Proprietățile funcției de putere. Funcție exponențială - proprietăți, grafice, formule. Numitorul exponentului fracționar este impar

Funcțiile y = ax, y = ax 2, y = a / x - sunt forme particulare ale funcției de putere pentru n = 1, n = 2, n = -1 .

Dacă n număr fracționar p/ q cu numitor par qși numărător impar R, apoi valoarea poate avea două semne, iar graficul are încă o parte în partea de jos a axei absciselor X, și este simetric față de partea de sus.

Vedem un grafic al unei funcții cu două valori y = ± 2x 1/2, adică. reprezentată printr-o parabolă cu axă orizontală.

Grafice de funcții y = xn la n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 ... Aceste grafice trec prin punctul (1; 1).

Când n = -1 primim hiperbolă... La n < - 1 graficul funcției de putere este situat mai întâi deasupra hiperbolei, adică. între x = 0și x = 1, și apoi mai jos (pentru x> 1). Dacă n> -1 graficul este inversat. Valori negative Xși valori fracționale n sunt similare pentru pozitiv n.

Toate graficele se apropie nelimitat de axa absciselor X, iar la axa ordonatelor la fără a le atinge. Datorită asemănării cu hiperbola, aceste grafice se numesc hiperbole. n al Ordin.

1. Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia;

2. Transformări:

transfer paralel;

Simetrie asupra axelor de coordonate;

Simetrie cu privire la origine;

Simetria cu privire la dreapta y = x;

Întindeți și micșorați de-a lungul axelor de coordonate.

3. Funcția exponențială, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare;

4. Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia;

5. Funcția trigonometrică, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Funcția: y = x \ n - proprietățile și graficul acesteia.

Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale unei funcții de putere, adică funcțiile y = x p, unde p este un număr real dat.
Proprietățile și graficul funcției de putere depind în esență de proprietățile puterii cu un exponent real și, în special, de ce valori Xși p are sens grad x p... Să trecem la o analiză similară a diferitelor cazuri, în funcție de
exponent p.

1. Indicator p = 2n- un număr natural par.

y = x 2n, Unde n- un număr natural, are următoarele proprietăți:

• domeniu de definiție - toate numerele reale, adică mulțimea R;
• setul de valori este numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
• funcţie y = x 2n chiar de atunci x 2n = (-x) 2n
• funcția este descrescătoare în interval X< 0 şi crescând în interval x> 0.

Graficul funcției y = x 2n are aceeași formă ca, de exemplu, un grafic al unei funcții y = x 4.

2. Indicator p = 2n - 1- număr natural impar

În acest caz, funcția de putere y = x 2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:

• domeniul definirii - multimea R;
• set de valori - set R;
• funcţie y = x 2n-1 ciudat, din moment ce (- x) 2n-1= x 2n-1;
• funcția crește de-a lungul întregii axe reale.

Graficul funcției y = x 2n-1 y = x 3.

3. Indicator p = -2n, Unde n - numar natural.

În acest caz, funcția de putere y = x -2n = 1 / x 2n are urmatoarele proprietati:

• set de valori - numere pozitive y> 0;
• funcția y = 1 / x 2n chiar de atunci 1 / (- x) 2n= 1 / x 2n;
• funcția crește pe intervalul x0.

Funcția y plot = 1 / x 2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1 / x 2.

4. Indicator p = - (2n-1), Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y = x - (2n-1) are urmatoarele proprietati:

• domeniul de definitie - multimea R, cu exceptia x = 0;
• set de valori - set R, cu excepția y = 0;
• funcţie y = x - (2n-1) ciudat, din moment ce (- x) - (2n-1) = -x - (2n-1);
• funcția este descrescătoare în intervale X< 0 și x> 0.

Graficul funcției y = x - (2n-1) are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1 / x 3.

Ești familiarizat cu funcțiile y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale unei funcții de putere, adică funcțiile y = x p, unde p este un număr real dat.
Proprietățile și graficul funcției de putere depind în esență de proprietățile puterii cu un exponent real și, în special, de ce valori Xși p are sens grad X p... Să trecem la o analiză similară a diferitelor cazuri, în funcție de
exponent p.

1. Indicator p = 2n este un număr natural par.

y = x 2n, Unde n- un număr natural, are următoarele

proprietati:

• domeniu de definiție - toate numerele reale, adică mulțimea R;
• setul de valori este numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
• funcţie y = x 2n chiar de atunci x 2n=(- x) 2n
• funcția este descrescătoare în interval X<0 şi crescând în interval x> 0.

Graficul funcției y = x 2n are aceeași formă ca, de exemplu, un grafic al unei funcții y = x 4.

2. Indicator p = 2n-1- număr natural impar
În acest caz, funcția de putere y = x 2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:

• domeniul definirii - multimea R;
• set de valori - set R;
• funcţie y = x 2n-1 ciudat, din moment ce (- x) 2n-1=x 2n-1;
• funcția crește de-a lungul întregii axe reale.

Graficul funcției y = x 2n-1 are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = x 3 .

3.Indicator p = -2n, Unde n - numar natural.

În acest caz, funcția de putere y = x -2n = 1 / x 2n are urmatoarele proprietati:

• domeniul de definitie - multimea R, cu exceptia x = 0;
• set de valori - numere pozitive y> 0;
• funcția y = 1 / x 2n chiar de atunci 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• funcția crește pe intervalul x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funcția y plot = 1 / x 2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1 / x 2.

Ești familiarizat cu funcțiile y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale unei funcții de putere, adică funcțiile y = x p, unde p este un număr real dat.
Proprietățile și graficul funcției de putere depind în esență de proprietățile puterii cu un exponent real și, în special, de ce valori Xși p are sens grad X p... Să trecem la o analiză similară a diferitelor cazuri, în funcție de
exponent p.

1. Indicator p = 2n este un număr natural par.

y = x 2n, Unde n- un număr natural, are următoarele

proprietati:

• domeniu de definiție - toate numerele reale, adică mulțimea R;
• setul de valori este numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
• funcţie y = x 2n chiar de atunci x 2n=(- x) 2n
• funcția este descrescătoare în interval X<0 şi crescând în interval x> 0.

Graficul funcției y = x 2n are aceeași formă ca, de exemplu, un grafic al unei funcții y = x 4.

2. Indicator p = 2n-1- număr natural impar
În acest caz, funcția de putere y = x 2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:

• domeniul definirii - multimea R;
• set de valori - set R;
• funcţie y = x 2n-1 ciudat, din moment ce (- x) 2n-1=x 2n-1;
• funcția crește de-a lungul întregii axe reale.

Graficul funcției y = x 2n-1 are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = x 3 .

3.Indicator p = -2n, Unde n - numar natural.

În acest caz, funcția de putere y = x -2n = 1 / x 2n are urmatoarele proprietati:

• domeniul de definitie - multimea R, cu exceptia x = 0;
• set de valori - numere pozitive y> 0;
• funcția y = 1 / x 2n chiar de atunci 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• funcția crește pe intervalul x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funcția y plot = 1 / x 2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1 / x 2.

Clasa 10

FUNCȚIA DE PUTERE

Exponenţial numitfunctie data de formulaUnde, p – un număr real.

eu ... Indicatoreste un număr natural par. Apoi funcția de putere Unden

D ( y )= (−; +).

2) Gama de valori ale unei funcții este un set de numere nenegative dacă:

set de numere nepozitive dacă:

3) ) . Prin urmare, funcțiaOi .

4) Dacă, atunci funcția scade pe măsură ceX (-; 0] și crește laX si scade laX }