Care este metoda de selectare a unui pătrat complet. Factorizarea polinoamelor. Metoda de selecție a pătratului complet. Combinație de metode. Metoda de conversie a numeratorului artificial

După cum am observat deja, în calculul integral nu există o formulă convenabilă pentru integrarea unei fracții. Și, prin urmare, se observă o tendință tristă: cu cât fracția este mai „sofisticată”, cu atât este mai dificil să găsești o integrală din ea. În acest sens, trebuie să apelezi la diverse trucuri, despre care vă voi povesti acum. Cititorii instruiți pot beneficia imediat cuprins:

• Metoda de însumare a semnului diferențial pentru cele mai simple fracții

Metoda de conversie a numeratorului artificial

Exemplul 1

Apropo, integrala considerată poate fi rezolvată prin metoda schimbării variabilei, notând, dar soluția se va scrie mult mai mult.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită. Verifică.

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Trebuie menționat că metoda de modificare a variabilei nu va mai funcționa aici.

Atentie, important! Exemplele nr. 1, 2 sunt tipice și sunt comune.... În special, astfel de integrale apar adesea în cursul rezolvării altor integrale, în special atunci când se integrează funcții iraționale (rădăcini).

Tehnica luată în considerare funcționează și în caz dacă gradul cel mai înalt al numărătorului este mai mare decât gradul cel mai înalt al numitorului.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită. Verifică.

Începem să ridicăm numărătorul.

Algoritmul pentru selectarea numărătorului este cam așa:

1) La numărător trebuie să mă organizez, dar acolo. Ce să fac? L-am pus intre paranteze si inmultesc cu:.

2) Acum încerc să deschid aceste paranteze, ce se întâmplă? ... Hmm ... deja mai bine, dar nu există două la început la numărător. Ce să fac? Trebuie să înmulțiți cu:

3) Extindeți din nou paranteze:. Și iată primul succes! S-a dovedit cel potrivit! Dar problema este că a apărut un termen în plus. Ce să fac? Pentru ca expresia să nu se schimbe, trebuie să adaug același lucru la construcția mea:
... Viața a devenit mai ușoară. Nu se poate organiza din nou la numărător?

4) Poți. Incercand: ... Extindeți parantezele celui de-al doilea termen:
... Îmi pare rău, dar de fapt am avut pasul anterior, nu. Ce să fac? Trebuie să înmulțiți al doilea termen cu:

5) Din nou, pentru verificare, extind parantezele în al doilea termen:
... Acum e în regulă: obținut din construcția finală a punctului 3! Dar din nou există un mic „dar”, a apărut un termen în plus, ceea ce înseamnă că trebuie să adaug la expresia mea:

Dacă totul este făcut corect, atunci când extindem toate parantezele, ar trebui să obținem numărătorul original al integrandului. Verificăm:
Bun.

În acest fel:

Gata. În ultimul termen, am aplicat metoda aducerii funcției sub diferenţial.

Dacă găsim derivata răspunsului și aducem expresia la un numitor comun, atunci obținem exact integrandul original. Metoda considerată de descompunere într-o sumă nu este altceva decât acțiunea inversă de a aduce expresia la un numitor comun.

Algoritmul pentru selectarea numărătorului în astfel de exemple este cel mai bine realizat pe o schiță. Cu unele abilități, va funcționa mental. Îmi amintesc de timpul record când am efectuat o potrivire pentru gradul 11, iar extinderea numărătorului a luat aproape două linii Verd.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită. Verifică.

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself.

Metoda de însumare a semnului diferențial pentru cele mai simple fracții

Trecem la luarea în considerare a următorului tip de fracții.
,,, (coeficienți și nu sunt egali cu zero).

De fapt, câteva cazuri cu arcsinus și arctangent au scăpat deja în lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită... Astfel de exemple sunt rezolvate prin metoda aducerii funcției sub semnul diferenţialului și integrării ulterioare folosind tabelul. Iată câteva exemple mai tipice cu logaritmi lungi și mari:

Exemplul 5

Exemplul 6

Aici este recomandabil să ridicați tabelul de integrale și să urmăriți prin ce formule și Cum se realizează transformarea. Notă, cum și de ce pătratele sunt evidențiate în aceste exemple. În special, în exemplul 6, mai întâi trebuie să reprezentați numitorul în formă , apoi aduceți-l sub semnul diferențial. Și toate acestea trebuie făcute pentru a utiliza formula tabelară standard .

Ce să urmărești, încearcă să rezolvi singur exemplele ## 7,8, mai ales că sunt destul de scurte:

Exemplul 7

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită:

Dacă puteți verifica și aceste exemple, atunci mare respect - abilitățile dvs. de diferențiere sunt la maxim.

Metoda de selecție a pătratului complet

Integrale ale formei, (coeficienții și nu sunt egali cu zero) se rezolvă prin metoda selectării unui pătrat plin, care a fost deja prezentat în lecție Transformări geometrice ale graficelor.

De fapt, astfel de integrale se reduc la una dintre cele patru integrale tabulare pe care tocmai le-am luat în considerare. Și acest lucru se realizează folosind formulele familiare pentru înmulțirea prescurtată:

Formulele sunt aplicate în această direcție, adică ideea metodei este de a organiza în mod artificial expresiile în numitor și apoi de a le transforma în consecință în oricare dintre ele.

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

Acesta este cel mai simplu exemplu în care cu termenul - coeficient unitar(nu un număr sau minus).

