Точковий варіаційний ряд. Приклад вирішення типових завдань. Умови та обмеження застосування відношення шансів

Особливе місце у статистичному аналізі належить визначенню середнього рівня ознаки, що вивчається, або явища. Середній рівень ознаки вимірюють середніми величинами.

Середня величина характеризує загальний кількісний рівень ознаки, що вивчається, і є груповою властивістю статистичної сукупності. Вона нівелює, послаблює випадкові відхилення індивідуальних спостережень у той чи інший бік і висуває першому плані основне, типове властивість досліджуваного ознаки.

Середні величини широко використовуються:

1. Для оцінки стану здоров'я населення: характеристики фізичного розвитку (зростання, вага, коло грудної клітки та ін.), виявлення поширеності та тривалості різних захворювань, аналізу демографічних показників (природного руху населення, середньої тривалості майбутнього життя, відтворення населення, середньої чисельності населення та ін.).

2. Для вивчення діяльності лікувально-профілактичних установ, медичних кадрів та оцінки якості їх роботи, планування та визначення потреб населення у різних видах медичної допомоги (середня кількість звернень або відвідувань на одного мешканця на рік, середня тривалість перебування хворого у стаціонарі, середня тривалість обстеження хворого, середня забезпеченість лікарями, ліжками та ін.).

3. Для характеристики санітарно-епідеміологічного стану (середня запиленість повітря в цеху, середня площа на одну особу, середні норми споживання білків, жирів та вуглеводів тощо).

4. Для визначення медико-фізіологічних показників у нормі та патології, при обробці лабораторних даних, для встановлення достовірності результатів вибіркового дослідження у соціально-гігієнічних, клінічних, експериментальних дослідженнях.

Обчислення середніх величин виконується з урахуванням варіаційних рядів. Варіаційний ряд– це однорідна у якісному відношенні статистична сукупність, окремі одиниці якої характеризують кількісні відмінності досліджуваної ознаки чи явища.

Кількісна варіація може бути двох типів: перервна (дискретна) та безперервна.

Перервна (дискретна) ознака виражається тільки цілим числом і не може мати жодних проміжних значень (наприклад, кількість відвідувань, чисельність населення ділянки, кількість дітей у сім'ї, ступінь тяжкості хвороби в балах та ін.).

Безперервна ознака може набувати будь-яких значень у певних межах, у тому числі й дробових, і виражається лише приблизно (наприклад, вага – для дорослих можна обмежитися кілограмами, а для новонароджених – грамами; ріст, артеріальний тиск, час, витрачений на прийом хворого, та т. д.).

Цифрове значення кожної окремої ознаки або явища, що входить до варіаційного ряду, називається варіантом і позначається буквою V . У математичній літературі трапляються й інші позначення, наприклад x або y.

Варіаційний ряд, де кожен варіант вказано один раз, називається простим.Такі ряди використовують у більшості статистичних завдань у разі комп'ютерної обробки даних.

При збільшенні числа спостережень, як правило, зустрічаються варіанти, що повторюються. У цьому випадку створюється згрупований варіаційний ряд, де вказується число повторень (частота, що позначається буквою « р »).

Ранжований варіаційний рядскладається з варіантів, розташованих у порядку зростання або спадання. Як простий, і згрупований ряди можуть бути складені з ранжированием.

Інтервальний варіаційний рядскладають з метою спрощення наступних обчислень, що виконуються без використання комп'ютера, при дуже великій кількості одиниць спостереження (понад 1000).

Безперервний варіаційний рядвключає значення варіант, які можуть виражатися будь-якими значеннями.

Якщо у варіаційному ряді значення ознаки (варіанти) задані у вигляді окремих конкретних чисел, такий ряд називають дискретним.

Загальними характеристиками значень ознаки, що відображається у варіаційному ряду, є середні величини. Серед них найбільш застосовувані: середня арифметична величина М,мода Мота медіана Me.Кожна з цих характеристик є своєрідною. Вони не можуть підмінити один одного і лише в сукупності досить повно і в стиснутій формі є особливості варіаційного ряду.

Модою (Мо) називають значення найчастіше зустрічається варіанти.

Медіана (Me) - Це значення варіанти, що розділяє ранжований варіаційний ряд навпіл (з кожного боку медіани знаходиться половина варіант). В окремих випадках, коли є симетричний варіаційний ряд, мода і медіана рівні між собою і збігаються зі значенням середньої арифметичної.

Найбільш типовою характеристикою значень варіант є середня арифметичнавеличина ( М ). У математичній літературі вона позначається .

Середня арифметична величина (M, ) – це загальна кількісна характеристика певної ознаки досліджуваних явищ, що становлять якісно однорідну статистичну сукупність. Розрізняють середню арифметичну просту та зважену. Середня арифметична проста обчислюється для простого варіаційного ряду шляхом підсумовування всіх варіантів і поділом цієї суми на загальну кількість варіантів, що входять до цього варіаційного ряду. Обчислення проводяться за такою формулою:

де: М - Середня арифметична проста;

Σ V - сума варіант;

n- Число спостережень.

У згрупованому варіаційному ряду визначають зважену середню арифметичну. Формула її обчислення:

де: М - Середня арифметична зважена;

Σ Vp - сума творів – варіант на їх частоти;

n- Число спостережень.

При велику кількість спостережень у разі ручних обчислень може застосовуватися спосіб моментів.

Середня арифметична має такі властивості:

· Сума відхилень варіант від середньої ( Σ d ) дорівнює нулю (див. табл. 15);

· при множенні (розподілі) всіх варіант на той самий множник (ділитель) середня арифметична множиться (ділиться) на той самий множник (ділитель);

· Якщо додати (відняти) до всіх варіантів одне і те ж число, середня арифметична збільшується (зменшується) на це число.

