Prostokątny układ współrzędnych. Kartezjański układ współrzędnych: podstawowe pojęcia i przykłady Praca z płaszczyzną współrzędnych

Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie jest określony przez dwie wzajemnie prostopadłe linie. Linie proste nazywane są osiami współrzędnych (lub osiami współrzędnych). Punkt przecięcia tych linii nazywa się początkiem i jest oznaczony literą O.

Zwykle jedna z linii jest pozioma, druga pionowa. Linia pozioma jest oznaczona jako oś x (lub Ox) i nazywana jest osią odciętych, pionowa to oś y (Oy) i nazywana jest osią y. Cały układ współrzędnych jest oznaczony przez xOy.

Punkt O dzieli każdą z osi na dwie półosi, z których jedna jest uważana za dodatnią (oznaczoną strzałką), druga jest uważana za ujemną.

Każdemu punktowi F płaszczyzny przypisana jest para liczb (x;y) — jego współrzędne.

Współrzędna x nazywana jest odciętą. Jest równy Wółowi wziętemu z odpowiednim znakiem.

Współrzędna y nazywana jest rzędną i jest równa odległości od punktu F do osi Oy (z odpowiednim znakiem).

Odległości osi są zwykle (ale nie zawsze) mierzone w tej samej jednostce długości.

Punkty na prawo od osi y mają dodatnie odcięte. Dla punktów leżących na lewo od osi y odcięte są ujemne. Dla dowolnego punktu leżącego na osi Oy jego współrzędna x jest równa zeru.

Punkty o dodatniej rzędnej leżą powyżej osi X, a o ujemnej rzędnej poniżej. Jeśli punkt leży na osi x, jego współrzędna y wynosi zero.

Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery części, zwane ćwiartkami współrzędnych (lub kątami współrzędnych lub kwadrantami).

1 ćwiartka współrzędnych znajduje się w prawym górnym rogu płaszczyzny współrzędnych xOy. Obie współrzędne punktów znajdujących się w I ćwiartce są dodatnie.

Przejście z jednej ćwiartki do drugiej odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

2. kwartał znajduje się w lewym górnym rogu. Punkty leżące w drugiej ćwiartce mają odciętą ujemną i rzędną dodatnią.

trzeci kwartał leży w lewym dolnym kwadrancie płaszczyzny xOy. Obie współrzędne punktów należących do III kąta współrzędnej są ujemne.

czwarta ćwiartka współrzędnych to prawy dolny róg płaszczyzny współrzędnych. Każdy punkt z czwartej ćwiartki ma dodatnią pierwszą współrzędną i ujemną drugą współrzędną.

Przykład lokalizacji punktów w prostokątnym układzie współrzędnych:

Matematyka to dość złożona nauka. Studiując ją, trzeba nie tylko rozwiązywać przykłady i problemy, ale także pracować z różnymi postaciami, a nawet samolotami. Jednym z najczęściej używanych w matematyce jest układ współrzędnych na płaszczyźnie. Od ponad roku dzieci uczy się, jak prawidłowo z nim pracować. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, co to jest i jak prawidłowo z nim pracować.

Zastanówmy się, czym jest ten system, jakie działania możesz z nim wykonać, a także poznaj jego główne cechy i funkcje.

Definicja pojęcia

Płaszczyzna współrzędnych to płaszczyzna, na której zdefiniowany jest określony układ współrzędnych. Taką płaszczyznę określają dwie proste linie przecinające się pod kątem prostym. Punkt przecięcia tych linii jest początkiem współrzędnych. Każdy punkt na płaszczyźnie współrzędnych jest określony przez parę liczb, które nazywane są współrzędnymi.

Na szkolnym kursie matematyki uczniowie muszą dość ściśle współpracować z układem współrzędnych - budować na nim figury i punkty, określać, do której płaszczyzny należy ta lub inna współrzędna, a także określać współrzędne punktu i wpisywać je lub nazywać. Dlatego porozmawiajmy bardziej szczegółowo o wszystkich cechach współrzędnych. Ale najpierw porozmawiajmy o historii stworzenia, a potem porozmawiamy o tym, jak pracować na płaszczyźnie współrzędnych.

Odniesienie do historii

Pomysły na stworzenie układu współrzędnych pojawiły się w czasach Ptolemeusza. Już wtedy astronomowie i matematycy zastanawiali się, jak nauczyć się wyznaczać położenie punktu na płaszczyźnie. Niestety w tym czasie nie było nam znanego układu współrzędnych, a naukowcy musieli korzystać z innych układów.

Początkowo ustalają punkty, określając szerokość i długość geograficzną. Przez długi czas był to jeden z najczęściej używanych sposobów mapowania tej lub innej informacji. Ale w 1637 roku Kartezjusz stworzył swój własny układ współrzędnych, nazwany później „kartezjańskim”.

Już pod koniec XVII wieku. pojęcie „współrzędnej płaszczyzny” stało się szeroko stosowane w świecie matematyki. Pomimo tego, że od powstania tego systemu minęło kilka stuleci, nadal jest on szeroko stosowany w matematyce, a nawet w życiu.

Przykłady płaszczyzn współrzędnych

Zanim omówimy teorię, podamy kilka ilustracyjnych przykładów płaszczyzny współrzędnych, abyś mógł ją sobie wyobrazić. Układ współrzędnych jest używany głównie w szachach. Na planszy każdy kwadrat ma swoje współrzędne - jedną współrzędną literową, drugą - cyfrową. Za jego pomocą możesz określić położenie konkretnego pionka na planszy.

Drugim najbardziej uderzającym przykładem jest ukochana gra „Pancernik”. Pamiętaj, jak podczas gry nazywasz współrzędne, na przykład B3, wskazując w ten sposób dokładnie, gdzie celujesz. Jednocześnie, umieszczając statki, wyznaczasz punkty na płaszczyźnie współrzędnych.

Ten układ współrzędnych jest szeroko stosowany nie tylko w matematyce, grach logicznych, ale także w wojskowości, astronomii, fizyce i wielu innych naukach.

Osie współrzędnych

Jak już wspomniano, w układzie współrzędnych wyróżnia się dwie osie. Porozmawiajmy trochę o nich, ponieważ mają one spore znaczenie.

Pierwsza oś - odcięta - jest pozioma. Jest oznaczony jako ( Wół). Druga oś to rzędna, która przechodzi pionowo przez punkt odniesienia i jest oznaczona jako ( Oy). To właśnie te dwie osie tworzą układ współrzędnych, dzielący płaszczyznę na cztery ćwiartki. Początek znajduje się w punkcie przecięcia tych dwóch osi i przyjmuje wartość 0 . Tylko jeśli płaszczyzna jest utworzona przez dwie osie, które przecinają się prostopadle i mają punkt odniesienia, jest to płaszczyzna współrzędnych.

Zauważ również, że każda z osi ma swój własny kierunek. Zwykle podczas konstruowania układu współrzędnych zwyczajowo wskazuje się kierunek osi w postaci strzałki. Ponadto podczas konstruowania płaszczyzny współrzędnych każda z osi jest podpisana.

mieszkanie

Powiedzmy teraz kilka słów o takim pojęciu jak ćwiartki płaszczyzny współrzędnych. Samolot jest podzielony przez dwie osie na cztery ćwiartki. Każdy z nich ma swój numer, natomiast numeracja samolotów jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara.

Każda z ćwiartek ma swoją własną charakterystykę. Tak więc w pierwszej ćwiartce odcięta i rzędna są dodatnie, w drugiej ćwiartce odcięta jest ujemna, rzędna jest dodatnia, w trzeciej zarówno odcięta, jak i rzędna są ujemne, w czwartej odcięta jest dodatni, a rzędna jest ujemna.

Zapamiętując te cechy, możesz łatwo określić, do której ćwiartki należy dany punkt. Ponadto informacje te mogą być przydatne, jeśli musisz wykonać obliczenia przy użyciu systemu kartezjańskiego.

Praca z płaszczyzną współrzędnych

Kiedy wymyśliliśmy koncepcję samolotu i rozmawialiśmy o jego kwaterach, możemy przejść do takiego problemu, jak praca z tym systemem, a także porozmawiać o tym, jak umieszczać na nim punkty, współrzędne figur. Na płaszczyźnie współrzędnych nie jest to tak trudne, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.

Przede wszystkim sam system jest budowany, wszystkie ważne oznaczenia są do niego nanoszone. Następnie jest praca bezpośrednio z punktami lub liczbami. W takim przypadku, nawet podczas konstruowania figur, najpierw do płaszczyzny przypisywane są punkty, a następnie figury są już narysowane.

Zasady budowy samolotu

Jeśli zdecydujesz się rozpocząć zaznaczanie kształtów i punktów na papierze, będziesz potrzebować płaszczyzny współrzędnych. Wykreślane są na nim współrzędne punktów. Aby zbudować płaszczyznę współrzędnych, potrzebujesz tylko linijki i długopisu lub ołówka. Najpierw rysowana jest odcięta pozioma, a następnie pionowa - rzędna. Należy pamiętać, że osie przecinają się pod kątem prostym.

Następną obowiązkową pozycją jest znakowanie. Jednostki-segmenty są zaznaczone i podpisane na każdej z osi w obu kierunkach. Odbywa się to tak, abyś mógł pracować z samolotem z maksymalną wygodą.

Zaznaczanie punktu

Porozmawiajmy teraz o tym, jak wykreślić współrzędne punktów na płaszczyźnie współrzędnych. To podstawy, które musisz znać, aby skutecznie umieszczać różne kształty na płaszczyźnie, a nawet oznaczać równania.

Konstruując punkty należy pamiętać, jak poprawnie rejestrowane są ich współrzędne. Tak więc, zwykle ustalając punkt, dwie liczby są zapisywane w nawiasach. Pierwsza cyfra wskazuje współrzędną punktu wzdłuż osi odciętej, druga - wzdłuż osi rzędnych.

W ten sposób należy budować punkt. Zaznacz najpierw na osi Wół dany punkt, a następnie zaznacz punkt na osi Oy. Następnie narysuj wyimaginowane linie z tych oznaczeń i znajdź miejsce ich przecięcia - to będzie dany punkt.

Wszystko, co musisz zrobić, to zaznaczyć i podpisać. Jak widać, wszystko jest dość proste i nie wymaga specjalnych umiejętności.

Umieszczanie kształtu

Przejdźmy teraz do takiego pytania, jak budowa figur na płaszczyźnie współrzędnych. Aby zbudować dowolną figurę na płaszczyźnie współrzędnych, powinieneś wiedzieć, jak umieszczać na niej punkty. Jeśli wiesz, jak to zrobić, umieszczenie postaci na samolocie nie jest takie trudne.

Przede wszystkim będziesz potrzebować współrzędnych punktów figury. To na nich zastosujemy te, które wybrałeś do naszego układu współrzędnych.Rozważmy narysowanie prostokąta, trójkąta i koła.

Zacznijmy od prostokąta. Stosowanie go jest dość łatwe. Najpierw do płaszczyzny są stosowane cztery punkty, wskazujące rogi prostokąta. Następnie wszystkie punkty są kolejno połączone ze sobą.

Nie inaczej jest z rysowaniem trójkąta. Jedyną rzeczą jest to, że ma trzy rogi, co oznacza, że ​​do płaszczyzny przyłożone są trzy punkty, oznaczające jej wierzchołki.

Jeśli chodzi o okrąg, tutaj powinieneś znać współrzędne dwóch punktów. Pierwszy punkt to środek okręgu, drugi to punkt oznaczający jego promień. Te dwa punkty są wykreślone na płaszczyźnie. Następnie bierze się kompas, mierzy się odległość między dwoma punktami. Czubek cyrkla jest umieszczony w punkcie oznaczającym środek i opisany jest okrąg.

Jak widać, tutaj też nie ma nic skomplikowanego, najważniejsze jest to, że zawsze pod ręką jest linijka i kompas.

Teraz wiesz, jak wykreślić współrzędne kształtu. Na płaszczyźnie współrzędnych nie jest to takie trudne, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.

wnioski

Rozważyliśmy więc z wami jedno z najciekawszych i podstawowych pojęć matematycznych, z którymi musi sobie poradzić każdy uczeń.

Odkryliśmy, że płaszczyzna współrzędnych jest płaszczyzną utworzoną przez przecięcie dwóch osi. Za jego pomocą możesz ustawić współrzędne punktów, nałożyć na nie kształty. Samolot jest podzielony na ćwiartki, z których każda ma swoją własną charakterystykę.

Główną umiejętnością, którą należy rozwinąć podczas pracy z płaszczyzną współrzędnych, jest umiejętność prawidłowego nanoszenia na nią określonych punktów. Aby to zrobić, powinieneś znać prawidłowe położenie osi, cechy ćwiartek, a także zasady, według których ustalane są współrzędne punktów.

Mamy nadzieję, że przekazane przez nas informacje były przystępne i zrozumiałe, a także przydatne dla Państwa i pomogły w lepszym zrozumieniu tego tematu.

• Dwie wzajemnie prostopadłe współrzędne przecinające się w punkcie O - początek, forma prostokątny układ współrzędnych, zwany także kartezjańskim układem współrzędnych.
• Nazywana jest płaszczyzna, na której wybrany jest układ współrzędnych płaszczyzna współrzędnych. Linie współrzędnych nazywają się osie współrzędnych. Pozioma - oś odciętych (Ox), pionowa - oś rzędnych (Oy).
• Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę współrzędnych na cztery części - ćwiartki. Numery seryjne ćwiartek są zwykle liczone w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
• Każdy punkt na płaszczyźnie współrzędnych jest określony przez jego współrzędne - odcięta i rzędna. Na przykład, A(3; 4). Czytają: punkt A o współrzędnych 3 i 4. Tutaj 3 to odcięta, 4 to rzędna.

I. Konstrukcja punktu A(3; 4).

Odcięta 3 pokazuje, że od początku - punkt O musi być przesunięty w prawo 3 pojedynczy segment, a następnie odłożyć na bok 4 pojedynczy segment i umieść punkt.

O to chodzi A(3; 4).

Konstrukcja punktu B (-2; 5).

Odłóż na bok od zera w lewo 2 pojedyncze cięcie, a następnie w górę 5 pojedyncze kawałki.

Kładziemy koniec V.

Zwykle traktowane jako pojedynczy segment 1 komórka.

II. Konstruuj punkty na płaszczyźnie współrzędnych xOy:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Określ współrzędne konstruowanych punktów: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);W 20);

C(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);K(5;-2).

Uporządkowany układ dwóch lub trzech przecinających się osi prostopadłych do siebie o wspólnym pochodzeniu (początku) i wspólnej jednostce długości nazywa się prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich .

Ogólny układ współrzędnych kartezjańskich (afiniczny układ współrzędnych) może również obejmować niekoniecznie prostopadłe osie. Na cześć francuskiego matematyka Rene Descartesa (1596-1662) nazwano taki układ współrzędnych, w którym wspólna jednostka długości jest liczona na wszystkich osiach, a osie są proste.

Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie ma dwie osie prostokątny kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni - trzy osie. Każdy punkt na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest określony przez uporządkowany układ współrzędnych - liczb zgodnie z jednostkową długością układu współrzędnych.

Zauważ, że jak wynika z definicji, istnieje kartezjański układ współrzędnych na linii prostej, czyli w jednym wymiarze. Wprowadzenie współrzędnych kartezjańskich na linii prostej jest jednym ze sposobów przypisania dowolnemu punktowi na linii prostej określonej liczby rzeczywistej, czyli współrzędnej.

Metoda współrzędnych, która pojawiła się w pracach Kartezjusza, oznaczała rewolucyjną restrukturyzację całej matematyki. Stało się możliwe interpretowanie równań algebraicznych (lub nierówności) w postaci obrazów geometrycznych (wykresów) i odwrotnie, poszukiwanie rozwiązania problemów geometrycznych za pomocą wzorów analitycznych, układów równań. Tak, nierówności z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy i znajduje się nad tą płaszczyzną o 3 jednostki.

Za pomocą kartezjańskiego układu współrzędnych przynależność punktu do danej krzywej odpowiada temu, że liczby x oraz tak spełnić pewne równanie. Zatem współrzędne punktu okręgu wyśrodkowanego w danym punkcie ( a; b) spełniają równanie (x - a)² + ( tak - b)² = r² .

Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie

Dwie prostopadłe osie na płaszczyźnie o wspólnym początku i tej samej formie jednostki skali Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie . Jedna z tych osi nazywana jest osią Wół, lub oś x , druga - oś Oy, lub oś y . Te osie są również nazywane osiami współrzędnych. Oznacz przez mx oraz mtak odpowiednio rzut dowolnego punktu m na osi Wół oraz Oy. Jak uzyskać projekcje? Przejdź przez kropkę m Wół. Ta linia przecina oś Wół w punkcie mx. Przejdź przez kropkę m linia prosta prostopadła do osi Oy. Ta linia przecina oś Oy w punkcie mtak. Pokazuje to poniższy rysunek.

x oraz tak zwrotnica m nazwiemy odpowiednio moduły skierowanych segmentów OMx oraz OMtak. Wartości tych odcinków kierunkowych oblicza się odpowiednio jako x = x0 - 0 oraz tak = tak0 - 0 . współrzędne kartezjańskie x oraz tak zwrotnica m odcięta oraz rzędna . Fakt, że kropka m ma współrzędne x oraz tak, oznacza się następująco: m(x, tak) .

Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery kwadrant , których numeracja jest pokazana na poniższym rysunku. Wskazuje również układ znaków dla współrzędnych punktów, w zależności od ich położenia w jednym lub drugim kwadrancie.

Oprócz kartezjańskich współrzędnych prostokątnych w płaszczyźnie często rozważany jest również układ współrzędnych biegunowych. O metodzie przejścia z jednego układu współrzędnych do drugiego - na lekcji biegunowy układ współrzędnych .

Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni

Współrzędne kartezjańskie w przestrzeni są wprowadzone w pełnej analogii do współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie.

Trzy wzajemnie prostopadłe osie w przestrzeni (osi współrzędnych) o wspólnym początku O i ta sama forma jednostki skali Kartezjański prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni .

Jedna z tych osi nazywana jest osią Wół, lub oś x , druga - oś Oy, lub oś y , trzecia - oś Oz, lub zastosować oś . Pozwalać mx, mtak mz- rzuty dowolnego punktu m spacje na osi Wół , Oy oraz Oz odpowiednio.

Przejdź przez kropkę m WółWół w punkcie mx. Przejdź przez kropkę m płaszczyzna prostopadła do osi Oy. Ta płaszczyzna przecina oś Oy w punkcie mtak. Przejdź przez kropkę m płaszczyzna prostopadła do osi Oz. Ta płaszczyzna przecina oś Oz w punkcie mz.

Kartezjańskie współrzędne prostokątne x , tak oraz z zwrotnica m nazwiemy odpowiednio moduły skierowanych segmentów OMx, OMtak oraz OMz. Wartości tych odcinków kierunkowych oblicza się odpowiednio jako x = x0 - 0 , tak = tak0 - 0 oraz z = z0 - 0 .

współrzędne kartezjańskie x , tak oraz z zwrotnica m są odpowiednio nazwane odcięta , rzędna oraz aplikacja .

Ujęte parami, osie współrzędnych znajdują się na płaszczyznach współrzędnych xOy , yOz oraz zOx .

Problemy z punktami w kartezjańskim układzie współrzędnych

Przykład 1

A(2; -3) ;

b(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Znajdź współrzędne rzutów tych punktów na oś x.

Rozwiązanie. Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś x znajduje się na samej osi x, czyli osi Wół, a zatem ma odciętą równą odciętej samego punktu oraz rzędną (współrzędną na osi Oy, którą oś x przecina w punkcie 0), równy zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne tych punktów na osi x:

Ax(2;0);

bx(3;0);

Cx(-5;0).

Przykład 2 Punkty są podane w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A(-3; 2) ;

b(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Znajdź współrzędne rzutów tych punktów na oś y.

Rozwiązanie. Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś y znajduje się na samej osi y, czyli osi Oy, a zatem ma rzędną równą rzędnej samego punktu oraz odciętą (współrzędna na osi Wół, którą oś y przecina w punkcie 0), równy zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne tych punktów na osi y:

Ar(0; 2);

br (0; 1);

Cr(0;-2).

Przykład 3 Punkty są podane w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A(2; 3) ;

b(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Wół .

Wół Wół Wół, będzie miał taką samą odciętą jak dany punkt, a rzędną równą wartości bezwzględnej do rzędnej danego punktu i przeciwną do niego w znaku. Czyli otrzymujemy następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów wokół osi Wół :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Samodzielne rozwiązywanie problemów w kartezjańskim układzie współrzędnych, a następnie przyjrzenie się rozwiązaniom

Przykład 4 Określ, w których ćwiartkach (ćwiartki, figura z ćwiartkami - na końcu akapitu "Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie") może znajdować się punkt m(x; tak) , Jeśli

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − tak = 0 ;

4) x + tak = 0 ;

5) x + tak > 0 ;

6) x + tak < 0 ;

7) x − tak > 0 ;

8) x − tak < 0 .

Przykład 5 Punkty są podane w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A(-2; 5) ;

b(3; -5) ;

C(a; b) .

Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów wokół osi Oy .

Nadal wspólnie rozwiązujemy problemy

Przykład 6 Punkty są podane w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A(-1; 2) ;

b(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów wokół osi Oy .

Rozwiązanie. Obróć o 180 stopni wokół osi Oy skierowany odcinek linii z osi Oy do tego momentu. Na rysunku, na którym wskazano ćwiartki płaszczyzny, widzimy, że punkt symetryczny do danego względem osi Oy, będzie miał taką samą rzędną jak dany punkt i odciętą równą w wartości bezwzględnej odciętej danego punktu i przeciwną do niego w znaku. Czyli otrzymujemy następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów wokół osi Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Przykład 7 Punkty są podane w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A(3; 3) ;

b(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Znajdź współrzędne punktów, które są symetryczne do tych punktów w odniesieniu do początku.

Rozwiązanie. Obracamy się o 180 stopni wokół początku skierowanego odcinka, idąc od początku do danego punktu. Na rysunku, na którym wskazano ćwiartki płaszczyzny, widzimy, że punkt symetryczny względem danego punktu względem początku współrzędnych będzie miał odciętą i rzędną równą wartości bezwzględnej odciętej i rzędnej danego punktu , ale przeciwnie w znaku do nich. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem początku:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Przykład 8

A(4; 3; 5) ;

b(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Znajdź współrzędne rzutów tych punktów:

1) w samolocie Oxy ;

2) do samolotu Oxz ;

3) do samolotu Oyz ;

4) na osi odciętej;

5) na osi y;

6) na osi aplikacji.

1) Rzut punktu na płaszczyznę Oxy znajduje się na tej samej płaszczyźnie, a zatem ma odciętą i rzędną równą odciętej i rzędnej danego punktu, a aplikację równą zero. Czyli otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oxy :

Axy(4;3;0);

bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Rzut punktu na płaszczyznę Oxz znajduje się na tej samej płaszczyźnie, a zatem ma odcięty i aplikowany równy odciętej i aplikacyjnej danego punktu oraz rzędną równą zero. Czyli otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Rzut punktu na płaszczyznę Oyz znajduje się na tej samej płaszczyźnie, a zatem ma rzędną i aplikator równe rzędnej i aplikacjom danego punktu oraz odciętą równą zero. Czyli otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś x znajduje się na samej osi x, czyli osi Wół, a zatem ma odciętą równą odciętej samego punktu, a rzędna i aplikacja rzutu są równe zero (ponieważ osie rzędnej i aplikacji przecinają się z odciętą w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś x:

Ax(4;0;0);

bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Rzut punktu na oś y znajduje się na samej osi y, czyli osi Oy, a zatem ma rzędną równą rzędnej samego punktu, a odcięta i aplikacja rzutu są równe zeru (ponieważ osie odciętej i aplikacji przecinają oś rzędnych w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś y:

Ar(0;3;0);

br(0;2;0);

Cr(0;-3;0).

6) Rzut punktu na oś aplikacji znajduje się na samej osi aplikacji, czyli osi Oz, a zatem ma aplikację równą aplikacji samego punktu, a odcięta i rzędna rzutu są równe zeru (ponieważ osie odciętej i rzędnej przecinają się z osią aplikacji w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś aplikacji:

Az(0; 0; 5);

bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Przykład 9 Punkty są podane w kartezjańskim układzie współrzędnych w przestrzeni

A(2; 3; 1) ;

b(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów w odniesieniu do:

1) samolot Oxy ;

2) samolot Oxz ;

3) samolot Oyz ;

4) oś odciętych;

5) oś y;

6) oś aplikacji;

7) pochodzenie współrzędnych.

1) „Przesuń” punkt po drugiej stronie osi Oxy Oxy, będzie miał odciętą i rzędną równą odciętej i rzędnej danego punktu oraz aplikację równą wielkości do aplikacji danego punktu, ale przeciwną do niego w znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do danych względem płaszczyzny Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) „Przesuń” punkt po drugiej stronie osi Oxz na tę samą odległość. Zgodnie z rysunkiem przedstawiającym przestrzeń współrzędnych widzimy, że punkt symetryczny do danego względem osi Oxz, będzie miał odcięte i zastosowanie równe odciętej i zastosowanie danego punktu oraz rzędną równą wielkości do rzędnej danego punktu, ale przeciwną do niej w znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do danych względem płaszczyzny Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) „Przesuń” punkt po drugiej stronie osi Oyz na tę samą odległość. Zgodnie z rysunkiem przedstawiającym przestrzeń współrzędnych widzimy, że punkt symetryczny do danego względem osi Oyz, będzie miał rzędną i aplikator równe rzędnej i aplikacjom danego punktu oraz odciętą równą wielkości odciętej danego punktu, ale przeciwną do niego w znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do danych względem płaszczyzny Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Przez analogię do symetrycznych punktów na płaszczyźnie i punktów w przestrzeni symetrycznych do danych względem płaszczyzn, zauważamy, że w przypadku symetrii wokół jakiejś osi kartezjańskiego układu współrzędnych w przestrzeni współrzędna na osi, wokół której symetria jest ustawiona zachowa swój znak, a współrzędne na pozostałych dwóch osiach będą takie same w wartości bezwzględnej jak współrzędne danego punktu, ale przeciwne pod względem znaku.

4) Odcięta zachowa swój znak, natomiast rzędna i aplikacja zmienią znaki. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do danych o osi x:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Rzędna zachowa swój znak, natomiast odcięta i aplikator zmienią znaki. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do danych o osi y:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplikacja zachowa swój znak, a odcięta i rzędna zmienią znaki. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do danych o osi aplikacji:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Analogicznie do symetrii w przypadku punktów na płaszczyźnie, w przypadku symetrii względem początku współrzędnych wszystkie współrzędne punktu symetrycznego do danego punktu będą równe w wartości bezwzględnej współrzędnym danego punktu, ale przeciwny znak do nich. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów, które są symetryczne względem danych względem początku.

Niech dane równanie z dwiema zmiennymi F(x; y). Nauczyłeś się już analitycznie rozwiązywać takie równania. Zbiór rozwiązań takich równań można również przedstawić w postaci wykresu.

Wykres równania F(x; y) jest zbiorem punktów na płaszczyźnie współrzędnych xOy, których współrzędne spełniają równanie.

Aby wykreślić równanie z dwiema zmiennymi, najpierw wyraż zmienną y jako zmienną x w równaniu.

Z pewnością wiesz już, jak budować różne wykresy równań z dwiema zmiennymi: ax + b \u003d c to linia prosta, yx \u003d k to hiperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 jest okręgiem, którego promień wynosi R, a środek znajduje się w punkcie O(a; b).

Przykład 1

Wykreśl równanie x 2 - 9y 2 = 0.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy na czynniki lewą stronę równania.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, tj. y = x/3 lub y = -x/3.

Odpowiedź: rysunek 1.

Szczególne miejsce zajmuje przyporządkowanie figur na płaszczyźnie równaniami zawierającymi znak wartości bezwzględnej, o czym będziemy się szczegółowo rozwodzić. Rozważ etapy wykreślania równań postaci |y| = f(x) i |y| = |f(x)|.

Pierwsze równanie jest równoważne systemowi

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) lub y = -f(x).

Oznacza to, że jego wykres składa się z wykresów dwóch funkcji: y = f(x) i y = -f(x), gdzie f(x) ≥ 0.

Aby wykreślić wykres drugiego równania, wykreślane są wykresy dwóch funkcji: y = f(x) i y = -f(x).

Przykład 2

Wykreśl równanie |y| = 2 + x.

Rozwiązanie.

Podane równanie jest równoważne systemowi

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 lub y = -x - 2.

Budujemy zestaw punktów.

Odpowiedź: rysunek 2.

Przykład 3

Wykreśl równanie |y – x| = 1.

Rozwiązanie.

Jeśli y ≥ x, to y = x + 1, jeśli y ≤ x, to y = x - 1.

Odpowiedź: rysunek 3.

Przy konstruowaniu wykresów równań zawierających zmienną pod znakiem modułu wygodnie i racjonalnie jest używać metoda obszarowa, oparty na podziale płaszczyzny współrzędnych na części, w których każde wyrażenie submodułu zachowuje swój znak.

Przykład 4

Wykreśl równanie x + |x| + y + |y| = 2.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie znak każdego wyrażenia submodułu zależy od kwadrantu współrzędnych.

1) W pierwszej ćwiartce współrzędnych x ≥ 0 i y ≥ 0. Po rozwinięciu modułu dane równanie będzie wyglądało następująco:

2x + 2y = 2, a po uproszczeniu x + y = 1.

2) W drugim kwartale, gdzie x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) W trzecim kwartale x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) W IV kwartale dla x ≥ 0 i y< 0 получим, что x = 1.

Wykreślimy to równanie w ćwiartkach.

Odpowiedź: rysunek 4.

Przykład 5

Narysuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają równość |x – 1| + |y – 1| = 1.

Rozwiązanie.

Zera wyrażeń submodułów x = 1 i y = 1 dzielą płaszczyznę współrzędnych na cztery regiony. Podzielmy moduły na regiony. Ułóżmy to w formie tabeli.

Region	Znak wyrażenia podmodułu	Otrzymane równanie po rozwinięciu modułu
i	x ≥ 1 i y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 i y< 1	x – y = 1

Odpowiedź: rysunek 5.

Na płaszczyźnie współrzędnych można określić liczby i nierówności.

Wykres nierówności z dwiema zmiennymi jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których współrzędne są rozwiązaniami tej nierówności.

Rozważać algorytm budowy modelu rozwiązywania nierówności z dwiema zmiennymi:

1. Zapisz równanie odpowiadające nierówności.
2. Wykreśl równanie z kroku 1.
3. Wybierz dowolny punkt w jednej z półpłaszczyzn. Sprawdź, czy współrzędne wybranego punktu spełniają podaną nierówność.
4. Narysuj graficznie zbiór wszystkich rozwiązań nierówności.

Rozważmy przede wszystkim nierówność ax + bx + c > 0. Równanie ax + bx + c = 0 definiuje prostą dzielącą płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. W każdym z nich funkcja f(x) = ax + bx + c zachowuje znak. Do wyznaczenia tego znaku wystarczy wziąć dowolny punkt należący do półpłaszczyzny i obliczyć w tym punkcie wartość funkcji. Jeżeli znak funkcji pokrywa się ze znakiem nierówności, to ta półpłaszczyzna będzie rozwiązaniem nierówności.

Rozważ przykłady graficznych rozwiązań najczęstszych nierówności z dwiema zmiennymi.

1) topór + bx + c ≥ 0. Rysunek 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Rysunek 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Cyfra 8.

4) y ≥ x2. Rysunek 9

5) xy ≤ 1. Rysunek 10.

Jeśli masz pytania lub chcesz przećwiczyć modelowanie zbiorów wszystkich rozwiązań nierówności dwóch zmiennych na płaszczyźnie modelu za pomocą modelowania matematycznego, możesz bezpłatna 25-minutowa lekcja z korepetytorem online po . Do dalszej pracy z lektorem będziesz miał możliwość wybrania tego, który najbardziej Ci odpowiada.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak narysować figurę na płaszczyźnie współrzędnych?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora -.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.