Jak rozwiązać równanie z podwójnymi nawiasami. Nawiasy otwierające: zasady i przykłady (ocena 7). Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych
Równanie z jedną niewiadomą, które po otwarciu nawiasów i zredukowaniu podobnych terminów przyjmuje postać
ax + b \u003d 0, gdzie a i b są dowolnymi liczbami, nazywa się równanie liniowe z jednym nieznanym. Dzisiaj dowiemy się, jak rozwiązać te równania liniowe.
Na przykład wszystkie równania:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniowe.
Nazywa się wartość nieznanego, która zamienia równanie w prawdziwą równość decyzja lub pierwiastek równania .
Na przykład, jeśli w równaniu 3x + 7 \u003d 13 zamiast nieznanego x podstawiamy liczbę 2, to otrzymujemy poprawną równość 3 · 2 +7 \u003d 13. Oznacza to, że wartość x \u003d 2 jest rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
A wartość x \u003d 3 nie zmienia równania 3x + 7 \u003d 13 w prawdziwą równość, ponieważ 3 · 2 +7 ≠ 13. Zatem wartość x \u003d 3 nie jest rozwiązaniem ani pierwiastkiem równania.
Dowolne rozwiązanie równania liniowe sprowadza się do rozwiązywania równań postaci
ax + b \u003d 0.
Przesuwając wolny termin z lewej strony równania w prawo, zmieniając znak przed b na przeciwny, otrzymujemy
Jeśli a ≠ 0, to x \u003d - b / a .
Przykład 1. Rozwiąż równanie 3x + 2 \u003d 11.
Przesuń 2 z lewej strony równania w prawo, zmieniając znak przed 2 na przeciwny, otrzymujemy
3x \u003d 11 - 2.
Odejmij więc
3x \u003d 9.
Aby znaleźć x, musisz podzielić iloczyn przez znany współczynnik, to znaczy
x \u003d 9: 3.
Stąd wartość x \u003d 3 jest rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
Odpowiedź: x \u003d 3.
Jeśli a \u003d 0 i b \u003d 0, to otrzymujemy równanie 0x \u003d 0. Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ mnożąc dowolną liczbę przez 0, otrzymujemy 0, ale b równa się również 0. Rozwiązaniem tego równania jest każda liczba.
Przykład 2.Rozwiąż równanie 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1.
Rozwińmy nawiasy:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Oto podobne terminy:
0x \u003d 0.
Odpowiedź: x to dowolna liczba.
Jeśli a \u003d 0 i b ≠ 0, wtedy otrzymujemy równanie 0x \u003d - b. To równanie nie ma rozwiązań, ponieważ mnożąc dowolną liczbę przez 0, otrzymujemy 0, ale b ≠ 0.
Przykład 3.Rozwiąż równanie x + 8 \u003d x + 5.
Pogrupujmy terminy zawierające niewiadome po lewej stronie i wolne członków po prawej:
x - x \u003d 5 - 8.
Oto podobne terminy:
0x \u003d - 3.
Odpowiedź: nie ma rozwiązań.
Na obrazek 1 przedstawia schemat rozwiązywania równania liniowego
Sporządźmy ogólny schemat rozwiązywania równań z jedną zmienną. Rozważ rozwiązanie przykładu 4.
Przykład 4. Niech równanie zostanie rozwiązane
1) Pomnóż wszystkie wyrazy równania przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, równą 12.
2) Po redukcji otrzymujemy
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6,5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Aby oddzielić członków zawierających nieznanych i wolnych członków, rozszerzamy nawiasy:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Pogrupujmy w jednej części członków zawierających niewiadome, aw drugiej - członków wolnych:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Oto podobne terminy:
- 22x \u003d - 154.
6) Podziel przez - 22, Otrzymujemy
x \u003d 7.
Jak widać, pierwiastek równania to siedem.
Generalnie takie równania można rozwiązać według następującego schematu:
a) doprowadzić równanie do całej postaci;
b) otwórz nawiasy;
c) pogrupować terminy zawierające nieznane w jednej części równania, a terminy wolne w drugiej;
d) sprowadzić podobnych członków;
e) rozwiązać równanie postaci ax \u003d b, które otrzymano po sprowadzeniu podobnych wyrazów.
Jednak ten schemat nie jest wymagany dla każdego równania. Podczas rozwiązywania wielu prostszych równań należy zacząć nie od pierwszego, ale od drugiego ( Przykład. 2), trzecie ( Przykład. 13), a nawet od piątego etapu, jak w przykładzie 5.
Przykład 5.Rozwiąż równanie 2x \u003d 1/4.
Znajdź nieznane x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .
Rozważ rozwiązanie niektórych równań liniowych znalezionych na głównym egzaminie państwowym.
Przykład 6.Rozwiąż równanie 2 (x + 3) \u003d 5 - 6x.
2x + 6 \u003d 5-6x
2x + 6x \u003d 5-6
Odpowiedź: - 0, 125
Przykład 7.Rozwiąż równanie - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
- 30 + 18x \u003d 8x - 7
18x - 8x \u003d - 7 +30
Odpowiedź: 2.3
Przykład 8. Rozwiązać równanie
3 (3x - 4) \u003d 4,7x + 24
9x - 12 \u003d 28x + 24
9x - 28x \u003d 24 + 12
Przykład 9.Znajdź f (6), jeśli f (x + 2) \u003d 3 7
Decyzja
Ponieważ musimy znaleźć f (6), a wiemy, że f (x + 2),
wtedy x + 2 \u003d 6.
Rozwiąż równanie liniowe x + 2 \u003d 6,
otrzymujemy x \u003d 6-2, x \u003d 4.
Jeśli x \u003d 4, to
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27
Odpowiedź: 27.
Jeśli nadal masz pytania, jeśli chcesz dokładniej zrozumieć rozwiązywanie równań, zapisz się na moje lekcje w HARMONOGRAMIE. Chętnie Ci pomogę!
TutorOnline poleca również obejrzenie nowego samouczka wideo od naszego korepetytora Olgi Alexandrovny, który pomoże ci zrozumieć zarówno równania liniowe, jak i inne.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w Sekcja specjalna 555.
Dla tych, którzy są „niezbyt ...”
A dla tych, którzy „bardzo ...”)
Równania liniowe.
Równania liniowe nie są najtrudniejszym tematem w matematyce szkolnej. Ale są tam sztuczki, które mogą rozwiązać zagadkę nawet wyszkolonego ucznia. Czy możemy to rozgryźć?)
Zwykle równanie liniowe definiuje się jako równanie o postaci:
topór + b = 0 Gdzie a i b - dowolne liczby.
2x + 7 \u003d 0. Tutaj a \u003d 2, b \u003d 7
0,1x - 2,3 \u003d 0 Tutaj a \u003d 0,1, b \u003d -2,3
12x + 1/2 \u003d 0 Tutaj a \u003d 12, b \u003d 1/2
Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważysz słów: „gdzie a i b to dowolne liczby”... A jeśli zauważysz, ale beztrosko myślisz?) W końcu, jeśli a \u003d 0, b \u003d 0 (możliwe są jakieś liczby?), wtedy otrzymasz zabawne wyrażenie:
Ale to nie wszystko! Jeśli powiedzmy a \u003d 0, i b \u003d 5, okazuje się coś niezwykłego:
Co nadwyręża i podważa wiarygodność matematyki, tak ...) Zwłaszcza na egzaminach. Ale z tych dziwnych wyrażeń trzeba też znaleźć X! Czego w ogóle nie ma. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Dowiemy się, jak to zrobić. W tym samouczku.
Skąd znasz równanie liniowe po jego wyglądzie? To zależy od wyglądu.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe to nie tylko równania postaci topór + b = 0 , ale także wszelkie równania zredukowane do tej postaci przez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy można go zmniejszyć, czy nie?)
W niektórych przypadkach można łatwo rozpoznać równanie liniowe. Powiedzmy, jeśli mamy równanie, w którym są tylko niewiadome w pierwszym stopniu i liczby. A w równaniu nie ma ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I podział według numer, lub ułamek liczbowy - proszę! Na przykład:
To jest równanie liniowe. Są ułamki, ale nie ma x-ów w kwadracie, w sześcianie itd., A nie ma x-ów w mianownikach, tj. Nie dzielenie przez x... A oto równanie
nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie x są w pierwszym stopniu, ale jest dzielenie przez wyrażenie z x... Po uproszczeniach i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe i kwadratowe i cokolwiek chcesz.
Okazuje się, że nie możesz znaleźć równania liniowego w jakimś trudnym przykładzie, dopóki go prawie nie rozwiążesz. To jest przykre. Ale zadania zwykle nie zawierają pytania o typ równania, prawda? Zadania mają równania rozwiązać. To sprawia, że \u200b\u200bjestem szczęśliwy.)
Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.
Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identyczne przekształcenia równań. Nawiasem mówiąc, te transformacje (aż dwie!) Leżą u podstaw rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Innymi słowy, rozwiązanie każdy równanie zaczyna się właśnie od tych przekształceń. W przypadku równań liniowych to (rozwiązanie) opiera się na tych przekształceniach i kończy się pełnoprawną odpowiedzią. Warto przejść do linku, prawda?) Ponadto są też przykłady rozwiązywania równań liniowych.
Zacznijmy od najprostszego przykładu. Bez żadnych pułapek. Załóżmy, że musimy rozwiązać to równanie.
x - 3 \u003d 2 - 4x
To jest równanie liniowe. X jest wszystkim w pierwszym stopniu, nie ma podziału przez X. Ale w rzeczywistości nie obchodzi nas, jakie to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat jest prosty. Zbierz wszystko z x po lewej stronie równania, wszystko bez x (liczba) po prawej.
Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku, ale - 3 - w prawo. Nawiasem mówiąc, to jest pierwsze identyczne przekształcenie równań. Czy jesteś zaskoczony? Więc nie skorzystaliśmy z linku, ale na próżno ...) Otrzymujemy:
x + 4x \u003d 2 + 3
Podajemy podobne, uważamy:
Czego nam brakuje do pełnego szczęścia? Tak, więc po lewej był czysty X! Pięć jest na drodze. Pozbycie się pierwszej piątki z drugie identyczne przekształcenie równań. Mianowicie, dzielimy obie strony równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:
Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest jasne, dlaczego przypominałem sobie tutaj identyczne transformacje? W porządku. Bierzemy byka za rogi.) Wybierzmy coś bardziej imponującego.
Na przykład, oto równanie:
Gdzie zaczynamy? Czy x - w lewo, bez x - w prawo? Tak może być. Małymi krokami wzdłuż długiej drogi. Lub możesz od razu, w uniwersalny i potężny sposób. Jeśli oczywiście masz w swoim arsenale identyczne przekształcenia równań.
Zadaję kluczowe pytanie: czego najbardziej nie lubisz w tym równaniu?
95 osób na 100 odpowie: frakcje ! Odpowiedź jest poprawna. Więc pozbądźmy się ich. Dlatego zaczynamy od razu druga transformacja tożsamości... Czego potrzebujesz, aby pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby można było całkowicie zmniejszyć mianownik? Racja, 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer... Jak się wydostaniemy? Pomnóżmy obie części przez 12! Te. przez wspólny mianownik. Wtedy zarówno trzy, jak i cztery spadną. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie... Tak wygląda pierwszy krok:
Rozwiń nawiasy:
Uwaga! Licznik ułamka (x + 2) Ujęłam w nawias! Dzieje się tak, ponieważ gdy mnożysz ułamki, licznik jest mnożony całkowicie, całkowicie! A teraz frakcje można zmniejszyć:
Rozwiń pozostałe nawiasy:
Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Teraz przypominamy sobie zaklęcie z klas podstawowych: z x - w lewo, bez x - w prawo! I zastosuj tę transformację:
Oto podobne:
Obie części dzielimy przez 25, tj. zastosuj ponownie drugą transformację:
To wszystko. Odpowiedź: x=0,16
Uwaga: aby nadać oryginalnemu skomplikowanemu równaniu przyjemną formę, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) identyczne transformacje - przenieś lewy-prawy ze zmianą znaku i mnożeniem-podzieleniem równania o tę samą liczbę. To uniwersalny sposób! Będziemy pracować w ten sposób każdy równania! Absolutnie każdy. Dlatego cały czas powtarzam te identyczne transformacje.)
Jak widać, zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Weź równanie i uprość je za pomocą identyczne transformacje do czasu otrzymania odpowiedzi. Główne problemy dotyczą obliczeń, a nie zasady rozwiązania.
Ale ... W procesie rozwiązywania najbardziej elementarnych równań liniowych są takie niespodzianki, że mogą wpędzić cię w silne otępienie ...) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je przypadkami specjalnymi.
Specjalne przypadki przy rozwiązywaniu równań liniowych.
Pierwsza niespodzianka.
