Равенка на страните на правоаголникот и неговата дијагонала. Правоаголник. Формули и својства на правоаголник. Сите агли на правоаголникот се исправени

Дефиниција

Правоаголник е четириаголник во кој двете спротивни страни се еднакви и сите четири агли се исти.

Правоаголниците се разликуваат едни од други само во односот на долгата страна на кратката страна, но сите четири агли се исправени, односно 90 степени.

Се нарекува долгата страна на правоаголникот должината на правоаголникот, и кратко - ширина на правоаголникот.

Страните на правоаголникот се и неговите височини.

Основни својства на правоаголник

Правоаголникот може да биде паралелограм, квадрат или ромб.

1. Спротивните страни на правоаголникот имаат иста должина, односно се еднакви:

AB \u003d ЦД, п.н.е. \u003d АД

2. Спротивните страни на правоаголникот се паралелни:

3. Соседните страни на правоаголникот се секогаш нормални:

AB ┴ п.н.е., BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Сите четири агли на правоаголникот се исправени:

∠ABC \u003d ∠BCD \u003d ∠CDA \u003d ∠DAB \u003d 90 °

5. Збирот на аглите на правоаголникот е 360 степени:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + DAB \u003d 360 °

6. Дијагоналите на правоаголникот имаат иста должина:

7. Збирот на квадратите на дијагоналата на правоаголникот е еднаков на збирот на квадратите на страните:

2d 2 \u003d 2a 2 + 2b 2

8. Секоја дијагонала на правоаголникот го дели правоаголникот во две идентични форми, имено, правоаголни триаголници.

9. Дијагоналите на правоаголникот се пресекуваат и се преполовуваат на пресекот:

		AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO \u003d	г.
			2

10. Точката на пресек на дијагоналите се нарекува центар на правоаголникот и е исто така центар на обележаниот круг

11. Дијагонала на правоаголник е дијаметарот на обележаниот круг

12. Околу правоаголник, секогаш можете да опишете круг, бидејќи збирот на спротивните агли е 180 степени:

∠ABC \u003d ∠CDA \u003d 180 ° CDBCD \u003d ∠DAB \u003d 180 °

13. Круг не може да се запише во правоаголник чија должина не е еднаква на нејзината ширина, бидејќи збировите на спротивните страни не се еднакви едни на други (круг може да се напише само во посебен случај на правоаголник - квадрат).

Страници на правоаголник

Дефиниција

Должината на правоаголникот е должината на подолгиот пар на неговите страни. Ширина на правоаголникот е должината на пократкиот пар од неговите страни.

Формули за одредување на должините на страните на правоаголникот

1. Формула на страната на правоаголникот (должина и ширина на правоаголникот) низ дијагоналата и другата страна:

a \u003d г 2 - б 2

b \u003d г 2 - а 2

2. Формула на страната на правоаголникот (должина и ширина на правоаголникот) низ областа и другата страна:

b \u003d d кос	β
	2

Дијагонала на правоаголник

Дефиниција

Дијагонален правоаголник се нарекува секој сегмент што поврзува два темиња на спротивните агли на правоаголникот.

Формули за одредување на должината на дијагоналата на правоаголник

1. Формулата за дијагонала на правоаголник преку две страни на правоаголник (преку Питагоровата теорема):

d \u003d a 2 + b 2

2. Формула на дијагоналата на правоаголник во однос на површината и која било страна:

4. Формула на дијагонала на правоаголник низ радиусот на обележаниот круг:

d \u003d 2R

5. Формула на дијагонала на правоаголник низ дијаметарот на обележаниот круг:

d \u003d D околу

6. Формула на дијагоналата на правоаголник преку синусот на аголот во непосредна близина на дијагоналата и должината на страната спротивна на овој агол:

8. Формула на дијагонала на правоаголник во однос на синус на акутен агол помеѓу дијагоналите и површината на правоаголникот

d \u003d √2S: грев β

Периметар на правоаголник

Дефиниција

Периметар на правоаголник наречен збир на должините на сите страни на правоаголникот.

Формули за одредување на должината на периметарот на правоаголник

1. Формула за периметарот на правоаголникот преку две страни на правоаголникот:

P \u003d 2a + 2b

P \u003d 2 (a + b)

2. Формула за периметарот на правоаголникот во однос на површината и која било страна:

P \u003d	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	а		б

3. Формула за периметарот на правоаголникот низ дијагоналата и која било страна:

P \u003d 2 (a + √ г 2 - а 2) \u003d 2 (b + √ г 2 - б 2)

4. Формулата за периметарот на правоаголникот низ радиусот на обележаниот круг и која било страна:

P \u003d 2 (a + √4R 2 - а 2) \u003d 2 (b + √4R 2 - б 2)

5. Формула за периметарот на правоаголникот низ дијаметарот на обележаниот круг и која било страна:

P \u003d 2 (a + √D o 2 - а 2) \u003d 2 (b + √D o 2 - б 2)

Област на правоаголник

Дефиниција

Според областа на правоаголникот наречен простор ограничен со страните на правоаголникот, односно во рамките на периметарот на правоаголникот.

Формули за одредување на плоштина на правоаголник

1. Формула за површина на правоаголник од две страни:

S \u003d a b

2. Формула за површина на правоаголник во однос на периметарот и која било страна:

5. Формулата за површина на правоаголник во однос на радиусот на обележаниот круг и која било страна:

S \u003d a R4R 2 - а 2 \u003d b √4R 2 - б 2

6. Формулата за површина на правоаголник во однос на дијаметарот на обележаниот круг и која било страна:

S \u003d a √D o 2 - а 2 \u003d b √D o 2 - б 2

Круг се ограничуваше околу правоаголник

Дефиниција

Заокружен околу правоаголник се нарекува круг што минува низ четирите темиња на правоаголник, чиј центар лежи на пресекот на дијагоналите на правоаголникот.

Формули за одредување на радиусот на круг испишан околу правоаголник

1. Формула за радиус на круг обележана околу правоаголник преку две страни:

Правоаголник Дали е четириаголник, чиј агол е исправен.

Доказ

Својството се објаснува со дејството на атрибутот 3 на паралелограм (т.е. \\ агол A \u003d \\ агол C, \\ агол B \u003d \\ агол D)

2. Спротивните страни се еднакви.

AB \u003d CD, \\ enspace BC \u003d AD

3. Спротивните страни се паралелни.

АБ \\ паралелно ЦД, \\ простор Б.Ц. \\ паралелно АД

4. Соседните страни се нормални едни на други.

AB \\ perp BC, \\ enspace BC \\ perp CD, \\ enspace CD \\ perp AD, \\ enspace AD \u200b\u200b\\ perp AB

5. Дијагоналите на правоаголникот се еднакви.

AC \u003d BD

Доказ

Според имот 1 правоаголникот е паралелограм, што значи AB \u003d CD.

Затоа, \\ триаголник ABD \u003d \\ триаголник DCA во две нозе (AB \u003d CD и AD - спој).

Ако и двете бројки - ABC и DCA се идентични, тогаш нивните хипотенуси BD и AC се исто така идентични.

Оттука, AC \u003d BD.

Само правоаголник од сите фигури (само од паралелограми!) Има еднакви дијагонали.

Thisе го докажеме и ова.

ABCD - паралелограм \\ Rightarrow AB \u003d CD, AC \u003d BD по услов. \\ Rightarrow \\ триаголник ABD \u003d \\ триаголник DCA веќе од три страни.

Излегува дека \\ аголот A \u003d \\ аголот D (како аглите на паралелограмот). И \\ агол A \u003d \\ агол C, \\ агол B \u003d \\ агол Д.

Ние заклучуваме дека \\ агол A \u003d \\ агол B \u003d \\ агол C \u003d \\ агол Д.... Сите тие се 90 ^ (\\ кружни). Вкупно - 360 ^ (\\ круг).

Докажано!

6. Плоштадот на дијагоналата е еднаков на збирот на квадратите на неговите две соседни страни.

Овој имот е валиден според теоремата на Питагора.

AC ^ 2 \u003d АД ^ 2 + ЦД ^ 2

7. Дијагоналата го дели правоаголникот во два идентични правоаголни триаголници.

\\ триаголник ABC \u003d \\ триаголник ACD, \\ простор \\ триаголник ABD \u003d \\ триаголник BCD

8. Точката на пресек на дијагоналите ги дели на половина.

AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO

9. Пресекот на дијагоналите е центар на правоаголникот и обележаниот круг.

10. Збирот на сите агли е 360 степени.

\\ агол ABC + \\ агол BCD + \\ агол CDA + \\ агол DAB \u003d 360 ^ (\\ круг)

11. Сите агли на правоаголникот се исправени.

\\ агол ABC \u003d \\ агол BCD \u003d \\ агол CDA \u003d \\ агол DAB \u003d 90 ^ (\\ круг)

12. Дијаметарот на кругот заокружен околу правоаголник е еднаков на дијагоналата на правоаголникот.

13. Околу правоаголник, секогаш можете да опишете круг.

Ова својство е точно поради фактот што збирот на спротивните агли на правоаголникот е 180 ^ (\\ круг)

\\ агол ABC \u003d \\ агол CDA \u003d 180 ^ (\\ круг), \\ простор \\ агол BCD \u003d \\ агол DAB \u003d 180 ^ (\\ круг)

14. Правоаголник може да содржи впишан круг и само еден ако има исти должини на страните (е квадрат).

Генерално формула на левиот правоаголникна сегментот како што следи (21) :

Во оваа формула x 0 \u003d а, x н \u003d б, бидејќи каков било интеграл воопшто изгледа како: (видете ја формулата 18 ).

h може да се пресмета со формулата 19 .

г. 0 , г. 1 , ..., y n-1 x 0 , x 1 , ..., x n-1 (x јас \u003d x i-1 + ч).

Десна формула на правоаголници.

Генерално десна формула на правоаголникна сегментот како што следи (22) :

Во оваа формула x 0 \u003d а, x н \u003d б(видете ја формулата за левите правоаголници).

h може да се пресмета со користење на истата формула како и за левите правоаголници.

г. 1 , г. 2 , ..., y н се вредностите на соодветната функција f (x) на точките x 1 , x 2 , ..., x н (x јас \u003d x i-1 + ч).

Средна формула на правоаголник.

Генерално средна формула на правоаголникна сегментот како што следи (23) :

Каде x јас \u003d x i-1 + ч.

Во оваа формула, како и во претходните, од h потребно е да се помножи збирот на вредностите на функцијата f (x), но веќе не само да се заменуваат соодветните вредности x 0 , x 1 , ..., x n-1 во функцијата f (x) и додавање на секоја од овие вредности h / 2(x 0 + h / 2, x 1 + h / 2, ..., x n-1 + h / 2), а потоа само да ги замениме во дадената функција.

h може да се пресмета со користење на истата формула како и за левите правоаголници. "[ 6 ]

Во пракса, овие методи се спроведуваат на следниов начин:

Mathcad ;

Ексел .

Mathcad ;

Ексел .

За да го пресметате интегралот според формулата на просечните правоаголници во Excel, мора да ги следите овие чекори:

Продолжете да работите во истиот документ како и при пресметување на интегралот според формулите на левиот и десниот правоаголник.

Внесете го текстот xi + h / 2 во ќелијата E6, и f (xi + h / 2) во F6.

Внесете во ќелијата E7 формулата \u003d B7 + $ B $ 4/2, копирајте ја оваа формула со убедливо во опсегот на ќелии E8: E16

Внесете во ќелијата F7 формулата \u003d ROOT (E7 ^ 4-E7 ^ 3 + 8), копирајте ја оваа формула влечејќи до опсегот на ќелии F8: F16

Внесете ја формулата \u003d SUM (F7: F16) во ќелијата F18.

Внесете ја формулата \u003d B4 * F18 во ќелијата F19.

Внесете го текстот на просекот во ќелијата F20.

Како резултат, го добиваме следново:

Одговор: вредноста на дадениот интеграл е 13.40797.

Врз основа на добиените резултати, можеме да заклучиме дека формулата за средните правоаголници е најточна од формулата за десниот и левиот правоаголник.

1. Метод на Монте Карло

"Главната идеја на методот Монте Карло е повторено повторување на случајни тестови. Карактеристична карактеристика на методот Монте Карло е употреба на случајни броеви (нумерички вредности на некоја случајна променлива). Таквите броеви може да се добијат со употреба на генератори на случајни броеви. На пример, во програмскиот јазик Турбо Паскал постои стандардна функција случајно , чии вредности се случајни броеви рамномерно распоредени на сегментот ... Ова значи дека ако го поделиме наведениот сегмент на одреден број на еднакви интервали и ја пресметаме вредноста на случајната функција голем број пати, тогаш приближно ист број на случајни броеви ќе спаѓаат во секој интервал. Во програмскиот јазик слив, сличен сензор е функцијата rnd. Во функцијата процесор за табеларни пресметки MS Excel РАНД враќа рамномерно распореден случаен број поголем или еднаков на 0 и помал од 1 (варира со повторна пресметка) "[ 7 ].

За да го пресметате, мора да ја користите формулата () :

Каде (i \u003d 1, 2, ..., n) има случајни броеви што лежат во интервалот .

За да се добијат такви броеви врз основа на низа случајни броеви x i, подеднакво распределени во интервалот, доволно е да се изврши трансформација x i \u003d a + (b-a) x i.

Во пракса, овој метод се спроведува како што следува:

За да го пресметате интегралот со методот Монте Карло во Excel, мора да ги извршите следниве чекори:

Во ќелијата Б1, внесете го текстот n \u003d.

Внесете го текстот a \u003d во ќелијата B2.

Во ќелијата Б3, внесете го текстот b \u003d.

Внесете го бројот 10 во ќелијата C1.

Внесете го бројот 0 во ќелијата C2.

Внесете го бројот 3.2 во ќелијата C3.

Внесете I во ќелијата A5, во B5 - xi, во C5 - f (xi).

Пополнете ги ќелиите A6: A15 со броеви 1,2,3, ..., 10 - бидејќи n \u003d 10.

Внесете во ќелијата Б6 формулата \u003d RAND () * 3.2 (се генерираат броеви во опсег од 0 до 3.2), копирајте ја оваа формула влечејќи во опсегот на ќелиите B7: B15.

Внесете во ќелијата C6 формулата \u003d ROOT (B6 ^ 4-B6 ^ 3 + 8), копирајте ја оваа формула влечејќи до опсегот на ќелии C7: C15.

Внесете го текстот „износ“ во ќелијата B16, „(b-a) / n“ во B17, „I \u003d“ во B18.

Внесете ја формулата \u003d SUM (C6: C15) во ќелијата C16.

Внесете ја формулата \u003d (C3-C2) / C1 во ќелијата C17.

Внесете ја формулата \u003d C16 * C17 во ќелијата C18.

Како резултат, добиваме:

Одговор: вредноста на дадениот интеграл е 13.12416.

Проценка на остатокот од формулата: , или .

Цел на услугата... Услугата е дизајнирана за онлајн пресметка на дефинитивен интеграл според формулата на правоаголници.

Упатство. Внесете ја интеграндата f (x), кликнете Реши. Резултирачкото решение е зачувано во датотека Word. Исто така, се создава образец за решение во Excel. Подолу е видео упатство.

Правила за внесување на функцијата

Примери за
≡ x ^ 2 / (1 + x)
cos 2 (2x + π) ≡ (cos (2 * x + pi)) ^ 2
≡ x + (x-1) ^ (2/3) Ова е наједноставната квадратна интегрална формула која користи една вредност на функцијата
(1)
каде h \u003d x 1 -x 0.
Формулата (1) е централна формула за правоаголници. Ајде да го пресметаме остатокот. Дозволете ни да ја прошириме функцијата y \u003d f (x) во серија Тејлор во точката ε 0:
(2)
каде ε 1; x∈ Интегрираме (2):
(3)

Во вториот поим, интеграндот е непарен, а границите на интеграција се симетрични во однос на точката ε 0. Затоа, вториот интеграл е еднаков на нула. Така, од (3) следува .
Бидејќи вториот фактор на интеграндот не го менува знакот, тогаш според теоремата на средната вредност ја добиваме каде По интеграцијата, добиваме . (4)
Споредувајќи се со остатокот од трапезоидната формула, гледаме дека грешката во формулата на правоаголникот е два пати помала од грешката на трапезоидната формула. Овој резултат е точен ако ја земеме вредноста на функцијата на средната точка во формулата за правоаголник.
Ја добиваме формулата на правоаголникот и остатокот за интервалот. Нека се даде мрежата x i \u003d a + ih, i \u003d 0,1, ..., n, h \u003d x i + 1 -x i. Размислете за мрежата ε i \u003d ε 0 + ih, i \u003d 1,2, .., n, ε 0 \u003d a-h / 2. Потоа . (5)
Остаток термин .
Геометриски, формулата на правоаголници може да биде претставена со следнава слика:

Ако функцијата f (x) е дадена во табела, тогаш се користи или лево-страничната формула на правоаголникот (за униформа мрежа)

или десната формула на правоаголник

.
Грешката на овие формули се проценува преку првиот извод. За интервалот, грешката е

; .
По интеграцијата добиваме.

Пример. Пресметај го интегралот за n \u003d 5:
а) според трапезоидната формула;
б) според формулата на правоаголници;
в) според формулата Симпсон;
г) според Гаусовата формула;
д) според формулата на Чебишев.
Пресметајте ја грешката.
Одлука. За 5 интегрални јазли, чекорот на мрежата ќе биде 0,125.
При решавање, ќе ја користиме табелата со вредности на функциите. Тука f (x) \u003d 1 / x.

	x		f (x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

а) трапезоидна формула:
I \u003d h / 2 ×;
I \u003d (0,125 / 2) × \u003d 0.696;
R \u003d [- (b-a) / 12] × h × y ¢¢ (x);
f ¢¢ (x) \u003d 2 / (x 3).
Максималната вредност на вториот извод на функцијата на интервалот е 16: макс (f ¢¢ (x)), xÎ \u003d 2 / (0,5 3) \u003d 16, затоа
R \u003d [- (1-0,5) / 12] × 0,125 × 16 \u003d - 0.0833;
б) формула на правоаголник:
за левата формула I \u003d h × (y0 + y1 + y2 + y3);
I \u003d 0,125 × (2 + 1,6 + 1,33 + 1,14) \u003d 0.759;
R \u003d [(b-a) / 6] × h 2 × y ¢¢ (x);
R \u003d [(1-0,5) / 6] × 0,125 2 × 16 \u003d 0.02;
в) Формулата на Симпсон:
I \u003d (2h / 6) × (y0 + y4 + 4 × (y1 + y3) + 2 × y2);
I \u003d (2 × 0,125) / 6 × (2 + 1 + 4 × (1,6 + 1,14) + 2 × 1,33) \u003d 0.693;
R \u003d [- (b-a) / 180] × h 4 × y (4) (x);
f (4) (x) \u003d 24 / (x 5) \u003d 768;
R \u003d [- (1-0,5) / 180] × (0,125) 4 × 768 = - 5.2 д-4;
г) Формула на Гаус:
I \u003d (b-a) / 2 ×;
x i \u003d (b + a) / 2 + t i (b-a) / 2
(A i, t i - табеларни вредности).

				t (n \u003d 5)		А (n \u003d 5)
x1	0.9765	y1	1.02	т 1	0.90617985	А 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	т 2	0.53846931	А 2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	т 3	0	А 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	т 4	-0.53846931	А 4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	т 5	-0.90617985	А 5	0.23692688

I \u003d (1-0,5) / 2 × (0,2416 + 0,5408 + 0,7566 + 0,7777 + 0,4525) \u003d 0.6923;
д) Формулата на Чебишев:
I \u003d [(b-a) / n] × S f (x i), i \u003d 1..n,
x i \u003d (b + a) / 2 + [t i (b-a)] / 2 - неопходното намалување на интервалот на интеграција до интервалот [-1; 1].
За n \u003d 5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

Пронајдете ги вредностите на x и вредностите на функцијата во овие точки:

x1	0,958	f (x1)	1,043
x2	0,844	f (x2)	1,185
x3	0,75	f (x3)	1,333
x4	0,656	f (x4)	1,524
x5	0,542	f (x5)	1,845

Збирот на вредностите на функциите е 6,927.
I \u003d (1-0,5) / 5 × 6,927 \u003d 0,6927.

Еден од основните концепти на математиката е периметарот на правоаголникот. Постојат многу проблеми на оваа тема, при решавање на кои не може да се направи без периметарната формула и вештините за пресметување на истата.

Основни концепти

Правоаголник е четириаголник во кој сите агли се во право, а спротивните страни се еднакви и паралелни во парови. Во нашиот живот, многу фигури имаат форма на правоаголник, на пример, површина на маса, тетратка итн.

Да разгледаме пример: мора да се постави ограда долж границите на земјишната парцела. За да ја дознаете должината на секоја страна, треба да ги измерите.

Слика: 1. Земјиште заговор во форма на правоаголник.

Земјината парцела има страни со должина од 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. Бидејќи за да ја дознаете вкупната должина на оградата, треба да ги додадете должините на сите страни:

2 + 2 + 4 + 4 \u003d 2 2 + 4 2 \u003d (2 + 4) 2 \u003d 12 м.

Токму оваа вредност во општ случај се нарекува периметар. Така, за да се најде периметарот, сите страни на сликата мора да се преклопат. Буквата P се користи за означување на периметарот.

За да го пресметате периметарот на правоаголна фигура, не треба да го делите на правоаголници, треба да ги измерите само сите страни на оваа слика со правило (лента) и да ја пронајдете нивната сума.

Периметарот на правоаголник се мери во mm, cm, m, km и така натаму. Доколку е потребно, податоците во задачата се преведени во истиот систем за мерење.

Периметарот на правоаголник се мери во различни единици: mm, cm, m, km и така натаму. Доколку е потребно, податоците во задачата се пренесуваат во еден систем за мерење.

Формула за периметар на форма

Ако го земеме предвид фактот дека спротивните страни на правоаголникот се еднакви, тогаш можеме да ја изведеме формулата за периметарот на правоаголникот:

$ P \u003d (a + b) * 2 $, каде a, b се страните на сликата.

Слика: 2. Правоаголник со означени спротивни страни.

Постои и друг начин да се најде периметарот. Ако задачата е дадена само од едната страна и површината на сликата, можете да ја користите за да ја изразите другата страна низ областа. Тогаш формулата ќе изгледа вака:

$ P \u003d ((2S + 2a2) \\ над (а)) $, каде што S е површина на правоаголникот.

Слика: 3. Правоаголник со страни a, b.

Задачата : Пресметај го периметарот на правоаголник ако неговите страни се 4 см и 6 см.

Одлука:

Ние ја користиме формулата $ P \u003d (a + b) * 2 $

$ P \u003d (4 + 6) * 2 \u003d 20 см $

Така, периметарот на сликата е $ P \u003d 20 cm $.

Бидејќи периметарот е збир на сите страни на сликата, полу-периметар е збир од само една должина и ширина. За да го добиете периметарот, треба да го помножите полу-периметарот со 2.

Површина и периметар се два основни концепта за мерење на која било форма. Тие не треба да се мешаат, иако се поврзани. Ако ја зголемите или намалите површината, тогаш, соодветно, неговиот периметар ќе се зголеми или намали.

Што научивме?

Научивме како да го најдеме периметарот на правоаголник. И, исто така, се запозна со формулата за нејзина пресметка. Оваа тема може да се сретне не само при решавање математички проблеми, туку и во реалниот живот.

Тест по тема

Оценка на статијата

Просечна оценка: 4,5. Вкупно примени оценки: 365.