Середні арифметичні величини, взяті власними силами, не враховуючи варіабельності рядів, у тому числі вони обчислені, можуть повною мірою відбивати властивості варіаційного ряду, особливо коли необхідно зіставлення коїться з іншими середніми. Близькі за значенням середні можуть бути отримані з рядів з різним ступенем розсіювання. Чим ближче один до одного окремі варіанти за своєю кількісною характеристикою, тим менше розсіювання (хитність, варіабельність)ряду, тим типовіша його середня.

Основними параметрами, які дозволяють оцінити варіабельність ознаки, є:

· Розмах;

· Амплітуда;

· Середнє квадратичне відхилення;

· Коефіцієнт варіації.

Приблизно про коливання ознаки можна судити по розмаху та амплітуді варіаційного ряду. Розмах вказує на максимальну (V max) та мінімальну (V min) варіанти у ряду. Амплітуда (A m) є різницею цих варіантів: A m = V max - V min .

Основним, загальноприйнятим заходом коливання варіаційного ряду є дисперсія (D ). Але найчастіше застосовується більш зручний параметр, обчислюваний з урахуванням дисперсії - середнє квадратичне відхилення ( σ ). Воно враховує величину відхилення ( d ) кожної варіанти варіаційного ряду від його середньої арифметичної ( d=V - M ).

Оскільки відхилення варіант від середньої можуть бути позитивними та негативними, то при підсумовуванні вони дають значення "0" (S d=0). Щоб уникнути цього, величини відхилення ( d) зводяться на другий ступінь і усереднюються. Таким чином, дисперсія варіаційного ряду є середнім квадратом відхилень варіант від середньої арифметичної та обчислюється за формулою:

Вона є найважливішою характеристикою варіабельності та застосовується для обчислення багатьох статистичних критеріїв.

Оскільки дисперсія виражається квадратом відхилень, її величина не може використовуватися в порівнянні з середньою арифметичною. Для цих цілей застосовується середнє квадратичне відхилення, що позначається знаком "Сігма" ( σ ). Воно характеризує середнє відхилення всіх варіант варіаційного ряду від середньої арифметичної величини в тих самих одиницях, що і сама середня величина, тому вони можуть використовуватися спільно.

Середнє квадратичне відхилення визначають за такою формулою:

Зазначена формула застосовується при числі спостережень ( n ) більше 30. При меншій кількості n значення середнього квадратичного відхилення матиме похибку, пов'язану з математичним зміщенням ( n - 1). У зв'язку з цим, більш точний результат може бути отриманий за допомогою обліку такого усунення у формулі розрахунку стандартного відхилення:

стандартне відхилення (s ) – це оцінка середньоквадратичного відхилення випадкової величини Хщодо її математичного очікування з урахуванням незміщеної оцінки її дисперсії.

При значеннях n > 30 середнє квадратичне відхилення ( σ ) та стандартне відхилення ( s ) будуть однаковими ( σ =s ). Тому у більшості практичних посібників ці критерії розглядаються як різнозначні.У Excel обчислення стандартного відхилення може бути виконано функцією =СТАНДОТКЛОН(діапазон). А для розрахунку середнього квадратичного відхилення потрібно створити відповідну формулу.

Середнє квадратичне або стандартне відхилення дозволяє визначити, наскільки значення ознаки можуть відрізнятись від середнього значення. Припустимо, є два міста з однаковою середньою денною температурою в літній період. Одне з цих міст розташоване на узбережжі, а інше на континенті. Відомо, що в містах, розташованих на узбережжі, різниця денних температур менша, ніж у міст, розташованих усередині континенту. Тому середнє квадратичне відхилення денних температур у прибережного міста буде меншим, ніж у другого міста. Насправді це означає, що середня температура повітря кожного конкретного дня у місті, розташованого на континенті, буде сильніше відрізнятися від середнього значення, ніж у місті на узбережжі. Крім того, стандартне відхилення дозволяє оцінити можливі відхилення температури від середньої з необхідним рівнем ймовірності.

Відповідно до теорії ймовірності, в явищах, що підкоряються нормальному закону розподілу, між значеннями середньої арифметичної, середнього квадратичного відхилення та варіантами існує строга залежність ( правило трьох сигм). Наприклад, 68,3% значень варіює ознаки знаходяться в межах М ± 1 σ , 95,5% - у межах М ± 2 σ та 99,7% - у межах М ± 3 σ .

Величина середнього квадратичного відхилення дозволяє будувати висновки про характер однорідності варіаційного низки і досліджуваної групи. Якщо величина середнього квадратичного відхилення невелика, це свідчить про досить високої однорідності досліджуваного явища. Середню арифметичну у разі слід визнати цілком характерною для даного варіаційного ряду. Проте надто мала величина сигми змушує думати про штучний підбір спостережень. При дуже великій сигмі середня арифметична меншою мірою характеризує варіаційний ряд, що говорить про значну варіабельність ознаки або явища, що вивчається, або про неоднорідність досліджуваної групи. Проте зіставлення величини середнього квадратичного відхилення можливе лише ознак однакової розмірності. Справді, якщо порівнювати різноманітність ваги новонароджених дітей та дорослих, ми завжди матимемо вищі значення сигми у дорослих.

Порівняння варіабельності ознак різної розмірності може бути виконано за допомогою коефіцієнта варіації. Він висловлює різноманітність у відсотках від середньої величини, що дозволяє порівняти різні ознаки. Коефіцієнт варіації у медичній літературі позначається знаком « З », а в математичній « v» та обчислюваного за формулою:

Значення коефіцієнта варіації менше 10% свідчить про мале розсіювання, від 10 до 20% – про середнє, більше 20% – про сильне розсіювання варіант навколо середньої арифметичної.

Середня арифметична величина, зазвичай, обчислюється з урахуванням даних вибіркової сукупності. При повторних дослідженнях під впливом випадкових явищ середня арифметична може змінюватись. Це пов'язано з тим, що досліджується, зазвичай, лише частина можливих одиниць спостереження, тобто вибіркова сукупність. Інформація про всі можливі одиниці, що представляють явище, що вивчається, може бути отримана при вивченні всієї генеральної сукупності, що не завжди можливо. У той самий час із метою узагальнення даних експерименту цікавий величина середньої у генеральній сукупності. Тому для формулювання загального висновку про явище, що вивчається, результати, отримані на основі вибіркової сукупності, повинні бути, перенесені на генеральну сукупність статистичними методами.