Załóżmy, że natrafisz na elementarne równanie, na przykład:
2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2
Lekko znudzony, przenosimy go z x w lewo, bez x w prawo ... Przy zmianie znaku wszystko jest podbródkiem ... Otrzymujemy:
2x-5x + 3x \u003d 5-2-3
Rozważamy i ... o cholera !!! Otrzymujemy:
Ta równość sama w sobie nie budzi sprzeciwu. Zero to rzeczywiście zero. Ale X zniknął! I musimy napisać w odpowiedzi co to jest x. Inaczej decyzja się nie liczy, tak ...) Ślepy zaułek?
Spokojna! W takich wątpliwych przypadkach najbardziej ogólne zasady oszczędzają. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po podstawieniu do pierwotnego równania dadzą nam poprawną równość.
Ale mamy prawdziwą równość już stało się! 0 \u003d 0, o ile dokładniej ?! Pozostaje dowiedzieć się, w czym się okazuje. Jakie wartości x można podstawić w inicjał równanie, jeśli te x i tak skurczy się do zera? Daj spokój?)
Tak!!! Xs można zastąpić każdy! Czego chcesz. Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. I tak się skurczą. Jeśli nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości x w inicjał równanie i liczenie. Przez cały czas uzyskuje się czystą prawdę: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7,1 \u003d -7,1 i tak dalej.
Oto odpowiedź: x - dowolna liczba.
Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. To jest absolutnie poprawna i pełna odpowiedź.
Druga niespodzianka.
Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Oto, co rozwiążemy:
2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2
Po tych samych identycznych transformacjach otrzymujemy coś intrygującego:
Lubię to. Rozwiązałem równanie liniowe, uzyskałem dziwną równość. W kategoriach matematycznych otrzymaliśmy nieprawidłowa równość. I mówiąc prosty język, to nie prawda. Bredzić. Niemniej jednak ten nonsens jest bardzo dobrym powodem do prawidłowego rozwiązania równania).
Ponownie myślimy w oparciu o ogólne zasady. Co da nam x, gdy podstawimy je w pierwotnym równaniu prawdziwe równość? Tak, nic! Nie ma takich x. Cokolwiek zastąpisz, wszystko zostanie zredukowane, delirium pozostanie).
Oto odpowiedź: brak rozwiązań.
To także pełna odpowiedź. W matematyce takie odpowiedzi są powszechne.
Lubię to. Mam nadzieję, że utrata x w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania w ogóle Cię nie zmyli. Sprawa jest już znana.)
Teraz, gdy odkryliśmy wszystkie pułapki w równaniach liniowych, warto je rozwiązać.
Jeśli podoba Ci się ta strona ...
Przy okazji, mam dla ciebie kilka ciekawszych witryn.)
Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)
możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Nawiasy służą do wskazania kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach liczbowych, literałowych i zmiennych. Wygodne jest przełączanie się z wyrażenia z nawiasami na identycznie równe wyrażenie bez nawiasów. Ta technika nazywa się rozszerzaniem nawiasów.
Rozwijanie nawiasów oznacza pozbycie się wyrażenia z tych nawiasów.
Na szczególną uwagę zasługuje jeszcze jeden punkt, który dotyczy specyfiki zapisywania decyzji przy otwieraniu nawiasów. Możemy zapisać początkowe wyrażenie z nawiasami, a wynik uzyskany po rozwinięciu nawiasów jako równość. Na przykład po rozwinięciu nawiasów zamiast wyrażenia
3− (5−7) otrzymujemy wyrażenie 3−5 + 7. Możemy zapisać oba te wyrażenia jako równość 3− (5−7) \u003d 3−5 + 7.
I jeszcze jeden ważny punkt. W matematyce, aby skrócić rekordy, zwyczajowo nie pisze się znaku plus, jeśli pojawia się on jako pierwszy w wyrażeniu lub w nawiasach. Na przykład, jeśli dodamy dwie liczby dodatnie, na przykład siedem i trzy, to napiszemy nie + 7 + 3, a po prostu 7 + 3, mimo że siedem jest również liczbą dodatnią. Podobnie, jeśli zobaczysz na przykład wyrażenie (5 + x) - wiedz, że przed nawiasem jest plus, który nie jest zapisany, a przed piątką jest plus + (+ 5 + x).
Reguła dodatkowo rozwijania nawiasów
Podczas rozwijania nawiasów, jeśli przed nawiasami znajduje się plus, ten plus jest pomijany razem z nawiasami.
Przykład. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 + (7 + 3) Przed nawiasami plus, aby znaki przed liczbami w nawiasach się nie zmieniły.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Reguła rozwijania nawiasów przy odejmowaniu
Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, to ten minus jest pomijany wraz z nawiasami, ale terminy, które były w nawiasach, zmieniają swój znak na przeciwny. Brak znaku przed pierwszym terminem w nawiasach oznacza znak +.
Przykład. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 - (7 + 3)
Przed nawiasami jest minus, co oznacza, że \u200b\u200bmusisz zmienić znaki przed liczbami z nawiasów. Nie ma znaku w nawiasach przed liczbą 7, oznacza to, że siódemka jest dodatnia, uważa się, że przed nią znajduje się znak +.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Rozwijając nawiasy, usuwamy z przykładu minus, który znajdował się przed nawiasami, a same nawiasy 2 - (+ 7 + 3), a znaki, które były w nawiasach, są odwrócone.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Rozszerzanie nawiasów podczas mnożenia
Jeśli przed nawiasami znajduje się znak mnożenia, każda liczba wewnątrz nawiasów jest mnożona przez współczynnik przed nawiasami. W tym przypadku pomnożenie minusa przez minus daje plus, a pomnożenie minusa przez plus, a także pomnożenie plusa przez minus daje minus.
W ten sposób nawiasy w pracach są rozszerzone zgodnie z dystrybucyjną własnością mnożenia.
Przykład. 2 (9 - 7) \u003d 2 9 - 2 7
Kiedy mnożysz nawias przez nawias, każdy element pierwszego nawiasu jest mnożony przez każdy element drugiego nawiasu.
(2 + 3) (4 + 5) \u003d 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Właściwie nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich reguł, wystarczy zapamiętać tylko jedną rzecz: c (a-b) \u003d ca-cb. Czemu? Ponieważ jeśli podstawisz w nim jeden zamiast c, otrzymasz regułę (a - b) \u003d a - b. A jeśli podstawimy minus jeden, otrzymamy regułę - (a - b) \u003d - a + b. Cóż, jeśli zamiast c podstawisz inny nawias, możesz uzyskać ostatnią regułę.
Rozszerzanie nawiasów w dzieleniu
Jeśli po nawiasach znajduje się znak podziału, to każda liczba w nawiasach jest dzielona przez dzielnik po nawiasach i odwrotnie.
Przykład. (9 + 6): 3 \u003d 9: 3 + 6: 3
Jak rozwinąć zagnieżdżone nawiasy
Jeśli w wyrażeniu znajdują się zagnieżdżone nawiasy, są one rozwijane w kolejności, zaczynając od nawiasów zewnętrznych lub wewnętrznych.
Jednocześnie podczas otwierania jednego z nawiasów ważne jest, aby nie dotykać pozostałych nawiasów, po prostu przepisując je tak, jak są.
Przykład. 12 - (a + (6 - b) - 3) \u003d 12 - a - (6 - b) + 3 \u003d 12 - a - 6 + b + 3 \u003d 9 - a + b
Równanie z jedną niewiadomą, które po otwarciu nawiasów i zredukowaniu podobnych terminów przyjmuje postać
ax + b \u003d 0, gdzie a i b są dowolnymi liczbami, nazywa się równanie liniowe z jednym nieznanym. Dzisiaj dowiemy się, jak rozwiązać te równania liniowe.
Na przykład wszystkie równania:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniowe.
Nazywa się wartość nieznanego, która zamienia równanie w prawdziwą równość decyzja lub pierwiastek równania .
Na przykład, jeśli w równaniu 3x + 7 \u003d 13 zamiast nieznanego x podstawiamy liczbę 2, to otrzymujemy poprawną równość 3 · 2 +7 \u003d 13. Oznacza to, że wartość x \u003d 2 jest rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
A wartość x \u003d 3 nie zmienia równania 3x + 7 \u003d 13 w prawdziwą równość, ponieważ 3 · 2 +7 ≠ 13. Zatem wartość x \u003d 3 nie jest rozwiązaniem ani pierwiastkiem równania.
Rozwiązywanie równań liniowych sprowadza się do rozwiązywania równań postaci
ax + b \u003d 0.
Przesuwając wolny termin z lewej strony równania w prawo, zmieniając znak przed b na przeciwny, otrzymujemy
Jeśli a ≠ 0, to x \u003d - b / a .
Przykład 1. Rozwiąż równanie 3x + 2 \u003d 11.
Przesuń 2 z lewej strony równania w prawo, zmieniając znak przed 2 na przeciwny, otrzymujemy
3x \u003d 11 - 2.
Odejmij więc
3x \u003d 9.
Aby znaleźć x, musisz podzielić iloczyn przez znany współczynnik, to znaczy
x \u003d 9: 3.
Stąd wartość x \u003d 3 jest rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
Odpowiedź: x \u003d 3.
Jeśli a \u003d 0 i b \u003d 0, to otrzymujemy równanie 0x \u003d 0. Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ mnożąc dowolną liczbę przez 0, otrzymujemy 0, ale b równa się również 0. Rozwiązaniem tego równania jest każda liczba.
Przykład 2.Rozwiąż równanie 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1.
Rozwińmy nawiasy:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Oto podobne terminy:
0x \u003d 0.
Odpowiedź: x to dowolna liczba.
Jeśli a \u003d 0 i b ≠ 0, wtedy otrzymujemy równanie 0x \u003d - b. To równanie nie ma rozwiązań, ponieważ mnożąc dowolną liczbę przez 0, otrzymujemy 0, ale b ≠ 0.
Przykład 3.Rozwiąż równanie x + 8 \u003d x + 5.
Pogrupujmy terminy zawierające niewiadome po lewej stronie i wolne członków po prawej:
x - x \u003d 5 - 8.
Oto podobne terminy:
0x \u003d - 3.
Odpowiedź: nie ma rozwiązań.
Na obrazek 1 przedstawia schemat rozwiązywania równania liniowego
Sporządźmy ogólny schemat rozwiązywania równań z jedną zmienną. Rozważ rozwiązanie przykładu 4.
Przykład 4. Niech równanie zostanie rozwiązane
1) Pomnóż wszystkie wyrazy równania przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, równą 12.
2) Po redukcji otrzymujemy
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6,5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Aby oddzielić członków zawierających nieznanych i wolnych członków, rozszerzamy nawiasy:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Pogrupujmy w jednej części członków zawierających niewiadome, aw drugiej - członków wolnych:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Oto podobne terminy:
- 22x \u003d - 154.
6) Podziel przez - 22, Otrzymujemy
x \u003d 7.
Jak widać, pierwiastek równania to siedem.
Generalnie takie równania można rozwiązać według następującego schematu:
a) doprowadzić równanie do całej postaci;
b) otwórz nawiasy;
c) pogrupować terminy zawierające nieznane w jednej części równania, a terminy wolne w drugiej;
d) sprowadzić podobnych członków;
e) rozwiązać równanie postaci ax \u003d b, które otrzymano po sprowadzeniu podobnych wyrazów.
Jednak ten schemat nie jest wymagany dla każdego równania. Podczas rozwiązywania wielu prostszych równań należy zacząć nie od pierwszego, ale od drugiego ( Przykład. 2), trzecie ( Przykład. 13), a nawet od piątego etapu, jak w przykładzie 5.
Przykład 5.Rozwiąż równanie 2x \u003d 1/4.
Znajdź nieznane x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .
Rozważ rozwiązanie niektórych równań liniowych znalezionych na głównym egzaminie państwowym.
Przykład 6.Rozwiąż równanie 2 (x + 3) \u003d 5 - 6x.
2x + 6 \u003d 5-6x
2x + 6x \u003d 5-6
Odpowiedź: - 0, 125
Przykład 7.Rozwiąż równanie - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
- 30 + 18x \u003d 8x - 7
18x - 8x \u003d - 7 +30
Odpowiedź: 2.3
Przykład 8. Rozwiązać równanie
3 (3x - 4) \u003d 4,7x + 24
9x - 12 \u003d 28x + 24
9x - 28x \u003d 24 + 12
Przykład 9.Znajdź f (6), jeśli f (x + 2) \u003d 3 7
Decyzja
Ponieważ musimy znaleźć f (6), a wiemy, że f (x + 2),
wtedy x + 2 \u003d 6.
Rozwiąż równanie liniowe x + 2 \u003d 6,
otrzymujemy x \u003d 6-2, x \u003d 4.
Jeśli x \u003d 4, to
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27
Odpowiedź: 27.
Jeśli nadal masz pytania, istnieje chęć dokładniejszego rozwiązania równań. Chętnie Ci pomogę!
TutorOnline poleca również obejrzenie nowego samouczka wideo od naszego korepetytora Olgi Alexandrovny, który pomoże ci zrozumieć zarówno równania liniowe, jak i inne.
blog., z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
