdina antrosios sistemos ašių vietą pirmosios atžvilgiu.

Pirmąjį kampą sudaro x ašis ir u ašis, kurios yra xOy ir x'Oy plokštumų sankirta. Kampo kryptis yra trumpiausias posūkis nuo x iki y ašies. Kampą pažymėkime . Antrasis kampas  yra kampas, neviršijantis  tarp Ozo ir Ozo ašių. Galiausiai, trečiasis kampas  yra kampas tarp u ašies ir Ox’, matuojamas nuo u ašies trumpiausio posūkio nuo Ox’ iki Oy’ kryptimi. Šie kampai vadinami Eulerio kampais.

Pirmosios sistemos transformacija į antrąją gali būti pavaizduota kaip trijų sukimų paeiliui: kampu  Ozo ašies atžvilgiu; kampu  Ox ašies atžvilgiu; ir kampu  Ozo ašies atžvilgiu.

Skaičiai  ij gali būti išreikšti Eilerio kampais. Šių formulių nerašysime, nes jos sudėtingos.

Pati transformacija yra lygiagrečios transliacijos ir trijų nuoseklių sukimų per Eulerio kampus superpozicija.

Visi šie argumentai gali būti naudojami tuo atveju, kai abi sistemos yra kairiosios arba turi skirtingą orientaciją.

Jei turime dvi savavališkas sistemas, tada paprastai jas galime sujungti lygiagrečiu vertimu ir vienu sukimu erdvėje aplink tam tikrą ašį. Mes jos neieškosime.

1 skyrius. Papildymas. Dekarto stačiakampių koordinačių transformacija plokštumoje ir erdvėje. Specialios koordinačių sistemos plokštumoje ir erdvėje.

Koordinačių sistemų konstravimo plokštumoje ir erdvėje taisyklės aptariamos pagrindinėje 1 skyriaus dalyje. Pažymėtas stačiakampių koordinačių sistemų naudojimo patogumas. Praktiškai naudojant analitinės geometrijos įrankius, dažnai reikia transformuoti priimtą koordinačių sistemą. Dažniausiai tai lemia patogumo sumetimai: supaprastinami geometriniai vaizdai, aiškėja skaičiavimuose naudojami analitiniai modeliai ir algebrinės išraiškos.

Specialių koordinačių sistemų: polinės, cilindrinės ir sferinės konstravimą ir panaudojimą padiktuoja geometrinė sprendžiamos problemos reikšmė. Modeliavimas naudojant specialias koordinačių sistemas dažnai palengvina analitinių modelių kūrimą ir panaudojimą sprendžiant praktines problemas.

1 skyriaus priede gauti rezultatai bus naudojami tiesinėje algebroje, dauguma jų – skaičiavimuose ir fizikoje.

Dekarto stačiakampių koordinačių transformacija plokštumoje ir erdvėje.

Svarstant koordinačių sistemos konstravimo plokštumoje ir erdvėje problemą, pastebėta, kad koordinačių sistemą sudaro viename taške susikertančios skaitinės ašys: plokštumoje reikalingos dvi ašys, erdvėje – trys. Ryšium su analitinių vektorių modelių konstravimu, vektorių veikimo skaliarinės sandaugos įvedimu ir geometrinio turinio uždavinių sprendimu, buvo parodyta, kad tinkamiausia naudoti stačiakampes koordinačių sistemas.

Jei konkrečios koordinačių sistemos transformavimo problemą nagrinėsime abstrakčiai, tai bendruoju atveju būtų galima leisti savavališką koordinačių ašių judėjimą tam tikroje erdvėje su teise savavališkai pervadinti ašis.

Pradėsime nuo pagrindinės koncepcijos atskaitos sistemos , priimtas fizikoje. Stebint kūnų judėjimą, buvo atrasta, kad izoliuoto kūno judėjimas negali būti nustatytas pats. Turite turėti dar bent vieną kūną, kurio atžvilgiu būtų stebimas judėjimas, tai yra, jo pokytis giminaitis nuostatas. Norint gauti analitinius modelius, dėsnius ir judėjimą, koordinačių sistema buvo susieta su šiuo antruoju kūnu kaip atskaitos sistema ir taip, kad koordinačių sistema būtų kietas !

Kadangi savavališkas standaus kūno judėjimas iš vieno erdvės taško į kitą gali būti pavaizduotas dviem nepriklausomais judesiais: transliaciniu ir sukamuoju, koordinačių sistemos transformavimo galimybės buvo apribotos dviem judesiais:

1). Lygiagretusis perkėlimas: vadovaujamės tik vienu tašku – tašku.

2). Koordinačių sistemos ašių sukimasis taško atžvilgiu: kaip standus kūnas.

Dekarto stačiakampių koordinačių konvertavimas plokštumoje.

Turėkime plokštumos koordinačių sistemas: , ir . Koordinačių sistema gaunama lygiagrečiai perkeliant sistemą. Koordinačių sistema gaunama pasukus sistemą kampu , o teigiama sukimosi kryptis laikoma ašies sukimu prieš laikrodžio rodyklę.

Nustatykime priimtų koordinačių sistemų bazinius vektorius. Kadangi sistema gauta lygiagrečiai perkeliant sistemą, tai abiem šioms sistemoms priimame bazinius vektorius: , ir vienetinius ir atitinkamai sutampančius su koordinačių ašimis , . Sistemai baziniais vektoriais imsime vienetinius vektorius, kurie sutampa su ašimis , .

Tegu pateikta koordinačių sistema ir joje apibrėžtas taškas =. Darysime prielaidą, kad prieš transformaciją turime sutampančių koordinačių sistemas ir . Taikykime lygiagretųjį vertimą koordinačių sistemai, apibrėžtai vektoriumi. Būtina apibrėžti taško koordinačių transformaciją. Naudokime vektorinę lygybę: = + , arba:

Lygiagretaus vertimo transformaciją iliustruosime elementariojoje algebroje žinomu pavyzdžiu.

D pavyzdys–1 : Duota parabolės lygtis: = = . Sumažinkite šios parabolės lygtį iki paprasčiausios formos.

Sprendimas:

1). Pasinaudokime technika išryškinant ištisą aikštę : = , kurį galima lengvai pavaizduoti kaip: –3 = .

2). Taikykime koordinačių transformaciją - lygiagretus perdavimas := . Po to parabolės lygtis įgauna tokią formą: . Ši transformacija algebroje apibrėžiama taip: parabolė = gaunama paslinkus paprasčiausią parabolę į dešinę 2 ir aukštyn 3 vienetais.

Atsakymas: Paprasčiausia parabolės forma yra: .

Tegu pateikta koordinačių sistema ir joje apibrėžtas taškas =. Darysime prielaidą, kad prieš transformaciją turime sutampančių koordinačių sistemas ir . Taikykime koordinačių sistemos sukimosi transformaciją taip, kad jos pradinės padėties atžvilgiu, tai yra sistemos atžvilgiu, ji būtų pasukta kampu . Būtina apibrėžti taško = koordinačių transformaciją. Įrašykime vektorių koordinačių sistemose ir : = . (2) =1. Iš antros eilės tiesių teorijos išplaukia, kad gauta paprasčiausia (kanoninė!) elipsės lygtis.

Atsakymas: paprasčiausia duotosios linijos forma: =1 yra elipsės kanoninė lygtis.