Щоб визначити ступінь збігу вибіркового дослідження та генеральної сукупності, необхідно оцінити величину помилки, що неминуче виникає при вибірковому спостереженні. Така помилка називається « Помилка репрезентативності» або «Середньою помилкою середньої арифметичної». Вона є різницею між середніми, отриманими при вибірковому статистичному спостереженні, і аналогічними величинами, які б отримані при суцільному дослідженні тієї самої об'єкта, тобто. щодо генеральної сукупності. Оскільки середня вибіркова є випадковою величиною, такий прогноз виконується з прийнятним для дослідника рівнем ймовірності. У медичних дослідженнях він становить щонайменше 95%.

Помилку репрезентативності не можна змішувати з помилками реєстрації або помилками уваги (описки, прорахунки, друкарські помилки та ін.), які повинні бути зведені до мінімуму адекватною методикою та інструментами, що застосовуються при проведенні експерименту.

Величина помилки репрезентативності залежить як від обсягу вибірки, і від варіабельності ознаки. Чим більша кількість спостережень, тим ближча вибірка до генеральної сукупності і тим менша помилка. Чим більш мінливий ознака, тим більше величина статистичної помилки.

На практиці для визначення помилки репрезентативності у варіаційних рядах користуються такою формулою:

де: m – помилка репрезентативності;

σ - Середнє квадратичне відхилення;

n- Число спостережень у вибірці.

З формули видно, що розмір середньої помилки прямо пропорційний середньому квадратичному відхилення, тобто варіабельності ознаки, що вивчається, і назад пропорційний кореню квадратному з числа спостережень.

За виконання статистичного аналізу з урахуванням обчислення відносних величин побудова варіаційного низки перестав бути обов'язковим. При цьому визначення середньої помилки для відносних показників може виконуватися за спрощеною формулою:

де: Р- Величина відносного показника, вираженого у відсотках, проміле і т.д.;

q- величина, зворотна Р і виражена як (1-Р), (100-Р), (1000-Р) і т. д., залежно від підстави, на яку розрахований показник;

n- Число спостережень у вибірковій сукупності.

Однак, зазначена формула обчислення помилки репрезентативності для відносних величин може застосовуватися тільки в тому випадку, коли значення показника менше за його підставу. У ряді випадків розрахунку інтенсивних показників така умова не дотримується, і показник може виражатися числом більше 100% або 1000%. У такій ситуації виконується побудова варіаційного ряду та обчислення помилки репрезентативності за формулою середніх величин на основі середнього квадратичного відхилення.

Прогнозування величини середньої арифметичної у генеральній сукупності виконується із зазначенням двох значень – мінімального та максимального. Ці крайні значення можливих відхилень, у яких може коливатися шукана середня величина генеральної сукупності, називаються « Довірчі кордони».

Постулатами теорії ймовірностей доведено, що при нормальному розподілі ознаки з ймовірністю 99,7%, крайні значення відхилень середньої будуть не більші за величину потрійної помилки репрезентативності ( М ± 3 m ); у 95,5% - не більше величини подвоєної середньої помилки середньої величини ( М ± 2 m ); у 68,3% – не більше величини однієї середньої помилки ( М ± 1 m ) (рис. 9).

P%

Мал. 9. Щільність можливостей нормального розподілу.

Зазначимо, що наведене вище твердження є справедливим лише для ознаки, яка підпорядковується нормальному закону розподілу Гауса.

Більшість експериментальних досліджень, зокрема й у галузі медицини, пов'язані з вимірами, результати яких можуть набувати практично будь-які значення заданому інтервалі, тому, зазвичай, описуються моделлю безперервних випадкових величин. У зв'язку з цим у більшості статистичних методів розглядаються безперервні розподіли. Одним із таких розподілів, які мають основну роль у математичній статистиці, є нормальний, або гаусовий, розподіл.

Це пояснюється цілою низкою причин.

1. Насамперед, багато експериментальних спостережень можна успішно описати з допомогою нормального розподілу. Слід відразу ж зазначити, що не існує розподілів емпіричних даних, які були б точно нормальними, оскільки нормально розподілена випадкова величина знаходиться в межах від до , чого ніколи не зустрічається на практиці. Проте нормальний розподіл часто добре підходить як наближення.

Чи проводяться виміри ваги, зростання та інших фізіологічних параметрів організму людини - скрізь на результати впливає дуже багато випадкових чинників (природні причини та помилки виміру). Причому, як правило, дія кожного з цих факторів є незначною. Досвід показує, що результати саме у таких випадках будуть розподілені приблизно нормально.

2. Багато розподілів, пов'язані з випадковою вибіркою, зі збільшенням обсягу останньої перетворюються на нормальне.

3. Нормальний розподіл добре підходить як наближений опис інших безперервних розподілів (наприклад, асиметричних).

4. Нормальний розподіл має низку сприятливих математичних властивостей, багато в чому забезпечили його широке застосування у статистиці.

У той самий час слід зазначити, що у медичних даних зустрічається багато експериментальних розподілів, опис яких моделлю нормального розподілу неможливо. Для цього у статистці розроблено методи, які прийнято називати «Непараметричними».

Вибір статистичного методу, який підходить для обробки даних конкретного експерименту, повинен проводитись залежно від належності отриманих даних до нормального закону розподілу. Перевірка гіпотези підпорядкування ознаки нормальному закону розподілу виконується з допомогою гістограми розподілу частот (графіка), і навіть низки статистичних критеріїв. Серед них:

Критерій асиметрії ( b );

Критерій перевірки на ексцес ( g );

Критерій Шапіро - Вілкса ( W ) .

Аналіз характеру розподілу даних (його називають перевіркою на нормальність розподілу) здійснюється за кожним параметром. Щоб впевнено судити про відповідність розподілу параметра нормальному закону, необхідно досить багато одиниць спостереження (щонайменше 30 значень).

Для нормального розподілу критерії асиметрії та ексцесу набувають значення 0. Якщо розподіл зміщено вправо b > 0 (позитивна асиметрія), при b < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g =0. При g > 0 крива розподілу гостріша, якщо g < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

Для перевірки на нормальність за критерієм Шапіро – Вілкса потрібно визначити значення цього критерію за статистичними таблицями за необхідного рівня значущості та залежно від кількості одиниць спостереження (ступенів свободи). Додаток 1. Гіпотеза про нормальність відкидається при малих значеннях цього критерію, як правило, при w <0,8.

Угруповання- Це розбиття сукупності на групи, однорідні за якоюсь ознакою.

Призначення сервісу. За допомогою онлайн-калькулятора Ви зможете:

• побудувати варіаційний ряд, побудувати гістограму та полігон;
• знайти показники варіації (середню, моду (зокрема і графічним способом), медіану, розмах варіації, квартили, децили, квартильний коефіцієнт диференціації, коефіцієнт варіації та інші показники);

Інструкція. Для групування ряду необхідно вибрати вид варіаційного ряду, що отримується (дискретний або інтервальний) і вказати кількість даних (кількість рядків). Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад угруповання статистичних даних).

Якщо угруповання вже здійснено та задані дискретний варіаційний рядабо інтервальний ряд, то необхідно скористатися онлайн-калькулятором Показники варіації. Перевірка гіпотези про вид розподілупроводиться за допомогою сервісу Вивчення форми розподілу.

Види статистичних угруповань

Варіаційний ряд. У разі спостережень дискретної випадкової величини те саме значення можна зустріти кілька разів. Такі значення x i випадкової величини записують із зазначенням n i числа разів його появи в n спостереженнях, і є частота даного значення.
У разі безперервної випадкової величини практично застосовують угруповання.

1. Типологічне угруповання- Це поділ досліджуваної якісно різнорідної сукупності на класи, соціально-економічні типи, однорідні групи одиниць. Для побудови цього угруповання використовуйте параметр Дискретний варіаційний ряд.
2. Структурним називається угруповання, в якій відбувається поділ однорідної сукупності на групи, що характеризують її структуру за якою-небудь ознакою, що варіює. Для побудови цього угруповання використовуйте параметр Інтервальний ряд.
3. Угруповання, що виявляє взаємозв'язки між досліджуваними явищами та їх ознаками, називається аналітичним угрупованням(Див. аналітичне угруповання ряду).

Приклад №1. За даними таблиці 2 побудуйте ряди розподілу по 40 комерційних банків РФ. За отриманими рядами розподілу визначте: прибуток у середньому однією комерційний банк, кредитні вкладення загалом однією комерційний банк, модальне і медіанне значення прибутку; квартилі, децили, розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Рішення:
В розділі «Вигляд статистичного ряду»обираємо Дискретний ряд. Натискаємо Вставити з Excel. Кількість груп: за формулою Стерджесса

Принципи побудови статистичних угруповань

Ряд спостережень, упорядкованих за зростанням, називається варіаційним рядом. Групувальною ознакоюназивається ознака, яким виробляється розбивка сукупності деякі групи. Його називають основою угруповання. В основі угруповання можуть бути покладені як кількісні, так і якісні ознаки.
Після визначення підстави угруповання слід вирішити питання кількості груп, куди треба розбити досліджувану сукупність.

У разі використання персональних комп'ютерів для обробки статистичних даних групування одиниць об'єкта здійснюється за допомогою стандартних процедур.
Одна з таких процедур базується на використанні формули Стерджесу для визначення оптимальної кількості груп:

k = 1+3,322*lg(N)

Де k – кількість груп, N – число одиниць сукупності.

Довжину часткових інтервалів обчислюють як h=(x max -x min)/k

Потім підраховують числа попадань спостережень у ці інтервали, які приймають за частоти n i . Нечисленні частоти, значення яких менше 5 (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В якості нових значень варіант беруть середини інтервалів x i = (c i-1 + c i) /2.

Приклад №3. В результаті 5% власно-випадкової вибірки отримано наступний розподіл виробів за вмістом вологи. Розрахуйте: 1) середній відсоток вологості; 2) показники, що характеризують варіацію вологості.
Рішення отримано за допомогою калькулятора: Приклад №1

Побудувати варіаційний ряд. Знайденим рядом побудувати полігон розподілу, гістограму, кумуляту. Визначити моду та медіану.
Завантажити рішення

приклад. За результатами вибіркового спостереження (вибірка А додаток):
а) складіть варіаційний ряд;
б) обчисліть відносні частоти та накопичені відносні частоти;
в) збудуйте полігон;
г) складіть емпіричну функцію розподілу;
буд) побудуйте графік емпіричної функції розподілу;
е) обчисліть числові характеристики: середнє арифметичне, дисперсію, середнє відхилення квадратичне. Рішення

На основі даних, наведених у Таблиці 4 (Додаток 1) та відповідних Вашому варіанту, виконати:

1. На основі структурного угруповання побудувати варіаційний частотний та кумулятивний ряди розподілу, використовуючи рівні закриті інтервали, прийнявши число груп рівним 6. Результати подати у вигляді таблиці та зобразити графічно.
2. Проаналізувати варіаційний ряд розподілу, обчисливши:
   • середнє арифметичне значення ознаки;
   • моду, медіану, перший квартиль, перший і дев'ятий дециль;
   • середнє квадратичне відхилення;
   • коефіцієнт варіації.
3. Зробити висновки.

Потрібно: ранжувати ряд, побудувати інтервальний ряд розподілу, обчислити середнє значення, коливання середнього значення, моду та медіану для ранжованого та інтервального рядів.

На основі вихідних даних побудувати дискретний варіаційний ряд; подати його у вигляді статистичної таблиці та статистичних графіків. 2). На основі вихідних даних побудувати інтервальний варіаційний ряд із рівними інтервалами. Число інтервалів вибрати самостійно та пояснити цей вибір. Подати отриманий варіаційний ряд у вигляді статистичної таблиці та статистичних графіків. Вказати види застосованих таблиць та графіків.

З метою визначення середньої тривалості обслуговування клієнтів у пенсійному фонді, кількість клієнтів якого є дуже великою, за схемою власне-випадкової безповторної вибірки проведено обстеження 100 клієнтів. Результати обстеження представлені у таблиці. Знайти:
а) межі, у яких із ймовірністю 0.9946 укладено середній час обслуговування всіх клієнтів пенсійного фонду;
б) ймовірність того, що частка всіх клієнтів фонду з тривалістю обслуговування менше 6 хвилин відрізняється від частки таких клієнтів у вибірці не більше ніж на 10% (за абсолютною величиною);
в) обсяг повторної вибірки, у якому з ймовірністю 0.9907 можна стверджувати, частка всіх клієнтів фонду із тривалістю обслуговування менше 6 хвилин відрізняється від частки таких клієнтів у вибірці лише на 10% (за абсолютною величиною).
2. За даними завдання 1, використовуючи X 2 критерій Пірсона, лише на рівні значимості α = 0,05 перевірити гіпотезу у тому, що випадкова величина Х – час обслуговування клієнтів – розподілено за нормальним законом. Побудувати на одному кресленні гістограму емпіричного розподілу та відповідну нормальну криву.
Завантажити рішення

Дано вибірку зі 100 елементів. Необхідно:

1. Побудувати ранжований варіаційний ряд;
2. Знайти максимальний та мінімальний члени ряду;
3. Знайти розмах варіації та кількість оптимальних проміжків для побудови інтервального ряду. Знайти довжину проміжку інтервального ряду;
4. Побудувати інтервальний ряд. Знайти частоти потрапляння елементів вибірки до складених проміжків. Знайти середні точки кожного проміжку;
5. Побудувати гістограму та полігон частот. Порівняти з нормальним розподілом (аналітично та графічно);
6. Побудувати графік емпіричної функції розподілу;
7. Розрахувати вибіркові числові характеристики: вибіркове середнє та центральний вибірковий момент;
8. Розрахувати наближені значення середнього квадратичного відхилення, асиметрії та ексцесу (користуючись пакетом аналізу MS Excel). Порівняти наближені розрахункові значення з точними (розраховані за формулами MS Excel);
9. Порівняти вибіркові графічні характеристики із відповідними теоретичними.

Завантажити рішення

Є такі вибіркові дані (вибірка 10%-ная, механічна) про випускати продукцію і суму прибутку, млн. крб. За вихідними даними:
Завдання 13.1.
13.1.1. Побудуйте статистичний ряд розподілу підприємств за сумою прибутку, утворивши п'ять груп із рівними інтервалами. Побудуйте графіки ряду розподілу.
13.1.2. Розрахуйте числові характеристики ряду розподілу підприємств за сумою прибутку: середню арифметичну, середнє відхилення, дисперсію, коефіцієнт варіації V. Зробіть висновки.
Завдання 13.2.
13.2.1. Визначте межі, в яких із ймовірністю 0.997 укладено суму прибутку одного підприємства в генеральній сукупності.
13.2.2. Використовуючи x2-критерій Пірсона , при рівні значимості α перевірити гіпотезу у тому, що випадкова величина X – сума прибутку – розподілено за нормальним законом.
Завдання 13.3.
13.3.1. Визначте коефіцієнти вибіркового рівняння регресії.
13.3.2. Встановіть наявність та характер кореляційного зв'язку між вартістю виробленої продукції (X) та сумою прибутку на одне підприємство (Y). Побудуйте діаграму розсіювання та лінію регресії.
13.3.3. Розрахуйте лінійний коефіцієнт кореляції. Використовуючи t-критерій Стьюдента, перевірте значення коефіцієнта кореляції. Зробіть висновок про тісноту зв'язку між факторами X та Y, використовуючи шкалу Чеддока.
Методичні рекомендації. Завдання 13.3 виконується за допомогою цього сервісу.
Завантажити рішення

Завдання. Наступні дані є витрати часу клієнтів на укладення договорів. Побудувати інтервальний варіаційний ряд представлених даних, гістограму, знайти незміщену оцінку математичного очікування, зміщену та незміщену оцінку дисперсії.

Приклад. За даними таблиці 2:
1) Побудуйте ряди розподілу по 40 комерційних банків РФ:
а) за величиною прибутку;
б) за величиною кредитних вкладень.
2) За отриманими рядами розподілу визначте:
а) прибуток у середньому однією комерційний банк;
Б) кредитні вкладення загалом однією комерційний банк;
В) модальне та медіанне значення прибутку; квартили, децилі;
Г) модальне та медіанне значення кредитних вкладень.
3) За отриманими у п. 1 рядах розподілу розрахуйте:
а) розмах варіації;
б) середнє лінійне відхилення;
в) середнє квадратичне відхилення;
г) коефіцієнт варіації.
Необхідні розрахунки оформіть у табличній формі. Результати проаналізуйте. Зробіть висновки.
Побудуйте графіки одержаних рядів розподілу. Графічно визначте моду та медіану.

Рішення:
Для побудови угруповання з рівними інтервалами скористаємося сервісом Угруповання статистичних даних.

Рисунок 1 – Введення параметрів

Опис параметрів
Кількість рядків: кількість вихідних даних. Якщо розмірність ряду невелика, вкажіть його кількість. Якщо вибірка досить об'ємна, натисніть кнопку Вставити з Excel .
Кількість груп: 0 – число груп визначатиметься за формулою Стерджесса.
Якщо вказано конкретну кількість груп, вкажіть її (наприклад, 5).
Вид ряду: Дискретний ряд
Рівень значущості: наприклад, 0.954 . Цей параметр визначається для визначення довірчого інтервалу середнього значення.
Вибірка: Наприклад, проведена 10%-на механічна вибірка. Вказуємо число 10 . Для даних вказуємо 100 .