Ne uităm la numitor, aici totul se va reduce evident la un caz. Să începem conversia numitorului:

Evident, trebuie să adăugați 4. Și pentru ca expresia să nu se schimbe - aceleași patru și scădeți:

Acum puteți aplica formula:

După finalizarea conversiei MEREU este indicat să efectuați mișcarea inversă: totul este în regulă, nu există erori.

Designul final al exemplului în cauză ar trebui să arate cam așa:

Gata. Rezumând o funcție complexă „liberă” sub semnul diferențial:, în principiu, ar putea fi neglijată

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită:

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself, răspunsul este la sfârșitul tutorialului.

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită:

Ce să faci când există un minus în fața lui? În acest caz, trebuie să puneți minusul în afara parantezei și să aranjați termenii în ordinea de care avem nevoie:. Constant("Doi" în acest caz) Nu atingeți!

Acum adăugați unul în paranteze. Analizând expresia, ajungem la concluzia că trebuie să fim unul în spatele parantezei - adăugați:

Aici avem formula, aplicăm:

MEREU verificăm proiectul:
, care trebuia verificat.

Aspectul final al exemplului arată cam așa:

Complicarea sarcinii

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită:

Aici, cu termenul, nu mai este un coeficient unitar, ci un „cinci”.

(1) Dacă se găsește o constantă pentru, atunci o scoatem imediat din paranteză.

(2) În general, este întotdeauna mai bine să luați această constantă în afara integralei, astfel încât să nu vă stea în cale sub picioare.

(3) Evident, totul se va reduce la o formulă. Este necesar să înțelegeți termenul, și anume, să obțineți un „doi”

(4) Da,. Deci, adăugăm la expresie și scădem aceeași fracție.

(5) Acum selectați un pătrat complet. În cazul general, trebuie și să calculați, dar aici avem o formulă pentru logaritmul lung , și nu are sens să efectuați acțiunea, de ce - va deveni clar puțin mai jos.

(6) De fapt, puteți aplica formula , doar în loc de „x” avem, ceea ce nu anulează validitatea integralei tabelare. Strict vorbind, un pas a fost omis - înainte de integrare, funcția ar fi trebuit să fie plasată sub semnul diferenţialului: dar, după cum am observat de multe ori, acest lucru este adesea neglijat.

(7) În răspunsul de sub rădăcină, este de dorit să extindeți toate parantezele înapoi:

Greu? Aceasta nu este încă cea mai grea parte din calculul integral. Deși, exemplele luate în considerare nu sunt atât de complicate, deoarece necesită tehnici de calcul bune.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită:

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Există integrale cu rădăcini în numitor, care, folosind înlocuirea, se reduc la integrale de tipul considerat, puteți citi despre ele în articol Integrale complexe, dar este conceput pentru studenți cu înaltă pregătire.

Adunarea numărătorului sub semnul diferențial

Aceasta este partea finală a lecției, cu toate acestea, integralele de acest tip sunt destul de comune! Dacă oboseala s-a acumulat, poate e mai bine să o citești mâine? ;)

Integralele pe care le vom considera sunt asemănătoare integralelor din secțiunea precedentă, au forma: or (coeficienți și nu sunt egali cu zero).

Adică avem o funcție liniară în numărător. Cum se rezolvă astfel de integrale?

În această lecție, vom aminti toate metodele studiate anterior de factorizare a unui polinom în factori și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestora, în plus, vom studia o nouă metodă - metoda de alocare a unui pătrat complet și vom învăța cum să-l aplicăm la rezolvare. diverse probleme.

Subiect:Factorizarea polinoamelor

Lecţie:Factorizarea polinoamelor. Metoda de selecție a pătratului complet. Combinație de metode

Să ne amintim principalele metode de factorizare a unui polinom în factori care au fost studiate mai devreme:

Metoda de a scoate din paranteză factorul comun, adică un astfel de factor care este prezent în toți termenii polinomului. Să luăm în considerare un exemplu:

Amintiți-vă că un monom este produsul dintre grade și numere. În exemplul nostru, ambii membri au câteva elemente comune, identice.

Deci, să luăm factorul comun din paranteze:

;

Amintiți-vă că înmulțind multiplicatorul cu o paranteză, puteți verifica corectitudinea scăderii.

Metoda de grupare. Nu este întotdeauna posibil să scoateți un factor comun dintr-un polinom. În acest caz, trebuie să-i împărțiți membrii în grupuri, astfel încât în ​​fiecare grup să puteți scoate un factor comun și să încercați să-l despărțiți, astfel încât, după eliminarea factorilor din grupuri, să apară un factor comun pentru întreaga expresie și extinderea poate fi continuată. Să luăm în considerare un exemplu:

Să grupăm primul termen cu al patrulea, al doilea cu al cincilea și, respectiv, al treilea cu al șaselea:

Să scoatem factorii comuni în grupuri:

Expresia are un factor comun. Hai să-l scoatem:

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate. Să luăm în considerare un exemplu:

;

Să scriem expresia în detaliu:

Evident, avem în față formula pătratului diferenței, deoarece există suma pătratelor a două expresii și din aceasta se scade produsul lor dublat. Să restrângem după formula:

Astăzi vom învăța o altă metodă - metoda de selectare a unui pătrat complet. Se bazează pe formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței. Să le reamintim:

Formula pentru pătratul sumei (diferența);

Particularitatea acestor formule este că ele conțin pătratele a două expresii și produsul lor dublat. Să luăm în considerare un exemplu:

Să scriem expresia:

Deci prima expresie este aceasta, iar a doua este.

Pentru a compune formula pentru pătratul sumei sau al diferenței, produsul dublu al expresiilor nu este suficient. Trebuie adăugat și scăzut:

Să restrângem pătratul complet al sumei:

Să transformăm expresia rezultată:

Aplicăm formula pentru diferența de pătrate, amintim că diferența dintre pătratele a două expresii este produsul și suma prin diferența lor:

Deci, această metodă constă, în primul rând, în faptul că este necesar să se identifice expresiile a și b care se află în pătrat, adică să se determine ce pătrate ale expresiilor sunt în acest exemplu. După aceea, trebuie să verificați prezența unui produs dublat și, dacă nu este acolo, apoi adăugați și scădeți, semnificația exemplului nu se va schimba din aceasta, dar polinomul poate fi factorizat folosind formulele pentru pătrat. a sumei sau a diferenței și diferenței de pătrate, dacă există o astfel de posibilitate.

Să trecem la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1 - factorizați:

Să găsim expresii care sunt la pătrat:

Să scriem care ar trebui să fie produsul lor dublat:

Adăugați și scădeți de două ori produsul:

Să restrângem pătratul complet al sumei și să dăm altele similare:

Să scriem formula pentru diferența de pătrate:

Exemplul 2 - Rezolvați ecuația:

;

Există un trinom în partea stângă a ecuației. Trebuie să luăm în calcul. Folosim formula pentru pătratul diferenței:

Avem pătratul primei expresii și produsul dublat, lipsește pătratul celei de-a doua expresii, se adună și se scade:

Să îndoim un pătrat întreg și să dăm termeni similari:

Să aplicăm formula pentru diferența de pătrate:

Deci, avem ecuația

Știm că produsul este zero numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero. Pe această bază, compunem ecuațiile:

Să rezolvăm prima ecuație:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Răspuns: sau

;

Procedăm în mod similar cu exemplul anterior - selectați pătratul diferenței.

Definiție

Expresiile de forma 2 x 2 + 3 x + 5 se numesc trinom pătrat. În cazul general, un trinom pătrat este o expresie de forma a x 2 + b x + c, unde a, b, c a, b, c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Se consideră un trinom pătrat x 2 - 4 x + 5. Să o scriem sub această formă: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Adăugați 2 2 la această expresie și scădeți 2 2, obținem: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Rețineți că x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, deci x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 ... Transformarea pe care am făcut-o se numește „Selectarea unui pătrat complet dintr-un trinom pătrat”.

Completează pătratul din trinomul pătrat 9 x 2 + 3 x + 1.

Rețineți că 9 x 2 = (3 x) 2, `3x = 2 * 1/2 * 3x`. Apoi `9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1`. Adăugați și scădeți la expresia rezultată `(1/2) ^ 2`, obținem

`((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1- (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3 / 4`.

Să arătăm cum se aplică metoda de separare a unui pătrat complet de un trinom pătrat pentru a factoriza un trinom pătrat.

Factorizați trinomul pătrat 4 x 2 - 12 x + 5.

Alocați un pătrat complet dintr-un trinom pătrat: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Acum aplicăm formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), obținem: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1).

Factorizați pătratul cu trei termeni - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Acum observați că 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x · 2.

Adăugați termenul 2 2 la expresia 9 x 2 - 12 x, obținem:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2.

Aplicăm formula pentru diferența de pătrate, avem:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

Factorizați pătratul cu trei termeni 3 x 2 - 14 x - 5.

Nu putem reprezenta expresia 3 x 2 ca pătratul unei expresii, pentru că nu am studiat încă acest lucru la școală. Veți trece prin asta mai târziu și deja în Sarcina 4 vom studia rădăcinile pătrate. Să arătăm cum puteți factoriza un trinom pătrat dat:

`3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14 / 3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3) ) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7 / 3-8 / 3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.

Să arătăm cum se utilizează metoda de selectare a unui pătrat complet pentru a găsi cele mai mari sau mai mici valori ale unui trinom pătrat.
Se consideră un trinom pătrat x 2 - x + 3. Selectați un pătrat complet:

`(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2- (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11 / 4`. Rețineți că pentru `x = 1 / 2`, valoarea trinomului pătrat este` 11 / 4`, iar pentru `x! = 1 / 2`, se adaugă un număr pozitiv la valoarea lui` 11 / 4`, deci obținem un număr mai mare decât `11 / 4`. Astfel, cea mai mică valoare a trinomului pătrat este `11 / 4` și se obține când` x = 1 / 2`.

Aflați cel mai mare trinom pătrat - 16 2 + 8 x + 6.

Completează pătratul din trinomul pătrat: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

Cu `x = 1 / 4`, valoarea trinomului pătrat este 7, iar cu` x! = 1 / 4`, din numărul 7 se scade un număr pozitiv, adică obținem un număr mai mic decât 7. Astfel, numărul 7 este cea mai mare valoare a trinomului pătrat și se obține atunci când `x = 1 / 4`.

Factorizați numărătorul și numitorul fracției `(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)` și anulați fracția respectivă.

Rețineți că numitorul fracției x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Să factorizăm numărătorul fracției folosind metoda de extragere a unui pătrat complet dintr-un trinom pătrat. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3).

Această fracție a fost adusă la forma `((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2` după reducerea cu (x - 3) obținem` (x + 5) / (x-3 ) `.

Factorizați polinomul x 4 - 13 x 2 + 36.

Să aplicăm metoda completă de selecție a pătratului acestui polinom. `x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = `

Capacitatea de a efectua această procedură este extrem de necesară în multe subiecte de matematică legate de trinom pătrattopor 2 + bx + c ... Cel mai comun:

1) Desenarea parabolelor y= topor 2 + bx+ c;

2) Rezolvarea multor sarcini pentru un trinom pătratic (ecuații și inegalități pătratice, probleme cu parametrii etc.);

3) Lucrul cu unele funcții care conțin un trinom pătrat, precum și lucrul cu curbe de ordinul doi (pentru elevi).

