Генетические термины и символика. Генетическая символика, оформление задач Как обозначаются скрещивающиеся прямые
Генетическая символика
Символика — перечень и объяснение условных названий и терминов, употребляемых в какой-либо отрасли науки.
Основы генетической символики были заложены Грегором Менделем, применившим буквенную символику для обозначения признаков. Доминантные признаки были обозначены заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д., рецессивные — малыми буквами — а, в, с и т.д. Буквенная символика, предложенная Менделем, по сути, алгебраическая форма выражения законов наследования признаков.
Для обозначения скрещивания принята следующая символика.
Родители обозначаются латинской буквой Р (Parents — родители), затем рядом записывают их генотипы. Женский пол обозначают сим волом ♂ (зеркало Венеры), мужской — ♀ (щит и копье Марса). Между родителями ставят знак «х», обозначающий скрещивание. Генотип женской особи пишут на первом месте, а мужской - на втором.
Первое по коление обозначается F 1 (Filli — дети), второе поколение — F 2 и т.д. Рядом приводят обозначения генотипов потомков.
Словарь основных терминов и понятий
Аллели (аллельные гены) — разные формы одного гена, возникшие в результате мутаций и расположенные в одинаковых точках (локусах) парных гомологичных хромосом.
Альтернативные признаки – взаимоисключающие, контрастные признаки.
Гаметы (от греч. « гаметес » – супруг) – половая клетка растительного или животного организма, несущая один ген из аллельной пары. Гаметы всегда несут гены в «чистом» виде, т.к. образуются путем мейотического деления клеток и содержат одну из пары гомологичных хромосом.
Ген (от греч. « генос » – рождение) – участок молекулы ДНК, несущий информацию о первичной структуре одного конкретного белка.
Гены аллельные – парные гены, расположенные в идентичных участках гомологичных хромосом.
Генотип — совокупность наследственных задатков (генов) организма.
Гетерозигота (от греч. « гетерос » – другой и зигота) – зигота, имеющая два разных аллеля по данному гену (Аа, Вb ).
Гетерозиготными называют особей, получивших от родительских особей разные гены. Гетерозиготная особь в потомстве дает расщепление по данному признаку.
Гомозигота (от греч. « гомос » – одинаковый и зигота) – зигота, имеющая одинаковые аллели данного гена (оба доминантные или оба рецессивные).
Гомозиготными называют особей, получивших от родительских особей одинаковые наследственные задатки (гены) по какому-то конкретному признаку. Гомозиготная особь в потомстве не дает расщепления.
Гомологичные хромосомы (от греч. « гомос » – одинаковый) – парные хромосомы, одинаковые по форме, размерам, набору генов. В диплоидной клетке набор хромосом всегда парный: одна хромосома из пары материнского происхождения, вторая – отцовская.
Гетерозиготными называют особей, получивших от родительских особей разные гены. Таким образом, по генотипу особи могут быть гомозиготными (АА или аа) или гетерозиготными (Аа).
Доминантный признак (ген ) – преобладающий, проявляющийся – обозначается заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т. д.
Рецессивный признак (ген) – подавляемый признак – обозначается соответствующей строчной буквой латинского алфавита: а, b с и т. д
Скрещивание анализирующее – скрещивание испытуемого организма с другим, являющимся по данному признаку рецессивной гомозиготой, что позволяет установить генотип испытуемого.
Скрещивание дигибридное – скрещивание форм, отличающихся друг от друга по двум парам альтернативных признаков.
Скрещивание моногибридное – скрещивание форм, отличающихся друг от друга по одной паре альтернативных признаков.
Чистые линии – организмы, гомозиготные по одному или нескольким признакам и не дающие в потомстве проявления альтернативного признака.
Фен – признак.
Фенотип — совокупность всех внешних признаков и свойств организма, до ступных наблюдению и анализу.
Алгоритм решения генетических задач
- Внимательно прочтите уровень задачи.
- Сделайте краткую запись условия задачи.
