Spațiu vectorial liniar: definiție, proprietăți. Definiţia linear space. Exemple de spații liniare Spații liniare pentru manechini

Cursul 6. Spațiul vectorial.

Întrebări principale.

1. Spațiu liniar vectorial.

2. Baza și dimensiunea spațiului.

3. Orientarea spațiului.

4. Descompunerea unui vector în termeni de bază.

5. Coordonatele vectoriale.

1. Spațiu liniar vectorial.

O mulțime formată din elemente de orice natură, în care sunt definite operații liniare: se numesc adunarea a două elemente și înmulțirea unui element cu un număr. spatii, iar elementele lor sunt vectori acest spatiu si se noteaza la fel ca marimile vectoriale in geometrie: . Vectori astfel de spații abstracte, de regulă, nu au nimic în comun cu vectorii geometrici obișnuiți. Elementele spațiilor abstracte pot fi funcții, un sistem de numere, matrice etc., iar într-un caz particular, vectori obișnuiți. Prin urmare, astfel de spații sunt numite spații vectoriale .

Spațiile vectoriale sunt, De exemplu, mulţimea vectorilor coliniari, notat cu V1 , mulţimea vectorilor coplanari V2 , set de vectori obișnuiți (spațiu real). V3 .

Pentru acest caz particular, putem da următoarea definiție a unui spațiu vectorial.

Definiția 1. Mulțimea vectorilor se numește spațiu vectorial, dacă combinația liniară a oricăror vectori ai mulțimii este și un vector al acestei mulțimi. Vectorii înșiși sunt numiți elemente spațiu vectorial.

Mai important atât teoretic cât și aplicativ este conceptul general (abstract) al spațiului vectorial.

Definiția 2. O multime de R elemente , în care pentru oricare două elemente este definită suma și pentru orice element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> numit vector(sau liniar) spaţiu, iar elementele sale sunt vectori, dacă operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr îndeplinesc următoarele condiții ( axiome) :

1) adăugarea este comutativă, adică gif" width="184" height="25">;

3) există un astfel de element (vector zero) încât pentru orice https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) pentru orice vector și și orice număr λ, egalitatea este valabilă;

6) pentru orice vector și orice numere λ Și µ egalitatea este valabilă https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> și orice numere λ Și µ corect ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Din axiomele care definesc spațiul vectorial urmează cele mai simple consecințe :

1. Într-un spațiu vectorial, există un singur zero - un element - un vector zero.

2. Într-un spațiu vectorial, fiecare vector are un vector opus unic.

3. Pentru fiecare element, egalitatea este îndeplinită.

4. Pentru orice număr real λ și zero vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> este un vector care satisface egalitatea https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Deci, într-adevăr, mulțimea tuturor vectorilor geometrici este și un spațiu liniar (vector), întrucât pentru elementele acestei mulțimi sunt definite acțiunile de adunare și înmulțire cu un număr care satisfac axiomele formulate.

2. Baza și dimensiunea spațiului.

Conceptele esențiale ale unui spațiu vectorial sunt conceptele de bază și dimensiune.

Definiție. Mulțimea vectorilor liniar independenți, luați într-o anumită ordine, prin care orice vector al spațiului este exprimat liniar, se numește bază acest spatiu. Vectori. Spațiile care alcătuiesc baza se numesc de bază .

Baza mulțimii de vectori localizați pe o linie dreaptă arbitrară poate fi considerată una coliniară cu acest vector drept.

Bazat pe avion să numim doi vectori necoliniari pe acest plan, luați într-o anumită ordine https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Dacă vectorii de bază sunt perpendiculari perechi (ortogonali), atunci baza se numește ortogonală, iar dacă acești vectori au lungime egală cu unu, atunci se numește baza ortonormal .

Se numește cel mai mare număr de vectori liniar independenți din spațiu dimensiune acest spațiu, adică dimensiunea spațiului coincide cu numărul de vectori de bază ai acestui spațiu.

Deci, conform acestor definiții:

1. Spațiu unidimensional V1 este o linie dreaptă, iar baza constă din unul coliniar vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Spațiul obișnuit este spațiu tridimensional V3 , a cărui bază constă în trei necoplanare vectori .

De aici vedem că numărul de vectori de bază pe o dreaptă, pe un plan, în spațiul real coincide cu ceea ce în geometrie se numește de obicei numărul de dimensiuni (dimensiune) unei drepte, plan, spațiu. Prin urmare, este firesc să se introducă o definiție mai generală.

Definiție. spațiu vectorial R numit n- dimensional dacă conţine cel mult n vectori liniar independenți și se notează R n. Număr n numit dimensiune spaţiu.

În conformitate cu dimensiunea spațiului sunt împărțite în finite-dimensionaleȘi infinit-dimensională. Dimensiunea unui spațiu nul este, prin definiție, presupusă a fi zero.

Observație 1.În fiecare spațiu, puteți specifica câte baze doriți, dar toate bazele acestui spațiu constau din același număr de vectori.

Observația 2.ÎN n- într-un spațiu vectorial dimensional, o bază este orice colecție ordonată n vectori liniar independenți.

3. Orientarea spațiului.

Fie vectorii de bază în spațiu V3 avea început comunȘi ordonat, adică se indică care vector este considerat primul, care - al doilea și care - al treilea. De exemplu, într-o bază, vectorii sunt ordonați în funcție de indexare.

Pentru asta pentru a orienta spațiul, este necesar să se stabilească o bază și să îl declare pozitiv .

Se poate arăta că mulțimea tuturor bazelor unui spațiu se încadrează în două clase, adică în două submulțimi care nu se intersectează.

a) toate bazele aparținând unei submulțimi (clase) au aceeași orientare (baze cu același nume);

b) oricare două baze aparținând variat submulţimi (clase), au opus orientare, ( nume diferite baze).

Dacă una dintre cele două clase de baze ale unui spațiu este declarată pozitivă, iar cealaltă este negativă, atunci spunem că acest spațiu orientat .

Adesea, la orientarea spațiului, se numesc niște baze dreapta, în timp ce altele sunt de stânga .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> numit dreapta, dacă la observarea de la sfârșitul celui de-al treilea vector, cea mai scurtă rotație a primului vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> se efectuează în sens invers acelor de ceasornic(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Orez. 1.8. Baza dreapta (a) și baza stângă (b)

De obicei, baza corectă a spațiului este declarată a fi o bază pozitivă

Baza spațiului din dreapta (stânga) poate fi determinată și folosind regula șurubului „dreapta” („stânga”) sau a brațului.

Prin analogie cu aceasta, conceptul de dreapta și stânga tripleti vectori necomplementari care trebuie ordonati (Fig. 1.8).

Astfel, în cazul general, două triple ordonate ale vectorilor necoplanari au aceeași orientare (au același nume) în spațiu V3 dacă ambele sunt la dreapta sau ambele la stânga, și - orientare opusă (opus), dacă una dintre ele este dreapta și cealaltă este stânga.

La fel se procedează și în cazul spațiului V2 (avioane).

4. Descompunerea unui vector în termeni de bază.

Pentru simplitatea raționamentului, vom lua în considerare această întrebare folosind exemplul unui spațiu vectorial tridimensional R3 .

Fie https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> să fie un vector arbitrar al acestui spațiu.

Capitolul 3 Spații Vectoriale Liniare

Tema 8. Spații vectoriale liniare

Definiţia linear space. Exemple de spații liniare

Secțiunea 2.1 definește operația de adăugare a vectorilor liberi din R 3 și operația de înmulțire a vectorilor cu numere reale, precum și proprietățile acestor operații sunt, de asemenea, enumerate. Extinderea acestor operații și proprietățile lor la un set de obiecte (elemente) de natură arbitrară duce la o generalizare a conceptului de spațiu liniar de vectori geometrici din R 3 definit la §2.1. Să formulăm definiția unui spațiu vectorial liniar.

Definiție 8.1. O multime de V elemente X , la , z ,... se numește spațiu vectorial liniar, Dacă:

există o regulă că fiecare două elemente X Și la din V se potrivește cu al treilea element din V, numit sumă X Și la și notat X + la ;

există o regulă că fiecare element X iar orice număr real asociază un element din V, numit produs element X pe numărși notat X .

Suma oricăror două elemente X + la si munca X orice element la orice număr trebuie să îndeplinească următoarele cerințe − axiome spațiale liniare:

1°. X + la = la + X (comutativitatea adunării).

2°. ( X + la ) + z = X + (la + z ) (asociativitatea adunării).

3°. Există un element 0 , numit zero, astfel încât

X + 0 = X , X .

4°. Pentru oricine X există un element (- X ), numit opus pentru X , astfel încât

X + (– X ) = 0 .

5°. ( X ) = ()X , X , , R.

6°. X = X , X .

7°. () X = X + X , X , , R.

8°. ( X + la ) = X + y , X , y , R.

Elementele spațiului liniar vor fi numite vectori indiferent de natura lor.

Din axiomele 1°–8° rezultă că în orice spațiu liniar V următoarele proprietăți sunt valabile:

1) există un vector zero unic;

2) pentru fiecare vector X există un singur vector opus (– X ) , și (- X ) = (–l) X ;

3) pentru orice vector X egalitatea 0× X = 0 .

Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea 1). Să presupunem că în spațiu V sunt doua zerouri: 0 1 și 0 2. Punând în axioma 3° X = 0 1 , 0 = 0 2, primim 0 1 + 0 2 = 0 1 . În mod similar, dacă X = 0 2 , 0 = 0 1, atunci 0 2 + 0 1 = 0 2. Ținând cont de axioma 1°, obținem 0 1 = 0 2 .

Dăm exemple de spații liniare.

1. Mulțimea numerelor reale formează un spațiu liniar R. Axiomele 1°–8° sunt în mod evident satisfăcute în el.

2. Mulțimea vectorilor liberi din spațiul tridimensional, așa cum se arată în §2.1, formează de asemenea un spațiu liniar, notat R 3 . Vectorul nul este zero al acestui spațiu.

Mulțimea vectorilor de pe plan și de pe linie sunt, de asemenea, spații liniare. Le vom eticheta R 1 și R 2 respectiv.

3. Generalizarea spatiilor R 1 , R 2 și R 3 servește spațiu Rn, n N numit spatiu aritmetic n-dimensional, ale căror elemente (vectori) sunt colecții ordonate n numere reale arbitrare ( X 1 ,…, x n), adică

Rn = {(X 1 ,…, x n) | x i R, i = 1,…, n}.

Este convenabil să folosiți notația X = (X 1 ,…, x n), în care x i numit coordonata i-a(componentă)vector X .

Pentru X , la RnȘi R Să definim adunarea și înmulțirea prin următoarele formule:

X + la = (X 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

X = (X 1 ,…, x n).

Element de spațiu zero Rn este un vector 0 = (0,…, 0). Egalitatea a doi vectori X = (X 1 ,…, x n) Și la = (y 1 ,…, y n) din Rn, prin definiție, înseamnă egalitatea coordonatelor corespunzătoare, adică. X = la Û X 1 = y 1 &… & x n = y n.

Îndeplinirea axiomelor 1°–8° este evidentă aici.

4. Lasă C [ A ; b] este mulțimea continuelor reale pe segmentul [ A; b] funcții f: [A; b] R.

Suma funcțiilor fȘi g din C [ A ; b] se numește funcție h = f + g, definit de egalitate

h = f + g Û h(X) = (f + g)(X) = f(X) + g(X), " X Î [ A; b].

Produs funcțional f Î C [ A ; b] la numere A Î R este definit de egalitate

u = f Û u(X) = (f)(X) = f(X), " X Î [ A; b].

Astfel, operațiile introduse de adunare a două funcții și de înmulțire a unei funcții cu un număr transformă mulțimea C [ A ; b] într-un spațiu liniar ai cărui vectori sunt funcții. Axiomele 1°–8° sunt valabile în acest spațiu. Vectorul nul al acestui spațiu este funcția nulă identică și egalitatea a două funcții fȘi gînseamnă, prin definiție, următoarele:

f = g f(X) = g(X), " X Î [ A; b].

