Lasă-i să-i placă lecțiile. Examinare în informatică și TIC „elemente ale algebrei logice”. Sarcini pentru munca individuală

Obiectivele lecției:

Educational

• Faceți-vă o idee despre algebra propozițională.
• Introducerea conceptului de enunț complex.
• Introduceți elevii în operațiuni logice de bază.
• Construirea tabelelor de adevăr pentru enunțuri complexe.

în curs de dezvoltare

• Dezvoltarea activității cognitive.
• Dezvoltarea abilității de a analiza, de a trage concluzii generale.

Educational

• Înțelegerea legăturilor dintre alți elevi, cultura comportamentului.

CRC: Prezentări „Istoria logicii” [Anexa 1], „Forme de gândire” [Anexa 2].

Planul lecției:

1. Organizarea timpului.
2. Ce studiază logica? Care sunt conceptele de bază ale logicii?
3. De unde a venit algebra propozițională? Mesaj student.
4. Cum se fac declarații complexe? Operații logice.
5. Pregătirea pentru examen. Consolidarea cunoștințelor.

ÎN TIMPUL CLASELOR

I. Momentul organizatoric.

Formularea problemei:

1. Ce are în comun algebra cu algebra logicii?
2. Ce operații există în algebra logicii și cum sunt desemnate?
3. Care va fi rezultatul operației?
4. Ce operații logice folosim atunci când formulăm teoreme?

II. Se actualizează.

Sondaj frontal „Ce este logica? Conceptele de bază ale logicii ”.

Întrebări de revizuire:

Ce studiază logica? Care sunt conceptele de bază ale logicii?

Ce este un „concept” din punctul de vedere al logicii? Dă exemple.

Care sunt cele două laturi ale conceptului?

Ce este o declarație? Ce tipuri de afirmații cunoașteți (dați exemple de afirmații generale, private și individuale)

Din aceste propoziții, selectați-le pe cele care sunt enunțuri și justificați alegerea dvs.

• Napoleon a fost împăratul francez.
• Care este distanța de la Pământ la Marte?
• Atenţie! Uită-te în dreapta.
• Un electron este o particulă elementară.
• Nu incalca regulile de circulatie!
• Polaris este situat în constelația Ursa Minor.
• Nu tot ce straluceste e aur.

Explicați de ce o afirmație a oricărei teoreme este o afirmație.

Care dintre exemplele de mai sus sunt declarații private și care sunt generale?

• Nu toate cărțile conțin informații utile.
• Pisica este un animal de companie.
• Unii studenți sunt studenți săraci.
• Toți ananasii au gust bun.
• Multe plante au proprietăți medicinale.
• Orice persoană nerezonabilă merge pe mâini.
• A este prima literă din alfabet.

Prin ce mijloace derivă noi cunoștințe despre obiecte?

Ce fel de raționament știi?

Dați exemple de raționament deductiv, inductiv și analog.

III. Formarea de noi cunoștințe.

Un mic mesaj al elevului despre cum și când a apărut algebra propozițională.

Puteți utiliza prezentarea „Istoria logicii” [Anexa 1].

Profesor. Cercetarea în algebră a logicii este strâns legată de studiul propozițiilor. Cu ajutorul enunțurilor stabilim proprietăți, relații cu obiecte. Afirmația este adevărată dacă reflectă în mod adecvat această conexiune, altfel este falsă..

Definiție. O declarație se numește simplă dacă nici o parte din ea nu este o declarație.

Folosit în vorbirea obișnuită, pachetele „și”, „sau”, „nu”, „dacă…, atunci…”, „dacă și numai dacă ...” etc. vă permit să construiți noi afirmații complexe din afirmațiile deja date. Acestea sunt operații logice, cum ar fi adunarea, multiplicarea în algebră obișnuită.

Adevărul sau falsitatea celor primite. afirmațiile depind de adevărul sau falsitatea afirmațiilor originale și de interpretarea corespunzătoare a conectivelor ca operații logice pe afirmații.

Pentru a denumi adevărul, de regulă, se folosesc semnele „I” și „1” și pentru a denota falsitatea - simbolurile „Л” și „0”.

O operație logică poate fi descrisă printr-un tabel de adevăr care indică ce valori ia o afirmație complexă pentru toate semnificațiile posibile ale afirmațiilor simple.

Să luăm în considerare operațiile logice.

1. Conjuncție.

Definiție. O afirmație formată din două sau mai multe afirmații prin combinarea lor cu un pachet „Și” se numește conjuncție sau multiplicare logică.

Aici puteți argumenta cu băieții, luând ca afirmații simple evidentele A \u003d (2 * 2 \u003d 4) și B \u003d (2 * 2 \u003d 5), etc. Încheiem:

Prin exprimarea unei conjuncții, afirmăm că ambele evenimente în cauză sunt îndeplinite.

De exemplu, raportând (Petrovii au mers la dacha și au luat câinele cu ei), exprimăm într-o declarație convingerea noastră că ambele evenimente s-au întâmplat.

Să formulăm o regulă.

Regulă. O afirmație compusă formată prin conjuncție este adevărată dacă și numai dacă toate afirmațiile simple incluse în ea sunt adevărate.

Desemnare. AB, A & B, A * B, A și B.

Tabelul adevărului.

Sarcina. Dați exemple de conjuncție.

Exemplu. Luați în considerare două afirmații A \u003d (mâine va fi ger), și B \u003d (mâine va ninge). Noua afirmație A & B este adevărată numai dacă ambele afirmații sunt adevărate.

În limba rusă, conjuncțiile corespund, pe lângă uniunea „și”, ligamentele „a” și „dar”.

2. Disjuncție.

Definiție. O afirmație formată din două sau mai multe afirmații prin combinarea lor cu o legătură „SAU” se numește disjuncție sau adăugare logică.

În mod similar, argumentăm despre adevărul unei afirmații complexe construite cu „sau” folosind exemple care sunt evidente pentru băieți.

Să formulăm concluzia:

În declarațiile care conțin linkul „SAU”, este indicată existența a două sau mai multe evenimente posibile, dintre care cel puțin unul trebuie realizat.

De exemplu, raportând (Tolya bea ceai sau citește o carte), ne exprimăm într-o declarație convingerea că cel puțin unul dintre aceste evenimente s-a întâmplat.

Să formulăm o regulă.

Regulă. O afirmație compusă formată din disjuncție este adevărată dacă cel puțin una dintre afirmațiile simple incluse în ea este adevărată.

Desemnare. AB, A + B, A sau B.

Tabelul adevărului.

Sarcina. Dă exemple.

Exemplu. Fie A \u003d (Columb era în India), și B \u003d (Columb era în Egipt).

Declarația AB va fi adevărată atât dacă Columb a fost în India, dar nu a fost în Egipt, cât și dacă a fost în Egipt, dar nu a fost în India. Dar această afirmație va fi falsă, pentru că nu era nici în India, nici în Egipt.

3. „SAU” exclusiv.

Conjuncția „sau” poate fi folosită în vorbire și într-un alt sens exclusiv. Apoi corespunde unei alte afirmații - divizare sau disjuncție strictă.

Definiție. O declarație formată din două sau mai multe enunțuri prin combinarea lor cu o legătură „SAU” se numește disjuncție separatoare (strictă), excluzând „sau”, adăugarea modulo 2.

Spre deosebire de disjuncția obișnuită, afirmăm că unul dintre cele două lucruri se va întâmpla.

De exemplu, (Tolya bea ceai sau lapte), (Kolya stă pe podiumul A sau pe podiumul B).

Să formulăm o regulă.

Regulă. O disjuncție strictă sau divizorie este o operație logică care pune în corespondență între două afirmații o afirmație nouă care este adevărată dacă și numai dacă exact una dintre afirmații este adevărată .

Desemnare. AB.

Tabelul adevărului.

Sarcina. Dă exemple.

Exemplu. Să A \u003d (Pisica vânează șoareci), B \u003d (Pisica doarme pe canapea). Noua declarație a AB va fi adevărată în două cazuri când pisica vânează șoareci sau când pisica doarme liniștit. Această afirmație va fi falsă dacă pisica nu face nici una, nici cealaltă, la fel ca în cazul în care se presupune că ambele evenimente se vor întâmpla simultan.

4. Inversiunea.

Definiție. Negarea (inversarea) este o operație logică care atribuie fiecărei afirmații elementare o afirmație nouă, al cărei sens este opus celei inițiale.

În limba rusă, pentru a construi negația, se folosește legătura „nu este adevărat ce”.

Întrebare: Când va fi adevărată o nouă afirmație, construită în acest fel?

Inversiunea transformă o afirmație adevărată în falsă și o afirmație falsă adevărată.

Sarcina. Dă exemple.

Exemplu. Refuzul declarației (am un computer acasă) va fi declarația (Nu este adevărat că am un computer acasă) sau, ce este la fel (nu am computer acasă).

Desemnare. ¬A

Tabelul adevărului.

1. Negarea afirmației (nu știu limba tătară) va fi afirmația (Nu este adevărat că nu știu limba tătară) sau (Știu limba tătară).

2. Negarea afirmației (Toți băieții de clasa a 11-a sunt elevi excelenți) este afirmația (Nu este adevărat că toți băieții de clasa a 11-a sunt elevi excelenți) sau (Nu toți băieții de clasa a 11-a sunt elevi excelenți) sau cu alte cuvinte, (Unii băieți de clasa a 11-a sunt x notele nu sunt elevi excelenți).

La prima vedere, se pare că este destul de simplu să construim o negație pentru o afirmație dată. Cu toate acestea, nu este.

Exemplul 1. O declarație (Toți băieții din clasa a XI-a nu sunt elevi excelenți) nu reprezintă o negare a declarației (Toți băieții din clasa a XI-a sunt elevi excelenți). Acest lucru este explicat după cum urmează. Afirmația (Toți băieții din clasa a XI-a sunt elevi excelenți) este falsă. Negarea unei afirmații false trebuie să fie o afirmație care este adevărată. Însă afirmația (Toți tinerii din clasa a XI-a nu sunt elevi excelenți) nu este adevărată, deoarece printre elevii din clasa a XI-a există atât elevi excelenți, cât și nu elevi excelenți.

Exemplul 2. Pentru enunț (în parcare sunt Zhiguli roșii) următoarele propoziții nu vor fi negate:

1) (Nu există Zhigulis roșii în parcare);

2) (Există un Mercedes alb în parcare);

H) (Zhiguli roșii nu sunt în parcare).

Se propune înțelegerea acestui exemplu în mod independent. Clasa este împărțită în grupuri, acest exemplu este discutat în cadrul grupului, apoi vorbitorii își exprimă opiniile în numele grupului.

Analizând aceste exemple, se poate obține o regulă utilă.

Regula pentru construirea unei negații la o afirmație simplă:

Atunci când se construiește o negație, se folosește o afirmație simplă fie rotirea verbală „este greșit că”, fie negația este construită la predicat, apoi particula „nu” este adăugată la predicat, în timp ce cuvântul „toate” este înlocuit cu „unele” și invers.

Sarcina. Construiți negația pentru enunțuri:

• Toți băieții pot înota.
• Este imposibil să creezi o mașină de mișcare perpetuă.
• Fiecare persoană este un artist.
• O persoană poate face orice.
• Opera „Eugene Onegin” se joacă astăzi la teatru.

5. Prioritatea operațiunilor.

Fiecare enunț compus poate fi exprimat ca o formulă (expresie logică), care va include simboluri care denotă afirmații și negațiile lor, conectate prin semne ale operațiilor logice.

Vechimea operațiunilor:

1. Inversiune
2. Conjuncție
3. Disjuncție

Sarcina. Aranjați ordinea acțiunilor unei expresii logice

IV. Consolidarea celor învățați.

Următoarele sarcini sunt finalizate independent, urmate de o discuție despre soluție.

Temele pentru studenți:

1. În următoarele afirmații, evidențiați-le pe cele simple, etichetându-le pe fiecare dintre ele cu o literă; notează fiecare enunț compus folosind litere și semne ale operațiilor logice.

a) Numărul 376 este par și cu trei cifre.

b) Iarna, copiii merg la patinaj sau la schi.

c) Vom sărbători Anul Nou la dacha sau pe Piața Roșie.

d) Nu este adevărat că Soarele se mișcă în jurul Pământului.

f) Pământul are forma unei bile, care din spațiu pare albastră.

g) În cadrul unei lecții de matematică, liceenii au răspuns la întrebările profesorului și, de asemenea, și-au scris propria lucrare.

3. Următoarele perechi de propoziții se negă reciproc? Discuţie.

a) El este prietenul meu. El este dușmanul meu.

b) Casă mare. Casa mica.

c) Casă mare. Casa mica.

d) X\u003e 2.X< 2.

4. Să p \u003d (Lui Ana îi plac lecțiile de matematică) și q \u003d (Lui Ana îi plac lecțiile de chimie). Exprimați următoarele formule în limbaj natural. Comentând.

Carduri

• a u (Marte - planeta) este o afirmație adevărată;
• b și (Marte - planeta) este o afirmație falsă;
• c sau (Soarele este un satelit al Pământului) este o afirmație adevărată;
• d sau (Soarele este un satelit al Pământului) este o afirmație falsă.

Determinați valorile variabilelor booleene a, b, c, d dacă:

• a sau (1 litru de lapte este mai scump decât 1 kg de unt) - adevărat;
• b și (1 litru de lapte este mai scump decât 1 kg de unt) - fals;
• c sau (untul este mai scump decât brânza de vaci) - adevărat;
• d și (untul este mai scump decât brânza de vaci) este o afirmație falsă.

Să a \u003d „această noapte este înstelată” și b \u003d „această noapte este rece”. Exprimați următoarele formule în limbaj comun:

• a și b;
• a și nu b;
• nu a și nu b;

Sarcină suplimentară - sarcini de la examen.

Sarcini de la examen

A10. La ce valori ale variabilelor se află presupunerea logică. Aranjați ordinea acțiunilor unei expresii logice. Expresie ciudată), care va include simboluri care denotă expresii

¬ (M \u003d N) v ¬ (M<Р) принимает значение “Ложь”?

1. M \u003d 1; N \u003d 1; P \u003d 0
2. M \u003d -1; N \u003d -1; P \u003d 0
3. M \u003d 1; N \u003d 1; P \u003d 0
4. M \u003d 0; N \u003d 0; P \u003d -1

A12. Dintre cele două afirmații „Unchiului Fyodor și pisica Matroskii nu le place laptele” și „Pisica Matroskin nu iubește” Laptele, una este falsă, iar cealaltă este adevărată. Cui dintre ei nu-i place laptele?

1) Amândouă nu le place laptele.

2) Ambii iubesc laptele.

H) Cat Matroskin iubește laptele, dar unchiul Fyodor nu.

4) Unchiului Fedor iubește laptele, dar Pisica Matroskin nu.

V. Temele.

Manual: Ugrinovich, clasa 10-11, p. 3.2 (p. 125-129), exercițiu. 3.1.

Vino cu exemple pentru fiecare operație logică.

Vi. Rezumatul lecției.

Întrebări pentru a rezuma lecția:

• Ce nou ai învățat în lecția de astăzi?
• Cum putem obține afirmații complexe din câteva simple?
• Ce operații logice cunoașteți acum?
• Ce determină adevărul unei afirmații complexe?

Literatură

1. Bazele matematice ale informaticii. Curs opțional: manual / Andreeva E.V., Bosova L.L., Falina I.N. M.: BINOM. Laborator de cunoștințe, 2005.
2. Informatică. Cartea de probleme-atelier în 2 volume / ed. Semakina I.G., Henner E.K. M .: Laborator de cunoștințe de bază, 2001.
3. Pregătirea pentru examenul de informatică. Curs opțional: manual / N.N. Samylkina, S.V. Rusakov, A.P. Shestakov, S.V. Badanin. - M.: BINOM. Laborator de cunoștințe, 2008.

5.1. Stabiliți care dintre propozițiile următoare sunt propoziții logice și care nu sunt (explicați de ce):

• • și) "Soarele este un satelit al pământului";
  • b) "2+3 =4 ";
  • în) "vreme grozavă astăzi";
  • d) "în romanul lui L.N. Tolstoi „Război și pace” 3 432 536 cuvinte";
  • e) "Sankt Petersburg este situat pe Neva";
  • e) "muzica lui Bach este prea complexă";
  • g) "prima viteză spațială este de 7,8 km / s";
  • h) "fier - metal";
  • și) "dacă un colț dintr-un triunghi este drept, atunci triunghiul va fi obtuz";
  • la) "dacă suma pătratelor celor două laturi ale triunghiului este egală cu pătratul celui de-al treilea, atunci este dreptunghiulară".

[ Răspuns ] 5.1. Sunt enunțuri: a), d), e), g), h), i), j);
nu sunt afirmații: b); în); e).

5.2. Indicați care dintre afirmațiile din exercițiul anterior sunt adevărate, care sunt false și care dintre cele dificile sau imposibile de stabilit.
[ Răspuns ] 5.2. Adevărat: e), h), j);
fals: a), i);
greu de stabilit: d);
poate fi considerat atât adevărat, cât și fals în funcție de acuratețea cerută a reprezentării: g).

5.3. Dați exemple de afirmații adevărate și false:

• • și) din aritmetică; b) din fizică;
  • în) din biologie; d) din informatică;
  • e) din geometrie; e) din viață.

[ Răspuns ] 5.3. Mostre.
Afirmații adevărate: a) "2+2=4 "; b) „forța de atracție a corpurilor este invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele” în) "iepurii mănâncă plante"; d) "un bit este o unitate fundamentală de informație utilizată în teoria informației"; e) "două triunghiuri sunt egale dacă cele două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale cu cele două laturi și unghiul dintre ele al celuilalt triunghi"; e) "Luni este prima zi a săptămânii".
Afirmații false: și) "4+3=5" ; b) „un corp cade pe Pământ cu o accelerație proporțională cu masa sa”; în) "animalele sunt natura neînsuflețită" d) "informatica este știința tratamentului termic al metalelor"; e) „un pătrat este o figură cu cinci laturi”; e) "leul este un animal de companie"

5.4. Formulează negațiile următoarelor enunțuri sau expresii:

• • și) "Elbrus - cel mai înalt vârf montan din Europa";
  • b) "2>=5 ";
  • în) "10<7 ";
  • d) "toate numerele naturale sunt numere întregi";
  • e) "puteți trage un cerc prin oricare trei puncte de pe plan";
  • e) "jucătorul de tenis Kafelnikov nu a pierdut ultimul joc";
  • g) "";
  • h) "în această dimineață este senin și cald";
  • și) "numărul n este divizibil cu 2 sau 3";
  • la) "";
  • l) "la test, fiecare elev a scris cu propriul stilou".

[ Răspuns ] 5.4. și) "Elbrus nu este cel mai înalt vârf de munte din Europa"; b) "2<5" ; în) "10>=7" ; d) „nu toate numerele naturale sunt numere întregi”; e) „nu prin trei puncte din avion poți desena un cerc”; e) "Tenismenul Kafelnikov a pierdut ultimul joc"; g) „ținta nu este lovită de prima lovitură”; h) "în această dimineață nu este clar sau nu este cald" (Explicație. Let ȘI = "dimineața asta e clar", și B = "in aceasta dimineata este cald"... Apoi "în această dimineață este senin și cald" poate fi scris ca ȘI. ÎN, a cărui negație este, care corespunde formei de expresie „în această dimineață nu este clar sau nu este cald"; și)"numărul n nu este divizibil cu 2 și este divizibil cu 3"; la) "acest triunghi nu este isoscel sau nu este unghi drept"; l) "nu fiecare student a scris controlul cu propriul stilou" (opțiune: „cineva nu a scris testul cu propriul stilou”).

5.5. Determinați care dintre enunțuri (forme de expresie) din următoarele perechi sunt negații reciproce și care nu sunt:

• • și) "5<10 ", "5>10 ";
  • b) "10>9 ", "10<=9 ";
  • în) "țintă lovită de prima lovitură", "țintă lovită cu a doua lovitură";
  • d) "mașina s-a oprit la fiecare dintre cele două semafoare", "mașina nu s-a oprit la fiecare dintre cele două semafoare",
  • e) "omenirea cunoaște toate planetele sistemului solar", "există planete în sistemul solar necunoscute omenirii";
  • e) "sunt elefanți albi", "toți elefanții sunt gri";
  • g) "balenă - mamifer", "balenă - pește";
  • h) "nu este adevărat că punctul A nu se află pe linia a", "punctul A se află pe linia a";
  • și) "linia a este paralelă cu linia b", "linia a perpendiculară pe linia b";
  • la) "acest triunghi este isoscel și dreptunghiular", "acest triunghi nu este isoscel sau nu este dreptunghiular".

[ Răspuns ] 5.5. Sunt negații reciproce: b), d), e), j);
nu sunt negații reciproce: a), c), f), g), h), i).

5.6. Determinați valorile adevărului afirmațiilor:

• • și) "a avea un certificat de studii medii este suficient pentru a intra în institut";
  • b) "prezența unui certificat de învățământ secundar este necesară pentru admiterea la institut";
  • în) "dacă un întreg este divizibil cu 6, atunci este divizibil cu 3";
  • d) "asemănarea triunghiurilor este o condiție necesară pentru egalitatea lor";
  • e) "asemănarea triunghiurilor este o condiție necesară și suficientă pentru egalitatea lor";
  • e) "triunghiurile sunt similare numai dacă sunt egale";
  • g) "triunghiurile sunt egale numai dacă sunt similare";
  • h) "egalitatea triunghiurilor este o condiție suficientă pentru asemănarea lor";
  • și) "pentru ca triunghiurile să fie inegale, este suficient ca ele să fie diferite";
  • la) "pentru ca un patrulater să fie pătrat, este suficient ca diagonalele acestuia să fie egale și perpendiculare".

[ Răspuns ] 5.6. Adevărat: b), c), d), h), j), i);
fals: a), e), f), g).

5.7. Înlocuiți enunțurile din următoarele formulare în loc de variabilele logice a, b, c, d astfel încât afirmațiile compuse astfel obținute să aibă sens în viața de zi cu zi:

• • și) în cazul în care un (și sau (b și din)), apoi d;
  • b) în cazul în care un (nu și și nu b), apoi (din sau d);
  • în) (și sau b) dacă și numai dacă (din si nu d).

5.8. Formalizați următoarea concluzie: „Dacă a și b sunt adevărate, atunci c - Adevărat. Dar c - fals: înseamnă, a sau b fals. "
[ Răspuns ] 5.8. .

Numărul 376 este egal și cu trei cifre.

Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3

Simbol F x , y , z F F ? 1)

2)

3)

4)

X

Da

Z

F

Muncă independentă

Opțiunea 2

Lasa P Î

1)

2)

3)

4)

În afirmațiile următoare, evidențiați cele simple, notându-le pe fiecare dintre ele cu o literă; notează fiecare enunț compus folosind litere și semne ale operațiilor logice.

1. Iarna, copiii merg la patinaj sau la schi.

   Dacă suma cifrelor unui număr natural este divizibil cu 3, atunci numărul este divizibil cu 3.

Simbol F este indicată una dintre următoarele expresii logice din trei argumente:x , y , z ... Un fragment din tabelul de adevăr al expresiei este datF ... Care expresie se potriveșteF ? 1)

2)

3)

4)

X

Da

Z

F

Muncă independentă

Opțiunea 3

Lasa P \u003d (Lui Ana îi plac lecțiile de matematică) șiÎ \u003d (Lui Anya îi plac lecțiile de chimie). Exprimați următoarele formule în limbaj natural:

1)

2)

3)

4)

În afirmațiile următoare, evidențiați cele simple, notându-le pe fiecare dintre ele cu o literă; notează fiecare enunț compus folosind litere și semne ale operațiilor logice.

1. Nu este adevărat că soarele se mișcă în jurul pământului.

   Dacă ieri era duminică, atunci Dima nu era ieri la școală și mergea toată ziua.

Simbol F este indicată una dintre următoarele expresii logice din trei argumente:x , y , z ... Un fragment din tabelul de adevăr al expresiei este datF . Care expresie se potriveșteF ? 1)

2)

3)

4)

X

Da

Z

F

Muncă independentă

Opțiunea 4

Lasa P \u003d (Lui Ana îi plac lecțiile de matematică) șiÎ \u003d (Lui Anya îi plac lecțiile de chimie). Exprimați următoarele formule în limbaj natural:

1)

2)

3)

4)

În afirmațiile următoare, evidențiați cele simple, notându-le pe fiecare dintre ele cu o literă; notează fiecare enunț compus folosind litere și semne ale operațiilor logice.

1. În cadrul unei lecții de matematică, elevii de liceu au răspuns la întrebările profesorului și au scris și lucrări independente.

Simbol F este indicată una dintre următoarele expresii logice din trei argumente:x , y , z ... Un fragment din tabelul de adevăr al expresiei este datF ... Care expresie se potriveșteF ? 1)

2)

3)

4)

X

Da

Z

F

Cuvinte cheie:

• algebra logicii
• rostire
• operație logică
• conjuncție
• disjuncție
• negare
• expresie booleană
• tabelul adevărului
• legile logicii

1.3.1. Enunț

Algebra în sensul cel mai larg al cuvântului este știința operațiilor generale, analogă adunării și multiplicării, care poate fi efectuată pe o varietate de obiecte matematice. Studiați multe obiecte matematice (numere întregi și numere raționale, polinoame, vectori, mulțimi) în cursul de algebră școlară, unde vă familiarizați cu astfel de ramuri ale matematicii precum algebra numerelor, algebra polinoamelor, algebra mulțimilor etc.

Pentru informatică, este importantă o ramură a matematicii numită algebră a logicii; obiectele algebrei logicii sunt enunțuri.

De exemplu, în ceea ce privește propozițiile „Marele om de știință rus MV Lomonosov s-a născut în 1711” și „Doi plus șase sunt opt”, putem spune cu siguranță că sunt adevărate. Propoziția „Vrabii hibernează iarna” este falsă. Prin urmare, aceste propoziții sunt enunțuri.

De exemplu, propoziția „Această propoziție este falsă” nu este o afirmație, deoarece nu se poate spune despre aceasta dacă este adevărată sau falsă, fără a obține o contradicție. Într-adevăr, dacă acceptăm că propoziția este adevărată, atunci aceasta contrazice cele spuse. Dacă acceptăm că propunerea este falsă, atunci rezultă că este adevărată.

În ceea ce privește propoziția „Grafica computerizată este cel mai interesant subiect din cadrul școlii de informatică”, este, de asemenea, imposibil să se spună fără echivoc dacă este adevărat sau fals. Gândește-te singur de ce.

De exemplu, propoziții precum: „Notați-vă temele”, „Cum să ajungeți la bibliotecă?”, „Cine a venit la noi? ".

Exemple de afirmații includ:

1. „Na este metal” (adevărată zicală);
2. „A doua lege a lui Newton este exprimată prin formula F \u003d m a” (afirmație adevărată);
3. "Perimetrul unui dreptunghi cu lungimi laterale a u b este egal cu a b" (afirmație falsă).

Expresiile numerice nu sunt enunțuri, dar puteți face o afirmație din două expresii numerice conectându-le cu semne egale sau de inegalitate. De exemplu:

1. "34-5 \u003d 2 4" (declarație adevărată);
2. „II4-VI\u003e VIII” (afirmație falsă).

Nu sunt afirmații și egalități sau inegalități care conțin variabile. De exemplu, propoziția „X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

Justificarea adevărului sau falsității declarațiilor este decisă de acele științe cărora le aparțin. Algebra logicii este distrasă de la conținutul semantic al enunțurilor. Ea este interesată doar de faptul dacă o afirmație dată este adevărată sau falsă. În algebra logicii, enunțurile sunt notate cu litere și numite variabile logice. Mai mult, dacă afirmația este adevărată, atunci valoarea variabilei logice corespunzătoare este notată cu una (A \u003d 1), iar dacă este falsă - cu zero (B \u003d 0). 0 și 1 care denotă valorile variabilelor booleene se numesc valori booleene.

Operând cu variabile booleene care pot fi egale doar cu 0 sau 1, algebra logică vă permite să reduceți procesarea informațiilor la operații cu date binare. Este aparatul algebrei logicii care stă la baza stocării computerului și a dispozitivelor de procesare a informațiilor. Vă veți întâlni cu utilizarea elementelor algebrei logicii în multe alte domenii ale informaticii.

1.3.2. Operații logice

Enunțurile sunt simple și complexe. O declarație se numește simplă dacă nici o parte din ea nu este ea însăși o declarație. Instrucțiunile complexe (compuse) sunt construite din cele simple folosind operații logice.

Să luăm în considerare operațiile logice de bază definite pe instrucțiuni. Toate acestea corespund ligamentelor utilizate în limbajul natural.

Conjuncție

Luați în considerare două afirmații: A \u003d "Fondatorul algebrei logice este George Boole", B \u003d "Cercetările lui Claude Shannon au făcut posibilă aplicarea algebrei logice în calcul." Evident, noua afirmație „Fondatorul algebrei logicii este George Boole, iar cercetarea lui Claude Shannon a făcut posibilă aplicarea algebrei logicii în calcul” este adevărată numai dacă ambele afirmații inițiale sunt simultan adevărate.

Următoarele semne sunt folosite pentru a scrie conjuncție: ,, Și, &. De exemplu: A B, A B, A ȘI B, A și B.

Conjuncția poate fi descrisă sub forma unui tabel, care se numește tabelul adevărului:

Tabelul adevărului listează toate valorile posibile ale declarațiilor inițiale (coloanele A și B), iar numerele binare corespunzătoare, de regulă, sunt aranjate în ordine crescătoare: 00, 01, 10, 11. Ultima coloană conține rezultatul operației logice pentru operanzii corespunzători.

În caz contrar, conjuncția se numește multiplicare logică. Gândește-te de ce.

Disjuncție

Luați în considerare două afirmații: A \u003d „Ideea utilizării simbolurilor matematice în logică îi aparține lui Gottfried Wilhelm Leibniz”, B \u003d „Leibniz este fondatorul aritmeticii binare”. Evident, noua afirmație „Ideea utilizării simbolurilor matematice în logică îi aparține lui Gottfried Wilhelm Leibniz sau Leibniz este fondatorul aritmeticii binare” este falsă numai dacă ambele afirmații inițiale sunt false în același timp.

Stabiliți singur adevărul sau falsitatea celor trei afirmații considerate.

Următoarele semne sunt folosite pentru a scrie disjuncție: v, |, OR, +. De exemplu: AvB, A | B, A SAU B, A + B.

Disjuncția este definită de următorul tabel de adevăr:

În caz contrar, disjuncția se numește adunare logică. Gândește-te de ce.

Inversiune

Următoarele semne sunt folosite pentru a scrie inversiunea: NOT, ¬, ‾. De exemplu: NU, ¬, ‾.

Inversiunea este determinată de următorul tabel de adevăr:

Inversiunea se mai numește și negație logică.

Negarea afirmației „Am un computer acasă” va fi afirmația „Nu este adevărat că am un computer acasă” sau, care este același lucru în limba rusă, „Nu am computer acasă”. Negarea afirmației „Nu știu chineză” va fi afirmația „Nu este adevărat că nu știu chineza” sau, care este același lucru în limba rusă, „Știu chineza”. Negarea afirmației „Toți băieții din clasa a IX-a sunt elevi excelenți” este afirmația „Nu este adevărat că toți băieții din clasa a IX-a sunt elevi excelenți”, cu alte cuvinte, „Nu toți băieții din clasa a IX-a sunt elevi excelenți”.

Astfel, atunci când se construiește o negație, se folosește o afirmație simplă fie rotirea verbală „nu este adevărat că ...”, fie negația este construită la predicat, apoi particula „nu” este adăugată la verbul corespunzător.

Orice afirmație complexă poate fi scrisă sub forma unei expresii logice - o expresie care conține variabile logice, semne ale operațiilor logice și paranteze. Operațiile logice într-o expresie logică se efectuează în următoarea ordine: inversiune, conjuncție, disjuncție. Puteți schimba ordinea operațiilor prin plasarea parantezelor.

Exemplul 1... Să A \u003d "Cuvântul" crucișător "apare pe pagina web, B \u003d" Cuvântul "cuirasat" apare pe pagina web. " Este luat în considerare un anumit segment al Internetului, care conține 5.000.000 de pagini Web. În ea, A este adevărat pentru 4800 de pagini, B este adevărat pentru 4500 de pagini, iar A v B este adevărat pentru 7000 de pagini. Pentru câte pagini Web, în \u200b\u200bacest caz, vor fi adevărate următoarele expresii și afirmații?

a) NU (A SAU B);

c) Pagina Web conține cuvântul „crucișător” și nu conține cuvântul „cuirasat”.

Decizie... Să descriem setul tuturor paginilor web ale sectorului considerat al internetului într-un cerc, în interiorul căruia plasăm două cercuri: unul dintre ele corespunde setului de pagini web în care afirmația A este adevărată, a doua corespunde în cazul în care afirmația B este adevărată (Fig. 1.3).

Figura: 1.3.
Afișare grafică a mai multor pagini web

Să prezentăm grafic setul de pagini Web pentru care expresiile și enunțul a) - b) sunt adevărate (Fig. 1.4)

Figura: 1.4.
Reprezentarea grafică a seturilor de pagini Web pentru care expresiile și afirmațiile a) - c) sunt adevărate

Schemele construite ne vor ajuta să răspundem la întrebările cuprinse în sarcină.

Expresia A SAU B este adevărată pentru 7000 de pagini Web și există 5.000.000 de pagini în total. Prin urmare, expresia A SAU B este falsă pentru 4.993.000 pagini Web. Cu alte cuvinte, NOT (A SAU B) este adevărat pentru 4.993.000 de pagini web.

Expresia A v B este adevărată pentru acele pagini Web în care A (4800) este adevărat, precum și pentru acele pagini Web în care B (4500) este adevărat. Dacă toate paginile Web ar fi diferite, atunci A v B ar fi adevărat pentru 9300 (4800 + 4500) pagini Web. Dar, conform condiției, există doar 7000 de astfel de pagini web, ceea ce înseamnă că pe 2300 (9300 - 7000) pagini web ambele cuvinte apar simultan. Prin urmare, A & B este adevărat pentru 2.300 de pagini Web.

Pentru a afla câte pagini web afirmația A este adevărată și în același timp B este falsă, scădeți 2300 din 4800. Astfel, afirmația „Cuvântul„ crucișător ”se găsește pe pagina web ȘI cuvântul„ cuirasat ”nu este găsit„ este adevărat pe 2500 de site-uri Web. pagini.

Scrieți tu însăși expresia logică corespunzătoare afirmației luate în considerare.

Site-ul web al Centrului Federal pentru Informații și Resurse Educaționale (http://fcoir.edu.ru/) conține modulul de informații „Expresie. Afirmații simple și complexe. Operații logice de bază ". Familiarizarea cu această resursă vă va permite să vă extindeți înțelegerea subiectului studiat.

1.3.3. Construirea tabelelor de adevăr pentru expresii booleene

Pentru o expresie logică, puteți construi un tabel de adevăr care arată ce valori ia expresia pentru toate seturile de valori ale variabilelor incluse în ea. Pentru a construi o masă de adevăr, ar trebui:

1. calculează n - numărul de variabile din expresie;
2. calculați numărul total de operații logice din expresie;
3. setați secvența de execuție a operațiilor logice, ținând cont de paranteze și priorități;
4. determinați numărul de coloane din tabel: numărul de variabile + numărul de operații;
5. completează capul tabelului, inclusiv variabilele și operațiile din acesta, în conformitate cu secvența specificată la alineatul (3);
6. determinați numărul de rânduri din tabel (fără a lua în considerare titlul tabelului) m \u003d 2n;
7. scrieți seturi de variabile de intrare, luând în considerare faptul că acestea reprezintă o serie întreagă de numere binare n-biți de la 0 la 2 n - 1;
8. umpleți tabelul pe coloane, efectuând operații logice în conformitate cu succesiunea stabilită.

Să construim un tabel de adevăr pentru expresia logică A v A & B. Conține două variabile, două operații și mai întâi se realizează o conjuncție și apoi o disjuncție. În tabel vor exista patru coloane:

Seturile de variabile de intrare sunt numere întregi de la 0 la 3, reprezentate într-un cod binar pe doi biți: 00, 01, 10, 11. Tabelul adevărului completat arată ca:

Rețineți că ultima coloană (rezultatul) coincide cu coloana A. În acest caz, se spune că expresia booleană A v A & B este echivalentă cu expresia booleană A.

1.3.4. Proprietățile operațiilor logice

Luați în considerare proprietățile de bază (legile) algebrei logicii.

Legile algebrei logicii pot fi dovedite folosind tabele de adevăr.

Să dovedim legea distribuției pentru adăugarea logică:

A v (B & C) \u003d (A V B) & (A v C).

Coincidența coloanelor corespunzătoare expresiilor logice din laturile stânga și dreapta ale egalității dovedește validitatea legii de distribuție pentru adunarea logică.

Exemplul 2... Găsiți valoarea expresiei logice pentru numărul X \u003d 0.

Decizie... Când X \u003d 0 obținem următoarea expresie logică :. Deoarece expresiile booleene sunt 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Rezolvarea problemelor logice

Să luăm în considerare mai multe moduri de a rezolva probleme logice.

Problema 1... Kolya, Vasya și Seryozha și-au vizitat bunica în vară. Odată ce unul dintre băieți a rupt din greșeală vaza iubitei bunicii. Când au fost întrebați cine a spart vaza, ei au dat următoarele răspunsuri:

Seryozha: 1) Nu l-am rupt. 2) Vasya nu s-a rupt.

Vasya: 3) Seryozha nu a rupt-o. 4) Kolya a spart vaza.

Kolya: 5) Nu l-am rupt. 6) Seryozha a spart vaza.

Bunica știa că unul dintre nepoții ei, să-i spunem adevărat, a spus adevărul de ambele ori; al doilea, să-i spunem glumeț, a spus minciună de ambele ori; al treilea, să-l numim unul viclean, odată spus adevărul, și altă dată - o minciună. Care sunt numele celor veridici, glumeți și vicleni. Care dintre nepoți a spart vaza?

Decizie. Să K \u003d „Kolya a spart vaza”, B \u003d „Vasya a spart vaza”, C \u003d „Serghei a spart vaza”. Să alcătuim un tabel de adevăr cu care reprezentăm afirmațiile fiecărui băiat 1.

1 Ținând cont de faptul că vaza a fost spartă de un nepot, a fost posibilă compilarea nu a întregului tabel, ci doar a fragmentului său conținând următoarele seturi de variabile de intrare: 001, 010, 100.

Pe baza a ceea ce știe bunica despre nepoți, ar trebui să căutați în tabel rândurile care conțin trei combinații de valori într-o anumită ordine: 00, 11, 01 (sau 10). În tabel erau două astfel de linii (sunt marcate cu bife). Potrivit celui de-al doilea dintre ei, Kolya și Vasya au spart vaza, ceea ce contrazice condiția. Conform primei linii găsite, Seryozha a spart vaza, s-a dovedit a fi și el viclean. Vasya s-a dovedit a fi un glumeț. Numele adevăratului nepot este Kolya.

Problema 2... Alla, Valya, Sima și Dasha participă la competiții de gimnastică. Fanii au speculat cu privire la posibilii câștigători:

1. Sima va fi prima, Valya - a doua;
2. Sima va fi al doilea, Dasha - al treilea;
3. Alla va fi al doilea, Dasha - al patrulea.

La sfârșitul competiției, sa dovedit că în fiecare dintre ipoteze doar una dintre afirmații este adevărată, cealaltă este falsă. Ce loc în competiție a luat fiecare dintre fete dacă ar fi toate în locuri diferite?

Decizie... Luați în considerare afirmații simple:

C 1 \u003d "Sima a ocupat primul loc";

В 2 \u003d "Valya a ocupat locul doi";

C 2 \u003d "Sima a ocupat locul doi";

D 3 \u003d „Dasha a ocupat locul trei”;

Și 2 \u003d „Alla a ocupat locul doi”;

D 4 \u003d "Dasha a ocupat locul patru."

Deoarece în fiecare dintre cele trei ipoteze una dintre afirmații este adevărată și cealaltă este falsă, putem concluziona următoarele:

1. C 1 + B 2 \u003d 1, C 1 B 2 \u003d 0;
2. C 2 + D 3 \u003d 1, C 2 D 3 \u003d 0;
3. A 2 + D 4 \u003d 1, A 2 D 4 \u003d 0.

Produsul logic al afirmațiilor adevărate va fi adevărat:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

Pe baza legii distribuției, transformăm partea stângă a acestei expresii:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

A spune С 1 С 2 înseamnă că Shema a ocupat atât primul, cât și al doilea loc. Conform stării problemei, această afirmație este falsă. Afirmația В 2 С 2 este, de asemenea, falsă. Având în vedere legea operațiilor cu constanta 0, scriem:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) \u003d 1.

Transformarea ulterioară a părții stângi a acestei egalități și eliminarea afirmațiilor false în mod deliberat oferă:

S 1 D 3 A 2 + S 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 \u003d 1.

C 1 D 3 A 2 \u003d 1.

Din ultima egalitate rezultă că C 1 \u003d 1, A 3 \u003d 1, A 2 \u003d 1. Aceasta înseamnă că Sima a ocupat primul loc, Alla - al doilea, Dasha - al treilea. Prin urmare, Valya a ocupat locul patru.

Puteți să vă familiarizați cu alte modalități de rezolvare a problemelor logice, precum și să luați parte la olimpiade pe internet și concursuri pentru soluționarea acestora, pe site-ul web „Matematică pentru școlari” (http://www.kenqyry.com/).

Pe site-ul http://www.kaser.com/ puteți descărca o versiune demo a abilităților de logică și raționament foarte utile, dezvoltând puzzle-ul logic Sherlock.

1.3.6. Porți logice

Algebra logicii este o ramură a matematicii care se joacă rol important în proiectarea dispozitivelor automate, dezvoltarea de hardware și software pentru tehnologiile informației și comunicațiilor.

Știți deja că orice informație poate fi prezentată sub formă discretă - ca un set fix de valori individuale. Dispozitivele care procesează astfel de valori (semnale) sunt numite discrete. Un convertor discret, care produce după procesarea semnalelor binare valoarea uneia dintre operațiile logice, se numește element logic.

În fig. 1.5 arată simbolurile (diagramele) elementelor logice care implementează multiplicarea logică, adunarea logică și inversarea.

Fig 1.5.
Porți logice

Elementul logic AND (conjunctor) implementează operația de multiplicare logică (Fig. 1.5, a). O unitate la ieșirea acestui element va apărea numai atunci când există unități la toate intrările.

Elementul logic OR (disjunctor) implementează operația de adăugare logică (Fig. 1.5, b). Dacă cel puțin o intrare este una, atunci ieșirea elementului va fi, de asemenea, una.

Elementul logic NOT (invertor) implementează operația de negare (Fig. 1.5, c). Dacă intrarea elementului este O, atunci ieșirea este 1 și invers.

Dispozitivele computerizate care efectuează operațiuni pe numere binare și celule care stochează date sunt circuite electronice formate din elemente logice separate. Mai detaliat, aceste întrebări vor fi dezvăluite în cursul de informatică pentru clasele 10-11.

Exemplul 3... Să analizăm circuitul electronic, adică vom afla ce semnal ar trebui să fie la ieșire pentru fiecare set posibil de semnale la intrări.

Decizie... Toate combinațiile posibile de semnale la intrările de la A la B vor fi introduse în tabelul adevărului. Să urmărim transformarea fiecărei perechi de semnale pe măsură ce acestea trec prin elementele logice și să scriem rezultatul într-un tabel. Tabelul adevărului complet descrie pe deplin circuitul electronic în cauză.

Un tabel de adevăr poate fi, de asemenea, construit folosind o expresie logică corespunzătoare unui circuit electronic. Ultimul element logic din circuitul considerat este conjunctorul. Primește semnale de la intrarea L și de la invertor. La rândul său, invertorul primește un semnal de la intrarea B. Astfel,

Lucrul cu simulatorul de logică (http: // kpolyakov. Narod. Ru / prog / logic. Htm) vă va ajuta să obțineți o imagine mai completă a porților logice și a circuitelor electronice.

Cel mai important lucru

O afirmație este o propoziție în orice limbă, al cărei conținut poate fi determinat fără echivoc ca fiind adevărat sau fals.

Operații logice de bază definite pe enunțuri: inversiune, conjuncție, disjuncție.

Tabelele de adevăr pentru operațiuni logice de bază:

La evaluarea expresiilor logice, acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi. Prioritate de execuție booleană:

Întrebări și sarcini