- Запишите генотипы и фенотипы скрещиваемых особей.
- Определите и запишите типы гамет, которые образуют скрещиваемые особи.
- Определите и запишите генотипы и фенотипы полученного от скрещивания потомства.
- Проанализируйте результаты скрещивания. Для этого определите количество классов потомства по фенотипу и генотипу и запишите их в виде числового соотношения.
- Запишите ответ на вопрос задачи.
(При решении задач по определённым темам последовательность этапов может изменяться, а их содержание модифицироваться.)
Оформление задач
- Первым принято записывать генотип женской особи, а затем – мужской (верная запись - ♀ААВВ х ♂аавв; неверная запись - ♂ аавв х ♀ААВВ).
- Гены одной аллельной пары всегда пишутся рядом (верная запись – ♀ААВВ; неверная запись ♀АВАВ).
- При записи генотипа, буквы, обозначающие признаки, всегда пишутся в алфавитном порядке, независимо, от того, какой признак – доминантный или рецессивный – они обозначают (верная запись - ♀ааВВ; неверная запись -♀ ВВаа).
- Если известен только фенотип особи, то при записи её генотипа пишут лишь те гены, наличие которых бесспорно. Ген, который невозможно определить по фенотипу, обозначают значком «_» (например, если жёлтая окраска (А) и гладкая форма (В) семян гороха – доминантные признаки, а зелёная окраска (а) и морщинистая форма (в) – рецессивные, то генотип особи с жёлтыми морщинистыми семенами записывают следующим образом: А_вв ).
- Под генотипом всегда пишут фенотип.
- Гаметы записывают, обводя их кружком (А).
- У особей определяют и записывают типы гамет, а не их количество
Наследственность - способность организмов передавать следующему поколению свои признаки и свойства, т. е. способность воспроизводить себе подобных.
Ген - участок молекулы ДНК, несущий информацию о структуре одного белка.
Генотип - совокупность всех наследственных свойств особи, наследственная основа организма, составленная совокупностью генов.
Фенотип - совокупность всех внутренних и внешних признаков и свойств особи, сформировавшихся на базе генотипа в процессе его индивидуального развития.
Моногибридное скрещивание - скрещивание родительских форм, наследственно различающихся лишь по одной паре признаков.
Доминирование - явление преобладания признаков при скрещивании.
Доминантный признак - преобладающий.
Рецессивный признак — отступающий или исчезающий.
Гомозиготы - особи, дающие при самоопылении по данной паре признаков однородное не расщепляющееся потомство.
Гетерозиготы - особи, дающие расщепление по данной паре признаков.
Аллели - различные формы одного и того же гена.
Дигибридное скрещивание - скрещивание родительских форм, различающихся по двум парам признаков.
Изменчивость - способность организмов изменять свои признаки й свойства.
Модификационная (фенотипическая) изменчивость - изменения фенотипа, возникающие под влиянием изменений внешних условий и не связанные с изменением генотипа.
Норма реакции - пределы модификационной изменчивости данного признака.
Мутации - изменения генотипа, вызванные структурными изменениями генов или хромосом.
Полиплоидия - кратное гаплоидному набору увеличение хромосом в клетке (3n, 4n и более).
В генетике пользуются такими общепринятыми символами:
- буквой Р (от лат. «парента» - родители) обозначают родительские организмы, взятые для скрещивания;
- знаком ♀ («зеркало Венеры») — обозначают женский пол;
- ♂ («щит и копье Марса») - обозначают мужской иол.
- Скрещивание обозначают знаком «X» , гибридное потомство обозначают буквой F (от лат. «филия» - дети) с цифрой, отвечающей порядковому номеру поколения - F 1 , F 2 , F 3 .
Сформулированные Г. Менделем законы
Правило доминирования , или первый закон: при моногибридном скрещивании у гибридов первого поколения проявляются только доминантные признаки — оно фенотипически единообразно.
