Bir modül ile denklem çözme örnekleri. Sayı modülü (bir sayının mutlak değeri), tanımlar, örnekler, özellikler. Sayı modülü - tanım, gösterim ve örnekler

Matematiği seçmiyoruzmesleği ve bizi seçiyor.

Rus matematikçi Yu.I. Manin

Modüllü denklemler

Okul matematiğinin problemlerini çözmek için en zor olanı, modül işareti altında değişkenler içeren denklemlerdir. Bu tür denklemleri başarıyla çözmek için modülün tanımını ve temel özelliklerini bilmeniz gerekir. Doğal olarak, öğrenciler bu tür denklemleri çözme becerisine sahip olmalıdır.

Temel kavramlar ve özellikler

Gerçek bir sayının modülü (mutlak değer) ifade edilmiş ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

Bir modülün basit özellikleri aşağıdaki ilişkileri içerir:

Not, son iki özelliğin herhangi bir derece için geçerli olduğu.

Ek olarak, eğer, nerede, o zaman

Daha karmaşık modül özellikleri, modüller ile denklemleri çözmek için etkili bir şekilde kullanılabilir, aşağıdaki teoremlerle formüle edilmiştir:

Teorem 1. Herhangi bir analitik fonksiyon için ve eşitsizlik geçerli

Teorem 2. Eşitlik eşitsizliğe eşdeğerdir.

Teorem 3. eşitlik eşitsizliğe eşdeğer.

"Denklemler" konusundaki tipik problem çözme örneklerini ele alalım., modül işaretinin altında değişkenler içeren ".

Modüllü denklemleri çözme

Okul matematiğinde bir modülle denklem çözmenin en yaygın yöntemi yöntemdir, modüllerin genişlemesine dayanır. Bu yöntem çok yönlüdür, ancak, genel olarak, uygulaması çok külfetli hesaplamalara yol açabilir. Bu bağlamda, öğrenciler diğerlerinden haberdar olmalıdır., bu tür denklemleri çözmek için daha etkili yöntemler ve teknikler. Özellikle, teoremleri uygulama becerisine sahip olmalısınız, bu makalede verilen.

Örnek 1.Denklemi çözün. (1)

Karar. Denklem (1), modülleri genişletme yöntemi olan "klasik" yöntemle çözülecektir. Bunu yapmak için sayı eksenini böleriz puan ve aralıklarla ve üç durumu düşünün.

1. Eğer, o zaman ,,, ve denklem (1) şeklini alır. Dolayısıyla takip eder. Bununla birlikte, burada, bu nedenle, bulunan değer denklem (1) 'in kökü değildir.

2. Eğer, sonra denklemden (1) elde ederiz veya.

O zamandan beri denklemin kökü (1).

3. Eğer, sonra denklem (1) şeklini alır veya. Bunu not et.

Cevap:,.

Bir modülle sonraki denklemleri çözerken, bu tür denklemleri çözme verimliliğini artırmak için modüllerin özelliklerini aktif olarak kullanacağız.

Örnek 2. Denklemi çözün.

Karar. Ve'den beri sonra denklem ima eder... Bu bağlamda,,, ve denklem şekli alır... Böylece anlıyoruz... Ancak , bu nedenle, orijinal denklemin kökü yoktur.

Cevap: kök yok.

Örnek 3. Denklemi çözün.

Karar. O zamandan beri. Eğer öyleyse, ve denklem şekli alır.

Buradan alıyoruz.

Örnek 4. Denklemi çözün.

Karar.Denklemi eşdeğer bir biçimde yeniden yazıyoruz. (2)

Ortaya çıkan denklem, tipteki denklemlere aittir.

Teorem 2 hesaba katıldığında, denklem (2) 'nin bir eşitsizliğe eşdeğer olduğu söylenebilir. Buradan alıyoruz.

Cevap:.

Örnek 5. Denklemi çözün.

Karar. Bu denklemin şekli var... Bu nedenle, Teorem 3'e göre, burada eşitsizliğe sahibiz veya.

Örnek 6. Denklemi çözün.

Karar. Bunu varsayalım. Gibi , daha sonra verilen denklem ikinci dereceden bir denklem şeklini alır, (3)

nerede ... Denklem (3) tek bir pozitif köke sahip olduğundan ve sonra ... Bu nedenle, orijinal denklemin iki kökünü elde ederiz: ve.

Örnek 7. Denklemi çözün. (4)

Karar. Denklemden beri iki denklemin birleşimine eşdeğerdir: ve, o zaman denklem (4) 'ü çözerken iki durumu dikkate almak gerekir.

1. If, then veya.

Buradan alırız ve.

2. If, then veya.

O zamandan beri.

Cevap:,,,.

Örnek 8. Denklemi çözün . (5)

Karar. O zamandan beri. Bundan ve Denklem (5) 'ten bunu takip eder ve yani burada denklem sistemimiz var

Ancak, bu denklem sistemi tutarsızdır.

Cevap: kök yok.

Örnek 9. Denklemi çözün. (6)

Karar.Eğer ifade edersek, o zaman ve denklemden (6) elde ederiz

Veya. (7)

Denklem (7) forma sahip olduğundan, bu denklem bir eşitsizliğe eşdeğerdir. Buradan alıyoruz. O zamandan beri veya.

Cevap:.

Örnek 10. Denklemi çözün. (8)

Karar. Teorem 1'e göre yazabiliriz

(9)

Denklemi (8) hesaba katarak, her iki eşitsizliğin (9) eşitliklere dönüştüğü sonucuna varıyoruz, yani denklem sistemi geçerli

Bununla birlikte, Teorem 3'e göre, yukarıdaki denklem sistemi eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir.

(10)

Eşitsizlikler sistemini (10) çözerek elde ederiz. Eşitsizlikler sistemi (10) denklem (8) ile eşdeğer olduğundan, orijinal denklemin tek bir kökü vardır.

Cevap:.

Örnek 11. Denklemi çözün. (11)

Karar. Let ve, sonra eşitlik denklem (11) 'den gelir.

Dolayısıyla bunu takip eder ve. Böylece, burada bir eşitsizlikler sistemimiz var

Bu eşitsizlikler sistemine çözüm şudur: ve.

Cevap:,.

Örnek 12. Denklemi çözün. (12)

Karar. Denklem (12), modüllerin sıralı genişletme yöntemi ile çözülecektir. Bunu yapmak için birkaç durumu düşünün.

1. Eğer öyleyse.

1.1. Eğer, o zaman ve ,.

1.2. Öyleyse. Ancak , bu nedenle, bu durumda denklem (12) 'nin kökü yoktur.

2. Eğer öyleyse.

2.1. Eğer, o zaman ve ,.

2.2. Eğer öyleyse ve.

Cevap:,,,,.

Örnek 13. Denklemi çözün. (13)

Karar. Denklem (13) 'ün sol tarafı negatif olmadığı için ve. Bu bağlamda ve denklem (13)

veya şeklini alır.

Denklemin olduğu bilinmektedir iki denklemin kombinasyonuna eşdeğerdir ve, aldığımız çözümü,. Gibi , denklemin (13) bir kökü vardır.

Cevap:.

Örnek 14. Denklem sistemini çöz (14)

Karar. O zamandan beri ve. Bu nedenle, denklem sisteminden (14) dört denklem sistemi elde ederiz:

Yukarıdaki denklem sistemlerinin kökleri, denklem sisteminin kökleridir (14).

Cevap: ,,,,,,,.

Örnek 15. Denklem sistemini çöz (15)

Karar. O zamandan beri. Bu bağlamda, denklem sisteminden (15), iki denklem sistemi elde ederiz.

İlk denklem sisteminin kökleri ve ve ikinci denklem sisteminden elde ettiğimiz ve.

Cevap:,,,.

Örnek 16. Denklem sistemini çöz (16)

Karar. Sistemin (16) ilk denkleminden bunu takip eder.

O zamandan beri ... Sistemin ikinci denklemini düşünün. Kadarsonra, ve denklem şekli alır, veya.

Değeri değiştirirseniz sistemin ilk denklemine (16), sonra veya.

Cevap:,.

Problem çözme yöntemlerinin daha derin bir incelemesi için, denklem çözme ile ilgili, modül işaretinin altında değişkenler içeren, tavsiye edebilir miyim öğreticiler önerilen literatür listesinden.

1. Teknik kolejlere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Skanavi. - M .: Barış ve Eğitim, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: artan karmaşıklık sorunları. - M .: CD "Librokom" / URSS, 2017. - 200 s.

3. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: standart olmayan problem çözme yöntemleri. - M .: CD "Librokom" / URSS, 2017. - 296 s.

Hala sorularınız mı var?

Bir öğretmenden yardım almak için - kayıt olun.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması ile kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Modül, bir ifadenin mutlak değeridir. Bir modülü bir şekilde belirtmek için düz parantez kullanmak gelenekseldir. Düz parantez içine alınan değer, modulo olarak alınan değerdir. Herhangi bir modülü çözme süreci, matematik dilinde modüler parantez adı verilen çok doğru parantezlerin genişletilmesinden oluşur. Açıklanmaları belirli sayıda kurala göre gerçekleşir. Ayrıca, modüllerin çözülme sırasına göre, modül parantezlerinde bulunan bu ifadelerin değer kümeleri de vardır. Çoğu durumda, bir modül, alt modüler olan bir ifadenin sıfır değeri de dahil olmak üzere hem pozitif hem de negatif değerleri alacağı şekilde genişletilir. Modülün yerleşik özelliklerine bağlı olarak, daha sonra süreçte, orijinal ifadeden çeşitli denklemler veya eşitsizlikler derlenir ve daha sonra çözülmesi gerekir. Modülleri nasıl çözeceğimizi bulalım.

Çözüm süreci

Modülün çözümü, modül ile orijinal denklemin yazılmasıyla başlar. Denklemlerin bir modülle nasıl çözüleceği sorusuna cevap vermek için, onu tamamen genişletmeniz gerekir. Böyle bir denklemi çözmek için modül genişletilir. Tüm modüler ifadeler dikkate alınmalıdır. Bileşimine dahil olan bilinmeyen miktarların hangi değerlerinde belirlenmesi gerekir, parantez içindeki modüler ifade sıfıra döner. Bunu yapmak için, modüler parantez içindeki ifadeyi sıfıra eşitlemek ve ardından ortaya çıkan denklemin çözümünü hesaplamak yeterlidir. Bulunan değerler kaydedilmelidir. Aynı şekilde, bu denklemdeki tüm modüller için bilinmeyen tüm değişkenlerin değerini belirlemek de gereklidir. Ardından, sıfır değerinden farklı olduklarında, ifadelerde değişkenlerin tüm varoluş durumlarının tanımlanması ve dikkate alınmasıyla ilgilenmeniz gerekir. Bunu yapmak için, orijinal eşitsizlikteki tüm modüllere göre bazı eşitsizlikler sistemini yazmanız gerekir. Eşitsizlikler, sayı doğrusunda bulunan bir değişken için mevcut ve olası tüm değerleri kapsayacak şekilde tasarlanmalıdır. O zaman, görselleştirme için bu çok sayısal çizgiyi çizmeniz gerekir; bunun üzerine gelecekte elde edilen tüm değerleri erteleyeceksiniz.

Artık neredeyse her şey internet üzerinden yapılabiliyor. Modül, kuralın bir istisnası değildir. Bunu birçok modern kaynaktan birinde çevrimiçi olarak çözebilirsiniz. Sıfır modülünde bulunan değişkenin tüm bu değerleri, modüler denklemi çözme sürecinde kullanılacak özel bir kısıtlama olacaktır. Orijinal denklemde, ifadenin işaretini değiştirirken mevcut tüm modüler parantezlerin genişletilmesi gerekir, böylece istenen değişkenin değerleri sayı doğrusunda görülebilen değerlerle çakışır. Ortaya çıkan denklem çözülmelidir. Denklemin çözümü sırasında elde edilecek değişkenin değeri, modülün kendisi tarafından belirlenen kısıtlamaya göre kontrol edilmelidir. Değişkenin değeri koşulu tam olarak karşılıyorsa, o zaman doğrudur. Denklemin çözümü sırasında elde edilecek, ancak kısıtlara uymayacak tüm kökler atılmalıdır.

Öğrenciler için en zorlu konulardan biri, modül işareti altında bir değişken içeren denklemleri çözmektir. Bir başlangıç \u200b\u200biçin çözelim, bunun neyle bağlantılı olduğunu? Örneğin, neden ikinci dereceden denklemler çocukların çoğu deli gibi tıklarlar, ancak modül gibi karmaşık bir kavramdan çok uzak olduğundan, bu kadar çok sorunu vardır?

