Kas yra funkcijų lentelė. Funkcijų grafikų konstravimas. Galios funkcija su net teigiamu eksponentu

1. Tiesinė trupmeninė funkcija ir jos grafikas

Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.

Tikriausiai jau esate susipažinę su racionaliųjų skaičių sąvoka. Panašiai racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.

Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. peržiūros funkcija

y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija yra konstanta). Tiesinės trupmeninės dalies funkcija apibrėžiama visiems realiesiems skaičiams, išskyrus x = -d/c. Tiesinių trupmeninių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo grafiko, kurį žinote y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Neribotai padidėjus x absoliučiai reikšmei, funkcija y = 1/x absoliučia verte mažėja neribotai ir abi grafiko atšakos artėja prie abscisių ašies: dešinė artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių artėja hiperbolės šakos, vadinamos jos asimptotų.

1 pavyzdys

y = (2x + 1) / (x - 3).

Sprendimas.

Pažymime sveikąją dalį: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: paslinkti 3 vienetais į dešinę, ištempti išilgai Oy ašies 7 kartus ir paslinkti 2 vienetų segmentais aukštyn.

Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti taip pat, paryškinant „visą dalį“. Vadinasi, visų tiesinių trupmeninių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos išilgai koordinačių ašių ir ištemptos išilgai Oy ašies.

Norint nubraižyti kokios nors savavališkos tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką, visai nebūtina transformuoti šią funkciją apibrėžiančios trupmenos. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks surasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės asimptotes x = -d/c ir y = a/c.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.

Sprendimas.

Funkcija neapibrėžta, jei x = -1. Taigi linija x = -1 yra vertikali asimptotė. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkime, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumentas x padidėja absoliučia verte.

Norėdami tai padaryti, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kaip x → ∞ trupmena linkusi į 3/2. Vadinasi, horizontalioji asimptotė yra tiesi linija y = 3/2.

3 pavyzdys

Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).

Sprendimas.

Mes pasirenkame „visą trupmenos dalį“:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko atlikus šias transformacijas: 1 vieneto poslinkį į kairę, simetrišką rodymą Ox atžvilgiu ir poslinkį. 2 vienetų intervalais aukštyn išilgai Oy ašies.

Apibrėžimo sritis D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.

Atsakymas: 1 pav.

2. Trupmeninė-racionali funkcija

Apsvarstykite trupmeninę racionaliąją funkciją, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, didesni už pirmąjį.

Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) arba y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jei funkcija y = P(x) / Q(x) yra dviejų aukštesnių už pirmąjį daugianario laipsnio koeficientas, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti. , su visomis smulkmenomis. Tačiau dažnai pakanka taikyti metodus, panašius į tuos, su kuriais jau susipažinome aukščiau.

Tegul trupmena yra tinkama (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.

Trupmeninių racionaliųjų funkcijų braižymas

Apsvarstykite keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninę-racionaliąją funkciją.

4 pavyzdys

Nubraižykite funkciją y = 1/x 2 .

Sprendimas.

Mes naudojame funkcijos y \u003d x 2 grafiką, kad nubraižytume grafiką y \u003d 1 / x 2 ir naudojame grafikų „padalijimo“ metodą.

Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).

Susikirtimo su ašimis taškų nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.

Atsakymas: 2 pav.

5 pavyzdys

Nubraižykite funkciją y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Sprendimas.

Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Čia mes panaudojome faktoringo, redukavimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos techniką.

Atsakymas: 3 pav.

6 pavyzdys

Nubraižykite funkciją y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Sprendimas.

Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lygi, grafikas yra simetriškas y ašies atžvilgiu. Prieš braižydami dar kartą transformuojame išraišką, paryškindami sveikąją dalį:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies pasirinkimas trupmeninės-racionalios funkcijos formulėje yra vienas pagrindinių braižant grafikus.

Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. linija y = 1 yra horizontali asimptotė.

Atsakymas: 4 pav.

7 pavyzdys

Apsvarstykite funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykite tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. aukščiausias taškas dešinėje grafiko pusėje. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių nepakanka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „užlipti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti lygtį x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Taigi mūsų prielaida yra klaidinga. Norėdami rasti didžiausią funkcijos reikšmę, turite išsiaiškinti, kurio didžiausio A lygtis A \u003d x / (x 2 + 1) turės sprendimą. Pakeiskime pradinę lygtį kvadratine: Ax 2 - x + A \u003d 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 - 4A 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausią reikšmę A \u003d 1/2.

Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafikus?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Pagrindinės elementarios funkcijos, joms būdingos savybės ir atitinkami grafikai yra vienas iš matematinių žinių pagrindų, savo svarba panaši į daugybos lentelę. Elementariosios funkcijos yra visų teorinių klausimų tyrimo pagrindas, atrama.

Toliau pateiktame straipsnyje pateikiama pagrindinė medžiaga pagrindinių elementarių funkcijų tema. Supažindinsime su terminais, pateiksime jų apibrėžimus; Išsamiai išnagrinėkime kiekvieną elementariųjų funkcijų tipą ir išanalizuosime jų savybes.

Išskiriami šie pagrindinių elementariųjų funkcijų tipai:

1 apibrėžimas

• pastovi funkcija (konstanta);
• n-ojo laipsnio šaknis;
• galios funkcija;
• eksponentinė funkcija;
• logaritminė funkcija;
• trigonometrinės funkcijos;
• broliškos trigonometrinės funkcijos.

Pastovi funkcija apibrėžiama formule: y = C (C yra tikrasis skaičius) ir taip pat turi pavadinimą: konstanta. Ši funkcija nustato, ar kuri nors nepriklausomo kintamojo x tikroji reikšmė atitinka tą pačią kintamojo y reikšmę – reikšmę C .

Konstantos grafikas yra tiesė, lygiagreti x ašiai ir eina per tašką, kurio koordinates (0, C). Aiškumo dėlei pateikiame pastovių funkcijų y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 grafikus (brėžinyje pažymėtos atitinkamai juodai, raudonai ir mėlynai).

2 apibrėžimas

Ši elementari funkcija apibrėžiama formule y = x n (n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą).

Panagrinėkime du funkcijos variantus.

1. N-ojo laipsnio šaknis, n yra lyginis skaičius

Aiškumo dėlei nurodome brėžinį, kuriame pavaizduoti tokių funkcijų grafikai: y = x , y = x 4 ir y = x 8 . Šios funkcijos pažymėtos spalvomis: atitinkamai juoda, raudona ir mėlyna.

Panašus lyginio laipsnio funkcijos grafikų vaizdas kitoms rodiklio reikšmėms.

3 apibrėžimas

Funkcijos n-ojo laipsnio šaknies savybės, n yra lyginis skaičius

• apibrėžimo sritis yra visų neneigiamų realiųjų skaičių [0, + ∞) aibė;
• kai x = 0 , funkcija y = x n reikšmė lygi nuliui;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei lyginė, nei nelyginė);
• diapazonas: [ 0 , + ∞) ;
• ši funkcija y = x n su lyginiais šaknies padidėjimo rodikliais visoje apibrėžimo srityje;
• funkcija turi išgaubtą kryptį aukštyn visoje apibrėžimo srityje;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos grafikas net n eina per taškus (0 ; 0) ir (1 ; 1) .

1. N-ojo laipsnio šaknis, n yra nelyginis skaičius

Tokia funkcija apibrėžiama visoje realiųjų skaičių aibėje. Aiškumo dėlei apsvarstykite funkcijų grafikus y = x 3 , y = x 5 ir x 9 . Brėžinyje jie pažymėti spalvomis: atitinkamai juoda, raudona ir mėlyna kreivių spalvos.

Kitos nelyginės funkcijos y = x n šaknies rodiklio reikšmės duos panašios formos grafiką.

4 apibrėžimas

Funkcijos n-ojo laipsnio šaknies savybės, n yra nelyginis skaičius

• apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė;
• ši funkcija yra nelyginė;
• reikšmių diapazonas yra visų realiųjų skaičių rinkinys;
• funkcija y = x n su nelyginiais šaknies didėjimo rodikliais didėja visoje apibrėžimo srityje;
• funkcija turi įgaubtą intervale (- ∞ ; 0 ] ir išgaubtą intervale [ 0 , + ∞) ;
• vingio taškas turi koordinates (0 ; 0) ;
• nėra asimptotų;
• nelyginio n funkcijos grafikas eina per taškus (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) ir (1 ; 1) .

Maitinimo funkcija

5 apibrėžimas

Galios funkcija apibrėžiama formule y = x a .

Grafų tipas ir funkcijos savybės priklauso nuo eksponento reikšmės.

• kai laipsnio funkcija turi sveikąjį rodiklį a, tai laipsnio funkcijos grafiko forma ir jos savybės priklauso nuo to, ar rodiklis lyginis ar nelyginis, taip pat nuo to, kokį ženklą turi rodiklis. Toliau išsamiau panagrinėkime visus šiuos ypatingus atvejus;
• eksponentas gali būti trupmeninis arba neracionalus – priklausomai nuo to skiriasi ir grafikų tipas bei funkcijos savybės. Išanalizuosime ypatingus atvejus nustatydami keletą sąlygų: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• galios funkcija gali turėti nulinį rodiklį, toliau taip pat išsamiau išanalizuosime šį atvejį.

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai a yra nelyginis teigiamas skaičius, pavyzdžiui, a = 1 , 3 , 5 …

Aiškumo dėlei nurodome tokių galios funkcijų grafikus: y = x (juoda diagramos spalva), y = x 3 (mėlyna diagramos spalva), y = x 5 (raudona diagramos spalva), y = x 7 (žalia diagrama). Kai a = 1 , gauname tiesinę funkciją y = x .

6 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai eksponentas yra nelyginis teigiamas

• funkcija didėja, kai x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija yra išgaubta x ∈ (- ∞ ; 0 ] ir įgaubta x ∈ [ 0 ; + ∞) (išskyrus tiesinę funkciją);
• vingio taškas turi koordinates (0 ; 0) (išskyrus tiesinę funkciją);
• nėra asimptotų;
• funkcijos perdavimo taškai: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai a yra lyginis teigiamas skaičius, pavyzdžiui, a = 2 , 4 , 6 ...

Aiškumo dėlei nurodome tokių galios funkcijų grafikus: y \u003d x 2 (juoda diagramos spalva), y = x 4 (mėlyna diagramos spalva), y = x 8 (raudona diagramos spalva). Kai a = 2, gauname kvadratinę funkciją, kurios grafikas yra kvadratinė parabolė.

7 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai rodiklis yra netgi teigiamas:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• mažėja x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcija yra įgaubta x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos perdavimo taškai: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Žemiau esančiame paveikslėlyje pateikti eksponentinių funkcijų grafikų pavyzdžiai y = x a, kai a yra nelyginis neigiamas skaičius: y = x - 9 (juoda diagramos spalva); y = x - 5 (mėlyna grafiko spalva); y = x - 3 (raudona diagramos spalva); y = x - 1 (žalia diagrama). Kai a \u003d - 1, gauname atvirkštinį proporcingumą, kurio grafikas yra hiperbolė.

8 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės, kai rodiklis yra nelyginis neigiamas:

Kai x \u003d 0, gauname antrojo tipo nenutrūkstamumą, nes lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞, jei a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Taigi tiesė x = 0 yra vertikali asimptotė;

• diapazonas: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija mažėja x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• funkcija yra išgaubta x ∈ (- ∞ ; 0) ir įgaubta x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kai a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• funkcijos perdavimo taškai: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyti galios funkcijos grafikų y = x a pavyzdžiai, kai a yra lyginis neigiamas skaičius: y = x - 8 (diagrama juoda); y = x - 4 (mėlyna grafiko spalva); y = x - 2 (raudona diagramos spalva).

