Pagsusuma ng trigonometric series gamit ang analytic functions. trigonometric fourier series trigonometric fourier series

Ipakita natin na halos anumang periodic function ay maaaring katawanin bilang isang serye na ang mga miyembro ay simpleng harmonics, gamit ang tinatawag na trigonometric series.

Kahulugan. Ang trigonometric series ay isang functional na serye ng form

nasaan ang mga totoong numero a 0 , isang n , b n ay tinatawag na mga coefficient ng serye.

Ang libreng termino ng serye ay nakasulat sa anyo para sa pagkakapareho ng mga formula na nakuha sa ibang pagkakataon.

Dalawang katanungan ang kailangang matugunan:

1) Sa ilalim ng anong mga kondisyon gumagana ang function f(x) na may panahon na 2π ay maaaring mapalawak sa isang serye (5.2.1)?

2) Paano makalkula ang mga logro a 0 ,… isang n , b n ?

Magsimula tayo sa pangalawang tanong. Hayaan ang function f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan at may period T=2π. Ipinakita namin ang mga formula na kakailanganin namin sa mga sumusunod.

Para sa anumang integer , dahil ang function ay pantay.

Para sa anumang kabuuan.

(m at n buong numero)

Sa ( m at n integers) bawat isa sa mga integral (III, IV, V) ay kino-convert sa kabuuan ng mga integral (I) o (II). Kung , pagkatapos ay sa formula (IV) makuha natin:

Ang pagkakapantay-pantay (V) ay napatunayang katulad.

Ipagpalagay natin ngayon na ang function ay naging tulad na ang isang pagpapalawak sa isang convergent Fourier series ay natagpuan para dito, iyon ay,

(Tandaan na ang pagsusuma ay nasa ibabaw ng index n).

Kung ang serye ay nagtatagpo, pagkatapos ay tukuyin ang kabuuan nito S(x).

Termwise integration (lehitimo dahil sa pagpapalagay ng convergence ng serye) sa hanay mula sa nagbibigay

dahil ang lahat ng mga termino maliban sa una ay katumbas ng zero (relasyon I, II). Mula dito makikita natin

Pagpaparami (5.2.2) sa ( m=1,2,…) at pagsasama ng termino sa pamamagitan ng termino sa loob ng hanay mula hanggang , nakita namin ang koepisyent isang n.

Sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, ang lahat ng mga termino ay katumbas ng zero, maliban sa isa m=n(relasyon IV, V), Kaya nakuha namin

Pagpaparami (5.2.2) sa ( m\u003d 1,2, ...) at pagsasama-sama ng termino sa pamamagitan ng termino sa loob ng hanay mula hanggang , pareho nating nakikita ang koepisyent b n

Ang mga halaga - tinutukoy ng mga formula (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) ay tinatawag na Fourier coefficients, at ang trigonometric series (5.2.2) ay ang Fourier series para sa isang naibigay na function f(x).

Kaya, nakuha namin ang agnas ng function f(x) sa isang seryeng Fourier

Bumalik tayo sa unang tanong at alamin kung anong mga katangian ang dapat magkaroon ng function f(x), upang ang itinayong seryeng Fourier ay nagtatagpo, at ang kabuuan ng serye ay eksaktong katumbas ng f(x).

Kahulugan. Ang function na f(x) ay tinatawag na piecewise continuous, kung ito ay tuloy-tuloy o may hangganang bilang ng mga discontinuity point ng unang uri.

Kahulugan. Function f(x), na ibinigay sa pagitan ay tinatawag piecewise monotonic, kung ang segment ay maaaring hatiin ng mga puntos sa isang may hangganang bilang ng mga agwat, sa bawat isa kung saan ang function ay nagbabago nang monotonously (tumataas o bumababa).

Isasaalang-alang namin ang mga function f(x), may period T=2π. Ang ganitong mga pag-andar ay tinatawag 2π- panaka-nakang.

Bumuo tayo ng isang teorama na kumakatawan sa isang sapat na kondisyon para sa pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier.

Ang teorama ni Dirichlet(tanggapin nang walang patunay) . Kung 2π-pana-panahong pag-andar f(x) sa isang segment ay piecewise continuous at piecewise monotonic, pagkatapos ay ang Fourier series na naaayon sa function ay nagtatagpo sa segment na ito at sa kasong ito:

1. Sa mga punto ng pagpapatuloy ng isang function, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa mismong function S(x)=f(x);

2. Sa bawat punto x 0 function break f(x) ang kabuuan ng serye ay ,

mga. ang arithmetic mean ng mga limitasyon ng function sa kaliwa at kanan ng punto x 0 ;

3. Sa mga punto (sa dulo ng segment) ang kabuuan ng seryeng Fourier ay ,

mga. ang ibig sabihin ng aritmetika ng mga halaga ng limitasyon ng function sa mga dulo ng segment, kapag ang argumento ay may gawi sa mga puntong ito mula sa loob ng pagitan.

Tandaan: kung ang function f(x) na may panahon na 2π ay tuloy-tuloy at naiba-iba sa buong agwat at ang mga halaga nito sa mga dulo ng agwat ay pantay, ibig sabihin, dahil sa periodicity, ang function na ito ay tuloy-tuloy sa buong totoong axis at para sa anumang X ang kabuuan ng seryeng Fourier nito ay kapareho ng f(x).

Kaya, kung ang isang function integrable sa isang pagitan f(x) natutugunan ang mga kondisyon ng Dirichlet theorem, pagkatapos ang pagkakapantay-pantay ay nagaganap sa pagitan (pagpapalawak sa isang seryeng Fourier):

Ang mga coefficient ay kinakalkula ng mga formula (5.2.3) - (5.2.5).

Ang mga kondisyon ng Dirichlet ay nasiyahan sa karamihan ng mga function na nangyayari sa matematika at mga aplikasyon nito.

Ang Fourier series, tulad ng power series, ay ginagamit para sa tinatayang pagkalkula ng mga value ng function. Kung ang pagpapalawak ng function f(x) sa isang trigonometrikong serye ay nagaganap, pagkatapos ay maaari mong palaging gamitin ang tinatayang pagkakapantay-pantay , palitan ang function na ito ng kabuuan ng ilang mga harmonika, i.e. bahagyang kabuuan (2 n+1) termino ng seryeng Fourier.

Ang mga serye ng trigonometric ay malawakang ginagamit sa electrical engineering, sa kanilang tulong ay malulutas nila ang maraming problema ng matematikal na pisika.

Palawakin sa isang seryeng Fourier ang isang function na may tuldok na 2π, na ibinigay sa pagitan (-π; π).

Solusyon. Hanapin ang mga coefficient ng seryeng Fourier:

Nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier

Sa mga punto ng pagpapatuloy, ang kabuuan ng seryeng Fourier ay katumbas ng halaga ng function f(x)=S(x), sa punto x=0 S(x)=1/2, sa mga punto x=π,2π,… S(x)=1/2.

Alalahanin na sa totoong pagsusuri ang isang trigonometriko na serye ay isang serye sa mga cosine at sine ng maramihang mga arko, i.e. hilera ng form

Medyo kasaysayan. Ang unang panahon ng teorya ng naturang serye ay iniuugnay sa kalagitnaan ng ika-18 siglo na may kaugnayan sa problema ng mga string vibrations, kapag ang nais na function ay hinahangad bilang ang kabuuan ng serye (14.1). Ang tanong ng posibilidad ng naturang representasyon ay nagdulot ng mainit na debate sa mga mathematician, na tumagal ng ilang dekada. Mga pagtatalo na may kaugnayan sa nilalaman ng konsepto ng function. Sa oras na iyon, ang mga function ay karaniwang nauugnay sa kanilang analytical na pagtatalaga, ngunit dito naging kinakailangan upang kumatawan sa isang function sa tabi ng (14.1), na ang graph ay isang medyo arbitrary na curve. Ngunit ang kahalagahan ng mga pagtatalo na ito ay mas malaki. Sa katunayan, nagtaas sila ng mga tanong na may kaugnayan sa maraming pangunahing mahahalagang ideya ng pagsusuri sa matematika.

At sa hinaharap, tulad ng sa unang panahon na ito, ang teorya ng trigonometriko serye ay nagsilbing isang mapagkukunan ng mga bagong ideya. Ito ay may kaugnayan sa kanila, halimbawa, na ang set theory at ang teorya ng mga function ng isang tunay na variable ay lumitaw.

Sa pangwakas na kabanatang ito, isasaalang-alang natin ang materyal na muling nag-uugnay sa tunay at kumplikadong pagsusuri, ngunit hindi gaanong makikita sa mga aklat-aralin sa TFCT. Sa kurso ng pagsusuri, nagpatuloy sila mula sa isang paunang natukoy na function at pinalawak ito sa isang trigonometric Fourier series. Dito namin isinasaalang-alang ang kabaligtaran na problema: para sa isang naibigay na serye ng trigonometriko, itatag ang tagpo at kabuuan nito. Para dito, matagumpay na ginamit nina Euler at Lagrange ang mga analytic function. Tila, si Euler sa unang pagkakataon (1744) ay nakakuha ng mga pagkakapantay-pantay

