Rozwiązywanie ułamkowych racjonalnych nierówności online. Rozwiązywanie nierówności za pomocą modułu. Nierówności liniowe. Rozwiązanie, przykłady
Nierówność jest to wyrażenie z, ≤ lub ≥. Na przykład 3x - 5 Rozwiązanie nierówności oznacza znalezienie wszystkich wartości zmiennych, dla których ta nierówność jest prawdziwa. Każda z tych liczb jest rozwiązaniem nierówności, a zbiór wszystkich takich rozwiązań jest jej wiele rozwiązań... Nierówności, które mają ten sam zestaw rozwiązań, są nazywane równoważne nierówności.
Nierówności liniowe
Zasady rozwiązywania nierówności są podobne do zasad rozwiązywania równań.Zasady rozwiązywania nierówności
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c:
Zasada dodawania nierówności: Jeśli Zasada mnożenia dla nierówności: Jeśli 0 jest prawdą, to ac Jeśli bc jest również prawdziwe.
Podobne stwierdzenia dotyczą również a ≤ b.
Gdy obie strony nierówności zostaną pomnożone przez liczbę ujemną, znak nierówności należy odwrócić.
Nierówności pierwszego poziomu, jak w przykładzie 1 (poniżej), są nazywane nierówności liniowe.
Przykład 1 Rozwiąż każdą z następujących nierówności. Następnie przedstaw wiele rozwiązań.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Decyzja
Rozwiązaniem jest każda liczba mniejsza niż 11/5.
Zbiór rozwiązań to (x | x
Aby to sprawdzić, możemy wykreślić y 1 \u003d 3x - 5 iy 2 \u003d 6 - 2x. Z tego miejsca jest jasne, że dla x 
Zestaw rozwiązań to (x | x ≤ 1) lub (-∞, 1] Wykres zestawu rozwiązań pokazano poniżej. 
Podwójne nierówności
Kiedy dwie nierówności są połączone słowem i, lubwtedy powstaje podwójna nierówność... Podwójna nierówność jak
-3
i 2x + 5 ≤ 7
nazywa połączonyponieważ używa i... Zapis -3 Podwójne nierówności można rozwiązać, stosując zasady dodawania i mnożenia nierówności.
Przykład 2 Rozwiąż -3 Decyzja Mamy
Zbiór rozwiązań (x | x ≤ -1 lub x\u003e 3). Możemy również napisać rozwiązanie używając notacji spacji i symbolu dla wspomnienia lub wtrącenia obu zbiorów: (-∞ -1] (3, ∞) Wykres zbioru rozwiązań pokazano poniżej. 
Aby przetestować, narysuj y 1 \u003d 2x - 5, y 2 \u003d -7 i y 3 \u003d 1. Zauważ, że for (x | x ≤ -1 lub x\u003e 3), y 1 ≤ y 2 lub y 1\u003e y 3. 
Nierówności o wartości bezwzględnej (moduł)
Nierówności czasami zawierają moduły. Do ich rozwiązania służą następujące właściwości.
Dla a\u003e 0 i wyrażenia algebraicznego x:
| x | | x | \u003e a jest równoważne x lub x\u003e a.
Podobne instrukcje dla | x | ≤ a i | x | ≥ a.
Na przykład,
| x | | y | ≥ 1 jest równoważne y ≤ -1 lub y ≥ 1;
i | 2x + 3 | ≤ 4 odpowiada -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Przykład 4 Rozwiąż każdą z następujących nierówności. Wykreśl zestaw rozwiązań.
a) | 3x + 2 | b) | 5 - 2x | ≥ 1
Decyzja
a) | 3x + 2 |
b) | 5 - 2x | ≥ 1
Zbiór rozwiązań to (x | x ≤ 2 lub x ≥ 3) lub (-∞, 2] W poniższym przykładzie zastosowano taki nawias.
Zapiszmy odpowiedź: x ≥ -0,5 w przerwach:
x ∈ [-0,5; + ∞)
Czytać: x należy do przedziału od minus 0,5, włącznie z, do plus nieskończoności.
Nieskończoności nigdy nie można włączyć. To nie jest liczba, to symbol. Dlatego w takich zapisach nieskończoność zawsze sąsiaduje z nawiasem.
Ta forma nagrywania jest wygodna w przypadku złożonych odpowiedzi składających się z kilku interwałów. Ale - tylko dla ostatecznych odpowiedzi. W wynikach pośrednich, gdzie spodziewane jest dalsze rozwiązanie, lepiej jest użyć zwykłej formy w postaci prostej nierówności. Zajmiemy się tym w odpowiednich tematach.
Popularne zawody z nierównościami.
Same nierówności liniowe są proste. Dlatego często zadania stają się bardziej skomplikowane. Więc pomyśleć, że to konieczne. Nie jest to przyjemne, jeśli nie jesteś do tego przyzwyczajony). Ale przydatne. Pokażę przykłady takich zadań. Nie musisz się ich uczyć, to niepotrzebne. I żeby nie bać się spotkania z takimi przykładami. Pomyśl trochę - i wszystko jest proste!)
1. Znajdź dwa dowolne rozwiązania nierówności 3x - 3< 0
Jeśli nie jest jasne, co robić, pamiętaj o głównej zasadzie matematyki:
Nie wiesz, czego potrzebujesz - rób, co możesz!)
x < 1
Więc co? Nic specjalnego. O co nas pytają? Jesteśmy proszeni o znalezienie dwóch konkretnych liczb, które rozwiązują nierówność. Te. dopasować odpowiedź. Dwa każdy liczby. Właściwie jest to zawstydzające.) Odpowiednie jest kilka wartości 0 i 0,5. Para -3 i -8. Tak, te pary są nieskończone! Jaka jest prawidłowa odpowiedz ?!
Odpowiedź brzmi: wszystko! Dowolna para liczb, każda mniejsza niż jedna, byłaby poprawną odpowiedzią. Napisz, co chcesz. Idźmy dalej.
2. Rozwiąż nierówność:
4x - 3 ≠ 0
Zadania w tej formie są rzadkie. Ale jako nierówności pomocnicze, na przykład podczas znajdowania ODV lub znajdowania dziedziny definicji funkcji, często się je napotyka. Taką nierówność liniową można rozwiązać za pomocą zwykłego równania liniowego. Tylko wszędzie, z wyjątkiem znaku „\u003d” ( na równi) umieścić znak „ ≠ " (nie równe). Więc dojdziesz do odpowiedzi ze znakiem nierówności:
x ≠ 0,75
W bardziej złożonych przykładach lepiej zrobić to inaczej. Wyrównaj nierówności. Lubię to:
4x - 3 = 0
Spokojnie rozwiąż go zgodnie z nauczaniem i uzyskaj odpowiedź:
x \u003d 0,75
Najważniejsze jest to, że na samym końcu, zapisując ostateczną odpowiedź, nie zapominaj, że znaleźliśmy X, który daje równość. I potrzebujemy - nierówność. Dlatego po prostu nie potrzebujemy tego X.) I musimy to zapisać odpowiednią ikoną:
x ≠ 0,75
Takie podejście skutkuje mniejszą liczbą błędów. Ci, którzy rozwiązują równania automatycznie. A dla tych, którzy nie rozwiązują równań, nierówności w rzeczywistości są bezużyteczne ...) Kolejny przykład popularnego zadania:
3. Znajdź najmniejsze całkowite rozwiązanie nierówności:
3 (x - 1) < 5x + 9
Po pierwsze, po prostu rozwiązujemy nierówność. Otwieramy nawiasy, przenosimy je, podajemy podobne ... Otrzymujemy:
x > - 6
Źle !? Czy podążali za znakami!? A za znakami członków i za znakiem nierówności ...
Myślenie znowu. Musimy znaleźć określoną liczbę, która pasuje zarówno do odpowiedzi, jak i do warunku „najmniejsza liczba całkowita”.Jeśli nie zaświtnie od razu, możesz po prostu wziąć dowolną liczbę i oszacować. Czy dwa to więcej niż minus sześć? Pewnie! Czy jest odpowiednia mniejsza liczba? Oczywiście. Na przykład zero jest większe niż -6. A jeszcze mniej? Potrzebujemy jak najmniejszego! Minus trzy to więcej niż minus sześć! Możesz już uchwycić wzór i przestać głupio przeglądać liczby, prawda?)
Liczbę przybliżamy do -6. Na przykład -5. Odpowiedź jest wykonywana, -5 > - 6. Czy możesz znaleźć inną liczbę, mniejszą niż -5, ale większą niż -6? Możesz na przykład -5,5 ... Stop! Powiedziano nam całydecyzja! Nie rzuca -5,5! Minus sześć? Uch! Nierówność jest ścisła, minus 6 to nie mniej niż minus 6!
Więc prawidłowa odpowiedź to -5.
Mam nadzieję, że przy wyborze wartości z ogólnego rozwiązania wszystko jest jasne. Inny przykład:
4. Rozwiąż nierówności:
7 < 3x + 1 < 13
W jaki sposób! To wyrażenie nazywa się potrójna nierówność. Ściśle mówiąc, jest to skrótowa notacja dla systemu nierówności. Ale takie potrójne nierówności nadal trzeba rozwiązać w niektórych zadaniach ... To rozwiązuje się bez żadnych systemów. Dla tych samych identycznych przekształceń.
Trzeba uprościć, sprowadzić tę nierówność do czystego xx. Ale ... Co to jest, gdzie przenieść!? Teraz jest czas, aby pamiętać, że przesunięcie w lewo-prawo jest skrócona forma pierwsza identyczna transformacja.
A pełna forma brzmi tak: Możesz dodać / odjąć dowolną liczbę lub wyrażenie po obu stronach równania (nierówność).
Są tu trzy części. Więc będziemy się ubiegać identyczne transformacje na wszystkie trzy części!
Pozbądźmy się więc 1 w środku nierówności. Odejmij jeden od całej środkowej części. Aby zapobiec zmianie nierówności, od pozostałych dwóch części odejmujemy 1. Lubię to:
7 -1< 3x + 1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Już lepiej, prawda?) Pozostaje podzielić wszystkie trzy części na trzy:
2 < x < 4
To wszystko. To jest odpowiedź. X może być dowolną liczbą od 2 (bez) do 4 (bez). Ta odpowiedź jest również zapisywana w odstępach, takie rekordy będą nierównościami kwadratowymi. Tam są najczęstszą rzeczą.
Na koniec lekcji powtórzę najważniejszą rzecz. Sukces w rozwiązywaniu nierówności liniowych zależy od umiejętności przekształcania i upraszczania równań liniowych. Jeśli w tym samym czasie uważaj na znak nierówności, nie będzie problemów. Czego ci życzę. Nie ma problemu.)
Jeśli podoba Ci się ta strona ...
Przy okazji, mam dla ciebie kilka ciekawszych witryn.)
Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)
możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