9 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės, kai eksponentas yra net neigiamas:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kai x \u003d 0, gauname antrojo tipo nenutrūkstamumą, nes lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞, jei a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Taigi tiesė x = 0 yra vertikali asimptotė;

• funkcija lygi, nes y (- x) = y (x) ;
• funkcija didėja, kai x ∈ (- ∞ ; 0) ir mažėja, kai x ∈ 0 ; +∞ ;
• funkcija įgaubta x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;
• horizontalioji asimptotė yra tiesi linija y = 0, nes:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kai a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funkcijos perdavimo taškai: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Nuo pat pradžių atkreipkite dėmesį į tokį aspektą: tuo atveju, kai a yra teigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurie autoriai laiko intervalą - ∞ kaip šios galios funkcijos apibrėžimo sritį; + ∞ , nurodant, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Šiuo metu daugelio mokomųjų publikacijų apie algebrą ir analizės pradžią autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų, kur eksponentas yra trupmena su nelyginiu neigiamų argumento verčių vardikliu. Toliau laikysimės kaip tik tokios pozicijos: imame aibę [ 0 ; +∞) . Rekomendacija mokiniams: šiuo metu išsiaiškinkite mokytojo požiūrį, kad išvengtumėte nesutarimų.

Taigi pažvelkime į galios funkciją y = x a, kai eksponentas yra racionalusis arba neracionalusis skaičius, su sąlyga, kad 0< a < 1 .

Grafikais pavaizduokime galios funkcijas y = x a, kai a = 11 12 (diagrama juoda); a = 5 7 (raudona diagramos spalva); a = 1 3 (mėlyna diagramos spalva); a = 2 5 (žalia grafiko spalva).

Kitos eksponento a reikšmės (darant 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

10 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės esant 0< a < 1:

• diapazonas: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija didėja, kai x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija turi išgaubtą x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai rodiklis yra nesveikasis racionalusis arba neracionalusis skaičius su sąlyga, kad a > 1 .

Iliustruojame galios funkcijos grafikus y \u003d x a tam tikromis sąlygomis, kaip pavyzdį naudojant šias funkcijas: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (juoda, raudona, mėlyna, žalia atitinkamai grafikai).

Kitos eksponento a reikšmės esant sąlygai a > 1 duos panašų grafiko vaizdą.

11 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės > 1:

• apibrėžimo sritis: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• diapazonas: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• funkcija didėja, kai x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija yra įgaubta x ∈ (0 ; + ∞) (kai 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos praėjimo taškai: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Atkreipiame jūsų dėmesį!Kai a yra neigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurių autorių darbuose yra nuomonė, kad apibrėžimo sritis šiuo atveju yra intervalas - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) su sąlyga, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Šiuo metu mokomosios medžiagos apie algebrą ir analizės pradžią autoriai NEapibrėžia galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Be to, laikomės būtent tokio požiūrio: aibę (0 ; + ∞) laikome laipsnio funkcijų su trupmeniniais neigiamais eksponentais sritis. Pasiūlymas mokiniams: šiuo metu paaiškinkite savo mokytojo viziją, kad išvengtumėte nesutarimų.

Tęsiame temą ir analizuojame galios funkciją y = x a, jei: - 1< a < 0 .

Čia yra šių funkcijų grafikų brėžinys: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos, žalios linijos ).

12 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės – 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kai – 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazonas: y ∈ 0 ; +∞ ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• nėra vingio taškų;

Žemiau esančiame brėžinyje pavaizduoti laipsnio funkcijų y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 grafikai (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos, žalios kreivių spalvos).

13 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės a< - 1:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kai a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• funkcija mažėja, kai x ∈ 0; +∞ ;
• funkcija įgaubta, kai x ∈ 0; +∞ ;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptotė – tiesė y = 0 ;
• funkcijos perdavimo taškas: (1 ; 1) .

Kai a \u003d 0 ir x ≠ 0, gauname funkciją y \u003d x 0 \u003d 1, kuri nustato tiesę, iš kurios išskiriamas taškas (0; 1) (sutarėme, kad išraiška 0 0 nebus pateikta bet kokia vertė).

Eksponentinė funkcija turi formą y = a x , kur a > 0 ir a ≠ 1 , o šios funkcijos grafikas atrodo kitaip, atsižvelgiant į pagrindo a reikšmę. Panagrinėkime ypatingus atvejus.

Pirmiausia išanalizuokime situaciją, kai eksponentinės funkcijos bazė turi reikšmę nuo nulio iki vieneto (0< a < 1) . Iliustratyvus pavyzdys yra a = 1 2 (mėlyna kreivės spalva) ir a = 5 6 (raudona kreivės spalva) funkcijų grafikai.

Eksponentinės funkcijos grafikai bus panašios formos kitoms bazės reikšmėms, jei 0< a < 1 .

14 apibrėžimas

Eksponentinės funkcijos savybės, kai bazė yra mažesnė už vieną:

• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• eksponentinė funkcija, kurios bazė yra mažesnė už vieną, mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• nėra vingio taškų;
• horizontalioji asimptotė yra tiesė y = 0, o kintamasis x linkęs į + ∞ ;

Dabar apsvarstykite atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą (a > 1).

Šį ypatingą atvejį pavaizduokime eksponentinių funkcijų grafiku y = 3 2 x (mėlyna kreivės spalva) ir y = e x (raudona grafiko spalva).

Kitos bazės reikšmės, didesnės nei viena, parodys panašų eksponentinės funkcijos grafiką.

