Este prezentată o metodă de integrare a unei integrale nedefinite pe părți. Sunt date exemple de integrale calculate prin această metodă. Sunt analizate exemple de soluții.

Conţinut

Vezi si: Metode de calcul a integralelor nedefinite
Tabelul integralelor nedefinite
Funcții elementare de bază și proprietățile lor

Formula de integrare pe părți este:
.

Metoda integrării pe părți constă în aplicarea acestei formule. În aplicarea practică, este de remarcat faptul că u și v sunt funcții ale variabilei de integrare. Fie ca variabila de integrare să fie notată cu x (simbol după semnul diferențial d la sfârșitul notației integrale). Atunci u și v sunt funcții ale lui x : u(x) și v(x) .
Apoi
, .
Și formula de integrare pe părți ia forma:
.

Adică, integrandul trebuie să fie format din produsul a două funcții:
,
dintre care unul îl notăm u: g(x) \u003d u, iar integrala trebuie calculată pentru celălalt (mai precis, trebuie găsită antiderivată):
, atunci dv = f(x) dx .

În unele cazuri f(x) = 1 . Adică în integrală
,
putem pune g(x) = u, x = v .

rezumat

Deci, în această metodă, formula de integrare pe părți ar trebui reținută și aplicată în două forme:
;
.

Integrale calculate prin integrare pe părți

Integrale care conțin funcții logaritmice și trigonometrice inverse (hiperbolice).

Integralele care conțin logaritmul și funcțiile trigonometrice sau hiperbolice inverse sunt adesea integrate prin părți. În acest caz, partea care conține funcțiile logaritmice sau trigonometrice inverse (hiperbolice) se notează cu u, partea rămasă - cu dv.

Iată exemple de astfel de integrale, care sunt calculate prin metoda integrării pe părți:
, , , , , , .

Integrale care conțin produsul unui polinom și sin x, cos x sau e x

Conform formulei de integrare a părților, integralele formei se găsesc:
, , ,
unde P(x) este un polinom în x . În integrare, polinomul P(x) este notat cu u , iar e ax dx , cos ax dx sau sin ax dx- prin dv.

Iată exemple de astfel de integrale:
, , .

Exemple de calculare a integralelor prin metoda integrării pe părți

Exemple de integrale care conțin funcții logaritmice și trigonometrice inverse

Exemplu

Calculați integrala:

Soluție detaliată

Aici integrandul conține logaritmul. Efectuarea de substituții
u= ln x,
dv=x 2dx.
Apoi
,
.

Calculăm integrala rămasă:
.
Apoi
.
La sfârșitul calculelor, este imperativ să adăugați constanta C, deoarece integrala nedefinită este mulțimea tuturor antiderivatelor. Ar putea fi adăugat și în calcule intermediare, dar acest lucru ar aglomera calculele.

Soluție mai scurtă

Este posibil să prezentați soluția într-o versiune mai scurtă. Pentru a face acest lucru, nu trebuie să faceți substituții cu u și v, dar puteți grupa factorii și puteți aplica formula de integrare pe părți în a doua formă.

.

Alte exemple

Exemple de integrale care conțin produsul unui polinom și sin x, cos x sau ex

Exemplu

Calculați integrala:
.

Introducem exponentul sub semnul diferential:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Ne integrăm pe părți.
.
De asemenea, folosim metoda integrării prin părți.
.
.
.
În sfârșit avem.

Această metodă se bazează pe următoarea formulă: (*)

Lăsa Și sunt funcții ale lui x care au derivate continue și .

Se știe că sau ; sau .

Integrale și , deoarece prin presupunere funcțiile u și v sunt diferențiabile și deci continue.

Formula (*) se numește formula de integrare pe părți.

Metoda bazată pe aplicarea sa se numește metoda integrării pe părți.

Reduce calculul la calculul unei alte integrale: .

Aplicarea metodei integrării pe părți constă în faptul că sub expresia integrală a unei integrale date se încearcă să reprezinte sub forma unui produs, unde și sunt unele funcții ale lui x, iar aceste funcții sunt alese astfel încât a fost mai ușor de calculat decât integrala inițială. Când să calculezi găsit anterior și .

(ca „v” luăm unul dintre antiderivatele originale găsite din dv, prin urmare, în viitor, când calculăm „v”, vom omite constanta C în notație).

Cometariu. La factorizarea sub expresia integrală, trebuie să înțelegeți ce și ar trebui să conțină.

Din păcate, este imposibil să se dea reguli generale pentru factorizarea expresiei integrale în factori „u” și „dv”. Acest lucru poate fi predat printr-o practică multă și atentă.

Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că a fost mai simplă decât integrala originală.

Exemplul 6.6.22.

Uneori, pentru a obține rezultatul final, regula integrării pe părți se aplică succesiv de mai multe ori.

Metoda de integrare pe părți este convenabilă de utilizat, desigur, nu de fiecare dată, iar capacitatea de utilizare depinde de experiență.

Când se calculează integralele, este important să se stabilească corect ce metodă de integrare ar trebui utilizată (ca și în exemplul anterior, înlocuirea trigonometrică duce la obiectiv mai rapid).

Luați în considerare cele mai comune integrale care sunt calculate prin integrare pe părți.

1.Integrale ale formei :

unde este un polinom întreg (în raport cu x); a este un număr constant.

Dacă produsul unei funcții trigonometrice sau exponențiale este unul algebric sub semnul integral, atunci funcția algebrică este de obicei luată pentru „u”.

Exemplul 6.6.23.

Rețineți că o altă defalcare în factori: nu duce la obiectiv.

Demonstrat
.

Obținem o integrală mai complexă.

2.Integrale ale formei :

unde este un polinom.

Dacă semnul integral este produsul logaritmului unei funcții sau al unei funcții trigonometrice inverse de una algebrică, atunci funcțiile ar trebui luate ca „u”.

Exemplul 6.6.23.

3.Integrale de forma:

Aici puteți folosi oricare dintre cele 2 defalcări posibile ale expresiei integrale în factori: pentru „u” puteți lua ambele și .

Mai mult, calculul unor astfel de integrale folosind metoda integrării pe părți duce la integrala originală, adică se obține o ecuație față de integrala dorită.

Exemplul 6.6.24 Calculați .

.

La integrare este adesea necesară aplicarea succesivă a metodei substituției și a metodei integrării pe părți.

Exemplul 6.6.25.

Integrarea unor funcții care conțin un trinom pătrat

1)

.

iar acestea sunt integrale tabulare.

2) coeficienții numărului real

la numărător selectăm derivata numitorului.

a,b,c sunt numere reale

A) ; atunci noi avem:

b) . În acest caz, are sens să se ia în considerare numai atunci când discriminant trinom pozitiv:

Acum avem:

Cometariu. În practică, de obicei nu folosesc rezultate gata făcute, dar preferă să efectueze din nou calcule similare de fiecare dată.

Exemplu.

4)

Transformăm numărătorul astfel încât derivata trinomului pătrat să poată fi extrasă din el:

Datorită faptului că, în practică, nu există o metodă generală convenabilă pentru calcularea integralelor nedefinite, împreună cu metode particulare de integrare (vezi prelegerea anterioară), trebuie să luăm în considerare și metode pentru integrarea unor clase particulare de funcții, ale căror integrale sunt des întâlnite în practică.

Cea mai importantă clasă dintre ele este clasa funcțiilor raționale.

„Integrarea funcțiilor fracționale-raționale”

Integrarea unei fracții raționale propriu-zise se bazează pe extinderea unei fracții raționale într-o sumă de fracții elementare.

Fracțiile elementare (simple) și integrarea lor.

Definiție. Fracții de formă: ; (1)

(2), unde

(adică rădăcinile trinomului sunt complexe), se numesc elementare.

Luați în considerare integrarea fracțiilor elementare

2)

(unde lasă).

Calculăm integrala

(*)

Ultima integrală este calculată folosind o formulă recursivă.

Uneori, integrarea pe părți vă permite să obțineți relația dintre o integrală nedefinită care conține gradul unei anumite funcții și o integrală similară, dar cu un exponent mai mic al aceleiași funcții. Astfel de relații se numesc formule recursive.

Notează prin .

Avem:

În ultima integrală punem:

De aceea

Unde

Astfel, am ajuns la o formulă recursivă: a cărei aplicare repetată duce în cele din urmă la integrala „tabelului”:

Apoi, în loc de „t” și „k” le înlocuim valorile.

Exemplul 6.6.26.

(după formula de recurență).=

.

O fracție rațională este o funcție reprezentabilă sub formă ; unde și sunt polinoame cu coeficienți reali.

O fracție rațională este numită proprie dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului.

Orice fracție rațională proprie poate fi reprezentată ca suma unui număr finit de fracții elementare.

Descompunerea unei fracții proprii în fracții elementare este determinată de următoarea teoremă, pe care o considerăm fără demonstrație.