Sa ibaba ay sinusunod namin ang mga yapak ni Euler, nililimitahan ang aming sarili lamang sa mga espesyal na kaso ng serye (14.1), ibig sabihin, trigonometric series

Magkomento. Ang sumusunod na katotohanan ay mahalagang gagamitin: kung ang pagkakasunod-sunod ng mga positibong coefficient isang p monotonically ay nagiging zero, pagkatapos ang mga seryeng ito ay magkakaugnay sa anumang saradong pagitan na walang mga punto ng form 2lx (hanggang gZ). Sa partikular, sa pagitan (0.2n -) magkakaroon ng pointwise convergence. Tingnan ang tungkol dito sa trabaho, pp. 429-430.

Ang ideya ni Euler sa pagbubuod ng serye (14.4), (14.5) ay iyon, gamit ang pagpapalit z = e a pumunta sa power series

Kung sa loob ng bilog ng yunit ay malinaw na mahahanap ang kabuuan nito, kung gayon ang problema ay kadalasang nalulutas sa pamamagitan ng paghihiwalay ng tunay at haka-haka na mga bahagi mula dito. Binibigyang-diin namin na, gamit ang Euler method, dapat suriin ng isa ang convergence ng serye (14.4), (14.5).

Tingnan natin ang ilang halimbawa. Sa maraming mga kaso, ang geometric na serye ay magiging kapaki-pakinabang

pati na rin ang seryeng nakuha mula rito sa pamamagitan ng term-by-term differentiation o integration. Halimbawa,

Halimbawa 14.1. Hanapin ang kabuuan ng isang serye

Solusyon. Ipinakilala namin ang isang katulad na serye na may mga cosine

Ang parehong serye ay nagtatagpo sa lahat ng dako, dahil majorized ng geometric na serye 1 + r + r 2+.... Ipagpalagay z = e"x, nakukuha namin

Dito ang fraction ay nabawasan sa anyo

kung saan nakukuha natin ang sagot sa tanong ng problema:

Sa daan, itinatag namin ang pagkakapantay-pantay (14.2): Halimbawa 14.2. Sumo ng mga hilera

Solusyon. Ayon sa pangungusap sa itaas, ang parehong serye ay nagtatagpo sa tinukoy na pagitan at nagsisilbing serye ng Fourier para sa mga function na kanilang tinukoy f(x) 9 g(x). Ano ang mga function na ito? Upang masagot ang tanong, alinsunod sa pamamaraan ng Euler, binubuo namin ang mga serye (14.6) na may mga coefficient isang p= -. Sumang-ayon-

ngunit pagkakapantay-pantay (14.7) nakukuha natin

Inaalis ang mga detalye (dapat kopyahin ng mambabasa ang mga ito), itinuturo namin na ang expression sa ilalim ng logarithm sign ay maaaring katawanin bilang

Ang modulus ng expression na ito ay katumbas ng -, at ang argumento (mas tiyak, ang pangunahing halaga nito ay

• 2 kasalanan-

halaga) ay pantay Samakatuwid Sa ^ = -ln(2sin

Halimbawa 14.3. Sa -l sum ng mga hilera

Solusyon. Ang parehong serye ay nagtatagpo sa lahat ng dako, dahil sila ay pinangungunahan ng convergent

sa tabi ng karaniwang miyembro -! . Hilera (14.6)

n(n +1)

direkta

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) P /1 + 1

ns ay magbibigay ng kilalang halaga. Sa batayan, kinakatawan namin ito sa anyo

pagkakapantay-pantay

Dito ang expression sa panaklong ay ln(l + z) at ang expression sa square bracket ay ^^ + ** ^--. Kaya naman,

= (1 + -)ln(1 + z). Ngayon

dapat ilagay dito z = eLX at gawin ang parehong mga hakbang tulad ng sa nakaraang halimbawa. Inaalis ang mga detalye, itinuturo namin iyon

Ito ay nananatiling buksan ang mga bracket at isulat ang sagot. Iniiwan namin ito sa mambabasa.

Mga gawain para sa kabanata 14

Kalkulahin ang mga kabuuan ng mga sumusunod na hanay.

• 1.3.1. a) z = 0 at z-- 2;
• b) z = l at z=-1;
• v) z = ako at z= -Ako ay.
• 1.3.2. a) 1; 6)0; c) oo.
• 2.1.1. Arc ng parabola, r = sa 2 tumatakbo mula sa punto (1;1) hanggang sa punto (1;- 1) at pabalik.
• 2.1.2. Segment na may simula a, wakas b.
• 2.1.3. Itinuwid ng Jordan ang landas sa Fig. labinsiyam.

• 2.1.4. arko ng isang parabola y = x 2 na may simula (-1;0), dulo (1;1).
• 2.1.5. Bilugan dg 2 + (sa - 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Half plane Rez > .
• 2.2.2. Buksan ang bilog C x ""^) 2 + Y 2
• 2.2.3. Ang loob ng isang parabola 2y = 1 - x 2 .
• 2.2.4. Vicious circle (d: - 2) 2 + sa 2
• 2.2.5. Ang hitsura ng parabola 2x \u003d - y 2.

3.1.a). Kung w=u + iv, pagkatapos at= -r- -v = -^-^ Kaya naman

l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2

Ang pinagmulan ng mga coordinate ay dapat na hindi kasama sa bilog na ito, dahil (m, v) 9* (0; 0) V* e R, tono at= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• b). Tanggalin x,y mula sa pagkakapantay-pantay x + y \u003d l, at \u003d x 2 - y, v = 2 xy. Sagot: parabola 2v = l-at 2 .
• 3.2. Ang tuwid na linya l: = i (l^O) ay papunta sa isang bilog
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 na may punctured point (r/, v) = (0; 0). Ilapat ito sa
• 2a 2 a

a = 1, a = 2.

• 3.4. Sa mga kaso a), b) gamitin ang "sign of non-existence of the limit". Sa kaso c), ang limitasyon ay umiiral at katumbas ng 2.
• 3.5. Ay hindi. Isaalang-alang ang mga limitasyon ng function sa dalawang sequence na may mga karaniwang termino ayon sa pagkakabanggit

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1. a) wala kahit saan ns differentiable; b) naiba sa lahat ng dako.
• 4.2. a) may derivative sa lahat ng punto ng linya y = x, sa bawat isa

sila w = 2x; ay wala kahit saan holomorphic;

• b) ay holomorphic sa C(0), at / = - j.
• 4.3. holomorphic sa C, W=3z 2 .
• 4.4. Mula sa pagkakapantay-pantay / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 sumusunod na ang w,v ay hindi

St St

depende sa variable na "t. Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay nagpapahiwatig na ang mga function na ito ay independiyente rin sa y.

4.5. Isaalang-alang, halimbawa, ang kaso Re f(z) = i(x, y) = const. SA

gamit ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann, hulaan mula rito na Im/(z) = v(x 9 y) = const.

• 5.1. a) dahil J=--=- =-* 0(z * -/) at ayon sa kondisyon ng problema
• (l-/z) 2 (z+/) 2

ang argumento ng derivative ay katumbas ng zero, kung gayon ang haka-haka na bahagi nito ay zero, at ang tunay na bahagi ay positibo. Mula dito nakukuha ang sagot: tuwid sa = -X-1 (X * 0).

b) bilog z + i=j2.

• 5.3. Suriin na ang function ay hindi kumukuha ng zero na halaga at ang derivative nito ay umiiral sa lahat ng dako at katumbas ng ibinigay na function.
• 6.1. Mula sa kahulugan ng tangent bilang ratio ng sine sa cosine, patunayan iyon tg(z + n^-tgz na may wastong mga halaga ng argumento. Hayaan T ibang panahon tg(z + T) = tgz. Mula dito at mula sa nakaraang pagkakapantay-pantay, paghihinuha na kasalanan(/r- T)= 0, kung saan sinusundan iyon T maramihan Upang .
• 6.2. Gumamit ng mga pagkakapantay-pantay (6.6).
• 6.3. Ang unang formula ay hindi tama, dahil hindi palaging arg(zH ,) = argz + argvv (kunin, halimbawa, z = -1, w = -1). Mali rin ang pangalawang formula. Isaalang-alang, halimbawa, ang case z = 2.
• 6.4. Mula sa pagkakapantay-pantay a = e 01" 0 hulaan na dito ang kanang bahagi ay may anyo |i|« , e ca(a^a+2 yak)? sli p r at ilang magkakaibang integer hanggang 19 hanggang 2

ang expression sa panaklong ay nagkaroon ng parehong kahulugan, pagkatapos ay magkakaroon sila

na salungat sa irrationality a .

• 6.5. z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63).
• 7.1. a) anggulo - Ako ay w
• b) pabilog na sektor | w2, | argvr|
• 7.2. Sa parehong mga kaso, isang bilog na radius 1 ang nakasentro sa pinanggalingan.
• 7.3. Lilipat kami sa hangganan ng kalahating bilog upang ang loob nito ay mananatili sa kaliwa. Ginagamit namin ang notasyon z = x + yi, w = u + vi. Lokasyon sa

sa= 0, -1 x 1 mayroon kami at =--e [-1,1]" v = 0. Isaalang-alang ang pangalawang bahagi ng hangganan - ang kalahating bilog z=e ikaw,tg. Sa seksyong ito, ang expression

ay na-convert sa form w=u=-- ,/* -. Sa gitna. Ayon sa (8.6), ang nais na integral ay katumbas ng

b). Ang lower semicircle equation ay may anyo z(t) = e“,t e[l, 2n). Sa pamamagitan ng formula (8.8), ang integral ay katumbas ng

• 8.2. a). Hatiin ang gustong integral sa kabuuan ng mga integral sa bahagi O A at kasama ang segment AB. Ang kanilang mga equation ay ayon sa pagkakabanggit z= / + //,/ na may at

z = t + i,te. Sagot: - + - i.

• b). Ang integration curve equation ay maaaring isulat bilang z = e", t € . Pagkatapos ang Vz ay may dalawang magkaibang halaga, ibig sabihin,

.1 .t+2/r

e 2 ,e 2. Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema na pinag-uusapan natin ang pangunahing halaga ng ugat: Vz, i.e. tungkol sa una sa mga ito. Kung gayon ang integral ay

8.3. Sa paglutas ng problema, ang pagguhit ay sadyang hindi ibinigay, ngunit dapat itong kumpletuhin ng mambabasa. Ang equation ng isang straight line segment ay ginagamit, na nagkokonekta sa dalawang ibinigay na puntos i, /> e C (a - Magsimula, b - dulo): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Hatiin natin sa apat ang gustong integral:

I = I AB + I BC + I CD +1 D.A. Sa segment AB meron kami z- (1 -1) ? 1 +1 /, kaya ang integral sa segment na ito, ayon sa (8.8), ay katumbas ng

Nagpapatuloy sa katulad na paraan, nakita namin

• 9.1. a) 2n7; b) 0.
• 9.2. Gumawa ng pagpapalit z = z0 + re 11.0 t2/g.
• 9.3 Pag-andar f(z)=Ang J ay holomorphic sa ilang simpleng konektado z-a

area D na naglalaman ng Г at ns na naglalaman a. Sa pamamagitan ng integral theorem na inilapat sa /),/], ang nais na integral ay katumbas ng zero.

• 9.4. a) 2/n(cosl2 + /sinl2); b) 34l-/.
• 9.5. Kung sakaling a) ang mga singular na puntos ±2/ ay nasa loob ng ibinigay na bilog, kaya ang integral ay katumbas ng

• b). Ang mga singular na puntos na ±3/ ay nasa loob din ng bilog. Ang solusyon ay magkatulad. Sagot: 0.
• 10.1. Kinakatawan ang function bilang /(z) = -----use
• 3 1 + -

geometric na serye 1 + q + q2 (||

• 1 -h
• 10.2. Ibahin ang termino ayon sa termino ng isang geometric na serye.
• 10.3. a) | z+/1t = z2. Sagot: z .
• 11.1. Gumamit ng mga pagpapalawak ng kapangyarihan ng exponent at sine. Kung sakaling a) ang order ay 3, kung sakaling b) ito ay 2.
• 11.2. Hanggang sa isang malinaw na pagbabago ng variable, ang equation ay maaaring

kumakatawan sa anyong /(z) = /(-^z). Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay iyon

ang radius ng convergence ng Taylor series ng function na nakasentro sa point 0 ay mas malaki sa isa. Meron kami:

Ang mga halaga ng function ay pareho sa isang discrete set na may limitasyon na punto na kabilang sa bilog ng convergence. Sa pamamagitan ng uniqueness theorem /(z) = const.

11.3. Ipagpalagay natin na ang gustong analytic function /(z) ay umiiral. Ihambing natin ang mga halaga nito sa pag-andar (z) = z2 sa set E,

binubuo ng mga tuldok z n = - (n = 2,3,...). Ang kanilang mga kahulugan ay pareho, at mula noon E

ay may limitasyong punto na kabilang sa ibinigay na bilog, pagkatapos ay sa pamamagitan ng uniqueness theorem /(z) = z 2 para sa lahat ng argumento ng ibinigay na bilog. Ngunit ito ay sumasalungat sa kondisyon /(1) = 0. Sagot: ns ay hindi umiiral.

• 11.4. Oo, /(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Walang kontradiksyon, dahil ang limitasyon ng punto ng mga halaga ng unit ay hindi nasa domain ng function.
• - 1 1
• 12.1. a) 0 ; b) 2

  12.2. a). Kinakatawan ang function sa form at palawakin ang mga panaklong.

  • b). Pagpalitin ang mga termino, gamitin ang karaniwang pagpapalawak ng cosine at sine.
  • 12.3.
  
  • 12.4. a) ang mga puntos 0, ± 1 ay mga simpleng poste;
  • b) z = 0 - naaalis na punto;
  • c) z = 0 ay isang mahalagang isahan na punto.
  • 13.1. a). Ang mga puntos na a = 1, a = 2 ay ang mga pole ng integrand. Ang nalalabi na may paggalang sa unang (simple) na poste ay matatagpuan ayon sa (13.2), ito ay katumbas ng 1. Ang nalalabi na may paggalang sa ikalawang poste ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (13.3) na may pagkakasunud-sunod ng multiplicity u = 2 at ay katumbas ng -1. Ang kabuuan ng mga nalalabi ay zero, kaya ang integral ay zero ng pangunahing residue theorem.
  • b). Sa loob ng parihaba na may ipinahiwatig na mga vertex ay tatlo

  simpleng poste 1,-1,/. Ang kabuuan ng mga nalalabi sa mga ito ay katumbas ng --, at ang integral ay katumbas ng

  v). Kabilang sa mga poste 2 Trki(kGZ) ng integrand, dalawa lang ang nasa loob ng ibinigay na bilog. Ito ay 0 at 2 Ako ay pareho silang simple, ang mga nalalabi sa mga ito ay pantay sa 1. Sagot: 4z7.

  i-multiply ito ng 2/r/. Inaalis ang mga detalye, ipinapahiwatig namin ang sagot: / = -i .

  13.2. a). Ilagay natin ang e"=z, pagkatapos e"idt =dz , dt= - . Ho

  e" - e~" z-z~ x

  kasalanan / =-=-, ang intefal ay mababawasan sa anyo

  

  Dito ang denominator ay factorized (z-z,)(z-z 2), kung saan ang z, = 3 - 2 V2 / ay nasa loob ng bilog sa , a z,=3 + 2V2 / lies sa itaas. Ito ay nananatiling mahanap ang nalalabi na may paggalang sa simpleng poste z, gamit ang formula (13.2) at

  b) . Ipagpalagay, tulad ng nasa itaas, e" = z , binabawasan namin ang intefal sa anyo

  

  Ang subintephal function ay may tatlong simpleng pole (alin?). Iniwan ang mambabasa upang kalkulahin ang mga nalalabi sa kanila, ipinapahiwatig namin ang sagot: ako= .

  • v) . Ang subintegral function ay katumbas ng 2(1--=-), ang gustong integral
  • 1 + cos t

  katumbas ng 2(^-1- h-dt). Tukuyin ang integral sa mga bracket sa pamamagitan ng /.

  Ang paglalapat ng pagkakapantay-pantay cos "/ = - (1 + cos2f) makuha natin iyon / = [- cit .

  Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga kaso a), b) gumawa ng isang pagpapalit e 2,t = z, bawasan ang integral sa anyo

  

  kung saan ang integration curve ay ang parehong unit circle. Ang mga karagdagang argumento ay pareho sa kaso a). Sagot: ang orihinal, hinahangad na integral ay katumbas ng /r(2-n/2).

  13.3. a). Isaalang-alang ang auxiliary complex integral

  /(/?)=f f(z)dz, saan f(z) = - p-, G (I) - isang tabas na binubuo ng

  kalahating bilog y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 at lahat ng diameters (gumawa ng drawing). Hatiin natin ang integral na ito sa dalawang bahagi - ayon sa pagitan [-/?,/?] at ayon sa y(R).

  sa. Oo.

  Mga simpleng pole lamang ang nakahiga sa loob ng circuit z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (Larawan 186). Nalaman namin na may paggalang sa kanilang mga nalalabi:

  Ito ay nananatiling upang i-verify na ang integral tapos na y(R) may posibilidad na zero bilang R. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay |g + A|>||i|-|/>|| at mula sa pagtatantya ng integral para sa z e y(R) kasunod nito

Sa ilang mga kaso, sa pamamagitan ng pagsisiyasat sa mga coefficient ng serye ng anyo (C) o maaari itong maitatag na ang mga seryeng ito ay nagtatagpo (marahil maliban sa mga indibidwal na puntos) at mga seryeng Fourier para sa kanilang mga kabuuan (tingnan, halimbawa, ang nakaraang n° ), ngunit sa lahat ng mga kasong ito, natural na lumitaw ang tanong

kung paano hanapin ang mga kabuuan ng mga seryeng ito o, mas tiyak, kung paano ipahayag ang mga ito sa panghuling anyo sa mga tuntunin ng elementarya na mga pag-andar, kung ang mga ito ay ipinahayag sa ganoong anyo sa lahat. Maging si Euler (at gayon din si Lagrange) ay matagumpay na gumamit ng mga analytic na function ng isang kumplikadong variable upang buod ng trigonometriko na serye sa isang pangwakas na anyo. Ang ideya sa likod ng pamamaraang Euler ay ang mga sumusunod.

Ipagpalagay natin na, para sa isang tiyak na hanay ng mga coefficient, ang serye (C) at ay nagtatagpo sa mga function saanman sa pagitan, hindi kasama ang mga indibidwal na puntos lamang. Isaalang-alang ngayon ang isang serye ng kapangyarihan na may parehong mga coefficient, na nakaayos sa mga kapangyarihan ng isang kumplikadong variable

Sa circumference ng unit circle, ibig sabihin, sa , ang seryeng ito ay nagtatagpo sa pamamagitan ng pagpapalagay, hindi kasama ang mga indibidwal na puntos:

Sa kasong ito, ayon sa kilalang pag-aari ng serye ng kapangyarihan, ang serye (5) ay tiyak na nagtatagpo sa, ibig sabihin, sa loob ng bilog ng yunit, na tumutukoy doon sa isang tiyak na pag-andar ng isang kumplikadong variable. Gamit ang kilala sa amin [tingnan. § 5 ng Kabanata XII] ng pagpapalawak ng mga elementarya na pag-andar ng isang kumplikadong variable, kadalasan ay posible na bawasan ang paggana sa kanila. Pagkatapos ay mayroon tayong:

at sa pamamagitan ng Abel theorem, sa sandaling ang serye (6) ay nagtagpo, ang kabuuan nito ay nakuha bilang isang limitasyon

Karaniwan ang limitasyong ito ay katumbas lamang ng kung saan ay nagbibigay-daan sa amin upang kalkulahin ang function sa panghuling anyo

Hayaan, halimbawa, ang serye

Ang mga pahayag na napatunayan sa nakaraang seksyon ay humantong sa konklusyon na ang parehong serye ay nagtatagpo (ang una, hindi kasama ang mga puntos na 0 at

nagsisilbing serye ng Fourier para sa mga function na kanilang tinukoy. Ngunit ano ang mga function na ito? Upang masagot ang tanong na ito, gumawa kami ng isang serye

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa logarithmic series, ang kabuuan nito ay madaling maitatag:

kaya naman,

Ngayon ang isang madaling pagkalkula ay nagbibigay ng:

kaya ang modulus ng expression na ito ay , at ang argumento ay .

at sa gayon ay sa wakas

Ang mga resultang ito ay pamilyar sa amin at kahit minsan ay nakuha sa tulong ng "kumplikadong" pagsasaalang-alang; ngunit sa unang kaso, nagsimula kami mula sa mga function at , at sa pangalawa - mula sa analytic function. Dito, sa unang pagkakataon, ang serye mismo ay nagsilbing panimulang punto. Ang mambabasa ay makakahanap ng karagdagang mga halimbawa ng ganitong uri sa susunod na seksyon.

Muli naming binibigyang-diin na dapat tiyakin nang maaga ang convergence at series (C) at upang magkaroon ng karapatang matukoy ang kanilang mga kabuuan gamit ang limitasyon ng pagkakapantay-pantay (7). Ang pagkakaroon lamang ng isang limitasyon sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay hindi pa nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang serye sa itaas ay nagtatagpo. Upang ipakita ito sa isang halimbawa, isaalang-alang ang serye

Sa agham at teknolohiya, ang isa ay madalas na humarap sa mga pana-panahong phenomena, i.e. yaong mga muling ginawa pagkatapos ng isang tiyak na tagal ng panahon T tinatawag na period. Ang pinakasimpleng periodic function (maliban sa isang pare-pareho) ay isang sinusoidal na halaga: tulad ng sa(x+ ), harmonic oscillation, kung saan mayroong "frequency" na nauugnay sa panahon sa pamamagitan ng ratio: . Mula sa gayong simpleng mga pana-panahong pag-andar, ang mga mas kumplikado ay maaaring binubuo. Malinaw, ang mga nasasakupang dami ng sinusoidal ay dapat na magkaibang mga frequency, dahil ang pagdaragdag ng mga sinusoidal na dami ng parehong frequency ay nagreresulta sa isang sinusoidal na dami ng parehong frequency. Kung magdagdag kami ng ilang mga halaga ng form

Halimbawa, pinarami namin dito ang pagdaragdag ng tatlong sinusoidal na dami: . Isaalang-alang ang graph ng function na ito

Malaki ang pagkakaiba ng graph na ito sa isang sine wave. Ito ay mas totoo para sa kabuuan ng isang walang katapusan na serye na binubuo ng mga termino ng ganitong uri. Ibigay natin ang tanong: posible ba ang isang naibigay na periodic function ng period T kumakatawan bilang kabuuan ng isang may hangganan o hindi bababa sa isang walang katapusang hanay ng mga sinusoidal na dami? Lumalabas na may kinalaman sa isang malaking klase ng mga pag-andar, ang tanong na ito ay masasagot sa sang-ayon, ngunit ito ay kung isasama lamang natin nang tumpak ang buong walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga naturang termino. Sa geometriko, nangangahulugan ito na ang graph ng isang periodic function ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapatong ng isang serye ng mga sinusoid. Kung isasaalang-alang natin ang bawat sinusoidal na halaga bilang isang tiyak na harmonic oscillatory na paggalaw, maaari nating sabihin na ito ay isang kumplikadong oscillation na nailalarawan sa pamamagitan ng isang function o sa pamamagitan lamang ng mga harmonic nito (una, pangalawa, atbp.). Ang proseso ng agnas ng isang pana-panahong pag-andar sa mga harmonika ay tinatawag maharmonya na pagsusuri.

Mahalagang tandaan na ang mga naturang pagpapalawak ay kadalasang nagiging kapaki-pakinabang sa pag-aaral ng mga pag-andar na tinukoy lamang sa isang tiyak na may hangganang pagitan at hindi nabubuo sa lahat ng anumang oscillatory phenomena.

Kahulugan. Ang trigonometric series ay isang serye ng anyo:

O kaya (1).

Ang mga tunay na numero ay tinatawag na coefficients ng trigonometric series. Ang seryeng ito ay maaari ding isulat ng ganito:

Kung ang isang serye ng uri na ipinakita sa itaas ay nagtatagpo, ang kabuuan nito ay isang periodic function na may period 2p.

Kahulugan. Ang Fourier coefficients ng isang trigonometric series ay tinatawag na: (2)

(3)

(4)

Kahulugan. Malapit sa Fourier para sa isang function f(x) ay tinatawag na trigonometric series na ang mga coefficient ay ang Fourier coefficients.

Kung ang Fourier series ng function f(x) converges dito sa lahat ng mga punto ng pagpapatuloy, pagkatapos ay sinasabi namin na ang function f(x) lumalawak sa isang seryeng Fourier.

Teorama.(Dirichlet's theorem) Kung ang isang function ay may panahon na 2p at tuloy-tuloy sa isang segment o may hangganan na bilang ng mga discontinuity point ng unang uri, ang segment ay maaaring hatiin sa isang finite na bilang ng mga segment upang ang function ay monotonic sa loob ng bawat isa. ng mga ito, pagkatapos ay ang seryeng Fourier para sa function ay nagtatagpo para sa lahat ng mga halaga X, at sa mga punto ng pagpapatuloy ng function, ang kabuuan nito S(x) ay katumbas ng , at sa mga discontinuity point ang kabuuan nito ay katumbas ng , i.e. ang ibig sabihin ng aritmetika ng mga halaga ng limitasyon sa kaliwa at kanan.

Sa kasong ito, ang Fourier series ng function f(x) pare-parehong nagtatagpo sa anumang pagitan na kabilang sa pagitan ng pagpapatuloy ng function.

Ang isang function na nakakatugon sa mga kondisyon ng theorem na ito ay tinatawag na piecewise smooth sa pagitan.

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa sa pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier.

Halimbawa 1. Palawakin ang function sa isang Fourier series f(x)=1-x, na may period 2p at ibinigay sa segment .

Solusyon. I-plot natin ang function na ito

Ang function na ito ay tuloy-tuloy sa segment , iyon ay, sa isang segment na may haba ng isang period, samakatuwid maaari itong palawakin sa isang Fourier series na nagsasama-sama dito sa bawat punto ng segment na ito. Gamit ang formula (2), nakita natin ang coefficient ng seryeng ito: .

Inilapat namin ang formula ng integration-by-parts at hinahanap at ginagamit namin ang mga formula (3) at (4), ayon sa pagkakabanggit:

Ang pagpapalit ng mga coefficient sa formula (1), nakukuha namin o .

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagaganap sa lahat ng mga punto, maliban sa mga punto at (mga gluing point ng mga graph). Sa bawat isa sa mga puntong ito, ang kabuuan ng serye ay katumbas ng arithmetic mean ng mga halaga ng limitasyon nito sa kanan at kaliwa, iyon ay.

Ipakita natin ang isang algorithm para sa pagpapalawak ng function sa isang seryeng Fourier.

Ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng problemang iniharap ay ang mga sumusunod.