В результаті освоєння дайного розділу студент повинен: знати

• показники варіації та їх взаємозв'язок;
• основні закони розподілу ознак;
• сутність критеріїв згоди; вміти
• розраховувати показники варіації та критерії згоди;
• визначати характеристики розподілу;
• оцінювати основні числові характеристики статистичних рядів розподілу;

володіти

• методами статистичного аналізу рядів розподілу;
• основами дисперсійного аналізу;
• прийомами перевірки статистичних рядів розподілу відповідність основним законам розподілу.

Показники варіації

При статистичному дослідженні ознак різних статистичних сукупностей великий інтерес представляє вивчення варіації ознаки окремих статистичних одиниць сукупності, і навіть характеру розподілу одиниць за цією ознакою. Варіація -це відмінності індивідуальних значень ознаки в одиниць сукупності, що вивчається. Дослідження варіації має велике практичного значення. За рівнем варіації можна будувати висновки про межі варіації ознаки, однорідності сукупності за цією ознакою, типовості середньої, взаємозв'язку чинників, визначальних варіацію. Показники варіації використовуються для характеристики та впорядкування статистичних сукупностей.

Результати зведення та угруповання матеріалів статистичного спостереження, оформлені у вигляді статистичних рядів розподілу, являють собою впорядкований розподіл одиниць сукупності, що вивчається, на групи за групувальною (варіюючою) ознакою. Якщо за основу угруповання взято якісну ознаку, то такий ряд розподілу називають атрибутивним(Розподіл за професією, за статтю, за кольором і т.д.). Якщо ряд розподілу побудований за кількісною ознакою, то такий ряд називають варіаційним(розподіл за зростанням, вагою, за розміром заробітної плати тощо). Побудувати варіаційний ряд - отже впорядкувати кількісний розподіл одиниць сукупності за значеннями ознаки, підрахувати число одиниць сукупності із цими значеннями (частоту), результати оформити до таблиці.

Замість частоти варіанта можливе застосування її ставлення до загального обсягу спостережень, що називається частотою (відносною частотою).

Виділяють два види варіаційного ряду: дискретний та інтервальний. Дискретний ряд- це такий варіаційний ряд, основою побудови якого покладено ознаки з перервним зміною (дискретні ознаки). До останніх можна віднести кількість працівників на підприємстві, тарифний розряд, кількість дітей у сім'ї тощо. Дискретний варіаційний ряд представляє таблицю, що складається із двох граф. У першій графі вказується конкретне значення ознаки, тоді як у другий - число одиниць сукупності з певним значенням ознаки. Якщо ознака має безперервну зміну (розмір доходу, стаж роботи, вартість основних фондів підприємства тощо, які у певних межах можуть приймати будь-які значення), то для цієї ознаки можлива побудова інтервального варіаційного ряду.Таблиця під час побудови інтервального варіаційного ряду також має дві графи. У першій вказується значення ознаки в інтервалі від - до (варіанти), у другій - число одиниць, що входять в інтервал (частота). Частота (частота повторення) – число повторень окремого варіанта значень ознаки. Інтервали можуть бути закриті та відкриті. Закриті інтервали обмежені по обидва боки, тобто. мають межу як нижню («від»), і верхню («до»). Відкриті інтервали мають якусь одну межу: або верхню, або нижню. Якщо варіанти розташовані за зростанням або спаданням, то ряди називаються ранжованими.

Для варіаційних рядів існує два типи варіантів частотних характеристик: накопичена частота та накопичена частота. Накопичена частота показує, у скількох спостереженнях величина ознаки прийняла значення менше заданого. Накопичена частота визначається шляхом підсумовування значень частоти ознаки цієї групи з усіма частотами попередніх груп. Накопичена частина характеризує питому вагу одиниць спостереження, які мають значення ознаки перевищують верхню межу дайної групи. Таким чином, накопичена частина показує питому вагу варіант у сукупності, що мають значення не більше даного. Частота, частота, абсолютна та відносна щільності, накопичені частота та частота є характеристиками величини варіанта.

Варіації ознаки статистичних одиниць сукупності, і навіть характер розподілу вивчаються з допомогою показників і показників варіаційного ряду, до яких ставляться середній рівень низки, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсія, коефіцієнти осциляції, варіації, асиметрії, ексцесу та інших.

Для характеристики центру розподілу використовуються середні величини. Середня являє собою узагальнюючу статистичну характеристику, в якій отримує кількісне вираження типовий рівень ознаки, яким володіють члени сукупності, що вивчається. Однак можливі випадки збігу середніх арифметичних при різному характері розподілу, тому як статистичні характеристики варіаційних рядів розраховуються так звані структурні середні - мода, медіана, а також квантили, які ділять ряд розподілу на рівні частини (квартилі, децилі, перцентілі тощо). ).

Модаце значення ознаки, що зустрічається у ряді розподілу частіше, ніж інші його значення. Для дискретних рядів – це варіанти, що мають найбільшу частоту. В інтервальних варіаційних рядах з метою визначення моди необхідно визначити насамперед інтервал, в якому вона знаходиться, так званий модальний інтервал. У варіаційному ряду з рівними інтервалами модальний інтервал визначається за найбільшою частотою, у рядах з нерівними інтервалами - але найбільшою густиною розподілу. Потім для визначення моди в рядах із рівними інтервалами застосовують формулу

де Мо – значення моди; х Мо - нижня межа модального інтервалу; h -ширина модального інтервалу; / Мо - частота модального інтервалу; / Mo j - частота домодального інтервалу; / Мо+1 - частота післямодального інтервалу, а для ряду з нерівними інтервалами в даній формулі розрахунку замість частот / Мо, / Мо, / Мо слід використовувати густини розподілу Розум 0 _| , Розум 0> Умо+"

Якщо є єдина мода, розподіл ймовірностей випадкової величини називається унімодальним; якщо є більш ніж одна мода, воно називається багатомодальним (полімодальним, мультимодальним), у разі двох мод – бімодальним. Як правило, багатомодальність вказує, що розподіл, що досліджується, не підпорядковується закону нормального розподілу. Для однорідних сукупностей, зазвичай, характерні одновершинні розподіли. Багатовершинність свідчить також про неоднорідність сукупності, що вивчається. Поява двох і більше вершин робить необхідним перегрупування даних з метою виділення однорідніших груп.

В інтервальному варіаційному ряді моду можна визначити графічно за допомогою гістограми. Для цього з верхніх точок найвищого стовпця гістограми до верхніх точок двох суміжних стовпців проводять дві лінії, що перетинаються. Потім із точки їх перетину опускають перпендикуляр на вісь абсцис. Значення ознаки на осі абсцис, що відповідає перпендикуляру, є модою. У багатьох випадках при характеристиці сукупності як узагальнений показник віддається перевагу моді, а не середній арифметичній.

Медіана -це центральне значення ознаки, ним має центральний член ранжованого ряду розподілу. У дискретних рядах, щоб знайти значення медіани, спочатку визначається її порядковий номер. Для цього при непарному числі одиниць до суми всіх частот додається одиниця, число поділяється на два. При парному числі одиниць у ряду буде дві медіані одиниці, тому в цьому випадку медіана визначається як середня із значень двох медіанних одиниць. Таким чином, медіаною в дискретному варіаційному ряду є значення, яке поділяє ряд на дві частини, що містять однакову кількість варіантів.

В інтервальних рядах після визначення порядкового номера медіани знаходиться медіальний інтервал за накопиченими частотами (частотами), а потім за допомогою формули розрахунку медіани визначається значення самої медіани:

де Me – значення медіани; х Ме -нижня межа медіанного інтервалу; h -ширина медіанного інтервалу; - Сума частот ряду розподілу; /Д - накопичена частота домедіанного інтервалу; / Ме – частота медіанного інтервалу.

Медіану можна знайти графічно за допомогою кумуляти. Для цього на шкалі накопичених частот (частин) кумуляти з точки, що відповідає порядковому номеру медіани, проводиться пряма, паралельна осі абсцис, до перетину з кумулятою. Далі з точки перетину зазначеної прямої з кумулятою опускається перпендикуляр на вісь абсцис. Значення ознаки на осі абсцис, що відповідає проведеній ординаті (перпендикуляру), є медіаною.

Медіана характеризується такими властивостями.

• 1. Вона залежить від тих значень ознаки, які розташовані з обох боків від неї.
• 2. Вона має властивість мінімальності, яка полягає в тому, що сума абсолютних відхилень значень ознаки від медіани є мінімальною величиною порівняно з відхиленням значень ознаки від будь-якої іншої величини.
• 3. При об'єднанні двох розподілів із відомими медіанами неможливо заздалегідь передбачити величину медіани нового розподілу.

Ці властивості медіани широко використовуються при проектуванні розташування пунктів масового обслуговування – шкіл, поліклінік, автозаправних станцій, водозабірних колонок тощо. Наприклад, якщо у певному кварталі міста передбачається побудувати поліклініку, то розташувати її доцільніше у такій точці кварталу, яка ділить навпіл не довжину кварталу, а кількість жителів.

Співвідношення моди, медіани та середньої арифметичної вказує на характер розподілу ознаки в сукупності, що дозволяє оцінити симетричність розподілу. Якщо x Me має місце правостороння асиметрія ряду. При нормальному розподілі х - Me - Мо.

К. Пірсон на основі вирівнювання різних типів кривих визначив, що для помірно асиметричних розподілів справедливі такі наближені співвідношення між середньою арифметичною, медіаною та модою:

де Me – значення медіани; Мо – значення моди; х арифм - значення середньої арифметичної.

Якщо виникає необхідність вивчити структуру варіаційного ряду докладніше, то обчислюють значення ознаки, аналогічні медіані. Такі значення ознаки ділять усі одиниці розподілу на рівні чисельності, їх називають квантилями чи градієнтами. Квантилі поділяються на квартілі, децилі, перцентілі тощо.

Квартілі ділять сукупність чотирма рівні частини. Першу квартиль обчислюють аналогічно медіані за формулою розрахунку першої квартілі, попередньо визначивши перший квартальний інтервал:

де Qi – значення першої квартілі; x Q^-нижня межа першого квартильного інтервалу; h- Ширина першого квартального інтервалу; /, - Частоти інтервального ряду;

Накопичена частота в інтервалі, що передує першому квартільї інтервалу; Jq (- Частота першого квартильного інтервалу.

Перша квартиль показує, що 25% одиниць сукупності менше за її значення, а 75% - більше. Друга квартиль дорівнює медіані, тобто. Q 2 = Me.

За аналогією розраховують третю квартиль, попередньо знайшовши третій квартальний інтервал:

де – нижня межа третього квартильного інтервалу; h- Ширина третього квартильного інтервалу; /, - Частоти інтервального ряду; /X" -накопичена частота в інтервалі, що передує

г

третьому квартільйому інтервалу; Jq – частота третього квартильного інтервалу.

Третя квартиль показує, що 75% одиниць сукупності менше за її значення, а 25% - більше.

Різниця між третьою і першою квартилями є міжквартильний інтервал:

де Aq – значення міжквартильного інтервалу; Q 3 -значення третьої квартири; Q - значення першої квартілі.

Децилі ділять сукупність на 10 рівних частин. Дециль - це значення ознаки у ряді розподілу, якому відповідають десяті частки чисельності сукупності. За аналогією з квартилями перший дециль показує, що 10% одиниць сукупності менше його значення, а 90% - більше, а дев'ятий дециль виявляє, що 90% одиниць сукупності менше його значення, а 10% - більше. Співвідношення дев'ятого та першого децилей, тобто. децильний коефіцієнт, широко застосовується щодо диференціації доходів для виміру співвідношення рівнів доходів 10% найбільш забезпеченого і 10% найменш забезпеченого населення. Перцентілі ділять ранжовану сукупність на 100 рівних частин. Розрахунок, значення та застосування перцентилів аналогічні децилям.

