Pozwól jej cieszyć się lekcjami. Egzamin z informatyki i technologii informacyjno-komunikacyjnych „Elementy algebry logiki”. Zadania do pracy indywidualnej

Cele Lekcji:

Edukacyjny

Zapoznaj się z algebrą zdań.
Wprowadzenie pojęcia złożonego stwierdzenia.
Zapoznaj uczniów z podstawowymi operacjami logicznymi.
Budowa tablic prawdy dla złożonych stwierdzeń.

Rozwijam się

Rozwój aktywności poznawczej.
Rozwój umiejętności analizowania, wyciągania ogólnych wniosków.

Edukacyjny

Zrozumienie powiązań między innymi uczniami, kultura zachowań.

CRC: Prezentacje „Historia logiki” [załącznik 1], „Formy myślenia” [załącznik 2].

Plan lekcji:

Czas organizacyjny.
Co studiuje logika? Jakie są podstawowe pojęcia logiki?
Skąd się wzięła algebra zdań? Wiadomość ucznia.
Jak powstają złożone oświadczenia? Operacje logiczne.
Przygotowanie do egzaminu. Konsolidacja wiedzy.

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Moment organizacyjny.

Sformułowanie problemu:

Co wspólnego ma algebra z algebrą logiki?
Jakie operacje występują w algebrze logiki i jak są wyznaczane?
Jaki będzie wynik operacji?
Jakich operacji logicznych używamy przy formułowaniu twierdzeń?

II. Aktualizacja.

Ankieta frontalna „Co to jest logika? Podstawowe pojęcia logiki ”.

Pytania kontrolne:

Co studiuje logika? Jakie są podstawowe pojęcia logiki?

Co to jest „koncepcja” z punktu widzenia logiki? Daj przykłady.

Jakie są dwie strony tej koncepcji?

Co to jest oświadczenie? Jakie znasz rodzaje stwierdzeń (podaj przykłady oświadczeń ogólnych, prywatnych i indywidualnych)

Z tych zdań wybierz te, które są stwierdzeniami, i uzasadnij swój wybór.

Napoleon był cesarzem francuskim.
Jaka jest odległość od Ziemi do Marsa?
Uwaga! Spójrz w prawo.
Elektron jest cząstką elementarną.
Nie naruszaj przepisów ruchu drogowego!
Polaris znajduje się w gwiazdozbiorze Ursa Minor.
Nie wszystko złoto, co się świeci.

Wyjaśnij, dlaczego stwierdzenie dowolnego twierdzenia jest stwierdzeniem.

Które z powyższych przykładów są wypowiedziami prywatnymi, a które są ogólne?

Nie wszystkie książki zawierają przydatne informacje.
Kot jest zwierzakiem.
Niektórzy uczniowie są biednymi studentami.
Wszystkie ananasy dobrze smakują.
Wiele roślin ma właściwości lecznicze.
Każda nierozsądna osoba chodzi na rękach.
A to pierwsza litera alfabetu.

W jaki sposób uzyskuje się nową wiedzę o obiektach?

Jakie znasz rozumowanie?

Podaj przykłady rozumowania dedukcyjnego, indukcyjnego i analogicznego.

III. Tworzenie nowej wiedzy.

Mała wiadomość dla uczniów o tym, jak i kiedy powstała algebra zdań.

Możesz skorzystać z prezentacji „Historia logiki” [Załącznik 1].

Nauczyciel. Badania algebry logiki są ściśle związane z badaniem zdań. Za pomocą wypowiedzi ustalamy właściwości, relacje z obiektami. Stwierdzenie jest prawdziwe, jeśli odpowiednio odzwierciedla ten związek, w przeciwnym razie jest fałszywe..

Definicja. Oświadczenie nazywa się prostym, jeśli żadna z jego części nie jest instrukcją.

Używane w mowie zwykłej więzadła „i”, „lub”, „nie”, „jeśli…, to…”, „jeśli i tylko wtedy…” itd. pozwalają na budowanie nowych złożonych instrukcji z już podanych instrukcji. Są to operacje logiczne, takie jak dodawanie, mnożenie w zwykłej algebrze.

Prawdę lub fałsz otrzymałem tzw. zdania zależą od prawdziwości lub fałszywości oryginalnych stwierdzeń i odpowiedniej interpretacji łączników jako operacji logicznych na twierdzeniach.

Na oznaczenie prawdy z reguły używa się znaków „I” i „1”, a dla oznaczenia fałszu - symboli „Л” i „0”.

Operację logiczną można opisać za pomocą tabeli prawdy wskazującej, jakie wartości przyjmuje złożona instrukcja dla wszystkich możliwych znaczeń prostych instrukcji.

Rozważmy operacje logiczne.

1. Koniunkcja.

Definicja. Instrukcja składająca się z dwóch lub więcej instrukcji poprzez połączenie ich z pakietem „I” jest nazywana koniunkcją lub mnożeniem logicznym.

Tutaj możesz argumentować z chłopakami, biorąc za proste stwierdzenia oczywiste A \u003d (2 * 2 \u003d 4) i B \u003d (2 * 2 \u003d 5) itd. Wnioskujemy:

Wyrażając koniunkcję, stwierdzamy, że oba te zdarzenia są spełnione.

Na przykład, raportując (Petrowowie poszli do daczy i zabrali ze sobą psa), wyrażamy w jednym stwierdzeniu nasze przekonanie, że oba te wydarzenia miały miejsce.

Sformułujmy regułę.

Reguła. Instrukcja złożona utworzona przez koniunkcję jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zawarte w niej proste instrukcje są prawdziwe.

Przeznaczenie. AB, A i B, A * B, A i B.

Tabela prawdy.

Zadanie. Podaj przykłady koniunkcji.

Przykład. Rozważ dwa stwierdzenia A \u003d (jutro będzie mroźno) i B \u003d (jutro będzie padał śnieg). Nowe stwierdzenie A i B jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba te stwierdzenia są prawdziwe.

W języku rosyjskim spójniki, oprócz zrostu „i”, odpowiadają również więzadłom „a” i „ale”.

