Însumarea seriilor trigonometrice folosind funcții analitice. seria Fourier trigonometrică seria Fourier trigonometrică

Să arătăm că aproape orice funcție periodică poate fi reprezentată ca o serie ai cărei membri sunt armonici simple, folosind așa-numita serie trigonometrică.

Definiție. O serie trigonometrică este o serie funcțională a formei

unde sunt numerele reale A 0 , un n , b n se numesc coeficienții seriei.

Termenul liber al seriei se scrie sub forma de uniformizare a formulelor obtinute ulterior.

Trebuie abordate două întrebări:

1) În ce condiții funcționează f(x) cu perioada 2π poate fi extins într-o serie (5.2.1)?

2) Cum se calculează cotele A 0 ,… un n , b n ?

Să începem cu a doua întrebare. Lasă funcția f(x) este continuă pe interval și are o perioadă T=2π. Vă prezentăm formulele de care vom avea nevoie în cele ce urmează.

Pentru orice număr întreg, deoarece funcția este pară.

Pentru orice întreg.

(mși n numere întregi)

La ( mși n numere întregi) fiecare dintre integralele (III, IV, V) este convertită în suma integralelor (I) sau (II). Dacă , atunci în formula (IV) obținem:

Egalitatea (V) este demonstrată în mod similar.

Să presupunem acum că funcția s-a dovedit a fi astfel încât a fost găsită o expansiune într-o serie Fourier convergentă, adică

(Rețineți că însumarea este peste index n).

Dacă seria converge, atunci notați suma ei S x).

Integrarea pe termeni (legitimă datorită presupunerii convergenței seriei) în intervalul de la până la dă

întrucât toți termenii cu excepția primului sunt egali cu zero (relațiile I, II). De aici găsim

Înmulțirea (5.2.2) cu ( m=1,2,…) și integrând termen cu termen în intervalul de la până la , găsim coeficientul un n.

În partea dreaptă a egalității, toți termenii sunt egali cu zero, cu excepția unuia m=n(relațiile IV, V), deci obținem

Înmulțirea (5.2.2) cu ( m\u003d 1,2, ...) și integrând termen cu termen în intervalul de la până la , găsim în mod similar coeficientul b n

Valorile - determinate de formulele (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) se numesc coeficienți Fourier, iar seria trigonometrică (5.2.2) este seria Fourier pentru o funcție dată f(x).

Deci, am obținut descompunerea funcției f(x)într-o serie Fourier

Să revenim la prima întrebare și să aflăm ce proprietăți ar trebui să aibă funcția f(x), astfel încât seria Fourier construită este convergentă, iar suma seriei ar fi exact egală cu f(x).

Definiție. Funcția f(x) se numește continuă pe bucăți, dacă este continuă sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel.

Definiție. Funcția f(x), dat pe interval este numit monoton pe bucati, dacă segmentul poate fi împărțit prin puncte într-un număr finit de intervale, în fiecare dintre ele funcția se modifică monoton (crescător sau descrescător).

Vom lua în considerare funcțiile f(x), având menstruație T=2π. Astfel de funcții sunt numite 2π- periodic.

Să formulăm o teoremă care să reprezinte o condiție suficientă pentru extinderea unei funcții într-o serie Fourier.

teorema lui Dirichlet(accept fara dovezi) . În cazul în care un 2π-functie periodica f(x) pe un segment este continuu pe bucati si monoton pe bucati, atunci seria Fourier corespunzatoare functiei converge pe acest segment si:

1. În punctele de continuitate ale unei funcții, suma seriei coincide cu funcția în sine S(x)=f(x);

2. În fiecare punct x 0întrerupere de funcție f(x) suma seriei este,

acestea. media aritmetică a limitelor funcţiei la stânga şi la dreapta punctului x 0 ;

3. În puncte (la capetele segmentului) suma seriei Fourier este ,

acestea. media aritmetică a valorilor limită ale funcției la capetele segmentului, când argumentul tinde către aceste puncte din interiorul intervalului.

Notă: dacă funcția f(x) cu o perioadă de 2π este continuă și diferențiabilă în întreg intervalul, iar valorile sale la sfârșitul intervalului sunt egale, adică, datorită periodicității, această funcție este continuă pe toată axa reală și pentru orice X suma seriei sale Fourier este aceeași ca f(x).

Astfel, dacă o funcție integrabilă pe un interval f(x) satisface condițiile teoremei Dirichlet, atunci egalitatea are loc pe interval (expansiune într-o serie Fourier):

Coeficienții se calculează prin formulele (5.2.3) - (5.2.5).

Condițiile Dirichlet sunt îndeplinite de majoritatea funcțiilor care apar în matematică și aplicațiile acesteia.

Seriile Fourier, ca și seriile de putere, sunt utilizate pentru calcularea aproximativă a valorilor funcției. Dacă extinderea funcţiei f(x)într-o serie trigonometrică are loc, atunci puteți utiliza întotdeauna egalitatea aproximativă , înlocuind această funcție cu suma mai multor armonici, i.e. suma parțială (2 n+1) termen al seriei Fourier.

Seriile trigonometrice sunt utilizate pe scară largă în inginerie electrică, cu ajutorul lor rezolvă multe probleme de fizică matematică.

Extindeți într-o serie Fourier o funcție cu o perioadă de 2π, dată pe intervalul (-π; π).

Soluţie. Aflați coeficienții seriei Fourier:

Am obținut extinderea funcției într-o serie Fourier

În punctele de continuitate, suma seriei Fourier este egală cu valoarea funcției f(x)=S(x), la punct x=0 S(x)=1/2, la puncte x=π,2π,… S(x)=1/2.

Amintiți-vă că în analiza reală o serie trigonometrică este o serie în cosinus și sinusuri de mai multe arce, i.e. rând al formularului

Un pic de istorie. Perioada inițială a teoriei unor astfel de serii este atribuită la mijlocul secolului al XVIII-lea în legătură cu problema vibrațiilor corzilor, când se căuta funcția dorită ca sumă de serie (14.1). Întrebarea cu privire la posibilitatea unei astfel de reprezentări a provocat dezbateri aprinse în rândul matematicienilor, care a durat câteva decenii. Litigii legate de conținutul conceptului de funcție. La acel moment, funcțiile erau de obicei asociate cu atribuirea lor analitică, dar aici a devenit necesară reprezentarea unei funcții lângă (14.1), al cărei grafic este o curbă destul de arbitrară. Dar semnificația acestor dispute este mai mare. De fapt, ei au ridicat întrebări legate de multe idei fundamental importante ale analizei matematice.

Și în viitor, ca și în această perioadă inițială, teoria serielor trigonometrice a servit ca sursă de idei noi. În legătură cu acestea, de exemplu, au apărut teoria mulțimilor și teoria funcțiilor unei variabile reale.

În acest capitol final, vom lua în considerare materialul care leagă încă o dată analiza reală și cea complexă, dar care se reflectă puțin în manualele despre TFCT. În cursul analizei, au pornit de la o funcție predeterminată și au extins-o într-o serie Fourier trigonometrică. Aici luăm în considerare problema inversă: pentru o serie trigonometrică dată, stabiliți convergența și suma acesteia. Pentru aceasta, Euler și Lagrange au folosit cu succes funcții analitice. Aparent, Euler a obținut pentru prima dată (1744) egalități

Mai jos călcăm pe urmele lui Euler, limitându-ne doar la cazuri speciale de serie (14.1), și anume, seria trigonometrică

Cometariu. Se va folosi în esenţă următorul fapt: dacă succesiunea coeficienţilor pozitivi a p tinde monoton spre zero, atunci aceste serii converg uniform pe orice interval închis care nu conține puncte de formă 2lx (la gZ).În special, pe intervalul (0,2n -) va exista convergență punctuală. Vezi despre aceasta în lucrare, pp. 429-430.

Ideea lui Euler de însumare a seriei (14.4), (14.5) este că, folosind substituția z = e a mergi la seria de putere

Dacă în interiorul cercului unității, suma sa poate fi găsită în mod explicit, atunci problema este de obicei rezolvată prin separarea părților reale și imaginare de ea. Subliniem că, folosind metoda Euler, trebuie verificată convergența seriei (14.4), (14.5).

Să ne uităm la câteva exemple. În multe cazuri, seria geometrică va fi utilă

precum şi seria obţinută din acesta prin diferenţiere sau integrare termen cu termen. De exemplu,

Exemplul 14.1. Aflați suma unei serii

Soluţie. Introducem o serie similară cu cosinus

Ambele serii converg peste tot, de vreme ce majorat de seria geometrică 1 + r + r 2+.... Presupunând z = e"x, primim

Aici fracția este redusă la forma

unde obținem răspunsul la întrebarea problemei:

Pe parcurs, am stabilit egalitatea (14.2): Exemplul 14.2. Sumă rânduri

Soluţie. Conform observației de mai sus, ambele serii converg spre intervalul specificat și servesc drept serie Fourier pentru funcțiile pe care le definesc. f(x) 9 g(x). Care sunt aceste funcții? Pentru a răspunde la întrebare, în conformitate cu metoda Euler, compunem serii (14.6) cu coeficienți a p= -. De acord-

dar egalitatea (14.7) obținem

Omitând detalii (cititorul ar trebui să le reproducă), subliniem că expresia sub semnul logaritmului poate fi reprezentată ca

Modulul acestei expresii este egal cu -, iar argumentul (mai precis, valoarea sa principală este

• 2sin-

valoare) este egală Prin urmare In ^ = -ln(2sin

Exemplul 14.3. La -Sumă rândurile

Soluţie. Ambele serii converg peste tot, deoarece sunt dominate de convergente

lângă membrul comun -! . Rând (14,6)

n(n +1)

direct

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) P /1 + 1

ns va da o sumă cunoscută. Pe bază, îl reprezentăm în formă

egalitate

Aici expresia dintre paranteze este ln(l + z), iar expresia dintre paranteze drepte este ^ ^ + ** ^--. Prin urmare,

= (1 + -)ln(1 + z). Acum

ar trebui pus aici z = eLXși efectuați aceiași pași ca în exemplul anterior. Omitând detalii, subliniem că

Rămâne să deschidem parantezele și să scriem răspunsul. Lăsăm asta cititorului.

Sarcini pentru capitolul 14

Calculați sumele următoarelor rânduri.

• 1.3.1. a) z = 0 și z-- 2;
• b) z = l și z=-1;
• în) z = i și z= -Eu.
• 1.3.2. a) 1; 6)0; c) oo.
• 2.1.1. Arcul parabolei, r = la 2 mergând de la punctul (1;1) până la punctul (1;-1) și înapoi.
• 2.1.2. Segmentare cu start A, Sfârşit b.
• 2.1.3. Calea rectificată Jordan din Fig. 19.

• 2.1.4. arc de parabolă y = x 2 cu început (-1;0), sfârşit (1;1).
• 2.1.5. Cercul dg 2 + (la - 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Semi avion Rez > .
• 2.2.2. Cercul deschis C x ""^) 2 + Y 2
• 2.2.3. Interiorul unei parabole 2y = 1 - x 2 .
• 2.2.4. Cercul vicios (d: - 2) 2 + la 2
• 2.2.5. Apariția parabolei 2x \u003d - y 2.

3.1.a). Dacă w=u + iv, apoi și= -r- -v = -^-^.Deci

l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2

Originea coordonatelor ar trebui exclusă din acest cerc, deoarece (m, v) 9* (0; 0) V* e R, ton și= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• b). Înlătura X y din egalităţi x + y \u003d l și \u003d x 2 - y, v = 2 X y. Răspuns: parabola 2v = l-și 2 .
• 3.2. Linia dreaptă l: = i (l^O) merge într-un cerc
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 cu un punct perforat (r/, v) = (0; 0). Aplică-l cu
• 2a 2 a

a = 1, a = 2.

• 3.4. În cazurile a), b) folosiți „semnul inexistenței limitei”. În cazul c), limita există și este egală cu 2.
• 3.5. Nu este. Luați în considerare limitele funcției pe două secvențe cu termeni comuni

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1. a) nicaieri ns diferentiabil; b) diferenţiabil peste tot.
• 4.2. a) are o derivată în toate punctele dreptei y = x,în fiecare dintre

lor w = 2x; nu este nicăieri holomorf;

• b) este holomorfă în C(0) și / = - j.
• 4.3. holomorf în C, W=3z 2 .
• 4.4. Din egalităţi / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 rezultă că w,v nu este

Sf. Sf

depind de variabila „t. Condițiile Cauchy-Riemann implică faptul că aceste funcții sunt și independente de y.

4.5. Luați în considerare, de exemplu, cazul Re f(z) = i(x, y) = const. DIN

folosind condiţiile Cauchy-Riemann, deduceţi de aici că Im/(z) = v(x 9 y) = const.

• 5.1. a) pentru că J=--=- =-* 0(z * -/) și în funcție de starea problemei
• (l-/z) 2 (z+/) 2

argumentul derivatei este egal cu zero, atunci partea sa imaginară este zero, iar partea reală este pozitivă. De aici derivă răspunsul: drept la = -X-1 (X * 0).

b) cerc z + i=j2.

• 5.3. Verificați dacă funcția nu ia valoare zero și derivata ei există peste tot și este egală cu funcția dată.
• 6.1. Din definiția tangentei ca raport dintre sinus și cosinus, demonstrați că tg(z + n^-tgz cu valori de argument valide. Lăsa T altă perioadă tg(z + T) = tgz. De aici și din egalitatea anterioară, deduceți că sin(/r- T)= 0, de unde rezultă că T multiplu la .
• 6.2. Utilizați egalități (6.6).
• 6.3. Prima formulă nu este corectă, deoarece nu întotdeauna arg(zH ,) = argz + argvv (luăm, de exemplu, z = -1, w = -1). A doua formulă este, de asemenea, greșită. Luați în considerare, de exemplu, cazul z = 2.
• 6.4. Din egalitate a a = e 01 "0 deduceți că aici partea dreaptă are forma |i|« , e ca(a^a+2 iac)? sli p r și câteva numere întregi diferite la 19 la 2

expresia dintre paranteze a căpătat același sens, atunci ar avea

ceea ce este contrar iraționalității A .

• 6.5. z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63).
• 7.1. a) unghi - eu w
• b) sector circular | w2, | argvr|
• 7.2. În ambele cazuri, un cerc cu raza 1 centrat la origine.
• 7.3. Ne vom deplasa de-a lungul graniței semicercului, astfel încât interiorul acestuia să rămână în stânga. Folosim notația z = x + yi, w = u + vi. Locația activată

la= 0, -1 x 1 avem și =--e [-1,1]" v = 0. Se consideră al doilea segment al graniței - semicercul z=UE,tg. În această secțiune, expresia

este convertit în formă w=u=-- ,/* -. Intre. Conform (8.6), integrala dorită este egală cu

b). Ecuația semicercului inferior are forma z(t) = e“,t e[l, 2n). Prin formula (8.8), integrala este egală cu

• 8.2. A). Împărțiți integrala dorită în suma integralelor de pe segment O Ași de-a lungul segmentului AB. Ecuațiile lor sunt, respectiv z= / + //,/ cu și

z = t + i,te. Raspuns: - + - i.

• b). Ecuația curbei de integrare poate fi scrisă ca z = e", t € . Atunci Vz are două valori diferite, și anume,

.1 .t+2/r

e 2 ,e 2. Din condiţiile problemei rezultă că vorbim despre valoarea principală a rădăcinii: Vz, i.e. despre primul dintre acestea. Atunci integrala este

8.3. În rezolvarea problemei, desenul nu este dat în mod deliberat, dar cititorul ar trebui să îl completeze. Se folosește ecuația unui segment de dreaptă, care leagă două puncte date i, /> e C (A - Start, b - sfârşit): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Să împărțim integrala dorită în patru:

I = I AB + I BC + I CD +1 D.A. Pe segment AB avem z- (1 -1) ? 1 +1 /, deci integrala de pe acest segment, conform (8.8), este egală cu

Procedând într-un mod similar, găsim

• 9.1. a) 2n7; b) 0.
• 9.2. Faceți o înlocuire z = z0 + re 11,0 t2/g.
• 9.3 Funcție f(z)=J este holomorf în unele pur și simplu conectate z-a

zona D care conține Г și ns care conține A. Prin teorema integrală aplicată la /),/], integrala dorită este egală cu zero.

• 9.4. a) 2/n(cosl2 + /sinl2); b) 34l-/.
• 9.5. În cazul a) punctele singulare ±2/ se află în interiorul cercului dat, deci integrala este egală cu

• b). Punctele singulare ±3/ se află și ele în interiorul cercului. Soluția este similară. Raspuns: 0.
• 10.1. Reprezentați funcția ca /(z) = -----use
• 3 1 + -

seria geometrică 1 + q + q2 (||

• 1 -h
• 10.2. Diferențiază termen cu termen o serie geometrică.
• 10.3. a) | z+/1t = z2. Răspuns: z .
• 11.1. Utilizați expansiuni de putere ale exponentului și sinusului. În cazul a) ordinul este 3, în cazul b) este 2.
• 11.2. Până la o modificare evidentă a variabilei, ecuația poate fi

reprezentați sub forma /(z) = /(-^z). Fără a pierde generalitatea, putem presupune că

raza de convergență a seriei Taylor a funcției centrate în punctul 0 este mai mare decât unu. Avem:

Valorile funcției sunt aceleași pe o mulțime discretă cu un punct limită aparținând cercului de convergență. Prin teorema de unicitate /(z) = const.

11.3. Să presupunem că funcția analitică dorită /(z) există. Să comparăm valorile sale cu funcția (z) = z2 pe platou E,

format din puncte z n = - (n = 2,3,...). Semnificațiile lor sunt aceleași și din moment ce E

are un punct limită aparținând cercului dat, apoi prin teorema de unicitate /(z) = z 2 pentru toate argumentele cercului dat. Dar aceasta contrazice condiția /(1) = 0. Răspuns: ns nu există.

• 11.4. Da, /(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Nu există nicio contradicție, deoarece punctul limită al valorilor unitare nu se află în domeniul funcției.
• - 1 1
• 12.1. a) 0; b) 2

  12.2. A). Reprezentați funcția în formă și extindeți parantezele.

  • b). Schimbați termenii, utilizați expansiunile standard cosinus și sinus.
  • 12.3.
  
  • 12.4. a) punctele 0, ± 1 sunt poli simpli;
  • b) z = 0 - punct detașabil;
  • c) z = 0 este un punct esenţial singular.
  • 13.1. A). Punctele a = 1, a = 2 sunt polii integrandului. Reziduul fata de primul pol (simplu) se gaseste conform (13.2), este egal cu 1. Reziduul fata de cel de-al doilea pol se gaseste prin formula (13.3) cu ordinul multiplicitatii u = 2 si este egal cu -1. Suma reziduurilor este zero, deci integrala este zero după teorema fundamentală a reziduurilor.
  • b). În interiorul dreptunghiului cu vârfurile indicate sunt trei

  poli simpli 1,-1,/. Suma reziduurilor din ele este egală cu --, iar integrala este egală cu

  în). Printre poli 2 Trki(kGZ) din integrand, doar două se află în interiorul cercului dat. Este 0 și 2 eu ambele sunt simple, reziduurile din ele sunt egale în 1. Răspuns: 4z7.

  înmulțiți-l cu 2/r/. Omitând detalii, indicăm răspunsul: / = -i .

  13.2. A). Să punem e"=z, atunci e"idt =dz , dt= - . Ho

  e" - e~" z-z~ x

  sin / =-=-, intefalul se va reduce la forma

  

  Aici numitorul este factorizat (z-z,)(z-z 2), unde z, = 3 - 2 V2 / se află în interiorul cercului la , a z,=3 + 2V2 / se află mai sus. Rămâne să găsim reziduul în raport cu polul simplu z, folosind formula (13.2) și

  b) . Presupunând, ca mai sus, e" = z , reducem intfalul la forma

  

  Funcția subintefală are trei poli simpli (care?). Lăsând cititorul să calculeze reziduurile din ele, indicăm răspunsul: I= .

  • în) . Funcția subintegrală este egală cu 2(1--=-), integrala dorită
  • 1 + cos t

  este egal cu 2(^-1- h-dt). Notați integrala între paranteze prin /.

  Aplicând egalitatea cos "/ = - (1 + cos2f) obținem că / = [- cit .

  Prin analogie cu cazurile a), b) efectuați o substituție e 2,t = z, reduceți integrala la forma

  

  unde curba de integrare este același cerc unitar. Argumentele suplimentare sunt aceleași ca în cazul a). Răspuns: integrala originală căutată este egală cu /r(2-n/2).

  13.3. A). Luați în considerare integrala complexă auxiliară

  /(/?)=f f(z)dz, Unde f(z) = - p-, G (I) - un contur compus din

  semicerc y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 și toate diametrele (faceți un desen). Să împărțim această integrală în două părți - conform intervalului [-/?,/?] și conform y(R).

  la. Da.

  Doar poli simpli se află în interiorul circuitului z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (Fig. 186). Găsim în ceea ce privește reziduurile lor:

  Rămâne de verificat că integrala peste y(R) tinde spre zero ca R. Din inegalitatea |g + A|>||i|-|/>|| iar din estimarea integralei pt z e y(R) rezultă că

Într-o serie de cazuri, prin investigarea coeficienților de serie de forma (C) sau se poate stabili că aceste serii converg (poate cu excepția punctelor individuale) și sunt serii Fourier pentru sumele lor (vezi, de exemplu, nr. ), dar în toate aceste cazuri se pune firesc întrebarea

cum să aflăm sumele acestor serii sau, mai precis, cum să le exprimăm în forma finală în termeni de funcții elementare, dacă ele sunt exprimate într-o asemenea formă. Chiar și Euler (și, de asemenea, Lagrange) a folosit cu succes funcțiile analitice ale unei variabile complexe pentru a însuma serii trigonometrice într-o formă finală. Ideea din spatele metodei Euler este următoarea.

Să presupunem că, pentru un anumit set de coeficienți, seria (C) și converg către funcții peste tot în interval, excluzând doar punctele individuale. Să considerăm acum o serie de puteri cu aceiași coeficienți, dispuse în puteri ale unei variabile complexe

Pe circumferința cercului unitar, adică la , această serie converge prin presupunere, excluzând punctele individuale:

În acest caz, conform proprietății binecunoscute a seriei de puteri, seria (5) converge cu siguranță în interiorul cercului unitar, definind acolo o anumită funcție a unei variabile complexe. Folosind cunoscut de noi [vezi. § 5 al capitolului XII] din extinderea funcţiilor elementare ale unei variabile complexe, este adesea posibil să se reducă funcţia la acestea.Atunci pentru că avem:

iar prin teorema Abel, de îndată ce seria (6) converge, suma ei se obține ca limită

De obicei, această limită este pur și simplu egală cu care ne permite să calculăm funcția în forma finală

Să fie, de exemplu, serialul

Afirmațiile dovedite în paragraful anterior conduc la concluzia că ambele serii converg (prima, excluzând punctele 0 și

servesc drept serie Fourier pentru funcțiile pe care le definesc.Dar care sunt aceste funcții? Pentru a răspunde la această întrebare, facem o serie

Prin asemănarea cu seria logaritmică, suma acesteia se stabilește ușor:

Prin urmare,

Acum, un calcul ușor oferă:

deci modulul acestei expresii este , iar argumentul este .

și astfel în cele din urmă

Aceste rezultate ne sunt familiare și chiar odată au fost obținute cu ajutorul unor considerații „complexe”; dar în primul caz, am plecat de la funcțiile și , iar în al doilea - de la funcția analitică.Aici, pentru prima dată, seria în sine a servit ca punct de plecare. Cititorul va găsi alte exemple de acest fel în secțiunea următoare.

Subliniem încă o dată că trebuie să fii sigur în prealabil de convergența și seria (C) și pentru a avea dreptul de a determina sumele acestora folosind egalitatea limitatoare (7). Simpla existență a unei limite în partea dreaptă a acestei egalități nu ne permite încă să concluzionăm că seriile menționate converg. Pentru a arăta acest lucru cu un exemplu, luați în considerare seria

În știință și tehnologie, de multe ori trebuie să ne confrunți cu fenomene periodice, de exemplu. cele care se reproduc după o anumită perioadă de timp T numită perioadă. Cea mai simplă dintre funcțiile periodice (cu excepția unei constante) este o valoare sinusoidală: ca în(X+ ), oscilație armonică, unde există o „frecvență” legată de perioadă prin raportul: . Din astfel de funcții periodice simple pot fi compuse altele mai complexe. În mod evident, mărimile sinusoidale constitutive trebuie să fie de frecvențe diferite, deoarece prin adăugarea unor mărimi sinusoidale de aceeași frecvență rezultă o mărime sinusoidală de aceeași frecvență. Dacă adăugăm mai multe valori ale formei

De exemplu, reproducem aici adăugarea a trei mărimi sinusoidale: . Luați în considerare graficul acestei funcții

Acest grafic este semnificativ diferit de o undă sinusoidală. Acest lucru este și mai adevărat pentru suma unei serii infinite compuse din termeni de acest tip. Să ne punem întrebarea: este posibil pentru o anumită funcție periodică a perioadei T reprezintă ca sumă a unui set finit sau cel puțin infinit de mărimi sinusoidale? Se pare că, în ceea ce privește o clasă mare de funcții, la această întrebare se poate răspunde afirmativ, dar asta numai dacă includem exact întreaga succesiune infinită a unor astfel de termeni. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că graficul unei funcții periodice se obține prin suprapunerea unei serii de sinusoide. Dacă considerăm fiecare valoare sinusoidală ca o anumită mișcare oscilativă armonică, atunci putem spune că aceasta este o oscilație complexă caracterizată printr-o funcție sau pur și simplu prin armonicile acesteia (prima, secunda etc.). Procesul de descompunere a unei funcții periodice în armonici se numește analiza armonică.

Este important de menționat că astfel de expansiuni se dovedesc adesea utile în studiul funcțiilor care sunt date doar într-un anumit interval finit și nu sunt generate deloc de niciun fenomen oscilator.

Definiție. O serie trigonometrică este o serie de forma:

Sau (1).

Numerele reale se numesc coeficienți ai seriei trigonometrice. Această serie poate fi scrisă și așa:

Dacă o serie de tipul prezentat mai sus converge, atunci suma ei este o funcție periodică cu perioada 2p.

Definiție. Coeficienții Fourier ai unei serii trigonometrice se numesc: (2)

(3)

(4)

Definiție. Aproape de Fourier pentru o funcție f(x) se numește o serie trigonometrică ai cărei coeficienți sunt coeficienții Fourier.

Dacă seria Fourier a funcției f(x) converge către el în toate punctele sale de continuitate, atunci spunem că funcția f(x) se extinde într-o serie Fourier.

Teorema.(Teorema lui Dirichlet) Dacă o funcție are o perioadă de 2p și este continuă pe un segment sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel, segmentul poate fi împărțit într-un număr finit de segmente astfel încât funcția să fie monotonă în interiorul fiecăruia. dintre ele, apoi seria Fourier pentru funcție converge pentru toate valorile X, iar în punctele de continuitate ale funcției, suma acesteia S x) este egal cu , iar la punctele de discontinuitate suma sa este egală cu , i.e. media aritmetică a valorilor limită din stânga și dreapta.

În acest caz, seria Fourier a funcției f(x) converge uniform asupra oricărui interval care aparține intervalului de continuitate al funcției .

O funcție care îndeplinește condițiile acestei teoreme se numește netedă pe bucăți în intervalul .

Să luăm în considerare exemple de extindere a unei funcții într-o serie Fourier.

Exemplul 1. Extindeți funcția într-o serie Fourier f(x)=1-x, care are punct 2p si dat pe segmentul .

Soluţie. Să diagramăm această funcție

Această funcție este continuă pe segmentul , adică pe un segment cu lungimea unei perioade, prin urmare poate fi extinsă într-o serie Fourier care converge către ea în fiecare punct al acestui segment. Folosind formula (2), găsim coeficientul acestei serii: .

Aplicăm formula de integrare pe părți și găsim și utilizăm formulele (3) și respectiv (4):

Înlocuind coeficienții în formula (1), obținem sau .

Această egalitate are loc în toate punctele, cu excepția punctelor și (punctele de lipire ale graficelor). În fiecare dintre aceste puncte, suma seriei este egală cu media aritmetică a valorilor sale limită din dreapta și din stânga, adică.

Să prezentăm un algoritm pentru extinderea funcțieiîntr-o serie Fourier.

Procedura generală de rezolvare a problemei puse este următoarea.