Teorema . Dacă fracţiunea - corect și, (unde trinomul nu are rădăcini reale), atunci identitatea este adevărată:

(eu)

Rețineți că fiecare rădăcină reală, de exemplu a, a multiplicității „ ” a polinomului din această expansiune corespunde sumei fracțiilor elementare de forma (1) și fiecărei perechi de rădăcini conjugate complexe și (astfel încât ) de multiplicitate „ ” corespunde sumei fracțiilor elementare de forma (2).

Pentru a efectua expansiunea (I), trebuie să învățați cum să determinați coeficienții .

Există diferite moduri de a le găsi. Vom lua în considerare metoda coeficienților nedeterminați și metoda valorilor parțiale.

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Buna din nou. Astăzi, în lecție, vom învăța cum să integrăm pe părți. Metoda de integrare pe părți este una dintre pietrele de temelie ale calculului integral. La test, examen, studentului i se oferă aproape întotdeauna să rezolve integrale de următoarele tipuri: integrala cea mai simplă (vezi articolul) sau o integrală pentru a schimba variabila (vezi articolul) sau integrala doar pe metoda de integrare pe părți.

Ca întotdeauna, la îndemână ar trebui să fie: Tabelul integralelorȘi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, vă rugăm să vizitați depozitul site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul într-un mod consistent, simplu și accesibil; nu există dificultăți deosebite în integrarea pe părți.

Ce problemă rezolvă integrarea pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă, vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel, muncă funcții, iar în unele cazuri - și private. După cum ne amintim, nu există o formulă convenabilă: . Dar există acesta: este formula de integrare pe părți în persoană. Știu, știu, ești singurul - cu ea vom lucra toată lecția (este deja mai ușor).

Și imediat lista în studio. Integralele de următoarele tipuri sunt luate pe părți:

1) , , - logaritm, logaritm înmulțit cu un polinom.

2) ,este o funcție exponențială înmulțită cu un polinom. Aceasta include, de asemenea, integrale precum - o funcție exponențială înmulțită cu un polinom, dar în practică este de 97 la sută, o literă drăguță „e” se etalează sub integrală. ... articolul se dovedește a fi ceva liric, ah da... a venit primăvara.

3) , , sunt funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.

4) , - funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri”, înmulțite cu un polinom.

De asemenea, unele fracții sunt luate în părți, vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare în detaliu.

Integrale ale logaritmilor

Exemplul 1

Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este de dorit să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are beriberi în primăvară și va certa mult. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula de integrare pe părți:

Formula se aplică de la stânga la dreapta

Ne uităm la partea stângă:. Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare), ceva trebuie notat cu , iar ceva cu .

În integralele de tipul luat în considerare, notăm întotdeauna logaritmul.

Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum urmează, scriem în coloană:

Adică, pentru că am notat logaritmul, iar pentru - partea rămasă integrand.

Pasul următor: găsiți diferența:

Diferența este aproape aceeași cu derivata, am discutat deja cum să o găsim în lecțiile anterioare.

Acum găsim funcția . Pentru a găsi funcția este necesar să se integreze partea dreapta egalitate mai mica:

Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: .
Apropo, iată un exemplu de soluție finală cu câteva note:

Singurul moment din produs, am rearanjat imediat și, deoarece este obișnuit să scrieți multiplicatorul înainte de logaritm.

După cum puteți vedea, aplicarea formulei de integrare pe părți a redus soluția noastră la două integrale simple.

Vă rugăm să rețineți că în unele cazuri imediat dupa aplicarea formulei, se realizează în mod necesar o simplificare sub integrala rămasă - în exemplul luat în considerare, am redus integrandul cu „x”.

Hai să facem o verificare. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați derivata răspunsului:

Integrandul original a fost obținut, ceea ce înseamnă că integrala a fost rezolvată corect.

În timpul verificării, am folosit regula de diferențiere a produsului: . Și asta nu este o coincidență.

Formula de integrare prin părți si formula Acestea sunt două reguli reciproc inverse.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită.

Integrandul este produsul dintre logaritm și polinom.
Noi decidem.

Voi descrie din nou în detaliu procedura de aplicare a regulii, în viitor exemplele vor fi făcute mai pe scurt și, dacă întâmpinați dificultăți în a o rezolva singur, trebuie să reveniți la primele două exemple ale lecției. .

După cum sa menționat deja, pentru că este necesar să se desemneze logaritmul (faptul că este într-un grad nu contează). Notăm partea rămasă integrand.

Scriem într-o coloană:

Mai întâi găsim diferența:

Aici folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe . Nu întâmplător, chiar la prima lecție a subiectului Integrală nedefinită. Exemple de soluții M-am concentrat pe faptul că, pentru a stăpâni integralele, trebuie să „puneți mâna” pe derivate. Derivatele vor trebui să se confrunte de mai multe ori.

Acum găsim funcția , pentru aceasta integrăm partea dreapta egalitate mai mica:

Pentru integrare, am aplicat cea mai simplă formulă tabelară

Acum sunteți gata să aplicați formula . Îl deschidem cu un „asterisc” și „proiectăm” soluția în conformitate cu partea dreaptă:

Sub integrală, avem din nou un polinom pe logaritm! Prin urmare, soluția se întrerupe din nou și se aplică a doua oară regula integrării pe părți. Nu uitați că pentru în situații similare logaritmul este întotdeauna notat.

Ar fi bine dacă în acest moment ați fi capabil să găsiți pe cale orală cele mai simple integrale și derivate.

(1) Nu vă încurcați în semne! Foarte des se pierde aici un minus, de asemenea, rețineți că se aplică minusul pentru toti paranteză , iar aceste paranteze trebuie deschise corect.

(2) Extindeți parantezele. Simplificam ultima integrala.

(3) Luăm ultima integrală.

(4) „Păptănând” răspunsul.

Necesitatea de a aplica regula integrării pe părți de două ori (sau chiar de trei ori) nu este neobișnuită.

Și acum câteva exemple pentru o soluție independentă:

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită.

Acest exemplu se rezolva prin metoda schimbarii variabilei (sau subsumarea semnului diferential)! Și de ce nu - poți încerca să-l iei pe părți, obții un lucru amuzant.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită.

Dar această integrală este integrată de părți (fracția promisă).

Acestea sunt exemple de auto-rezolvare, soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Se pare că în exemplele 3,4 integranții sunt similari, dar metodele de rezolvare sunt diferite! Aceasta este tocmai principala dificultate în stăpânirea integralelor - dacă alegeți metoda greșită de rezolvare a integralei, atunci vă puteți juca cu ea ore întregi, ca într-un puzzle adevărat. Prin urmare, cu cât rezolvi mai multe integrale, cu atât mai bine, cu atât testul și examenul vor fi mai ușor. În plus, în al doilea an vor exista ecuații diferențiale, iar fără experiență în rezolvarea integralelor și derivatelor nu este nimic de făcut acolo.

Prin logaritmi, poate mai mult decât suficient. Pentru o gustare, îmi pot aminti și că studenții de la tehnologie numesc sânii feminini logaritmi =). Apropo, este util să cunoaștem pe de rost graficele principalelor funcții elementare: sinus, cosinus, arc tangentă, exponent, polinoame de gradul trei, al patrulea etc. Nu, desigur, un prezervativ pe un glob
Nu o să trag, dar acum vă veți aminti multe din secțiune Grafice și funcții =).

Integrale ale exponentului înmulțite cu polinom

Regula generala:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Folosind un algoritm familiar, integrăm pe părți:

Dacă aveți dificultăți cu integrala, atunci ar trebui să reveniți la articol Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Singurul lucru de făcut este să „pieptănați” răspunsul:

Dar dacă tehnica ta de calcul nu este foarte bună, atunci lăsați cea mai profitabilă opțiune ca răspuns. sau chiar

Adică exemplul se consideră rezolvat atunci când se ia ultima integrală. Nu va fi o greșeală, este o altă problemă pe care profesorul o poate cere să simplifice răspunsul.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Această integrală este integrată de două ori pe părți. O atenție deosebită trebuie acordată semnelor - este ușor să vă confundați în ele, ne amintim, de asemenea, că - o funcție complexă.

Nu sunt multe de spus despre expozant. Pot doar să adaug că exponențialul și logaritmul natural sunt funcții reciproc inverse, acesta sunt eu pe tema graficelor distractive ale matematicii superioare =) Stop-stop, nu vă faceți griji, lectorul este treaz.

Integrale ale funcțiilor trigonometrice înmulțite cu un polinom

Regula generala: reprezintă întotdeauna polinom

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită.

Integrarea pe părți:

Hmmm... și nimic de comentat.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

Un alt exemplu cu o fracție. Ca și în cele două exemple anterioare, un polinom este notat cu.

Integrarea pe părți:

Dacă aveți dificultăți sau neînțelegeri în găsirea integralei, atunci vă recomand să participați la lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Sugestie: înainte de a utiliza metoda integrării prin părți, ar trebui să aplicați o formulă trigonometrică care transformă produsul a două funcții trigonometrice într-o singură funcție. Formula poate fi utilizată și în cursul aplicării metodei de integrare pe părți, cărora le este mai convenabil.

Asta, poate, este tot în acest paragraf. Dintr-un motiv oarecare, mi-am amintit o linie din imnul Departamentului de Fizică și Matematică „Și unda sinusoidală după val merge de-a lungul axei absciselor” ....

Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse.
Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse înmulțite cu un polinom

Regula generala: reprezintă întotdeauna funcția trigonometrică inversă.

Vă reamintesc că funcțiile trigonometrice inverse includ arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. De dragul conciziei, le voi numi „arcuri”

Metoda integrării pe părți este utilizată atunci când este necesară simplificarea integralei nedefinite existente sau reducerea acesteia la o valoare tabelară. Cel mai adesea, se folosește în cazul formulelor trigonometrice exponențiale, logaritmice, directe și inverse și al combinațiilor acestora în integrand.

Formula de bază necesară pentru a utiliza această metodă arată astfel:

∫ f (x) d x = ∫ u (x) d (v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x))

Înseamnă că mai întâi trebuie să reprezentăm expresia de sub integrală ca produs al funcției u (x) și diferențiala funcției v (x) . După aceea, calculăm valoarea funcției v (x) printr-o anumită metodă (cel mai des se folosește metoda integrării directe), iar expresiile rezultate sunt înlocuite în formula indicată, reducând integrala inițială la diferența u (x). ) v (x) - ∫ v (x) d(u(x)) . Integrala rezultată poate fi luată și folosind orice metodă de integrare.

Luați în considerare o problemă în care trebuie să găsiți setul de antiderivate ale funcției logaritm.

Exemplul 1

Calculați integrala nedefinită ∫ ln (x) d x .

Soluţie

Folosim metoda integrării pe părți. Pentru a face acest lucru, luăm ln (x) în funcție de u (x) , iar restul integrandului ca d (v (x)) . Ca rezultat, obținem că ln (x) d x = u (x) d (v (x)) , unde u (x) = ln (x) , d (v (x)) = d x .

Diferența funcției u(x) este d(u(x)) - u"(x)dx = dxx și funcția v(x) poate fi reprezentată ca v(x) = ∫ d(v(x)) = ∫ dx = x

Important: constanta C la calcularea funcţiei v (x) va fi considerată egală cu 0 .

Înlocuim ceea ce am obținut în formula de integrare pe părți:

∫ ln (x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = ln (x) x - ∫ x d x x = ln (x) x - ∫ d x \u003d ln (x) x - x + C 1 \u003d \u003d x (ln (x) - 1) + C

unde C \u003d - C 1

Răspuns:∫ ln (x) d x = x (ln (x) - 1) + C .

Cel mai dificil lucru în aplicarea acestei metode este alegerea ce parte a expresiei originale de sub integrală să ia ca u (x) și care - d (v (x)) .

Să ne uităm la câteva cazuri standard.

Dacă avem integrale de forma ∫ P n (x) e a x d x , ∫ P n (x) sin (a x) d x sau ∫ P n (x) cos (a x) d x , unde a este un coeficient și P n (x) ) este un polinom de grad n , atunci P n (x) ar trebui luată ca funcție u (x).

Exemplul 2

Aflați mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = (x + 1) sin (2 x) .

Soluţie

Putem lua integrala nedefinită ∫ (x + 1) sin (2 x) d x pe părți. Luăm x + 1 ca u (x) și sin (2 x) d x ca d (v (x)) , adică d (u (x)) = d (x + 1) = d x .

Folosind integrarea directă, obținem:

v (x) = ∫ sin (2 x) d x = - 1 2 cos (2 x)

Înlocuiți în formula pentru integrarea pe părți:

∫ (x + 1) sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = (x + 1) - 1 2 cos (2 x ) - ∫ - 1 2 cos (2 x) d x = = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 2 ∫ cos (2 x) d (x) = = - 1 2 (x + 1) cos ( 2 x) + 1 4 sin (2 x) + C

Răspuns:∫ (x + 1) sin (2 x) d x = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) + C .

Exemplul 3

Calculați integrala nedefinită ∫ (x 2 + 2 x) e x d x .

Soluţie

Luăm un polinom de ordinul doi x 2 + 2 x ca u (x) și d (v (x)) - e x d x .

∫ x 2 + 2 x e x d x = u (x) = x 2 + 2 x , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = (2 x + 2) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = (x 2 + 2 x) e x - ∫ (2 x + 2) e x d x

La ceea ce am făcut, trebuie să aplicăm din nou metoda integrării pe părți:

∫ (2 x + 2) e x d x = (x 2 + 2 x) e x - ∫ 2 x + 2 e x d x = = u (x) = (2 x + 2) , d (v (x)) = e x d x d (u ( x)) = 2 d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = (x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ v (x) d (u (x)) = = ( x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ 2 e x d x = = (x 2 + 2 x - 2 x - 2) e x + 2 ∫ e x d x = (x 2 - 2) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

Răspuns:∫ (x 2 + 2 x) e x d x = x 2 e x + C .

Exemplul 4

Calculați integrala ∫ x 3 cos 1 3 x d x .

Soluţie

Conform metodei de integrare pe părți, luăm u (x) = x 3 și d (v (x)) = cos 1 3 x d x .

În acest caz, d (u (x)) = 3 x 2 d x și v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x .

Acum înlocuim expresiile obținute în formula:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u)) = = x 3 3 sin 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x

Avem o integrală nedefinită, care din nou trebuie luată în părți:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u (x) = x 2, d (v (x)) = sin 1 3 x d x d (u (x) )) = 2 x d x , v (x) = ∫ sin 1 3 x d x = - 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 - 3 x 2 cos 1 3 x - ∫ - 3 cos 1 3 x 2 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x

Efectuăm din nou integrarea parțială:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u (x) = x, d (v (x)) = cos 1 3 x d x d (u (x)) = d x , v (x) = ∫ cos 1 3 x - ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 - 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ sin 1 3 x d x = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 486 cos 1 3 x + C = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C

Răspuns:∫ x 3 cos 1 3 x d x = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C .

Dacă avem integrale de forma ∫ P n (x) ln (a x) d x , ∫ P n (x) a r c sin (a x) d x , ∫ P n (x) a r c cos (a x) d x , ∫ P n (x) ) a r c t g (a x) d x , ∫ P n (x) a r c c t g (a x) d x

atunci ar trebui să luăm ca u (x) funcțiile a r c t g (a x) , a r c c t g (x) , ln (a x) , a r c sin (a x) , a r cos (a x) .

Exemplul 5

Calculați mulțimea de antiderivate ale funcției (x + 1) ln (2 x) .

Soluţie

Luăm ln (2 x) ca u (x) și (x + 1) d x ca d (v (x)) . Primim:

d (u (x)) = (ln (2 x)) "d x = 1 2 x (2 x) " d x = d x x v (x) = ∫ (x + 1) d x = x 2 2 + x

Înlocuiți aceste expresii în formula:

∫ (x + 1) ln (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln (2 x) - ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x d x - ∫ d x = = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C

Răspuns:∫ (x + 1) ln (2 x) d x = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C .

Exemplul 6

Calculați integrala nedefinită ∫ x · a r c sin (2 x) d x .

Soluţie

Decidem ce parte să luăm pentru u (x) și ce parte pentru d (v (x)) . Conform regulii de mai sus, ca primă funcție, trebuie să luați a r c sin (2 x) și d (v (x)) = x d x . Primim:

d (u (x)) = (a r c sin (2 x) "d x = 2 x" d x 1 - (2 x) 2 = 2 d x 1 - (2 x) 2 , v (x) = ∫ x d x = x 2 2

Înlocuiți valorile din formula:

∫ x a r c sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - (2 x) 2 = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Ca urmare, am ajuns la următoarea egalitate:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Acum calculăm integrala rezultată ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 d x = - 1 2 1 4 - x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2x)

Aici puteți aplica metoda de integrare pe părți și obțineți:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2 x) = = u (x) = 1 4 - x 2 , d (v (x)) = d x d (u (x)) = 1 4 - x 2 "d x 2 1 4 - x 2 = - x d x 1 4 - x 2 , v (x) = ∫ d x = x = = - 1 2 u (x) v ( x) - ∫ v (x) d (u (x)) + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Acum egalitatea noastră arată astfel:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Vedem că integrala din dreapta este similară cu cea din stânga. O transferăm în altă parte și obținem:

2 ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2

unde C2 = C12

Să revenim la variabilele originale:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin (2 x) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C

unde C \u003d - C 2

Răspuns:∫ x a r c sin (2 x) d x = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C .

Dacă avem o integrală de forma ∫ e a x sin (b x) d x sau ∫ e a x cos (b x) d x în problemă, atunci orice funcție poate fi aleasă ca u (x).

Exemplul 7

Calculați integrala nedefinită ∫ e x · sin (2 x) d x .

Soluţie

∫ e x sin (2 x) d x = u (x) = sin (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = 2 cos (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = sin (2 x) e x - ∫ e x 2 cos 2 x d x = = sin (2 x) e x - 2 ∫ e x cos (2 x) d x = u (x) = cos (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = - 2 sin (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - ∫ (e x (- 2 sin (2 x) d x)) = = sin (2 x) e x = 2 cos (2 x ) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Ca rezultat, vom obține:

∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Vedem aceleași integrale în stânga și în dreapta, ceea ce înseamnă că putem aduce termeni similari:

5 ∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x ⇒ ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Răspuns: ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Acest mod de rezolvare este standard, iar în dreapta se obține adesea o integrală, care este identică cu cea originală.

Am examinat cele mai tipice sarcini în care puteți determina exact ce parte a expresiei să luați pentru d (v (x)) și care pentru u (x) . În alte cazuri, acest lucru trebuie determinat independent.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Integrală nedefinită

1 Integrală antiderivată și nedefinită 1

2Cele mai simple proprietăți ale integralei nedefinite. 3

Tabelul integralelor de bază 3

2.1 Tabel suplimentar de integrale 4

3 Schimbarea variabilei în integrală nedefinită 5

3.1Metoda de integrare a funcțiilor de forma și (a≠ 0). 6

4 Integrarea prin părți în integrala nedefinită 7

4.1 Metoda de integrare a funcțiilor formularului. 7

4.2 Metoda de integrare a funcțiilor de forma: 8

5 Integrarea fracțiilor raționale 8

5.1Metoda de integrare a celor mai simple fracții de al 4-lea tip. unsprezece

6 Integrarea expresiilor iraționale 12

6.1 Integrarea expresiilor trigonometrice 14

1. Antiderivată și integrală nedefinită

Rezolvați ecuația diferențială

pe interval , i.e. găsiți o funcție astfel încât . Deoarece , ecuația (1) poate fi rescrisă în diferențiale:

Orice soluție a unei astfel de ecuații se numește funcție antiderivată. Deci funcția este numită funcția antiderivată pe intervalul if for all . Cazurile și/sau nu sunt excluse. Este clar că dacă antiderivat, atunci și antiderivat. Sarcina noastră este să găsim toate soluțiile ecuației (1). Funcția a două variabile se numește soluția generală a ecuației (1) sau, cu alte cuvinte, integrală nedefinită funcții dacă, la înlocuirea oricărui număr, obținem o soluție particulară a ecuației (1) și orice soluție particulară a ecuației (1) se obține în acest fel.

Integrala nedefinită se notează cu . Funcția se numește integrand, diferențial se numește integrand și este semnul integralei (litera latină întinsă S, prima literă a cuvântului Sum este suma). Se pune întrebarea despre existența unei antiderivate și a unei integrale nedefinite. In sectiunea „Integrala definita”, § formula Newton-Leibniz, se va dovedi ca antiderivata unei functii continue exista intotdeauna.

Lema.Să fie identic pentru toți. Atunci este o constantă pe acest interval.

Dovada. Să notăm pentru orice punct. Să luăm un punct arbitrar și să aplicăm teorema lui Lagrange la diferența: pentru un anumit punct . De aici se demonstrează lema.□

Teorema despre antiderivate. Două antiderivate ale aceleiași funcții definite pe un interval diferă printr-o constantă.

Dovada. Fie și fie funcții antiderivate. Apoi de unde, după lemă -- constant. Prin urmare, . □

Consecinţă. Dacă este antiderivată a funcției, atunci .

Rețineți că dacă luăm nu un interval ca funcție ODZ, ci, de exemplu, un astfel de set deconectat ca unirea a două intervale , Acea orice functie a formei

are derivată zero și astfel lema și teorema antiderivative încetează să mai fie valabile în acest caz.

1. Cele mai simple proprietăți ale integralei nedefinite.

1. Integrala sumei este egală cu suma integralelor:

2. Constanta poate fi scoasă din semnul integral:

3. Derivata integralei este egala cu integrandul.

4. Diferenţiala de la integrală este egală cu integrandul.

5. (Schimbarea liniară a variabilelor) Dacă , Acea (Aici ).

Tabelul integralelor de bază

În special,

Pentru cazul excepțional avem:

1. Tabel suplimentar de integrale

1. Modificarea variabilei în integrala nedefinită

Să extindem definiția integralei nedefinite la un caz mai general: presupunem prin definiție . Astfel, de exemplu

Teorema. Fie o funcție diferențiabilă. Apoi

Dovada. Lăsa . Apoi

ceea ce urma să fie dovedit.□

În cazul particular când obținem o modificare liniară a variabilelor (vezi proprietatea 5, §1). Aplicarea formulei (1) „de la stânga la dreapta” va însemna o schimbare de variabilă. Aplicarea formulei (1) în sens invers, „de la dreapta la stânga” se numește intrare sub semnul diferențial.

Exemple. A.

1. Selectăm derivata trinomului pătrat la numărător:

3. Pentru a calcula prima integrală din (2), folosim intrarea sub semnul diferenţial:

Pentru a calcula a doua integrală, selectăm un pătrat complet într-un trinom pătrat și îl reducem la unul tabel printr-o schimbare liniară a variabilelor.

Integrale ale formei

Exemple

1. Integrarea pe părți în integrala nedefinită

Teorema. Pentru funcții diferențiabile și avem relația

Dovada. Integrarea părților stânga și dreaptă ale formulei , primim:

Deoarece prin definiție și , urmează formula (1).□

Exemplu.

Pentru a integra astfel de funcții, punem polinomul sub semnul diferențial și aplicăm formula de integrare pe părți. Procedura se repetă de k ori.

Exemplu.

1. Integrarea fracțiilor raționale

Fracția rațională se numește o funcție de forma , unde sunt polinoame. Dacă , atunci se numește o fracție rațională corect. Altfel, se numește gresit.

Următoarele fracții raționale sunt numite cele mai simple

(tipul 2)

(tip 3)

(tip 4) ,

Teorema 1. Orice fracție poate fi descompusă în suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise.

Dovada. Fie o fracție rațională improprie. Împărțiți numărătorul la numitorul cu un rest: Iată polinoame și Apoi

Fracția este corectă datorită inegalității. □

Teorema 2. Orice fracție rațională adecvată poate fi descompusă într-o sumă a celor mai simple.

Algoritm de descompunere.

a) Extindem numitorul unei fracții proprii într-un produs de polinoame ireductibile (liniare și pătratice cu discriminant negativ):

Aici și -- multiplicitățile rădăcinilor corespunzătoare.

b) Descompunem fracția în suma celor mai simple cu coeficienți nedeterminați după următoarele principii:

Facem acest lucru pentru fiecare factor liniar și pentru fiecare factor pătratic.

c) Expansiunea rezultată se înmulțește cu un numitor comun, iar coeficienții nedeterminați se găsesc din condiția ca părțile din stânga și din dreapta să fie identice. Lucrul cu o combinație a două metode

??? – fundamentarea algoritmului

Exemple. A. Descompune în suma celor mai simple

De aici rezultă că . Înlocuind în acest raport, găsim imediat . Asa de

B. Extindeți fracția rațională în suma celor mai simple. Expansiunea acestei fracții cu coeficienți nedeterminați are forma

Înmulțind cu un numitor comun, obținem raportul

Înlocuind aici , găsim unde . Înlocuind găsim . Echivalând coeficienții la , obținem sistemul

De aici și . Adunând egalitățile ultimului sistem, obținem și . Apoi Și

Prin urmare,

/**/ Sarcină. Generalizați rezultatul exemplului A și demonstrați egalitatea

1. Metoda de integrare a celor mai simple fracții de al 4-lea tip.

a) Separând derivata numitorului în numărător, extindem integrala la suma a două integrale.

b) Prima dintre integralele rezultate, după ce a fost introdusă sub semnul diferenţialului, va deveni tabulară.

c) În al doilea numitor, selectați pătratul complet și reduceți calculul la o integrală de forma . Aplicăm următoarea procedură recursivă acestei integrale

Aplicăm formula de integrare pe părți ultimei integrale:

Deci, dacă desemnăm , Acea

Aceasta este o formulă recursivă pentru calcularea integralelor având în vedere valoarea inițială .

Exemplu

1. Integrarea expresiilor iraționale

Integrale ale formei , unde m/n,...,r/s sunt numere raționale cu numitor comun k, sunt reduse la integrala unei funcții raționale prin modificare

Atunci esența expresiilor raționale, prin urmare, după substituție, obținem integrala fracției raționale:

Calculând această integrală (vezi par. 4) și făcând substituția inversă, obținem răspunsul.

În mod similar, integralele formei

unde ad-bc≠ 0 și k are aceeași semnificație ca mai sus, sunt reduse la integrale ale unei fracții raționale prin înlocuirea

Exemple. A. Calculați integrala

B. Calculați integrala

O metodă mai simplă de integrare (dar care necesită o presupunere) pentru aceeași funcție este aceasta:

1. Integrarea expresiilor trigonometrice

Integrale ale formei sunt reduse la integrale ale unei funcţii raţionale prin schimbarea universală

deci obținem integrala expresiei raționale

În cazuri speciale  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx și R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, este mai bine să folosiți substituții, respectiv .