2. Dysjunkcja.

Definicja. Oświadczenie składające się z dwóch lub więcej instrukcji przez połączenie ich linkiem „LUB” nazywane jest rozłączeniem lub dodaniem logicznym.

Podobnie, spieramy się o prawdziwość złożonego stwierdzenia zbudowanego za pomocą „lub” na przykładach, które są oczywiste dla facetów.

Sformułujmy wniosek:

W instrukcjach zawierających link „LUB” wskazuje się na istnienie dwóch lub więcej możliwych zdarzeń, z których przynajmniej jedno musi zostać zrealizowane.

Na przykład, raportując (Tolya pije herbatę lub czyta książkę), wyrażamy w jednym stwierdzeniu nasze przekonanie, że przynajmniej jedno z tych wydarzeń miało miejsce.

Sformułujmy regułę.

Reguła. Instrukcja złożona utworzona przez rozłączenie jest prawdziwa, jeśli przynajmniej jedno z zawartych w niej prostych zdań jest prawdziwe.

Przeznaczenie. AB, A + B, A lub B.

Tabela prawdy.

Zadanie. Daj przykłady.

Przykład. Niech A \u003d (Kolumb był w Indiach) i B \u003d (Kolumb był w Egipcie).

Oświadczenie AB będzie prawdziwe zarówno wtedy, gdy Kolumb był w Indiach, ale nie był w Egipcie, jak i jeśli był w Egipcie, ale nie był w Indiach. Ale to stwierdzenie będzie fałszywe, ponieważ nie był ani w Indiach, ani w Egipcie.

3. Wyłączne „LUB”.

Spójnik „lub” może być używany w mowie oraz w innym, wyłącznym znaczeniu. Następnie odpowiada innemu stwierdzeniu - dzieleniu lub ścisłemu rozłączeniu.

Definicja. Oświadczenie składające się z dwóch lub więcej instrukcji przez połączenie ich linkiem „LUB” nazywa się dysjunkcją rozdzielającą (ścisłą), z wyłączeniem „lub”, dodawania modulo 2.

W przeciwieństwie do zwykłego rozłączenia zapewniamy, że wydarzy się jedna z dwóch rzeczy.

Na przykład (Tolya pije herbatę lub mleko), (Kolya siedzi na podium A lub na podium B).

Sformułujmy regułę.

Reguła. Rozłączenie ścisłe lub dzielące to operacja logiczna, która umieszcza w zgodności między dwoma stwierdzeniami nowe stwierdzenie, które jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdań jest prawdziwe .

Przeznaczenie. AB.

Tabela prawdy.

Zadanie. Daj przykłady.

Przykład. Niech A \u003d (kot poluje na myszy), B \u003d (kot śpi na kanapie). Nowe stwierdzenie AB sprawdzi się w dwóch przypadkach, gdy kot poluje na myszy lub gdy śpi spokojnie. To stwierdzenie będzie fałszywe, jeśli kot nie zrobi ani jednego, ani drugiego, tak jak w przypadku, gdy oba zdarzenia mają zachodzić jednocześnie.

4. Odwrócenie.

Definicja. Negacja (inwersja) jest operacją logiczną, która przypisuje każdej instrukcji elementarnej nową instrukcję, której znaczenie jest przeciwne do pierwotnego.

W języku rosyjskim, aby skonstruować negację, zastosowano łącze „nie jest prawdą, co”.

Pytanie: Kiedy nowe stwierdzenie skonstruowane w ten sposób będzie prawdziwe?

Inwersja zamienia prawdziwe stwierdzenie na fałszywe, a fałszywe na prawdziwe.

Zadanie. Daj przykłady.

Przykład. Odmowa oświadczenia (mam komputer w domu) będzie stwierdzeniem (nieprawda, że \u200b\u200bmam komputer w domu) lub równoważnie (nie mam komputera w domu).

Przeznaczenie. ¬A

Tabela prawdy.

1. Odmowa stwierdzenia (nie znam języka tatarskiego) będzie stwierdzeniem (nie jest prawdą, że nie znam języka tatarskiego) lub (znam język tatarski).

2. Odmowa stwierdzenia (wszyscy chłopcy z 11 klas są doskonałymi uczniami) jest stwierdzeniem (Nie jest prawdą, że wszyscy chłopcy z klasy 11 są doskonałymi uczniami) lub (Nie wszyscy chłopcy z klasy 11 są doskonałymi uczniami) lub innymi słowy (Niektórzy chłopcy z klasy 11 są x oceny nie są doskonałymi uczniami).

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że skonstruowanie negacji dla danego stwierdzenia jest dość proste. Tak jednak nie jest.

Przykład 1. Stwierdzenie (wszyscy chłopcy z 11. klasy nie są doskonałymi uczniami) nie jest zaprzeczeniem stwierdzenia (wszyscy chłopcy z 11. klasy są doskonałymi uczniami). Jest to wyjaśnione w następujący sposób. Stwierdzenie (wszyscy chłopcy z 11 klas są doskonałymi uczniami) jest fałszywe. Zaprzeczenie fałszywemu oświadczeniu musi być stwierdzeniem, które jest prawdziwe. Ale stwierdzenie (wszyscy młodzi mężczyźni w 11. klasie nie są doskonałymi uczniami) nie jest prawdziwe, ponieważ wśród jedenastoklasistów są zarówno znakomici, jak i niezbyt dobrzy uczniowie.

Przykład 2. W przypadku oświadczenia (na parkingu są czerwone Zhiguli) następujące zdania nie zostaną zanegowane:

1) (Na parkingu nie ma czerwonych Zhigulisów);

2) (Na parkingu jest biały mercedes);

H) (Red Zhiguli nie są zaparkowani).

Proponuje się zrozumienie tego przykładu niezależnie. Klasa jest podzielona na grupy, ten przykład jest omawiany w grupie, a następnie prowadzący wyrażają swoje opinie w imieniu grupy.

Analizując te przykłady, można wyprowadzić użyteczną regułę.

Reguła konstruowania negacji prostego stwierdzenia:

Konstruując negację, w prostym zdaniu stosuje się obrót werbalny „to nieprawda”, albo negację konstruuje się do orzeczenia, po czym do orzeczenia dodaje się cząstkę „nie”, a słowo „wszystko” zastępuje się słowem „niektóre” i odwrotnie.

