Güç fonksiyonu özellikleri. Üstel fonksiyon - özellikler, grafikler, formüller. Kesirli üssün paydası tektir

y = ax, y = ax 2, y = a / x - fonksiyonları, güç fonksiyonunun özel biçimleridir. n = 1, n = 2, n = -1 .

Eğer n kesirli sayı P/ Q eşit payda ile Q ve tek numaratör r, ardından değer iki işareti olabilir ve grafiğin apsis ekseninin altında bir bölümü daha vardır x, ve tepeye göre simetriktir.

İki değerli bir fonksiyonun grafiğini görüyoruz y = ± 2x 1/2, yani. yatay eksenli bir parabol ile temsil edilir.

fonksiyon grafikleri y = xn de n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 ... Bu grafikler (1; 1) noktasından geçer.

Ne zaman n = -1 alırız abartma... saat n < - 1 güç fonksiyonunun grafiği ilk önce hiperbolün üzerinde bulunur, yani. arasında x = 0 ve x = 1, ve ardından aşağıda (için x> 1). Eğer n> -1 grafik ters çevrilir. negatif değerler x ve kesirli değerler n pozitif için benzer n.

Tüm grafikler apsis eksenine göre sınırsız olarak yaklaşır X, ve ordinat eksenine de onlara dokunmadan. Hiperbol ile benzerliğinden dolayı bu grafiklere hiperbol denir. n inci Emir.

1. Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği;

2. Dönüşümler:

Paralel aktarım;

Koordinat eksenlerine göre simetri;

Orijine göre simetri;

y = x düz çizgisine göre simetri;

Koordinat eksenleri boyunca gerin ve küçültün.

3. Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği, benzer dönüşümler;

4. Logaritmik fonksiyon, özellikleri ve grafiği;

5. Trigonometrik fonksiyon, özellikleri ve grafiği, benzer dönüşümler (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

fonksiyon: y = x \ n - özellikleri ve grafiği.

Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x vb. Tüm bu işlevler, bir güç işlevinin özel durumlarıdır, yani işlevler y = xp, burada p belirli bir gerçek sayıdır.
Güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, esas olarak, gerçek üslü gücün özelliklerine ve özellikle hangi değerlerin olduğuna bağlıdır. x ve P mantıklı derece x p... Farklı durumlara ilişkin benzer bir değerlendirmeye geçelim.
üs P.

1. Gösterge p = 2n- çift doğal sayı.

y = x 2n, nerede n- bir doğal sayı, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar, yani R kümesi;
• değerler kümesi negatif olmayan sayılardır, yani. y 0'dan büyük veya ona eşittir;
• işlev y = x 2n o zamandan beri x 2n = (-x) 2n
• fonksiyon aralıkta azalıyor x< 0 ve aralıkta artan x> 0.

fonksiyon grafiği y = x 2nörneğin bir fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir y = x 4.

2. Gösterge p = 2n - 1- tek doğal sayı

Bu durumda güç fonksiyonu y = x 2n-1, bir doğal sayı olduğu yerde aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - R'yi ayarlayın;
• değerler seti - R'yi ayarlayın;
• işlev y = x 2n-1 garip, çünkü (- x) 2n-1= x 2n-1;
• fonksiyon tüm gerçek eksen boyunca artıyor.

fonksiyon grafiği y = x 2n-1 y = x 3.

3. Gösterge p = -2n, nerede n - doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y = x -2n = 1 / x 2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• değerler kümesi - pozitif sayılar y> 0;
• fonksiyon y = 1 / x 2n o zamandan beri 1 / (- x) 2n= 1 / x 2n;
• fonksiyon x0 aralığında artıyor.

fonksiyon y arsa = 1 / x 2nörneğin, y fonksiyonunun grafiği ile aynı forma sahiptir. = 1 / x 2.

4. Gösterge p = - (2n-1), nerede n- doğal sayı.
Bu durumda güç fonksiyonu y = x - (2n-1) aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - x = 0 dışında R'yi ayarlayın;
• değerler kümesi - y = 0 hariç R'yi ayarlayın;
• işlev y = x - (2n-1) garip, çünkü (- x) - (2n-1) = -x - (2n-1);
• aralıklarda fonksiyon azalıyor x< 0 ve x> 0.

fonksiyon grafiği y = x - (2n-1)örneğin fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y = 1 / x 3.

işlevlere aşina mısınız? y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x vb. Tüm bu işlevler, bir güç işlevinin özel durumlarıdır, yani işlevler y = xp, burada p belirli bir gerçek sayıdır.
Güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, esas olarak, gerçek üslü gücün özelliklerine ve özellikle hangi değerlerin olduğuna bağlıdır. x ve P mantıklı derece x P... Farklı durumlara bağlı olarak benzer bir değerlendirmeye geçelim.
üs P.

1. Gösterge p = 2nçift ​​doğal sayıdır.

y = x 2n, nerede n- bir doğal sayı, aşağıdakilere sahiptir

özellikler:

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar, yani R kümesi;
• değerler kümesi negatif olmayan sayılardır, yani. y 0'dan büyük veya ona eşittir;
• işlev y = x 2n o zamandan beri x 2n=(- x) 2n
• fonksiyon aralıkta azalıyor x<0 ve aralıkta artan x> 0.

fonksiyon grafiği y = x 2nörneğin bir fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir y = x 4.

2. Gösterge p = 2n-1- tek doğal sayı
Bu durumda güç fonksiyonu y = x 2n-1, bir doğal sayı olduğu yerde aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - R'yi ayarlayın;
• değerler seti - R'yi ayarlayın;
• işlev y = x 2n-1 garip, çünkü (- x) 2n-1=x 2n-1;
• fonksiyon tüm gerçek eksen boyunca artıyor.

fonksiyon grafiği y = x 2n-1, örneğin fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir. y = x 3 .

3. Gösterge p = -2n, nerede n - doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y = x -2n = 1 / x 2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - x = 0 dışında R'yi ayarlayın;
• değerler kümesi - pozitif sayılar y> 0;
• fonksiyon y = 1 / x 2n o zamandan beri 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• fonksiyon x aralığında artıyor<0 и убывающей на промежутке x>0.

fonksiyon y arsa = 1 / x 2nörneğin, y fonksiyonunun grafiği ile aynı forma sahiptir. = 1 / x 2.

işlevlere aşina mısınız? y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x vb. Tüm bu işlevler, bir güç işlevinin özel durumlarıdır, yani işlevler y = xp, burada p belirli bir gerçek sayıdır.
Güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, esas olarak, gerçek üslü gücün özelliklerine ve özellikle hangi değerlerin olduğuna bağlıdır. x ve P mantıklı derece x P... Farklı durumlara bağlı olarak benzer bir değerlendirmeye geçelim.
üs P.

1. Gösterge p = 2nçift ​​doğal sayıdır.

y = x 2n, nerede n- bir doğal sayı, aşağıdakilere sahiptir

özellikler:

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar, yani R kümesi;
• değerler kümesi negatif olmayan sayılardır, yani. y 0'dan büyük veya ona eşittir;
• işlev y = x 2n o zamandan beri x 2n=(- x) 2n
• fonksiyon aralıkta azalıyor x<0 ve aralıkta artan x> 0.

fonksiyon grafiği y = x 2nörneğin bir fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir y = x 4.

2. Gösterge p = 2n-1- tek doğal sayı
Bu durumda güç fonksiyonu y = x 2n-1, bir doğal sayı olduğu yerde aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - R'yi ayarlayın;
• değerler seti - R'yi ayarlayın;
• işlev y = x 2n-1 garip, çünkü (- x) 2n-1=x 2n-1;
• fonksiyon tüm gerçek eksen boyunca artıyor.

fonksiyon grafiği y = x 2n-1, örneğin fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir. y = x 3 .

3. Gösterge p = -2n, nerede n - doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y = x -2n = 1 / x 2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - x = 0 dışında R'yi ayarlayın;
• değerler kümesi - pozitif sayılar y> 0;
• fonksiyon y = 1 / x 2n o zamandan beri 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• fonksiyon x aralığında artıyor<0 и убывающей на промежутке x>0.

fonksiyon y arsa = 1 / x 2nörneğin, y fonksiyonunun grafiği ile aynı forma sahiptir. = 1 / x 2.

Sınıf 10

GÜÇ FONKSİYONU

üstel arananformül tarafından verilen fonksiyonnerede, P – biraz gerçek sayı.

Bence ... Göstergeçift ​​doğal sayıdır. Daha sonra güç fonksiyonu nereden

D ( y )= (−; +).

2) Bir fonksiyonun değer aralığı, aşağıdaki durumlarda negatif olmayan bir sayı kümesidir:

aşağıdaki durumlarda pozitif olmayan sayılar kümesi:

3) ) . Bu nedenle, fonksiyonOy .

4) Eğer öyleyse, fonksiyon şu şekilde azalır:x (-; 0] ve artarx ve azalırx }