Закон расщепления , или второй закон Г. Менделя: при скрещивании гибридов первого поколения в потомстве происходит расщепление признаков в отношении 3:1 - образуются две фенотипические группы - доминантная и рецессивная.
Закон независимого наследования (третий закон): при дигибридном скрещивании у гибридов каждая пара признаков наследуется независимо от других и дает с ним разные сочетания. Образуются четыре фенотипические группы, характеризующиеся отношением 9:3:3:1.
Ход моногибридного скрещивания (первый и второй законы Менделя)
Светлые кружки - организмы с доминантными признаками; темные - с рецессивным признаком.
Гипотеза чистоты гамет : находящиеся в каждом организме пары альтернативных признаков не смешиваются и при образовании гамет по одному от каждой пары переходят в них в чистом виде.
Для объяснения наблюдаемых закономерностей Мендель выдвинул гипотезу чистоты гамет, предположив следующее:
- любой признак формируется под влиянием материального фактора (гена).
- Фактор, определяющий доминантный признак, он определил заглавной буквой А, а рецессивный - а. Каждая особь содержит два фактора, определяющих развитие признака, один она получает от матери, другой - от отца.
- При образовании гамет у животных и спор - у растений происходит редукция факторов и в каждую гамету или спору попадает только один.
Согласно этой гипотезе ход моногибридного скрещивания записывают так:
При любых сочетаниях гамет все гибриды имеют одинаковый генотип и фенотип.
В F 2 расщепление по генотипу будет 1АА; 2Аа; 1аа, а но фенотипу: 3 желтых, 1 зеленый (3:1).
Иногда у гибридов F 1 , не наблюдается полного доминирования, их признаки носят промежуточный характер. Такой характер наследования называют промежуточным, или неполным доминированием.
Пример: моногибридное скрещивание ночной красавицы: при неполном доминировании в F2 расщепление по фенотипу и генотипу выражается одинаковым соотношением: 1:2:1 (1 белый, 2 розовых, 1 красный).
Характер наследования был определен как независимое и сформулирован третий закон Менделя, или закон независимого наследования.
Независимое наследование имеет огромное значение для эволюции, так как является источником комбинативной изменчивости и многообразия живых организмов.
Закон сцепленного наследования
В 1911 году Томасом Морганом был сформулирован закон сцепленного наследования - сцепленные гены, локализованные в одной хромосоме, наследуются вместе и не обнаруживают независимого расщепления.
В каждой хромосоме сосредоточено несколько тысяч генов, по которым одна особь данного вида отличается от другой. Выясняя вопрос, как будут наследоваться признаки этих генов, Морган установил, что гены, расположенные в одной хромосоме, наследуются сцеплено, вместе, как одна альтернативная пара, не обнаруживая независимого наследования.
Сцепление не всегда бывает абсолютным. В профазе первого деления мейоза при конъюгации хромосом происходит их перекрест, вследствие чего гены, находящиеся в одной хромосоме, оказывались в разных гомологических хромосомах и попадали в разные гаметы.
Схема перекреста хромосом
Два гена, расположенные в одной хромосоме (светлые круги в одной из хромосом), в результате перекреста оказываются в разных гомологичных хромосомах.
Такой обмен приводит к перегруппировке сцепленных генов и является одним из источников комбинативной изменчивости.
Перекрест хромосом играет определенную роль в эволюции, так как новое сочетание генов вызывает появление новых признаков, которые могут оказаться полезными или вредными для организма и повлиять на их выживаемость.
Ген может одновременно влиять на формирование нескольких признаков, проявляя при этом множественное действие.
На лекционных и практических занятиях будет принята система обозначений и символики (табл. 2,3), разработанная проф. Н.Ф.Четверухиным. Система этих обозначений широко применяется в настоящее время кафедрами начертательной геометрии и инженерной графики ведущих вузов России.
Таблица 2
ОБОЗНАЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Геометрическая фигура (объект) | Обозначение и пример |
Точка | Прописная буква латинского алфавита: А , В , С , … или арабская цифра: 1 , 2 , 3 , … (может быть римская цифра:I , II , III , …). Центр проецирования S . Начало координатО (буква). Точка в бесконечности: S ¥ , А ¥ , В ¥ , …. |
Линия – прямая или кривая | Строчная буква латинского алфавита: a ,b ,c , …. Горизонталь h ; фронтальf ; профильная прямая или кривая (профиль) р ; ось вращения i ; направление проецирования или направление взгляда в пространстве: s – на П 1 , v – на П 2 ; оси координат: x , y , z ; оси проекций x , y , z или x 12 , x 24 и т.д. (АВ ) – прямая, определяемая точкамиА и В ; ΙАВ Ι – длина отрезка АВ , натуральная величина отрезка АВ . Скобки не даются, если в тексте имеются соответствующие слова (например, прямая АВ ). |
Поверхность (включая плоскость) | Г (гамма), S (сигма), L (лямбда), …. |
Плоскость проекций | Прописная буква греческого алфавита: П (пи) с добавлением индекса. П 1 – горизонтальная плоскость проекций; П 2 – фронтальная плоскость проекций; П 3 – профильная плоскость проекций; П 4 , П 5 , … – дополнительные плоскости проекций. |
Угол | Строчная буква греческого алфавита: a , b , g , …. |
Проекция объекта | А 1 , b 1 , S 1 – горизонтальные проекции точки А , линии b , поверхности S ; А 2 , b 2 , S 2 – фронтальные проекции точки А , прямой b , поверхности S ; и т.д. |
Таблица 3
СИМВОЛЫ ВЗАИМОРАСПОЛОЖЕНИЯ И ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Знак | Смысл знака | Пример, пояснение |
Ì или É Î или " | Взаимная принадлежность (инцидентность) объектов как множеств, подмножеств Взаимная принадлежность (инцидентность) объектов, из которых один – множество, другой – элемент множества, т.е. точка | t ÌГ – линия t принадлежит поверхности Г ; поверхность Г проходит через линию t ; Г Ét – то же (знак открытой частью всегда обращен в сторону большего множества). t"А – линия t проходит через точку А ; точка А принадлежит линии t ; А Ît – то же (знак Î открытой частью обращен в сторону множества). |
∩ | Пересечение | а ∩ b – линии a и b пересекаются; S (a ∩ b ) – плоскость S задана пересекающимися прямыми a и b . |
= или | Результат Равенство Совпадение | А =а ∩b – точкаА получена в результате пересечения линий a и b. êАВ ê=êЕF ê– отрезок АВ равен отрезку ЕF . А 2 =В 2 – фронтальные проекции точекА и В совпадают. |
ΙΙ | Параллельность | (АВ ) ΙΙ (СD) – прямые АВ и СD параллельны. |
^ | Перпендикулярность | АВ ^СD |
® | Отображается, последовательность действий | А 1 ®А 2 – по горизонтальной проекции точкиА строим фронтальную. |
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
«Проецирование»
Задание:
1. На формате А3 по двум заданным проекциям домика построить профильную проекцию, увеличив изображение в 2 раза.
2. Определить на чертеже, обозначить и записать в таблице в правом нижнем углу (размер таблицы – 100х100 мм), расположенной над основной надписью, положение прямых в пространстве (прямую общего положения, три линии уровня, три проецирующие прямые, одну пару параллельных прямых, одну пару пересекающихся прямых, одну пару скрещивающихся прямых).
3. Определить натуральную величину прямой общего положения и углы наклона ее к плоскостям проекций.
4. Определить координаты любых пяти обозначенных точек. Данные внести в таблицу в правом верхнем углу формата (размер таблицы 40х60 мм).
5. Выбрать и построить на формате А4 аксонометрическую проекцию домика, начертить схему аксонометрических осей. Аксонометрию затонировать цветными карандашами.