Zadanie. Zbuduj negację dla instrukcji:

Wszyscy faceci potrafią pływać.
Niemożliwe jest stworzenie perpetuum mobile.
Każdy człowiek jest artystą.
Człowiek może zrobić wszystko.
Dziś w teatrze wystawiana jest opera „Eugeniusz Oniegin”.

5. Priorytet operacji.

Każda instrukcja złożona może być wyrażona w postaci wzoru (wyrażenia logicznego), który będzie zawierał symbole oznaczające wypowiedzi i ich negacje, połączone znakami operacji logicznych.

Starszeństwo operacji:

Odwrócenie
Spójnik
Dysjunkcja

Zadanie. Ułóż kolejność działań wyrażenia logicznego

IV. Konsolidacja wyuczonych.

Poniższe zadania są wykonywane niezależnie, a następnie omawiane jest rozwiązanie.

Zadania dla studentów:

1. W poniższych zdaniach zaznacz te proste, oznaczając każde z nich literą; zapisz każdą instrukcję złożoną, używając liter i znaków operacji logicznych.

a) Liczba 376 jest parzysta i trzycyfrowa.

b) Zimą dzieci jeżdżą na łyżwach lub nartach.

c) Nowy Rok będziemy świętować na daczy lub na Placu Czerwonym.

d) Nie jest prawdą, że Słońce krąży wokół Ziemi.

f) Ziemia ma kształt kuli, która z kosmosu wydaje się niebieska.

g) Na lekcji matematyki licealiści odpowiadali na pytania nauczyciela, a także pisali własne prace.

3. Czy poniższe pary zdań zaprzeczają sobie nawzajem? Dyskusja.

a) On jest moim przyjacielem. On jest moim wrogiem.

b) Duży dom. Mały dom.

c) Duży dom. Mały domek.

d) X\u003e 2.X< 2.

4. Niech p \u003d (Ana lubi lekcje matematyki) i q \u003d (Ana lubi lekcje chemii). Wyraź następujące formuły w języku naturalnym. Komentowanie.

Karty

a u (Mars - planeta) to prawdziwe stwierdzenie;
b i (Mars - planeta) to fałszywe stwierdzenie;
c lub (Słońce jest satelitą Ziemi) jest prawdziwym stwierdzeniem;
d lub (Słońce jest satelitą Ziemi) to fałszywe stwierdzenie.

Określ wartości zmiennych boolowskich a, b, c, d, jeśli:

a lub (1 litr mleka jest droższy niż 1 kg masła) - prawda;
b i (1 litr mleka jest droższy niż 1 kg masła) - fałsz;
c lub (masło jest droższe niż twarożek) - prawda;
d i (masło jest droższe niż twarożek) to fałszywe stwierdzenie.

Niech a \u003d „ta noc jest gwiaździsta” i b \u003d „ta noc jest zimna”. Wyraź następujące formuły prostym językiem:

a i b;
a i nie b;
nie a i nie b;

Zadanie dodatkowe - zadania z egzaminu.

Zadania z egzaminu

A10. Przy jakich wartościach zmiennych jest logiczne przypuszczenie. Ułóż kolejność działań wyrażenia logicznego. Wyrażenie esky), które będą zawierać symbole oznaczające wyrażenia

¬ (M \u003d N) v ¬ (M<Р) принимает значение “Ложь”?

M \u003d 1; N \u003d 1; P \u003d 0
M \u003d -1; N \u003d -1; P \u003d 0
M \u003d 1; N \u003d 1; P \u003d 0
M \u003d 0; N \u003d 0; P \u003d -1

A12. Z dwóch stwierdzeń „Wujek Fiodor i kot Matroskii nie lubią mleka” i „Kot Matroskin nie kocha mleka” jedno jest fałszywe, a drugie prawdziwe. Który z nich nie lubi mleka?

1) Oboje nie lubią mleka.

2) Oboje kochają mleko.

H) Kot Matroskin kocha mleko, ale wujek Fiodor nie.

4) Wujek Fedor kocha mleko, ale Kot Matroskin nie.

V. Praca domowa.

Podręcznik: Ugrinovich, klasa 10-11, s. 3.2 (s. 125-129), ćwicz. 3.1.

Podaj przykłady dla każdej operacji logicznej.

Vi. Podsumowanie lekcji.

Pytania podsumowujące lekcję:

Czego nowego nauczyłeś się podczas dzisiejszej lekcji?
Jak możemy uzyskać złożone instrukcje z kilku prostych?
Jakie operacje logiczne znasz teraz?
Co decyduje o prawdziwości złożonego stwierdzenia?

Literatura

Matematyczne podstawy informatyki. Kurs do wyboru: podręcznik / Andreeva E.V., Bosova L.L., Falina I.N. M.: BINOM. Laboratorium Wiedzy, 2005.
Informatyka. Książka problemowa-warsztat w 2 tomach / wyd. Semakina I.G., Henner E.K. M .: Laboratorium Wiedzy Podstawowej, 2001.
Przygotowanie do egzaminu z informatyki. Przedmiot do wyboru: podręcznik / N.N. Samylkina, S.V. Rusakow, A.P. Shestakov, S.V. Badanin. - M.: BINOM. Laboratorium wiedzy, 2008.

5.1. Określ, które z poniższych zdań są zdaniami logicznymi, a które nie (wyjaśnij dlaczego):

- i) "Słońce jest satelitą Ziemi";
- b) "2+3 =4 ";
- w) "wspaniała pogoda dzisiaj";
- re) "w powieści L.N. Tołstoj "Wojna i pokój" 3.432.536 słów";
- mi) "Sankt Petersburg znajduje się nad Newą";
- mi) "muzyka Bacha jest zbyt złożona";
- sol) "pierwsza prędkość kosmiczna wynosi 7,8 km / s";
- h) "żelazo - metal";
- i) "jeśli jeden róg w trójkącie jest prosty, trójkąt będzie rozwarty";
- do) "jeśli suma kwadratów dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi trzeciego, to jest prostokątna".

[ Odpowiedź ] 5.1. Są wypowiedziami: a), d), e), g), h), i), j);
nie są oświadczeniami: b); w); mi).

