Oblicz pochodną w punkcie x0. Znajdź wartość pochodnej funkcji w punkcie x0. Równanie stycznej do wykresu funkcji

Przykład 1

Odniesienie: Następujące sposoby oznaczania funkcji są równoważne: W niektórych zadaniach wygodnie jest oznaczyć funkcję jako „gra”, aw niektórych jako „ff from x”.

Najpierw znajdujemy pochodną:

Przykład 2

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

, , pełne badanie funkcji itd.

Przykład 3

Oblicz pochodną funkcji w punkcie. Najpierw znajdźmy pochodną:

Cóż, to zupełnie inna sprawa. Obliczmy wartość pochodnej w punkcie:

W przypadku, gdy nie rozumiesz, w jaki sposób znaleziono pochodną, \u200b\u200bwróć do pierwszych dwóch lekcji z tego tematu. Jeśli masz trudności (niezrozumienie) z arcus tangensem i jego znaczeniami, koniecznie badanie materiał metodologiczny Grafy i własności funkcji elementarnych - najnowszy akapit. Ponieważ jest jeszcze wystarczająco dużo arcus tangents dla wieku studenckiego.

Przykład 4

Oblicz pochodną funkcji w punkcie.

Równanie stycznej do wykresu funkcji

Aby skonsolidować poprzednią sekcję, rozważ problem znalezienia stycznej do grafika funkcyjna w tym momencie. Zadanie to spełniliśmy w szkole i spotykamy się z nim również w toku matematyki wyższej.

Rozważmy najprostszy przykład „demo”.

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie z odciętą. Od razu podam gotowe graficzne rozwiązanie problemu (w praktyce w większości przypadków nie jest to konieczne):

Ścisłą definicję stycznej podaje definicja pochodnej funkcji, ale na razie opanujemy techniczną część pytania. Z pewnością prawie każdy intuicyjnie rozumie, czym jest styczna. Jeśli wyjaśnić „na palcach”, to funkcja styczna do wykresu to prostoktóry dotyczy wykresu funkcji w jedynypunkt. Co więcej, wszystkie pobliskie punkty prostej znajdują się jak najbliżej wykresu funkcji.

W naszym przypadku: w, styczna (notacja standardowa) dotyka wykresu funkcji w jednym punkcie.

Naszym zadaniem jest znaleźć równanie tej prostej.

Pochodna funkcji w punkcie

Jak znaleźć pochodną funkcji w punkcie? Dwa oczywiste punkty tego przypisania wynikają ze sformułowania:

1) Konieczne jest znalezienie pochodnej.

2) Konieczne jest wyliczenie wartości pochodnej w danym punkcie.

Przykład 1

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

Pomoc: Następujące sposoby oznaczania funkcji są równoważne:


W niektórych zadaniach wygodnie jest oznaczyć funkcję jako „gra”, aw niektórych jako „ff from x”.

Najpierw znajdujemy pochodną:

Mam nadzieję, że wielu już przyzwyczaiło się do ustnego znajdowania takich pochodnych.

W drugim kroku obliczamy wartość pochodnej w punkcie:

Mały przykład rozgrzewki dla niezależnego rozwiązania:

Przykład 2

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka.

Konieczność znalezienia pochodnej w punkcie wynika z następujących problemów: konstrukcja stycznej do wykresu funkcji (następny akapit), badanie funkcji ekstremum , test przegięcia , pełne badanie funkcji itd.

Ale zadanie, o którym mowa, występuje w prace kontrolne i samodzielnie. Z reguły w takich przypadkach funkcja jest dość złożona. Rozważ jeszcze dwa przykłady w tym względzie.

Przykład 3

Oblicz pochodną funkcji w punkcie.
Najpierw znajdźmy pochodną:

W zasadzie pochodna została znaleziona i żądaną wartość można zastąpić. Ale ja naprawdę nie chcę tego robić. Wyrażenie jest bardzo długie, a wartość „x” jest ułamkowa. Dlatego staramy się maksymalnie uprościć naszą pochodną. W takim przypadku spróbujmy sprowadzić ostatnie trzy terminy do wspólnego mianownika: w punkcie.

To jest przykład rozwiązania zrób to sam.

Jak znaleźć wartość pochodnej funkcji F (x) w punkcie Xo? Jak ogólnie rozwiązać ten problem?

Jeśli podano wzór, znajdź pochodną i zamień X na X-zero. Liczyć
Jeśli mówimy o b-8 USE, wykres, to należy znaleźć styczną kąta (ostrą lub rozwartą), która tworzy styczną z osią X (wykorzystując mentalną konstrukcję trójkąta prostokątnego i wyznaczając styczną kąta)

Timur adilkhodzhaev

Najpierw musisz zdecydować o znaku. Jeśli punkt x0 znajduje się w dolnej części płaszczyzny współrzędnych, znak w odpowiedzi będzie wynosił minus, a jeśli jest wyższy, to +.
Po drugie, musisz wiedzieć, jakie barwy są w prostokątnym prostokącie. I to jest stosunek przeciwnej strony (nogi) do sąsiedniej strony (również nogi). Na obrazie są zwykle czarne ślady. Z tych znaków, które robisz trójkąt prostokątny i znajdziesz nuty.

Jak znaleźć wartość pochodnej funkcji f x w punkcie x0?

bez konkretnego pytania - 3 lata temu

Ogólnie rzecz biorąc, aby znaleźć wartość pochodnej funkcji w odniesieniu do jakiejś zmiennej w dowolnym momencie, musisz zróżnicować daną funkcję w odniesieniu do tej zmiennej. W twoim przypadku przez zmienną X. W wynikowym wyrażeniu zamiast X umieść wartość x w punkcie, dla którego musisz znaleźć wartość pochodnej, tj. w twoim przypadku podstaw zero X i oblicz wynikowe wyrażenie.

Cóż, a Twoja chęć zrozumienia tej kwestii niewątpliwie moim zdaniem zasługuje +, co stawiam z czystym sumieniem.

Takie sformułowanie problemu znalezienia pochodnej ma często na celu ustalenie geometrycznego znaczenia pochodnej w materiale. Oferowany jest wykres pewnej funkcji, całkowicie arbitralny i nie dany równaniem, i wymagane jest znalezienie wartości pochodnej (a nie samej pochodnej, uwaga!) W określonym punkcie X0. W tym celu konstruuje się styczną do danej funkcji i wyznacza punkt jej przecięcia z osiami współrzędnych. Następnie równanie tej stycznej jest sporządzane w postaci y \u003d kx + b.

W tym równaniu współczynnik k i będzie wartością pochodnej. pozostaje tylko znaleźć wartość współczynnika b. Aby to zrobić, znajdujemy wartość y przy x \u003d o, niech będzie równa 3 - to jest wartość współczynnika b. Podstawiamy wartości X0 i Y0 do pierwotnego równania i znajdujemy k - naszą wartość pochodnej w tym miejscu.

Problem B9 daje wykres funkcji lub pochodnej, z którego chcesz wyznaczyć jedną z następujących wielkości:

1. Wartość pochodnej w pewnym momencie x 0,
2. Wysokie lub niskie punkty (skrajne punkty),
3. Przedziały narastania i opadania funkcji (przedziały monotoniczności).

Funkcje i pochodne przedstawione w tym zadaniu są zawsze ciągłe, co znacznie upraszcza rozwiązanie. Pomimo tego, że zadanie należy do działu analizy matematycznej, jest ono w zasięgu możliwości nawet najsłabszych uczniów, ponieważ nie jest wymagana głęboka wiedza teoretyczna.

Istnieją proste i uniwersalne algorytmy wyznaczania wartości pochodnej, punktów ekstremalnych i przedziałów monotoniczności - wszystkie zostaną omówione poniżej.

Przeczytaj uważnie warunek problemu B9, aby uniknąć głupich błędów: czasami natrafisz na dość obszerne teksty, ale jest kilka ważnych warunków, które wpływają na przebieg rozwiązania.

Obliczanie wartości pochodnej. Metoda dwupunktowa

Jeśli problem ma wykres funkcji f (x), styczny do tego wykresu w pewnym punkcie x 0, a chcesz znaleźć wartość pochodnej w tym miejscu, stosuje się następujący algorytm:

1. Znajdź dwa „odpowiednie” punkty na wykresie stycznym: ich współrzędne muszą być liczbami całkowitymi. Oznaczmy te punkty przez A (x 1; y 1) i B (x 2; y 2). Zapisz współrzędne poprawnie - to jest klucz do rozwiązania, a każdy błąd tutaj prowadzi do złej odpowiedzi.
2. Znając współrzędne, łatwo jest obliczyć przyrost argumentu Δx \u003d x 2 - x 1 oraz przyrost funkcji Δy \u003d y 2 - y 1.
3. Wreszcie znajdujemy wartość pochodnej D \u003d Δy / Δx. Innymi słowy, musisz podzielić przyrost funkcji przez przyrost argumentu - i to będzie odpowiedź.

Zauważ jeszcze raz: punkty A i B należy szukać dokładnie na stycznej, a nie na wykresie funkcji f (x), jak to często bywa. Styczna musi koniecznie zawierać co najmniej dwa takie punkty - w przeciwnym razie problem nie zostanie poprawnie napisany.

Rozważ punkty A (−3; 2) i B (−1; 6) i znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d −1 - (−3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Znajdź wartość pochodnej: D \u003d Δy / Δx \u003d 4/2 \u003d 2.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i stycznej do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f (x) w punkcie x 0.

Rozważ punkty A (0; 3) i B (3; 0), znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d −3.

Teraz znajdujemy wartość pochodnej: D \u003d Δy / Δx \u003d −3/3 \u003d −1.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i stycznej do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f (x) w punkcie x 0.

Rozważ punkty A (0; 2) i B (5; 2) i znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 2 - 2 \u003d 0.

Pozostaje znaleźć wartość pochodnej: D \u003d Δy / Δx \u003d 0/5 \u003d 0.

Z ostatniego przykładu możemy sformułować regułę: jeśli styczna jest równoległa do osi OX, to pochodna funkcji w punkcie styczności wynosi zero. W takim przypadku nie musisz nawet niczego liczyć - wystarczy spojrzeć na wykres.

Obliczanie maksymalnej i minimalnej liczby punktów

Czasami zamiast wykresu funkcji problem B9 otrzymuje wykres pochodnej i wymagane jest znalezienie punktu maksimum lub minimum funkcji. W tej sytuacji metoda dwupunktowa jest bezużyteczna, ale istnieje inny, jeszcze prostszy algorytm. Najpierw zdefiniujmy terminologię:

1. Punkt x 0 nazywamy punktem maksymalnym funkcji f (x), jeśli w jakimś sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f (x 0) ≥ f (x).
2. Punkt x 0 nazywamy punktem minimalnym funkcji f (x), jeśli w jakimś sąsiedztwie tego punktu zachodzi następująca nierówność: f (x 0) ≤ f (x).

Aby znaleźć punkty maksymalne i minimalne na wykresie pochodnej, wystarczy wykonać następujące kroki:

1. Przerysuj wykres pochodnej, usuwając wszystkie niepotrzebne informacje. Praktyka pokazuje, że niepotrzebne dane tylko utrudniają rozwiązanie. Dlatego zaznaczamy zera pochodnej na osi współrzędnych - to wszystko.
2. Znajdź znaki pochodnej w odstępach między zerami. Jeśli dla jakiegoś punktu x 0 wiadomo, że f '(x 0) ≠ 0, to możliwe są tylko dwie opcje: f' (x 0) ≥ 0 lub f '(x 0) ≤ 0. Znak pochodnej można łatwo wyznaczyć z rysunku początkowego: jeśli wykres pochodnej leży powyżej osi OX, to f '(x) ≥ 0. I odwrotnie, jeśli wykres pochodnej leży poniżej osi OX, to f' (x) ≤ 0.
3. Sprawdź ponownie zera i znaki pochodnej. Tam, gdzie znak zmienia się z minus na plus, jest punkt minimalny. I odwrotnie, jeśli znak pochodnej zmienia się z plusa na minus, jest to punkt maksymalny. Liczenie odbywa się zawsze od lewej do prawej.

Ten schemat działa tylko dla funkcji ciągłych - innych nie ma w problemie B9.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f (x) zdefiniowanej na odcinku [−5; 5]. Znajdź minimalny punkt funkcji f (x) w tym segmencie.

Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji - zostawimy tylko granice [−5; 5] i zera pochodnej x \u003d −3 i x \u003d 2,5. Zwróć także uwagę na znaki:

Oczywiście w punkcie x \u003d −3 znak pochodnej zmienia się z minus na plus. To jest punkt minimalny.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f (x), zdefiniowanej na odcinku [−3; 7]. Znajdź maksymalny punkt funkcji f (x) w tym segmencie.

Przerysujmy wykres, pozostawiając tylko granice [−3; 7] i zera pochodnej x \u003d −1,7 i x \u003d 5. Zwróć uwagę na znaki pochodnej na otrzymanym wykresie. Mamy:

Oczywiście w punkcie x \u003d 5 znak pochodnej zmienia się z plusa na minus - to jest punkt maksymalny.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f (x), zdefiniowanej na odcinku [−6; 4]. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f (x), należące do segmentu [−4; 3].

Ze sformułowania problemu wynika, że \u200b\u200bwystarczy wziąć pod uwagę tylko część wykresu ograniczoną segmentem [−4; 3]. Dlatego tworzymy nowy wykres, na którym zaznaczamy tylko granice [−4; 3] i zera pochodnej w środku. Mianowicie punkty x \u003d −3,5 i x \u003d 2. Otrzymujemy:

Ten wykres ma tylko jeden punkt maksymalny x \u003d 2. To tam znak pochodnej zmienia się z plusa na minus.

Krótka uwaga na temat punktów o współrzędnych innych niż całkowite. Na przykład w ostatnim zadaniu punkt był rozważany jako x \u003d −3,5, ale równie dobrze można przyjąć x \u003d −3,4. Jeśli problem jest sformułowany poprawnie, takie zmiany nie powinny wpływać na odpowiedź, ponieważ punkty „bez stałego miejsca zamieszkania” nie są bezpośrednio zaangażowane w rozwiązanie problemu. Oczywiście ta sztuczka nie zadziała z punktami całkowitymi.

Znajdowanie przedziałów funkcji rosnących i malejących

W takim problemie, jak punkty maksymalne i minimalne, proponuje się znalezienie obszarów, w których sama funkcja rośnie lub maleje na podstawie wykresu pochodnego. Najpierw zdefiniujmy, co rośnie, a co maleje:

1. Funkcja f (x) nazywana jest rosnącą na segmencie, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego segmentu prawdziwe jest następujące stwierdzenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Innymi słowy, im większa wartość argumentu, tym większa wartość funkcji.
2. Funkcja f (x) nazywana jest malejącą na segmencie, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego segmentu prawdziwe jest następujące stwierdzenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Te. im większa wartość argumentu, tym mniejsza wartość funkcji.

Sformułujmy warunki wystarczające do zwiększania i zmniejszania:

1. Aby funkcja ciągła f (x) rosła na segmencie, wystarczy, że jej pochodna wewnątrz segmentu jest dodatnia, tj. f '(x) ≥ 0.
2. Aby funkcja ciągła f (x) zmniejszyła się na odcinku, wystarczy, że jej pochodna wewnątrz segmentu jest ujemna, tj. f '(x) ≤ 0.

Przyjmijmy te stwierdzenia bez dowodu. W ten sposób otrzymujemy schemat znajdowania przedziałów wzrostu i spadku, który jest pod wieloma względami podobny do algorytmu obliczania punktów ekstremalnych:

1. Usuń wszystkie niepotrzebne informacje. Na pierwotnym wykresie pochodnej interesują nas przede wszystkim zera funkcji, więc zostawimy tylko je.
2. Zwróć uwagę na znaki pochodnej w odstępach między zerami. Gdzie f ’(x) ≥ 0, funkcja rośnie, a gdzie f’ (x) ≤ 0, maleje. Jeśli problem ma ograniczenia dotyczące zmiennej x, dodatkowo zaznaczamy je na nowym wykresie.
3. Teraz, gdy znamy zachowanie funkcji i ograniczenia, pozostaje obliczyć wartość wymaganą w zadaniu.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f (x), zdefiniowanej na odcinku [−3; 7.5]. Znajdź przedziały malejącej funkcji f (x). W swojej odpowiedzi podaj sumę liczb całkowitych zawartych w tych przedziałach.

Jak zwykle przerysuj wykres i zaznacz granice [−3; 7,5], a także zera pochodnej x \u003d −1,5 ix \u003d 5,3. Następnie zaznaczamy znaki pochodnej. Mamy:

Ponieważ pochodna jest ujemna na przedziale (- 1,5), jest to przedział funkcji malejącej. Pozostaje zsumować wszystkie liczby całkowite, które znajdują się w tym przedziale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f (x) zdefiniowanej na odcinku [−10; 4]. Znajdź przedziały funkcji rosnącej f (x). W odpowiedzi podaj długość najdłuższego z nich.

Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji. Pozostaw tylko granice [−10; 4] i zera pochodnej, która tym razem okazała się być czterema: x \u003d −8, x \u003d −6, x \u003d −3 i x \u003d 2. Zwróć uwagę na znaki pochodnej i otrzymaj następujący obraz:

Interesują nas przedziały zwiększania funkcji, tj. takie, gdzie f ’(x) ≥ 0. Na wykresie są dwa takie przedziały: (−8; −6) i (−3; 2). Obliczmy ich długości:
l 1 \u003d - 6 - (−8) \u003d 2;
l 2 \u003d 2 - (−3) \u003d 5.

Ponieważ wymagane jest znalezienie długości największego z przedziałów, w odpowiedzi piszemy wartość l 2 \u003d 5.