Oblicz odwrotność macierzy. Algorytm obliczania macierzy odwrotnej z wykorzystaniem dopełnień algebraicznych: metoda macierzy sprzężonej (sprzężonej). Metoda macierzowa w analizie ekonomicznej

Algebra macierzy - macierz odwrotna

macierz odwrotna

Macierz odwrotna nazywana jest macierzą, która pomnożona zarówno po prawej, jak i po lewej stronie przez daną macierz daje macierz identyczności.
Oznaczmy macierz odwrotną do macierzy I przez, to zgodnie z definicją otrzymujemy:

gdzie mi To macierz tożsamości.
Macierz kwadratowa nazywa nie specjalne (niezdegenerowany), jeśli jego wyznacznik nie jest zerem. W przeciwnym razie nazywa się specjalny (zdegenerowany) lub pojedynczy.

Zachodzi następujące twierdzenie: każda macierz nieosobista ma odwrotność.

Operacja znajdowania macierzy odwrotnej nazywa się apel matryce. Rozważmy algorytm inwersji macierzy. Niech będzie dana macierz nieosobista n-te zamówienie:

gdzie Δ \u003d det ZA ≠ 0.

Uzupełnienie algebraiczne elementumatryce n -te zamówienie I nazywany jest wyznacznikiem macierzy ( n –1) kolejność uzyskana przez usunięcie ja-ta linia i jotkolumna macierzy I:

Skomponujmy tzw przywiązany matryca:

gdzie są algebraiczne uzupełnienia odpowiednich elementów macierzy I.
Zauważ, że algebraiczne uzupełnienia elementów wierszy macierzy I są umieszczane w odpowiednich kolumnach macierzy à to znaczy macierz jest transponowana w tym samym czasie.
Dzielenie wszystkich elementów macierzy à przez Δ - wartość wyznacznika macierzy I, otrzymujemy macierz odwrotną jako wynik:

Zwracamy uwagę na szereg specjalnych właściwości macierzy odwrotnej:
1) dla danej macierzy I jego odwrotna macierz jest jedyny;
2) jeśli istnieje macierz odwrotna, to prawo do tyłu i lewo do tyłu matryce pokrywają się z nim;
3) specjalna (zdegenerowana) macierz kwadratowa nie ma macierzy odwrotnej.

Główne właściwości macierzy odwrotnej:
1) wyznacznik macierzy odwrotnej i wyznacznik macierzy oryginalnej są wartościami odwrotnymi;
2) macierz odwrotna iloczynu macierzy kwadratowych jest równa iloczynowi macierzy odwrotnych czynników, wziętych w odwrotnej kolejności:

3) transponowana odwrotność macierzy jest równa odwrotności danej transponowanej macierzy:

Elementarz. Oblicz odwrotność podanej macierzy.

Dla każdej niezdegenerowanej macierzy A istnieje i, co więcej, unikalna macierz A -1 taka, że

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

gdzie E jest macierzą identyczności tych samych rzędów co A. Macierz A -1 nazywana jest odwrotnością macierzy A.

Na wypadek, gdyby ktoś zapomniał, w macierzy tożsamości, poza przekątną wypełnioną jedynkami, wszystkie inne pozycje są wypełnione zerami, przykład macierzy tożsamości:

Znajdowanie macierzy odwrotnej metodą macierzy sprzężonej

Macierz odwrotną definiuje wzór:

gdzie A ij to elementy a ij.

Te. aby obliczyć macierz odwrotną, należy obliczyć wyznacznik tej macierzy. Następnie znajdź uzupełnienia algebraiczne dla wszystkich jego elementów i utwórz z nich nową macierz. Następnie musisz przetransportować tę macierz. I podziel każdy element nowej macierzy przez wyznacznik oryginalnej macierzy.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Znajdź -1 dla Matrix

Rozwiązanie Wyznaczmy A -1 metodą macierzy sprzężonej. Mamy det A \u003d 2. Znajdźmy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A. W tym przypadku dopełnienia algebraiczne elementów macierzy będą odpowiadającymi im elementami samej macierzy, wzięte ze znakiem zgodnym ze wzorem

Mamy A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Tworzymy macierz sprzężoną

Transportujemy macierz A *:

Odwrotną macierz znajdujemy według wzoru:

Otrzymujemy:

Znajdź A -1, używając metody macierzy sprzężonej, jeśli

Rozwiązanie Przede wszystkim obliczamy definicję danej macierzy, aby upewnić się, że macierz odwrotna istnieje. Mamy

Tutaj dodaliśmy do elementów drugiego rzędu elementy trzeciego rzędu pomnożone wcześniej przez (-1), a następnie rozszerzyliśmy wyznacznik w drugim rzędzie. Ponieważ określona macierz jest różna od zera, istnieje macierz odwrotna. Aby skonstruować macierz sprzężoną, znajdujemy uzupełnienia algebraiczne elementów tej macierzy. Mamy

Zgodnie ze wzorem

transportuj macierz A *:

Następnie według wzoru

Znajdowanie macierzy odwrotnej metodą przekształceń elementarnych

Oprócz metody znajdowania macierzy odwrotnej, która wynika ze wzoru (metoda macierzy sprzężonej), istnieje metoda znajdowania macierzy odwrotnej, zwana metodą przekształceń elementarnych.

Podstawowe przekształcenia macierzy

Następujące transformacje nazywane są podstawowymi transformacjami macierzowymi:

1) permutacja wierszy (kolumn);

2) pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę niezerową;

3) dodanie do elementów wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego rzędu (kolumny), uprzednio pomnożonych przez określoną liczbę.

Aby znaleźć macierz A -1, konstruujemy prostokątną macierz B \u003d (A | E) rzędów (n; 2n), przypisując macierzy A po prawej stronie macierz identyczności E przez linię podziału:

Spójrzmy na przykład.

Używając metody przekształceń elementarnych, znajdź A -1 if

Rozwiązanie: Utwórzmy macierz B:

Oznaczmy wiersze macierzy B przez α 1, α 2, α 3. Wykonajmy następujące przekształcenia na wierszach macierzy B.

Definicja 1: macierz nazywana jest zdegenerowaną, jeśli jej wyznacznik wynosi zero.

Definicja 2: macierz nazywana jest niezdegenerowaną, jeśli jej wyznacznik nie jest zerem.

Macierz „A” jest nazywana macierz odwrotnajeśli warunek A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (macierz tożsamości) jest spełniony.

Macierz kwadratowa jest odwracalna tylko wtedy, gdy nie jest zdegenerowana.

Schemat obliczania macierzy odwrotnej:

1) Oblicz wyznacznik macierzy „A”, jeśli ∆ A \u003d 0, to macierz odwrotna nie istnieje.

2) Znajdź wszystkie algebraiczne uzupełnienia macierzy „A”.

3) Skonstruuj macierz uzupełnień algebraicznych (Aij)

4) Transponuj macierz uzupełnień algebraicznych (Aij) T

5) Pomnóż transponowaną macierz przez odwrotność wyznacznika tej macierzy.

6) Sprawdź:

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to trudne, ale w rzeczywistości wszystko jest bardzo proste. Wszystkie rozwiązania opierają się na prostych operacjach arytmetycznych, przy podejmowaniu decyzji najważniejsze jest, aby nie pomylić się ze znakami „-” i „+” i nie zgubić ich.

Rozwiążmy teraz razem z wami praktyczne zadanie, obliczając macierz odwrotną.

Zadanie: znajdź odwrotną macierz „A” pokazaną na poniższym obrazku:

Rozwiązujemy wszystko dokładnie tak, jak wskazano w planie obliczeń macierzy odwrotnej.

1. Pierwszą rzeczą do zrobienia jest znalezienie wyznacznika macierzy „A”:

Wyjaśnienie:

Uprościliśmy nasz kwalifikator, wykorzystując jego podstawowe funkcje. Najpierw dodaliśmy do wierszy 2 i 3 elementy pierwszego rzędu pomnożone przez jedną liczbę.

Po drugie zmieniliśmy kolumny 2 i 3 wyznacznika i zgodnie z jego właściwościami zmieniliśmy znajdujący się przed nim znak.

Po trzecie, usunęliśmy wspólny czynnik (-1) drugiego rzędu, tym samym ponownie zmieniając znak i stał się on dodatni. Uprościliśmy również wiersz 3, tak jak na samym początku przykładu.

Mamy trójkątny wyznacznik, w którym elementy poniżej przekątnej są równe zeru, a zgodnie z siódmą właściwością jest ona równa iloczynowi elementów przekątnej. W rezultacie otrzymaliśmy ∆ A \u003d 26, stąd odwrotność istnieje.

A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. Następnym krokiem jest skompilowanie macierzy z otrzymanych dodatków:

5. Pomnóż tę macierz przez odwrotność wyznacznika, czyli przez 1/26:

6. Cóż, teraz musimy tylko sprawdzić:

Podczas sprawdzania otrzymaliśmy macierz tożsamości, dlatego rozwiązanie zostało wykonane absolutnie poprawnie.

2 sposób obliczenia macierzy odwrotnej.

1. Elementarna transformacja macierzy

2. Odwrotna macierz przez transformator elementarny.

Elementarna transformacja macierzowa obejmuje:

1. Mnożenie ciągu przez liczbę niezerową.

2. Dodanie do dowolnego wiersza kolejnego ciągu pomnożonego przez liczbę.

3. Zamiana wierszy macierzy.

4. Stosując łańcuch przekształceń elementarnych otrzymujemy kolejną macierz.

I -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2.A -1 * A \u003d E.

Spójrzmy na praktyczny przykład z liczbami rzeczywistymi.

Zadanie: Znajdź odwrotność macierzy.

Decyzja:

Sprawdźmy:

Małe wyjaśnienie rozwiązania:

Najpierw przestawiliśmy wiersze 1 i 2 macierzy, a następnie pomnożyliśmy pierwszy wiersz przez (-1).

Następnie pierwszy wiersz został pomnożony przez (-2) i dodany do drugiego wiersza macierzy. Następnie pomnożyliśmy drugi rząd przez 1/4.

Ostatnim etapem transformacji było pomnożenie drugiej linii przez 2 i dodanie z pierwszej. W rezultacie mamy macierz identyczności po lewej stronie, więc odwrotnością jest macierz po prawej stronie.

Po sprawdzeniu upewniliśmy się, że rozwiązanie jest poprawne.

Jak widać, obliczenie odwrotności macierzy jest bardzo łatwe.

Na zakończenie tego wykładu chciałbym również poświęcić trochę czasu właściwościom takiej matrycy.

KOMPONENTY ALGEBRAICZNE I NIELETNIE

Miejmy wyznacznik trzeciego rzędu: .

Mniejszyodpowiadające temu elementowi a ij wyznacznik trzeciego rzędu nazywamy wyznacznikiem drugiego rzędu, otrzymywanym z danego przez wykreślenie wiersza i kolumny, na przecięciu których stoi dany element, tj. ja-ta linia i jotkolumna. Osoby niepełnoletnie odpowiadające danemu elementowi a ij będzie oznaczać M ij.

na przykład, mniejszy M 12odpowiadający elementowi a 12, będzie wyznacznik , który uzyskuje się usuwając pierwszy wiersz i drugą kolumnę z podanego wyznacznika.

Zatem wzór określający wyznacznik trzeciego rzędu pokazuje, że wyznacznik ten jest równy sumie iloczynów elementów pierwszego rzędu odpowiadających im nieletnich; podrzędny odpowiadający elementowi a 12, zrobione ze znakiem „-”, tj. możemy to napisać

.

(1)

Podobnie możemy wprowadzić definicje nieletnich dla wyznaczników rzędu drugiego i wyższego.

Przedstawmy jeszcze jedną koncepcję.

Uzupełnienie algebraiczneelement a ij wyznacznik nazywany jest jego drugorzędnym M ijpomnożone przez (–1) i + j.

Uzupełnienie algebraiczne elementu a ij oznaczony A ij.

Z definicji otrzymujemy, że związek między uzupełnieniem algebraicznym elementu a jego małoletnią wyraża się równaniem A ij \u003d (–1) i + j M ij.

Na przykład,

Przykład. Podano wyznacznik. Znaleźć 13, 21, 32.

Łatwo zauważyć, że stosując algebraiczne dopełnienia elementów wzór (1) można zapisać w postaci:

Podobnie jak w tej formule, możesz uzyskać rozkład wyznacznika na elementy dowolnego wiersza lub kolumny.

Na przykład faktoryzację wyznacznika przez elementy drugiej linii można uzyskać w następujący sposób. Zgodnie z własnością 2 wyznacznika mamy:

Rozszerzmy otrzymany wyznacznik o elementy pierwszego rzędu.

.

(2)

Stąd od wyznacznikami drugiego rzędu we wzorze (2) są małoletnie elementy 21, 22, 23... Zatem tj. otrzymaliśmy rozkład wyznacznika pod względem elementów drugiego rzędu.

Podobnie można uzyskać rozwinięcie wyznacznika pod względem elementów trzeciego rzędu. Korzystając z własności 1 wyznaczników (o transpozycji), można wykazać, że podobne rozwinięcia są również ważne dla rozwinięcia pod względem elementów kolumnowych.

Zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie (o rozwinięciu wyznacznika w danym wierszu lub kolumnie). Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego z jego wierszy (lub kolumn) przez ich algebraiczne uzupełnienia.

Wszystkie powyższe odpowiedzi dotyczą również wyznaczników dowolnego wyższego rzędu.

Przykłady.

ODWRÓCONA MATRYCA

Pojęcie macierzy odwrotnej jest wprowadzone tylko dla macierze kwadratowe.

Jeśli ZA Jest więc macierzą kwadratową odwrócić w tym przypadku macierz jest oznaczoną macierzą A -1 i spełniający warunek. (Definicja ta jest wprowadzana przez analogię z mnożeniem liczb)

W tym artykule omówimy macierzową metodę rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych, znajdziemy jej definicję i podamy przykłady rozwiązania.

Definicja 1

Metoda macierzy odwrotnej to metoda stosowana do rozwiązywania SLAE w przypadku, gdy liczba niewiadomych jest równa liczbie równań.

Przykład 1

Znajdź rozwiązanie dla systemu n równania liniowe z n niewiadomych:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. ... ... + a 1 n x n \u003d b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n \u003d b n

Nagrywanie matrycowe : A × X \u003d B

gdzie А \u003d а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ n 1 а n 2 ⋯ а n n jest macierzą systemu.

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - kolumna niewiadomych,

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - kolumna wolnych współczynników.

Z równania, które otrzymaliśmy, musisz wyrazić X. Aby to zrobić, musisz pomnożyć obie strony równania macierzowego po lewej stronie przez A - 1:

A - 1 × A × X \u003d A - 1 × B.

Ponieważ A - 1 × A \u003d E, to E × X \u003d A - 1 × B lub X \u003d A - 1 × B.

Komentarz

Macierz odwrotna do macierzy A ma prawo istnieć tylko wtedy, gdy warunek d e t A nie jest równy zeru. Dlatego przy rozwiązywaniu SLAE metodą macierzy odwrotnej należy przede wszystkim d e t A.

W przypadku, gdy d e t A nie jest równe zero, system ma tylko jedno rozwiązanie: stosując metodę macierzy odwrotnej. Jeśli d e t А \u003d 0, to system nie może być rozwiązany tą metodą.

Przykład rozwiązania układu równań liniowych metodą macierzy odwrotnej

Przykład 2

SLAE rozwiązujemy metodą macierzy odwrotnej:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 \u003d 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 \u003d 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 \u003d 2

Jak rozwiązać?

• Zapisujemy układ w postaci równania macierzowego A X \u003d B, gdzie

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Wyrażamy z tego równania X:

• Znajdź wyznacznik macierzy A:

det A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t А nie jest równe 0, dlatego metoda odwrotnego rozwiązania macierzy jest odpowiednia dla tego systemu.

• Znajdź macierz odwrotną A - 1 za pomocą macierzy sumy. Obliczamy uzupełnienia algebraiczne A i j do odpowiednich elementów macierzy A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Zapisujemy macierz sumy A *, która składa się z algebraicznych uzupełnień macierzy A:

A * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Macierz odwrotną piszemy według wzoru:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Mnożymy macierz odwrotną A - 1 przez kolumnę wolnych terminów B i otrzymujemy rozwiązanie do układu:

X \u003d A - 1 × B \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

Odpowiedź : x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter