Знайти математичне очікування числа промахів. Імовірність та статистика – основні факти. Основні формули для математичного очікування

Теорія ймовірності – особливий розділ математики, який вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки та формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням та дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавим. Познайомимося з кількома найважливішими базовими поняттями цього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте найпростіші поняття теорії ймовірності, не зневажайте перших абзаців статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, що розглядаються далі.

Отже, відбувається деяка випадкова подія, якийсь експеримент. Через війну вироблених дій ми можемо отримати кілька результатів - одні зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих наслідків одного типу до загального числа можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете розпочати вивчення математичного очікування та дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обминути. Головним для нас зараз є те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування та дисперсії випадкової величини.

Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все існуюче та розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів дорівнюватиме 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.

Дисперсія

Говорячи науковою мовою, дисперсія – це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середньої арифметичної. Позначається одна заголовною латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різницю між наявним числом та середнім арифметичним і зведемо у квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у події, що ми розглядаємо. Далі ми підсумовуємо все отримане та ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять наслідків, то ділимо на п'ять.

У дисперсії є й властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати під час вирішення завдань. Наприклад, зі збільшенням випадкової величини у X разів, дисперсія збільшується у X у квадраті разів (т. е. X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення у більшу чи меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

Тепер нам обов'язково слід розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.

Припустимо, що ми провели 21 експеримент та отримали 7 різних результатів. Кожен із них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 та 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія?

Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер із кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, начебто, все. Але є проблема! Давайте її обговоримо.

Залежність кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії у знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів у послідовності (що, по суті, те саме). Від чого це залежить?

Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить за цифрою 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше – то на N.

Завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію та математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було поділити на N чи N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30 виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 = 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково маємо розглянути цій статті. Математичне очікування - це результат складання всіх можливих наслідків, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілого завдання, скільки результатів у ній не розглядалося.

Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо з його ймовірність, додаємо те саме для другого, третього результату тощо. буд. Усе, що з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює маточку суми. Для твору актуально те саме. Такі прості операції дозволяє із собою виконувати далеко не кожна величина теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення одразу двох вивчених понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - настав час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів – цифри від 0 до 9 – які з'являються у різному відсотковому відношенні. Це відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Представимо для дисперсії випадкової величини та математичного очікування приклад розв'язання задачі.

Середнє арифметичне розрахуємо за такою формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5.

Тепер переведемо ймовірність у кількість наслідків «в штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен із отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, з прикладу першого елемента: 1 - 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для решти значень проробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх ви отримаєте 90.

Продовжимо розрахунок дисперсії та математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно тому, що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 = 9. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не засмучуйтесь. Швидше за все, ви припустилися банальної помилки при розрахунках. Перевірте ще раз написане, і напевно все встане на свої місця.

Зрештою, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з якою ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матоожидання дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, з прикладу перших елементів: 0*0,02 + 1*0,1… тощо. Як бачите, ми просто множимо значення результату з його ймовірність.

Відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецькою «сигмою». Це поняття показує, наскільки у середньому відхиляються значення від центральної ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратне коріння з дисперсії.

Якщо ви збудуєте графік нормального розподілу і захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхилення, це можна зробити в кілька етапів. Візьміть половину зображення зліва або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і проекцією, що вийшла, на горизонтальну вісь і буде середнім квадратичним відхиленням.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і наведених прикладів, розрахунки дисперсії та математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, є сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах - вона називається «R». У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять із статистики та теорії ймовірності.

Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це так: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія та математичне очікування - це без яких складно надалі щось розрахувати. В основному курсі лекцій у вишах вони розглядаються вже у перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять та невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані позначки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.

Потренуйтесь хоча б один тиждень по півгодини на день, вирішуючи завдання, схожі на представлені в цій статті. Тоді на будь-якій контрольній теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.

Як відомо, закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватись меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, що описують випадкову величину сумарно; такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини.

До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величининазивають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності.

Якщо випадкова величина характеризується кінцевим рядом розподілу:

Х	х 1	х 2	х 3	…	х п
Р	р 1	р 2	р 3	…	р п

то математичне очікування М(Х)визначається за формулою:

Математичне очікування безперервної випадкової величини визначається рівністю:

де – густина ймовірності випадкової величини Х.

Приклад 4.7.Знайти математичне очікування числа очок, що випадають під час кидання гральної кістки.

Рішення:

Випадкова величина Хприймає значення 1, 2, 3, 4, 5, 6. Складемо закон її розподілу:

Х
Р

Тоді математичне очікування одно:

Властивості математичного очікування:

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій:

М(С) = С.

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:

М(СХ) = СМ(X).

3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:

M(XY) = M(X)M(Y).

Приклад 4.8. Незалежні випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:

Х					Y
Р	0,6	0,1	0,3		Р	0,8	0,2

Знайти математичне очікування випадкового розміру XY.

Рішення.

Знайдемо математичні очікування кожної з цих величин:

Випадкові величини Xі Yнезалежні, тому шукане математичне очікування:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Слідство.Математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.

4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

М(X+Y) = М(X)+М(Y).

Слідство.Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.

Приклад 4.9.Виробляється 3 постріли з ймовірностями влучення в ціль, рівними р 1 = 0,4; p 2= 0,3 та р 3= 0,6. Знайти математичне очікування загальної кількості влучень.

Рішення.

Число влучень при першому пострілі є випадковою величиною Х 1, яка може приймати лише два значення: 1 (попадання) з ймовірністю р 1= 0,4 та 0 (промах) з ймовірністю q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Математичне очікування числа влучень при першому пострілі дорівнює ймовірності влучення:

Аналогічно знайдемо математичні очікування кількості влучень при другому та третьому пострілах:

М(Х 2)= 0,3 та М(Х 3)= 0,6.

Загальна кількість влучень є також випадковою величиною, що складається з суми влучень у кожному з трьох пострілів:

Х = Х1 + Х2 + Х3.

Шукане математичне очікування Хзнаходимо за теоремою про математичне, очікування суми.

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \ Y, Z, \ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунком мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0,\ 1,\dots,\n$.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення $1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $ \ sum (p_i) = 1 $.

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікування обчислюється як сума творів значень $x_1,\dots ,\ x_n$ на відповідні цим значенням імовірності $p_1,\dots ,\ p_n$, тобто $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

1. $M\left(Xright)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннями випадкової величини $X$.
2. Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
5. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 ) \ over (6)) = 3,5. $ $

Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин із рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній бал за іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - лише трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\left(X) \right)\right))^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

1. Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищезазначені властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ left (x \ right) $ - Незменшується.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right) = 1 \) $.

Приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $F\left(xright)$ для закону розподілу дискретної випадкової величини $X$ з прикладу $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Якщо $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (у тому числі і при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Якщо $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x > 6 $, то $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Отже, $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при 1< x\le 2,\\
1/3, \ при 2< x\le 3,\\
1/2, при 3< x\le 4,\\
2/3,\ при 4< x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4< x\le 5,\\
1, \ при x > 6.
\end(matrix)\right.$

Поняття математичного очікування можна розглянути з прикладу з киданням грального кубика. При кожному кидку фіксуються окуляри, що випали. Для їхнього вираження використовуються натуральні значення в діапазоні 1 – 6.

Після певної кількості кидків за допомогою не складних розрахунків можна знайти середнє арифметичне значення очок, що випали.

Так само, як і випадання будь-якого з значень діапазону, ця величина буде випадковою.

А якщо збільшити кількість кидків у кілька разів? При великих кількостях кидків середнє арифметичне значення очок буде наближатися до конкретного числа, що отримало теоретично ймовірностей назву математичного очікування.

Отже, під математичним очікуванням розуміється середнє значення випадкової величини. Даний показник може представлятися і як виважена сума значень ймовірної величини.

Це поняття має кілька синонімів:

• середнє значення;
• середня величина;
• показник центральної тенденції;
• перший момент.

Іншими словами, воно є нічим іншим як числом, навколо якого розподіляються значення випадкової величини.

У різних сферах людської діяльності підходи до розуміння математичного очікування дещо відрізнятимуться.

Воно може розглядатися як:

• середня вигода, отримана від ухвалення якогось рішення, у тому випадку, коли таке рішення розглядається з точки зору теорії великих чисел;
• Можлива сума виграшу чи програшу (теорія азартних ігор), розрахована загалом кожної зі ставок. На сленгу вони звучать як "перевага гравця" (позитивно для гравця) або "перевага казино" (негативно для гравця);
• відсоток прибутку, отриманого від виграшу.

Матеріювання не є обов'язковим для всіх випадкових величин. Воно відсутнє для тих, у яких спостерігається розбіжність відповідної суми або інтеграла.

Властивості математичного очікування

Як і будь-якого статистичного параметра, математичному очікуванню притаманні властивості:

Основні формули для математичного очікування

Обчислення математичного очікування може виконуватися як випадкових величин, що характеризуються як безперервністю (формула А), і дискретністю (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, де xi – значення випадкової величини, pi – ймовірності:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, де f(x) – задана щільність ймовірностей.

Приклади обчислення математичного очікування

Приклад А.

Чи можна дізнатися середнє зростання гномів у казці про Білосніжку. Відомо, що кожен із 7 гномів мав певне зростання: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 та 0,81 м.

Алгоритм обчислень досить простий:

• знаходимо суму всіх значень показника зростання (випадкова величина):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• отриману суму ділимо на кількість гномів:
  6,31:7=0,90.

Таким чином, середнє зростання гномів у казці дорівнює 90 см. Іншими словами таке математичне очікування зростання гномів.

Робоча формула - М (х) = 4 0,2 +6 0,3 +10 0,5 = 6

Практична реалізація математичного очікування

До обчислення статистичного показника математичного очікування вдаються у різних галузях практичної діяльності. Насамперед йдеться про комерційну сферу. Адже введення Гюйгенсом цього показника пов'язане з визначенням шансів, які можуть бути сприятливими або навпаки несприятливими для якоїсь події.

Цей параметр широко застосовується для оцінки ризиків, особливо якщо йдеться про фінансові вкладення.
Так, у підприємництві розрахунок математичного очікування виступає як метод для оцінювання ризику при розрахунку цін.

Також цей показник може використовуватися для розрахунку ефективності проведення тих чи інших заходів, наприклад, з охорони праці. Завдяки йому можна визначити ймовірність настання події.

Ще одна сфера застосування цього параметра – менеджмент. Також він може розраховуватися під час контролю якості продукції. Наприклад, з допомогою мат. очікування можна розрахувати можливу кількість виготовлення бракованих деталей.

Незамінним мат.ожидание виявляється і під час проведення статистичної обробки отриманих під час наукових досліджень результатів. Він дозволяє розрахувати і можливість прояву бажаного чи небажаного результату експерименту чи дослідження залежно від рівня досягнення поставленої мети. Адже її досягнення може асоціюватися з виграшем і вигодою, а її не досягнення - як програш або збиток.

Використання математичного очікування на Форекс

Практичне застосування даного статистичного параметра можливе під час операцій на валютному ринку. З його допомогою можна здійснювати аналіз успішності торгових угод. При чому збільшення значення очікування свідчить про збільшення їхньої успішності.

Також важливо пам'ятати, що математичне очікування не повинно розглядатися як єдиний статистичний параметр, який використовується для аналізу роботи трейдера. Використання кількох статистичних параметрів поряд із середнім значенням підвищує точність аналізованого в рази.

Цей параметр добре зарекомендував себе під час моніторингових спостережень за торговими рахунками. Завдяки йому виконується швидка оцінка робіт, які здійснюються на депозитному рахунку. У випадках, коли діяльність трейдера вдала і він уникає збитків, користуватися виключно розрахунком математичного очікування не рекомендується. У таких випадках не враховуються ризики, що знижує ефективність аналізу.

Проведені дослідження тактик трейдерів свідчать, що:

• найбільш ефективними виявляються тактики, що базуються на випадковому вході;
• Найменш ефективні – тактики, що базуються на структурованих входах.

У досягненні позитивних результатів не менш важливі:

• тактика управління капіталом;
• стратегії виходів

Використовуючи такий показник як математичне очікування, можна припустити яким буде прибуток або збиток при вкладенні 1 долара. Відомо, що цей показник, розрахований для всіх ігор, які практикуються у казино, на користь закладу. Саме це дає змогу заробляти гроші. У разі довгої серії ігор, ймовірність втрати грошей клієнтом істотно зростає.

Ігри професійних гравців обмежені невеликими проміжками часу, що збільшує ймовірність виграшу і знижує ризик програшу. Така сама закономірність спостерігається і під час виконання інвестиційних операцій.

Інвестор може заробити значну суму при позитивному очікуванні та вчиненні великої кількості угод за невеликий часовий проміжок.

Очікування може розглядатися як різниця між добутком відсотка прибутку (PW) на середній прибуток (AW) та ймовірність збитку (PL) на середній збиток (AL).

Як приклад, можна розглянути наступний: позиція – 12,5 тис. доларів, портфель – 100 тис. доларів, ризик на депозит – 1%. Прибутковість угод становить 40% випадків за середньої прибутку 20%. У разі збитку середні втрати становлять 5%. Розрахунок математичного очікування для угоди дає значення 625 доларів.

Математичне очікування – це середнє значення випадкової величини.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності:

приклад.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Рішення: Математичне очікування дорівнює сумі творів всіх можливих значень X з їхньої ймовірності:

М (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.

Для обчислення математичного очікування зручно розрахунки проводити Excel (особливо коли даних багато), пропонуємо скористатися готовим шаблоном ().

Приклад для самостійного рішення (можна застосувати калькулятор).
Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Математичне очікування має такі властивості.

Властивість 1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій: М(С)=С.

Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: М(СХ) = СМ(Х).

Властивість 3. Математичне очікування добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних очікувань співмножників: М (Х1Х2 ... Хп) = М (X1) М (Х2) *. ..*М (Xn)

Властивість 4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М(Хn).

Завдання 189. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X н Y: Z = X + 2Y, M (X) = 5, M (Y) = 3;

Рішення: Використовуючи властивості математичного очікування (математичне очікування суми дорівнює сумі математичних очікувань доданків; постійний множник можна винести за знак математичного очікування), отримаємо M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y) = 5 + 2 * 3 = 11.

190. Використовуючи властивості математичного очікування, довести, що: а) М(Х - Y) = M(X)-М(Y); б) математичне очікування відхилення X-M(Х) дорівнює нулю.

191. Дискретна випадкова величина X набуває трьох можливих значень: x1= 4 З ймовірністю р1 = 0,5; xЗ = 6 З ймовірністю P2 = 0,3 та x3 з ймовірністю р3. Знайти: x3 і р3, знаючи, що М(Х)=8.

192. Даний перелік можливих значень дискретної випадкової величини X: x1 = -1, х2 = 0, x3 = 1 також відомі математичні очікування цієї величини та її квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0 ,9. Знайти ймовірності p1, p2, p3, що відповідають можливим значенням xi

194. У партії з 10 деталей міститься три нестандартні. Навмання відібрано дві деталі. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X – числа нестандартних деталей серед двох відібраних.

196. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X числа таких кидань п'яти гральних кісток, у кожному з яких на двох кістках з'явиться по одному окуляру, якщо загальна кількість кидань дорівнює двадцяти.

Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні: