Sarcini pentru etapa școlară a olimpiadei rusești pentru școlari la matematică. Olimpiade de matematică și probleme de olimpiade Nikolay a cumpărat un caiet comun cu un volum de 96 de coli

Sarcina 16:

Este posibil să schimbi 25 de ruble cu zece bancnote în valori de 1, 3 și 5 ruble? Soluţie:

Răspuns: Nu

Petya a cumpărat un caiet comun cu un volum de 96 de coli și și-a numerotat toate paginile în ordine cu numere de la 1 la 192. Vasya a smuls 25 de coli din acest caiet și a adunat toate cele 50 de numere care sunt scrise pe ele. Ar fi putut face 1990? Soluţie:

Pe fiecare foaie, suma numerelor paginilor este impară, iar suma celor 25 de numere impare este impară.

Produsul a 22 de numere întregi este egal cu 1. Demonstrați că suma lor nu este egală cu zero. Soluţie:

Printre aceste numere se află un număr par de „minus unu”, iar pentru ca suma să fie egală cu zero, trebuie să fie exact 11 dintre ele.

Este posibil să faci un pătrat magic din primele 36 de numere prime? Soluţie:

Dintre aceste numere, unul (2) este par, iar restul sunt impare. Prin urmare, în linia în care există un deuce, suma numerelor este impară, iar în celelalte este pară.

Pe rând se scriu numerele de la 1 la 10. Este posibil să plasați semnele „+” și „-” între ele astfel încât valoarea expresiei rezultate să fie egală cu zero?

Notă: rețineți că numerele negative pot fi, de asemenea, pare și impare. Soluţie:

Într-adevăr, suma numerelor de la 1 la 10 este 55, iar prin schimbarea semnelor din ea, schimbăm întreaga expresie într-un număr par.

Lăcusta sare în linie dreaptă, iar prima dată a sărit 1 cm într-o direcție, a doua oară a sărit 2 cm și așa mai departe. Demonstrează că după săriturile din 1985 nu poate fi acolo unde a început. Soluţie:

Notă: suma 1 + 2 + … + 1985 este impară.

Pe tablă sunt scrise numerele 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Este permisă ștergerea oricăror două numere de pe tablă și în schimb să notați modulul diferenței lor. Până la urmă, pe tablă va rămâne un singur număr. Poate fi zero? Soluţie:

Verificați ca operațiunile indicate să nu modifice paritatea sumei tuturor numerelor scrise pe tablă.

Este posibil să acoperiți o tablă de șah cu 1 × 2 piese de domino în așa fel încât doar celulele a1 și h8 să rămână libere? Soluţie:

Fiecare domino acoperă un pătrat negru și unul alb, iar când pătratele a1 și h8 sunt aruncate, există 2 pătrate negre mai puține decât cele albe.

La numărul de 17 cifre i s-a adăugat numărul scris în aceleași cifre, dar în ordine inversă. Demonstrați că cel puțin o cifră a sumei rezultate este pară. Soluţie:

Analizați două cazuri: suma primei și ultimelor cifre ale numărului este mai mică de 10, iar suma primei și ultimelor cifre ale numărului nu este mai mică de 10. Dacă presupunem că toate cifrele sumei sunt impare , apoi în primul caz nu ar trebui să existe o singură purtare în cifre (ceea ce, evident, duce la o contradicție), iar în al doilea caz, prezența unui carry la deplasarea de la dreapta la stânga sau de la stânga la dreapta alternează cu absența unei purtări și, ca rezultat, obținem că cifra sumei din a noua cifră este în mod necesar pară.

În lotul popular sunt 100 de oameni, iar în fiecare seară trei dintre ei merg la serviciu. Se poate dovedi după ceva timp că toată lumea a fost de serviciu cu toată lumea exact o dată? Soluţie:

Deoarece la fiecare ceas la care această persoană participă, el este de serviciu cu alți doi, atunci restul poate fi împărțit în perechi. Cu toate acestea, 99 este un număr impar.

Există 45 de puncte marcate pe linia dreaptă care se află în afara segmentului AB. Demonstrați că suma distanțelor de la aceste puncte la punctul A nu este egală cu suma distanțelor de la aceste puncte la punctul B. Soluţie:

Pentru orice punct X situat în afara AB, avem AX - BX = ± AB. Dacă presupunem că sumele distanțelor sunt egale, atunci obținem că expresia ± AB ± AB ± … ± AB, în care sunt implicați 45 de termeni, este egală cu zero. Dar acest lucru este imposibil.

Există 9 numere aranjate într-un cerc - 4 unu și 5 zerouri. În fiecare secundă, asupra numerelor se efectuează următoarea operație: între numerele alăturate se pune zero dacă sunt diferite și unul dacă sunt egale; după aceea, numerele vechi sunt șterse. Toate numerele pot deveni aceleași după ceva timp? Soluţie:

Este clar că nu se poate obține o combinație de nouă uni înainte de nouă zerouri. Dacă au fost nouă zerouri, atunci la mișcarea anterioară, zerourile și unuurile ar fi trebuit să alterne, ceea ce este imposibil, deoarece există doar un număr impar.

25 de băieți și 25 de fete stau la o masă rotundă. Demonstrați că unul dintre cei care stau la masă are ambii vecini băieți. Soluţie:

Să realizăm dovezile noastre prin contradicție. Numărăm în ordine pe toți cei care stau la masă, începând de undeva. Dacă există un băiat pe locul k, atunci este clar că locurile (k - 2) și (k + 2) sunt ocupate de fete. Dar, deoarece există un număr egal de băieți și fete, atunci pentru orice fată care se află pe locul al n-lea, este adevărat că locurile (n - 2) și (n + 2) sunt ocupate de băieți. Dacă luăm în considerare acum doar acele 25 de persoane care stau în locuri „pare”, atunci obținem că printre ei băieții și fetele alternează dacă ocolesc masa într-o direcție oarecare. Dar 25 este un număr impar.

Melcul se târăște de-a lungul avionului cu o viteză constantă, întorcându-se în unghi drept la fiecare 15 minute. Demonstrați că se poate întoarce la punctul de plecare numai după un număr întreg de ore. Soluţie:

Este clar că numărul a al secțiunilor în care melcul s-a târât în ​​sus sau în jos este egal cu numărul de secțiuni în care s-a târât la dreapta sau la stânga. Rămâne doar de observat că a este par.

Trei lăcuste joacă săritură pe linie dreaptă. De fiecare dată când unul dintre ei sare peste celălalt (dar nu peste doi deodată!). Pot să revină la pozițiile inițiale după saltul din 1991? Soluţie:

Indicați lăcustele A, B și C. Să numim aranjamentele lăcustelor ABC, BCA și CAB (de la stânga la dreapta) corecte, iar ACB, BAC și CBA incorecte. Este ușor de observat că cu orice salt tipul de aranjament se schimbă.

Sunt 101 monede, dintre care 50 sunt contrafăcute, care diferă ca greutate cu 1 gram de cele reale. Petya a luat o monedă și pentru una cântărită pe cântar cu o săgeată care arată diferența de greutăți pe cupe, el vrea să stabilească dacă este falsă. O poate face? Soluţie:

Trebuie să puneți această monedă deoparte, apoi să împărțiți cele 100 de monede rămase în două grămezi de 50 de monede și să comparați greutățile acestor grămezi. Dacă diferă cu un număr par de grame, atunci moneda care ne interesează este reală. Dacă diferența dintre greutăți este impară, atunci moneda este contrafăcută.

Este posibil să scrieți numerele de la 1 la 9 la rând o dată, astfel încât între unu și doi, doi și trei, ..., opt și nouă să existe un număr impar de cifre? Soluţie:

În caz contrar, toate numerele din rând ar fi în locuri cu aceeași paritate.

Această lucrare Petya a cumpărat un caiet comun cu un volum de 96 de coli și și-a numerotat toate paginile în ordine cu numere de la 1 la 192. Vasya a scos (Control) pe subiect (AHD și analiză financiară), a fost realizat la comandă de către compania noastră. specialiști și și-a trecut cu succes apărarea. Lucrare - Petya a cumpărat un caiet comun cu un volum de 96 de coli și și-a numerotat toate paginile în ordine cu numere de la 1 la 192. Vasya a renunțat la subiectul AHD și analiza financiară reflectă subiectul și componenta logică a dezvăluirii sale, se dezvăluie esența problemei studiate, se evidențiază principalele prevederi și ideile conducătoare ale acestui subiect.
Lucrare - Petya a cumpărat un caiet comun cu un volum de 96 de coli și și-a numerotat toate paginile în ordine cu numere de la 1 la 192. Vasya l-a smuls, conține: tabele, desene, cele mai recente surse literare, anul depunerii și apărării lucrarea - 2017. În lucrare, Petya a cumpărat un volum de caiet comun de 96 de coli și și-a numerotat toate paginile în ordine cu numere de la 1 la 192. Vasya a scos (AHD și analiză financiară) relevanța subiectului de cercetare este dezvăluită, gradul de dezvoltare a problemei se reflectă, pe baza unei evaluări și analize profunde a literaturii științifice și metodologice, în lucrările pe tema AHD și analiza financiară, obiectul analizei și problemele sale sunt considerate cuprinzător, atât din punct de vedere teoretic. și laturile practice, se formulează scopul și sarcinile specifice temei luate în considerare, există o logică de prezentare a materialului și succesiunea acestuia.

Secțiuni: Matematica

Dragi participanti la olimpiade!

Olimpiada școlară de matematică se desfășoară într-o singură rundă.
Există 5 sarcini cu diferite niveluri de dificultate.
Nu există cerințe speciale pentru proiectarea lucrării. Forma de prezentare a soluției problemelor, precum și metodele de soluționare, pot fi oricare. Dacă aveți gânduri individuale despre o anumită sarcină, dar nu puteți duce soluția până la capăt, nu ezitați să vă exprimați toate gândurile. Chiar și problemele rezolvate parțial vor fi evaluate după numărul de puncte corespunzător.
Începeți să rezolvați sarcinile care vi se par mai ușoare, apoi treceți la restul. Astfel economisiți timp.

Vă dorim succes!

Etapa școlară a olimpiadei rusești pentru școlari la matematică

Clasa 5

Exercitiul 1. În expresia 1*2*3*4*5, înlocuiți „*” cu semne de acțiune și plasați parantezele astfel. Pentru a obține o expresie a cărei valoare este 100.

Sarcina 2. Este necesar să se descifreze înregistrarea egalității aritmetice, în care numerele sunt înlocuite cu litere, iar numere diferite sunt înlocuite cu litere diferite, aceleași sunt aceleași.

CINCI - TREI \u003d DOI Se știe că în loc de scrisoare DAR trebuie sa pui numarul 2.

Sarcina 3. Cum să împărțiți 80 kg de unghii în două părți - 15 kg și 65 kg folosind cântare fără greutăți?

Sarcina 4. Tăiați figura prezentată în figură în două părți egale, astfel încât fiecare parte să aibă o stea. Puteți tăia doar de-a lungul liniilor de grilă.

Sarcina 5. O ceașcă și o farfurie costă împreună 25 de ruble, în timp ce 4 căni și 3 farfurii costă 88 de ruble. Aflați prețul cănii și prețul farfurii.

clasa a 6-a.

Exercitiul 1. Comparați fracțiile fără a le aduce la un numitor comun.

Sarcina 2. Este necesar să se descifreze înregistrarea egalității aritmetice, în care numerele sunt înlocuite cu litere, iar numere diferite sunt înlocuite cu litere diferite, aceleași sunt aceleași. Se presupune că egalitatea originală este adevărată și scrisă conform regulilor obișnuite de aritmetică.

MUNCĂ
+ VOIE
NOROC

Sarcina 3. Trei prieteni au venit în tabăra de vară să se odihnească: Misha, Volodya și Petya. Se știe că fiecare dintre ei are unul dintre următoarele nume de familie: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Misha nu este Gerasimov. Tatăl lui Volodya este inginer. Volodia este în clasa a VI-a. Gerasimov este în clasa a V-a. Tatăl lui Ivanov este profesor. Care este numele de familie al fiecăruia dintre cei trei prieteni?

Sarcina 4. Împărțiți figura de-a lungul liniilor grilei în patru părți identice, astfel încât fiecare parte să aibă un punct.

Sarcina 5. Libelula săritoare a dormit jumătate din timpul fiecărei zile a verii roșii, a dansat o treime din timpul fiecărei zile și a cântat pentru a șasea parte. Restul timpului a decis să-l dedice pregătirii pentru iarnă. Câte ore pe zi se pregătea libelula pentru iarnă?

clasa a 7-a.

Exercitiul 1. Rezolvați rebusul dacă știți că cea mai mare cifră din numărul PUTERNIC este 5:

DECIDE
DACĂ
PUTERNIC

Sarcina 2. Rezolvați ecuația│7 - x│ = 9,3

Sarcina 3. După șapte spălări, lungimea, lățimea și grosimea săpunului se înjumătățiseră. Câte dintre aceleași spălări vor rezista săpunul rămas?

Sarcina 4 . Împărțiți dreptunghiul de 4 × 9 celule de-a lungul laturilor celulelor în două părți egale, astfel încât să puteți face apoi un pătrat din ele.

Sarcina 5. Un cub de lemn a fost vopsit cu vopsea albă pe toate părțile și apoi tăiat în 64 de cuburi identice. Câte cuburi s-au dovedit a fi colorate pe trei părți? Din două părți?
Pe de o parte? Câte cuburi nu sunt colorate?

clasa a 8-a.

Exercitiul 1. Ce două cifre se termină cu numărul 13!

Sarcina 2. Reduceți fracția:

Sarcina 3. Cercul de teatru școlar, pregătindu-se pentru realizarea unui fragment din basmul de A.S. Pușkin despre țarul Saltan, a decis să distribuie rolurile între participanți.
- Voi fi Chernomor, - a spus Yura.
- Nu, voi fi Chernomor, - spuse Kolya.
- În regulă, - i-a recunoscut Yura, - pot să îl joc pe Gvidon.
- Ei bine, pot deveni Saltan, - Kolya a arătat și el conform.
- Sunt de acord să fiu numai Guidon! spuse Misha.
Dorințele băieților au fost îndeplinite. Cum au fost distribuite rolurile?

Sarcina 4. Mediana AD este trasată într-un triunghi isoscel ABC cu baza AB = 8m. Perimetrul triunghiului ACD este mai mare decât perimetrul triunghiului ABD cu 2 m. Găsiți AS.

Sarcina 5. Nikolai a cumpărat un caiet comun de 96 de coli și a numerotat paginile de la 1 la 192. Nepotul său Arthur a rupt 35 de coli din acest caiet și a adunat toate cele 70 de numere care erau scrise pe ele. Ar putea obține 2010.

Clasa a 9-a

Exercitiul 1. Găsiți ultima cifră a anului 1989 1989 .

Sarcina 2. Suma rădăcinilor unei ecuații pătratice este 1, iar suma pătratelor lor este 2. Care este suma cuburilor lor?

Sarcina 3. Folosind trei mediane m a , m b și m c ∆ ABC găsiți lungimea laturii AC = b.

Sarcina 4. Reduceți fracția .

Sarcina 5. În câte moduri puteți alege o vocală și o consoană în cuvântul "kamzol"?

Clasa 10.

Exercitiul 1. În prezent există monede de 1, 2, 5, 10 ruble. Indicați toate sumele de bani care pot fi plătite atât cu un număr par, cât și cu un număr impar de monede.

Sarcina 2. Demonstrați că 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 este divizibil cu 6.

Sarcina 3. Într-un patrulater ABCD diagonalele se intersectează într-un punct M. Se știe că AM = 1,
VM = 2, CM = 4. La ce valori DM patrulater ABCD este un trapez?

Sarcina 4. Rezolvarea sistemului de ecuații

Sarcina 5. Treizeci de școlari - elevi de clasa a X-a și clasa a XI-a - și-au dat mâna. În același timp, s-a dovedit că fiecare elev de clasa a X-a a dat mâna cu opt elevi de clasa a XI-a, iar fiecare elev de clasa a XI-a a dat mâna cu șapte elevi de clasa a X-a. Câți elevi de clasa a zecea și câți elevi de clasa a XI-a?