Kanımca, tüm bu zorluklar, bir modüllü denklemleri çözmek için açıkça formüle edilmiş kuralların yokluğuyla ilişkilidir. Yani karar vermek ikinci dereceden denklemöğrenci, önce ayırt edici formülü, ardından ikinci dereceden denklemin kökleri formülünü uygulaması gerektiğini kesin olarak bilir. Peki ya denklemde bir modül varsa? Denklem, modül işareti altında bilinmeyen içeriyorsa, bu durum için gerekli eylem planını açıkça tanımlamaya çalışacağız. İşte her durum için bazı örnekler.

Ama önce hatırlayalım modül tanımı... Yani, sayının modülü bir bu numaranın kendisi eğer bir negatif olmayan ve -aeğer numara bir Sıfırdan daha az. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

| a | \u003d a eğer a ≥ 0 ve | a | \u003d -a eğer a< 0

Modülün geometrik anlamından bahsetmişken, her gerçek sayının sayı ekseninde belirli bir noktaya karşılık geldiği unutulmamalıdır - k koordinat. Dolayısıyla, bir sayının modülü veya mutlak değeri, bu noktadan sayısal eksenin başlangıcına olan mesafedir. Mesafe her zaman pozitif bir sayı olarak belirtilir. Bu nedenle, herhangi bir negatif sayının mutlak değeri pozitif bir sayıdır. Bu arada, bu aşamada bile birçok öğrencinin kafası karışmaya başlar. Modülde herhangi bir sayı olabilir, ancak modülü uygulamanın sonucu her zaman pozitif bir sayıdır.

Şimdi doğrudan denklemleri çözmeye gidelim.

1. | X | şeklinde bir denklem düşünün. \u003d c, burada c gerçek bir sayıdır. Bu denklem, modül tanımı kullanılarak çözülebilir.

Tüm gerçek sayıları üç gruba ayırırız: sıfırdan büyük olanlar, sıfırdan küçük olanlar ve üçüncü grup 0 sayısıdır. Çözümü şema şeklinde yazalım:

(± c eğer c\u003e 0

Eğer | x | \u003d c, sonra x \u003d (0, eğer c \u003d 0

(varsa kök yok< 0

1) | x | \u003d 5, çünkü 5\u003e 0, sonra x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, çünkü -beş< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, ardından x \u003d 0.

2. | f (x) | biçiminde bir denklem \u003d b, burada b\u003e 0. Bu denklemi çözmek için, modülden kurtulmak gerekir. Bunu şu şekilde yapıyoruz: f (x) \u003d b veya f (x) \u003d -b. Şimdi elde edilen denklemlerin her birini ayrı ayrı çözmek gerekiyor. Orijinal denklemde ise b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, çünkü 4\u003e 0, sonra

x + 2 \u003d 4 veya x + 2 \u003d -4

2) | x 2-5 | \u003d 11, çünkü 11\u003e 0, sonra

x 2-5 \u003d 11 veya x 2-5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 kök yok

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, çünkü -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. | F (x) | biçiminde bir denklem \u003d g (x). Modülün anlamı dahilinde, böyle bir denklemin sağ tarafı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse çözümleri olacaktır, yani. g (x) ≥ 0. O zaman elimizde:

f (x) \u003d g (x)veya f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. 5x - 10 ≥ 0 ise bu denklemin kökleri olacaktır. Bu, bu tür denklemlerin çözümünün başladığı yerdir.

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Çözüm:

2x - 1 \u003d 5x - 10 veya 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. ODZ'yi birleştiriyoruz. ve çözüm şudur:

X \u003d 11/7 kökü O.D.Z'ye göre uymuyor, 2'den küçük ve x \u003d 3 bu koşulu sağlıyor.

Cevap: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Bu eşitsizliği aralıklar yöntemiyle çözelim:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Çözüm:

x - 1 \u003d 1 - x 2 veya x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 veya x \u003d 1 x \u003d 0 veya x \u003d 1

3. Çözümü ve ODZ'yi birleştiriyoruz:

Yalnızca x \u003d 1 ve x \u003d 0 kökleri uygundur.

Cevap: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. | f (x) | biçiminde bir denklem \u003d | g (x) |. Böyle bir denklem aşağıdaki iki denkleme denktir f (x) \u003d g (x) veya f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Bu denklem aşağıdaki ikisine eşdeğerdir:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 veya x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 veya x \u003d 4 x \u003d 2 veya x \u003d 1

Cevap: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. İkame yöntemiyle çözülen denklemler (değişken ikame). Bu çözüm yöntemini belirli bir örnekle açıklamak en kolay yoldur. Öyleyse, modüllü ikinci dereceden bir denklem verilsin:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. x 2 \u003d | x | modülünün özelliğine göre 2, böylece denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. | x | \u003d t ≥ 0 ise:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Bu denklemi çözerek t \u003d 1 veya t \u003d 5 olduğunu elde ederiz. Yerine geri dönelim:

| x | \u003d 1 veya | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Cevap: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Başka bir örneğe bakalım:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. x 2 \u003d | x | modülünün özelliğine göre 2, bu nedenle

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Yerini değiştirelim | x | \u003d t ≥ 0, o zaman:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Bu denklemi çözerek t \u003d -2 veya t \u003d 1 elde ederiz. Yerine geri dönelim:

| x | \u003d -2 veya | x | \u003d 1

Kök yok x \u003d ± 1

Cevap: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. Başka bir denklem türü - "karmaşık" modüllü denklemler. Bu denklemler, "bir modül içinde modüller" içeren denklemleri içerir. Bu tür denklemler, modülün özellikleri kullanılarak çözülebilir.

1) | 3 - | x || \u003d 4. İkinci tip denklemlerde olduğu gibi ilerleyeceğiz. Çünkü 4\u003e 0, sonra iki denklem elde ederiz:

3 - | x | \u003d 4 veya 3 - | x | \u003d -4.

Şimdi her denklemdeki x modülünü ifade ediyoruz, sonra | x | \u003d -1 veya | x | \u003d 7.

Elde edilen denklemlerin her birini çözüyoruz. İlk denklemde kök yoktur, çünkü -1< 0, а во втором x = ±7.

Cevap x \u003d -7, x \u003d 7'dir.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Bu denklemi aynı şekilde çözüyoruz:

3 + | x + 1 | \u003d 5 veya 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 veya x + 1 \u003d -2. Kök yok.

Cevap: x \u003d -3, x \u003d 1.

Bir modülle denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem de vardır. Bu, aralık yöntemidir. Ama daha sonra ele alacağız.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması ile kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Latince'den tam anlamıyla tercüme edilen (modül) terimi "ölçü" anlamına gelir. Bu kavram matematiğe İngiliz bilim adamı R.Cotes tarafından tanıtıldı. Ve Alman matematikçi K. Weierstrass, yazarken bu kavramı ifade eden sembol olan modül işaretini tanıttı.

Temas halinde

İlk defa bu kavram matematikte 6. sınıf ortaokul müfredatında incelenmiştir. Bir tanıma göre modül, gerçek sayının mutlak değeridir. Başka bir deyişle, gerçek bir sayının mutlak değerini bulmak için işaretini atmalısınız.

Grafik olarak mutlak değer ve olarak belirtildi | a |.

Bu kavramın temel ayırt edici özelliği, her zaman negatif olmayan bir miktar olmasıdır.

Birbirinden sadece işaret olarak farklılık gösteren sayılara tersi denir. Değer pozitifse, tersi negatif olur ve sıfır kendisinin tersidir.

Geometrik anlam

Bir modül kavramını geometri açısından ele alırsak, başlangıçtan birim parçalara ölçülen mesafeyi gösterecektir. ayar noktası... Bu tanım, incelenen terimin geometrik anlamını tam olarak ortaya koymaktadır.

Bu, grafiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir: | a | \u003d OA.

Mutlak büyüklük özellikleri

Aşağıda, bu kavramın tüm matematiksel özelliklerini ve gerçek ifadeler biçiminde yazma yöntemlerini ele alacağız:

Bir modülle denklem çözme özellikleri

Modül içeren matematiksel denklemleri ve eşitsizlikleri çözmekten bahsedersek, bunları çözmek için bu işareti açmanız gerektiğini hatırlamanız gerekir.

Örneğin, mutlak bir değerin işareti bazı matematiksel ifadeler içeriyorsa, modülü açmadan önce mevcut matematiksel tanımları hesaba katmak gerekir.

| A + 5 | \u003d A + 5eğer, A sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir.

5-Aeğer ve değer sıfırdan küçüktür.

Bazı durumlarda, işaret, değişkenin herhangi bir değeri için açık bir şekilde genişletilebilir.

Başka bir örnek alalım. Mutlak değeri 5 olan tüm sayısal değerleri işaretlediğimiz bir koordinat çizgisi oluşturalım.

Öncelikle, bir koordinat çizgisi çizmeniz, koordinatların başlangıç \u200b\u200bnoktasını işaretlemeniz ve bir birim segmentinin boyutunu ayarlamanız gerekir. Ek olarak, hattın bir yönü olmalıdır. Şimdi bu düz çizgi üzerinde, birim segmentinin değerine eşit olacak işaretler uygulamak gerekiyor.

Böylece, bu koordinat çizgisinde 5 ve -5 değerlerinde bizim için iki ilgi çekici nokta olacağını görebiliriz.

Bir sayının birimini bulmak kolaydır ve arkasındaki teori, problemleri çözerken önemlidir.

Alıştırmaları çözmede ve sınavlarda kullanılan açıklama özellikleri ve kuralları okul çocukları ve öğrenciler için faydalı olacaktır. Https://teachs.ru adresinde bilginizle para kazanın!

Matematikte modül nedir

Bir sayının modülü, noktanın sıfırdan hangi yöne uzandığına bakılmaksızın, bir sayı doğrusunda sıfırdan bir noktaya olan mesafeyi tanımlar. Matematiksel gösterim : | x |.

Başka bir deyişle, sayının mutlak değeridir. Tanım, değerin asla negatif olmadığını kanıtlıyor.

Modül özellikleri

Aşağıdaki özellikleri hatırlamak önemlidir:

Karmaşık sayı modülü

Karmaşık bir sayının mutlak değeri, karmaşık düzlemin başlangıcından (a, b) noktasına çizilen yönlendirilmiş bir parçanın uzunluğudur.

Bu yön çizgisi aynı zamanda karmaşık bir sayıyı temsil eden bir vektördür a + bi, dolayısıyla karmaşık bir sayının mutlak değeri, temsil eden vektörün büyüklüğü (veya uzunluğu) ile aynıdır a + bi.

Bir modülle denklemler nasıl çözülür

Modüllü bir denklem, mutlak bir değer ifadesi içeren bir eşitliktir. Bir gerçek sayı için, sayı doğrusundaki orijinden uzaklığını temsil ediyorsa, modulo eşitsizlikleri mutlak değerlerden oluşan bir eşitsizlik türüdür.

| X | gibi denklemler \u003d a

Denklem | x | \u003d a var iki cevap x \u003d a ve x \u003d –açünkü her iki seçenek de koordinat çizgisinde 0'dan a uzaklıkta bulunur.

Değer negatifse mutlak değerle eşitliğin çözümü yoktur.

Eğer | x |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

| X | gibi denklemler \u003d | y |

Denklemlerin her iki tarafında da mutlak değerler olduğunda, kabul edilebilir tanımlar için her iki olasılığı da dikkate almanız gerekir - pozitif ve negatif ifadeler.

Örneğin, eşitlik için | x - a | \u003d | x + b | iki seçenek vardır: (x - a) \u003d - (x + b) veya (x - a) \u003d (x + b).

| X | gibi denklemler \u003d y

Bu türden denklemler, sıfırın solunda bir değişken ve sağda başka bir bilinmeyen ile ifadenin mutlak değerini içerir. Y değişkeni sıfırdan büyük veya küçük olabilir.

Bu eşitlikte bir cevap almak için, y'nin negatif olmayan bir değer olduğundan emin olmanız gereken birkaç denklem sistemini çözmeniz gerekir:

Eşitsizlikleri modül ile çözme

Modülü farklı eşitlik ve eşitsizlik türlerinde nasıl genişleteceğinizi daha iyi anlamak için örnekleri analiz etmeniz gerekir.

Form Denklemleri | x | \u003d a

örnek 1 (cebir notu 6). Çöz: | x | + 2 \u003d 4.

Karar.

Bu tür denklemler, mutlak değerler olmayan eşitliklerle aynı şekilde çözülür. Bu, bilinmeyenleri sola ve sabitleri sağa hareket ettirerek ifadenin değişmediği anlamına gelir.

Sabiti sağa taşıdıktan sonra: | x | \u003d 2.

Bilinmeyenler mutlak değerle ilişkili olduğundan, bu eşitliğin iki cevabı vardır: 2 ve −2 .

Cevap: 2 ve −2 .

Örnek 2(cebir notu 7). Eşitsizliği çözün | x + 2 | ≥ 1.

Karar.

Yapılacak ilk şey, mutlak değerin değiştiği noktaları bulmaktır. Bunu yapmak için ifade şuna eşittir: 0 ... Alınan: x \u003d –2.

Demek oluyor –2 - dönüm noktası.

Aralığı 2 kısma ayıralım:

1. x + 2 ≥ 0 için

[−1; + ∞).

1. x + 2 için< 0

Bu iki eşitsizliğin ortak yanıtı, aralıktır (−∞; –3].

Son karar – bireysel bölümlerin cevaplarını birleştirmek:

x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

Cevap: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

Form Denklemleri | x | \u003d | y |

örnek 1 (cebir notu 8). Denklemi iki modülle çözün: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | x - 1 |.

Karar:

Cevap: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d − 1.

Örnek 2 (cebir notu 8). Eşitsizliği çözün:

Karar:

Form Denklemleri | x | \u003d y

örnek 1 (cebir notu 10). X bulun:

Karar:

Sağ tarafı kontrol etmek çok önemlidir, aksi takdirde yanıt olarak hatalı kökler yazabilirsiniz. Sistemden boşlukta neyin yatmadığını görebilirsiniz.

Cevap: x \u003d 0.

Toplam modülü

Fark modülü

İki sayı arasındaki farkın mutlak değeri x ve y koordinatlı noktalar arasındaki mesafeye eşittir X ve Y koordinat çizgisinde.

Örnek 1.

Örnek 2.

Negatif sayı modülü

Sıfırdan küçük bir sayının mutlak değerini bulmak için, sıfırdan ne kadar uzakta olduğunu bilmeniz gerekir. Mesafe daima pozitif olduğu için ("negatif" adımlardan geçmek imkansızdır, bunlar sadece diğer yöndeki adımlardır), sonuç her zaman pozitiftir. yani,

Basitçe söylemek gerekirse, negatif bir sayının mutlak değerinin tam tersi anlamı vardır.

Sıfır modül

Bilinen özellik:

Bu yüzden mutlak değerin pozitif bir sayı olduğu söylenemez: sıfır ne negatif ne de pozitiftir.

Kare modül

Kare modül her zaman kare ifadeye eşittir:

Modül içeren grafik örnekleri

Genellikle testlerde ve sınavlarda, yalnızca grafikleri analiz ederek çözülebilecek görevler vardır. Bu tür görevleri düşünelim.

Örnek 1.

Bir f (x) \u003d | x | işlevi verilmiştir. 1 adımda - 3'ten 3'e kadar bir grafik oluşturmak gerekir.

Karar:

açıklama: şekil, grafiğin Y ekseni etrafında simetrik olduğunu gösterir.

Örnek 2... F (x) \u003d | x - 2 | fonksiyonlarının grafiklerini çizmek ve karşılaştırmak gerekir. ve g (x) \u003d | x | –2.

Karar:

Açıklama: Mutlak değer içindeki bir sabit, grafiği negatifse sağa, pozitifse sola taşır. Ancak dış sabit, değer pozitifse grafiği yukarı, negatifse aşağı doğru hareket ettirecektir (gibi - 2 işlevde g (x)).

Köşe koordinatı x (iki çizginin bağlandığı nokta, grafiğin üstü), grafiğin sola veya sağa kaydırıldığı sayıdır. Ve koordinat y Grafiğin yukarı veya aşağı hareket ettiği değerdir.

Çevrimiçi çizim uygulamalarını kullanarak bu tür grafikleri oluşturabilirsiniz. Onların yardımıyla sabitlerin işlevleri nasıl etkilediğini görsel olarak görebilirsiniz.

Modül içeren görevlerde aralık yöntemi

Aralık yöntemi, özellikle ifadede birkaç tane varsa, modül problemlerinde cevabı bulmanın en iyi yollarından biridir.

Yöntemi kullanmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1. Her ifadeyi sıfır olarak ayarlayın.
2. Değişkenlerin değerlerini bulun.
3. 2. adımda elde edilen noktaları sayısal çizgiye uygulayın.
4. Aralıklarda ifadelerin işaretini (negatif veya pozitif değer) belirleyin ve sırasıyla - veya + sembolünü çizin. İşareti belirlemenin en kolay yolu ikame yöntemini kullanmaktır (aralıktaki herhangi bir değeri ikame ederek).
5. Ortaya çıkan işaretlerle eşitsizlikleri çözün.

örnek 1... Aralık yöntemiyle çözün.

Karar: