Yönlendirilmiş Grafik. Yönlendirilmiş Grafik Komşuluk Matrisi Örneğinin Tanımı

Kenar, sıralı bir köşe çiftidir. Her bir kenarının yönünün belirtildiği bir grafiğe denir. odaklı.

Belli ki turnuvalar için bir uygulama. Örneğin, ok kaybeden takımdan kazanan takıma gider, bu nedenle yönlendirilmiş grafik sadece kimin kiminle oynadığını değil, kimin kazandığını da gösterir.

Yönlendirilmiş grafiklerle bir dizi veya tercih ilişkisi tanımlamak da mümkündür.

Örneğin, algoritma grafiklerinde grafiğin köşeleri karşılık gelir operasyon yapılıyor, ve yaylar (yönlendirilmiş kenarlar) veri bağımlılıkları(yani, işlemi gerçekleştirmek için hangi girdilerin gerekli olduğu).

Örneğin, karmaşık numune değerlendirmesinde (örneğin jeolojide), kenarın yönü tercihi gösterir. Normal bir tercih sisteminin döngüleri olmamalıdır.

Tanya Nataşa

böylece her zaman bir seçim yapabilirsiniz, aksi takdirde tercihler sistemini yeniden gözden geçirmeniz gerekir.

Tek yön.

Seyahat yönüne sahip bir yol haritası, yönlendirilmiş grafiklerin özel örneklerini sağlar. Bir yol yerine (veya bir yönsüz kenar yerine) iki yönlü yollarla başa çıkmak için, aynı köşeleri birbirine bağlayan ve zıt yönlere sahip iki yönlendirilmiş kenar tanıtıyoruz.

Soru şu ki, şehrin sokakları hangi koşulda kuralları ihlal etmeden herhangi bir noktadan diğerine gidebileceğiniz şekilde yönlendirilebilir? trafik sokaklardan.

Graf teorisi dilinde, şu şekilde formüle edilir: G grafiğinin kenarları hangi koşul altında yönlendirilebilir, böylece herhangi bir köşe çifti için onları birbirine bağlayan yönlendirilmiş bir yol olur?

Bu tür her grafiğin birbirine bağlı olması gerektiği açıktır, ancak bu yeterli değildir.

Kenar E = (A, B) olarak adlandırılacaktır. bağlantı kenarı, veya kıstak A'dan B'ye giden tek yol buysa (veya tam tersi).

Bağlantı kenarı, grafiğin tüm köşelerini iki kümeye ayırır: A'dan E kenarı boyunca geçmeden ulaşılabilenler ve B'den E boyunca geçmeden ulaşılabilenler. Bu durumda grafik iki bölümden oluşur. G 1 ve G 2 sadece E kenarı ile bağlanır (Şekil a ve a+1).

Şehir haritasında, bağlantı nervürü şehrin ayrı bölgelerini birbirine bağlayan tek otoyoldur. Böyle bir karayolu üzerinde tek yönlü trafik kurulursa, şehrin bir noktasından diğerine geçiş olmayacağı açıktır.

E i = (A i , B i) kenarı bağlanmıyorsa, A i ve B i'yi birbirine bağlayan ve E i içinden geçmeyen başka bir yol vardır. Bu nedenle, böyle bir kenar döngüsel kenar olarak adlandırılacaktır.

şek.2 Bağlantı şek. 2+1 Final (bağlantılı) Şekil 2+2 Döngüsel

kaburga kaburga

Teorem 1 Eğer bir G- bağlı grafik, o zaman döngüsel kenarları yönlendirmek her zaman mümkündür G , bağlantı kenarlarını yönsüz bırakarak bu grafikteki herhangi bir köşe çifti yönlendirilmiş bir yolla bağlanabilir.

Bir şehir planı için bu ifade şu şekilde formüle edilebilir: çift yönlü trafik sadece köprülerde (bu köprü nehir üzerindeki tek köprü olmak şartıyla) ve çıkmaz sokaklarda bırakılırsa, diğer tüm caddelerde tek yönlü trafik ulaşım şehrin her yerinde iletişimi sağlayacak şekilde kurulabilir.

Grafiği doğru şekilde yönlendirmenin bir yolunu göstererek bu teoremi kanıtlayabiliriz. hadi seçim yapalım G keyfi kenar E \u003d (A, B) . Eğer bir E - bağlantı kenarı, iki taraflı kalacak ve daha sonra gitmek mümkün olacak ANCAK ile AT ve geri (Şek. 2+3).

şek.2+3 şek. 2+4

Eğer bir E döngüsel bir kenardır, o zaman bazı döngülere dahil edilir İTİBAREN, döngüsel oryantasyonu ayarlayabileceğiniz (şek.2+4).

Diyelim ki zaten bir kısmı yönlendirdik H saymak G, böylece grafiğin herhangi bir köşesinden H tek yönlü trafik kurallarına uygun olarak herhangi bir köşesine gidebilirsiniz. grafik beri G bağlıysa, o zaman ya H tüm grafikle eşleşir g, ya da bir kenar var E \u003d (A, B), hangi ait değil H , ancak köşelerinden biri, diyelim ANCAK , ait H .

Eğer bir E - bağlantı nervürü AB , o zaman iki taraflı kalacaktır. Sonra herhangi bir köşe için X saymak H yönlendirilmiş bir zincir bulabilir R Bağlanıyor A ile X , bunun anlamı (kenardan E ) , Ve birlikte AT . Üstten geri AT kenarda E gidebilirsin ANCAK , ve sonra - yönlendirme zinciri boyunca Z - itibaren ANCAK ile X (Şekil a+5). takma E ile H , biz zaten çoğu saymak G gerekli özelliklerle. eğer kenar E \u003d (A, B) döngüseldir, bir döngüye aittir İTİBAREN . için yön belirledik İTİBAREN itibaren ANCAK önceki AT ve daha ileride İTİBAREN ilk zirveye D itibaren İTİBAREN tarafından sahip olunan H (Şek. a+6).

pilav. a+5 şek. a+6

Tüm bu kenarları ekleyelim H . İzin vermek X - keyfi köşe H , a saat - herhangi bir köşe İTİBAREN ; yönlendirilmiş bir zincir bulabilir R , sahip olunan H ve bağlantı X İle birlikte ANCAK ve sonra birlikte İTİBAREN en üste git saat itibaren İTİBAREN . Den döndü saat birlikte yürüyebilirsin İTİBAREN Başa D , ve ondan - ait H yönlendirilmiş zincir Z - itibaren D ile X . Bu nedenle, eklenmesiyle elde edilen yönlendirilmiş grafik H belirtilen döngü kenarları İTİBAREN , ayrıca gerekli koşulları da karşılar. Bu işleme devam ederek, sonunda orijinal grafiği gerekli şekilde yönlendiririz. G .

Köşe dereceleri.

Yönlendirilmiş grafikler için, her köşede, giden kenarların p(A) sayısı ve gelen kenarların sayısı p*(A) bulunur. Toplam sayısı kaburgalar eşittir:

N \u003d p (A 1) + p (A 2) + ... + p (A n) \u003d p * (A 1) + p * (A 2) + ... + p * (A n)

Mevcut farklı şekiller Köşelerin derecelerinin bazı özel özelliklere sahip olduğu grafikler. sayım denir homojen, eğer tüm köşelerinin dereceleri her A köşesi için aynı r: sayısına eşitse:

p(A) = p * (A) = r

Bir egzersiz

n = 2,6,7,8 köşeli, r = 2 dereceli homojen yönlendirilmiş grafikler oluşturun.

İLİŞKİLER.

İlişkiler ve Grafikler.

Herhangi bir matematiksel sistem, bazı nesneler veya öğeler kümesiyle ilgilenir. (İşaretler: cebir, geometri)

inşa etmek için matematiksel teori, sadece bu unsurların kendilerine değil, aynı zamanda ilişkiler onların arasında. (Örnekler: a > b sayıları için; geometride - üçgenlerin, // doğruların eşitliği; küme teorisinde - eşitlik ve kümelerin dahil edilmesi.)

Bütün bu ilişkiler iki nesneyi ilgilendiriyor, bu yüzden onlara ikili ilişkiler, ya da sadece ilişkiler, başka ilişki türleri de vardır, örneğin üçlü ilişkilerÜç nesneyle ilgili. (Örneğin, A noktası B ve C noktaları arasında yer alır).

R ikili ilişkisinin genel bir tanımını verelim: аRв - в, R'den a'ya göredir.

Örneğin, a > b ilişkisi, b'nin a'dan küçük tüm sayılar kümesine ait olduğu anlamına gelir.

Aslında, her yönlendirilmiş grafik G, köşeleri kümesinde bir ilişki tanımlar. Bu oran şöyle yazılabilir: аGв. Bu, grafiğin a'dan b'ye giden yönlendirilmiş bir kenarı olduğu anlamına gelir.

Özel durumlar.

Bir R ilişkisi verilsin.Eğer bir a elemanı kendisiyle R ilişkisi içindeyse, o zaman grafikteki bir döngüye karşılık gelir.

аRв koşulunun sağlandığı R bağıntısı herhangi bir için, denir yansıtıcı.

Herhangi bir eleman için aRv koşulu sağlanmazsa, R denir. refleksif olmayan tutum.Bu durumda, grafiğin hiçbir köşesi bir döngüye sahip değildir.

Her ilişki R için tanımlayabilirsiniz ters oran R*аR * в olduğunu varsayarsak, ancak ve ancak аRв ise.

Ters ilişkinin tanımından, R'ye karşılık gelen G grafiğinin bir (a, b) kenarı varsa, o zaman R *'ye karşılık gelen G * grafiğinin bir (c, a) kenarı olması gerektiği görülebilir. Başka bir deyişle, G * grafiği G'nin tersidir, yani. G ile aynı kenarlara sahip ancak zıt yönlü bir grafik.

ilişki denir simetrik, eğer аRв'den вРа'yı takip ederse.

Simetrik bir ilişki, yönlendirilmemiş kenarları olan bir grafiğe karşılık gelir; tersine, yönsüz kenarlara sahip bir grafik simetrik bir ilişkiyi tanımlar.

ilişki denir antisimetrikаRв'den çıkarsa, kesinlikle Rа'da tutmaz. Antisimetrik ilişki grafikleri, aynı köşe çiftini birbirine bağlayan yönsüz veya zıt yönlü kenarlara sahip değildir; dahası, üzerlerinde döngü yoktur, yani. bu ilişkiler yansıma karşıtıdır.

Oran geçişli, aRb ve bRc iki koşulundan aRc çıkıyorsa.

Geçişli bir ilişkinin grafiği aşağıdaki karakteristik özelliğe sahiptir: (a, b), (b, c) kenar çiftlerinin her biri için kapanış kenar. Bu özelliği tekrar tekrar uygulayarak, bu grafiğin X köşesinden Y köşesine yönlendirilmiş bir yolu varsa, o zaman yönlendirilmiş bir kenar (x, y) olduğu sonucuna varırız.

Geçişli olmayan yönlendirilmiş kenarları olan bir G grafiği olduğunu varsayalım. Her durumda, bir yönlendirilmiş grafik G, ardışık kenarlarının her çifti için bir kapatma eklenene kadar ona yönlendirilmiş kenarlar eklenerek geçişli hale getirilebilir. Bu şekilde elde edilen yeni grafiğe G m denir. Geçişli kapatma Kont G.

Denklik ilişkileri.

Genellikle ~ ile gösterilen bir denklik bağıntısı aşağıdaki üç özelliğe sahiptir:

bir). Yansıma: a ~ a;

2). Simetri: a ~'dan z'ye ~ a'ya;

3). Geçişlilik: a ~ ila ve ~ c Þ a ~ c.

Aslında denklik bağıntısı eşitlik özelliğinin bir genellemesidir.

Eşdeğerlik bağıntısı, köşeler kümesine bir bölüm getirir. ayrık denklik sınıfları.

B i, G denklik grafiğinin i köşesine eşdeğer olan köşeleri kümesi olsun. O zaman B i'ye ait tüm köşeler kenarlarla bağlanır, yani. i - tam grafiğinde G i . Böyle bir grafiğin her bir köşesinde bir döngü vardır G grafiği bir dizi bağlı bileşen G i'ye bölünür.

Kısmi sipariş.

Davranış kısmi sipariş(kümeler örneğinde):

bir). Yansıma: A Ê A

2). Geçişlilik: eğer A Ê B ve B Ê C Þ A Ê C ise

3). Kimlik: A Ê B ve B Ê Az A = B ise

Katı İçerme İlişkileri -

bir). Yansıma önleyici: Bir EA asla gerçekleşmez;

2). Geçişlilik: A É B ve B É C ise, o zaman A É C

sıralama ilişkisi(katı anlamda), önceki koşullara ek olarak aşağıdakilerin de geçerli olduğu katı bir sıralama, a > b olarak adlandırılır:

tamlık durumu. ve a'daki herhangi iki çakışık olmayan öğe için, a>b veya b>a bağıntılarından biri her zaman sağlanır.

Genellikle, kısmen sıralı bir grafik, sıralı bir biçimde gösterilir. (a, b) ve (b, c) kenarlarından herhangi biri için (a, c) bir kapanış kenarı olduğundan, ihmal edilebilir.

DÜZ GRAFİKLER.

Düzlemsel grafikler için koşullar.

Kont Kuratovsky K 3.3

Üç ev ve üç kuyu ile ilgili grafik problemi

Kont Kuratovsky K 5

Bu iki grafik DÜZ DEĞİL!

Grafik uzantısı- bazı kenarlara yeni köşeler yerleştirildi, bu yüzden bu kenarlar

birkaç kenardan oluşan temel zincirler haline geldi.

Ters işlem Ayırma köşelerinin temel zincirlerden çıkarıldığı , denir sıkıştırma grafik.

Kuratovsky teoremi

Bir grafiğin düz olması için kendi içinde K 3.3 grafiğine veya K 5 grafiğine sıkıştırılabilecek herhangi bir grafiği içermemesi gerekli ve yeterlidir.

Euler formülü

Düzlemde oluşan düzlemsel grafikleri ele alacağız. çokgen ağlar. bu, G düzlem grafiğinin kenarlarının, düzlemi çokgen bölgelere bölerek birbirine bitişik bir çokgen kümesi oluşturduğu anlamına gelir.

Bağlı oldukları çokgen grafiklerin tanımından çıkar. Ayrıca hiçbir çokgenin diğerinin içinde olmamasını şart koşuyoruz. Bu tür her bir çokgenin sınır kenarları, bazen olarak adlandırılan bir döngü oluşturur. minimum döngü. Düzlemin çokgenin içinde kalan kısmına denir. grafik yüzü. Grafikte de var maksimum döngü C 1, bütünü çevreleyen tüm yüzleri ile grafik. Düzlemin C 1 dışında kalan kısmını, ayrıca C 1 - sınırı olan bir grafiğin yüzü olarak ele alacağız. sonsuz yüz F ¥ .

ile belirtmek

köşe, kenar ve yüz sayısı uzay çokgeni..

Euler teoremi

c - p + r = 2

Kanıt: Formül, n kenarlı bir çokgen için açıktır. Gerçekten de, n köşe ve n kenar, ayrıca iki yüz F 1 F ¥

F yüzü boyunca çizerek r yüzleri olan bir grafiğe yeni bir yüz ekleriz ¥ maksimal G grafiğinin iki köşesini birleştiren bazı temel zincirler. Bu yayın r kenarları varsa, o zaman r - 1 yeni köşe ve bir yeni eklemeliyiz yüz. Ama sonra

c' - p' + r' = (c + r - 1) - (p + r) + (r + 1) = c - p + r (= 2!)

indüksiyon hipotezi ile.

Matris temsilleri.

1. Olay matrisi A.

a). Yönsüz bir grafik için olay matrisi satırları köşelere ve sütunları kenarlara karşılık gelen bir matristir. Köşe bir kenara denk geliyorsa matris elemanı 1'e eşittir. Aksi takdirde matris elemanı 0 değerini alır.

b). Yönlendirilmiş bir grafik için, yaya gelen tepe, yayın ilk tepe noktası olduğunda (yani, yay bu tepe noktasından kaynaklanır) geliş matrisinin öğesi +1'dir. Yay bir tepe noktasına girdiğinde eleman -1'dir. Köşe yaya denk gelmiyorsa, matris elemanı 0'dır.

2. Döngü matrisi C.

a). Yönsüz bir grafik için, döngü matrisinin satırları, grafiğin basit döngülerine karşılık gelir ve sütunlar, kenarlarına karşılık gelir. Matris elemanı a ij =1 eğer С i döngüsü e j kenarını içeriyorsa. Aksi takdirde bir ij =0.

b). Yönlendirilmiş bir grafik için a ij =1, -1 veya 0, C i döngüsünün ve e j yayının oryantasyonunun aynı mı yoksa zıt mı olduğuna veya bu döngü e j yayını hiç içermediğine bağlı olarak.

3. Köşe komşuluk matrisi (veya basitçe bitişiklik matrisi) V, satırları ve sütunları köşelere karşılık gelen bir matristir ve yönsüz bir grafik durumunda a ij matris elemanı, i ve j köşelerini birleştiren kenarların sayısına eşittir. . Yönlendirilmiş bir grafik için, a ij öğesi, i köşesinden j köşesine yönlendirilen kenarların sayısına eşittir.

ile ilgili temel teoremler matris temsilleri grafikler.

1). n köşeli bağlı bir grafiğin (yönlü ve yönsüz) insidans matrisi A'nın sırası (doğrusal olarak bağımsız sütunların maksimum sayısı) (n-1)'e eşittir.

2). m kenarlı ve n köşeli bağlantılı bir grafiğin döngü matrisi C'nin rankı (m-n+1)'dir.

Bir bitişiklik matrisi kullanma örneği.

Aşağıdaki eşleme, G 1 ve G 2 grafiklerinin izomorfik olduğunu göstermektedir.

Bitişik matrislerde, bir benzerlik dönüşümü ve bir permütasyon matrisi kullanılarak gerçekleştirilebilen satırlar ve sütunlar aynı anda izin verilir.

A 2 \u003d PA 1 P", burada

P = , veya p ij =d p(i),j (Kronecker sembolü)

ve R", aktarılan matristir.

P matrisini bulmak zor olabilir.

G 1 ve G 2'nin izomorfizmi, A 1 ve A 2'nin aynı özdeğerlere sahip olduğu anlamına gelir. Ancak bu koşul yeterli değildir (aşağıdaki örnek).

İzin vermek V, D keyfi kümelerdir ve V??. ile belirtmek V2 Kartezyen kare seti V.

Yönlendirilmiş grafik veya kısaca digraf Güçlü denir V, D, c) : nerede c- D kümesinin kümeye bazı eşlenmesi V2. Öğeleri ayarla V ve D sırasıyla digrafın köşeleri ve yayları olarak adlandırılır. G. Bir digrafın köşe ve yay kümeleri G tarafından rahatlıkla belirtilir VG ve Genel Müdürlük sırasıyla. Eğer bir f- ark, o zaman c(f) sıralı bir çifttir ( ve, v), nerede ve : v J V. yay füstten geliyor ve ve en üste gider v; sırası geldiğinde ve ve v yayın bitiş köşeleri denir f; gelecekte yazacağız f= (ve hatta bazen - f = UV karışıklık tehlikesi yoksa).

Rastgele bir digraf yazarken, genellikle şu şekilde temsil edilecektir: G = (V, D).

Digraflar genellikle grafik diyagramlarına benzer diyagramlar kullanılarak gösterilir. Tek fark, yayı gösteren çizginin bir yönü olmasıdır.

Her digrafla G = (V, D) grafiği doğal olarak bağlayın G Ö = (V, E), verilen digrafın tabanı olarak adlandırılır. Temeli elde etmek için digrafta gereklidir G her arkı değiştir f= kenar e = uv

Şek. 8 digrafı ve tabanını gösterir

Şekil 8

digraf G tabanı bağlıysa bağlı olarak adlandırılır. Yönlendirilmiş bir rota veya kısaca, bir digrafta bir rota G alternatif bir köşe ve yay dizisi olarak adlandırılır

nerede

Bu rota denir (v hakkında , v t) - standart rota; zirveler v Ö ve v t sırasıyla böyle bir yolun ilk ve son köşeleri olarak adlandırılır. Eğer bir v Ö = v t, sonra or-rotası kapalı olarak adlandırılır. Deseni oluşturan yayların sayısı, desenin uzunluğudur.

Yayları tekrarlamayan bir yola orzincir denir. Basit bir zincir, tekrar eden köşeleri olmayan bir zincirdir (belki aynı başlangıç ​​ve bitiş köşeleri hariç). Kapalı bir basit orchain, orcycle veya kontur olarak adlandırılır.

varlığını kontrol etmek kolaydır. (ve, v;) - orroute, basit bir ( ve, v) - orcepi.

üst diyorlar vüstten ulaşılabilir ve, varsa ( ve, v) güzergah. digraf G Köşelerinden herhangi birine başka bir tepe noktasından ulaşılabiliyorsa, güçlü bir şekilde bağlantılıdır veya op-bağlıdır. Açıktır ki, güçlü bir şekilde bağlantılı bir digraf bağlıdır; bunun tersi elbette doğru değil.

grafik G Bazı güçlü bağlantılı digrafın tabanı ise yönlendirilebilir olarak adlandırılır.

Teorem 1.3. bağlı grafik G ancak ve ancak kenarlarının her biri bir köprü değilse yönlendirilebilir.

Kanıt. sayalım G digrafın temelidir H ve G bir köprü içerir e. Daha sonra H bir yay var f=, nerede ve, v- kaburga uçları e. Açıkçası H Numara ( sen, v) - rotalar. Bu nedenle, grafik G yönlendirilebilir değildir.

Geri, sayımı bırak G köprüsü yok, yani grafiğin her kenarı G bir döngü içinde yer alır. Herhangi bir döngü yönlendirilebilir bir grafik olduğundan, grafikte G maksimum yönlendirilebilir bir alt grafik var H. emin olalım H = G. Bu eşitliğin sağlanmadığını varsayalım. Grafiğin bağlantılı olması nedeniyle G tepe noktasında bir kenar e olayı var v itibaren H ve yalan söylememek H. Varsayım olarak, kenar e bir döngüde bulunur İTİBAREN. ile belirtmek Q alt grafiğe ait olmayan döngü kenarları kümesi H. Bunu eklemek kolaydır, H setteki tüm kenarlar Q, seçime aykırı olarak yine yönlendirilebilir bir alt grafik elde ederiz. H.

İzin vermek G keyfi bir digraftır. sonuç derecesi degv zirveler v sahip olan tüm yayların sayısıdır v başlangıç ​​olarak. Benzer şekilde, giriş derecesi degv tepe noktası olan tüm yayların sayısıdır. v sondur. içeren digraf P zirveler ve t arklar çağrılacak ( n, t) bir digraftır.

Dış dereceler ve dereceler aşağıdaki açık şekilde ilişkilidir.

Önlem 1. İzin vermek G- keyfi ( n, t) bir digraftır. O zamanlar

Bu iddia, Sec'deki Lemma 1'e benzer. 1.1; genellikle el sıkışma orlemması olarak adlandırılır.

Yönlendirilmiş grafik(kısaca digraf), kenarlarına bir yön atanmış bir (çoklu) grafiktir. Yönlendirilmiş kenarlar da denir yaylar, ve bazı kaynaklarda ve sadece kenarlarda. Herhangi bir kenara yön atanmamış bir grafiğe yönsüz graf denir veya digraf olmayan.

Temel konseptler

Resmi olarak, digraf D = (V , E) (\displaystyle D=(V,E)) birçoğundan oluşur V (\görüntüleme stili V) elemanlarına denir zirveler, ve kümeler E (\görüntüleme stili E) sıralı köşe çiftleri u , v ∈ V (\displaystyle u,v\in V).

yay (u , v) (\displaystyle (u,v)) tesadüfi zirveler u (\ Displaystyle u) ve v (\görüntüleme stili v). Aynı zamanda diyorlar ki u (\ Displaystyle u) - ilk tepe noktası yaylar ve v (\görüntüleme stili v) - terminal tepe noktası.

bağlantı

Güzergah bir digrafta alternatif bir köşe dizisi denir ve yaylar, tür v 0 ( v 0 , v 1 ) v 1 ( v 1 , v 2 ) v 2 . . . v n (\displaystyle v_(0)\(v_(0),v_(1)\)v_(1)\(v_(1),v_(2)\)v_(2)...v_(n))(köşeler tekrar edilebilir). Rota uzunluğu- içindeki yay sayısı.

Yol var güzergah yayları tekrarlamadan bir digrafta, kolay yol- tekrar eden köşeler yok. Bir tepe noktasından diğerine bir yol varsa, o zaman ikinci tepe noktası başarılabilir birinciden.

Devre kapalı var yol.

İçin yarım yol yayların yönü üzerindeki kısıtlama kaldırılır, yarı yolda ve yarı kontur.

digraf güçlü bir şekilde bağlı, ya da sadece kuvvetli, tüm köşeleri karşılıklı ise başarılabilir; tek yönlü bağlı, ya da sadece tek taraflı herhangi iki köşe için en az birine diğerinden ulaşılabiliyorsa; gevşek bağlı, ya da sadece güçsüz, yayların yönü göz ardı edilirse, bağlı (çoklu) bir grafik elde edilir;

Maksimum kuvvetli alt yazı denir güçlü bileşen; tek taraflı bileşen ve zayıf bileşen benzer şekilde tanımlanır.

yoğunlaşma digraf D (\görüntüleme stili D) köşeleri güçlü bileşenler olan bir digraf olarak adlandırılır D (\görüntüleme stili D), ve içindeki ark D ⋆ (\displaystyle D^(\star )) karşılık gelen bileşenlere dahil olan köşeler arasında en az bir yayın varlığını gösterir.

Ek tanımlar

Yönlendirilmiş döngüsüz grafiği veya hamak kontursuz bir digraftır.

Kenarların yönü tersine çevrilerek verilen bir grafikten elde edilen yönlendirilmiş grafa denir. tersi.

Üç düğümlü tüm digrafların görüntüsü ve özellikleri

Efsane: İTİBAREN- güçsüz, işletim sistemi- tek taraflı, SS- kuvvetli, H- yönlendirilmiş bir grafiktir, G- bir hamaktır (asiklik), T- bir turnuvadır

0 yay	1 yay	2 yay	3 yay	4 yay	5 yay	6 yay
boş, N, G	N, G		işletim sistemi	CC	CC	tam, CC
		İşletim Sistemi, N, G	CC, H, T	CC
		C, N, G	İşletim Sistemi, N, G, T	işletim sistemi
		C, N, G	işletim sistemi

Algoritmaları doğrudan incelemeye başlamadan önce, bir bilgisayarda nasıl temsil edildiğini anlamak için grafiklerin kendileri hakkında temel bilgilere sahip olmanız gerekir. Burada, grafik teorisinin tüm yönleri ayrıntılı olarak açıklanmayacaktır (bu gerekli değildir), ancak yalnızca cehaleti bu programlama alanının özümsenmesini önemli ölçüde zorlaştıracak olanlar.

Birkaç örnek, grafik hakkında biraz yüzeysel bir fikir verecektir. Yani tipik bir grafik, bir metro haritası veya başka bir rotadır. Özellikle, bir programcı aynı zamanda bir grafik olan bir bilgisayar ağına aşinadır. Buradaki ortak şey, çizgilerle birbirine bağlanan noktaların varlığıdır. Yani bir bilgisayar ağında noktalar ayrı sunuculardır ve çizgiler farklı tipte elektrik sinyalleridir. Metroda ilki istasyonlar, ikincisi ise aralarına döşenen tünellerdir. Graf teorisinde noktalara noktalar denir. zirveler (düğümler) ve çizgiler pirzola (yaylar). Böylece, grafik kenarlarla birbirine bağlanan köşeler topluluğudur.

Matematik, şeylerin içeriğiyle değil, bir bütün olarak verilen her şeyden soyutlayarak yapılarıyla çalışır. Sadece bu tekniği kullanarak, bazı nesneler hakkında grafiklerle ilgili olduğu sonucuna varabiliriz. Ve çizge teorisi matematiğin bir parçası olduğu için, prensipte bir nesnenin ne olduğu onun için hiç önemli değildir; önemli olan bir grafik olup olmadığı yani grafikler için gerekli özelliklere sahip olup olmadığıdır. Bu nedenle, örnekler vermeden önce, söz konusu nesnede yalnızca bizim görüşümüze göre bir analoji göstermemize izin verecek olanı seçeriz, ortak bir şey ararız.

Bilgisayar ağına geri dönelim. Belli bir topolojisi vardır ve geleneksel olarak bir dizi bilgisayar ve onları birbirine bağlayan yollar olarak tasvir edilebilir. Aşağıdaki şekil, örnek olarak tamamen ağlı bir topolojiyi göstermektedir.

Temelde bir grafik. Beş bilgisayar köşelerdir ve aralarındaki bağlantılar (sinyal yolları) kenarlardır. Bilgisayarları köşelerle değiştirerek matematiksel bir nesne elde ederiz - 10 kenarı ve 5 köşesi olan bir grafik. Köşeleri keyfi olarak numaralandırabilirsiniz ve mutlaka şekilde yapıldığı gibi değil. Bu örnekte hiçbir ilmek kullanılmadığını, yani tepe noktasından ayrılan ve hemen ona giren böyle bir kenarın kullanılmadığını, ancak problemlerde ilmeklerin oluşabileceğini belirtmekte fayda var.

Grafik teorisinde kullanılan bazı önemli gösterimler şunlardır:

• G=(V, E), burada G bir grafiktir, V köşeleridir ve E kenarlardır;
• |V| – sıra (köşe sayısı);
• |E| – grafik boyutu (kenar sayısı).

Bizim durumumuzda (Şekil 1) |V|=5, |E|=10;

Herhangi bir köşeden başka bir köşeye erişilebiliyorsa, böyle bir grafiğe denir. yönsüz bağlı grafik (Şekil 1). Grafik bağlıysa, ancak bu koşul sağlanmıyorsa, böyle bir grafik denir. odaklı veya bir digraf (Şekil 2).

Yönlü ve yönsüz grafikler, bir tepe noktasının derecesi kavramına sahiptir. Köşe Derecesi onu diğer köşelere bağlayan kenarların sayısıdır. Bir grafiğin tüm derecelerinin toplamı, tüm kenarlarının sayısının iki katına eşittir. Şekil 2 için, tüm güçlerin toplamı 20'dir.

Bir digrafta, yönsüz bir grafiğin aksine, yalnızca bir kenar h'den ayrılıp s'ye girdiğinde, ancak tersi mümkün olmadığında, ara köşeler olmadan h noktasından s noktasına hareket etmek mümkündür.

Yönlendirilmiş grafikler aşağıdaki gösterime sahiptir:

G=(V, A), burada V köşeler, A yönlendirilmiş kenarlardır.

Üçüncü grafik türü - karışık grafikler (Şekil 3). Hem yönlendirilmiş kenarları hem de yönsüz kenarları vardır. Resmi olarak, karışık bir grafik şu şekilde yazılır: G=(V, E, A), burada parantez içindeki harflerin her biri daha önce kendisine atfedilenleri de gösterir.

Şekil 3'teki grafikte, bazı yaylar [(e, a), (e, c), (a, b), (c, a), (d, b)] yönlü, diğerleri yönsüz [( e, d), (e, b), (d, c)…].

İlk bakışta iki veya daha fazla grafik, farklı temsilleri nedeniyle ortaya çıkan yapılarında farklı görünebilir. Ama durum her zaman böyle değildir. İki grafik alalım (Şekil 4).

Birbirlerine eşdeğerdirler, çünkü bir grafiğin yapısını değiştirmeden başka bir grafik oluşturabilirsiniz. Bu tür grafikler denir izomorfik, yani, bir grafikte belirli sayıda kenarı olan herhangi bir köşenin diğerinde aynı köşeye sahip olması özelliğine sahip olmak. Şekil 4, iki izomorfik grafiği göstermektedir.

Bir grafiğin her bir kenarına, kenarın ağırlığı adı verilen bir değer atandığında, böyle bir grafik askıya alınmış. Farklı görevlerde, farklı ölçüm türleri ağırlık görevi görebilir, örneğin uzunluklar, rota fiyatları vb. Bir grafiğin grafiksel gösteriminde ağırlık değerleri genellikle kenarların yanında gösterilir.

İncelediğimiz grafiklerin herhangi birinde bir yol ve ayrıca birden fazla yol seçmek mümkündür. Yol her biri bir sonrakine bir kenar vasıtasıyla bağlı olan bir köşe dizisidir. İlk ve son köşeler çakışırsa, böyle bir yola döngü denir. Bir yolun uzunluğu, onu oluşturan kenarların sayısına göre belirlenir. Örneğin, Şekil 4.a'da yol [(e), (a), (b), (c)] dizisidir. Bu yol bir alt graftır, çünkü ikincisinin tanımı onun için geçerlidir, yani: G'=(V', E') grafiği G=(V, E) grafiğinin bir alt grafiğidir, ancak V' ve E' ise V, E'ye aittir.

Önceki bölümlerde, yönsüz grafikler teorisinin bazı temel sonuçlarını sunduk. Ancak yönsüz grafikler bazı durumları açıklamak için yeterli değildir. Örneğin, kenarları caddelere karşılık gelen bir grafikle bir trafik haritasını temsil ederken, izin verilen hareket yönünü belirtmek için kenarlara bir yönlendirme atanmalıdır. Başka bir örnek, kenarları bir talimat setinden diğerine kontrol akışını temsil eden bir grafik tarafından modellenen bir bilgisayar programıdır. Programın bu temsilinde, kontrol akışının yönünü belirtmek için kenarlara da bir yön verilmelidir. Temsil etmek için yönlendirilmiş bir grafik gerektiren fiziksel bir sistemin başka bir örneği, bir elektrik devresidir. Yönlendirilmiş grafların uygulamaları ve ilgili algoritmalar Bölüm'de tartışılmaktadır. 11-15.

Bu bölüm, yönlendirilmiş grafikler teorisinin ana sonuçlarını sunar. Yönlendirilmiş Euler zincirlerinin ve Hamilton çevrimlerinin varlığı ile ilgili sorular tartışılmıştır. Yönlendirilmiş ağaçlar ve bunların yönlendirilmiş Euler zincirleriyle bağlantıları da göz önünde bulundurulmuştur.

5.1. Temel tanımlar ve kavramlar

Yönlendirilmiş grafiklerle ilgili bazı temel tanımları ve kavramları tanıtarak başlayalım.

Yönlendirilmiş bir çizge iki kümeden oluşur: elemanları köşeler olarak adlandırılan sonlu bir V kümesi ve elemanları kenarlar veya yaylar olarak adlandırılan sonlu bir E kümesi. Her yay, sıralı bir çift köşe ile ilişkilendirilir.

Köşeleri belirtmek için semboller ve yayları belirtmek için semboller kullanılır. Eğer , o zaman bitiş köşeleri ve - ilk köşe, - bitiş köşesi olarak adlandırılır. Başlangıç ​​ve bitiş noktaları aynı olan tüm yaylara paralel denir. Olay tepe noktası hem başlangıç ​​hem de bitiş tepe noktasıysa bir yay döngü olarak adlandırılır.

Yönlendirilmiş bir grafiğin grafik gösteriminde, köşeler noktalar veya daireler ile temsil edilir ve kenarlar (yaylar) bölümler ile temsil edilir.

uç noktalarını temsil eden noktaları veya daireleri birleştiren çizgiler. Ek olarak, yaylara, başlangıç ​​noktasından bitiş noktasına kadar olan bir okla gösterilen bir yönlendirme atanır.

Örneğin, eğer Onlarınki ise), yönlendirilmiş bir grafik, şek. 5.1. Bu grafikte - paralel yaylar ve - döngü.

Pirinç. 5.1. Yönlendirilmiş Grafik.

Bir yayın, bitiş köşelerine olay olduğu söylenir. Köşeler, bir yay için terminallerse bitişik olarak adlandırılır. Yayların ortak bir terminal tepe noktası varsa, bunlara bitişik denir.

Bir yaya ilk tepe noktasından çıkan ve son tepe noktasına giren denir. Herhangi bir olay yayı yoksa, bir köşenin yalıtılmış olduğu söylenir.

Bir tepe noktasının derecesi, kendisine gelen yayların sayısıdır. Bir tepe noktasının derecesi, V'ye giren yayların sayısıdır] ve çıkış derecesi, giden yayların sayısıdır. Semboller ve b", yönlendirilmiş grafiğin minimum dış-derecesini ve in-derecesini gösterir. Benzer şekilde, semboller, sırasıyla maksimum dış-derece ve in-dereceyi gösterir.

Herhangi bir köşenin kümeleri şu şekilde tanımlanır: . Örneğin, Şekil 1'deki grafikte. 5.1.

Döngünün, bu tepe noktasının hem giriş hem de çıkışının yarı derecelerini artırdığına dikkat edin. Aşağıdaki iddia, her bir yayın, yönlendirilmiş bir grafiğin hem girdisinin hem de çıktısının yarı derecelerinin toplamını 1 artırdığı gerçeğinin bir sonucudur.

Teorem 5.1. Yaylarla yönlendirilmiş bir grafikte

Derecelerin toplamı = Dış derecelerin toplamı = m.

Yönlendirilmiş bir grafiğin alt grafikleri ve oluşturulan alt grafikleri, yönlendirilmemiş grafikler durumunda olduğu gibi tanımlanır (Bölüm 1.2).

Yönlendirilmiş bir G grafiğinin yaylarından yönlenmenin çıkarılmasından kaynaklanan bir yönsüz graf, temeldeki yönsüz grafik G olarak adlandırılır ve ile gösterilir.

Yönlendirilmiş bir grafiğin yönlendirilmiş yolu, sonlu bir köşe dizisidir.

G grafiğinin yayı nedir. Böyle bir rotaya genellikle yönlendirilmiş rota denir ve ilk tepe noktası rotanın son tepe noktasıdır ve diğer tüm tepe noktaları dahilidir. Yönlendirilmiş bir yolun başlangıç ​​ve bitiş noktalarına bitiş noktaları denir. Yayların ve dolayısıyla köşelerin yönlendirilmiş bir yolda birden fazla görünebileceğini unutmayın.

Yönlendirilmiş bir rota, uç noktaları farklıysa açık, aksi takdirde kapalı olarak adlandırılır.

Yönlendirilmiş bir yola, tüm yayları farklıysa, yönlendirilmiş bir yol denir. Yönlendirilmiş bir yol, uç noktaları farklıysa açıktır, aksi takdirde kapalıdır.

Tüm köşeleri farklıysa, açık yönlendirilmiş bir yola, yönlendirilmiş bir yol denir.

Kapalı bir yönlendirilmiş zincir, uç noktaları hariç, köşeleri farklıysa, yönlendirilmiş bir döngü veya kontur olarak adlandırılır.

Yönlendirilmiş bir grafın konturu yoksa asiklik veya kontursuz olduğu söylenir. Örneğin, Şekil 1'deki yönlendirilmiş grafik asikliktir. 5.2.

Pirinç. 5.2. Asiklik yönlendirilmiş grafik.

Pirinç. 5.3. Güçlü bağlantılı yönlendirilmiş bir grafik.

Yönlendirilmiş bir G grafiğindeki bir köşe dizisi, alttaki yönsüz grafikte bir yolsa, G'de bir yol olarak adlandırılır. 5.2 bir rotadır, ancak yönelimli değildir.

Yönlendirilmiş bir grafiğin zinciri, yolu ve döngüsü benzer şekilde tanımlanır.

Altta yatan yönsüz grafik bağlıysa, yönlendirilmiş bir grafiğin bağlı olduğu söylenir.

Yönlendirilmiş bir G grafiğinin alt grafiği, grafiğin bir bileşeniyse, G grafiğinin bir bileşeni olarak adlandırılır.

Yönlendirilmiş bir G grafiğinin köşelerinin, G'den ve G'ye giden yönlendirilmiş yollar varsa, güçlü bir şekilde bağlı olduğu söylenir. Eğer güçlü bir şekilde bağlıysa, o zaman, açıkçası, güçlü bir şekilde bağlantılıdır. Her köşe kendisine güçlü bir şekilde bağlıdır.

Eğer bir tepe bir tepe noktasına güçlü bir şekilde bağlıysa, o zaman, görülmesi kolay olduğu gibi, tepe tepe noktasına güçlü bir şekilde bağlıdır.Dolayısıyla, bu durumda, sadece tepelerin güçlü bir şekilde bağlı olduğu söylenir.

Tüm köşeleri güçlü bir şekilde bağlıysa, yönlendirilmiş bir grafiğin güçlü bir şekilde bağlı olduğu söylenir. Örneğin, Şekil 1'deki grafik. 5.3.

Yönlendirilmiş bir grafik G'nin maksimum güçlü bağlı alt grafiğine, G'nin güçlü bir şekilde bağlı bileşeni denir. Yönlendirilmiş bir grafik güçlü bir şekilde bağlıysa, o zaman tek bir güçlü bağlantılı bileşeni vardır, yani kendisi.

Yönlendirilmiş bir grafik düşünün. Köşelerinin her birinin, G grafiğinin tam olarak bir güçlü bağlantılı bileşenine ait olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle, güçlü bağlantılı bileşenlerin köşe kümeleri, grafiğin köşe kümesi Y'nin bir bölümünü oluşturur.

Pirinç. 5.4. Grafik ve yoğunlaşması.

Örneğin, Şekil 2'deki yönlendirilmiş grafik. 5.4, ​​a'nın köşe kümeleri ile güçlü bir şekilde bağlı üç bileşeni vardır ve yönlendirilmiş bir grafiğin köşe kümesinin bir bölümünü oluşturur.

İlginç bir şekilde, yönlendirilmiş bir grafik, grafiğin herhangi bir güçlü bağlantılı bileşenine dahil olmayan yaylar içerebilir. Örneğin, Şekil 1'deki grafikte güçlü bir şekilde bağlı hiçbir bileşen yay içermez. 5.4, ​​bir.

Bu nedenle, "güçlü bağlantılı" özellik, grafiğin köşe kümesini bölmeyi gerektirse de, yay kümesini bölmeyi üretmeyebilir.

Yönlendirilmiş grafikler üzerindeki birleştirme, kesişim, mod 2 toplamı ve diğer işlemler, yönsüz grafikler durumunda olduğu gibi tam olarak aynı şekilde tanımlanır (Böl. 1.5).

Yönlendirilmiş bir G grafiğinin kuvvetle bağlı bileşenlerinin tüm yaylarının daralmasından kaynaklanan grafiğe, G'nin yoğunlaştırılmış grafiği denir. Şek. 5.4, ​​​​a, Şek. 5.4b.

Grafiğin köşeleri, G grafiğinin güçlü bağlantılı bileşenlerine karşılık gelir ve bileşenlerin yoğunlaştırılmış görüntüleri olarak adlandırılır.

Yönlendirilmiş bir grafiğin sıra ve döngüsel sayısı, karşılık gelen yönsüz grafiğinkilerle aynıdır. Bu, yönlendirilmiş bir G grafiğinin yayları, köşeleri ve bileşenleri varsa, o zaman G grafiğinin sıra ve döngüsel sayısının şu şekilde verildiği anlamına gelir:

Şimdi minimal bağlantılı yönlendirilmiş grafikler tanımlıyoruz ve bazı özelliklerini inceliyoruz.

Yönlendirilmiş bir G grafiğinin, eğer güçlü bir şekilde bağlıysa minimal olarak bağlı olduğu söylenir ve herhangi bir yayın kaldırılması, onu güçlü bağlantılı özelliğinden mahrum eder.

Pirinç. 5.5. Minimal bağlantılı yönlendirilmiş grafik.

Minimal olarak bağlı, örneğin, Şekil 2'de gösterilen grafiktir. 5.5.

Açıkçası, minimal bağlantılı grafikler paralel yaylara ve döngülere sahip olamaz.

Yönsüz bir grafiğin ancak ve ancak bir ağaç olması durumunda minimum düzeyde bağlantılı olduğunu biliyoruz (Ör. 2.13). Teorem 2.5'e göre, bir ağacın en az iki derece 1 köşesi vardır. Bu nedenle, minimal bağlantılı yönsüz grafiklerin en az iki derece 1 köşesi vardır.

Yönlendirilmiş grafikler için benzer bir sonuç oluşturalım. Her bir köşe noktasının giden ve gelen yaylara sahip olması gerektiğinden, güçlü bir şekilde bağlantılı yönlendirilmiş bir grafiğin herhangi bir köşesinin derecesi en az 2 olmalıdır. Aşağıdaki teoremde, minimal bağlantılı yönlü bir grafiğin en az iki derece 2 köşesine sahip olduğunu kanıtlıyoruz.