5.2. Wskaż, które ze stwierdzeń z poprzedniego ćwiczenia są prawdziwe, które są fałszywe, a które należą do trudnych lub niemożliwych do ustalenia.
[ Odpowiedź ] 5.2. Prawdziwe: e), h), j);
fałszywe: a), i);
trudne do ustalenia: d);
można uznać za prawdę i fałsz w zależności od wymaganej dokładności odwzorowania: g).

5.3. Podaj przykłady prawdziwych i fałszywych stwierdzeń:

- i) z arytmetyki; b) z fizyki;
- w) z biologii; re) z informatyki;
- mi) z geometrii; mi) z życia.

[ Odpowiedź ] 5.3. Próbki.
Prawdziwe stwierdzenia: a) "2+2=4 "; b) „siła przyciągania ciał jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi” w) „zające jedzą rośliny”; re) „trochę to podstawowa jednostka informacji wykorzystywana w teorii informacji”; mi) „dwa trójkąty są równe, jeśli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są równe dwóm bokom, a kąt między nimi drugiego trójkąta”; mi) „Poniedziałek to pierwszy dzień tygodnia”.
Fałszywe stwierdzenia: i) "4+3=5" ; b) „ciało spada na Ziemię z przyspieszeniem proporcjonalnym do jego masy”; w) „zwierzęta są z natury nieożywionej” re) „informatyka to nauka o obróbce cieplnej metali”; mi) „Kwadrat to figura o pięciu bokach”; mi) „lew to zwierzę domowe”

5.4. Sformułuj negatywy następujących stwierdzeń lub wyrażeń:

- i) "Elbrus - najwyższy szczyt w Europie";
- b) "2>=5 ";
- w) "10<7 ";
- re) "wszystkie liczby naturalne są liczbami całkowitymi";
- mi) "możesz narysować okrąg przez dowolne trzy punkty na płaszczyźnie";
- mi) "tenisista Kafelnikow nie przegrał ostatniego meczu";
- sol) "";
- h) "dzisiejszy poranek jest jasny i ciepły";
- i) "liczba n jest podzielna przez 2 lub 3";
- do) "";
- l) "na teście każdy uczeń pisał własnym długopisem".

[ Odpowiedź ] 5.4. i) „Elbrus nie jest najwyższym szczytem górskim w Europie”; b) "2<5" ; w) "10>=7" ; re) „nie wszystkie liczby naturalne są liczbami całkowitymi”; mi) „nie przez żadne trzy punkty na płaszczyźnie można narysować okrąg”; mi) „Tenisista Kafelnikow przegrał ostatni mecz”; sol) „cel nie trafiony pierwszym strzałem”; h) „dzisiejszy poranek nie jest jasny lub nie jest ciepły” (Wyjaśnienie. Niech I = „dzisiejszy poranek jest czysty”, i b = „ten poranek jest ciepły”... Następnie „dzisiejszy poranek jest jasny i ciepły” można zapisać jako I. W, którego negacją jest, co odpowiada formie wyrażenia „dzisiejszy poranek nie jest jasny lub nie jest ciepło"; i)„liczba n nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 3”; do) „Ten trójkąt nie jest równoramienny lub nie jest prostokątny”; l) „nie każdy uczeń napisał kontrolkę własnym piórem” (opcja: „ktoś nie napisał testu własnym długopisem”).

5.5. Określ, które ze zdań (form wyrażenia) w poniższych parach są wzajemnymi zaprzeczeniami, a które nie:

- i) "5<10 ", "5>10 ";
- b) "10>9 ", "10<=9 ";
- w) "cel trafiony pierwszym strzałem", "cel trafiony drugim strzałem";
- re) "samochód zatrzymał się na każdym z dwóch świateł", "samochód nie zatrzymywał się na każdym z dwóch świateł",
- mi) "ludzkość zna wszystkie planety Układu Słonecznego", "w Układzie Słonecznym są planety nieznane ludzkości";
- mi) "są białe słonie", "wszystkie słonie są szare";
- sol) "wieloryb - ssak", "wieloryb - ryba";
- h) "nie jest prawdą, że punkt A nie leży na linii a", "punkt A leży na linii a";
- i) "linia a jest równoległa do linii b", "linia a prostopadła do prostej b";
- do) "ten trójkąt jest równoramienny i prostokątny", "ten trójkąt nie jest równoramienny lub nie jest prostokątny".

[ Odpowiedź ] 5.5. Są wzajemnymi zaprzeczeniami: b), d), e), j);
nie są wzajemnymi zaprzeczeniami: a), c), f), g), h), i).

5.6. Określ prawdziwość stwierdzeń:

- i) "posiadanie świadectwa dojrzałości wystarczy, aby wejść do instytutu";
- b) "obecność świadectwa ukończenia szkoły średniej jest niezbędna do przyjęcia do instytutu";
- w) "jeśli liczba całkowita jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 3";
- re) "podobieństwo trójkątów jest warunkiem koniecznym ich równości";
- mi) "podobieństwo trójkątów jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla ich równości";
- mi) "trójkąty są podobne tylko wtedy, gdy są równe";
- sol) "trójkąty są równe tylko wtedy, gdy są podobne";
- h) "równość trójkątów jest warunkiem wystarczającym ich podobieństwa";
- i) "aby trójkąty były nierówne, wystarczy, że będą do siebie niepodobne";
- do) "aby czworokąt był kwadratem wystarczy, że jego przekątne są równe i prostopadłe".

[ Odpowiedź ] 5.6. Prawda: b), c), d), h), j), i);
fałsz: a), e), f), g).

5.7. Zastąp zdania w następujących formach zdań zamiast zmiennych logicznych a, b, c, d takie, aby otrzymane w ten sposób zdania złożone miały sens w życiu codziennym:

- i) jeśli (i lub (b i z)), następnie re;
- b) jeśli (nie i i nie b), następnie (z lub re);
- w) (i lub b) wtedy i tylko wtedy gdy (z i nie re).

5.8. Sformalizuj następujący wniosek: „Jeśli za i b są więc prawdziwe do - prawdziwe. Ale do - fałsz: oznacza, za lub b fałszywe. "
[ Odpowiedź ] 5.8. .

Liczba 376 jest parzysta i trzycyfrowa.

Liczba jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr liczby jest podzielna przez 3

Symbol fa x , y , z fa fa ? 1)

Niezależna praca

Opcja 2

Zostawiać P. Q

W poniższych stwierdzeniach podkreśl te proste, oznaczając każde z nich literą; zapisz każdą instrukcję złożoną, używając liter i znaków operacji logicznych.

Zimą dzieci jeżdżą na łyżwach lub nartach.
Jeśli suma cyfr liczby naturalnej jest podzielna przez 3, to liczba jest podzielna przez 3.

Symbol fa wskazane jest jedno z następujących wyrażeń logicznych z trzech argumentów:x , y , z ... Podano fragment tabeli prawdy wyrażeniafa ... Które wyrażenie pasujefa ? 1)

Niezależna praca

Opcja 3

Zostawiać P. \u003d (Ana lubi lekcje matematyki) iQ \u003d (Anya lubi lekcje chemii). Wyraź następujące formuły w języku naturalnym:

W poniższych stwierdzeniach podkreśl te proste, oznaczając każde z nich literą; zapisz każdą instrukcję złożoną, używając liter i znaków operacji logicznych.

Nie jest prawdą, że słońce krąży wokół Ziemi.
Jeśli wczoraj była niedziela, to Dimy nie było wczoraj w szkole i chodził cały dzień.

Symbol fa wskazane jest jedno z następujących wyrażeń logicznych z trzech argumentów:x , y , z ... Podano fragment tabeli prawdy wyrażeniafa . Które wyrażenie pasujefa ? 1)

Niezależna praca

Opcja 4

Zostawiać P. \u003d (Ana lubi lekcje matematyki) iQ \u003d (Anya lubi lekcje chemii). Wyraź następujące formuły w języku naturalnym:

W poniższych stwierdzeniach podkreśl te proste, oznaczając każde z nich literą; zapisz każdą instrukcję złożoną, używając liter i znaków operacji logicznych.

Na lekcji matematyki licealiści odpowiadali na pytania nauczyciela, a także pisali samodzielne prace.

Symbol fa wskazane jest jedno z następujących wyrażeń logicznych z trzech argumentów:x , y , z ... Podano fragment tabeli prawdy wyrażeniafa ... Które wyrażenie pasujefa ? 1)

Słowa kluczowe:

algebra logiki
wypowiedź
operacja logiczna
spójnik
dysjunkcja
negacja
wyrażenie logiczne
tabela prawdy
prawa logiki

1.3.1. Wypowiedź

Algebra w najszerszym znaczeniu tego słowa jest nauką o ogólnych działaniach, analogicznych do dodawania i mnożenia, które można wykonywać na różnych obiektach matematycznych. Na szkolnym kursie algebry poznasz takie gałęzie matematyki jak algebra liczb, algebra wielomianów, algebra zbiorów itp.

Dla informatyki ważna jest gałąź matematyki zwana algebrą logiki; obiektami algebry logiki są zdania.

Na przykład w odniesieniu do zdań „Wielki rosyjski naukowiec MV Łomonosow urodził się w 1711 r.” I „Dwa plus sześć równa się osiem” można z całą pewnością stwierdzić, że są one prawdziwe. Zdanie „Wróble hibernują zimą” jest fałszywe. Stąd zdania te są stwierdzeniami.

Na przykład zdanie „To zdanie jest fałszywe” nie jest stwierdzeniem, ponieważ nie można o nim powiedzieć, czy jest prawdziwe, czy fałszywe, nie otrzymując sprzeczności. Rzeczywiście, jeśli przyjmiemy, że zdanie jest prawdziwe, jest to sprzeczne z tym, co zostało powiedziane. Jeśli przyjmiemy, że propozycja jest fałszywa, oznacza to, że jest prawdziwa.

Co się tyczy zdania „Grafika komputerowa to najciekawszy temat na kursie informatyki w szkole”, nie sposób też jednoznacznie stwierdzić, czy jest to prawda, czy fałsz. Pomyśl, dlaczego.

Na przykład zdania typu: „Zapisz swoją pracę domową”, „Jak dojechać do biblioteki?”, „Kto do nas przyszedł? ”.

Przykłady stwierdzeń obejmują:

„Na to metal” (prawdziwe powiedzenie);
„Drugie prawo Newtona wyraża wzór F \u003d m a” (prawdziwe stwierdzenie);
„Obwód prostokąta o bokach a u b jest równy a b” (stwierdzenie fałszywe).

Wyrażenia numeryczne nie są instrukcjami, ale można utworzyć instrukcję z dwóch wyrażeń liczbowych, łącząc je znakami równości lub nierówności. Na przykład:

„34-5 \u003d 2 4” (prawdziwe stwierdzenie);
„II4-VI\u003e VIII” (fałszywe stwierdzenie).

Nie są stwierdzeniami i równościami lub nierównościami zawierającymi zmienne. Na przykład zdanie „X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

O uzasadnieniu prawdziwości lub fałszywości twierdzeń decydują te nauki, do których należą. Algebra logiki jest odwrócona od semantycznej treści zdań. Interesuje ją tylko to, czy dane stwierdzenie jest prawdziwe, czy fałszywe. W algebrze logiki instrukcje są oznaczane literami i nazywane zmiennymi logicznymi. Co więcej, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, to wartość odpowiadającej mu zmiennej logicznej jest oznaczana przez jeden (A \u003d 1), a jeśli fałsz - przez zero (B \u003d 0). 0 i 1s oznaczające wartości zmiennych boolowskich nazywane są wartościami logicznymi.

Działając ze zmiennymi logicznymi, które mogą być równe tylko 0 lub 1, algebra logiczna pozwala zredukować przetwarzanie informacji do operacji na danych binarnych. Jest to aparat algebry logiki, który stanowi podstawę komputerowych urządzeń do przechowywania i przetwarzania informacji. Spotkasz się z wykorzystaniem elementów algebry logiki w wielu innych dziedzinach informatyki.

1.3.2. Operacje logiczne

Oświadczenia są proste i złożone. Oświadczenie nazywa się prostym, jeśli żadna z jego części nie jest sama w sobie instrukcją. Złożone (złożone) instrukcje są zbudowane z prostych instrukcji za pomocą operacji logicznych.

Rozważmy podstawowe operacje logiczne zdefiniowane w instrukcjach. Wszystkie odpowiadają więzadłom używanym w języku naturalnym.

Spójnik

Rozważ dwa stwierdzenia: A \u003d „Założycielem algebry logiki jest George Boole”, B \u003d „Badania Claude'a Shannona umożliwiły zastosowanie algebry logiki w informatyce”. Oczywiście nowe stwierdzenie „Założycielem algebry logiki jest George Boole, a badania Claude'a Shannona umożliwiły zastosowanie algebry logiki w obliczeniach” jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba początkowe stwierdzenia są jednocześnie prawdziwe.

Do zapisania koniunkcji używane są następujące znaki: ,, And, &. Na przykład: A B, A B, A AND B, A & B.

Połączenie można opisać w formie tabeli, która nazywa się tabelą prawdy:

Tabela prawdy zawiera wszystkie możliwe wartości oryginalnych instrukcji (kolumny A i B), a odpowiadające im liczby binarne z reguły są ułożone w porządku rosnącym: 00, 01, 10, 11. Ostatnia kolumna zawiera wynik operacji logicznej dla odpowiednich operandów.

W przeciwnym razie koniunkcja nazywana jest mnożeniem logicznym. Pomyśl, dlaczego.

Dysjunkcja

Rozważ dwa stwierdzenia: A \u003d „Pomysł użycia symboli matematycznych w logice należy do Gottfrieda Wilhelma Leibniza”, B \u003d „Leibniz jest twórcą arytmetyki binarnej”. Oczywiście, nowe stwierdzenie „Pomysł użycia symboli matematycznych w logice należy do Gottfrieda Wilhelma Leibniza lub Leibniza jest twórcą arytmetyki binarnej” jest fałszywe tylko wtedy, gdy oba początkowe stwierdzenia są fałszywe w tym samym czasie.

Sam ustal prawdziwość lub fałsz trzech rozważanych stwierdzeń.

Następujące znaki są używane do zapisywania rozłączności: v, |, OR, +. Na przykład: AvB, A | B, A OR B, A + B.

Dysjunkcja jest zdefiniowana przez następującą tabelę prawdy:

W przeciwnym razie dysjunkcja nazywana jest dodawaniem logicznym. Pomyśl, dlaczego.

Odwrócenie

Do zapisu inwersji używane są następujące znaki: NOT, ¬, ‾. Na przykład: NOT, ¬, ‾.

Odwrócenie jest określone przez następującą tabelę prawdy:

Inwersja jest również nazywana negacją logiczną.

Zaprzeczeniem stwierdzenia „mam komputer w domu” będzie stwierdzenie „nie jest prawdą, że mam komputer w domu” lub, co oznacza to samo po rosyjsku, „nie mam komputera w domu”. Odmowa stwierdzenia „Nie znam chińskiego” będzie stwierdzeniem „Nie jest prawdą, że nie znam chińskiego” lub, co jest tym samym po rosyjsku, „Znam chiński”. Zaprzeczenie stwierdzenia „Wszyscy chłopcy z dziewiątej klasy są doskonałymi uczniami” to stwierdzenie „Nie jest prawdą, że wszyscy chłopcy z dziewiątej klasy są doskonałymi uczniami”, innymi słowy: „Nie wszyscy chłopcy z dziewiątej klasy są doskonałymi uczniami”.

Tak więc, konstruując negację, albo używa się prostego stwierdzenia, że \u200b\u200bobrót werbalny „nie jest prawdą, że ...”, albo negacja jest konstruowana do orzeczenia, a następnie do odpowiedniego czasownika dodaje się cząstkę „nie”.

Każde złożone zdanie można zapisać w postaci wyrażenia logicznego - wyrażenia zawierającego zmienne logiczne, znaki operacji logicznych i nawiasy. Operacje logiczne w wyrażeniu logicznym są wykonywane w następującej kolejności: inwersja, koniunkcja, dysjunkcja. Możesz zmienić kolejność operacji za pomocą nawiasów.

Przykład 1... Niech A \u003d "Słowo" krążownik "pojawia się na stronie internetowej, B \u003d" Słowo "okręt wojenny" pojawia się na stronie internetowej. " Pod uwagę brany jest pewien segment Internetu, zawierający 5 000 000 stron internetowych. W tym zdaniu A jest prawdziwe dla 4800 stron, B jest prawdziwe dla 4500 stron, a A v B jest prawdziwe dla 7000 stron. W tym przypadku dla ilu stron internetowych będą prawdziwe następujące wyrażenia i stwierdzenia?

a) NIE (A LUB B);

c) Strona internetowa zawiera słowo „krążownik” i nie zawiera słowa „okręt wojenny”.

Decyzja... Przedstawmy zbiór wszystkich stron WWW rozpatrywanego sektora Internetu w okręgu, wewnątrz którego umieścimy dwa kółka: jedno z nich odpowiada zestawowi stron WWW, na których stwierdzenie A jest prawdziwe, drugie - gdzie stwierdzenie B jest prawdziwe (ryc. 1.3).

Postać: 1.3.
Drukowanie wielu stron internetowych

Przedstawmy graficznie zbiór stron internetowych, dla których wyrażenia i stwierdzenie a) - b) są prawdziwe (rys. 1.4)

Postać: 1.4.
Graficzne przedstawienie zestawów stron internetowych, dla których wyrażenia i instrukcje a) - c) są prawdziwe

Skonstruowane schematy pomogą nam odpowiedzieć na pytania zawarte w zadaniu.

Wyrażenie A OR B jest prawdziwe dla 7000 stron WWW, a jest ich łącznie 5 000 000. Dlatego wyrażenie A OR B jest fałszywe dla 4 993 000 stron WWW. Innymi słowy, NOT (A OR B) jest prawdziwe dla 4 993 000 stron internetowych.

Wyrażenie A v B jest prawdziwe dla tych stron WWW, na których A (4800) jest prawdziwe, jak również dla tych stron WWW, gdzie B (4500) jest prawdziwe. Gdyby wszystkie strony WWW były różne, wówczas A v B byłoby prawdziwe dla 9300 (4800 + 4500) stron WWW. Jednak zgodnie z warunkiem istnieje tylko 7000 takich stron internetowych, co oznacza, że \u200b\u200bna 2300 (9300 - 7000) stronach oba słowa pojawiają się jednocześnie. Dlatego A i B jest prawdziwe dla 2300 stron internetowych.

Aby dowiedzieć się, dla ilu stron internetowych stwierdzenie A jest prawdziwe, a jednocześnie B jest fałszywe, odejmij 2300 od 4800. Zatem stwierdzenie „Słowo„ krążownik ”znajduje się na stronie internetowej ORAZ słowo„ okręt wojenny ”nie zostało znalezione” jest prawdziwe na 2500 witrynach internetowych. stron.

Sam zapisz wyrażenie logiczne odpowiadające rozważanemu stwierdzeniu.

Witryna Federalnego Centrum Informacji i Zasobów Edukacyjnych (http://fcoir.edu.ru/) zawiera moduł informacyjny „Wyrażenie. Proste i złożone stwierdzenia. Podstawowe operacje logiczne ”. Znajomość tego zasobu pozwoli ci poszerzyć wiedzę na temat badanego tematu.

1.3.3. Tworzenie tabel prawdy dla wyrażeń boolowskich

W przypadku wyrażenia logicznego można zbudować tabelę prawdy pokazującą, jakie wartości przyjmuje wyrażenie dla wszystkich zestawów wartości zmiennych w nim zawartych. Aby zbudować tabelę prawdy, powinieneś:

oblicz n - liczbę zmiennych w wyrażeniu;
obliczyć całkowitą liczbę operacji logicznych w wyrażeniu;
ustawić kolejność wykonywania operacji logicznych, biorąc pod uwagę nawiasy i priorytety;
określić liczbę kolumn w tabeli: liczba zmiennych + liczba operacji;
wypełnia nagłówek tabeli, w tym zmienne i operacje w niej zawarte, zgodnie z kolejnością określoną w ust. 3;
określić liczbę wierszy w tabeli (nie licząc nagłówka tabeli) m \u003d 2n;
napisz zestawy zmiennych wejściowych, biorąc pod uwagę, że reprezentują one cały szereg n-bitowych liczb binarnych od 0 do 2 n - 1;
wypełnić tabelę kolumnami, wykonując operacje logiczne zgodnie z ustaloną kolejnością.

Skonstruujmy tablicę prawdy dla wyrażenia logicznego A v A i B. Zawiera ona dwie zmienne, dwie operacje, a najpierw wykonywana jest koniunkcja, a następnie dysjunkcja. W tabeli będą cztery kolumny:

Zbiór zmiennych wejściowych to liczby całkowite od 0 do 3, reprezentowane w dwubitowym kodzie binarnym: 00, 01, 10, 11. Wypełniona tablica prawdy wygląda następująco:

Zauważ, że ostatnia kolumna (wynik) pasuje do kolumny A. W tym przypadku wyrażenie logiczne A v A i B jest równoważne wyrażeniu logicznemu A.

1.3.4. Właściwości operacji logicznych

Rozważ podstawowe własności (prawa) algebry logiki.

Prawa algebry logiki można udowodnić za pomocą tablic prawdy.

Udowodnijmy prawo dystrybucji dla logicznego dodawania:

A v (B i C) \u003d (A V B) i (A v C).

Zbieżność kolumn odpowiadających wyrażeniom logicznym po lewej i prawej stronie równości dowodzi ważności prawa rozdziału dla dodawania logicznego.

Przykład 2... Znajdź wartość wyrażenia logicznego dla liczby X \u003d 0.

Decyzja... Kiedy X \u003d 0 otrzymujemy następujące wyrażenie logiczne: Ponieważ wyrażenia logiczne mają wartość 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Rozwiązywanie problemów logicznych

Rozważmy kilka sposobów rozwiązania problemów logicznych.

Zadanie 1... Kolya, Vasya i Seryozha odwiedzili latem swoją babcię. Pewnego razu jeden z chłopców przypadkowo rozbił wazon ukochanej babci. Na pytanie, kto rozbił wazon, udzielili następujących odpowiedzi:

Seryozha: 1) Nie złamałem tego. 2) Vasya nie złamała się.

Vasya: 3) Seryozha tego nie złamał. 4) Kola rozbił wazon.

Kola: 5) Nie złamałem tego. 6) Seryozha rozbił wazon.

Babcia wiedziała, że \u200b\u200bjeden z jej wnuków, nazwijmy go prawdomównym, za każdym razem powiedział prawdę; drugi, nazwijmy go żartownisiem, dwukrotnie skłamał; trzeci, nazwijmy go przebiegłym, raz powiedział prawdę, a innym razem - kłamstwem. Jakie są imiona prawdomównych, żartownisiów i przebiegłych. Który z wnuków rozbił wazon?

Decyzja. Niech K \u003d „Kola rozbił wazę”, B \u003d „Wasja rozbił wazę”, C \u003d „Siergiej rozbił wazę”. Stwórzmy tabelę prawdy, za pomocą której przedstawimy wypowiedzi każdego chłopca 1.

1 Biorąc pod uwagę fakt, że wazon został rozbity przez jednego wnuka, można było skomponować nie całą tabelę, a jedynie jej fragment zawierający następujące zestawy zmiennych wejściowych: 001, 010, 100.

Na podstawie tego, co babcia wie o wnukach, powinieneś poszukać w tabeli wierszy zawierających trzy kombinacje wartości w jakiejś kolejności: 00, 11, 01 (lub 10). W tabeli były dwa takie wiersze (zaznaczone są haczykami). Według drugiego z nich Kola i Vasya rozbili wazę, co jest sprzeczne z tym stanem. Według pierwszej ze znalezionych linii Seryozha rozbił wazon, okazał się również przebiegły. Vasya okazał się żartownisiem. Imię prawdziwego wnuka to Kola.

