Ang mga pagsubok sa pagkakaiba-iba para sa mga numero- ito ang mga panuntunan na ginagawang posible, nang walang paggawa ng dibisyon, medyo mabilis upang malaman kung ang bilang na ito ay nahahati ng isang naibigay nang walang nalalabi.
Ilan sa pamantayan sa paghihiwalay medyo simple, ang ilan ay mas mahirap. Sa pahinang ito makikita mo ang parehong mga pamantayan sa paghihiwalay para sa mga pangunahing numero, tulad ng, halimbawa, 2, 3, 5, 7, 11, at pamantayan sa paghahati para sa mga pinagsama-samang numero, tulad ng 6 o 12.
Umaasa ako na ang impormasyong ito ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo.
Maligayang pag-aaral!

Pagkakahati sa pamamagitan ng 2

Ito ay isa sa pinakasimpleng pamantayan sa paghihiwalay. Parang ganito: kung ang pagrekord ng isang likas na numero ay magtatapos sa isang kahit na numero, kung gayon ito ay kahit na (nahahati sa 2 na walang nalalabi), at kung ang pagrekord ng isang numero ay nagtatapos sa isang kakatwang numero, kung gayon ang bilang na ito ay kakaiba.
Sa madaling salita, kung ang huling numero ng numero ay 2 , 4 , 6 , 8 o 0 - ang bilang ay nahahati sa 2, kung hindi, kung gayon hindi ito nahahati
Halimbawa, mga numero: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 ay nahahati sa 2 dahil sila ay kahit na.
At mga numero: 23 5 , 137 , 2303
ay hindi nahahati sa 2 dahil kakaiba sila.

Pagkakahati sa pamamagitan ng 3

Ang paghihiwalay na ito ay may iba't ibang mga patakaran: kung ang kabuuan ng mga numero ng isang numero ay nahahati sa pamamagitan ng 3, kung gayon ang bilang ay nahahati din sa 3; kung ang kabuuan ng mga numero ng isang numero ay hindi nahahati ng 3, kung gayon ang bilang ay hindi nahahati sa 3 din.
Kaya, upang maunawaan kung ang isang numero ay nahahati sa pamamagitan ng 3, kailangan mo lamang idagdag ang magkasama ang mga numero ng kung saan ito ay binubuo.
Mukhang ganito: 3987 at 141 ay nahahati sa 3, dahil sa unang kaso 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - nahahati sa 3 na walang ostak), at sa pangalawang 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - nahahati rin ng 3 nang walang ostak).
Ngunit ang mga numero: 235 at 566 ay hindi nahahati sa 3, dahil ang 2 + 3 + 5 \u003d 10 at 5 + 6 + 6 \u003d 17 (at alam natin na alinman sa 10 o 17 ay hindi nahahati sa 3 na walang natitira).

Pagkakahati sa pamamagitan ng 4

Ang paghihiwalay na ito ay magiging mas kumplikado. Kung ang huling 2 na numero ng numero ay bumubuo ng isang numero na nahahati sa 4 o ito ay 00, kung gayon ang numero ay nahahati sa 4, kung hindi man ang bilang na ito ay hindi nahahati sa 4 nang walang nalalabi.
Halimbawa: 1 00 at 3 64 ay nahahati sa 4, dahil sa unang kaso, ang bilang ay nagtatapos sa 00 , at sa pangalawa 64 , na naman ay nahahati sa 4 na walang natitira (64: 4 \u003d 16)
Mga Bilang 3 57 at 8 86 ay hindi nahahati sa 4, sapagkat hindi rin 57 ni 86 ay hindi nahahati sa 4, na nangangahulugang hindi ito nauugnay sa ibinigay na criterion ng divisibility.

Pagkakahati sa pamamagitan ng 5

At muli mayroon kaming isang simpleng simpleng pag-sign sa paghihiwalay: kung ang tala ng isang likas na numero ay nagtatapos sa numero 0 o 5, kung gayon ang bilang na ito ay nahahati nang walang natitira sa 5. Kung ang tala ng isang numero ay nagtatapos sa isa pang numero, kung gayon ang numero ay hindi nahahati sa 5 nang walang natitira.
Nangangahulugan ito na ang anumang mga numero na nagtatapos sa mga numero 0 at 5 hal. 1235 5 at 43 0 , nahulog sa ilalim ng panuntunan at nahahati sa 5.
At, halimbawa, 1549 3 at 56 4 huwag magtatapos sa 5 o 0, na nangangahulugang hindi sila mahahati ng 5 nang walang nalalabi.

Pagkakahati sa pamamagitan ng 6

Bago sa amin ay isang pinagsama-samang numero 6, na kung saan ay produkto ng mga numero 2 at 3. Samakatuwid, ang paghihiwalay ng 6 ay pinagsama-sama: upang ang isang numero ay mahahati sa pamamagitan ng 6, dapat itong tumutugma sa dalawang tampok na divisibility nang sabay-sabay: ang tampok na paghihiwalay ng 2 at ang tampok na divisibility sa pamamagitan ng 3. Sa parehong oras, tandaan na ang tulad ng isang pinagsama-samang numero bilang 4 ay may isang indibidwal na pag-sign ng divisibility, dahil ito ay produkto ng numero 2 nang mag-isa. Ngunit bumalik sa pagkakaiba-iba sa pamamagitan ng 6 na criterion.
Ang mga numero 138 at 474 ay kahit na at tumutugma sa pamantayan ng pagkakabahagi sa pamamagitan ng 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 at 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), na nangangahulugan na sila ay nahahati sa 6. Ngunit 123 at 447, kahit na sila ay nahahati sa 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 at 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), ngunit ang mga ito ay kakaiba, na nangangahulugang hindi sila tumutugma sa paghihiwalay sa paghihiwalay ng 2, at samakatuwid ay hindi tumutugma sa paghihiwalay ng paghihiwalay ng 6.

Pagkakahati sa pamamagitan ng 7

Ang tanda na ito ng pagkakaiba-iba ay mas kumplikado: ang isang numero ay nahahati sa 7 kung ang resulta ng pagbabawas sa huling dobleng numero mula sa sampu-sampung numero na ito ay nahahati sa 7 o katumbas sa 0.
Tunog medyo nakalilito, ngunit simple sa pagsasanay. Tingnan para sa iyong sarili: ang bilang 95 9 ay nahahati sa 7 dahil 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 ay nahahati sa 7 nang walang nalalabi). Bukod dito, kung ang mga paghihirap ay lumitaw kasama ang bilang na nakuha sa panahon ng mga pagbabagong-anyo (dahil sa laki nito ay mahirap maunawaan kung nahahati ito sa 7 o hindi, kung gayon ang pamamaraang ito ay maaaring magpatuloy nang maraming beses na inaakala mong kinakailangan).
Halimbawa, 45 5 at 4580 Ang 1 ay may mga palatandaan ng pagkakaiba-iba sa pamamagitan ng 7. Sa unang kaso, ang lahat ay medyo simple: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Sa pangalawang kaso, gagawin natin ito: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Mahirap para sa atin na maunawaan kung 457 8 sa pamamagitan ng 7, kaya ulitin natin ang proseso: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. At muli gagamitin namin ang paghihiwalay ng paghihiwalay, dahil mayroon pa rin kaming isang three-digit na numero 44 1. Kaya, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, i.e. Ang 42 ay nahahati sa 7 na walang nalalabi, na nangangahulugang 45801 ay nahahati sa 7.
Ngunit ang mga numero 11 1 at 34 5 ay hindi nahahati sa 7 dahil 11 -2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9 ay hindi pantay na nahahati sa 7) at 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 ay hindi pantay na nahahati sa 7).

Pagkakahati sa pamamagitan ng 8

Ang pagkahati sa pamamagitan ng 8 ay ang mga sumusunod: kung ang huling 3 numero ay bumubuo ng isang numero na nahahati sa 8, o 000, kung gayon ang ibinigay na numero ay nahahati sa 8.
Mga Bilang 1 000 o 1 088 nahahati sa 8: ang mga unang nagtatapos sa 000 , ang ikalawa 88 : 8 \u003d 11 (nahahati sa 8 nang walang nalalabi).
Ngunit ang mga numero 1 100 o 4 757 ay hindi nahahati sa 8, dahil ang mga numero 100 at 757 ay hindi pantay na nahahati sa 8.

Pagkakahati sa pamamagitan ng 9

Ang tanda na ito ng pagkakaiba-iba ay katulad ng tanda ng pagkakabahagi sa pamamagitan ng 3: kung ang kabuuan ng mga numero ng isang numero ay nahahati sa pamamagitan ng 9, kung gayon ang bilang ay nahahati din sa 9; kung ang kabuuan ng mga numero ng isang numero ay hindi nahahati sa 9, kung gayon ang bilang ay hindi nahahati sa 9 din.
Halimbawa: 3987 at 144 ay nahahati sa 9, sapagkat sa unang kaso 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - nahahati sa pamamagitan ng 9 na walang ostak), at sa pangalawang 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - nahahati din sa pamamagitan ng 9 na walang ostak).
Ngunit ang mga bilang: 235 at 141 ay hindi nahahati sa 9, dahil ang 2 + 3 + 5 \u003d 10 at 1 + 4 + 1 \u003d 6 (at alam natin na alinman sa 10 o 6 ay hindi nahahati sa 9 na walang natitira).

Pagkakahati sa pamamagitan ng 10, 100, 1000 at iba pang mga yunit ng bit

Pinagsama ko ang mga palatandaan na ito ng pagkakaiba-iba dahil maaari silang mailalarawan sa parehong paraan: ang isang numero ay hinati ng isang maliit na yunit kung ang bilang ng mga zero sa dulo ng numero ay mas malaki kaysa o katumbas ng bilang ng mga zero sa isang naibigay na yunit.
Sa madaling salita, halimbawa, mayroon kaming mga bilang na tulad nito: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... na kung saan ang lahat ay nahahati sa 1 0 ; 46400 at 867 000 ay hinati rin ng 1 00 ; at isa lamang sa kanila - 867 000 nahahati sa 1 000 .
Ang anumang mga numero na may mas kaunting mga zero sa dulo kaysa sa isang maliit na yunit ay hindi nahahati ng unit na iyon, halimbawa 600 30 at 7 93 hindi nahahati sa 1 00 .

Pagkakahati sa pamamagitan ng 11

Upang malaman kung ang isang numero ay nahahati sa 11, kailangan mong makuha ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan ng kahit na at kakaibang mga numero ng numerong ito. Kung ang pagkakaiba na ito ay katumbas ng 0 o nahahati sa 11 na walang natitira, kung gayon ang bilang mismo ay nahahati sa 11 na walang natitira.
Upang maging mas malinaw, nagmungkahi akong isaalang-alang ang mga halimbawa: 2 35 4 ay nahahati sa 11 dahil ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 ay nahahati din sa pamamagitan ng 11, dahil ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ngunit 1 1 1 o 4 35 4 ay hindi nahahati sa 11, dahil sa unang kaso nakukuha natin (1 + 1) - 1 \u003d 1, at sa pangalawa ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Pagkakahati sa pamamagitan ng 12

Ang bilang 12 ay tambalan. Ang paghihiwalay nito sa paghihiwalay ay ang pagsusulat sa mga pamantayan sa paghihiwalay ng 3 at 4 nang sabay.
Halimbawa, ang 300 at 636 ay tumutugma sa parehong mga palatandaan ng paghihiwalay sa pamamagitan ng 4 (ang huling 2 numero ay mga zero o nahahati sa 4) at ang mga palatandaan ng paghihiwalay sa pamamagitan ng 3 (ang kabuuan ng mga numero at ang una at tatlong beses na ang bilang ay nahahati sa 3), at znit, nahahati sila ng 12 nang walang natitira.
Ngunit ang 200 o 630 ay hindi nahahati sa pamamagitan ng 12, dahil sa unang kaso ang numero ay tumutugma lamang sa criterion ng divisibility sa pamamagitan ng 4, at sa pangalawa - lamang sa criterion ng divisibility sa pamamagitan ng 3. ngunit hindi sa parehong mga palatandaan sa parehong oras.

Pagkakahati sa pamamagitan ng 13

Ang tanda ng pagkakaiba-iba sa pamamagitan ng 13 ay kung ang bilang ng mga sampu-sampung ng isang numero, na idinagdag sa mga yunit ng numerong ito na pinarami ng 4, ay isang maramihang ng 13 o katumbas sa 0, kung gayon ang bilang mismo ay nahahati sa 13.
Halimbawa 70 2. Kaya, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 ay nahahati sa 13 nang walang nalalabi), na nangangahulugang 70 Ang 2 ay nahahati ng 13 nang walang nalalabi. Ang isa pang halimbawa ay ang bilang 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Ang numero 130 ay nahahati sa pamamagitan ng 13 na walang natitira, na nangangahulugang ang tinukoy na numero ay tumutugma sa paghihiwalay ng paghahati sa pamamagitan ng 13.
Kung kukuha tayo ng mga numero 12 5 o 21 2, pagkatapos makuha namin 12 + 4 * 5 \u003d 32 at 21 + 4 * 2 \u003d 29, ayon sa pagkakabanggit, at alinman sa 32 ni 29 ay hindi nahahati ng 13 nang walang natitira, na nangangahulugang ang mga ibinigay na numero ay hindi pantay na nahahati sa 13.

Pagkakahati ng mga numero

Tulad ng makikita mula sa itaas, maaari itong ipagpalagay na sa alinman sa natural na mga numero maaari kang pumili ng iyong sariling indibidwal na tampok na divisibility o isang "composite" na tampok kung ang numero ay isang maramihang iba't ibang mga numero. Ngunit tulad ng nagpapakita ng kasanayan, sa pangkalahatan, mas malaki ang bilang, mas kumplikado ang pag-sign nito. Posible na ang oras na ginugol sa pagsuri sa paghihiwalay ng paghahati ay maaaring maging katumbas o higit sa dibisyon mismo. Samakatuwid, karaniwang ginagamit namin ang pinakasimpleng pamantayan sa paghihiwalay.

Tinatalakay ng artikulo ang konsepto ng paghahati ng mga integers na may natitira. Patunayan natin ang teorema sa paghihiwalay ng mga integers na may natitira at suriin ang mga koneksyon sa pagitan ng mga dibidendo at divisors, hindi kumpleto na mga quotients at tira. Isaalang-alang natin ang mga panuntunan kapag ang paghahati ng mga integer na may mga labi ay ginanap, na isinasaalang-alang nang detalyado sa mga halimbawa. Sa pagtatapos ng solusyon, suriin natin.

Pag-unawa sa Natitirang Dibisyon ng Integer

Ang dibisyon ng mga integer na may natitira ay itinuturing na pangkalahatang dibisyon na may natitirang mga natural na numero. Ginagawa ito dahil ang mga likas na numero ay integral sa mga integer.

Ang dibisyon sa nalalabi ng isang di-makatwirang numero ay nangangahulugang ang integer a ay nahahati sa isang non-zero number b. Kung b \u003d 0, pagkatapos ay walang bahagi ng dibisyon ay ginanap.

Pati na rin ang paghahati ng mga likas na numero na may isang natitira, ang dibisyon ng mga integers a at b, kung ang b ay naiiba sa zero, ay ginagampanan ng c at d. Sa kasong ito, ang a at b ay tinatawag na dividend at divisor, at d ay ang natitirang bahagi ng dibisyon, c ay isang integer o isang hindi kumpletong taguri.

Kung ipinapalagay natin na ang natitira ay isang hindi negatibong integer, kung gayon ang halaga nito ay hindi hihigit sa modulus ng bilang b. Isulat natin sa ganitong paraan: 0 ≤ d ≤ b. Ang kadena ng mga hindi pagkakapareho ay ginagamit kapag paghahambing ng 3 o higit pang mga numero.

Kung ang c ay isang hindi kumpleto na quiento, kung gayon d ay ang natitira sa paghati ng isang integer a sa pamamagitan ng b, maaari mong madaling ayusin: a: b \u003d c (tira d).

Ang nalalabi kapag naghahati ng mga numero ng isang b ay posible zero, pagkatapos ay sinabi nila na ang isang ay nahahati sa pamamagitan ng b ganap, iyon ay, nang walang isang natitira. Ang dibisyon nang walang natitira ay itinuturing na isang espesyal na kaso ng paghahati.

Kung hahatiin natin ang zero sa pamamagitan ng ilang bilang, nakakakuha tayo ng zero bilang isang resulta. Ang natitirang bahagi ng dibisyon ay magiging zero din. Maaari itong masubaybayan sa teorya ng paghahati ng zero sa pamamagitan ng isang integer.

Ngayon tingnan natin ang kahulugan ng paghati sa mga integer na may natitira.

Ito ay kilala na ang mga positibong integer ay natural, pagkatapos kapag naghahati sa isang natirang nakukuha mo ang parehong kahulugan tulad ng kapag naghahati ng mga likas na numero sa isang nalalabi.

Kapag naghahati ng isang negatibong integer isang sa pamamagitan ng isang positibong integer b may kahulugan. Tingnan natin ang isang halimbawa. Pag-isip ng isang sitwasyon kung saan mayroon kaming utang ng mga item sa halaga a, na dapat bayaran ng mga tao. Ito ay nangangailangan ng bawat isa na gumawa ng parehong kontribusyon. Upang matukoy ang halaga ng utang para sa bawat isa, kailangan mong bigyang pansin ang halaga ng mga pribadong s. Ang natitira d ay nagsasabi na ang bilang ng mga item ay kilala pagkatapos magbayad ng mga utang.

Kumuha tayo ng isang halimbawa na may mga mansanas. Kung 2 tao ang kailangan ng 7 mansanas. Kung binibilang mo na dapat ibalik ng lahat ang 4 na mansanas, pagkatapos ng buong pagkalkula magkakaroon sila ng 1 mansanas. Isulat natin ito sa anyo ng isang pagkakapantay-pantay: (- 7): 2 \u003d - 4 (o may point 1).

Ang dibisyon ng anumang numero ng isang integer ay hindi makatuwiran, ngunit posible bilang isang pagpipilian.

Diborsyo teorem para sa mga integer na may natitira

Natagpuan namin na ang isang ay isang dibidendo, kung gayon ang b ay isang divisor, c ay isang hindi kumpleto na quotient, at d ay isang nalalabi. Ang mga ito ay nauugnay sa bawat isa. Ipapakita namin ang koneksyon na ito gamit ang pagkakapantay-pantay ng isang \u003d b c + d. Ang koneksyon sa pagitan ng mga ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng natitirang teorema divisibility.

Teorya

Ang anumang integer ay maaari lamang mailarawan sa pamamagitan ng isang numero ng integer at nonzero b sa ganitong paraan: a \u003d b q + r, kung saan ang q at r ay ilang mga integer. Narito mayroon kaming 0 ≤ r ≤ b.

Patunayan natin ang posibilidad ng pagkakaroon ng isang \u003d b q + r.

Katibayan

Kung mayroong dalawang mga numero a at b, at ang isang ay hindi nahahati sa b nang walang natitira, kung gayon ang kahulugan ay nagpapahiwatig na mayroong isang bilang q, na magiging totoo ang pagkakapantay-pantay a \u003d b q. Kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay maaaring ituring na totoo: a \u003d b q + r para sa r \u003d 0.

Kung gayon kinakailangan na kumuha ng q tulad na ibinigay ng hindi pagkakapantay-pantay b q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Nasa atin na ang halaga ng expression a - b q ay higit sa zero at hindi mas malaki kaysa sa halaga ng bilang b, sumusunod ito na r \u003d a - b q. Nakukuha namin na ang bilang ng isang ay maaaring kinakatawan bilang isang \u003d b q + r.

Kinakailangan na isaalang-alang ngayon ang posibilidad na kumakatawan sa isang \u003d b q + r para sa mga negatibong halaga ng b.

Ang ganap na halaga ng numero ay lumiliko na maging positibo, pagkatapos ay nakakakuha tayo ng isang \u003d b q 1 + r, kung saan ang halaga q 1 ay ilang integer, r ay isang integer na nakakatugon sa kondisyon 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Patunay na natatangi

Ipagpalagay na ang isang \u003d bq + r, q at r ay mga integer na may totoong kondisyon 0.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 at r 1 ay ilang mga numero, kung saan q 1 ≠ q , 0 1 r 1< b .

Kapag ang hindi pagkakapantay-pantay ay ibinabawas mula sa kaliwa at kanang panig, pagkatapos ay makakakuha tayo ng 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1, na katumbas ng r - r 1 \u003d b · q 1 - q. Dahil ginagamit ang modulus, nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay r - r 1 \u003d b q 1 - q.

Ang ibinigay na kondisyon ay nagsabi na 0. R< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qat q 1- mga integer, at q ≠ q 1, pagkatapos ay q 1 - q ≥ 1. Samakatuwid mayroon tayong b q 1 - q ≥ b. Ang nagresultang mga hindi pagkakapantay-pantay r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Kaya't sinusunod nito na ang bilang ng isang hindi maaring irepresenta sa anumang iba pang paraan, maliban sa pamamagitan ng naturang notasyon a \u003d b q + r.

Pakikipag-ugnayan sa pagitan ng dibidendo, divisor, hindi kumpleto ang quotient at ang nalalabi

Gamit ang pagkakapantay-pantay ng isang \u003d b c + d, mahahanap mo ang hindi kilalang dividend a kapag alam mo ang divisor b na may hindi kumpletong quotient c at ang nalalabi d.

Halimbawa 1

Alamin ang dibidendo kung sa dibisyon na nakukuha natin - 21, hindi kumpleto ang quotient 5 at ang natitira 12.

Desisyon

Kinakailangan upang kalkulahin ang dibidendo ng isang kilalang divisor b \u003d - 21, hindi kumpleto ang quotient c \u003d 5 at ang nalalabi d \u003d 12. Kailangan nating lumiko sa pagkakapantay-pantay ng isang \u003d b c + d, kung saan nakakuha tayo ng isang \u003d (- 21) 5 + 12. Nailalim sa pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng mga aksyon, dumarami tayo - 21 sa pamamagitan ng 5, pagkatapos na makuha natin (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

Sagot: - 93 .

Ang koneksyon sa pagitan ng panghati at ang hindi kumpleto na taguri at ang nalalabi ay maipapahayag gamit ang pagkakapantay-pantay: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b at d \u003d a - b c. Sa kanilang tulong, maaari nating kalkulahin ang dibahagi, bahagyang quient at ang nalalabi. Ito ay kumukulo sa patuloy na paghahanap ng nalalabi pagkatapos ng paghati sa isang integer a sa pamamagitan ng b gamit ang isang kilalang dividend, divisor, at hindi kumpleto na taguri. Nalalapat ang pormula d \u003d a - b c. Isaalang-alang natin nang detalyado ang solusyon.

Halimbawa 2

Hanapin ang natitira sa paghahati ng isang integer - 19 sa pamamagitan ng isang integer 3 na may kilalang hindi kumpleto na quotient na katumbas ng - 7.

Desisyon

Upang makalkula ang natitirang bahagi ng dibisyon, mag-apply ng isang formula tulad ng d \u003d a - b · c. Sa kondisyon, ang lahat ng data ay magagamit ng isang \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7. Mula dito nakukuha namin d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (ang pagkakaiba ay 19 - (- 21). Ang halimbawang ito ay kinakalkula ng pamamahagi ng pagbabawas. isang negatibong numero ng integer.

Sagot: 2 .

Ang lahat ng mga positibong integer ay natural. Sinusunod nito na ang dibisyon ay isinasagawa ayon sa lahat ng mga patakaran sa dibisyon kasama ang natitirang mga natural na numero. Ang bilis ng dibisyon kasama ang nalalabi ng mga natural na numero ay mahalaga, dahil hindi lamang ang paghahati ng mga positibo, kundi pati na rin ang mga patakaran para sa paghati sa mga di-makatwirang mga integer ay batay dito.

Ang pinaka-maginhawang paraan ng paghahati ay isang haligi, dahil mas madali at mas mabilis na makakuha ng isang hindi kumpleto o isang quient lamang na may natitira. Isaalang-alang natin ang solusyon nang mas detalyado.

Halimbawa 3

Hatiin ang 14671 sa pamamagitan ng 54.

Desisyon

Ang dibisyong ito ay dapat isagawa sa isang haligi:

Iyon ay, ang hindi kumpletong quotient ay lumiliko na maging 271, at ang naiwan ay 37.

Sagot: 14 671: 54 \u003d 271. (ihinto ang 37)

Ang patakaran ng paghahati na may isang nalalabi ng isang positibong integer ng isang negatibong integer, mga halimbawa

Upang hatiin sa isang positibong natitira ng isang negatibong integer, kailangan mong magbalangkas ng isang patakaran.

Kahulugan 1

Hindi kumpletong quient mula sa paghati ng isang positibong integer a sa pamamagitan ng isang negatibong integer b nakakakuha kami ng isang numero na kabaligtaran sa hindi kumpletong tagatalin mula sa paghati sa ganap na mga halaga ng mga numero ng isang b. Kung gayon ang natitira ay pantay sa nalalabi kung ang isang ay hinati sa b.

Samakatuwid, mayroon kaming hindi kumpleto na tagal ng paghahati ng isang positibong numero ng integer ng isang negatibong numero ng integer ay itinuturing na isang di-positibong integer.

Nakukuha namin ang algorithm:

• hatiin ang modulus ng mahahati sa pamamagitan ng modulus ng divisor, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang hindi kumpleto na quotient at
• ang natira;
• isusulat namin ang numero na kabaligtaran sa natanggap.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng algorithm para sa paghati ng isang positibong integer ng isang negatibong integer.

Halimbawa 4

Hatiin sa nalalabi ng 17 hanggang - 5.

Desisyon

Ilapat natin ang algorithm ng paghahati sa nalalabi ng isang positibong integer ng isang negatibong integer. Dapat mong hatiin ang 17 by - 5 modulo. Mula dito nakukuha namin na ang hindi kumpleto na quotient ay 3, at ang natitira ay 2.

Nakukuha namin na ang kinakailangang bilang mula sa paghati sa 17 ng - 5 \u003d - 3 na may natitirang 2.

Sagot: 17: (- 5) \u003d - 3 (pahinga 2).

Halimbawa 5

Hatiin ang 45 sa - 15.

Desisyon

Ito ay kinakailangan upang hatiin ang mga numero ng modulo. Hatiin ang bilang 45 hanggang 15, nakuha namin ang quotient 3 na walang natitira. Nangangahulugan ito na ang bilang 45 ay nahahati sa 15 nang walang nalalabi. Sa sagot na nakukuha namin - 3, dahil ang paghahati ay isinagawa na modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Sagot: 45: (− 15) = − 3 .

Ang pagbabalangkas ng paghahari ng dibisyon na may natitira ay ang mga sumusunod.

Kahulugan 2

Upang makakuha ng isang hindi kumpletong quotient c kapag naghahati ng isang negatibong integer a sa pamamagitan ng isang positibong b, kailangan mong ilapat ang kabaligtaran ng ibinigay na numero at ibawas ang 1 mula dito, kung gayon ang nalalabi d ay kalkulahin ng formula: d \u003d a - b · c.

Batay sa panuntunan, maaari nating tapusin na kapag naghahati ay nakakakuha tayo ng isang di-negatibong numero ng integer. Para sa katumpakan ng solusyon, ang algorithm para sa paghati ng isang b gamit ang isang nalalabi ay ginagamit:

• hanapin ang mga module ng dividend at divisor;
• hatiin ayon sa module;
• isulat ang kabaligtaran na numero at ibawas ang 1;
• gamitin ang pormula para sa nalalabi d \u003d a - b · c.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang solusyon kung saan inilalapat ang algorithm na ito.

Halimbawa 6

Hanapin ang hindi kumpleto na quotient at ang nalalabi ng dibisyon - 17 sa pamamagitan ng 5.

Desisyon

Hatiin ang ibinigay na mga numero ng modulo. Nakukuha namin iyon kapag naghahati sa quiento ay 3, at ang nalabi ay 2. Dahil nakuha namin ang 3, ang kabaligtaran ay 3. Dapat mong ibawas ang 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Nakukuha namin ang nais na halaga na katumbas ng - 4.

Upang makalkula ang nalalabi, kailangan mo ng isang \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, pagkatapos d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Nangangahulugan ito na ang hindi kumpletong quotient ng dibisyon ay ang bilang - 4 na may isang natitirang pantay sa 3.

Sagot: (- 17): 5 \u003d - 4 (pahinga. 3).

Halimbawa 7

Hatiin ang negatibong integer 1404 ng positibo 26.

Desisyon

Kinakailangan na hatiin sa pamamagitan ng isang haligi at ng isang bag.

Nakakuha kami ng dibisyon ng mga ganap na halaga ng mga numero nang walang nalalabi. Nangangahulugan ito na ang paghahati ay isinasagawa nang walang isang natitira, at ang nais na quotient \u003d - 54.

Sagot: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Ang pamamahala ng dibisyon na may natitirang mga negatibong integer, halimbawa

Kinakailangan na magbalangkas ng isang panuntunan sa dibisyon na may natitirang mga negatibong integer.

Kahulugan 3

Upang makakuha ng isang hindi kumpletong quotient c mula sa paghati ng isang negatibong integer a sa pamamagitan ng isang integer negatibong b, kinakailangan upang magsagawa ng mga mode ng pagkalkula, pagkatapos ay magdagdag ng 1, pagkatapos ay makagawa kami ng mga kalkulasyon gamit ang formula d \u003d a - b c.

Sinusundan nito na ang hindi kumpleto na quotient ng paghahati ng mga negatibong integer ay magiging isang positibong numero.

Pormulahin natin ang panuntunang ito sa anyo ng isang algorithm:

• hanapin ang mga module ng dividend at divisor;
• hatiin ang modulus ng mahahati sa pamamagitan ng modulus ng divisor upang makakuha ng isang hindi kumpletong tagasunod
• ang natira;
• pagdaragdag ng 1 sa hindi kumpleto na quotient;
• kinakalkula ang nalalabi, batay sa pormula d \u003d a - b · c.

Isaalang-alang natin ang algorithm na ito gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa 8

Hanapin ang hindi kumpleto na quotient at ang nalalabi kapag naghahati - 17 sa pamamagitan ng 5.

Desisyon

Para sa kawastuhan ng solusyon, ilalapat namin ang algorithm para sa paghahati na may natitira. Una, hatiin ang mga numero ng modulo. Mula dito nakukuha namin na ang hindi kumpleto na quotient \u003d 3, at ang natitira ay 2. Ayon sa panuntunan, kinakailangan upang magdagdag ng hindi kumpleto na quiento at 1. Nakukuha namin ang 3 + 1 \u003d 4. Mula dito nakukuha namin na ang hindi kumpleto na quotient ng dibisyon ng mga ibinigay na numero ay 4.

Upang makalkula ang nalalabi, gagamitin namin ang formula. Sa pamamagitan ng hypothesis, mayroon tayong isang \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, pagkatapos, gamit ang pormula, nakakakuha tayo ng d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Ang nais na sagot, iyon ay, ang natitira, ay 3, at ang hindi kumpleto na kwalipikado ay 4.

Sagot: (- 17): (- 5) \u003d 4 (pahinga 3).

Sinusuri ang resulta ng paghahati ng mga integer na may natitira

Matapos maisagawa ang paghahati ng mga numero na may natitira, kailangan mong suriin. Ang tseke na ito ay nagsasangkot ng 2 yugto. Una, ang natitira d ay sinuri para sa nonnegativity, ang kondisyon 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9

Ang paghahati ay ginawa - 521 ng - 12. Ang quotient ay 44, ang natira ay 7. Suriin.

Desisyon

Dahil ang natitira ay isang positibong numero, ang halaga nito ay mas mababa sa modulus ng divisor. Ang naghahati ay - 12, na nangangahulugang 12 ang modulus nito. Maaari kang magpatuloy sa susunod na punto ng tseke.

Sa pamamagitan ng hypothesis, mayroon tayong isang \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. Mula dito kinakalkula namin ang b c + d, kung saan b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Samakatuwid sumusunod ito na ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Lumipas ang pagpapatunay.

Halimbawa 10

Gawin ang tseke ng dibisyon (- 17): 5 \u003d - 3 (pahinga - 2). Totoo ba ang pagkakapantay-pantay?

Desisyon

Ang punto ng unang yugto ay kinakailangan upang suriin ang paghahati ng mga integers na may natitira. Mula dito malinaw na ang pagkilos ay isinagawa nang hindi tama, dahil ang nalalabi ay ibinibigay, katumbas ng - 2. Ang natitira ay hindi negatibo.

Mayroon kaming ang ikalawang kondisyon ay nasiyahan, ngunit hindi sapat para sa kasong ito.

Sagot: hindi.

Halimbawa 11

Bilang - 19 na hinati ng - 3. Ang hindi kumpleto na quiento ay 7 at ang natitira ay 1. Suriin kung tama ang pagkalkula.

Desisyon

Ang isang nalalabi sa 1 ay ibinigay. Positibo siya. Mas mababa ito sa module ng divider, na nangangahulugang ang unang yugto ay isinagawa. Lumipat tayo sa ikalawang yugto.

Alamin natin ang halaga ng expression b c + d. Sa pamamagitan ng hypothesis, mayroon tayong b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, samakatuwid, na humahalili sa mga numerical na halaga, nakakakuha tayo ng b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Sumusunod na ang isang \u003d b c + d ang pagkakapantay-pantay ay hindi humahawak, dahil ang kondisyon ay nagbibigay ng isang \u003d - 19.

Samakatuwid ang konklusyon na ang paghati ay ginawa ng isang pagkakamali.

Sagot: hindi.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Sa artikulong ito susuriin namin paghati ng mga integer na may natitira... Magsimula tayo sa pangkalahatang prinsipyo ng paghahati ng mga integer na may natitira, bumalangkas at patunayan ang teorya sa divisibility ng mga integers na may natitira, bakas ang mga koneksyon sa pagitan ng dividend, divisor, bahagyang quient at ang nalalabi. Susunod, bibigyan natin ng boses ang mga patakaran kung saan isinasagawa ang paghati ng mga integer na may isang nalalabi, at isaalang-alang ang paglalapat ng mga patakarang ito sa paglutas ng mga halimbawa. Pagkatapos nito, malalaman natin kung paano suriin ang resulta ng paghati sa mga integer na may natitira.

Pag-navigate ng pahina.

Ang pag-unawa sa paghahati ng mga integer na may natitira

Isasaalang-alang namin ang paghahati ng mga integer na may natitira bilang isang pangkalahatang paghahati ng dibisyon na may natitirang mga natural na numero. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga likas na numero ay isang mahalagang bahagi ng mga integer.

Magsimula tayo sa mga termino at pagtatalaga na ginagamit sa paglalarawan.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa paghati ng mga likas na numero na may isang natitira, ipapalagay natin na ang resulta ng dibisyon na may natitirang dalawang integer at a (b ay hindi katumbas ng zero) ay dalawang integer na c at d. Ang mga numero ng a at b ay tinatawag mahahati at naghahati ayon sa pagkakabanggit, ang bilang d - ang natira mula sa paghati sa isang b, at ang integer c ay tinatawag hindi kumpleto ang pribado (o simpleng pribadokung ang natira ay zero).

Sumasang-ayon tayo na ipalagay na ang natitira ay isang hindi negatibong integer, at ang halaga nito ay hindi lalampas sa b, iyon ay, (nakilala namin ang magkatulad na kadena ng hindi pagkakapantay-pantay kapag pinag-uusapan natin ang paghahambing ng tatlo o higit pang mga integer).

Kung ang bilang c ay isang hindi kumpleto na quotiento, at ang bilang d ay ang natitira sa paghati ng isang integer a sa pamamagitan ng isang integer b, pagkatapos ay isusulat namin saglit ang katotohanang ito bilang isang pagkakapantay-pantay ng form a: b \u003d c (naiwan d).

Tandaan na kapag naghahati ng isang integer ng isang integer b, ang natitira ay maaaring maging zero. Sa kasong ito ay sinasabing nahahati sa b walang nalalabi (o buo). Sa gayon, ang paghati sa mga integer na walang nalalabi ay isang espesyal na kaso ng paghati sa mga integer na may nalalabi.

Ito ay nagkakahalaga din na sabihin na kapag naghahati ng zero sa pamamagitan ng ilang integer, lagi kaming nakikipag-ugnayan sa dibisyon nang walang natitira, dahil sa kasong ito ang quient ay magiging zero (tingnan ang seksyon ng teorya sa dibisyon ng zero ng isang integer), at ang natitira ay magiging zero din.

Napagpasyahan namin ang mga terminolohiya at pagtatalaga, ngayon alamin natin ang kahulugan ng paghati sa mga integer na may natitira.

Ang paghati ng isang negatibong integer a sa pamamagitan ng isang positibong integer b ay maaari ring magkaroon ng kahulugan. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang negatibong integer bilang utang. Isipin natin ang sumusunod na sitwasyon. Ang utang, na bumubuo sa mga item, ay dapat bayaran ng mga tao, na gumagawa ng parehong kontribusyon. Ganap na halaga Ang hindi kumpletong pribadong c sa kasong ito ay matukoy ang dami ng utang ng bawat isa sa mga taong ito, at ang nalalabi d ay magpapakita kung gaano karaming mga item ang mananatili pagkatapos mabayaran ang utang. Bigyan tayo ng isang halimbawa. Sabihin nating 2 tao ang nangangailangan ng 7 mansanas. Kung ipinapalagay natin na ang bawat isa sa kanila ay may utang na 4 na mansanas, pagkatapos pagkatapos magbayad ng utang magkakaroon sila ng 1 mansanas. Ang sitwasyong ito ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay (−7): 2 \u003d −4 (pahinga 1).

Hindi kami bibigyan ng anumang kahulugan sa paghahati sa nalalabi ng isang di-makatwirang integer a sa pamamagitan ng isang negatibong integer, ngunit iwanan namin ito ng karapatang umiiral.

Diborsyo teorem para sa mga integer na may natitira

Kung pinag-uusapan natin ang paghati sa mga likas na numero sa nalalabi, nalaman namin na ang dibidendo a, divisor b, hindi kumpleto na quient c at ang nalalabi d ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay a \u003d b c + d. Ang mga integer ay, b, c, at d ay nagbabahagi ng parehong relasyon. Ang koneksyon na ito ay naaprubahan ng mga sumusunod natitirang divisibility teorem.

Teorya.

Ang anumang integer a ay maaaring kinatawan sa pamamagitan ng isang integer at nonzero number b sa anyo ng isang \u003d b q + r, kung saan ang q at r ay ilang mga integer, at.

Katibayan.

Una, napatunayan namin ang posibilidad na kumakatawan sa isang \u003d b q + r.

Kung ang mga integer at a b ay tulad na ang isang pantay na nahahati sa b, kung gayon sa pamamagitan ng kahulugan ay mayroong isang integer q tulad ng isang \u003d b q. Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay ng isang \u003d bq + r ay humahawak para sa r \u003d 0.

Ngayon ay ipapalagay natin na ang b ay isang positibong integer. Pumili ng isang integer q na ang produkto b q ay hindi lalampas sa isang, at ang produkto b (q + 1) ay mas malaki kaysa sa a. Iyon ay, kinuha namin ang q na ang mga hindi pagkakapantay-pantay b q

Ito ay nananatiling patunayan ang posibilidad na kumakatawan sa isang \u003d b q + r para sa negatibong b.

Dahil ang modulus ng bilang b sa kasong ito ay isang positibong numero, kung gayon para sa isang representasyon, kung saan ang q 1 ay isang integer, at ang r ay isang integer na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon. Pagkatapos, ang pagkuha ng q \u003d −q 1, nakuha namin ang kinakailangang representasyon ng isang \u003d b q + r para sa negatibong b.

Nagpapasa kami sa patunay ng natatangi.

Ipagpalagay na bilang karagdagan sa representasyon ng isang \u003d bq + r, q at r ay mga integer at, mayroong isa pang representasyon a \u003d bq 1 + r 1, kung saan ang q 1 at r 1 ay ilang mga integer, at q 1 ≠ q at.

Matapos ang pagbabawas mula sa kaliwa at kanang panig ng unang pagkakapantay-pantay, ayon sa pagkakabanggit, kaliwa at kanang panig ng pangalawang pagkakapantay-pantay, nakukuha namin ang 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1, na katumbas ng pagkakapantay-pantay na r - r 1 \u003d b (q 1 −q) ... Pagkatapos ay isang pagkakapantay-pantay ng form , at sa pamamagitan ng kabutihan ng mga katangian ng modulus ng isang numero, pagkakapantay-pantay .

Mula sa mga kondisyon at maaari nating tapusin iyon. Yamang ang q at q 1 ay mga integer at q ≠ q 1, kung saan tayo magtatapos na ... Mula sa nakuha na mga hindi pagkakapantay-pantay at sumusunod ito na isang pagkakapantay-pantay ng form imposible sa ilalim ng aming pag-aakala. Samakatuwid, walang ibang representasyon ng bilang a, maliban sa isang \u003d b q + r.

Ang mga link sa pagitan ng dividend, divisor, hindi kumpleto ang quient at ang nalalabi

Ang pagkakapantay-pantay ng isang \u003d b c + d ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang hindi kilalang dividend a kung alam mo ang divisor b, ang hindi kumpleto na quient c, at ang nalalabi d. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Ano ang dividend kung ang paghati nito sa pamamagitan ng integer −21 ay nagreresulta sa isang hindi kumpletong quotient 5 at isang nalabi ng 12?

Desisyon.

Kailangan nating kalkulahin ang dibidendo kapag alam natin ang divisor b \u003d −21, ang bahagyang quotient c \u003d 5, at ang nalalabi d \u003d 12. Ang pag-on sa pagkakapantay-pantay ng isang \u003d b c + d, nakakakuha tayo ng isang \u003d (- 21) 5 + 12. Sa pagmamasid, una nating pinarami ang mga integers −21 at 5 ayon sa patakaran ng pagpaparami ng mga integer na may iba't ibang mga palatandaan, pagkatapos nito ay idinagdag namin ang mga integer na may iba't ibang mga palatandaan: (−21) 5 + 12 \u003d −105 + 12 \u003d \u003d93.

Sagot:

−93 .

Ang mga koneksyon sa pagitan ng divisor, divisor, bahagyang quotient at ang natitira ay ipinahayag din ng mga pagkakapantay-pantay ng form b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b at d \u003d a - b c. Pinapayagan ang mga pagkakapantay-pantay na kalkulahin ang dibahagi, bahagyang kusang-loob, at nalalabi, ayon sa pagkakabanggit. Kadalasan ay kailangan nating hanapin ang nalalabi ng paghati sa isang integer a sa pamamagitan ng isang integer b kapag ang dividend, divisor, at bahagyang quient ay kilala, gamit ang formula d \u003d a - b · c. Upang maiwasan ang mga karagdagang katanungan, tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng nalalabi.

Halimbawa.

Hanapin ang natitira sa paghati sa integer −19 ng integer 3 kung kilala na ang hindi kumpleto na quiento ay −7.

Desisyon.

Upang makalkula ang natitirang bahagi ng dibisyon, gumagamit kami ng isang pormula ng form d \u003d a - b · c. Mula sa kundisyon mayroon tayong lahat ng kinakailangang data ng isang \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. Nakakuha kami ng d \u003d a - b c \u003d −19−3 (−7) \u003d −19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (ang pagkakaiba-iba ng --19 - (- 21) kinakalkula namin sa pamamagitan ng patakaran ng pagbabawas ng isang negatibong integer ).

Sagot:

Dibisyon na may natitirang mga positibong integer, halimbawa

Tulad ng nabanggit namin nang higit sa isang beses, ang mga positibong integer ay natural na mga numero. Samakatuwid, ang paghati na may natitirang mga positibong integer ay isinasagawa ayon sa lahat ng mga panuntunan ng dibisyon na may natitirang mga natural na numero. Napakahalaga na madaling magawa ang dibisyon sa nalalabi ng mga likas na numero, dahil tiyak na ito na ang underlies division hindi lamang ng mga positibong integer, kundi pati na rin ang batayan ng lahat ng mga panuntunan ng dibisyon sa mga nalalabi ng mga di-makatwirang mga integer.

Mula sa aming pananaw, ito ay pinaka-maginhawa upang maisagawa ang mahabang paghati, ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang parehong hindi kumpleto na quotient (o lamang ang quiento) at ang nalalabi. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahati na may natitirang mga positibong integer.

Halimbawa.

Hatiin ang 14 671 sa pamamagitan ng 54 sa nalalabi.

Desisyon.

Hatiin natin ang mga positibong integer na ito sa pamamagitan ng isang haligi:

Ang bahagyang taguri ay naging 271, at ang naiwan ay 37.

Sagot:

14 671: 54 \u003d 271 (pahinga 37).

Ang patakaran ng paghahati na may isang nalalabi ng isang positibong integer ng isang negatibong integer, mga halimbawa

Gumawa tayo ng isang patakaran na nagpapahintulot sa pagsasagawa ng paghahati sa isang nalalabi ng isang positibong integer ng isang negatibong integer.

Ang hindi kumpletong quotient ng paghahati ng isang positibong integer a sa pamamagitan ng isang negatibong integer b ay kabaligtaran ng hindi kumpleto na tagal ng paghahati ng isang modulus ng b, at ang nalalabi sa paghati ng isang b ay katumbas ng natitirang bahagi ng paghahati ng.

Mula sa panuntunang ito ay sumusunod na ang hindi kumpleto na tagal ng paghahati ng isang positibong integer ng isang negatibong integer ay isang di-positibong integer.

Gawin nating muli ang inihayag na patakaran sa isang algorithm para sa paghahati kasama ang nalalabi ng isang positibong integer ng isang negatibong integer:

• Hinahati namin ang modulus ng mahahati sa pamamagitan ng modulus ng divisor, nakakakuha kami ng isang hindi kumpleto na quient at natitira. (Kung ang natitira ay pantay sa zero, kung gayon ang mga orihinal na numero ay nahahati nang walang natitira, at ayon sa panuntunan ng paghati sa mga integer na may kabaligtaran na mga palatandaan, ang ninanais na tagatanggi ay katumbas ng bilang na kabaligtaran sa quient mula sa paghati sa mga module.)
• Isinulat namin ang numero na kabaligtaran sa natanggap na hindi kumpleto na kwalipikado, at ang nalalabi. Ang mga bilang na ito ay, ayon sa pagkakabanggit, ang nais na taguri at ang natitirang bahagi ng dibisyon ng orihinal na positibong integer sa pamamagitan ng isang negatibong integer.

Bigyan tayo ng isang halimbawa ng paggamit ng algorithm para sa paghati ng isang positibong integer ng isang negatibong integer.

Halimbawa.

Hatiin ang positibong integer 17 ng negatibong integer −5.

Desisyon.

Gagamitin natin ang algorithm ng paghahati sa nalalabi ng isang positibong integer ng isang negatibong integer.

Paghahati

Ang kabaligtaran ng 3 ay −3. Sa gayon, ang nais na bahagyang kalahati ng paghahati ng 17 ng −5 ay −3, at ang nalabi ay 2.

Sagot:

17: (- 5) \u003d - 3 (pahinga 2).

Halimbawa.

Hatiin 45 hanggang -15.

Desisyon.

Ang moduli ng dibidendo at ang naghahati ay 45 at 15, ayon sa pagkakabanggit. Ang bilang 45 ay nahahati sa 15 nang walang nalalabi, habang ang quient ay 3. Samakatuwid, ang positibong integer 45 ay nahahati sa negatibong integer −15 na walang natitira, at ang quientiente ay katumbas ng kabaligtaran ng 3, iyon ay, −3. Sa katunayan, ayon sa patakaran ng paghati sa mga integer na may iba't ibang mga palatandaan, mayroon tayo.

Sagot:

45:(−15)=−3 .

Dibisyon na may natitirang isang negatibong integer ng isang positibong integer, mga halimbawa

Ibigay natin ang pagbabalangkas ng pamamahagi ng paghahati na may isang natitira sa isang negatibong integer ng isang positibong integer.

Upang makakuha ng isang hindi kumpleto na quient c mula sa paghati ng isang negatibong integer a sa pamamagitan ng isang positibong integer b, kailangan mong gawin ang kabaligtaran ng hindi kumpletong tagumpay mula sa paghati sa moduli ng mga orihinal na numero at ibawas ang isa mula dito, at pagkatapos ay kalkulahin ang nalalabi d ng formula d \u003d a - b c.

Mula sa panuntunang ito ng dibisyon na may isang natitira ay sumusunod na ang hindi kumpleto na quotient ng paghati ng isang negatibong integer sa pamamagitan ng isang positibong integer ay isang negatibong integer.

Mula sa tunog na panuntunan ay sumusunod sa division algorithm na may natitira sa isang negatibong integer a sa pamamagitan ng isang positibong integer b:

• Hanapin ang mga module ng dividend at ang divisor.
• Hinahati namin ang modulus ng mahahati sa pamamagitan ng modulus ng divisor, nakakakuha kami ng isang hindi kumpleto na quient at natitira. (Kung ang natitira ay zero, kung gayon ang mga orihinal na integer ay nahahati nang walang natitira, at ang nais na tagatala ay katumbas ng bilang na kabaligtaran sa quotient ng modulo division.)
• Isinulat namin ang numero na kabaligtaran sa nakuha na hindi kumpleto na quotient at ibawas ang numero 1 mula dito. Ang kinakalkula na numero ay ang kinakailangang hindi kumpletong quotient c mula sa paghati sa orihinal na negatibong integer ng isang positibong integer.

Suriin natin ang solusyon ng halimbawa, kung saan ginagamit namin ang nakasulat na algorithm ng dibisyon na may natitira.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi kumpletong taguri at ang nalalabi ng negatibong integer -17 na hinati ng positibong integer 5.

Desisyon.

Ang modulus ng dividend −17 ay 17, at ang modulus ng divisor 5 ay 5.

Paghahati 17 sa pamamagitan ng 5, nakakakuha kami ng hindi kumpleto na quotient 3 at natitira 2.

Ang kabaligtaran ng 3 ay −3. Magbawas ng isa mula sa −3: −3−1 \u003d −4. Kaya, ang kinakailangang hindi kumpletong quiento ay −4.

Ito ay nananatiling upang makalkula ang nalalabi. Sa aming halimbawa, isang \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, pagkatapos d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Sa gayon, ang bahagyang kalahati ng paghati sa negatibong integer -17 ng positibong integer 5 ay -4, at ang natitira ay 3.

Sagot:

(−17): 5 \u003d −4 (pahinga 3).

Halimbawa.

Hatiin ang negatibong integer -1404 ng positibong integer 26.

Desisyon.

Ang modulus ng dividend ay 1 404, ang modulus ng divisor ay 26.

Hatiin ang 1 404 sa pamamagitan ng 26 gamit ang isang haligi:

Dahil ang modulus ng dividend ay nahahati sa modulus ng divisor nang walang natitira, ang mga orihinal na integer ay nahahati nang walang natitira, at ang ninanais na tagatanggi ay katumbas ng bilang na kabaligtaran hanggang sa 54, iyon ay, −54.

Sagot:

(−1 404):26=−54 .

Ang pamamahala ng dibisyon na may natitirang mga negatibong integer, halimbawa

Pormulahin natin ang panuntunan ng paghahati na may natitirang mga negatibong integer.

Upang makakuha ng isang hindi kumpletong quotient c mula sa paghati ng isang negatibong integer a sa pamamagitan ng isang integer negatibong numero b, kailangan mong kalkulahin ang hindi kumpleto na quient mula sa paghati sa moduli ng mga orihinal na numero at magdagdag ng isa dito, pagkatapos ay kalkulahin ang nalalabi d ng formula d \u003d a - b c.

Sinusundan ito mula sa panuntunang ito na ang hindi kumpleto na quotient ng paghati ng mga negatibong integer ay isang positibong integer.

Isulat ulit natin ang nakasaad na panuntunan bilang isang algorithm para sa paghati ng mga negatibong integer:

• Hanapin ang mga module ng dividend at ang divisor.
• Hinahati namin ang modulus ng mahahati sa pamamagitan ng modulus ng divisor, nakakakuha kami ng isang hindi kumpleto na quotient at naiwan. (Kung ang natirang ay zero, kung gayon ang mga orihinal na integer ay nahahati nang walang natitira, at ang nais na tagatala ay katumbas ng quient ng paghati sa modulus ng dividend ng modulus ng divisor.)
• Nagdaragdag kami ng isa sa nagreresultang hindi kumpleto na quotient, ang bilang na ito ay ang kinakailangang hindi kumpletong tagasunod mula sa paghahati ng orihinal na negatibong integer.
• Kinakalkula namin ang nalalabi sa pamamagitan ng pormula d \u003d a - b · c.

Isaalang-alang ang paggamit ng algorithm para sa paghati ng mga negatibong integer kapag paglutas ng isang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang bahagyang kusyente at ang nalalabi sa dibisyon ng negatibong integer -17 ng negatibong integer -5.

Desisyon.

Gumamit tayo ng naaangkop na dibisyon na may natitirang algorithm.

Ang modulus ng dibidendo ay 17, ang modulus ng divisor ay 5.

Dibisyon Ang 17 sa pamamagitan ng 5 ay nagbibigay ng isang hindi kumpletong quotient 3 at isang nalalabi ng 2.

Magdagdag ng isa sa hindi kumpletong quotient 3: 3 + 1 \u003d 4. Samakatuwid, ang kinakailangang hindi kumpletong quotient ng paghahati ng −17 sa pamamagitan ng −5 ay 4.

Ito ay nananatiling upang makalkula ang nalalabi. Sa halimbawang ito, isang \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, kung gayon d \u003d a - b c \u003d −17 - (- 5) 4 \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Kaya, ang hindi kumpletong tagal ng paghati sa negatibong integer -17 ng negatibong integer -5 ay 4, at ang natitira ay 3.

Sagot:

(−17): (- 5) \u003d 4 (pahinga 3).

Sinusuri ang resulta ng paghahati ng mga integer na may natitira

Matapos paghatiin ang mga integer na naiwan, kapaki-pakinabang na suriin ang resulta. Ang tseke ay isinasagawa sa dalawang yugto. Sa unang yugto, nasuri kung ang nalalabi d ay isang hindi negatibong bilang, at ang kondisyon ay nasuri din. Kung ang lahat ng mga kondisyon ng unang yugto ng pag-verify ay natutugunan, pagkatapos ay maaari kang magpatuloy sa pangalawang yugto ng pag-verify, kung hindi, maaari itong maitalo na ang isang pagkakamali ay nagawa sa isang lugar sa panahon ng paghahati na may isang nalalabi. Sa ikalawang yugto, ang bisa ng pagkakapantay-pantay ng isang \u003d b c + d ay nasuri. Kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo, kung gayon ang paghati sa nalalabi ay isinasagawa nang wasto, kung hindi man, isang pagkakamali ang nagawa sa isang lugar.

Isaalang-alang natin ang mga solusyon ng mga halimbawa kung saan ang resulta ng paghahati ng mga integer na may natitira ay nasuri.

Halimbawa.

Kapag hinati ang bilang −521 sa pamamagitan ng −12, nakakuha ka ng isang hindi kumpleto na kusang 44 at isang nalalabi ng 7, suriin ang resulta.

Desisyon. −2 para sa b \u003d −3, c \u003d 7, d \u003d 1. Meron kami b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... Sa gayon, ang pagkakapantay-pantay ng isang \u003d b c + d ay hindi tama (sa aming halimbawa, isang \u003d −19).

Samakatuwid, ang paghati sa ang nalalabi ay isinasagawa nang hindi wasto.