Ang dami ng tetrahedron ay ang derivation ng formula. Ang dami ng isang tetrahedron. Pagkalkula ng volume ng isang tetrahedron kung ang mga coordinate ng mga vertices nito ay kilala

Mula sa pangunahing formula para sa dami ng isang tetrahedron

saan S ay ang lugar ng anumang mukha, at H- ang taas na ibinaba dito, maaari kang makakuha ng isang buong serye ng mga formula na nagpapahayag ng lakas ng tunog sa mga tuntunin ng iba't ibang elemento ng tetrahedron. Ibinibigay namin ang mga formula na ito para sa tetrahedron A B C D.

(2) ,

saan ∠ ( AD,ABC) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid AD at mukha ng eroplano ABC;

(3) ,

saan ∠ ( ABC,ABD) ay ang anggulo sa pagitan ng mga mukha ABC At ABD;

saan | AB,CD| - distansya sa pagitan ng magkabilang tadyang AB At CD, ∠ (AB,CD) ay ang anggulo sa pagitan ng mga gilid na ito.

Ang mga formula (2)–(4) ay maaaring gamitin upang mahanap ang mga anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano; Ang formula (4) ay lalong kapaki-pakinabang, kung saan makikita mo ang distansya sa pagitan ng mga skew na linya AB At CD.

Ang mga formula (2) at (3) ay katulad ng formula S = (1/2)ab kasalanan C para sa lugar ng isang tatsulok. Formula S = rp katulad na pormula

saan r ay ang radius ng inscribed sphere ng tetrahedron, Σ ay ang kabuuang ibabaw nito (ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha). Mayroon ding magandang formula na nag-uugnay sa dami ng isang tetrahedron na may radius R inilalarawan nitong saklaw ( Formula ng Crelle):

kung saan ang Δ ay ang lugar ng isang tatsulok na ang mga panig ay ayon sa bilang na katumbas ng mga produkto ng magkasalungat na mga gilid ( AB× CD, AC× BD,AD× BC). Mula sa formula (2) at ang cosine theorem para sa trihedral na mga anggulo (tingnan ang Spherical trigonometry), ang isa ay maaaring makakuha ng formula na katulad ng formula ni Heron para sa mga tatsulok.

Isaalang-alang ang isang di-makatwirang tatsulok na ABC at isang punto D na hindi namamalagi sa eroplano ng tatsulok na ito. Ikonekta ang puntong ito sa mga segment sa mga vertex ng tatsulok na ABC. Bilang resulta, nakakakuha kami ng mga tatsulok ADC , CDB , ABD . Ang ibabaw na may hangganan ng apat na tatsulok na ABC , ADC , CDB at ABD ay tinatawag na tetrahedron at tinutukoy na DABC .
Ang mga tatsulok na bumubuo sa isang tetrahedron ay tinatawag na mga mukha nito.
Ang mga gilid ng mga tatsulok na ito ay tinatawag na mga gilid ng tetrahedron. At ang kanilang mga vertices ay ang vertices ng isang tetrahedron

Ang tetrahedron ay may 4 na mukha, 6 tadyang At 4 na taluktok.
Ang dalawang gilid na walang karaniwang vertex ay tinatawag na kabaligtaran.
Kadalasan, para sa kaginhawahan, ang isa sa mga mukha ng tetrahedron ay tinatawag batayan, at ang natitirang tatlong mukha ay mga gilid na mukha.

Kaya, ang tetrahedron ay ang pinakasimpleng polyhedron, ang mga mukha nito ay apat na tatsulok.

Ngunit totoo rin na ang anumang arbitrary triangular pyramid ay isang tetrahedron. Kung gayon totoo rin na tinatawag na tetrahedron isang pyramid na may tatsulok sa base nito.

Ang taas ng tetrahedron tinatawag na segment na nag-uugnay sa isang vertex sa isang punto na matatagpuan sa tapat ng mukha at patayo dito.
Median ng isang tetrahedron tinatawag na segment na nag-uugnay sa vertex sa punto ng intersection ng mga median ng kabaligtaran na mukha.
Bimedian tetrahedron ay tinatawag na isang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga tumatawid na gilid ng tetrahedron.

Dahil ang tetrahedron ay isang pyramid na may triangular na base, ang volume ng anumang tetrahedron ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

• S ay ang lugar ng anumang mukha,
• H- ang taas binabaan nitong mukha

Regular na tetrahedron - isang espesyal na uri ng tetrahedron

Ang isang tetrahedron kung saan ang lahat ng mga mukha ay equilateral triangles ay tinatawag tama.
Mga katangian ng isang regular na tetrahedron:

• Ang lahat ng mga gilid ay pantay.
• Ang lahat ng mga anggulo ng eroplano ng isang regular na tetrahedron ay 60°
• Dahil ang bawat isa sa mga vertex nito ay ang vertex ng tatlong regular na triangles, ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay 180°
• Ang anumang vertex ng isang regular na tetrahedron ay inaasahang papunta sa orthocenter ng kabaligtaran na mukha (sa intersection point ng mga taas ng tatsulok).

Bigyan tayo ng isang regular na tetrahedron ABCD na may mga gilid na katumbas ng isang . DH ang taas nito.
Gumawa tayo ng karagdagang mga constructions BM - ang taas ng tatsulok ABC at DM - ang taas ng tatsulok ACD .
Taas BM ay katumbas ng BM at katumbas
Isaalang-alang ang tatsulok na BDM , kung saan ang DH , na siyang taas ng tetrahedron, ay ang taas din ng tatsulok na ito.
Ang taas ng isang tatsulok na bumaba sa gilid MB ay matatagpuan gamit ang formula

, saan
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Palitan ang mga halagang ito sa formula ng taas. Kunin


Ilabas natin ang 1/2a. Kunin

Ilapat ang formula difference ng mga parisukat

Pagkatapos ng ilang maliliit na pagbabago, nakukuha namin


Ang dami ng anumang tetrahedron ay maaaring kalkulahin gamit ang formula
,
saan ,

Ang pagpapalit sa mga halagang ito, nakukuha namin

Kaya ang formula ng volume para sa isang regular na tetrahedron ay

saan a– gilid ng tetrahedron

Pagkalkula ng volume ng isang tetrahedron kung ang mga coordinate ng mga vertices nito ay kilala

Bigyan tayo ng mga coordinate ng vertices ng tetrahedron

Gumuhit ng mga vectors mula sa vertex , , .
Upang mahanap ang mga coordinate ng bawat isa sa mga vector na ito, ibawas ang kaukulang start coordinate mula sa end coordinate. Kunin

Tandaan. Ito ay bahagi ng aralin na may mga problema sa geometry (seksyon solid geometry, mga problema tungkol sa pyramid). Kung kailangan mong malutas ang isang problema sa geometry, na wala dito - isulat ang tungkol dito sa forum. Sa mga gawain, sa halip na ang simbolo ng "square root", ang sqrt () function ay ginagamit, kung saan ang sqrt ay ang square root na simbolo, at ang radical expression ay ipinahiwatig sa mga bracket.Para sa mga simpleng radikal na expression, maaaring gamitin ang sign na "√".. regular na tetrahedron ay isang regular na triangular na pyramid kung saan ang lahat ng mga mukha ay equilateral triangles.

Para sa isang regular na tetrahedron, lahat ng dihedral na anggulo sa mga gilid at lahat ng trihedral na anggulo sa vertices ay pantay.

Ang isang tetrahedron ay may 4 na mukha, 4 na vertices at 6 na gilid.

Ang mga pangunahing formula para sa isang regular na tetrahedron ay ibinibigay sa talahanayan.

saan:
S - Surface area ng isang regular na tetrahedron
V - dami
h - taas na ibinaba sa base
r - radius ng bilog na nakasulat sa tetrahedron
R - radius ng circumscribed circle
a - haba ng tadyang

Mga praktikal na halimbawa

Isang gawain.
Hanapin ang surface area ng isang triangular pyramid na ang bawat gilid ay katumbas ng √3

Solusyon.
Dahil ang lahat ng mga gilid ng isang triangular na pyramid ay pantay, ito ay tama. Ang surface area ng isang regular na triangular pyramid ay S = a 2 √3.
Pagkatapos
S = 3√3

Sagot: 3√3

Isang gawain.
Lahat ng mga gilid ng isang regular na triangular na pyramid ay 4 cm. Hanapin ang volume ng pyramid

Solusyon.
Dahil sa isang regular na triangular na pyramid, ang taas ng pyramid ay naka-project sa gitna ng base, na kung saan ay din ang sentro ng circumscribed na bilog, kung gayon

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Kaya ang taas ng pyramid OM ay matatagpuan mula sa kanang tatsulok na AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Ang dami ng pyramid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula V = 1/3 Sh
Sa kasong ito, nakita namin ang lugar ng base sa pamamagitan ng formula S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Sagot: 16√2/3cm

Kahulugan ng isang tetrahedron

Tetrahedron- ang pinakasimpleng polyhedral na katawan, ang mga mukha at base nito ay mga tatsulok.

Online na calculator

Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha, ang bawat isa ay binubuo ng tatlong panig. Ang tetrahedron ay may apat na vertices, bawat isa ay may tatlong gilid.

Ang katawan na ito ay nahahati sa ilang uri. Nasa ibaba ang kanilang klasipikasyon.

1. Isohedral tetrahedron- lahat ng mukha nito ay magkaparehong tatsulok;
2. Orthocentric tetrahedron- lahat ng taas na iginuhit mula sa bawat taluktok hanggang sa tapat na mukha ay pareho ang haba;
3. Parihabang tetrahedron- ang mga gilid na nagmumula sa isang vertex ay bumubuo ng isang anggulo na 90 degrees sa bawat isa;
4. kuwadro;
5. Proporsyonal;
6. incentric.

Mga formula ng dami ng Tetrahedron

Ang dami ng isang ibinigay na katawan ay matatagpuan sa maraming paraan. Suriin natin ang mga ito nang mas detalyado.

Sa pamamagitan ng pinaghalong produkto ng mga vectors

Kung ang tetrahedron ay binuo sa tatlong mga vector na may mga coordinate:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

kung gayon ang dami ng tetrahedron na ito ay ang pinaghalong produkto ng mga vector na ito, iyon ay, tulad ng isang determinant:

Ang dami ng isang tetrahedron sa pamamagitan ng determinant

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Gawain 1

Ang mga coordinate ng apat na vertices ng octahedron ay kilala. A (1 , 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9 ), B(8 , 7 , 3) ​​​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​​​C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Hanapin ang volume nito.

Solusyon

A (1 , 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9 )
B(8 , 7 , 3) ​​​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​​​C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Ang unang hakbang ay upang matukoy ang mga coordinate ng mga vector kung saan itinayo ang ibinigay na katawan.
Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang bawat coordinate ng vector sa pamamagitan ng pagbabawas ng kaukulang mga coordinate ng dalawang puntos. Halimbawa, mga coordinate ng vector A B → \overrightarrow(AB) A B, iyon ay, isang vector na nakadirekta mula sa isang punto A A A sa punto B B B, ito ang mga pagkakaiba ng kaukulang mga coordinate ng mga puntos B B B At A A A:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)AD= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Ngayon hanapin natin ang halo-halong produkto ng mga vector na ito, para dito bumubuo tayo ng third-order determinant, habang ipinapalagay na A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)AD= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅) − − 6) + 3 ⋅ 6 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − − 62 − − − 8 + − − − 62 a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Iyon ay, ang dami ng isang tetrahedron ay:

$V=61\cdot |$

Sagot

$44.8\text{cm3 .}$

Ang formula para sa dami ng isohedral tetrahedron sa gilid nito

Ang formula na ito ay wasto lamang para sa pagkalkula ng volume ng isang isohedral tetrahedron, iyon ay, isang tetrahedron kung saan ang lahat ng mga mukha ay magkaparehong regular na tatsulok.

Dami ng isohedral tetrahedron

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

aa ay ang haba ng gilid ng tetrahedron.

Gawain 2

Hanapin ang volume ng isang tetrahedron kung ang panig nito ay ibinigay na katumbas ng $11\text{cm.}$

Solusyon

$a=11$

Kapalit aa sa formula para sa dami ng isang tetrahedron:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Sagot

$156.8\text{cm3 .}$