Problem 2... Alla, Valya, Sima i Dasha biorą udział w zawodach gimnastycznych. Fani spekulowali na temat możliwych zwycięzców:

Sima będzie pierwszą, Valya - drugą;
Sima będzie druga, Dasha - trzecia;
Alla będzie druga, Dasha - czwarta.

Pod koniec konkursu okazało się, że w każdym z założeń tylko jedno ze stwierdzeń jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Jakie miejsce w konkursie zajęła każda z dziewcząt, skoro wszystkie były w różnych miejscach?

Decyzja... Rozważ proste stwierdzenia:

C 1 \u003d „Sima zajęła pierwsze miejsce”;

В 2 \u003d "Valya zajęła drugie miejsce";

C 2 \u003d „Sima zajęła drugie miejsce”;

D 3 \u003d „Dasha zajęła trzecie miejsce”;

A 2 \u003d „Alla zajęła drugie miejsce”;

D 4 \u003d „Dasha zajęła czwarte miejsce”.

Ponieważ w każdym z trzech założeń jedno ze stwierdzeń jest prawdziwe, a drugie fałszywe, możemy stwierdzić, co następuje:

C 1 + B 2 \u003d 1, C 1 B 2 \u003d 0;
C 2 + D 3 \u003d 1, C 2 D 3 \u003d 0;
A 2 + D 4 \u003d 1, A 2 D 4 \u003d 0.

Logiczny iloczyn prawdziwych stwierdzeń będzie prawdziwy:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

W oparciu o prawo dystrybucji przekształcamy lewą stronę tego wyrażenia:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

Powiedzenie С 1 С 2 oznacza, że \u200b\u200bShema zajęła zarówno pierwsze, jak i drugie miejsce. Zgodnie ze stanem problemu to stwierdzenie jest fałszywe. Stwierdzenie В 2 С 2 również jest fałszywe. Biorąc pod uwagę prawo operacji ze stałą 0, piszemy:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

Dalsza transformacja lewej strony tej równości i eliminacja świadomie fałszywych stwierdzeń dają:

S 1 D 3 A 2 + S 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 \u003d 1.

C 1 D 3 A 2 \u003d 1.

Z ostatniej równości wynika, że \u200b\u200bC 1 \u003d 1, A 3 \u003d 1, A 2 \u003d 1. Oznacza to, że Sima zajął pierwsze miejsce, Alla - drugie, Dasha - trzecie. Dlatego Valya zajęła czwarte miejsce.

Na stronie „Matematyka dla dzieci w wieku szkolnym” (http://www.kenqyry.com/) można zapoznać się z innymi metodami rozwiązywania problemów logicznych, a także wziąć udział w olimpiadach internetowych i konkursach na ich rozwiązanie.

Ze strony http://www.kaser.com/ można pobrać wersję demonstracyjną bardzo przydatnej, rozwijającej logikę i umiejętności rozumowania układanki logicznej Sherlocka.

1.3.6. Bramki logiczne

Algebra logiki to dziedzina matematyki, która odgrywa ważną rolę w projektowaniu urządzeń automatycznych, rozwoju sprzętu i oprogramowania dla technologii informacyjno-komunikacyjnych.

Wiesz już, że każdą informację można przedstawić w formie dyskretnej - jako ustalony zbiór pojedynczych wartości. Urządzenia przetwarzające takie wartości (sygnały) nazywane są dyskretnymi. Konwerter dyskretny, który po przetworzeniu sygnałów binarnych wyprowadza wartość jednej z operacji logicznych, nazywany jest elementem logicznym.

Na rys. 1.5 przedstawia symbole (diagramy) elementów logicznych, które implementują mnożenie logiczne, dodawanie logiczne i inwersję.

Ryc. 1.5.
Bramki logiczne

Element logiczny AND (spójnik) realizuje operację mnożenia logicznego (ryc. 1.5, a). Jednostka na wyjściu tego elementu pojawi się tylko wtedy, gdy na wszystkich wejściach są jednostki.

Element logiczny OR (disjunctor) realizuje operację dodawania logicznego (rys. 1.5, b). Jeśli co najmniej jedno wejście to jeden, to wyjście elementu również będzie równe jeden.

Element logiczny NOT (inwerter) realizuje operację negacji (rys. 1.5, c). Jeśli wejście elementu ma wartość O, to wyjście wynosi 1 i odwrotnie.

Urządzenia komputerowe wykonujące operacje na liczbach binarnych i komórkach przechowujących dane to układy elektroniczne składające się z oddzielnych elementów logicznych. Bardziej szczegółowo te pytania zostaną ujawnione na kursie informatyki dla klas 10-11.

Przykład 3... Przeanalizujmy obwód elektroniczny, czyli dowiemy się, jaki sygnał powinien znajdować się na wyjściu dla każdego możliwego zestawu sygnałów na wejściach.

Decyzja... Wszystkie możliwe kombinacje sygnałów na wejściach od A do B zostaną wprowadzone do tabeli prawdy. Prześledźmy transformację każdej pary sygnałów, gdy przechodzą one przez bramki logiczne i zapiszmy wynik w tabeli. Wypełniona tabela prawdy w pełni opisuje dany obwód elektroniczny.

Tabelę prawdy można również zbudować za pomocą wyrażenia logicznego odpowiadającego obwodowi elektronicznemu. Ostatnim elementem logicznym w rozważanym obwodzie jest spójnik. Odbiera sygnały z wejścia L iz falownika. Z kolei falownik otrzymuje sygnał z wejścia B.W ten sposób

Praca z symulatorem logiki (http: // kpolyakov. Narod. Ru / prog / logic. Htm) pomoże Ci uzyskać pełniejszy obraz bramek logicznych i obwodów elektronicznych.

Najważniejszą rzeczą

Oświadczenie to zdanie w dowolnym języku, którego treść można jednoznacznie określić jako prawdziwe lub fałszywe.

Podstawowe operacje logiczne zdefiniowane na instrukcjach: inwersja, koniunkcja, disjunction.

Tabele prawdy dla podstawowych operacji logicznych:

Podczas obliczania wyrażeń logicznych najpierw wykonywane są czynności w nawiasach. Priorytet wykonania logicznego: