Aritmetik ortalama nasıl belirlenir. Sayıların aritmetik ortalaması nedir? Aritmetik ortalama, özünü daha tam olarak ortaya koyan ve hesaplamayı basitleştiren bir dizi özelliğe sahiptir.

En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır.

basit aritmetik ortalama

Basit aritmetik ortalama, verilerdeki belirli bir özelliğin toplam hacminin bu popülasyonda yer alan tüm birimler arasında eşit olarak dağıtıldığını belirleyen ortalama terimdir. Bu nedenle, çalışan başına ortalama yıllık çıktı, çıktı hacminin tamamı kuruluşun tüm çalışanları arasında eşit olarak dağıtılırsa, her çalışana düşecek olan çıktı hacminin değeridir. Aritmetik ortalama basit değer aşağıdaki formülle hesaplanır:

basit aritmetik ortalama— Bir özelliğin tek tek değerlerinin toplamının, toplamdaki özellik sayısına oranına eşit

örnek 1. 6 işçiden oluşan bir ekip ayda 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 bin ruble alıyor.

Ortalama maaşı bulun
Çözüm: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 bin ruble.

Aritmetik ağırlıklı ortalama

Veri kümesinin hacmi büyükse ve bir dağılım serisini temsil ediyorsa, ağırlıklı aritmetik ortalama hesaplanır. Ağırlıklı ortalama üretim birimi fiyatı şu şekilde belirlenir: toplam üretim maliyeti (miktarının ürünlerinin toplamı ve bir üretim biriminin fiyatı), toplam üretim miktarına bölünür.

Bunu aşağıdaki formül şeklinde gösteriyoruz:

ağırlıklı aritmetik ortalama- orana (öznitelik değerinin ürünlerinin toplamının bu özelliğin tekrarlanma sıklığına oranı) ile (tüm özelliklerin frekanslarının toplamına) eşittir.Çalışılan popülasyonun varyantları eşit olmadığında kullanılır. defalarca.

Örnek 2. Mağaza çalışanlarının aylık ortalama ücretlerini bulun

Ortalama ücret, toplam ücretin toplam işçi sayısına bölünmesiyle elde edilebilir:

Cevap: 3.35 bin ruble.

Bir aralık serisi için aritmetik ortalama

Bir aralık varyasyon serisi için aritmetik ortalama hesaplanırken, her bir aralığın ortalaması, önce üst ve alt sınırların yarısı toplamı, ardından tüm serinin ortalaması olarak belirlenir. Açık aralıklar durumunda, alt veya üst aralığın değeri, onlara bitişik aralıkların değeri ile belirlenir.

Aralık serilerinden hesaplanan ortalamalar yaklaşık değerlerdir.

Örnek 3. Akşam bölümündeki öğrencilerin yaş ortalamasını belirleyin.

Aralık serilerinden hesaplanan ortalamalar yaklaşık değerlerdir. Yaklaşımlarının derecesi, aralık içindeki nüfus birimlerinin gerçek dağılımının tekdüze yaklaşma derecesine bağlıdır.

Ortalamaları hesaplarken, yalnızca mutlak değil, aynı zamanda göreceli değerler (frekans) ağırlık olarak kullanılabilir:

Aritmetik ortalama, özünü daha tam olarak ortaya koyan ve hesaplamayı basitleştiren bir dizi özelliğe sahiptir:

1. Ortalamanın çarpımı ve frekansların toplamı her zaman varyantın ve frekansların çarpımlarının toplamına eşittir, yani.

2. Değişen değerlerin toplamının aritmetik ortalaması, bu değerlerin aritmetik ortalamalarının toplamına eşittir:

3. Özelliğin bireysel değerlerinin ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamı sıfırdır.

6-7. sınıf matematik programında aritmetik ve geometrik ortalama konusuna yer verilmektedir. Paragrafın anlaşılması oldukça basit olduğu için çabucak geçilir ve öğretim yılının sonunda öğrenciler onu unutur. Ancak sınavı geçmek ve uluslararası SAT sınavları için temel istatistik bilgisine ihtiyaç vardır. Ve günlük yaşam için gelişmiş analitik düşünme asla zarar vermez.

Sayıların aritmetik ve geometrik ortalaması nasıl hesaplanır

Diyelim ki bir dizi sayı var: 11, 4 ve 3. Aritmetik ortalama, tüm sayıların toplamının verilen sayıların sayısına bölümüdür. Yani 11, 4, 3 sayıları için cevap 6 olacaktır. 6 nasıl elde edilir?

Çözüm: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Payda, ortalaması bulunacak sayıların sayısına eşit bir sayı içermelidir. Üç terim olduğu için toplam 3'e bölünebilir.

Şimdi geometrik ortalama ile ilgilenmemiz gerekiyor. Diyelim ki bir dizi sayı var: 4, 2 ve 8.

Geometrik ortalama, verilen sayıların sayısına eşit derecede bir kökün altındaki tüm verilen sayıların ürünüdür.Yani 4, 2 ve 8 sayıları için cevap 4'tür. :

Çözüm: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Her iki seçenekte de özel sayılar örnek alındığı için tam cevaplar alınmıştır. Bu her zaman böyle değildir. Çoğu durumda, yanıtın yuvarlanması veya kökte bırakılması gerekir. Örneğin, 11, 7 ve 20 sayıları için aritmetik ortalama ≈ 12.67 ve geometrik ortalama ∛ 1540'tır. Ve 6 ve 5 sayıları için cevaplar sırasıyla 5.5 ve √30 olacaktır.

Aritmetik ortalama geometrik ortalamaya eşit olabilir mi?

Elbette olabilir. Ama sadece iki durumda. Yalnızca bir veya sıfırdan oluşan bir sayı dizisi varsa. Cevabın sayılarına bağlı olmaması da dikkat çekicidir.

Birimlerle ispat: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetik ortalama).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrik ortalama).

Sıfırlarla ispat: (0 + 0) / 2=0 (aritmetik ortalama).

√(0 × 0) = 0 (geometrik ortalama).

Başka bir seçenek yoktur ve olamaz.

Sadece çeşitli matematik bilimlerinde değil, günlük yaşamda da bir şeyin ortalamasını hesaplamanız gereken durumlar vardır. Örneğin, piyasadaki ortalama salatalık maliyeti, bir çocuğun ortalama boyu, bir otelde kalmanın ortalama maliyeti vb.

Bütün bunlar uzun zamandır düşünüldü. bilimsel ad- "ortalama". Bu gösterge, sonuçları özetlemek için istatistiklerde aktif olarak kullanılmaktadır. Örneğin, ortalama çocuk sahibi olma yaşı, erkekler ve kadınlar arasındaki ortalama ölüm yaşı, bölgelere göre ve bir bütün olarak Rusya'daki ortalama maaş.

Örneğin, emeklilik yaşının yükseltilmesine ilişkin bir yasa çıkarırken, yetkililer ülkemizdeki ortalama ölüm yaşından yola çıktılar.

Bu göstergenin ne olduğunu bulalım.

aritmetik ortalama mevcut tüm değerlerin ortalaması. Bunu hesaplamak için, işlemde yer alan tüm sayıları toplamanız ve ardından toplam sayılarına bölmeniz gerekir.

Örneğin, 2017'de farklı yaşlardaki çocuklar tam bir orta öğretim aldı: 16, 17 ve 18 yaşında. Aritmetik ortalama, tüm yaşların toplamının üçe bölünmesiyle hesaplanacaktır. Toplamda, 11. sınıftan mezun olan bir çocuğun yaş ortalaması 17 idi.

Bu örnek, üç çocuk örneğini kullanan ilkel bir hesaplamayı göstermektedir. Aslında, mevcut tüm verileri özetlemeniz gerekir. Yani, beş çocuktan bahsediyorsak, yaşlarını toplarız, örneğin 17 + 17 + 18 + 16 + 17 ve sonucu beşe böleriz.

Benzer şekilde, herhangi bir işlem için herhangi bir aritmetik ortalama hesaplanır. Yani, örneğin, 2017'de ilk çocuğunu doğuran annelerin ortalama yaşını hesaplamanız gerekiyorsa, önce tüm yaş göstergelerini toplamanız ve ardından toplam ebeveyn sayısına bölmeniz gerekir.

yani genel olarak formül aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Aritmetik ortalama = ( mevcut tüm değerlerin toplamı)/işlemde yer alan toplam değer sayısı.

Böylece, okul çocukları için bile hesaplama oldukça basittir. Zorluklar, yalnızca operasyona katılan çok sayıda katılımcı nedeniyle ortaya çıkabilir.

ortalama olduğunu anlamak önemlidir. sadece bir sayı değil. Gerçek dünyada uzun yıllardır pratikte kullanılan özel bir fiziksel anlamı vardır.

Aritmetik ortalamayı sadece kağıt üzerinde, defterde veya bilgisayar programlarında kullanmak yanlış olur. Aksi takdirde, pek çok anlamsız ve basitçe gerçekçi olmayan değerler elde edebilirsiniz.

Aslında, birkaç orta olanlar var. Ancak, her durumda, bunlardan yalnızca biri doğrudur. İşlemlerin her birinde, yalnızca ihtiyaç duyulan ortalama türünü kullanmanız gerekir, aksi takdirde çok büyük bir hata yapılır.

Pratikte ne tür ortalamalar kullanılır? En genel ortalamalar:

1. Ortalama;
2. Geometrik ortalama;
3. Ortalama harmonik.

Bu değerler en çok kullanılan Hem günlük hayatta hem de bilimde. Çoğu zaman, elbette, ilk gösterge hesaplanır.

Genellikle bu gösterge gerçek koşullarda yanlış uygulanır ve hesaplanır. Neden oluyor? Aslında, aritmetik ortalamanın temeli, büyük sayılar yasasının uygulanmasıdır. Ek olarak, başlangıç ​​değerinin normal olarak tanımlandığı varsayım da uygulanır.

Bu, bir dizi değerde sunulanın etrafında, en yaygın sapma herhangi bir tarafa. yani Büyük ya da küçük. Örneğin, 8,8,9,8,9,8,8 numaralı bir dizide, daha fazla sekiz olduğu için sapma aşağı olacaktır. Ve dizide: 17.17, 20,20,20,20,20, aksine, sapma yukarı olacaktır, çünkü bu durumda hala daha fazla “yirmi” vardır.

Bununla birlikte, çoğu durumda, bu tür sapmalar küçüktür ve genellikle olasılıkta eşittir. Sorunun özü, gerçek hayatta olduğu gibi iş dünyasında da dağılımın normalliğinin pratikte çok nadiren bulunabilmesidir.

Örneğin, bir müşteriye hizmet verme süresi, müşterinin bu hizmeti almasının beklendiği süre, daha sonra sözleşme imzalayacakları miktar, pazar payı, gelir artışı vb. bu göstergelerdir. eşit ve normal dağılmamıştır. Bazı durumlarda, aritmetik ortalamanın yardımıyla bunların ortalamasını almak istenmez. Çünkü bu yanlış olurdu.

Pratikte, dağılımın normalliği genellikle aşağıdakilerin varlığında bulunabilir. çok sayıda değer yüzlerce ile binlerce arasında değişmektedir. Örneğin, büyük bir şirketin teknik desteğine yapılan çağrıların sayısı hem kağıt üzerinde hem de gerçekte normal olarak dağıtılabilir.

Bununla birlikte, yalnızca miktar yeterli olmayacaktır, çünkü her bir özel durumda izlemeniz ve izlemeniz gerekir. doğru dağıtım. Sonunda aritmetik ortalamanın değerini doğru bir şekilde hesaplamak ancak bu şekilde mümkün olacaktır.

Aritmetik ortalamanın nasıl bulunacağı sorusu, sadece öğrenciler arasında değil, farklı yaşlardaki insanlar arasında ortaya çıkar. Bazen acilen aritmetik ortalamayı bulmamız gerekir, ancak bunu nasıl yapacağımızı hatırlayamıyoruz. Sonra, ihtiyacımız olan bilgiyi bulmaya çalışarak, matematik ders kitaplarını çılgınca karıştırıyoruz. Ama çok basit!

Birkaç sayının aritmetik ortalamasını bulmak için bunları toplayın. Bundan sonra, ortaya çıkan miktar terim sayısına bölünmelidir.

Daha açık hale getirmek için, 78, 115, 121 ve 224 örneğini kullanarak sayıların aritmetik ortalamasını nasıl bulacağımızı birlikte bulalım. Önce şu sayıları toplamamız gerekiyor: 78+115+121+224=538. Şimdi alınan miktar, yani. 538, terim sayısına bölünmelidir: 538:4=134.5. Yani bu sayıların aritmetik ortalaması 134.5'tir.

Birkaç sayının aritmetik ortalaması: Excel ile bulun

Aritmetik ortalamayı bulmak Excel kullanarak çok kolaydır. Bu program, uzun hesaplamalardan ve buna bağlı olarak hatalardan kaçınmanıza olanak tanır. Birkaç sayının aritmetik ortalamasını bulmak için bunları bir sütuna yazın. Ardından bu sütunu seçin ve Hızlı Erişim Araç Çubuğundan toplam (?) simgesini ve ortalama sekmesini seçin. Bu sayıların aritmetik ortalaması, vurgulanan sütunun altında görünecektir.

Aritmetik ortalama - belirli bir veri dizisinin ortalama değerini gösteren istatistiksel bir gösterge. Böyle bir gösterge, payı tüm dizi değerlerinin toplamı olan bir kesir olarak hesaplanır ve payda onların sayısıdır. Aritmetik ortalama, ev hesaplamalarında kullanılan önemli bir katsayıdır.

katsayının anlamı

Aritmetik ortalama, verileri karşılaştırmak ve kabul edilebilir bir değer hesaplamak için temel bir göstergedir. Örneğin, belirli bir üreticiden bir kutu bira farklı mağazalarda satılmaktadır. Ancak bir mağazada 67 ruble, diğerinde - 70 ruble, üçüncü - 65 ruble ve son - 62 ruble. Oldukça geniş bir fiyat aralığı vardır, bu nedenle alıcı bir kutunun ortalama maliyetiyle ilgilenecektir, böylece bir ürün satın alırken maliyetlerini karşılaştırabilir. Ortalama olarak, şehirde bir kutu biranın fiyatı:

Ortalama fiyat = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ruble.

Ortalama fiyatı bilerek, mal satın almanın nerede karlı olduğunu ve nerede fazla ödeme yapmanız gerektiğini belirlemek kolaydır.

Aritmetik ortalama, homojen bir veri kümesinin analiz edildiği durumlarda istatistiksel hesaplamalarda sürekli olarak kullanılır. Yukarıdaki örnekte, bu aynı marka bir kutu biranın fiyatıdır. Ancak, farklı üreticilerin bira fiyatını veya bira ve limonata fiyatlarını karşılaştıramayız, çünkü bu durumda değerlerin yayılması daha büyük olacak, ortalama fiyat bulanık ve güvenilmez olacak ve hesaplamaların anlamı "Hastanedeki ortalama sıcaklık" karikatürüne çarpıtılacak. Heterojen veri dizilerini hesaplamak için, her değer kendi ağırlık faktörünü aldığında aritmetik ağırlıklı ortalama kullanılır.

Aritmetik ortalamanın hesaplanması

Hesaplamalar için formül son derece basittir:

P = (a1 + a2 + … bir) / n,

an miktarın değeri olduğunda, n toplam değer sayısıdır.

Bu gösterge ne için kullanılabilir? Bunun ilk ve bariz kullanımı istatistiklerdedir. Hemen hemen her istatistiksel çalışma aritmetik ortalamayı kullanır. Bu, Rusya'daki ortalama evlilik yaşı, bir öğrenci için bir dersteki ortalama not veya günlük bakkaliye için yapılan ortalama harcama olabilir. Yukarıda bahsedildiği gibi, ağırlıklar dikkate alınmadan ortalamaların hesaplanması garip veya saçma değerler verebilir.

Örneğin, Rusya Federasyonu Başkanı, istatistiklere göre, bir Rus'un ortalama maaşının 27.000 ruble olduğunu söyledi. Rusya'daki çoğu insan için bu maaş seviyesi saçma görünüyordu. Hesaplamanın bir yandan oligarkların, sanayi işletmelerinin başkanlarının, büyük bankacıların gelirlerini ve diğer yandan öğretmen, temizlikçi ve satıcıların maaşlarını hesaba katması şaşırtıcı değildir. Bir uzmanlıktaki, örneğin bir muhasebecideki ortalama maaşların bile Moskova, Kostroma ve Yekaterinburg'da ciddi farklılıkları olacaktır.

Heterojen veriler için ortalamalar nasıl hesaplanır

Bordro durumlarında, her bir değerin ağırlığını dikkate almak önemlidir. Bu, oligarkların ve bankacıların maaşlarına örneğin 0.00001 ağırlık verileceği ve satış görevlilerinin maaşlarının 0.12 olacağı anlamına gelir. Bunlar tavandan alınan rakamlar, ancak Rus toplumunda oligarkların ve satıcıların yaygınlığını kabaca gösteriyorlar.

Bu nedenle, heterojen bir veri dizisindeki ortalamaların ortalamasını veya ortalama değerini hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalamanın kullanılması gerekir. Aksi takdirde, Rusya'da 27.000 ruble düzeyinde ortalama bir maaş alacaksınız. Matematikteki ortalama puanınızı veya seçilen bir hokey oyuncusu tarafından atılan ortalama gol sayısını bilmek istiyorsanız, aritmetik ortalama hesaplayıcı size uyacaktır.

Programımız, aritmetik ortalamayı hesaplamak için basit ve kullanışlı bir hesap makinesidir. Hesaplamaları gerçekleştirmek için sadece parametre değerlerini girmeniz yeterlidir.

bir iki örneğe bakalım

Ortalama Not Hesaplama

Birçok öğretmen, bir konudaki yıllık notu belirlemek için aritmetik ortalama yöntemini kullanır. Bir çocuğun matematikte şu çeyrek notları aldığını düşünelim: 3, 3, 5, 4. Öğretmen ona yıllık hangi notu verecek? Bir hesap makinesi kullanalım ve aritmetik ortalamayı hesaplayalım. Öncelikle uygun sayıda alan seçin ve çıkan hücrelere not değerlerini girin:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Öğretmen değeri öğrencinin lehine yuvarlar ve öğrenci yıl için sağlam bir dört alır.

Yenilen tatlıların hesaplanması

Aritmetik ortalamanın saçmalığını biraz açıklayalım. Masha ve Vova'nın 10 tatlısı olduğunu hayal edin. Masha 8 şeker yemiş ve Vova sadece 2. Her çocuk ortalama kaç şeker yemiştir? Bir hesap makinesi kullanarak, çocukların ortalama olarak her birinin 5 tatlı yediğini hesaplamak kolaydır, bu tamamen yanlış ve sağduyuludur. Bu örnek, aritmetik ortalamanın anlamlı veri kümeleri için önemli olduğunu göstermektedir.

Çözüm

Aritmetik ortalamanın hesaplanması birçok bilimsel alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu gösterge yalnızca istatistiksel hesaplamalarda değil, aynı zamanda fizik, mekanik, ekonomi, tıp veya finansta da popülerdir. Aritmetik ortalama problemlerini çözmek için hesap makinelerimizi asistan olarak kullanın.