Golovizin V.V. Prelegeri despre algebră și geometrie. 4

Prelegeri despre algebră și geometrie. Semestrul 2.

Cursul 22. Spații vectoriale.

Conținut pe scurt: definiția unui spațiu vectorial, proprietățile sale cele mai simple, sisteme de vectori, combinație liniară a unui sistem de vectori, combinație liniară trivială și netrivială, sisteme de vectori dependente și independente liniar, condiții de dependență liniară sau independență a unui sistem de vectori, subsisteme ale unui sistem de vectori, sisteme de coloane ale unui spațiu vectorial aritmetic.

elementul 1. Definirea unui spațiu vectorial și proprietățile sale cele mai simple.

Aici, pentru comoditatea cititorului, repetăm ​​conținutul paragrafului 13 al prelegerii 1.

Definiție. Fie o mulțime arbitrară nevidă, ale cărei elemente le vom numi vectori, K este un câmp, ale cărui elemente le vom numi scalari. Să fie definită pe mulțime o operație algebrică binară internă, pe care o vom nota prin semnul + și o vom numi adunare de vectori. Să fie definită și o operație algebrică binară externă pe mulțime, pe care o vom numi înmulțirea unui vector cu un scalar și o vom nota prin semnul înmulțirii. Cu alte cuvinte, sunt definite două mapări:

O mulțime împreună cu aceste două operații algebrice se numește spațiu vectorial peste un câmp K dacă sunt valabile următoarele axiome:

1. Adunarea este asociativă, adică.

2. Există un vector zero, adică.

3. Pentru orice vector, există unul opus:

Vectorul y, opus vectorului x, este de obicei notat cu -x, astfel încât

4. Adunarea este comutativă, adică. .

5. Înmulțirea unui vector cu un scalar respectă legea asociativității, i.e.

unde produsul este produsul scalarilor definiți în câmpul K.

6. , unde 1 este unitatea câmpului K.

7. Înmulțirea unui vector cu un scalar este distributivă în raport cu adăugarea vectorului:

8. Înmulțirea unui vector cu un scalar este distributivă în raport cu adăugarea scalarilor: .

Definiție. Spațiul vectorial de peste câmpul numerelor reale se numește spațiu vectorial real.

Teorema. (Cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale.)

1. Există un singur vector nul într-un spațiu vectorial.

2. Într-un spațiu vectorial, orice vector are un opus unic.

3. sau
.

4. .

Dovada. 1) Unicitatea vectorului zero este dovedită în același mod ca unicitatea matricei de identitate și, în general, ca unicitatea elementului neutru al oricărei operații algebrice binare interne.

Fie 0 vectorul zero al spațiului vectorial V. Atunci . Lăsa
este un alt vector zero. Apoi . Să luăm primul caz
, iar în al doilea
. Apoi
Și
, de unde rezultă că
, etc.

2a) Mai întâi demonstrăm că produsul dintre un scalar zero și orice vector este egal cu un vector zero.

Lăsa
. Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial, obținem:

În ceea ce privește adăugarea, un spațiu vectorial este un grup abelian, iar legea anulării este valabilă în orice grup. Aplicând legea reducerii, presupune ultima egalitate

.

2b) Acum să demonstrăm afirmația 4). Lăsa
este un vector arbitrar. Apoi

De aici rezultă imediat că vectorul
este opusul lui x.

2c) Lasă acum
. Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial,
Și
primim:

2d) Fie
și să presupunem că
. Deoarece
, unde K este un câmp, atunci există
. Să înmulțim egalitatea
lasat sa
:
, de unde urmează
sau
sau
.

Teorema a fost demonstrată.

punctul 2. Exemple de spații vectoriale.

1) Un set de funcții numerice reale ale unei variabile, continue pe intervalul (0; 1) în raport cu operațiile obișnuite de adunare a funcțiilor și de înmulțire a unei funcții cu un număr.

2) Mulțimea polinoamelor dintr-o literă cu coeficienți din câmpul K în raport cu adunarea polinoamelor și înmulțirea polinoamelor cu un scalar.

3) Mulțimea numerelor complexe în raport cu adunarea numerelor complexe și înmulțirea cu un număr real.

4) Un set de matrice de aceeași dimensiune cu elemente din câmpul K în raport cu adunarea matricei și înmulțirea matricei cu un scalar.

Următorul exemplu este un caz special important al Exemplului 4.

5) Fie un număr natural arbitrar. Se notează prin mulțimea tuturor coloanelor de înălțime n, adică mulţime de matrice peste un câmp K de mărime
.

Mulțimea este un spațiu vectorial peste câmpul K și se numește spațiu vectorial aritmetic al coloanelor de înălțime n peste câmpul K.

În special, dacă în loc de un câmp arbitrar K luăm câmpul numerelor reale, atunci spațiul vectorial
se numește spațiu vectorial aritmetic real al coloanelor de înălțime n.

În mod similar, mulțimea de matrice peste un câmp K de dimensiune este, de asemenea, un spațiu vectorial
sau altfel, șiruri de lungime n. Este, de asemenea, notat cu și se mai numește spațiu vectorial aritmetic al șirurilor de lungime n peste câmpul K.

punctul 3. Sisteme de vectori ai unui spațiu vectorial.

Definiție. Un sistem de vectori ai unui spațiu vectorial este orice set finit nevid de vectori ai acestui spațiu.

Desemnare:
.

Definiție. Expresie

, (1)

unde sunt scalarii câmpului K, sunt vectorii spațiului vectorial V, se numește combinație liniară a sistemului de vectori
. Scalarii se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Definiție. Dacă toți coeficienții combinației liniare (1) sunt egali cu zero, atunci o astfel de combinație liniară se numește trivială, altfel este netrivială.

Exemplu. Lăsa
un sistem de trei vectori într-un spaţiu vectorial V. Atunci

este o combinație liniară trivială a unui sistem dat de vectori;

este o combinație liniară netrivială a unui sistem dat de vectori, deoarece primul coeficient al acestei combinaţii
.

Definiție. Dacă orice vector x al unui spațiu vectorial V poate fi reprezentat ca:

atunci spunem că vectorul x este exprimat liniar în termeni de vectori ai sistemului
. În acest caz, mai spunem că sistemul
reprezintă liniar vectorul x.

Cometariu. În această definiție și în cea anterioară, cuvântul „liniar” este adesea omis și se spune că sistemul reprezintă un vector, sau vectorul este exprimat în termeni de vectori ai sistemului și așa mai departe.

Exemplu. Lăsa
este un sistem de două coloane din spațiul vectorial real aritmetic al coloanelor de înălțime 2. Apoi coloana
exprimat liniar în termeni de coloane ale sistemului, sau sistemul de coloane dat reprezintă liniar coloana x. Într-adevăr,

punctul 4. Sisteme liniar dependente și liniar independente de vectori într-un spațiu vectorial.

Deoarece produsul unui scalar zero de orice vector este un vector zero și suma vectorilor zero este egală cu un vector zero, atunci pentru orice sistem de vectori egalitatea

Rezultă că vectorul nul este exprimat liniar în termeni de vectori ai oricărui sistem de vectori sau, cu alte cuvinte, orice sistem de vectori reprezintă liniar vectorul nul.

Exemplu. Lăsa
. În acest caz coloana nulă poate fi exprimat liniar în termeni de coloane ale sistemului în mai multe moduri:

sau

Pentru a distinge între aceste metode de reprezentare liniară a vectorului zero, introducem următoarea definiție.

Definiție. Dacă egalitatea

și toți coeficienții, atunci spunem că sistemul
reprezintă trivial vectorul nul. Dacă în egalitate (3) cel puţin unul dintre coeficienţi
nu este egal cu zero, atunci spunem că sistemul de vectori
reprezintă vectorul nul într-un mod netrivial.

Din ultimul exemplu, vedem că există sisteme de vectori care pot reprezenta vectorul nul într-un mod netrivial. Din exemplul următor, vom vedea că există sisteme de vectori care nu pot reprezenta netrivial vectorul nul.

Exemplu. Lăsa
este un sistem de două coloane din spațiul vectorial . Luați în considerare egalitatea:

,

Unde
coeficienți necunoscuți. Folosind regulile pentru înmulțirea unei coloane cu un scalar (număr) și adăugarea coloanelor, obținem egalitatea:

.

Din definiţia egalităţii matriceale rezultă că
Și
.

Astfel, sistemul dat nu poate reprezenta coloana nulă într-un mod netrivial.

Din exemplele de mai sus rezultă că există două tipuri de sisteme vectoriale. Unele sisteme reprezintă vectorul nul într-un mod non-trivial, în timp ce altele nu. Rețineți încă o dată că orice sistem de vectori reprezintă trivial vectorul nul.

Definiție. Se spune că un sistem vectorial spațial vectorial care reprezintă vectorul zero NUMAI trivial este liniar independent.

Definiție. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial care poate reprezenta în mod netrivial un vector nul se numește dependent liniar.

Ultima definiție poate fi dată într-o formă mai detaliată.

Definiție. Sistem vectorial
Spațiul vectorial V se numește dependent liniar dacă există o astfel de mulțime de scalari diferiti de zero ai câmpului K

Cometariu. Orice sistem de vectori
poate reprezenta trivial vectorul nul:

Dar acest lucru nu este suficient pentru a afla dacă un anumit sistem de vectori este liniar dependent sau liniar independent. Din definiție rezultă că un sistem de vectori liniar independent nu poate reprezenta vectorul zero într-un mod netrivial, ci doar într-un mod trivial. Prin urmare, pentru a verifica independența liniară a unui anumit sistem de vectori, este necesar să se ia în considerare reprezentarea zero printr-o combinație liniară arbitrară a acestui sistem de vectori:

Dacă această egalitate este imposibilă, cu condiția ca cel puțin un coeficient al acestei combinații liniare să fie diferit de zero, atunci acest sistem este, prin definiție, liniar independent.

Deci, în exemplele din paragraful anterior, sistemul de coloane
este liniar independent, iar sistemul de coloane
este dependent liniar.

Independența liniară a sistemului de coloane este dovedită în mod similar , , ... ,

din spațiul , unde K este un câmp arbitrar, n este un număr natural arbitrar.

Următoarele teoreme oferă mai multe criterii pentru dependența liniară și, în consecință, independența liniară a sistemelor de vectori.

Teorema. (O condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a unui sistem de vectori.)

Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este dependent liniar dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai acestui sistem.

Dovada. Necesitate. Lasă sistemul
dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul nul într-un mod netrivial, i.e. există o combinație liniară netrivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:

unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Lăsa
,
.

Împărțiți ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică, înmulțiți cu :

Denota:
, Unde .

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem etc.

Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem:

Să mutăm vectorul în partea dreaptă a acestei ecuații:

Deoarece coeficientul la vector egală
, atunci avem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori
, ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1. Un sistem de vectori într-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.

2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

Dovada.

1) Necesitatea. Fie sistemul liniar independent. Să presupunem contrariul și există un vector sistem care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Apoi, după teoremă, sistemul este dependent liniar și ajungem la o contradicție.

Adecvarea. Niciunul dintre vectorii sistemului nu fie exprimat în termenii altora. Să presupunem contrariul. Fie ca sistemul să fie dependent liniar, dar din teoremă rezultă că există un vector sistem care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem și ajungem din nou la o contradicție.

2a) Fie ca sistemul să conțină un vector zero. Presupunem pentru certitudine că vectorul
:. Apoi egalitatea

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai acestui sistem. Din teoremă rezultă că un astfel de sistem de vectori este dependent liniar, așa mai departe.

Rețineți că acest fapt poate fi demonstrat direct din definiția unui sistem de vectori dependent liniar.

Deoarece
, atunci următoarea egalitate este evidentă

Aceasta este o reprezentare non-trivială a vectorului zero, ceea ce înseamnă că sistemul
este dependent liniar.

2b) Fie ca sistemul să aibă doi vectori egali. Lăsați pentru certitudine
. Apoi egalitatea

Acestea. primul vector este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai aceluiași sistem. Din teoremă rezultă că sistemul dat este dependent liniar și așa mai departe.

Similar cu cea precedentă, această aserțiune poate fi demonstrată și direct din definiția unui sistem dependent liniar.

Într-adevăr, din moment ce
, apoi egalitatea

acestea. avem o reprezentare netrivială a vectorului nul.

Consecința este dovedită.

Teorema (Despre dependența liniară a unui sistem de un vector.

Un sistem format dintr-un vector este dependent liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.

Dovada.

Necesitate. Lasă sistemul
dependent liniar, adică există o reprezentare netrivială a vectorului nul

,

Unde
Și
. Din cele mai simple proprietăți ale unui spațiu vectorial rezultă că atunci
.

Adecvarea. Fie că sistemul este format dintr-un vector zero
. Atunci acest sistem reprezintă vectorul zero în mod netrivial

,

de unde urmează dependenţa liniară a sistemului
.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Un sistem format dintr-un vector este liniar independent dacă și numai dacă acest vector este diferit de zero.

Dovada este lăsată cititorului ca exercițiu.

Un spațiu vectorial (liniar) este o mulțime de vectori (elemente) cu componente reale, în care se definesc operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr care satisfac anumite axiome (proprietăți)

1)x+la=la+X(comutabilitatea adunării);

2)(X+la)+z=X+(y+z) (asociativitatea adunării);

3) există un vector zero 0 (sau vector nul) care satisface condiția X+ 0 =X: pentru orice vector X;

4) pentru orice vector X există un vector opus la astfel încât X+la = 0 ,

5) 1 x=X,

6) A(bx)=(ab)X(asociativitatea înmulțirii);

7) (A+b)X=Ah+bx(proprietate distributivă în raport cu un factor numeric);

8) A(X+la)=Ah+Ay(proprietatea distributivă în raport cu factorul vectorial).

Un spațiu liniar (vector) V(P) peste un câmp P este o mulțime nevidă V. Elementele mulțimii V se numesc vectori, iar elementele câmpului P se numesc scalari.

Cele mai simple proprietăți.

1. Spațiul vectorial este un grup abelian (un grup în care operația de grup este comutativă. Operația de grup în grupurile abeliene se numește de obicei „adunare” și se notează cu semnul +)

2. Elementul neutru este singurul care rezultă din proprietățile grupului pentru orice .

3. Pentru orice element opus este singurul care rezultă din proprietățile grupului.

4.(–1) x = – x pentru orice x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) pentru orice α є P și x є V.

Expresie a 1 e 1+a 2 si 2+ … +a n e n(1) se numește o combinație liniară de vectori e 1 , e 2 ,..., e n cu coeficienți a 1, a 2,..., un n . Combinația liniară (1) se numește netrivială dacă cel puțin unul dintre coeficienți a 1 , a 2 ,..., a n diferit de zero. Vectori e 1 , e 2 ,..., e n sunt numite dependente liniar dacă există o combinație netrivială (1) care este un vector zero. În caz contrar (adică dacă este doar o combinație trivială de vectori e 1 , e 2 ,..., e n vectori egal cu zero vector). e 1 , e 2 ,..., e n se numește liniar independent.

Dimensiunea unui spațiu este numărul maxim de vectori LZ conținuți în acesta.

spațiu vectorial se numește n-dimensional (sau are „dimensiune n"), dacă conţine n elemente liniar independente e 1 , e 2 ,..., e n ,și orice n+ 1 elementele sunt dependente liniar (condiția generalizată B). spațiu vectorial sunt numite infinit-dimensional dacă în ea pentru orice natural n există n vectori liniar independenți. Orice n vectori liniar independenți ai n-dimensionalului spațiu vectorial formează baza acestui spațiu. Dacă e 1 , e 2 ,..., e n- baza spațiu vectorial, apoi orice vector X al acestui spațiu poate fi reprezentat unic ca o combinație liniară de vectori de bază: X=a 1 e 1+a 2 si 2+... +a n e n.
În același timp, numerele a 1 , a 2, ..., a n se numesc coordonatele vectorului Xîn această bază.

4.3.1 Definirea spațiului liniar

Lăsa ā , , - elemente ale unui set ā , , Teren λ , μ - numere reale, λ , μ R..

Se numește mulțimea Lliniar sauspațiu vectorial, dacă sunt definite două operații:

1 0 . Plus. Fiecare pereche de elemente din această mulțime este asociată cu un element din aceeași mulțime, numit suma lor

ā + =

2°.Înmulțirea cu un număr. Orice număr real λ și element ā L i se atribuie un element din același set λ ā Lși sunt îndeplinite următoarele proprietăți:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. există element nul
, astfel încât ā +=ā ;

4. există element opus -
astfel încât ā +(-ā )=.

Dacă λ , μ - numere reale, atunci:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elemente ale spațiului liniar ā, , ... se numesc vectori.

Exercițiu. Arată-ți că aceste mulțimi formează spații liniare:

1) Mulțimea vectorilor geometrici pe plan;

2) Un set de vectori geometrici în spațiul tridimensional;

3) Un set de polinoame de un anumit grad;

4) Un set de matrici de aceeași dimensiune.

4.3.2 Vectori liniar dependenți și independenți. Dimensiunea și baza spațiului

Combinație liniară vectori ā 1 , ā 2 , …, ā n Lse numeste vector de acelasi spatiu de forma:

,

Unde λ i - numere reale.

Vectori ā 1 , .. , ā n numitliniar independent, dacă combinația lor liniară este un vector zero dacă și numai dacă toate λ i sunt egale cu zero, acesta este

λ i=0

Dacă combinația liniară este un vector zero și cel puțin unul dintre λ i este diferit de zero, atunci acești vectori se numesc dependenți liniar. Acesta din urmă înseamnă că cel puțin unul dintre vectori poate fi reprezentat ca o combinație liniară a altor vectori. Într-adevăr, să și, de exemplu,
. Apoi,
, Unde

.

Sistemul ordonat de vectori maxim liniar independent se numește bază spaţiu L. Numărul de vectori de bază se numește dimensiune spaţiu.

Să presupunem că există n vectori liniar independenți, atunci spațiul se numește n-dimensională. Alți vectori spațiali pot fi reprezentați ca o combinație liniară n vectori de bază. pe bază n- spațiu dimensional poate fi luat orice n vectori liniar independenți ai acestui spațiu.

Exemplul 17. Găsiți baza și dimensiunea spațiilor liniare date:

a) seturi de vectori situati pe o linie (coliniari cu o linie)

b) mulţimea vectorilor aparţinând planului

c) mulţime de vectori ai spaţiului tridimensional

d) mulţimea polinoamelor de gradul cel mult doi.

Soluţie.

A) Oricare doi vectori care se află pe o linie vor fi dependenți liniar, deoarece vectorii sunt coliniari
, Acea
, λ - scalar. Prin urmare, baza acestui spațiu este doar un (orice) vector, altul decât zero.

De obicei, acest spațiu este R, dimensiunea sa este 1.

b) oricare doi vectori necoliniari
sunt independenți liniar și oricare trei vectori din plan sunt dependenți liniar. Pentru orice vector , sunt numere  Și  astfel încât
. Spațiul se numește bidimensional, notat R 2 .

Baza unui spațiu bidimensional este formată din oricare doi vectori necoliniari.

V) Oricare trei vectori necoplanari vor fi independenți liniar, ei formând baza unui spațiu tridimensional R 3 .

G) Ca bază pentru spațiul polinoamelor de gradul cel mult doi, se pot alege următorii trei vectori: ē 1 = X 2 ; ē 2 = X; ē 3 =1 .

(1 este un polinom, identic egal cu unu). Acest spațiu va fi tridimensional.