Како да се одреди аритметичката средина. Која е аритметичката средина на броевите. Аритметичката средина има голем број на својства кои поцелосно ја откриваат нејзината суштина и ја поедноставуваат пресметката.

Најчестиот тип на просек е аритметичката средина.

Едноставна аритметичка средина

Едноставна аритметичка средина е просечен член, при определувањето кој вкупниот волумен на дадена карактеристика во податоците е подеднакво распределен меѓу сите единици вклучени во оваа група. Значи, просечниот годишен аутпут по вработен е износот на аутпут што би паднал на секој вработен доколку целиот обем на аутпут би бил подеднакво распределен меѓу сите вработени во организацијата. Аритметичката просечна едноставна вредност се пресметува со формулата:

Едноставна аритметичка средина- Еднаков на односот на збирот на поединечните вредности на карактеристиката со бројот на карактеристики во агрегат

Пример 1... Тим од 6 работници добива 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 илјади рубли месечно.

Најдете ја просечната плата
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 илјади рубли.

Пондерирана аритметичка средина

Ако обемот на множеството податоци е голем и претставува серија на дистрибуција, тогаш се пресметува пондерирана аритметичка средина. Така се одредува пондерираната просечна цена по единица производство: вкупните трошоци за производство (збирот на производите од неговото количество со цената на единицата производствена единица) се дели со вкупната количина на производство.

Ова го претставуваме во форма на следнава формула:

Пондерирана аритметичка средина- е еднаков на односот (збирот на производите на вредноста на карактеристиката до фреквенцијата на повторување на дадена карактеристика) до (збирот на фреквенциите на сите карактеристики).Се користи кога варијантите на проучуваната популација се јавуваат нееднаков број пати.

Пример 2... Најдете ја просечната месечна плата на работник во работилница

Просечната плата може да се добие со делење на вкупните плати со вкупниот број работници:

Одговор: 3,35 илјади рубли.

Аритметичка средина за интервални серии

При пресметување на аритметичката средина за серија на варијации на интервал, прво определете го просекот за секој интервал, како полу-збир на горните и долните граници, а потоа - просекот на целата серија. Во случај на отворени интервали, вредноста на долниот или горниот интервал се одредува според големината на интервалите во непосредна близина на нив.

Просеците пресметани од интервалните серии се приближни.

Пример 3... Определете ја просечната возраст на вечерните ученици.

Просеците пресметани од интервалните серии се приближни. Степенот на нивното приближување зависи од степенот до кој фактичката распределба на единиците на населението во интервалот се приближува униформа.

При пресметување на просеците, не само апсолутни, туку и релативни вредности (фреквенција) може да се користат како тежини:

Аритметичката средина има голем број на својства кои поцелосно ја откриваат нејзината суштина и ја поедноставуваат пресметката:

1. Производот на просекот со збирот на фреквенциите е секогаш еднаков на збирот на производите на варијантата по фреквенциите, т.е.

2. Аритметичката средина на збирот на различните величини е еднаква на збирот на аритметичката средина на овие величини:

3. Алгебарскиот збир на отстапувањата на поединечните вредности на атрибутот од средната вредност е еднаков на нула.

Темата аритметичка средина и геометриска средина е вклучена во програмата по математика за 6-7 одделение. Бидејќи параграфот е прилично лесен за разбирање, тој брзо се поминува, а до крајот на учебната година учениците го забораваат. Но, знаењето во основната статистика е потребно за да се помине USE, како и за меѓународните SAT испити. А за секојдневниот живот, развиеното аналитичко размислување никогаш не боли.

Како да се пресмета аритметичката средина и геометриската средина на броевите

Да речеме дека има низа броеви: 11, 4 и 3. Аритметичката средина е збирот на сите броеви поделен со бројот на дадените броеви. Односно, во случајот со броевите 11, 4, 3, одговорот е 6. Како се добива 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Именителот мора да содржи број еднаков на бројот на броеви, чиј просек мора да се најде. Збирот се дели со 3, бидејќи има три члена.

Сега треба да се справиме со геометриската средина. Да речеме дека има ред од броеви: 4, 2 и 8.

Геометриската средина на броевите е производ на сите дадени броеви под коренот со моќност еднаква на бројот на овие броеви. Односно, во случајот со броевите 4, 2 и 8, одговорот ќе биде 4. Еве како се случи тоа :

Решение: ∛ (4 × 2 × 8) = 4

Во двата случаи беа добиени цели одговори, бидејќи за примерот беа земени посебни бројки. Ова не е секогаш случај. Во повеќето случаи, одговорот треба да се заокружи или да се остави под коренот. На пример, за броевите 11, 7 и 20, аритметичката средина е ≈ 12,67, а геометриската средина е ∛1540. И за броевите 6 и 5, одговорите, соодветно, ќе бидат 5,5 и √30.

Дали може да се случи аритметичката средина да стане еднаква на геометриската средина?

Секако дека може. Но, само во два случаи. Ако има низа броеви што се состојат само од едни или од нули. Вреди да се одбележи и дека одговорот не зависи од нивниот број.

Доказ со оние: (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1 (аритметичка средина).

∛ (1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (геометриска средина).

Доказ со нули: (0 + 0) / 2 = 0 (аритметичка средина).

√ (0 × 0) = 0 (геометриска средина).

Друга опција нема и не може да биде.

Не само во различните математички науки, туку и во секојдневниот живот, има случаи кога треба да се пресмета просекот на нешто. На пример, просечната цена на краставиците на пазарот, просечната висина на детето, просечната цена на хотелско сместување итн.

Сето ова одамна е измислено научно име- „просечен“. Овој индикатор активно се користи во статистиката за да се сумираат резултатите. На пример, просечната возраст при раѓање на децата, просечната возраст на смрт кај мажите и жените, просечната плата во регионите и во Русија како целина.

На пример, при донесувањето на законот за зголемување на старосната граница за пензионирање, властите само тргнаа од просечната возраст на умреност кај нас.

Ајде да дознаеме што е овој индикатор.

Аритметичката средина е просек од сите достапни вредности... За да се пресмета, потребно е да се сумираат сите броеви вклучени во операцијата, а потоа да се подели со нивниот вкупен број.

На пример, во 2017 година, децата од различна возраст добија целосно средно образование: 16, 17 и 18 години. Аритметичката средина ќе се пресметува како збир на сите возрасти поделен со три. Севкупно, просечната возраст на едно дете кое завршило 11 одделение беше 17 години.

Овој пример покажува примитивна пресметка користејќи го примерот на три деца. Всушност, треба да ги сумирате сите достапни податоци. Тоа е, ако зборуваме за пет деца, тогаш ја сумираме нивната возраст, на пример, 17 + 17 + 18 + 16 + 17 и го делиме резултатот со пет.

Слично на тоа, се пресметува секоја аритметичка средина за која било операција. Односно, ако, на пример, треба да ја пресметате просечната возраст на мајките кои го родиле своето прво дете во 2017 година, тогаш прво ќе треба да ги сумирате сите возрасни показатели, а потоа да се подели со вкупниот број на родители.

Тоа е, во општа смисла формулата може да се претстави на следниов начин:

Аритметичка средина = ( збир на сите достапни вредности) / вкупниот број на вредности кои се вклучени во операцијата.

Значи, пресметката е прилично јасна, дури и за ученици. Тешкотиите може да настанат само поради големиот број на испитаници кои учествуваат во операцијата.

Важно е да се разбере дека просекот не е само бројка... Има посебно физичко значење, кое се користи во пракса во реалниот свет многу години.

Би било погрешно да се користи аритметичката средина само на хартија, во тетратка или во компјутерски програми. Во спротивно, можете да добиете многу бесмислени и едноставно нереални вредности.

Всушност, постојат неколку просеци. Меѓутоа, во секој случај, само еден од нив е точен. Во секоја од операциите, треба да го користите само оној вид на просек што е неопходен, инаку ќе се направи огромна грешка.

Какви видови на просеци се користат во пракса? Најчестипросеците се:

1. Просечна;
2. Геометриска средина;
3. Хармонична средина.

Овие вредности најчесто се користи, и во секојдневниот живот и во науката. Најчесто, се разбира, се пресметува првиот индикатор.

Често овој индикатор се користи и се пресметува погрешно во реални услови. Зошто се случува ова? Всушност, основата на аритметичката средина е примената на законот за големи броеви. Дополнително, се применува и претпоставката дека референтната вредност е нормално одредена.

Ова значи дека околу претставени во голем број вредности, постои најчеста девијацијаво која било насока. Тоа е. Повеќе или помалку. На пример, во серија од броеви 8,8,9,8,9,8,8, отстапувањето ќе биде надолу, бидејќи има повеќе осум. И во серијата: 17,17, 20,20,20,20,20, отстапувањето, напротив, ќе биде нагоре, бидејќи во овој случај има уште „дваесет“.

Меѓутоа, во повеќето случаи, таквите отстапувања се мали и обично еднакви по веројатност.Суштината на проблемот е што во бизнисот, како и во реалниот живот, нормалната распределба во пракса е исклучително ретка.

Односно, на пример, времето за сервисирање на еден клиент, времето во кое се очекува клиентот да ја добие оваа услуга, износот за кој потоа ќе склучи договор, уделот на пазарот, растот на приходите итн., се показатели кои не се распоредени рамномерно и нормално. Во некои случаи, не е пожелно да се просецира со користење на аритметичката средина. Затоа што тоа би било погрешно.

Во пракса, нормалната дистрибуција често може да се најде во присуство на голем број на вредности,почнувајќи од стотици и илјадници. На пример, бројот на повици до техничка поддршка за голема компанија може да се дистрибуира нормално, и на хартија и всушност.

Сепак, количината сама по себе нема да биде доволна, бидејќи во секоја конкретна ситуација треба да следите и следите правилна дистрибуција... Ова е единствениот начин правилно да се пресмета вредноста на аритметичката средина на крајот.

Прашањето како да се најде аритметичката средина се поставува кај луѓе од различни возрасти, а не само кај учениците. Понекогаш итно треба да ја најдеме аритметичката средина и не можеме да се сетиме како да го направиме тоа. Потоа почнуваме избезумено да ги прелистуваме училишните учебници по математика, обидувајќи се да ги најдеме потребните информации. Но, тоа е многу едноставно!

За да ја пронајдете аритметичката средина на неколку броеви, соберете ги заедно. После тоа, добиениот износ треба да се подели со бројот на термини.

За да биде појасно, ајде заедно да откриеме како да ја најдеме аритметичката средина на броевите, користејќи пример: 78, 115, 121 и 224. Прво, треба да ги собереме овие броеви: 78 + 115 + 121 + 224 = 538. Сега добиената сума т.е. 538 треба да се подели со бројот на термини: 538: 4 = 134,5. Значи, аритметичката средина на овие бројки е 134,5.

Аритметичка средина на повеќе броеви: најдете со Excel

Пронаоѓањето на аритметичката средина е многу лесно со користење на Excel. Оваа програма ви овозможува да избегнете пресметки кои одземаат многу време и, соодветно, грешки. За да ја пронајдете аритметичката средина на неколку броеви, треба да ги напишете во една колона. Потоа изберете ја таа колона и, на лентата со алатки за брз пристап, изберете ја иконата Sum (?) и картичката Average. Аритметичката средина на овие бројки ќе се појави на дното на означената колона.

Аритметичката средина е статистички индикатор кој ја демонстрира просечната вредност на дадена низа на податоци. Таквиот индикатор се пресметува како дропка, во чиј броител е збирот на сите вредности на низата, а во именителот - нивниот број. Аритметичката средина е важен коефициент што се користи во пресметките на домаќинствата.

Значењето на коефициентот

Аритметичката средина е елементарен индикатор за споредба на податоци и пресметување на прифатлива вредност. На пример, различни продавници продаваат лименка пиво од одреден производител. Но, во една продавница чини 67 рубли, во друга - 70 рубли, во третата - 65 рубли, а во последната - 62 рубли. Доста голем пораст на цените, така што купувачот ќе го интересира просечната цена на лименката, за да може при купување на производ да ги спореди своите трошоци. Во просек, една лименка пиво во градот има цена:

Просечна цена = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рубли.

Знаејќи ја просечната цена, лесно е да се одреди каде е профитабилно да се купи производ и каде ќе треба да се преплаќа.

Аритметичката средина постојано се користи во статистичките пресметки во случаи кога се анализира хомоген сет на податоци. Во примерот погоре, ова е цената на лименка од една марка пиво. Сепак, не можеме да ја споредиме цената на пивото од различни производители или цената на пивото и лимонадата, бидејќи во овој случај опсегот на вредности ќе биде поголем, просечната цена ќе биде заматена и неверодостојна, а самото значење на пресметките ќе биде искривена до цртаната „просечна температура во болницата“. За да се пресметаат хетерогени множества на податоци, се користи аритметички пондериран просек, кога секоја вредност е пондерирана.

Пресметување на аритметичката средина

Формулата за пресметките е исклучително едноставна:

P = (a1 + a2 + ... an) / n,

каде што an е вредноста на количината, n е вкупниот број на вредности.

За што може да се користи овој индикатор? Првата и најочигледна апликација е статистиката. Речиси секоја статистичка студија користи аритметичка средина. Ова може да биде просечната возраст на брак во Русија, просечната оценка на студент по предмет или просечното трошење на храна дневно. Како што беше дискутирано погоре, без тежини, пресметувањето на просеците може да произведе чудни или апсурдни вредности.

На пример, претседателот на Руската Федерација даде изјава дека според статистичките податоци, просечната плата на Русин е 27.000 рубли. За повеќето жители на Русија, ова ниво на плата изгледаше апсурдно. Не е чудно ако при пресметувањето ги земеме предвид приходите на олигарсите, раководителите на индустриски претпријатија, големите банкари од една страна и платите на наставниците, чистачките и продавачите од друга страна. Дури и просечните плати во една специјалност, на пример, сметководител, ќе имаат значителни разлики во Москва, Кострома и Екатеринбург.

Како да се пресметаат просеците за различни податоци

Во ситуации на платен список, важно е да се земе предвид тежината на секоја вредност. Тоа значи дека платите на олигарсите и банкарите би добиле тежина од, на пример, 0,00001, а платите на продавачите - 0,12. Ова се бројки од таванот, но тие грубо ја илустрираат распространетоста на олигарсите и продавачите во руското општество.

Така, за да се пресмета просечната или просечната вредност во хетерогено збир на податоци, потребно е да се користи аритметички пондериран просек. Во спротивно, ќе добиете просечна плата во Русија на ниво од 27.000 рубли. Ако сакате да го знаете вашиот просечен резултат по математика или просечниот број на постигнати голови од избраниот хокеар, тогаш аритметичката средина калкулатор е за вас.

Нашата програма е едноставен и удобен калкулатор за пресметување на аритметичката средина. За да извршите пресметки, треба само да ги внесете вредностите на параметрите.

Ајде да погледнеме неколку примери

Пресметка на просечен резултат

Многу наставници го користат методот на аритметичка средина за да ја одредат годишната оценка за некој предмет. Да речеме дека детето ги добива следните оценки за четвртина по математика: 3, 3, 5, 4. Која годишна оценка ќе му даде наставникот? Ајде да користиме калкулатор и да ја пресметаме аритметичката средина. Прво, изберете го соодветниот број полиња и внесете ги вредностите на резултатот во ќелиите што се појавуваат:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Наставникот ќе ја заокружи вредноста во корист на ученикот, а ученикот ќе добие солидна четворка за една година.

Пресметка на изедени бонбони

Ајде да илустрираме дел од апсурдноста на аритметичката средина. Да замислиме дека Маша и Вова имале 10 слатки. Маша изела 8 бонбони, а Вова - само 2. Колку бонбони во просек јадело секое дете? Со помош на калкулатор лесно може да се пресмета дека децата во просек јаделе 5 бонбони, што е целосно спротивно на реалноста и здравиот разум. Овој пример покажува дека аритметичката средина е важна за пресметување за значајни сетови на податоци.

Заклучок

Пресметката на аритметичката средина е широко користена во многу научни области. Овој индикатор е популарен не само во статистичките пресметки, туку и во физиката, механиката, економијата, медицината или финансиите. Користете ги нашите калкулатори како помошник за решавање на аритметичка средина проблеми.