Указания к выполнению графической работы №1. На листе формата А3 провести оси координат в центре листа. Согласно своему варианту построить две проекции «Домика», увеличив изображение в 2 раза. Фронтальная проекция основания «домика» должна находиться на оси ОХ. С помощью линий проекционной связи построить третью проекцию «домика».
Далее последовательно определить и обозначить заглавными буквами латинского алфавита на трех проекциях «домика» прямые, указанные в задании. Полученные результаты внести в таблицу. Образец заполнения таблицы приведен на рисунке.
Для найденной прямой общего положения на плоскости П 1 и П 2 определить и обозначить натуральную величину способом прямоугольного треугольника и углы наклона ее к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций (α и β).
Для любых пяти обозначенных точек определить координаты. Значения в мм занести в таблицу. Образец заполнения таблицы приведен на рисунке.
Выбрать вид аксонометрической проекции таким образом, чтобы на изображении домика плоскости (грани) не проецировались в линии. На формате А4 построить выбранную аксонометрическую проекцию, сохраняя вторичную горизонтальную проекцию и аксонометрические оси.
С помощью цветных карандашей выполнить тонировку аксонометрической проекции «Домика». В правом верхнем углу начертить схему аксонометрических осей. Пример графической работы на рисунке 9,10.
Варианты заданий к графической работе №1 «Проецирование»
Графическая работа № 2
«Построение усеченной призмы и усеченного цилиндра»
Задание:
Графическая работа выполняется на двух форматах А3, и состоит из двух задач.
Задача №1. Построить три проекции прямой шестигранной призмы (данные для построения взять из таблицы по своему варианту). Построить натуральную величину контура сечения применив способом замены плоскостей проекций. Построить развертку. Выбрать и начертить аксонометрическую проекцию. Размеры не наносить. На чертеже должны быть обозначены точки для построения и линии проекционной связи.
Символика генетики
Символика - перечень и объяснение условных названий и терминов, употребляемых в какой-либо отрасли науки.
Основы генетической символики были заложены Грегором Менделем, применившим буквенную символику для обозначения признаков. Доминантные признаки были обозначены заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т. д., рецессивные - малыми буквами - а, в, с и т. д. Буквенная символика, предложенная Менделем, по сути, алгебраическая форма выражения законов наследования признаков.
Для обозначения скрещивания принята следующая символика.
Родители обозначаются латинской буквой Р (Parents - родители), затем рядом записывают их генотипы. Женский пол обозначают символом ♂ (зеркало Венеры), мужской - ♀ (щит и копье Марса). Между родителями ставят знак «х», обозначающий скрещивание. Генотип женской особи пишут на первом месте, а мужской - на втором.
Первое по коление обозначается F1 (Filli - дети), второе поколение - F2 и т. д. Рядом приводят обозначения генотипов потомков.
Словарь основных терминов и понятий
Альтернативные признаки – взаимоисключающие, контрастные признаки.
Гаметы (от греч. «гаметес » – супруг) – половая клетка растительного или животного организма, несущая один ген из аллельной пары. Гаметы всегда несут гены в «чистом» виде, т. к. образуются путем мейотического деления клеток и содержат одну из пары гомологичных хромосом.
Ген (от греч. «генос » – рождение) – участок молекулы ДНК, несущий информацию о первичной структуре одного конкретного белка.
Гены аллельные – парные гены, расположенные в идентичных участках гомологичных хромосом.
Генотип - совокупность наследственных задатков (генов) организма.
Гетерозигота (от греч. «гетерос » – другой и зигота) – зигота, имеющая два разных аллеля по данному гену (Аа, Вb ).
Гомозигота (от греч. «гомос » – одинаковый и зигота) – зигота, имеющая одинаковые аллели данного гена (оба доминантные или оба рецессивные).
Гомологичные хромосомы (от греч. «гомос » – одинаковый) – парные хромосомы, одинаковые по форме, размерам, набору генов. В диплоидной клетке набор хромосом всегда парный: одна хромосома из пары материнского происхождения, вторая – отцовская.
Доминантный признак (ген ) – преобладающий, проявляющийся – обозначается заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т. д.
Рецессивный признак (ген) – подавляемый признак – обозначается соответствующей строчной буквой латинского алфавита: а, b с и т. д
Скрещивание анализирующее – скрещивание испытуемого организма с другим, являющимся по данному признаку рецессивной гомозиготой, что позволяет установить генотип испытуемого.
Скрещивание дигибридное – скрещивание форм, отличающихся друг от друга по двум парам альтернативных признаков.
Скрещивание моногибридное – скрещивание форм, отличающихся друг от друга по одной паре альтернативных признаков.
Фенотип - совокупность всех внешних признаков и свойств организма, доступных наблюдению и анализу.
ü Алгоритм решения генетических задач
1. Внимательно прочтите уровень задачи.
2. Сделайте краткую запись условия задачи.
3. Запишите генотипы и фенотипы скрещиваемых особей.
4. Определите и запишите типы гамет, которые образуют скрещиваемые особи.
5. Определите и запишите генотипы и фенотипы полученного от скрещивания потомства.
6. Проанализируйте результаты скрещивания. Для этого определите количество классов потомства по фенотипу и генотипу и запишите их в виде числового соотношения.
7. Запишите ответ на вопрос задачи.
(При решении задач по определённым темам последовательность этапов может изменяться, а их содержание модифицироваться.)
ü Оформление задач
1. Первым принято записывать генотип женской особи, а затем – мужской (верная запись - ♀ААВВ х ♂аавв; неверная запись - ♂аавв х ♀ААВВ).
2. Гены одной аллельной пары всегда пишутся рядом (верная запись – ♀ААВВ; неверная запись ♀АВАВ).
3. При записи генотипа, буквы, обозначающие признаки, всегда пишутся в алфавитном порядке, независимо, от того, какой признак – доминантный или рецессивный – они обозначают (верная запись - ♀ааВВ; неверная запись -♀ ВВаа).
4. Если известен только фенотип особи, то при записи её генотипа пишут лишь те гены, наличие которых бесспорно. Ген, который невозможно определить по фенотипу, обозначают значком «_» (например, если жёлтая окраска (А) и гладкая форма (В) семян гороха – доминантные признаки, а зелёная окраска (а) и морщинистая форма (в) – рецессивные, то генотип особи с жёлтыми морщинистыми семенами записывают следующим образом: А_вв ).
5. Под генотипом всегда пишут фенотип.
6. Гаметы записывают, обводя их кружком (А).
7. У особей определяют и записывают типы гамет, а не их количество
верная запись неверная запись
♀ АА ♀ АА
А А А
8. Фенотипы и типы гамет пишутся строго под соответствующим генотипом.
9. Записывается ход решения задачи с обоснованием каждого вывода и полученных результатов.
10. Результаты скрещивания всегда носят вероятностный характер и выражаются либо в процентах, либо в долях единицы (например, вероятность образования потомства, восприимчивого к головне, 50%, или ½. Соотношение классов потомства записывается в виде формулы расщепления (например, жёлтосеменные и зелёносеменные растения в соотношении 1:1).
Пример решения и оформления задач
Задача. У арбуза зелёная окраска (А) доминирует над полосатой. Определите генотипы и фенотипы F1 и F2, полученных от скрещивания гомозиготных растений, имеющих зелёную и полосатую окраску плодов.
В этой статье сначала дадим определение угла между скрещивающимися прямыми и приведем графическую иллюстрацию. Далее ответим на вопрос: «Как найти угол между скрещивающимися прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых в прямоугольной системе координат»? В заключении попрактикуемся в нахождении угла между скрещивающимися прямыми при решении примеров и задач.
Навигация по странице.
Угол между скрещивающимися прямыми - определение.
К определению угла между скрещивающимися прямыми будем подходить постепенно.
Сначала напомним определение скрещивающихся прямых: две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости.
Приведем еще вспомогательные рассуждения.
Пусть в трехмерном пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Построим прямые a 1 и b 1 так, чтобы они были параллельны скрещивающимся прямым a и b соответственно и проходили через некоторую точку пространства M 1 . Таким образом, мы получим две пересекающиеся прямые a 1 и b 1 . Пусть угол между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 равен углу . Теперь построим прямые a 2 и b 2 , параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно, проходящие через точку М 2 , отличную от точки М 1 . Угол между пересекающимися прямыми a 2 и b 2 также будет равен углу . Это утверждение справедливо, так как прямые a 1 и b 1 совпадут с прямыми a 2 и b 2 соответственно, если выполнить параллельный перенос, при котором точка М 1 перейдет в точку М 2 . Таким образом, мера угла между двумя пересекающимися в точке М прямыми, соответственно параллельными заданным скрещивающимся прямым, не зависит от выбора точки М .
Теперь мы готовы к тому, чтобы дать определение угла между скрещивающимися прямыми.
Определение.
Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки M . Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающихся прямых.
Приведем иллюстрацию определения угла между скрещивающимися прямыми.
![](https://i1.wp.com/cleverstudents.ru/line_and_plane/images/angle_between_skew_lines/pict002.png)
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.
Несомненно, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми подходят методы, изучаемые на уроках геометрии в средней школе. То есть, выполнив необходимые построения, можно связать искомый угол с каким-либо известным из условия углом, основываясь на равенстве или подобии фигур, в некоторых случаях поможет теорема косинусов , а иногда к результату приводит определение синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника.
Однако очень удобно решать задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми методом координат. Именно его и рассмотрим.
Пусть в трехмерном пространстве введена Oxyz (правда, во многих задачах ее приходится вводить самостоятельно).
Поставим перед собой задачу: найти угол между скрещивающимися прямыми a и b , которым соответствуют в прямоугольной системе координат Oxyz некоторые уравнения прямой в пространстве .
Решим ее.
Возьмем произвольную точку трехмерного пространства М и будем считать, что через нее проходят прямые a 1 и b 1 , параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно. Тогда искомый угол между скрещивающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 по определению.
Таким образом, нам осталось найти угол между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 . Чтобы применить формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве нам нужно знать координаты направляющих векторов прямых a 1 и b 1 .
Как же мы их можем получить? А очень просто. Определение направляющего вектора прямой позволяет утверждать, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Следовательно, в качестве направляющих векторов прямых a 1
и b 1
можно принять направляющие векторы и
прямых a
и b
соответственно.
Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми a
и b
вычисляется по формуле
, где
и
- направляющие векторы прямых a
и b
соответственно.
Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми
a
и b
имеет вид .
Позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус: .
Осталось разобрать решения примеров.
Пример.
Найдите угол между скрещивающимися прямыми a
и b
, которые определены в прямоугольной системе координат Oxyz
уравнениями и
.
Решение.
Канонические уравнения прямой в пространстве позволяют сразу определить координаты направляющего вектор этой прямой – их дают числа в знаменателях дробей, то есть,
. Параметрические уравнения прямой в пространстве также дают возможность сразу записать координаты направляющего вектора – они равны коэффициентам перед параметром, то есть,
- направляющий вектор прямой
. Таким образом, мы располагаем всеми необходимыми данными для применения формулы, по которой вычисляется угол между скрещивающимися прямыми:
Ответ:
Угол между заданными скрещивающимися прямыми равен .
Пример.
Найдите синус и косинус угла между скрещивающимися прямыми, на которых лежат ребра AD и BC пирамиды АВСD , если известны координаты ее вершин: .
Решение.
Направляющими векторами скрещивающихся прямых AD
и BC
являются векторы и . Вычислим их координаты как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора:
По формуле мы можем вычислить косинус угла между указанными скрещивающимися прямыми:
Теперь вычислим синус угла между скрещивающимися прямыми: