Matematinių lūkesčių pavyzdžiai. Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys. Matematinių lūkesčių naudojimas Forex
Atsitiktinio dydžio X matematinė prognozė (vidutinė vertė), pateikta diskrečioje tikimybių erdvėje, yra skaičius m =M[X]=∑x i p i , jei eilutė absoliučiai konverguoja.
Aptarnavimo užduotis. Su internetine paslauga apskaičiuojama matematinė prognozė, dispersija ir standartinis nuokrypis(žr. pavyzdį). Be to, nubraižytas skirstinio funkcijos F(X) grafikas.
Atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio savybės
- Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus sau pačiam: M[C]=C , C yra konstanta;
- M=C M[X]
- Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: M=M[X]+M[Y]
- Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: M=M[X] M[Y], jei X ir Y yra nepriklausomi.
Dispersijos savybės
- Pastovios reikšmės dispersija lygi nuliui: D(c)=0.
- Pastovų koeficientą galima ištraukti iš po dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
- Jeigu atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tai sumos dispersija lygi dispersijų sumai: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Dispersijai galioja skaičiavimo formulė:
D(X) = M(X 2)-(M(X)) 2
Pavyzdys. Žinomi dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y matematiniai lūkesčiai ir dispersijos: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Raskite atsitiktinio dydžio Z=9X-8Y+7 matematinę lūkesčius ir dispersiją.
Sprendimas. Remiantis matematinio lūkesčio savybėmis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Remiantis dispersijos savybėmis: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345
Matematinės lūkesčių skaičiavimo algoritmas
Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių savybės: visas jų reikšmes galima pernumeruoti natūraliaisiais skaičiais; Kiekvienai reikšmei priskirkite nulinę tikimybę.- Padauginkite poras po vieną: x i iš p i .
- Sudedame kiekvienos poros sandaugą x i p i .
Pavyzdžiui, jei n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
1 pavyzdys.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematinis lūkestis randamas pagal formulę m = ∑x i p i .
Matematinis lūkestis M[X].
M[x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Sklaida randama pagal formulę d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersija D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standartinis nuokrypis σ(x).
σ = kvadratas(D[X]) = kvadratas(7,69) = 2,78
2 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis kintamasis turi tokią pasiskirstymo eilutę:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Sprendimas. Reikšmė a randama iš santykio: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 arba 0,24 = 3 a , iš kur a = 0,08
3 pavyzdys. Nustatykite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, jei žinoma jo dispersija, ir x 1
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Sprendimas.
Čia reikia sudaryti formulę dispersijai d (x) rasti:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
kur lūkestis m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Mūsų duomenims
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
arba -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Atitinkamai, reikia rasti lygties šaknis, ir jų bus dvi.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Mes pasirenkame tą, kuris tenkina sąlygą x 1
Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
Sprendimas:
6.1.2 Tikėjimo savybės
1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai.
2. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų veiksnį. 
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Ši savybė galioja bet kokiam atsitiktinių dydžių skaičiui.
4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai.
Ši savybė galioja ir savavališkam atsitiktinių dydžių skaičiui.
Pavyzdys: M(X) = 5, M(Y)= 2. Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą Z, taikant matematinio lūkesčio savybes, jei žinoma, kad Z = 2X + 3Y.
Sprendimas: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) matematinis sumos lūkestis yra lygus matematinių lūkesčių sumai
2) pastovųjį veiksnį galima išimti iš lūkesčio ženklo
Tegu bus atlikta n nepriklausomų bandymų, kurių tikimybė, kad įvyks įvykis A, lygi p. Tada galioja ši teorema:
Teorema. Įvykio A atvejų skaičiaus matematinė prognozė M(X) n nepriklausomų bandymų yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio pasireiškimo tikimybės sandaugai kiekviename bandyme.
6.1.3 Diskretaus atsitiktinio dydžio sklaida
Matematinis lūkestis negali visiškai apibūdinti atsitiktinio proceso. Be matematinio lūkesčio, būtina įvesti reikšmę, kuri apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypį nuo matematinio lūkesčio.
Šis nuokrypis yra lygus skirtumui tarp atsitiktinio dydžio ir jo matematinio lūkesčio. Šiuo atveju matematinis nuokrypio lūkestis yra lygus nuliui. Tai paaiškinama tuo, kad vieni galimi nukrypimai yra teigiami, kiti – neigiami ir dėl jų abipusio panaikinimo gaunamas nulis.