15 apibrėžimas

Eksponentinės funkcijos savybės, kai bazė yra didesnė už vienetą:

• apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys;
• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• eksponentinė funkcija, kurios bazė didesnė už vieną, didėja, kai x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funkcija įgaubta x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptotė – tiesė y = 0 su kintamuoju x linkusiu į - ∞ ;
• funkcijos perdavimo taškas: (0 ; 1) .

Logaritminė funkcija turi formą y = log a (x) , kur a > 0, a ≠ 1 .

Tokia funkcija apibrėžiama tik teigiamoms argumento reikšmėms: x ∈ 0 ; +∞ .

Logaritminės funkcijos grafikas turi skirtingą formą, pagrįstą bazės a reikšme.

Pirmiausia apsvarstykite situaciją, kai 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Kitos bazės reikšmės, ne didesnės nei viena, suteiks panašų grafiko vaizdą.

16 apibrėžimas

Logaritminės funkcijos savybės, kai bazė yra mažesnė už vieną:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; +∞ . Kadangi x iš dešinės linkęs į nulį, funkcijos reikšmės linkusios į + ∞;
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• logaritminis
• funkcija įgaubta, kai x ∈ 0; +∞ ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;

Dabar panagrinėkime ypatingą atvejį, kai logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už vieną: a > 1 . Žemiau esančiame brėžinyje yra logaritminių funkcijų grafikai y = log 3 2 x ir y = ln x (atitinkamai mėlynos ir raudonos grafikų spalvos).

Kitos bazės reikšmės, didesnės nei viena, suteiks panašų grafiko vaizdą.

17 apibrėžimas

Logaritminės funkcijos, kai bazė yra didesnė už vienetą, savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; +∞ . Kadangi x iš dešinės linkęs į nulį, funkcijos reikšmės linkusios - ∞;
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ (visa realiųjų skaičių aibė);
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• logaritminė funkcija didėja, kai x ∈ 0; +∞ ;
• funkcija turi išgaubtą x ∈ 0; +∞ ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos perdavimo taškas: (1 ; 0) .

Trigonometrinės funkcijos yra sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas. Išanalizuokime kiekvieno iš jų savybes ir atitinkamus grafikus.

Apskritai visoms trigonometrinėms funkcijoms būdinga periodiškumo savybė, t.y. kai funkcijų reikšmės kartojasi skirtingoms argumento reikšmėms, kurios skiriasi viena nuo kitos periodo reikšme f (x + T) = f (x) (T yra periodas). Taigi į trigonometrinių funkcijų savybių sąrašą įtraukiamas punktas „mažiausiai teigiamas laikotarpis“. Be to, nurodysime tokias argumento reikšmes, kurioms atitinkama funkcija išnyksta.

1. Sinuso funkcija: y = sin(x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas sinusine banga.

18 apibrėžimas

Sinuso funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: visa realiųjų skaičių aibė x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funkcija išnyksta, kai x = π k , kur k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• funkcija didėja, kai x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z ir mažėja x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• sinuso funkcija turi vietinius maksimumus taškuose π 2 + 2 π · k ; 1 ir vietiniai minimumai taškuose - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈ Z;
• sinuso funkcija yra įgaubta, kai x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z ir išgaubtas, kai x ∈ 2 π k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
• asimptotų nėra.

1. kosinuso funkcija: y=cos(x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas kosinuso banga.

19 apibrėžimas

Kosinuso funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• mažiausias teigiamas laikotarpis: T \u003d 2 π;
• diapazonas: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ši funkcija yra lygi, nes y (- x) = y (x) ;
• funkcija didėja, kai x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z ir mažėja x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinuso funkcija turi vietinius maksimumus taškuose 2 π · k ; 1 , k ∈ Z ir vietiniai minimumai taškuose π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• kosinuso funkcija yra įgaubta, kai x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ir išgaubta, kai x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• vingio taškai turi koordinates π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z
• asimptotų nėra.

1. Tangento funkcija: y = t g (x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas tangentoidinis.

20 apibrėžimas

Tangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , kur k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• Tangentinės funkcijos elgesys apibrėžimo srities lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ribose ∞ . Taigi, tiesės x = π 2 + π · k k ∈ Z yra vertikalios asimptotės;
• funkcija išnyksta, kai x = π k k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ši funkcija yra nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija didėja ties - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• liestinės funkcija yra įgaubta x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z ir išgaubtas x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• vingio taškai turi koordinates π k; 0, k ∈ Z;

1. Kotangento funkcija: y = c t g (x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas kotangentoidu. .

21 apibrėžimas

Kotangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (π k ; π + π k) , kur k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);

Kotangentinės funkcijos elgsena apibrėžimo srities lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ riboje, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Taigi, tiesės x = π k k ∈ Z yra vertikalios asimptotės;

• mažiausias teigiamas laikotarpis: T \u003d π;
• funkcija išnyksta, kai x = π 2 + π k k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ši funkcija yra nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija mažėja x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• kotangentinė funkcija yra įgaubta x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z ir išgaubta x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ) , k ∈ Z ;
• vingio taškai turi koordinates π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z;
• nėra įstrižų ir horizontalių asimptočių.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra arcsinusas, arkosinusas, arktangentas ir arkotangentas. Dažnai dėl to, kad pavadinime yra priešdėlio „lankas“, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos vadinamos lanko funkcijomis. .

1. Arkosine funkcija: y = a r c sin (x)

22 apibrėžimas

Arsininės funkcijos savybės:

• ši funkcija yra nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• arcsininė funkcija yra įgaubta, kai x ∈ 0; 1 ir išgaubimas, kai x ∈ - 1 ; 0;
• vingio taškai turi koordinates (0 ; 0) , tai kartu yra ir funkcijos nulis;
• asimptotų nėra.

1. Arkosino funkcija: y = a r c cos (x)

23 apibrėžimas

Arkosino funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - 1 ; 1 ;
• diapazonas: y ∈ 0 ; π;
• ši funkcija yra bendros formos (nei lyginė, nei nelyginė);
• funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• x ∈ - 1 arckosino funkcija yra įgaubta; 0 ir išgaubimas, kai x ∈ 0 ; 1 ;
• vingio taškai turi 0 koordinates; π2;
• asimptotų nėra.

1. Arktangento funkcija: y = a r c t g (x)

24 apibrėžimas

Arktangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• diapazonas: y ∈ - π 2 ; π2;
• ši funkcija yra nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje;
• arctangentinė funkcija yra įgaubta x ∈ (- ∞ ; 0 ] ir išgaubta x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• vingio taškas turi koordinates (0; 0), jis kartu yra ir funkcijos nulis;
• horizontalios asimptotės yra tiesės y = - π 2, kai x → - ∞ ir y = π 2, kai x → + ∞ (asimptotės paveiksle yra žalios linijos).

1. Lanko kotangento funkcija: y = a r c c t g (x)

25 apibrėžimas

Lanko kotangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• diapazonas: y ∈ (0 ; π) ;
• ši funkcija yra bendro pobūdžio;
• funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• lanko kotangento funkcija yra įgaubta x ∈ [ 0 ; + ∞) ir išgaubimas x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• vingio taško koordinatės yra 0 ; π2;
• horizontalios asimptotės yra tiesės y = π ties x → - ∞ (žalia linija brėžinyje) ir y = 0 ties x → + ∞.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Žinios pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai ne mažiau svarbu, nei žinoti daugybos lentelę. Jie yra tarsi pamatas, ant jų viskas remiasi, viskas iš jų pastatyta ir viskas jiems priklauso.

Šiame straipsnyje išvardijame visas pagrindines elementarias funkcijas, pateikiame jų grafikus ir pateikiame be išvedimų ir įrodymų. pagrindinių elementariųjų funkcijų savybės pagal schemą:

• funkcijos elgsena apibrėžimo srities ribose, vertikalios asimptotės (jei reikia, žr. straipsnio funkcijos lūžio taškų klasifikaciją);
• lyginis ir nelyginis;
• išgaubtumo (išgaubtumo į viršų) ir įgaubtumo (išgaubtumo žemyn) intervalai, vingio taškai (jei reikia, žr. straipsnio funkciją išgaubtumas, išgaubimo kryptis, vingio taškai, išgaubtumo ir vingio sąlygos);
• įstrižai ir horizontalūs asimptotai;
• funkcijų vienetiniai taškai;
• specialios kai kurių funkcijų savybės (pavyzdžiui, trigonometrinių funkcijų mažiausias teigiamas periodas).

Jei jus domina arba, galite eiti į šiuos teorijos skyrius.

Pagrindinės elementarios funkcijos yra: pastovi funkcija (konstanta), n-ojo laipsnio šaknis, laipsnio funkcija, eksponentinė, logaritminė funkcija, trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės funkcijos.

Puslapio naršymas.

Nuolatinė funkcija.

Pastovi funkcija visų realiųjų skaičių aibėje pateikiama pagal formulę , kur C yra tikrasis skaičius. Konstanta funkcija kiekvienai realiajai nepriklausomo kintamojo x reikšmei priskiria tą pačią priklausomo kintamojo y reikšmę – reikšmę С. Pastovi funkcija taip pat vadinama konstanta.

Pastovios funkcijos grafikas yra tiesė, lygiagreti x ašiai ir einanti per tašką, kurio koordinatės (0,C) . Pavyzdžiui, parodykime pastovių funkcijų y=5 , y=-2 ir grafikus, kurios žemiau esančiame paveikslėlyje atitinkamai atitinka juodą, raudoną ir mėlyną linijas.

Pastovios funkcijos savybės.

• Apibrėžimo sritis: visa realiųjų skaičių rinkinys.
• Nuolatinė funkcija yra lygi.
• Reikšmių diapazonas: aibė, susidedanti iš vieno skaičiaus C .
• Pastovi funkcija yra nedidėjanti ir nemažėjanti (todėl ji yra pastovi).
• Nėra prasmės kalbėti apie konstantos išgaubimą ir įgaubimą.
• Asimptoto nėra.
• Funkcija eina per koordinačių plokštumos tašką (0,C).

N-ojo laipsnio šaknis.

Apsvarstykite pagrindinę elementariąją funkciją, kurią pateikia formulė , kur n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą.

N-ojo laipsnio šaknis n yra lyginis skaičius.

Pradėkime nuo n-osios šaknies funkcijos lygioms šaknies eksponento n reikšmėms.

Pavyzdžiui, pateikiame paveikslėlį su funkcijų grafikų vaizdais ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas linijas.

Lyginio laipsnio šaknies funkcijų grafikai turi panašią formą kitoms rodiklio reikšmėms.

Lyginio n laipsnio šaknies savybės.

N-ojo laipsnio šaknis n yra nelyginis skaičius.

N-ojo laipsnio šakninė funkcija su nelyginiu šaknies n eksponentu yra apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, pateikiame funkcijų grafikus ir , juodos, raudonos ir mėlynos kreivės atitinka jas.

Kitoms nelyginėms šaknies eksponento reikšmėms funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Nelyginio n laipsnio n-ojo šaknies savybės.

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija pateikiama formos formule .

Apsvarstykite laipsnio funkcijos grafikų tipą ir laipsnio funkcijos savybes, priklausomai nuo eksponento reikšmės.

Pradėkime nuo galios funkcijos su sveikuoju rodikliu a . Šiuo atveju laipsnio funkcijų grafikų forma ir funkcijų savybės priklauso nuo lyginio ar nelyginio eksponento, taip pat nuo jo ženklo. Todėl pirmiausia nagrinėjame laipsnio funkcijas nelyginėms teigiamoms eksponento a reikšmėms, tada lyginėms teigiamoms, tada nelyginėms neigiamoms rodikliams ir galiausiai lyginėms neigiamoms a.

Laipsninių funkcijų su trupmeniniais ir neracionaliais rodikliais savybės (taip pat ir tokių laipsnių funkcijų grafikų tipas) priklauso nuo laipsnio a reikšmės. Pirmiausia juos nagrinėsime, kai a yra nuo nulio iki vieneto, antra, kai a yra didesnis už vienetą, trečia, kai a yra nuo minus vieno iki nulio ir ketvirta, kai a yra mažesnis už minus vieną.

Šio poskyrio pabaigoje, siekiant išsamumo, aprašome laipsnio funkciją su nuliniu eksponentu.

Galios funkcija su nelyginiu teigiamu eksponentu.

Apsvarstykite galios funkciją su nelyginiu teigiamu eksponentu, ty su a=1,3,5,….

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti galios funkcijų grafikai – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija, – žalia linija. A=1 turime tiesinė funkcija y=x.

Laipsninės funkcijos su nelyginiu teigiamu eksponentu savybės.

Galios funkcija su net teigiamu eksponentu.

Apsvarstykite galios funkciją su lyginiu teigiamu eksponentu, tai yra, jei a=2,4,6,… .

Kaip pavyzdį paimkime galios funkcijų grafikus – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija. Jei a=2, turime kvadratinę funkciją, kurios grafikas yra kvadratinė parabolė.

Laipsninės funkcijos su lygiu teigiamu eksponentu savybės.

Galios funkcija su nelyginiu neigiamu eksponentu.

Pažvelkite į eksponentinės funkcijos grafikus nelyginėms neigiamoms eksponento reikšmėms, ty \u003d -1, -3, -5, ....

Paveiksle kaip pavyzdžiai rodomi eksponentinių funkcijų grafikai - juoda linija, - mėlyna linija, - raudona linija, - žalia linija. Turime a=-1 atvirkštinis proporcingumas, kurio grafikas yra hiperbolė.

Laipsninės funkcijos su nelyginiu neigiamu rodikliu savybės.

Galios funkcija su lygiu neigiamu eksponentu.

Pereikime prie galios funkcijos, kai a=-2,-4,-6,….

Paveiksle parodyti galios funkcijų grafikai - juoda linija, - mėlyna linija, - raudona linija.

Laipsninės funkcijos su lyginiu neigiamu rodikliu savybės.

Laipsnio funkcija su racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu, kurio reikšmė didesnė už nulį ir mažesnė už vienetą.

Pastaba! Jei a yra teigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurie autoriai laiko intervalą galios funkcijos sritimi. Kartu nustatyta, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Dabar daugelio vadovėlių apie algebrą ir analizės pradžią autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Laikysimės būtent tokio požiūrio, tai yra, laipsnio funkcijų sritis su trupmeniniais teigiamais eksponentais laikysime aibe . Kad išvengtumėte nesutarimų, raginame mokinius sužinoti apie jūsų mokytojo požiūrį į šį subtilų dalyką.

Apsvarstykite galios funkciją su racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu a , ir .

Pateikiame galios funkcijų grafikus a=11/12 (juoda linija), a=5/7 (raudona linija), (mėlyna linija), a=2/5 (žalia linija).

Laipsnio funkcija, kurios racionalusis arba neracionalusis rodiklis yra didesnis nei vienas.

Apsvarstykite galios funkciją su ne sveikuoju racionaliuoju arba neracionaliuoju eksponentu a , ir .

Pateiksime formulėmis pateiktų laipsnių funkcijų grafikus (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos ir žalios linijos).

>

Kitoms eksponento a reikšmėms funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Galios funkcijos savybės .

Galios funkcija, kurios tikrasis rodiklis yra didesnis nei minus vienas ir mažesnis už nulį.

Pastaba! Jei a yra neigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurie autoriai laiko intervalą . Kartu nustatyta, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Dabar daugelio vadovėlių apie algebrą ir analizės pradžią autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Mes laikysimės kaip tik tokio požiūrio, tai yra, laipsnio funkcijų sritis su trupmeniniais neigiamais eksponentais laikysime atitinkamai aibe. Kad išvengtumėte nesutarimų, raginame mokinius sužinoti apie jūsų mokytojo požiūrį į šį subtilų dalyką.

Pereiname prie galios funkcijos , kur .

Kad gerai suprastume galios funkcijų grafikų tipą, pateikiame funkcijų grafikų pavyzdžius (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos ir žalios kreivės).

Laipsninės funkcijos su eksponentu a , savybės.

Galios funkcija, kurios realusis rodiklis nėra sveikasis skaičius, kuris yra mažesnis nei minus vienas.

Pateiksime galios funkcijų grafikų pavyzdžius , jie pavaizduoti atitinkamai juodomis, raudonomis, mėlynomis ir žaliomis linijomis.

Laipsninės funkcijos, kurios ne sveikasis skaičius neigiamas rodiklis yra mažesnis už minus vienetą, savybės.

Kai a=0 ir turime funkciją - tai tiesi linija, iš kurios taškas (0; 1) neįtraukiamas (išraiška 0 0 buvo sutarta neteikti jokios reikšmės).

Eksponentinė funkcija.

Viena iš pagrindinių elementariųjų funkcijų yra eksponentinė funkcija.

Eksponentinės funkcijos grafikas, kur ir įgauna skirtingą formą, priklausomai nuo bazės a reikšmės. Išsiaiškinkime.

Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė įgauna reikšmę nuo nulio iki vieneto, tai yra, .

Pavyzdžiui, pateikiame eksponentinės funkcijos grafikus, kai a = 1/2 – mėlyna linija, a = 5/6 – raudona linija. Eksponentinės funkcijos grafikai turi panašią išvaizdą kitoms bazės reikšmėms iš intervalo .

Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra mažesnė už vieną, savybės.

Mes kreipiamės į atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą, tai yra, .

Kaip iliustraciją pateikiame eksponentinių funkcijų grafikus – mėlyną liniją ir – raudoną liniją. Kitoms bazės reikšmėms, didesnėms nei viena, eksponentinės funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra didesnė už vienetą, savybės.

Logaritminė funkcija.

Kita pagrindinė elementari funkcija yra logaritminė funkcija , kur , . Logaritminė funkcija apibrėžiama tik teigiamoms argumento reikšmėms, ty .

Logaritminės funkcijos grafikas įgauna skirtingą formą, priklausomai nuo bazės a reikšmės.

Pradėkime nuo atvejo, kai .

Pavyzdžiui, pateikiame logaritminės funkcijos grafikus, kai a = 1/2 – mėlyna linija, a = 5/6 – raudona linija. Kitoms bazės reikšmėms, neviršijančioms vienos, logaritminės funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Logaritminės funkcijos, kurios bazė yra mažesnė už vieną, savybės.

Pereikime prie atvejo, kai logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už vieną ().

Parodykime logaritminių funkcijų grafikus – mėlyna linija, – raudona linija. Kitoms bazės reikšmėms, didesnėms nei viena, logaritminės funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Logaritminės funkcijos, kurios bazė yra didesnė už vienetą, savybės.

Trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai.

Visos trigonometrinės funkcijos (sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas) yra pagrindinės elementarios funkcijos. Dabar apsvarstysime jų grafikus ir išvardinsime jų savybes.

Trigonometrinės funkcijos turi koncepciją periodiškumas(funkcijos reikšmių pasikartojimas skirtingoms argumento reikšmėms, kurios skiriasi viena nuo kitos laikotarpio reikšme , kur T yra taškas), todėl į trigonometrinių funkcijų savybių sąrašą buvo įtrauktas elementas „Mažiausias teigiamas laikotarpis“. Be to, kiekvienai trigonometrinei funkcijai nurodysime argumento reikšmes, kurioms esant atitinkama funkcija išnyksta.

Dabar panagrinėkime visas trigonometrines funkcijas eilės tvarka.

Sinuso funkcija y = sin(x) .

Nubraižykime sinusinės funkcijos grafiką, ji vadinama „sinusoidu“.

Sinuso funkcijos y = sinx savybės.

Kosinuso funkcija y = cos(x) .

Kosinuso funkcijos grafikas (ji vadinama "kosinusu") atrodo taip:

Kosinuso funkcijos savybės y = cosx .

Liestinės funkcija y = tg(x) .

Tangentinės funkcijos grafikas (ji vadinama tangentoidu) atrodo taip:

Funkcijos savybių liestinė y = tgx .

Kotangentinė funkcija y = ctg(x) .

Nubraižykime kotangentinės funkcijos grafiką (ji vadinama „kotangentoide“):

Kotangentinės funkcijos savybės y = ctgx .

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos (arcsine, arccosinus, arctangent ir arccotangent) yra pagrindinės elementarios funkcijos. Dažnai dėl priešdėlio „lankas“ atvirkštinės trigonometrinės funkcijos vadinamos lanko funkcijomis. Dabar apsvarstysime jų grafikus ir išvardinsime jų savybes.

Arksininė funkcija y = arcsin(x) .

Nubraižykime arcsininę funkciją:

Funkcijos savybės arccotangent y = arcctg(x) .

Bibliografija.

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. švietimo įstaigų.
• Vygodskis M.Ya. Elementariosios matematikos vadovas.
• Novoselovas S.I. Algebra ir elementarios funkcijos.
• Tumanovas S.I. Elementarioji algebra. Saviugdos vadovas.

Funkcijos ir jų grafikai yra viena patraukliausių mokyklinės matematikos temų. Tik gaila, kad ji praeina... pro pamokas ir pro mokinius. Vidurinėje mokykloje jai niekada neužtenka laiko. O tos funkcijos, kurios vyksta 7 klasėje – tiesinė funkcija ir parabolė – pernelyg paprastos ir nesudėtingos, kad parodytų visą įdomių užduočių įvairovę.

Gebėjimas sudaryti funkcijų grafikus yra būtinas sprendžiant matematikos egzamino uždavinius su parametrais. Tai viena pirmųjų matematikos analizės kurso temų universitete. Tai tokia svarbi tema, kad mes, Vieningo valstybinio egzamino studijoje, Maskvoje ir internetu vedame specialius intensyvius kursus aukštųjų mokyklų studentams ir mokytojams. Ir dažnai dalyviai sako: „Gaila, kad anksčiau to nežinojome“.

Bet tai dar ne viskas. Tikra, „suaugusiųjų“ matematika prasideda nuo funkcijos sampratos. Juk sudėjimas ir atėmimas, daugyba ir dalyba, trupmenos ir proporcijos – tai vis tiek yra aritmetika. Išraiškų transformacijos yra algebra. O matematika yra mokslas ne tik apie skaičius, bet ir apie dydžių ryšius. Funkcijų ir grafikų kalba suprantama fizikui, biologui ir ekonomistui. Ir kaip sakė Galilėjus Galilėjus, „Gamtos knyga parašyta matematikos kalba“.

Tiksliau, Galilėjus Galilėjus pasakė taip: „Matematika yra abėcėlė, pagal kurią Viešpats nubrėžė Visatą“.

Temos, kurias reikia peržiūrėti:

1. Nubraižykite funkciją

Pažįstamas iššūkis! Tokie susitiko matematikos OGE variantuose. Ten jie buvo laikomi sunkiais. Bet čia nėra nieko sudėtingo.

Supaprastinkime funkcijos formulę:

Funkcijų grafikas – tiesi linija su išmuštu tašku

2. Nubraižykite funkciją

Funkcijos formulėje pasirinkite sveikąjį skaičių:

Funkcijos grafikas yra hiperbolė, paslinkta 3 į dešinę x ir 2 aukštyn y ir ištempta 10 kartų, palyginti su funkcijos grafiku

Sveikųjų skaičių pasirinkimas yra naudingas metodas, naudojamas sprendžiant nelygybes, braižant grafikus ir įvertinant sveikuosius skaičius uždaviniuose dėl skaičių ir jų savybių. Jį sutiksite ir pirmaisiais metais, kai teks imti integralus.

3. Nubraižykite funkciją

Jis gaunamas iš funkcijos grafiko ištempus 2 kartus, apverčiant vertikaliai ir paslinkus 1 aukštyn vertikaliai

4. Nubraižykite funkciją

Svarbiausia yra teisinga veiksmų seka. Parašykime funkcijos formulę patogesne forma:

Mes veikiame eilės tvarka:

1) Funkcijos y=sinx grafiką perkelkite į kairę;

2) suspauskite 2 kartus horizontaliai,

3) ištempkite 3 kartus vertikaliai,

4) pakilti 1

Dabar sudarysime keletą trupmeninių racionalių funkcijų grafikų. Norėdami geriau suprasti, kaip tai darome, perskaitykite straipsnį „Funkcijų elgsena begalybėje. Asimptotės“.

5. Nubraižykite funkciją

Funkcijos apimtis:

Funkcijos nuliai: ir

Tiesi linija x = 0 (y ašis) yra vertikali funkcijos asimptotė. Asimptotė- tiesė, prie kurios funkcijos grafikas priartėja be galo arti, bet jos nekerta ir su ja nesusilieja (žr. temą "Funkcijos elgsena begalybėje. Asimptotės")

Ar yra kitų mūsų funkcijos asimptotų? Norėdami sužinoti, pažiūrėkime, kaip funkcija veikia, kai x eina į begalybę.

Atidarykime skliaustus funkcijos formulėje:

Jei x eina į begalybę, tada jis eina į nulį. Tiesi linija yra pasvirusi funkcijos grafiko asimptotė.

6. Nubraižykite funkciją

Tai trupmeninė racionali funkcija.

Funkcijos apimtis

Funkcijos nuliai: taškai - 3, 2, 6.

Funkcijos ženklų pastovumo intervalai bus nustatyti naudojant intervalų metodą.

Vertikalios asimptotės:

Jei x linkęs į begalybę, tai y linkęs į 1. Vadinasi, yra horizontali asimptotė.

Čia yra grafiko eskizas:

Kitas įdomus metodas yra grafikų pridėjimas.

7. Nubraižykite funkciją

Jei x linkęs į begalybę, tai funkcijos grafikas bus be galo arti įstriosios asimptotės

Jei x linkęs į nulį, tada funkcija elgiasi taip, kaip matome grafike:

Taigi mes sukūrėme funkcijų sumos grafiką. Dabar darbo grafikas!

8. Nubraižykite funkciją

Šios funkcijos sritis yra teigiami skaičiai, nes apibrėžiamas tik teigiamas x

Funkcijos reikšmės yra lygios nuliui (kai logaritmas lygus nuliui), taip pat taškuose, kur, ty

Kai , reikšmė (cos x) yra lygi vienetui. Funkcijos reikšmė šiuose taškuose bus lygi

9. Nubraižykite funkciją

Funkcija apibrėžiama Tai lyginė, nes ji yra dviejų nelyginių funkcijų sandauga ir grafikas yra simetriškas y ašies atžvilgiu.

Funkcijos nuliai yra taškuose, kur, tai yra, ties

Jei x eina į begalybę, eina į nulį. Bet kas atsitiks, jei x linkęs į nulį? Juk ir x, ir sin x taps vis mažesni. Kaip elgsis eilinis?

Pasirodo, jei x linkęs į nulį, tai jis linkęs į vienetą. Matematikoje šis teiginys vadinamas „Pirmąja nuostabia riba“.

Bet kaip dėl išvestinės priemonės? Taip, mes pagaliau ten pasiekėme. Išvestinė padeda tiksliau nubraižyti funkcijas. Šiuose taškuose suraskite didžiausius ir mažiausius taškus, taip pat funkcijų reikšmes.

10. Nubraižykite funkciją

Funkcijos apimtis yra visi realieji skaičiai, nes

Funkcija keista. Jo grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.

Kai x=0, funkcijos reikšmė lygi nuliui. Funkcijos reikšmės yra teigiamos, už yra neigiamos.

Jei x eina į begalybę, tada jis eina į nulį.

Raskime funkcijos išvestinę
Pagal koeficiento išvestinės formulę,

Aš už

Taške išvestinė keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“, – funkcijos minimalų tašką.

Taške išvestinė pakeičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“, – maksimalų funkcijos tašką.

Raskime funkcijos reikšmes x=2 ir x=-2.

Funkcijų grafikus patogu kurti pagal tam tikrą algoritmą, arba schemą. Prisimeni, kad mokeisi to mokykloje?

Bendra funkcijos grafiko sudarymo schema:

1. Funkcijos apimtis

2. Funkcijos reikšmių diapazonas

3. Lyginis – nelyginis (jei yra)

4. Dažnis (jei yra)

5. Funkcijos nuliai (taškai, kuriuose grafikas kerta koordinačių ašis)

6. Funkcijos pastovumo intervalai (tai yra intervalai, kuriuose ji yra griežtai teigiama arba griežtai neigiama).

7. Asimptotės (jei yra).

8. Funkcijos elgsena begalybėje

9. Funkcijos išvestinė

10. Didėjimo ir mažėjimo intervalai. Aukšti ir žemi taškai bei vertės šiuose taškuose.