Презентиран е метод за интегрирање на неопределен интеграл по делови. Дадени се примери на интеграли пресметани со овој метод. Се анализираат примери на решенија.

содржина

Исто така види: Методи за пресметување на неопределени интеграли
Табела на неопределени интеграли
Основни елементарни функции и нивните својства

Формулата за интеграција по делови е:
.

Начинот на интеграција по делови се состои во примена на оваа формула. Во практична примена, вреди да се напомене дека u и v се функции на интеграциската променлива. Променливата за интеграција нека биде означена како x (симбол по диференцијалниот знак d на крајот од интегралната нотација). Тогаш u и v се функции на x : u(x) и v(x) .
Потоа
, .
И формулата за интеграција по делови ја има формата:
.

Односно, интеграндот мора да се состои од производ на две функции:
,
од кои едното го означуваме како u: g(x) \u003d u, а интегралот мора да се пресмета за другиот (поточно, мора да се најде антидериватот):
, тогаш dv = f(x) dx .

Во некои случаи f(x) = 1 . Односно во интегралот
,
можеме да ставиме g(x) = u, x = v.

Резиме

Значи, во овој метод, формулата интеграција по делови треба да се запомни и примени во две форми:
;
.

Интеграли пресметани со интеграција по делови

Интеграли кои содржат логаритамски и инверзни тригонометриски (хиперболични) функции

Интегралите што содржат логаритам и инверзни тригонометриски или хиперболични функции често се интегрирани со делови. Во овој случај, делот што содржи логаритам или инверзни тригонометриски (хиперболични) функции се означува со u, преостанатиот дел - со dv.

Еве примери на такви интеграли, кои се пресметуваат со методот на интеграција по делови:
, , , , , , .

Интеграли кои содржат производ на полином и sin x, cos x или e x

Според формулата за интегрирање на делови, се наоѓаат интеграли на формата:
, , ,
каде што P(x) е полином во x. Во интеграцијата, полиномот P(x) се означува со u , а e ax dx, cos секира dxили грев секира dx- преку dv.

Еве примери на такви интеграли:
, , .

Примери за пресметување интеграли со методот на интеграција по делови

Примери на интеграли кои содржат логаритамски и инверзни тригонометриски функции

Пример

Пресметај интеграл:

Детално решение

Овде интеграндот го содржи логаритамот. Правење замени
u= во x,
dv=x 2dx.
Потоа
,
.

Го пресметуваме преостанатиот интеграл:
.
Потоа
.
На крајот од пресметките, императив е да се додаде константата C, бидејќи неопределен интеграл е множеството на сите антидеривати. Може да се додаде и во средните пресметки, но тоа само ќе ги натрупува пресметките.

Пократко решение

Можно е решението да се претстави во пократка верзија. За да го направите ова, не треба да правите замени со u и v, туку можете да ги групирате факторите и да ја примените формулата интеграција по делови во втората форма.

.

Други примери

Примери на интеграли што содржат производ на полином и sin x, cos x или ex

Пример

Пресметај интеграл:
.

Го воведуваме експонентот под диференцијалниот знак:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Ние се интегрираме по делови.
.
Го користиме и методот на интеграција по делови.
.
.
.
Конечно имаме.

Овој метод се заснова на следната формула: (*)

Нека И се функции на x кои имаат континуирани изводи и .

Познато е дека или ; или .

Интеграли и , бидејќи по претпоставка функциите u и v се диференцијабилни и оттука континуирани.

Формулата (*) се нарекува формула на интеграција по делови.

Методот заснован на неговата примена се нарекува метод на интеграција по делови.

Ја сведува пресметката на пресметка на друг интеграл: .

Примената на методот на интеграција по делови се состои во тоа што под интегрален израз на даден интеграл се обидуваат да претстават во форма на производ, каде и се некои функции на x, а овие функции се избрани така што беше полесно да се пресмета од оригиналниот интеграл. Кога да се пресмета претходно пронајдени и .

(како „v“ земаме еден од оригиналните антидеривати пронајдени од dv, затоа, во иднина, при пресметувањето на „v“, ќе ја испуштиме константата C во ознаката).

Коментар.При факторинг под интегралниот израз, мора да се разбере што и што треба да содржи.

За жал, невозможно е да се дадат општи правила за факторинг на интегралниот израз во фактори „u“ и „dv“. Ова може да се научи со многу и внимателна пракса.

Со сето ова треба да се има предвид дека беше поедноставен од оригиналниот интеграл.

Пример 6.6.22.

Понекогаш, за да се добие конечниот резултат, правилото за интеграција по делови се применува последователно неколку пати.

Методот на интеграција по делови е удобен за употреба, се разбира, не секој пат, а способноста да се користи зависи од искуството.

Кога се пресметуваат интегралите, важно е правилно да се утврди кој метод на интеграција треба да се користи (како во претходниот пример, тригонометриската замена побрзо води до целта).

Размислете за најчестите интеграли кои се пресметуваат со интеграција по делови.

1.Интеграли на формата :

каде е цел број (во однос на x) полином; а е постојан број.

Ако производот на тригонометриска или експоненцијална функција е алгебарска под знакот интегрален, тогаш алгебарската функција обично се зема за „u“.

Пример 6.6.23.

Забележете дека уште едно расчленување на фактори: не води до целта.

Докажано
.

Добиваме покомплексен интеграл.

2.Интеграли на формата :

каде е полином.

Ако интегралниот знак е производ на логаритам на функција или инверзна тригонометриска функција со алгебарска, тогаш функциите треба да се земат како „u“.

Пример 6.6.23.

3.Интеграли на формата:

Овде можете да користите било кое од 2-те можни разделби на интегралниот израз на фактори: за „u“ можете да ги земете и двете и .

Покрај тоа, пресметката на таквите интеграли користејќи го методот на интеграција по делови води до оригиналниот интеграл, односно се добива равенка во однос на саканиот интеграл.

Пример 6.6.24 Пресметај .

.

Кога се интегрира, често е неопходно сукцесивно да се примени методот на замена и методот на интеграција по делови.

Пример 6.6.25.

Интеграција на некои функции кои содржат квадратен трином

1)

.

а тоа се табеларни интеграли.

2) коефициенти на реални броеви

во броителот го избираме изводот на именителот.

a,b,c се реални броеви

А) ; тогаш имаме:

б) . Во овој случај, има смисла да се разгледа само кога дискриминаторот трином позитивно:

Сега имаме:

Коментар. Во пракса, тие обично не користат готови резултати, но претпочитаат да вршат слични пресметки повторно секој пат.

Пример.

4)

Го трансформираме броителот така што од него може да се извлече изводот на квадратниот трином:

Поради фактот што во практиката не постои пригоден општ метод за пресметување на неопределени интеграли, заедно со одредени методи на интеграција (видете го претходното предавање), ние исто така треба да разгледаме методи за интегрирање на одредени класи на функции, чии интеграли се често се среќава во пракса.

Најважната класа меѓу нив е класата на рационални функции.

„Интеграција на фракционо-рационални функции“

Интеграцијата на правилна рационална дропка се заснова на проширување на рационална дропка во збир од елементарни дропки.

Елементарни (едноставни) дропки и нивна интеграција.

Дефиниција. Дропки од формата: ; (1)

(2), каде

(односно, корените на триномот се сложени), се нарекуваат елементарни.

Размислете за интеграцијата на елементарните дропки

2)

(каде нека ).

Го пресметуваме интегралот

(*)

Последниот интеграл се пресметува со помош на рекурзивна формула.

Понекогаш интеграцијата по делови ви овозможува да ја добиете врската помеѓу неопределен интеграл кој содржи степен на некоја функција и сличен интеграл, но со помал експонент на истата функција. Таквите односи се нарекуваат рекурзивни формули.

Означи со .

Ние имаме:

Во последниот интеграл ставаме:

Затоа

каде

Така, дојдовме до рекурзивна формула: чија повторена примена на крајот води до интегралот „табела“:

Потоа наместо „t“ и „k“ ги заменуваме нивните вредности.

Пример 6.6.26.

(според формулата за повторување).=

.

Рационална дропка е функција што може да се претстави во форма ; каде и се полиноми со реални коефициенти.

Рационална дропка се нарекува правилна ако степенот на броителот е помал од степенот на именителот.

Секоја правилна рационална дропка може да се претстави како збир од конечен број елементарни дропки.

Разложувањето на правилна дропка на елементарни се одредува со следнава теорема која ја разгледуваме без доказ.

Теорема . Ако дропката - точно и, (каде што триномот нема вистински корени), тогаш идентитетот е вистинит:

(јас)

Забележете дека секој реален корен, на пример a, со мноштво „ ” на полиномот во ова проширување одговара на збирот на елементарните фракции од формата (1), и секој пар сложени конјугирани корени и (така што ) на мноштвото „ ” одговара на збирот на елементарните дропки од формата (2).

За да извршите проширување (I), треба да научите како да ги одредите коефициентите .

Постојат различни начини да ги пронајдете. Ќе го разгледаме методот на неодредени коефициенти и методот на парцијални вредности.

Интеграција по делови. Примери за решенија

Здраво повторно. Денес во лекцијата ќе научиме како да се интегрираме по делови. Методот на интеграција по делови е еден од темелите на интегралното сметање. На тестот, испитот, на студентот речиси секогаш му се нуди да решава интеграли од следниве типови: наједноставен интеграл (види статија)или интеграл за промена на променливата (види статија)или интегралот само вклучен метод на интеграција по делови.

Како и секогаш, при рака треба да биде: Табела на интегралиИ Табела за деривати. Ако сè уште ги немате, тогаш посетете го складиштето на мојата страница: Математички формули и табели. Нема да се уморам да повторувам - подобро е да испечатите сè. Ќе се обидам да го претставам целиот материјал на конзистентен, едноставен и достапен начин, нема посебни потешкотии во интегрирањето по делови.

Кој проблем го решава интеграцијата по делови? Начинот на интеграција по делови решава многу важен проблем, ви овозможува да интегрирате некои функции што не се во табелата, работафункции, а во некои случаи - и приватни. Како што се сеќаваме, не постои погодна формула: . Но, постои овој: е формулата за интеграција по делови лично. Знам, знам, ти си единствениот - со неа ќе ја работиме целата лекција (веќе е полесно).

И веднаш списокот во студио. Интегралите од следниве типови се земаат по делови:

1) , , - логаритам, логаритам помножен со некој полином.

2) ,е експоненцијална функција помножена со некој полином. Ова исто така вклучува интеграли како - експоненцијална функција помножена со полином, но во пракса таа е 97 проценти, убава буква „е“ се истакнува под интегралот. ... написот испаѓа дека е нешто лирски, о да ... дојде пролетта.

3) , , се тригонометриски функции помножени со некој полином.

4) , - инверзни тригонометриски функции („лакови“), „лакови“, помножени со некој полином.

Исто така, некои фракции се земаат во делови, детално ќе ги разгледаме и соодветните примери.

Интеграли на логаритми

Пример 1

Класичен. Од време на време, овој интеграл може да се најде во табелите, но непожелно е да се користи готов одговор, бидејќи наставникот има бери-бери на пролет и многу ќе се кара. Бидејќи интегралот што се разгледува во никој случај не е табеларен - тој се зема во делови. Ние одлучуваме:

Го прекинуваме решението за меѓуобјаснувања.

Ја користиме формулата за интеграција по делови:

Формулата се применува од лево кон десно

Гледаме на левата страна:. Очигледно, во нашиот пример (и во сите други што ќе ги разгледаме), нешто треба да се означи со , а нешто со .

Во интегралите од типот што се разгледува, секогаш го означуваме логаритамот.

Технички, дизајнот на решението се спроведува на следниов начин, пишуваме во колоната:

Односно, затоа што го означивме логаритамот, а за - преостанатиот делинтегранд.

Следен чекор: најдете го диференцијалот:

Диференцијалот е речиси ист како и дериватот, веќе разговаравме како да го најдеме во претходните лекции.

Сега ја наоѓаме функцијата. За да се најде функцијата потребно е да се интегрира десна странапомала еднаквост:

Сега го отвораме нашето решение и ја конструираме десната страна на формулата: .
Патем, еве пример за конечно решение со неколку забелешки:

Единствениот момент во производот, веднаш го преуредив и, бидејќи е вообичаено да се пишува множителот пред логаритамот.

Како што можете да видите, примената на формулата интеграција по делови во суштина го намали нашето решение на два едноставни интеграли.

Ве молиме имајте предвид дека во некои случаи веднаш попримена на формулата, нужно се врши поедноставување под преостанатиот интеграл - во разгледуваниот пример, го намаливме интеграндот за "x".

Ајде да направиме проверка. За да го направите ова, треба да го земете дериватот на одговорот:

Добиен е оригиналниот интегранд, што значи дека интегралот е правилно решен.

За време на верификацијата, го користевме правилото за диференцијација на производот: . И ова не е случајно.

Формула за интеграција по делови и формула Ова се две меѓусебно инверзни правила.

Пример 2

Најдете го неопределениот интеграл.

Интеграндот е производ на логаритамот и полиномот.
Ние одлучуваме.

Уште еднаш детално ќе ја опишам постапката за примена на правилото, во иднина примерите ќе бидат пократко изработени, а доколку имате потешкотии сами да го решите, треба да се вратите на првите два примери од лекцијата .

Како што веќе споменавме, затоа што е неопходно да се назначи логаритам (фактот дека е во одреден степен не е важно). Означуваме преостанатиот делинтегранд.

Во колумна пишуваме:

Прво го наоѓаме диференцијалот:

Овде го користиме правилото за диференцијација на сложена функција . Не случајно на првата лекција од темата Неопределен интеграл. Примери за решенијаСе фокусирав на тоа дека за да ги совладаш интегралите треба да „фатиш рака“ на дериватите. Дериватите ќе мора да се соочат повеќе од еднаш.

Сега ја наоѓаме функцијата, за ова ја интегрираме десна странапомала еднаквост:

За интеграција, ја применивме наједноставната табеларна формула

Сега сте подготвени да ја примените формулата . Го отвораме со „ѕвездичка“ и го „дизајнираме“ решението во согласност со десната страна:

Под интегралот, повторно имаме полином на логаритам! Затоа, решението повторно се прекинува и правилото за интеграција по делови се применува по втор пат. Не заборавајте дека за слични ситуации логаритамот секогаш се означува.

Би било убаво ако во овој момент можете усно да ги најдете наједноставните интеграли и деривати.

(1) Не се збунувајте во знаците! Многу често тука се губи минус, исто така имајте предвид дека минусот важи на ситезаграда , и овие загради треба да се отворат правилно.

(2) Проширете ги заградите. Го поедноставуваме последниот интеграл.

(3) Го земаме последниот интеграл.

(4) „Чешлање“ на одговорот.

Потребата да се примени правилото за интеграција по делови двапати (или дури трипати) не е невообичаена.

И сега неколку примери за независно решение:

Пример 3

Најдете го неопределениот интеграл.

Овој пример се решава со промена на методот на променлива (или подведување под диференцијалниот знак)! И зошто да не - можете да се обидете да го земете во делови, добивате смешна работа.

Пример 4

Најдете го неопределениот интеграл.

Но, овој интеграл е интегриран со делови (ветената дропка).

Ова се примери за самостојно решавање, решенија и одговори на крајот од часот.

Се чини дека во примерите 3,4 интеградите се слични, но методите за решавање се различни! Токму ова е главната тешкотија во совладувањето на интегралите - ако изберете погрешен метод за решавање на интегралот, тогаш можете да се занимавате со него со часови, како со вистинска загатка. Затоа, колку повеќе решавате разни интеграли, толку подобро, толку полесно ќе биде тестот и испитот. Дополнително, во втората година ќе има диференцијални равенки, а без искуство во решавање интеграли и изводи нема што да се прави таму.

По логаритми, можеби повеќе од доволно. За ужина, можам да се сетам и дека студентите по технологија ги нарекуваат женските гради логаритми =). Патем, корисно е да се знаат напамет графиконите на главните елементарни функции: синус, косинус, лак тангента, експонент, полиноми од трет, четврти степен итн. Не, секако, кондом на глобус
Јас нема да влечам, но сега ќе се сетите многу од делот Графикони и функции =).

Интеграли на експонентот помножени со полиномот

Општо правило:

Пример 5

Најдете го неопределениот интеграл.

Користејќи познат алгоритам, интегрираме по делови:

Ако имате какви било потешкотии со интегралот, тогаш треба да се вратите на статијата Метод на промена на променливата во неопределен интеграл.

Единственото друго нешто што треба да направите е да го „чешлате“ одговорот:

Но, ако вашата техника за пресметка не е многу добра, тогаш оставете ја најпрофитабилната опција како одговор. или дури

Односно, примерот се смета за решен кога ќе се земе последниот интеграл. Тоа нема да биде грешка, тоа е друга работа што наставникот може да побара да го поедностави одговорот.

Пример 6

Најдете го неопределениот интеграл.

Ова е пример „направи сам“. Овој интеграл е интегриран двапати со делови. Посебно внимание треба да се посвети на знаците - лесно е да се збуниме во нив, се сеќаваме и на тоа - сложена функција.

Нема многу повеќе да се каже за изложувачот. Можам само да додадам дека експоненцијалниот и природниот логаритам се меѓусебно инверзни функции, ова сум јас на тема забавни графикони на вишата математика =) Стоп-стоп, не се секирај, предавачот е трезен.

Интеграли на тригонометриски функции помножени со полином

Општо правило: секогаш се залага за полиномот

Пример 7

Најдете го неопределениот интеграл.

Интегрирање по делови:

Хммм... и нема што да коментирам.

Пример 8

Најдете го неопределен интеграл

Ова е пример за решение „направи сам“.

Пример 9

Најдете го неопределен интеграл

Друг пример со дропка. Како и во двата претходни примери, полиномот се означува со.

Интегрирање по делови:

Ако имате какви било тешкотии или недоразбирање со наоѓање на интегралот, тогаш препорачувам да присуствувате на лекцијата Интеграли на тригонометриски функции.

Пример 10

Најдете го неопределен интеграл

Ова е пример „направи сам“.

Совет: пред да го користите методот интеграција по делови, треба да примените некоја тригонометриска формула која го претвора производот од две тригонометриски функции во една функција. Формулата може да се користи и при примена на методот на интеграција по делови, кому му е попогодно.

Тоа, можеби, е сè во овој став. Поради некоја причина, се сетив на една линија од химната на Катедрата за физика и математика „И синусниот график бран по бран тече по оската на апсцисата“ ....

Интеграли на инверзни тригонометриски функции.
Интеграли на инверзни тригонометриски функции помножени со полином

Општо правило: секогаш се залага за инверзна тригонометриска функција.

Ве потсетувам дека инверзните тригонометриски функции вклучуваат лаксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс. Заради краткост, ќе ги наречам „арки“

Методот на интеграција по делови се користи кога е потребно да се поедностави постоечкиот неопределен интеграл или да се намали на табеларна вредност. Најчесто се користи во случај на експоненцијални, логаритамски, директни и инверзни тригонометриски формули и нивни комбинации во интеграндот.

Основната формула потребна за користење на овој метод изгледа вака:

∫ f (x) d x = ∫ u (x) d (v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x))

Тоа значи дека прво треба да го претставиме изразот под интегралот како производ на функцијата u (x) и диференцијалот на функцијата v (x) . После тоа, ја пресметуваме вредноста на функцијата v (x) со некој метод (најчесто се користи методот на директна интеграција), а добиените изрази се заменуваат во наведената формула, намалувајќи го оригиналниот интеграл на разликата u (x ) v (x) - ∫ v (x) d(u(x)) . Добиениот интеграл може да се земе и со кој било метод на интеграција.

Размислете за проблем во кој треба да го пронајдете множеството антидеривати на функцијата логаритам.

Пример 1

Пресметајте го неопределениот интеграл ∫ ln (x) d x .

Решение

Го користиме методот на интеграција по делови. За да го направите ова, го земаме ln (x) како функција од u (x) , а остатокот од интеграндот како d (v (x)) . Како резултат на тоа, добиваме дека ln (x) d x = u (x) d (v (x)) , каде што u (x) = ln (x) , d (v (x)) = d x.

Диференцијалот на функцијата u(x) е d(u(x)) - u"(x)dx = dxx и функцијата v(x) може да се претстави како v(x) = ∫ d(v(x)) = ∫ dx = x

Важно:константата C при пресметување на функцијата v (x) ќе се смета за еднаква на 0 .

Добиеното го заменуваме во формулата за интеграција со делови:

∫ ln (x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = ln (x) x - ∫ x d x x = ln (x) x - ∫ d x \u003d ln (x) x - x + C 1 \u003d \u003d x (ln (x) - 1) + C

каде што C \u003d - C 1

Одговор:∫ ln (x) d x = x (ln (x) - 1) + C .

Најтешкото нешто во примената на овој метод е изборот кој дел од оригиналниот израз под интегралот да се земе како u (x) и кој - d (v (x)) .

Ајде да погледнеме неколку стандардни случаи.

Ако имаме интеграли од формата ∫ P n (x) e a x d x , ∫ P n (x) sin (a x) d x или ∫ P n (x) cos (a x) d x, каде што a е коефициент и P n (x ) е полином со степен n , тогаш P n (x) треба да се земе како функција u (x).

Пример 2

Најдете го множеството антидеривати на функцијата f (x) = (x + 1) sin (2 x) .

Решение

Неопределениот интеграл ∫ (x + 1) sin (2 x) d x можеме да го земеме по делови. Го земаме x + 1 како u (x) и sin (2 x) d x како d (v (x)) , односно d (u (x)) = d (x + 1) = d x.

Користејќи директна интеграција, добиваме:

v (x) = ∫ грев (2 x) d x = - 1 2 cos (2 x)

Замена во формулата за интеграција по делови:

∫ (x + 1) sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = (x + 1) - 1 2 cos (2 x) - ∫ - 1 2 cos (2 x) d x = = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 2 ∫ cos (2 x) d (x) = = - 1 2 (x + 1) cos ( 2 x) + 1 4 грев (2 x) + C

Одговор:∫ (x + 1) sin (2 x) d x = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) + C .

Пример 3

Пресметајте го неопределениот интеграл ∫ (x 2 + 2 x) e x d x .

Решение

Земаме полином од втор ред x 2 + 2 x како u (x) и d (v (x)) - e x d x .

∫ x 2 + 2 x e x d x = u (x) = x 2 + 2 x, d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = (2 x + 2) d x, v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = (x 2 + 2 x) e x - ∫ (2 x + 2) e x d x

За она што го направивме, мора повторно да го примениме методот на интеграција по делови:

∫ (2 x + 2) e x d x = (x 2 + 2 x) e x - ∫ 2 x + 2 e x d x = = u (x) = (2 x + 2) , d (v (x)) = e x d x d (u ( x)) = 2 d x, v (x) = ∫ e x d x = e x = = (x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ v (x) d (u (x)) = = ( x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ 2 e x d x = = (x 2 + 2 x - 2 x - 2) e x + 2 ∫ e x d x = (x 2 - 2) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

Одговор:∫ (x 2 + 2 x) e x d x = x 2 e x + C .

Пример 4

Пресметај го интегралот ∫ x 3 cos 1 3 x d x.

Решение

Според методот на интеграција по делови, земаме u (x) = x 3 и d (v (x)) = cos 1 3 x d x .

Во овој случај, d (u (x)) = 3 x 2 d x и v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x .

Сега ги заменуваме добиените изрази во формулата:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u)) = = x 3 3 sin 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 грев 1 3 x - 9 ∫ x 2 грев 1 3 x d x

Имаме неопределен интеграл, кој повторно треба да се земе во делови:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u (x) = x 2, d (v (x)) = грев 1 3 x d x d (u (x )) = 2 x d x, v (x) = ∫ sin 1 3 x d x = - 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 грев 1 3 x - 9 - 3 x 2 cos 1 3 x - ∫ - 3 cos 1 3 x 2 x d x = = 3 x 3 грев 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x

Повторно вршиме делумна интеграција:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u (x) = x, d (v (x)) = cos 1 3 x d x d (u (x)) = d x, v (x) = ∫ cos 1 3 x - ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 - 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ грев 1 3 x d x = = (3 x 3 - 162 x) грев 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 486 cos 1 3 x + C = = (3 x 3 - 162 x) грев 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C

Одговор:∫ x 3 cos 1 3 x d x = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C .

Ако имаме интеграли од формата ∫ P n (x) ln (a x) d x , ∫ P n (x) a r c sin (a x) d x , ∫ P n (x) a r c cos (a x) d x , ∫ P n (x ) a r c t g (a x) d x , ∫ P n (x) a r c c t g (a x) d x

тогаш треба да ги земеме како u (x) функциите a r c t g (a x) , a r c c t g (x) , ln (a x) , a r c sin (a x) , a r cos (a x) .

Пример 5

Пресметај го множеството антидеривати на функцијата (x + 1) ln (2 x) .

Решение

Го земаме ln (2 x) како u (x) и (x + 1) d x како d (v (x)) . Добиваме:

d (u (x)) = (ln (2 x)) " d x = 1 2 x (2 x) " d x = d x x v (x) = ∫ (x + 1) d x = x 2 2 + x

Заменете ги овие изрази во формулата:

∫ (x + 1) ln (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln (2 x) - ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x d x - ∫ d x = = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C

Одговор:∫ (x + 1) ln (2 x) d x = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C .

Пример 6

Пресметајте го неопределениот интеграл ∫ x · a r c sin (2 x) d x .

Решение

Одлучуваме кој дел да го земеме за u (x) и кој дел за d (v (x)) . Според правилото погоре, како прва функција, треба да земете r c sin (2 x) , и d (v (x)) = x d x. Добиваме:

d (u (x)) = (a r c sin (2 x) "d x = 2 x" d x 1 - (2 x) 2 = 2 d x 1 - (2 x) 2 , v (x) = ∫ x d x = x 2 2

Заменете ги вредностите во формулата:

∫ x a r c sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - (2 x) 2 = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Како резултат на тоа, стигнавме до следната еднаквост:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Сега го пресметуваме добиениот интеграл ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 d x = - 1 2 1 4 - x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c грев (2x)

Овде можете да го примените методот на интеграција по делови и да добиете:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2 x) = = u (x) = 1 4 - x 2 , d (v (x)) = d x d (u (x)) = 1 4 - x 2 "d x 2 1 4 - x 2 = - x d x 1 4 - x 2 , v (x) = ∫ d x = x = = - 1 2 u (x) v ( x) - ∫ v (x) d (u (x)) + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c грев (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c грев (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Сега нашата еднаквост изгледа вака:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Гледаме дека интегралот од десната страна е сличен на оној од левата страна. Го пренесуваме на друг дел и добиваме:

2 ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2

каде што C 2 = C 1 2

Да се ​​вратиме на оригиналните променливи:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin (2 x) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C

каде што C \u003d - C 2

Одговор:∫ x a r c sin (2 x) d x = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C .

Ако во задачата имаме интеграл од формата ∫ e a x sin (b x) d x или ∫ e a x cos (b x) d x, тогаш која било функција може да се избере како u (x).

Пример 7

Пресметај го неопределениот интеграл ∫ e x · sin (2 x) d x .

Решение

∫ e x sin (2 x) d x = u (x) = sin (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = 2 cos (2 x) d x, v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = грев (2 x) e x - ∫ e x 2 cos 2 x d x = = грев (2 x) e x - 2 ∫ e x cos (2 x) d x = u (x) = cos (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = - 2 sin (2 x) d x, v (x) = ∫ e x d x = e x = = грев (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - ∫ (e x (- 2 sin (2 x) d x)) = = грев (2 x) e x = 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Како резултат, ќе добиеме:

∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Ги гледаме истите интеграли лево и десно, што значи дека можеме да донесеме слични термини:

5 ∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x ⇒ ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Одговор: ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Ваквиот начин на решавање е стандарден, а десно често се добива интеграл кој е идентичен со оригиналниот.

Ги испитавме најтипичните задачи во кои можете точно да одредите кој дел од изразот да го земете за d (v (x)) и кој за u (x) . Во други случаи, ова треба да се утврди независно.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Неопределен интеграл

1Антидериватив и неопределен интеграл 1

2Наједноставните својства на неопределен интеграл. 3

Табела со основни интеграли 3

2.1Дополнителна табела на интеграли 4

3Промена на променлива во неопределен интеграл 5

3.1Метод на интегрирање на функции од формата и (a≠ 0). 6

4 Интеграција по делови во неопределен интеграл 7

4.1Метод на интегрирање на функциите на формата. 7

4.2 Начин на интегрирање на функции од формата: 8

5 Интегрирање на рационални дропки 8

5.1Начин на интеграција на наједноставните дропки од 4ти тип. единаесет

6Интегрирање на ирационални изрази 12

6.1Интеграција на тригонометриски изрази 14

1. Антидериватив и неопределен интеграл

Решете ја диференцијалната равенка

на интервалот, т.е. најдете функција таква што . Бидејќи , равенката (1) може да се препише во диференцијали:

Секое решение за таква равенка се нарекува антидеривативна функција. Значи функцијата се нарекува антидеривативна функцијана интервалот ако за сите . Случаи и/или не се исклучени. Јасно е дека ако антидериват, тогаш и антидериватив. Наша задача е да ги најдеме сите решенија на равенката (1). Функцијата на две променливи се нарекува општо решение на равенката (1) или, со други зборови, неопределен интегралфункции ако, при замена за кој било број, добиеме одредено решение на равенката (1) и секое конкретно решение на равенката (1) се добива на овој начин.

Неопределениот интеграл се означува со . Функцијата се нарекува интегранд, диференцијалот се нарекува интегранд и е знак на интегралот (испружена латинска буква S, првата буква од зборот Sum е збир). Се поставува прашањето за постоењето на антидериват и неопределен интеграл. Во делот „Определен интеграл“, § Њутн-Лајбницова формула ќе се докаже дека антидериватот на континуирана функција секогаш постои.

Лема.Нека биде идентично за сите. Тогаш е константа на овој интервал.

Доказ. Дозволете ни да означиме за која било точка. Да земеме произволна точка и да ја примениме теоремата на Лагранж на разликата: за одредена точка . Оттука се докажува лемата.□

Теоремата за антидеривати. Два антидеривати со иста функција дефинирани на интервал се разликуваат по константа.

Доказ. Нека и се антидеривативни функции. Тогаш од каде, по лемата -- постојана. Оттука, . □

Последица. Ако е антидериват на функцијата, тогаш .

Забележете дека ако не земеме интервал како функција ODZ, туку, на пример, такво исклучено множество како спој на два интервали , Тоа која било функција на формата

има нулта извод, а со тоа лемата и антидеривативната теорема престануваат да важат во овој случај.

1. Наједноставните својства на неопределен интеграл.

1. Интегралот на збирот е еднаков на збирот на интегралите:

2. Константата може да се извади од интегралниот знак:

3. Изводот на интегралот е еднаков на интеграндот.

4. Диференцијалот од интегралот е еднаков на интеграндот.

5. (Линеарна промена на променливите) Ако , Тоа (Тука).

Табела со основни интеграли

Особено,

За исклучителен случај имаме:

1. Дополнителна табела на интеграли

1. Промена на променлива во неопределен интеграл

Да ја прошириме дефиницијата за неопределен интеграл на поопшт случај: претпоставуваме по дефиниција. Така, на пример

Теорема.Нека е диференцијабилна функција. Потоа

Доказ. Нека . Потоа

што требаше да се докаже.□

Во конкретниот случај кога ќе добиеме линеарна промена на променливите (види својство 5, §1). Примената на формулата (1) „од лево кон десно“ ќе значи промена на променливата. Примената на формулата (1) во спротивна насока, „од десно кон лево“ се нарекува внесување под диференцијалниот знак.

Примери.А.

1. Го избираме изводот на квадратниот трином во броителот:

3. За да го пресметаме првиот интеграл во (2), го користиме записот под диференцијалниот знак:

За да го пресметаме вториот интеграл, избираме полн квадрат во квадратен трином и го намалуваме на табеларен со линеарна промена на променливите.

Интеграли на формата

Примери

1. Интеграција по делови во неопределен интеграл

Теорема.За диференцијабилни функции и ја имаме релацијата

Доказ. Интегрирање на левата и десната страна на формулата , добиваме:

Бидејќи по дефиниција и , следува формулата (1).□

Пример.

За да интегрираме такви функции, полиномот го ставаме под диференцијалниот знак и ја применуваме формулата интеграција по делови. Постапката се повторува k пати.

Пример.

1. Интеграција на рационални дропки

Рационална дропкасе нарекува функција од формата , каде што се полиноми. Ако , тогаш се нарекува рационална дропка точно. Инаку се вика погрешно.

Следниве рационални дропки се нарекуваат наједноставни

(тип 2)

(тип 3)

(4 тип) ,

Теорема 1.Секоја дропка може да се разложи на збир на полином и правилна рационална дропка.

Доказ. Нека е неправилна рационална дропка. Поделете го броителот со именителот со остаток: Еве полиноми и Потоа

Дропката е точна поради неравенството. □

Теорема 2.Секоја соодветна рационална дропка може да се разложи на збир од наједноставните.

Алгоритам за распаѓање.

а) Именителот на соодветна дропка го прошируваме во производ од нередуцирани полиноми (линеарни и квадратни со негативна дискриминантна):

Еве и -- множители на соодветните корени.

б) Дропката ја разложуваме на збир од наједноставните со неопределени коефициенти според следниве принципи:

Ова го правиме за секој линеарен фактор и за секој квадратен фактор.

в) Добиеното проширување се множи со заеднички именител, а неопределените коефициенти се наоѓаат од условот левиот и десниот дел да се идентични. Работа со комбинација од два методи

??? – поткрепување на алгоритмот

Примери. A. Распаѓаат во збир од наједноставните

Оттука произлегува дека. Заменувајќи го овој сооднос, веднаш наоѓаме . Значи

B. Прошири ја рационалната дропка во збир од наједноставните. Проширувањето на оваа дропка со неопределени коефициенти има форма

Помножувајќи се со заеднички именител, го добиваме односот

Заменувајќи овде, наоѓаме каде. Замена наоѓаме . Изедначувајќи ги коефициентите во , го добиваме системот

Од тука и. Со собирање на еднаквостите на последниот систем, добиваме и . Потоа И

Оттука,

/**/ Задача.Генерализирај го резултатот од примерот А и докажи ја еднаквоста

1. Начин на интеграција на наједноставните дропки од 4ти тип.

а) Одвојувајќи го изводот на именителот во броителот, го прошируваме интегралот до збир од два интеграли.

б) Првиот од добиените интеграли, откако ќе се внесе под знакот на диференцијалот, ќе стане табеларен.

в) Во вториот именител, изберете го полниот квадрат и намалете ја пресметката на интеграл од формата. На овој интеграл ја применуваме следната рекурзивна процедура

Ја применуваме формулата интеграција по делови на последниот интеграл:

Значи, ако назначиме , Тоа

Ова е рекурзивна формула за пресметување на интеграли со оглед на почетната вредност .

Пример

1. Интеграција на ирационални изрази

Интеграли на формата , каде m/n,...,r/s се рационални броеви со заеднички именител k, се сведуваат на интеграл на рационална функција со промената

Тогаш суштината на рационалните изрази, затоа, по замена, го добиваме интегралот на рационалната дропка:

Пресметувајќи го овој интеграл (види пар. 4) и правејќи ја обратната замена, го добиваме одговорот.

Слично на тоа, интеграли на формата

каде ad-bc≠ 0 и k го имаат истото значење како погоре, се сведуваат на интеграли на рационална дропка со замена

Примери. A. Пресметај го интегралот

B. Пресметај го интегралот

Поедноставен метод на интеграција (но кој бара погодување) за истата функција е овој:

1. Интеграција на тригонометриски изрази

Интеграли на формата се сведуваат на интеграли на рационална функција со универзалната промена

па го добиваме интегралот на рационалниот израз

Во посебни случаи  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx и R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, подобро е да се користат замени, соодветно .