Un lucru util, pe scurt! Aplicați pentru primii cinci? Atunci stăpânește-l!)

Ce înseamnă să selectezi pătratul complet al unui binom într-un trinom pătrat?

Această sarcină înseamnă că trinomul pătrat original trebuie transformat cu ajutorul acestei forme:

Număr A ce este în stânga, ce este în dreapta - la fel... coeficientul X pătrat. Prin urmare, este indicat o scrisoare... Dreapta înmulțită cu pătratul parantezelor. În paranteze se află chiar binomul, care este discutat în acest subiect. Suma unui x pur și a unui număr m... Da, vă rog să fiți atenți, exact x pur! Este important.

Dar literele mși nîn dreapta – unele nou numerele. Ce vom obține în urma transformărilor noastre. Ele se pot dovedi a fi pozitive, negative, întregi, fracționate - tot felul! Veți vedea singur în exemplele de mai jos. Aceste numere depind din coeficiențiA, bșic... Au propriile lor formule generale speciale. Destul de greoaie, cu fracții. Prin urmare, nu le voi da chiar aici și acum. De ce mințile voastre strălucitoare au nevoie de gunoi suplimentar? Da, și nu este interesant. Să lucrăm creativ.)

Ce trebuie să știi și să înțelegi?

În primul rând, trebuie să știi pe de rost. Cel puțin doi dintre ei - pătratul sumeiși diferenta la patrat.

Pe aceștia:

Fără această pereche de formule - nicăieri. Nu numai în această lecție, ci în aproape toate celelalte matematice în general. Aluzia este clară?)

Dar formulele memorate mecanic nu sunt suficiente aici. Încă mai trebuie să faci competență să poată aplica aceste formule... Și nu atât direct, de la stânga la dreapta, ci invers, de la dreapta la stânga... Acestea. să poată descifra pătratul sumei/diferenței cu trinomul pătrat original... Aceasta înseamnă că ar trebui să recunoașteți ușor, automat, egalități de tipul:

X 2 +4 X+4 = (X+2) 2

X 2 -10 X+25 = (X-5) 2

X 2 + X+0,25 = (X+0,5) 2

Nici tu nu te poți descurca fără această abilitate utilă... Așa că dacă ai probleme cu aceste lucruri simple, atunci închide această pagină. Este prea devreme pentru dvs. aici.) În primul rând, urmați linkul de mai sus. Ea este pentru tine!

Oh, ești în subiect de mult timp? Amenda! Apoi citește mai departe.)

Asa de:

Cum se selectează pătratul complet al unui binom într-un trinom pătrat?

Să începem cu unul simplu, desigur.

Nivelul 1. Coeficient la x2 este egal cu 1

Aceasta este cea mai simplă situație care necesită un minim de transformări suplimentare.

De exemplu, având în vedere un trinom pătrat:

X 2 + 4x + 6

În exterior, expresia este foarte asemănătoare cu pătratul sumei. Știm că pătratul sumei conține pătratele pure ale primei și celei de-a doua expresii ( A 2 și b 2 ), precum și produsul dublat 2 ab tocmai aceste expresii.

Ei bine, avem deja pătratul primei expresii în forma sa pură. Acest X 2 ... De fapt, tocmai aici se află simplitatea exemplelor de acest nivel. Trebuie să obțineți pătratul celei de-a doua expresii b 2 ... Acestea. găsi b... Și va servi drept indiciu expresie cu x la gradul I, adică 4x... Dupa toate acestea 4x poate fi reprezentat ca produs dublu x pentru un doi. Ca aceasta:

4 X = 2 ́ X 2

Astfel, dacă 2 ab= 2X· 2și A= X, atunci b=2 ... Poti sa scrii:

X 2 + 4x + 6 = x 2 +2 ́ X2 + 2 2 ….

Asa de S.U.A. Vreau sa. Dar! Matematică Vreau esența expresiei originale din acțiunile noastre nu s-a schimbat... Așa funcționează. Am adăugat la produsul dublat 2 2 schimbând astfel expresia originală. Deci, ca să nu jignești matematica, acesta este 2 2 chiar acolo și la pachet... Ca aceasta:

… = X 2 +2 ́ X 2 + 2 2 -2 2 ….

Aproape tot. Rămâne doar să adăugați 6, în conformitate cu trei termeni inițiali. Cei șase nu au plecat nicăieri! Noi scriem:

= X 2 +2 ́ X2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

Acum primii trei termeni dau pur (sau - deplin) binom pătrat X+2 ... Sau (X+2) 2 ... Ceea ce încercăm să realizăm.) Nici măcar nu voi fi leneș și nu voi pune paranteze:

… = (X 2 +2 ́ X2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

Parantezele nu schimbă esența expresiei, dar sugerează clar ce, cum și de ce. Rămâne să împăturiți acești trei termeni într-un pătrat complet folosind formula, numărați coada rămasă în numere -2 2 +6 (va fi 2) și scrieți:

X 2 + 4x + 6 = (X+2) 2 +2

Tot. Noi izolat pătratul dintre paranteze (X+2) 2 din trinomul pătrat original X 2 + 4x + 6... A transformat-o într-o sumă un binom pătrat complet (X+2) 2 și un număr constant (două). Și acum voi scrie întregul lanț al transformărilor noastre într-o formă compactă. Pentru claritate.

Și asta-i tot.) Acesta este punctul central al procedurii de selectare a unui pătrat complet.

Apropo, care sunt cifrele aici mși n? Da. Fiecare dintre ele este egal cu doi: m=2, n=2 ... Așa s-a întâmplat în timpul selecției.

Alt exemplu:

Selectați pătratul complet al binomului:

X 2 -6x + 8

Și din nou, prima vedere - la termenul cu x. Transformăm 6x într-un produs dublu de x și trei. Înainte dublat - minus. Prin urmare, selectăm diferenta la patrat... Adunăm (pentru a obține un pătrat complet) și imediat scădem (pentru a compensa) cele trei din pătrat, adică. 9. Ei bine, să nu uităm de cele opt. Primim:

Aici m=-3 și n=-1 ... Ambele sunt negative.

Înțelegi principiul? Apoi a venit rândul stăpânului și algoritm general... Totul este la fel, dar prin scrisori... Deci, înaintea noastră este un trinom pătrat X 2 + bx+ c (A=1) ... Ce facem:

bx b /2 :

b Cu.

Este clar? Primele două exemple au fost foarte simple, cu numere întregi. Pentru cunoștință. Este mai rău când fracțiile ies în proces de transformări. Principalul lucru aici este să nu-ți fie frică! Și ca să nu-ți fie frică, trebuie să cunoști acțiunile cu fracții, da...) Dar aici este al cincilea nivel, nu-i așa? Ne complicăm sarcina.

Să presupunem că este dat următorul trei termeni:

X 2 + x + 1

Cum se organizează pătratul sumei în acest triplu? Nici o problema! Similar... Lucrăm punct cu punct.

1. Ne uităm la termenul cu x în gradul întâi ( bx) și transformați-l în produsul dublu al lui x cub /2 .

Termenul nostru X este pur și simplu X. Și ce dacă? Cum putem transforma un X singuratic într-un X produs dublu? E foarte simplu! Direct conform instructiunilor. Ca aceasta:

Număr bîn termenul original - 1. Acesta este, b/2 se dovedește a fi fracțional. O jumatate. 1/2. Ei bine, bine. Nu este deja mic.)

2. Adaugă la produsul dublat și scade imediat pătratul numărului b/ 2. Adăugăm - pentru a completa un pătrat plin. Luăm - pentru compensare. La sfârșit, adăugați un termen liber Cu.

Noi continuăm:

3. Primii trei termeni sunt pliați în pătratul sumei / diferenței conform formulei corespunzătoare. Expresia rămasă în afară este calculată cu atenție în numere.

Separați primii trei termeni cu paranteze. Nu trebuie să-l despărțiți, desigur. Acest lucru se face doar pentru comoditatea și claritatea transformărilor noastre. Acum puteți vedea clar că întregul pătrat al sumei se află între paranteze (X+1/2) 2 ... Și tot ce rămâne în afara pătratului sumei (dacă numărați) dă +3/4. Terminați drept:

Răspuns:

Aici m=1/2 , A n=3/4 ... Numerele fracționale. S-a întâmplat. Am un astfel de trei membri...

Așa este tehnologia. Înțeles? Pot trece la nivelul următor?)

Nivelul 2. Coeficientul la x 2 nu este egal cu 1 - ce să faci?

Acesta este un caz mai general decât a = 1... Volumul de calcul este, desigur, în creștere. Supără, da... Dar curs general de soluțieîn general rămâne la fel. I se adaugă doar un nou pas. Asta ma face fericit.)

Deocamdată, luați în considerare un caz inofensiv, fără fracțiuni și alte capcane. De exemplu:

2 X 2 -4 X+6

Există un minus la mijloc. Prin urmare, vom potrivi diferența la pătrat. Dar coeficientul la pătratul lui x este doi. Și este mai ușor să lucrezi cu unul. Cu un x pur. Ce să fac? Și să-i scoatem pe acești doi din paranteză! Pentru a nu interveni. Avem dreptul! Primim:

2(X 2 -2 X+3)

Ca aceasta. Acum, cei trei termeni între paranteze - deja cu curat x pătrat! După cum este cerut de algoritmul de nivel 1. Și acum este deja posibil să lucrați cu acest nou trinom conform vechii scheme dovedite. Așa că acționăm. Să-l notăm separat și să-l transformăm:

X 2 -2 X+3 = X 2 -2 ·X1 + 1 2 -1 2 +3 = (X 2 -2 ·X1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (X-1) 2 +2

Jumătate din bătălie este încheiată. Rămâne să introduceți expresia rezultată în paranteze și să le extindeți înapoi. Se va dovedi:

2(X 2 -2 X+3) = 2((X-1) 2 +2) = 2(X-1) 2 +4

Gata!

Răspuns:

2 X 2 -4 X+6 = 2( X -1) 2 +4

Fixăm în cap:

Dacă coeficientul din pătratul lui x nu este egal cu unu, atunci scoatem acest coeficient din paranteze. Cu cei trei termeni rămânând în paranteze, lucrăm conform algoritmului obișnuit pentru A= 1. După ce am selectat un pătrat complet în el, lipim rezultatul în loc și deschidem parantezele exterioare înapoi.

Și dacă coeficienții b și c nu sunt divizibili în întregime cu a? Acesta este cel mai comun și, în același timp, cel mai rău caz. Atunci doar fracții, da... Nu e nimic de făcut. De exemplu:

3 X 2 +2 X-5

Totul este la fel, trimitem triplul în afara parantezei, obținem:

Din păcate, nici cei doi, nici cinci nu sunt complet împărțiți la trei, așa că coeficienții noului (redus) trei termeni sunt - fracționat... Ei bine, e în regulă. Lucrăm direct cu fracții: Două transforma treimi din x în dublat produsul lui x pe unu al treilea, adăugați pătratul unei treimi (adică 1/9), scădeți-l, scădeți 5/3 ...

În general, înțelegi ideea!

Luați o decizie, ceea ce este deja acolo. Ar trebui să ajungi cu:

Și încă o greblă. Mulți studenți se confruntă cu desăvârșire cu coeficienții întregi și chiar fracționali pozitivi, dar se agață de cei negativi. De exemplu:

- X 2 +2 X-3

Ce să faci cu minusul înainteX 2 ? În formula pentru pătratul sumei/diferenței, este nevoie de fiecare plus... Nicio întrebare! Tot la fel... Scoatem chiar acest minus din paranteză. Acestea. minus unu... Ca aceasta:

- X 2 +2 X-3 = -(X 2 -2 X+3) = (-1) (X 2 -2 X+3)

Și asta e tot. Și cu trei termeni între paranteze - din nou de-a lungul pistei moletate.

X 2 -2 X+3 = (X 2 -2 X+1) -1+3 = (X-1) 2 +2

Total, ținând cont de minus:

- X 2 +2 X-3 = -((X-1) 2 +2) = -(X-1) 2 -2

Asta e tot. Ce? Nu știi cum să pui minusul între paranteze? Ei bine, aceasta este o întrebare pentru algebra elementară din clasa a șaptea, nu pentru trinoamele pătrate...

Amintiți-vă: lucrul cu un coeficient negativ A este în mod inerent același cu lucrul cu pozitivul. Scoatem negativul Aîn afara parantezelor și apoi - conform tuturor regulilor.

De ce trebuie să poți selecta un pătrat complet?

Primul lucru util este să desenezi parabole rapid și fără erori!

De exemplu, o sarcină ca aceasta:

Trasează graficul unei funcții:y=- X 2 +2 X+3

Ce vom face? Construit prin puncte? Desigur că este posibil. Cu pași mici de-a lungul drumului lung. Destul de prost și neinteresant...

În primul rând, permiteți-mi să vă reamintesc că atunci când construiți orice parabole, îi prezentăm întotdeauna un set standard de întrebări. Sunt doi dintre ei. Și anume:

1) Unde sunt îndreptate ramurile parabolei?

2) În ce punct este vârful?

Cu direcția ramurilor, totul este clar direct din expresia originală. Ramurile vor fi dirijate jos, deoarece coeficientul înainteX 2 - negativ. Minus unu. Minus înainte de x pătrat mereu răstoarnă parabola.

Dar cu locația vârfului, totul nu este atât de evident. Există, desigur, o formulă generală pentru calcularea abscisei sale prin coeficienți Ași b.

Aceasta:

Dar nu toată lumea își amintește această formulă, o, nu toată lumea... Și 50% dintre cei care își amintesc se poticnesc pe teren plan și mormăie în aritmetică banală (de obicei când calculează un joc). E păcat, nu?)

Acum veți învăța cum să găsiți coordonatele vârfului oricărei parabole. în minteîntr-un minut! Atât x, cât și y. Într-o lovitură și fără nicio formulă. Cum? Prin selectarea unui pătrat complet!

Deci, să selectăm pătratul complet din expresia noastră. Primim:

y = -X 2 +2 X+3 = -(X-1) 2 +4

Cine cunoaște bine informațiile generale despre funcții și stăpânește bine subiectul " transformări grafice de funcții „, își va da seama cu ușurință că parabola noastră dorită este obținută dintr-o parabolă obișnuită y= X 2 folosind trei transformări. Acest:

1) Schimbarea direcției ramurilor.

Acest lucru este indicat de semnul minus în fața pătratului dintre paranteze ( a = -1). A fost y= X 2 , a devenit y=- X 2 .

Conversie: f ( X ) -> - f ( X ) .

2) Translația paralelă a parabolei y = - X 2 în x cu 1 unitate DREAPTA.

Așa iese programul intermediar y = - (X-1 ) 2 .

Conversie: - f ( X ) -> - f ( X + m ) (m = -1).

De ce este deplasarea la dreapta și nu la stânga, deși există un minus în paranteze? Aceasta este teoria transformărilor grafice. Acesta este un subiect separat.

Și, în sfârșit,

3) Transfer paralel parabole y = - ( X -1) 2 prin joc cu 4 unități UP.

Aceasta este parabola finală y = - (X-1) 2 +4 .

Conversie: - f ( X + m ) -> - f ( X + m )+ n (n = + 4)

Și acum ne uităm la lanțul nostru de transformări și ne gândim la el: unde se mișcă vârful paraboleiy= x 2 ? Era în punctul (0; 0), după prima transformare vârful nu s-a deplasat nicăieri (parabola tocmai s-a răsturnat), după a doua - s-a deplasat în jos cu x cu +1, iar după a treia - cu jocul cu +4. Vârful total a lovit punctul (1; 4) ... Acesta este tot secretul!

Poza va fi după cum urmează:

De fapt, tocmai din acest motiv v-am atras atât de persistent atenția asupra cifrelor. mși n obţinute în procesul de selectare a unui pătrat complet. Nu ai ghicit de ce? Da. Ideea este că punctul cu coordonate (- m ; n ) Este mereu vârful unei parabole y = A ( X + m ) 2 + n ... Ne uităm doar la numerele din ternarul transformat și în minte dăm răspunsul corect, unde este vârful. Convenabil, nu?)

Desenarea parabolelor este primul lucru de făcut. Să trecem la al doilea.

Al doilea lucru util este rezolvarea ecuațiilor pătratice și a inegalităților.

Da Da! În multe cazuri, selecția unui pătrat complet se dovedește a fi mult mai rapid si mai eficient metode tradiţionale de rezolvare a unor astfel de sarcini. Îndoială? Cu plăcere! Iată o sarcină pentru tine:

Rezolvați inegalitatea:

X 2 +4 X+5 > 0

Învățat? Da! Este clasic inegalitatea pătratului ... Toate aceste inegalități sunt rezolvate folosind algoritmul standard. Pentru asta avem nevoie de:

1) Faceți o ecuație a formei standard din inegalitate și rezolvați-o, găsiți rădăcinile.

2) Desenați axa X și marcați rădăcinile ecuației cu puncte.

3) Schițați parabola după expresia originală.

4) Definiți zonele +/- în imagine. Selectați zonele necesare conform inegalității inițiale și notați răspunsul.

De fapt, tot acest proces este enervant, da...) Și, în plus, nu te scutește întotdeauna de greșeli în situații non-standard, cum ar fi acest exemplu. Să încercăm mai întâi șablonul?

Deci, realizăm primul punct. Facem ecuația din inegalitatea:

X 2 +4 X+5 = 0

Ecuație pătratică standard, fără trucuri. Noi decidem! Considerăm discriminantul:

D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Doar acele vremuri! Iar discriminantul este negativ! Ecuația nu are rădăcini! Și nu este nimic de desenat pe axă... Ce să faci?

Aici, unii pot concluziona că inegalitatea inițială nici nu are solutii... Aceasta este o amăgire fatală, da... Dar prin selectarea unui pătrat întreg, răspunsul corect la această inegalitate poate fi dat într-o jumătate de minut! Îndoială? Ei bine, poți ține evidența timpului.

Deci, selectăm pătratul complet în expresia noastră. Primim:

X 2 +4 X+5 = (X+2) 2 +1

Inegalitatea inițială arată acum astfel:

(X+2) 2 +1 > 0

Și acum, fără a decide sau a transforma nimic în continuare, pur și simplu activăm logica elementară și ne dăm seama: dacă pătratul unei expresii (valoarea evident nenegativ!) mai adaugă unul, apoi ce număr obținem până la urmă? Da! Strict pozitiv!

Acum să ne uităm la inegalitatea:

(X+2) 2 +1 > 0

Traducem înregistrarea din limba matematică în rusă: sub care x este strict pozitiv exprimarea va fi strictă Mai mult zgârietură? Nu ai ghicit? Da! Cu orice!

Iată răspunsul: x - orice număr.

Acum să revenim la algoritm. Totuși, înțelegerea esenței și memorarea simplă prin memorare sunt lucruri diferite.)

Esența algoritmului este că facem o parabolă din partea stângă a inegalității standard și ne uităm unde este deasupra axei X și unde este dedesubt. Acestea. unde valorile pozitive sunt în stânga, unde negative.

Dacă facem o parabolă din partea stângă:

y =X 2 +4 X+5

Și îi vom desena graficul, apoi vom vedea asta toate parabola intreaga trece deasupra axei X. Poza va arăta astfel:

Parabola este strâmbă, da... De aceea este schematică. Dar, în același timp, tot ce avem nevoie este vizibil în imagine. Parabola nu are puncte de intersecție cu axa X, nu există valori zero ale jocului. Și, desigur, nu există nici valori negative. Care este afișat prin umbrirea întregii axe X ca întreg. Apropo, am descris aici axa Y și coordonatele vârfului pentru un motiv. Comparați coordonatele vârfului parabolei (-2; 1) și expresia noastră transformată!

y =X 2 +4 X+5 = ( X +2) 2 +1

Cum vă place? Da! În cazul nostru m=2 și n=1 ... Prin urmare, vârful parabolei are coordonatele: (- m; n) = (-2; 1) ... Totul este logic.)

O altă sarcină:

Rezolvați ecuația:

X 2 +4 X+3 = 0

Ecuație pătratică simplă. Puteți rezolva modul de modă veche,. Poți să treci. Cum doriți. Matematica nu se deranjează.)

Obținem rădăcinile: X 1 =-3 X 2 =-1

Și dacă nici una, nici alta... nu-ți amintești? Ei bine, un deuce strălucește pentru tine, pe cale amiabilă, dar... Așa să fie, te salvez! Permiteți-mi să vă arăt cum puteți rezolva unele ecuații pătratice numai prin metode din clasa a șaptea. Din nou selectați un pătrat complet!)

X 2 +4 X+3 = (X+2) 2 -1

Și acum descriem expresia rezultată ca... diferenta de patrate! Da, da, există unul în clasa a șaptea:

A 2 -b 2 = (a-b) (a + b)

În rol A parantezele ies în afară(X+2) , iar în rol b- unu. Primim:

(X+2) 2 -1 = (X+2) 2 -1 2 = ((X+2)-1)((X+2)+1) = (X+1)(X+3)

Inserăm această expansiune în ecuație în loc de trinomul pătratic:

(X+1)(X+3)=0

Rămâne să ne dăm seama că produsul factorilor este zero atunci și numai atunci, când oricare dintre ele este zero. Deci echivalăm (în minte!) Fiecare paranteză cu zero.

Primim: X 1 =-3 X 2 =-1

Asta e tot. Aceleași două rădăcini. Acesta este trucul inteligent. Pe lângă discriminant.)

Apropo, despre discriminant și formula generală pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

În lecția mea, derivarea acestei formule greoaie a fost omisă. Ca inutil. Dar aici îi aparține.) Vrei să știi cum se dovedește această formulă? De unde provine expresia pentru discriminant și de ce exactb 2 -4ac, si nu altfel? Totuși, o înțelegere completă a esenței a ceea ce se întâmplă este mult mai utilă decât mâzgălirea necugetată a oricăror litere și simboluri, nu-i așa?)

Al treilea lucru util este derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Începem! Luăm un trinom pătrat în formă generală topor 2 + bx+ cși… începem să selectăm un pătrat complet! Da, direct prin scrisori! Era aritmetică, acum - algebră.) Mai întâi, ca de obicei, executăm litera Aîn afara parantezei și toți ceilalți coeficienți sunt împărțiți la A:

Ca aceasta. Aceasta este o conversie perfect legală: A nu este egal cu zero, și puteți împărți cu el. Și din nou lucrăm cu paranteze conform algoritmului obișnuit: din termenul cu x facem un produs dublu, adunăm / scădem pătratul celui de-al doilea număr ...

Totul este la fel, dar cu litere.) Încercați să-l terminați singur! Sănătos!)

După toate transformările, ar trebui să obțineți asta:

Și de ce ar trebui să construim astfel de grămezi dintr-un trinom inofensiv - întrebați? Nimic, acum va fi interesant! Și acum, desigur, echivalăm acest lucru la zero:

O rezolvăm ca o ecuație obișnuită, lucrăm conform tuturor regulilor, numai cu litere... Facem elementare:

1) Mutați fracția mare la dreapta. La transfer, schimbăm plusul în minus. Pentru a nu trage un minus în fața fracției în sine, voi schimba pur și simplu toate semnele din numărător. În stânga, numărătorul era4ac-b 2 , iar după transferul va deveni -( 4ac-b 2 ) , adică b 2 -4 ac. Ceva familiar, nu crezi? Da! Cel discriminant, el este cel mai ...) Va fi așa:

2) Ștergem pătratul dintre paranteze din coeficient.Împărțim ambele părți în " A„. În stânga, în fața parantezelor, litera A dispare, iar în dreapta intră în numitorul unei fracții mari, transformându-l în 4 A 2 .

Rezultă această egalitate:

Ți-a mers prost? Atunci subiectul „” este pentru tine. Mergeți urgent acolo!

Urmatorul pas extrage rădăcina... Ne interesează X, nu? Și X-ul stă sub pătrat... Îl extragem conform regulilor de extragere a rădăcinilor, desigur. După extragere, obțineți asta:

În stânga este pătratul sumei dispare iar această sumă în sine rămâne. Ceea ce se cere.) Dar în dreapta apare plus minus... Pentru rulada noastră puternică, în ciuda aspectului său înfricoșător, este doar un număr... Număr fracționar. Dependent de coeficient A, b, c... În același timp, rădăcina numărătorului acestei fracții nu este extrasă frumos, există o diferență între cele două expresii. Și aici este rădăcina numitorului 4 A 2 destul de autoextractabil! Se va dovedi simplu 2 A.

Întrebare „delicată” de completat: am avut dreptul de a extrage rădăcina din expresie 4 A2, da un raspuns doar 2a? La urma urmei, regula de extracție rădăcină pătrată obligă să pună semnul modulului, i.e.2 | a | !

Gândiți-vă de ce am omis semnul modulului. Foarte folositor. Sugestie: răspunsul se află în semn plus minusînainte de fracțiune.)

Au mai rămas doar fleacuri. Oferim un X curat în stânga. Pentru a face acest lucru, mutați fracția mică la dreapta. Cu o schimbare de semn, ardeiul este limpede. Permiteți-mi să vă reamintesc că semnul dintr-o fracție poate fi schimbat oriunde și în orice mod. Vrem să schimbăm înaintea fracției, o vrem la numitor, o vrem la numărător. Voi schimba semnul în numărător... A fost + b, a devenit – b... Sper că nu există nicio obiecție?) După transfer, va deveni așa:

Adăugați două fracții cu aceiași numitori și obțineți (în sfârșit!):

Bine? Ce pot sa spun? Wow!)

Al patrulea lucru util - notă pentru studenți!

Și acum ne vom muta fără probleme de la școală la universitate. Credeți sau nu, este necesară și selecția unui pătrat complet la matematica superioară!

De exemplu, o sarcină ca aceasta:

Aflați integrala nedefinită:

Unde să încep? Aplicația directă nu se rulează. Doar selectarea unui pătrat complet salvează, da...)

Oricine nu știe cum să selecteze un pătrat complet se va agăța pentru totdeauna de acest exemplu simplu. Și cine știe cum, el alocă și primește:

X 2 +4 X+8 = (X+2) 2 +4

Și acum integrala (pentru cei care știu) este luată cu una rămasă!

Grozav, nu-i așa? Și acestea nu sunt doar integrale! Tac deja despre geometria analitică, cu ea curbe de ordinul doi – elipsa, hiperbola, parabola si cerc.

De exemplu:

Determinați tipul de curbă dat de ecuația:

X 2 + y 2 -6 X-8 y+16 = 0

Fără capacitatea de a selecta un pătrat complet, sarcina nu poate fi rezolvată, da... Dar un exemplu nu este nicăieri mai ușor! Pentru cei care sunt la subiect, desigur.

Grupați membrii cu X și cu jocul în grămezi și selectați pătrate complete pentru fiecare variabilă. Se va dovedi:

(X 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(X 2 -6x + 9) -9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(X-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(X-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Deci cum este? Ai aflat ce fel de fiară?) Ei bine, desigur! Un cerc cu rază este un triplet centrat în punctul (3; 4).

Și asta este tot.) Un lucru util este selectarea unui pătrat complet!)