Sklaida (sklaidymas) Diskrečiasis atsitiktinis dydis vadinamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematiniu lūkesčiu.
Praktiškai toks dispersijos apskaičiavimo būdas yra nepatogus, nes dėl to reikia atlikti sudėtingus daugelio atsitiktinio dydžių verčių skaičiavimus.
Todėl naudojamas kitas metodas.
Teorema. Dispersija yra lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio X kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato.
Įrodymas. Atsižvelgiant į tai, kad matematinis lūkestis M (X) ir matematinio lūkesčio kvadratas M 2 (X) yra pastovios reikšmės, galime rašyti:
Pavyzdys. Raskite pasiskirstymo dėsniu pateiktą diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Sprendimas:.
6.1.4 Dispersijos savybės
1. Pastovios reikšmės sklaida lygi nuliui. .
2. Pastovų koeficientą galima paimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu. 
.
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi šių dydžių dispersijų sumai. .
4. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija yra lygi šių dydžių dispersijų sumai. .
Teorema. Įvykio A atvejų skaičiaus dispersija n nepriklausomų bandymų, kurių kiekviename įvykio įvykio tikimybė p yra pastovi, yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio bei neįvykimo tikimybės sandaugai įvykį kiekviename bandyme.
Pavyzdys: Raskite DSV X dispersiją – įvykio A pasikartojimų skaičių 2 nepriklausomuose bandymuose, jei įvykio tikimybė šiuose bandymuose yra vienoda ir žinoma, kad M(X) = 1,2.
Taikome 6.1.2 skirsnio teoremą:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Rasti p:
1,2 = 2∙p
p = 1,2/2
q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4
Raskime dispersiją pagal formulę:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Standartinis diskretinio atsitiktinio dydžio nuokrypis
Standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis X vadinamas dispersijos kvadratine šaknimi.
(25)
Teorema. Baigtinio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos standartinis nuokrypis yra lygus šių kintamųjų standartinių nuokrypių kvadratų sumos kvadratinei šakniai.
6.1.6 Diskretaus atsitiktinio dydžio režimas ir mediana
Mada M o DSV vadinama labiausiai tikėtina atsitiktinio kintamojo reikšmė (t. y. ta, kurios tikimybė yra didžiausia)
Mediana M e DSV yra atsitiktinio dydžio, dalijančio skirstinio eilutę per pusę, reikšmė. Jei atsitiktinio dydžio reikšmių skaičius yra lygus, mediana randama kaip dviejų vidutinių verčių aritmetinis vidurkis.
Pavyzdys: DSW paieškos režimas ir mediana X:
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Aš = = 5,5
Progresas
1. Susipažinkite su šio darbo teorine dalimi (paskaitos, vadovėlis).
2. Atlikite užduotį pagal savo pasirinkimą.
3. Sudaryti darbo ataskaitą.
4. Apsaugokite savo darbą.
2. Darbo tikslas.
3. Darbo eiga.
4. Jūsų pasirinkimo sprendimas.
6.4 Savarankiško darbo užduočių variantai
1 variantas
1. Raskite paskirstymo dėsnio DSV X matematinę lūkesčius, dispersiją, standartinį nuokrypį, modą ir medianą.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Raskite DSV X dispersiją - įvykio A pasireiškimų skaičių dviejuose nepriklausomuose bandymuose, jei įvykių tikimybės šiuose bandymuose yra vienodos ir žinoma, kad M (X) = 1.
4. Pateikiamas galimų diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmių sąrašas X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5, o šio dydžio ir jo kvadrato matematiniai lūkesčiai taip pat žinomi: , . Raskite tikimybes , , , atitinkančias galimas reikšmes, ir sudarykite DSW pasiskirstymo dėsnį.
2 variantas
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Raskite DSV X dispersiją – įvykio A pasireiškimų skaičių trijuose nepriklausomuose bandymuose, jei įvykių tikimybės šiuose bandymuose yra vienodos ir žinoma, kad M (X) = 0,9.
4. Pateikiamas diskretinio atsitiktinio dydžio X galimų reikšmių sąrašas: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, o šio dydžio ir jo kvadrato matematiniai lūkesčiai taip pat žinomi: , . Raskite tikimybes , , , atitinkančias galimas reikšmes, ir sudarykite DSW pasiskirstymo dėsnį.
Pasirinkimo numeris 3
1. Raskite paskirstymo dėsniu pateiktą DSV X matematinę lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Raskite DSV X dispersiją – įvykio A pasikartojimų skaičių keturiuose nepriklausomuose bandymuose, jei įvykių tikimybės šiuose bandymuose yra vienodos ir žinoma, kad M (x) = 1,2.
- berniukų skaičius tarp 10 naujagimių.
Visiškai aišku, kad šis skaičius iš anksto nėra žinomas, o per ateinančius dešimt vaikų gali gimti:
Arba berniukai - vienas ir vienintelis iš išvardytų variantų.
O norint palaikyti formą, šiek tiek fizinio lavinimo:
- šuolio į tolį nuotolis (kai kuriuose vienetuose).
Net sporto meistras to nesugeba nuspėti :)
Tačiau kokios jūsų hipotezės?
2) Nepertraukiamas atsitiktinis dydis – ima Visi skaitinės reikšmės iš tam tikro baigtinio ar begalinio diapazono.
Pastaba : mokomojoje literatūroje populiarios santrumpos DSV ir NSV
Pirma, išanalizuokime diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį, tada - tęstinis.
Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis
- Tai susirašinėjimą tarp galimų šio dydžio verčių ir jų tikimybių. Dažniausiai įstatymas rašomas lentelėje: 
Terminas yra gana dažnas eilė
paskirstymas, bet kai kuriose situacijose tai skamba dviprasmiškai, todėl aš laikysiuosi „įstatymo“.
Ir dabar labai svarbus punktas: kadangi atsitiktinis dydis Būtinai priims viena iš vertybių, tada susiformuoja atitinkami įvykiai pilna grupė o jų atsiradimo tikimybių suma lygi vienetui:
arba, jei parašyta sulankstyta:
Taigi, pavyzdžiui, taškų tikimybių pasiskirstymo ant kauliuko dėsnis turi tokią formą: 
Be komentarų.
Jums gali susidaryti įspūdis, kad atskiras atsitiktinis kintamasis gali įgyti tik „geras“ sveikųjų skaičių reikšmes. Išsklaidykime iliuziją – jos gali būti bet kokios:
1 pavyzdys
Kai kuriuose žaidimuose galioja toks išmokėjimo paskirstymo įstatymas: 
...turbūt apie tokias užduotis svajojote jau seniai :) Išduosiu paslaptį - aš taip pat. Ypač baigus darbą lauko teorija.
Sprendimas: kadangi atsitiktinis kintamasis gali turėti tik vieną iš trijų reikšmių, susidaro atitinkami įvykiai pilna grupė, tai reiškia, kad jų tikimybių suma yra lygi vienetui: 
Atskleidžiame „partizaną“: 
– taigi, tikimybė laimėti sutartinius vienetus yra 0,4.
Kontrolė: ką reikia įsitikinti.
Atsakymas:
Neretai pasitaiko atvejų, kai platinimo įstatymą reikia sudaryti savarankiškai. Šiam naudojimui klasikinis tikimybės apibrėžimas, įvykių tikimybių daugybos / sudėjimo teoremos ir kiti traškučiai tervera:
2 pavyzdys
Dėžutėje yra 50 loterijos bilietų, iš kurių 12 laimi, o 2 iš jų laimi po 1000 rublių, o likusieji – po 100 rublių. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį - laimėjimo dydį, jei iš dėžutės atsitiktinai ištrauktas vienas bilietas.
Sprendimas: kaip pastebėjote, įprasta įterpti atsitiktinio dydžio reikšmes Didėjančia tvarka. Todėl pradedame nuo mažiausių laimėjimų, o būtent nuo rublių.
Iš viso tokių bilietų yra 50 - 12 = 38, o pagal klasikinis apibrėžimas:
yra tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas bilietas nelaimės.
Likę atvejai yra paprasti. Tikimybė laimėti rublių yra:
Tikrinama: - ir tai ypač malonus tokių užduočių momentas!
Atsakymas: reikalingas išmokėjimo paskirstymo įstatymas: 
Ši užduotis nepriklausomam sprendimui:
3 pavyzdys
Tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį, yra . Sudarykite atsitiktinio dydžio paskirstymo dėsnį – pataikymų skaičių po 2 šūvių.
... Žinojau, kad tu jo pasiilgai :) Prisimename daugybos ir sudėjimo teoremos. Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį, tačiau praktiškai naudinga (o kartais ir naudingiau) žinoti tik dalį jo. skaitinės charakteristikos .
Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis
Paprastais žodžiais tariant, tai vidutinė numatoma vertė su pakartotiniu bandymu. Tegul atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmes su tikimybėmis 
atitinkamai. Tada šio atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis yra lygi darbų suma visos jo reikšmės pagal atitinkamas tikimybes:
arba sulankstyta forma: 
Apskaičiuokime, pavyzdžiui, matematinį atsitiktinio dydžio lūkesčius – ant kauliuko numestų taškų skaičių:
Dabar prisiminkime savo hipotetinį žaidimą: 
Kyla klausimas: ar net apsimoka žaisti šį žaidimą? ... kas turi įspūdžių? Taigi jūs negalite sakyti „neatsargiai“! Tačiau į šį klausimą galima nesunkiai atsakyti apskaičiavus matematinį lūkestį, iš esmės - svertinis vidurkis tikimybė laimėti:
Taigi, matematinis šio žaidimo lūkestis pralaimi.
Netikėk įspūdžiais – pasitikėk skaičiais!
Taip, čia galima laimėti 10 ar net 20-30 kartų iš eilės, bet ilgainiui neišvengiamai būsime sužlugdyti. O tokių žaidimų nepatarčiau žaisti :) Na, gal tik pramogai.
Iš viso to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad matematinis lūkestis NĖRA ATSITIKTINIS dydis.
Kūrybinė užduotis savarankiškam tyrimui:
4 pavyzdys
Ponas X žaidžia europietišką ruletę pagal tokią sistemą: nuolat stato 100 rublių ant raudonos spalvos. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį – jo atsipirkimą. Apskaičiuokite matematinį laimėjimo tikėjimą ir suapvalinkite jį iki kapeikų. Kiek vidutinis ar žaidėjas pralaimi už kiekvieną šimtą statymų?
Nuoroda : Europietiškoje ruletėje yra 18 raudonų, 18 juodų ir 1 žalias sektorius („nulis“). Iškritus „raudonai“, žaidėjui mokamas dvigubas statymas, kitu atveju jis patenka į kazino pajamas.
Yra daugybė kitų ruletės sistemų, kurioms galite sukurti savo tikimybių lenteles. Bet tai yra atvejis, kai mums nereikia jokių paskirstymo dėsnių ir lentelių, nes yra tikrai nustatyta, kad žaidėjo matematiniai lūkesčiai bus lygiai tokie patys. Keičiasi tik iš sistemos į sistemą
Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau platinimo dėsnis dažnai nežinomas ir tenka apsiriboti mažesne informacija. Kartais netgi labiau apsimoka naudoti skaičius, apibūdinančius atsitiktinį kintamąjį sumoje, tokie skaičiai vadinami skaitinės charakteristikos atsitiktinis kintamasis. Matematinis lūkestis yra viena iš svarbių skaitinių charakteristikų.
Matematinis lūkestis, kaip bus parodyta toliau, yra maždaug lygus vidutinei atsitiktinio dydžio vertei. Norint išspręsti daugelį problemų, pakanka žinoti matematinį lūkestį. Pavyzdžiui, jei žinoma, kad matematinis pirmojo šaulio surinktų taškų skaičius yra didesnis nei antrojo šaulys, tada pirmasis šaulys vidutiniškai išmuša daugiau taškų nei antrasis, todėl šaudo geriau nei Antras.
4.1 apibrėžtis: matematinis lūkestis Diskrečiu atsitiktiniu dydžiu vadinamas visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Tegul atsitiktinis kintamasis X gali imti tik vertybes x 1, x 2, … x n, kurių tikimybės atitinkamai lygios p 1, p 2, … p n . Tada matematinis lūkestis M(X) atsitiktinis dydis X yra apibrėžiamas lygybės
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Jei diskretinis atsitiktinis dydis X tada įgyja suskaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį
,
be to, matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutės dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja.
Pavyzdys. Raskite matematinį įvykio įvykių skaičių A viename bandyme, jei įvykio tikimybė A yra lygus p.
Sprendimas: Atsitiktinė vertė X– įvykio atvejų skaičius A turi Bernulio paskirstymą, taigi
Taigi, matematinis įvykio pasikartojimų skaičius per vieną bandymą yra lygus šio įvykio tikimybei.
Tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė
Leiskite pagaminti n testai, kuriuose atsitiktinis dydis X priimtas m 1 kartų vertės x 1, m2 kartų vertės x2 ,…, m k kartų vertės x k, ir m 1 + m 2 + …+ m k = n. Tada visų paimtų verčių suma X, yra lygus x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Visų atsitiktinio dydžio reikšmių aritmetinis vidurkis bus
Požiūris m i / n- santykinis dažnis Wi vertybes x i maždaug lygi įvykio tikimybei pi, Kur , Štai kodėl
Tikimybinė gauto rezultato reikšmė yra tokia: matematinis lūkestis yra maždaug lygus(kuo tikslesnis, tuo didesnis bandymų skaičius) atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetinis vidurkis.
Laukimo savybės
1 nuosavybė:Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai
2 nuosavybė:Pastovus veiksnys gali būti pašalintas iš lūkesčio ženklo
4.2 apibrėžimas: Du atsitiktiniai dydžiai paskambino nepriklausomas, jei vienos iš jų paskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes įgavo kita reikšmė. Priešingu atveju atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi.
4.3 apibrėžimas: Keli atsitiktiniai dydžiai paskambino tarpusavyje nepriklausomi, jei bet kurio jų skaičiaus pasiskirstymo dėsniai nepriklauso nuo to, kokias galimas vertes įgavo kiti dydžiai.
3 nuosavybė:Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Pasekmė:Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
4 nuosavybė:Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai.
Pasekmė:Kelių atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai.
Pavyzdys. Apskaičiuokite dvinario atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius X-įvykio įvykio data A V n eksperimentai.
Sprendimas: Iš viso Xįvykių įvykiai Ašiuose bandymuose yra įvykio atvejų skaičiaus atskiruose bandymuose suma. Pristatome atsitiktinius kintamuosius X i yra įvykio įvykių skaičius i th testas, kurie yra Bernulio atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais , kur . Pagal matematinio lūkesčio savybę turime
Taigi, dvinario skirstinio su parametrais n ir p vidurkis yra lygus np sandaugai.
Pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį šaudant iš ginklo p = 0,6. Raskite matematinį viso pataikymo skaičių, jei bus paleista 10 šūvių.
Sprendimas: Kiekvieno šūvio pataikymas nepriklauso nuo kitų šūvių rezultatų, todėl nagrinėjami įvykiai yra nepriklausomi ir, atitinkamai, norimas matematinis lūkestis
Taip pat bus pateiktos užduotys savarankiškam sprendimui, į kurias matysite atsakymus.
Matematinės lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Jie apibūdina svarbiausius skirstinio požymius: jo padėtį ir sklaidos laipsnį. Matematinis lūkestis dažnai vadinamas tiesiog vidurkiu. atsitiktinis kintamasis. Atsitiktinio dydžio sklaida - dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio sklaida aplink jo matematinius lūkesčius.
Daugelyje praktikos problemų pilnas, išsamus atsitiktinio dydžio – pasiskirstymo dėsnio – aprašymas arba negali būti gautas, arba jo visai nereikia. Tokiais atvejais jie apsiriboja apytiksliu atsitiktinio dydžio aprašymu, naudojant skaitines charakteristikas.
Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis
Pereikime prie matematinio lūkesčio sampratos. Tegul kokios nors medžiagos masė pasiskirsto tarp x ašies taškų x1 , x 2 , ..., x n. Be to, kiekvienas materialus taškas turi masę, atitinkančią jį su tikimybe p1 , p 2 , ..., p n. Reikia pasirinkti vieną tašką x ašyje, kuris apibūdina visos materialių taškų sistemos padėtį, atsižvelgiant į jų mases. Natūralu tokiu tašku laikyti materialių taškų sistemos masės centrą. Tai yra atsitiktinio dydžio svertinis vidurkis X, kuriame kiekvieno taško abscisė xiįeina su „svoriu“, lygiu atitinkamai tikimybei. Taip gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė X vadinamas jo matematiniu lūkesčiu.
Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkesčiai yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:
1 pavyzdys Organizavo loteriją, kurioje laimi. Yra 1000 laimėjimų, iš kurių 400 yra po 10 rublių. 300-20 rublių kiekvienas 200-100 rublių kiekvienas. ir po 100-200 rublių. Kokį vidutinį laimėjimą gauna žmogus, perkantis vieną bilietą?
Sprendimas. Vidutinį laimėjimą rasime, jei bendrą laimėjimų sumą, kuri lygi 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublių, padalinsime iš 1000 (bendra laimėjimų suma). Tada gauname 50000/1000 = 50 rublių. Tačiau vidutinio padidėjimo apskaičiavimo išraiška taip pat gali būti pateikta tokia forma:
Kita vertus, tokiomis sąlygomis laimėjimų suma yra atsitiktinis dydis, kuris gali būti 10, 20, 100 ir 200 rublių. su tikimybėmis, atitinkamai lygiomis 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Todėl numatomas vidutinis atlygis yra lygus išmokų dydžio ir tikimybės juos gauti sandaugų sumai.
2 pavyzdys Leidykla nusprendė išleisti naują knygą. Knygą jis ketina parduoti už 280 rublių, iš kurių 200 atiteks jam, 50 – knygynui, 30 – autoriui. Lentelėje pateikiama informacija apie knygos išleidimo kainą ir tikimybę parduoti tam tikrą knygos egzempliorių skaičių.
Raskite numatomą leidėjo pelną.
Sprendimas. Atsitiktinis dydis „pelnas“ yra lygus skirtumui tarp pardavimo pajamų ir išlaidų kaštų. Pavyzdžiui, jei parduodama 500 knygos egzempliorių, tada pardavimo pajamos yra 200 * 500 = 100 000, o leidybos kaina - 225 000 rublių. Taigi leidėjui gresia 125 000 rublių nuostolis. Šioje lentelėje apibendrinamos tikėtinos atsitiktinio dydžio – pelno – reikšmės:
| Skaičius | Pelnas xi | Tikimybė pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Iš viso: | 1,00 | 25000 |
Taigi gauname matematinius leidėjo pelno lūkesčius:
.
3 pavyzdys Galimybė pataikyti vienu šūviu p= 0,2. Nustatykite apvalkalų sunaudojimą, kuris suteikia matematinį paspaudimų skaičių, lygų 5.
Sprendimas. Išreiškiame tą pačią lūkesčių formulę, kurią naudojome iki šiol x- kriauklių suvartojimas:
.
4 pavyzdys Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą x smūgių skaičius trimis šūviais, jei tikimybė pataikyti kiekvienu šūviu p = 0,4 .
Užuomina: suraskite atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybę pagal Bernulio formulė .
Laukimo savybės
Apsvarstykite matematinių lūkesčių savybes.
1 nuosavybė. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus šiai konstantai:
2 nuosavybė. Pastovus veiksnys gali būti pašalintas iš lūkesčio ženklo:
3 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai (skirtumui):
4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
5 nuosavybė. Jei visos atsitiktinio dydžio reikšmės X sumažinti (padidėti) tuo pačiu skaičiumi SU, tada jo matematinis lūkestis sumažės (padidės) tokiu pat skaičiumi:
Kai negali apsiriboti tik matematiniais lūkesčiais
Daugeliu atvejų tik matematinis lūkestis negali tinkamai apibūdinti atsitiktinio kintamojo.
Tegul atsitiktiniai kintamieji X Ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:
| Reikšmė X | Tikimybė |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Reikšmė Y | Tikimybė |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Šių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – lygūs nuliui:
Tačiau jų pasiskirstymas skiriasi. Atsitiktinė vertė X gali imti tik tas vertes, kurios mažai skiriasi nuo matematinio lūkesčio ir atsitiktinio kintamojo Y gali priimti vertes, kurios labai skiriasi nuo matematinio lūkesčio. Panašus pavyzdys: vidutinis darbo užmokestis neleidžia spręsti apie daug ir mažai apmokamų darbuotojų proporciją. Kitaip tariant, pagal matematinius lūkesčius negalima spręsti, kokie nukrypimai nuo jo, bent jau vidutiniškai, galimi. Norėdami tai padaryti, turite rasti atsitiktinio dydžio dispersiją.
Diskretinio atsitiktinio dydžio sklaida
dispersija diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X vadinamas jo nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadrato matematiniu lūkesčiu:
Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X yra jos dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinė vertė:
.
5 pavyzdys Apskaičiuokite atsitiktinių dydžių dispersijas ir standartinius nuokrypius X Ir Y, kurių pasiskirstymo dėsniai pateikti aukščiau esančiose lentelėse.
Sprendimas. Atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai X Ir Y, kaip nurodyta aukščiau, yra lygūs nuliui. Pagal dispersijos formulę E(X)=E(y)=0 gauname:
Tada atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai X Ir Y sudaryti
.
Taigi su tais pačiais matematiniais lūkesčiais atsitiktinio dydžio dispersija X labai mažas ir atsitiktinis Y- reikšmingas. Tai yra jų pasiskirstymo skirtumo pasekmė.
6 pavyzdys Investuotojas turi 4 alternatyvius investicinius projektus. Lentelėje su atitinkama tikimybe apibendrinami duomenys apie numatomą pelną šiuose projektuose.
| 1 projektas | 2 projektas | 3 projektas | 4 projektas |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Raskite kiekvienos alternatyvos matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
Sprendimas. Parodykime, kaip šie dydžiai apskaičiuojami trečiajai alternatyvai:
Lentelėje apibendrinamos rastos visų alternatyvų reikšmės.
Visos alternatyvos turi tuos pačius matematinius lūkesčius. Tai reiškia, kad ilgainiui visi turi vienodas pajamas. Standartinis nuokrypis gali būti interpretuojamas kaip rizikos matas – kuo jis didesnis, tuo didesnė investicijos rizika. Investuotojas, kuris nenori didelės rizikos, rinksis 1 projektą, nes jo standartinis nuokrypis yra mažiausias (0). Jei investuotojas teikia pirmenybę rizikai ir didelei grąžai per trumpą laikotarpį, jis rinksis projektą su didžiausiu standartiniu nuokrypiu – 4 projektą.
Dispersijos savybės
Pateiksime dispersijos savybes.
1 nuosavybė. Pastovios vertės dispersija lygi nuliui:
2 nuosavybė. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu:
.
3 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi šios reikšmės kvadrato matematiniam lūkesčiui, iš kurio atimamas pačios reikšmės matematinio lūkesčio kvadratas:
,
Kur 
.
4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) dispersija yra lygi jų dispersijų sumai (skirtumui):
7 pavyzdys Yra žinoma, kad diskretinis atsitiktinis dydis X ima tik dvi reikšmes: −3 ir 7. Be to, žinomas matematinis lūkestis: E(X) = 4. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.
Sprendimas. Pažymėti p tikimybė, su kuria atsitiktinis dydis įgauna reikšmę x1 = −3 . Tada vertės tikimybė x2 = 7 bus 1 − p. Išveskime matematinio lūkesčio lygtį:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
kur gauname tikimybes: p= 0,3 ir 1 − p = 0,7 .
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Šio atsitiktinio dydžio dispersiją apskaičiuojame naudodami formulę iš 3 dispersijos savybės:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Pats suraskite matematinį atsitiktinio kintamojo lūkestį ir pamatykite sprendimą
8 pavyzdys Diskretus atsitiktinis dydis X ima tik dvi vertes. Ji turi didesnę reikšmę 3 su 0,4 tikimybe. Be to, žinoma atsitiktinio dydžio dispersija D(X) = 6 . Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą.
9 pavyzdys Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš urnos paimami 3 rutuliukai. Baltų rutulių skaičius tarp ištrauktų rutulių yra diskretusis atsitiktinis dydis X. Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.
Sprendimas. Atsitiktinė vertė X gali gauti reikšmes 0, 1, 2, 3. Atitinkamas tikimybes galima apskaičiuoti iš tikimybių daugybos taisyklė. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Taigi matematinis šio atsitiktinio kintamojo lūkestis:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Tam tikro atsitiktinio dydžio dispersija yra tokia:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Tolydinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir sklaida
Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui mechaninis matematinio lūkesčio aiškinimas išliks ta pati reikšmė: masės centras masės vienetui, nuolat paskirstytam x ašyje su tankiu. f(x). Priešingai nei diskretiškasis atsitiktinis kintamasis, kurio funkcijos argumentas xi staigiai keičiasi, nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui argumentas keičiasi nuolat. Tačiau matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis taip pat yra susijęs su jo vidutine verte.
Norėdami rasti ištisinio atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją, turite rasti apibrėžtuosius integralus . Jei pateikiama nuolatinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija, ji patenka tiesiai į integrandą. Jei pateikiama tikimybių skirstinio funkcija, tada ją diferencijuojant reikia rasti tankio funkciją.
Visų galimų nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių aritmetinis vidurkis vadinamas jo matematinis lūkestis, žymimas arba .