Квартілі, децилі та інші структурні характеристики можна визначити графічно за аналогією з медіаною за допомогою кумуляти.

Для вимірювання розміру варіації застосовуються такі показники: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсія. Розмір розмаху варіації цілком залежить від випадковості розподілу крайніх членів низки. Цей показник становить інтерес у випадках, коли важливо знати, яка амплітуда коливань значень ознаки:

де R -значення розмаху варіації; х тах – максимальне значення ознаки; х тт -мінімальне значення ознаки.

При розрахунку розмаху варіації значення переважної більшості членів низки не враховується, тоді як варіація пов'язані з кожним значенням члена ряду. Цього недоліку позбавлені показники, що є середніми, отриманими з відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини: середнє лінійне відхилення та середнє квадратичне відхилення. Між індивідуальними відхиленнями від середньої та коливання конкретної ознаки існує пряма залежність. Чим сильніша коливання, тим більші абсолютні розміри відхилень від середньої.

Середнє лінійне відхилення є середню арифметичну з абсолютних величин відхилень окремих варіантів від їх середньої величини.

Середнє лінійне відхилення для несгрупованих даних

де / пр – значення середнього лінійного відхилення; х, - значення ознаки; х - п -кількість одиниць сукупності.

Середнє лінійне відхилення згрупованого ряду

де / вз – значення середнього лінійного відхилення; х - значення ознаки; х -середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності; / - Число одиниць сукупності в окремій групі.

Знаки відхилень у разі ігноруються, інакше сума всіх відхилень дорівнюватиме нулю. Середнє лінійне відхилення в залежності від угруповання аналізованих даних розраховується за різними формулами: для згрупованих та негрунірованих даних. Середнє лінійне відхилення в силу його умовності окремо від інших показників варіації застосовується на практиці порівняно рідко (зокрема, для характеристики виконання договірних зобов'язань щодо рівномірності постачання; в аналізі обороту зовнішньої торгівлі, складу працюючих, ритмічності виробництва, якості продукції з урахуванням технологічних особливостей виробництва та т.п.).

Середнє квадратичне відхилення характеризує, наскільки в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки, що вивчається від середнього значення за сукупністю, і виражається в одиницях вимірювання ознаки, що вивчається. Середнє квадратичне відхилення, будучи однією з основних заходів варіації, широко використовується в оцінці меж варіації ознаки в однорідної сукупності, щодо значень ординат кривої нормального розподілу, соціальній та розрахунках, що з організацією вибіркового спостереження і встановленням точності вибіркових характеристик. Середнє квадратичне відхилення але необгрунтованим даним обчислюється за наступним алгоритмом: кожне відхилення від середньої зводиться в квадрат, всі квадрати підсумовуються, після чого сума квадратів ділиться на число членів ряду і з приватного витягується квадратний корінь:

де a Iip – значення середнього квадратичного відхилення; Xj -значення ознаки; х- Середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності; п -кількість одиниць сукупності.

Для згрупованих аналізованих даних середнє відхилення даних розраховується за зваженою формулою

де - значення середнього квадратичного відхилення; Xj -значення ознаки; х -середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності; f x -кількість одиниць сукупності в окремій групі.

Вираз під коренем в обох випадках зветься дисперсією. Таким чином, дисперсія обчислюється як середній квадрат відхилень значень ознаки їх середньої величини. Для незважених (простих) значень ознаки дисперсія визначається так:

Для зважених значень ознаки

Існує також спеціальний спрощений спосіб розрахунку дисперсії: у загальному вигляді

для невважених (простих) значень ознаки для зважених значень ознаки
з використанням методу відліку від умовного нуля

де а 2 – значення дисперсії; х, - значення ознаки; х -середнє значення ознаки, h -величина групового інтервалу, т 1 -ваги (А =

Дисперсія має самостійний вираз у статистиці і належить до найважливіших показників варіації. Вона вимірюється в одиницях, що відповідають квадрату одиниць вимірювання ознаки, що вивчається.

Дисперсія має такі властивості.

• 1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю.
• 2. Зменшення всіх значень ознаки на ту саму величину Л не змінює величини дисперсії. Це означає, що середній квадрат відхилень можна обчислити за заданими значеннями ознаки, а, по відхиленням їх від якогось постійного числа.
• 3. Зменшення вєх значень ознаки kраз зменшує дисперсію в k 2 рази, а середнє квадратичне відхилення - у kразів, тобто. всі значення ознаки можна розділити якесь постійне число (скажімо, на величину інтервалу ряду), обчислити середнє квадратичне відхилення, та був помножити їх у постійне число.
• 4. Якщо обчислити середній квадрат відхилень від будь-якої величини А утією чи іншою мірою відрізняється від середньої арифметичної, він завжди буде більше середнього квадрата відхилень, обчисленого від середньої арифметичної. Середній квадрат відхилень при цьому буде більшим на цілком певну величину - на квадрат різниці середньої і цієї умовно взятої величини.

Варіація альтернативної ознаки полягає в наявності або відсутності досліджуваної властивості одиниць сукупності. Кількісно варіація альтернативної ознаки виражається двома значеннями: наявність у одиниці досліджуваної властивості позначається одиницею (1), яке відсутність - нулем (0). Частку одиниць, які мають досліджувану властивість, позначають через Р, а частку одиниць, що не володіють цією властивістю, - через G.Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що володіють даною властивістю (Р), на частку одиниць, що даною властивістю не мають (G).Найбільша варіація сукупності досягається у випадках, коли частина сукупності, що становить 50% від усього обсягу сукупності, має ознаку, а інша частина сукупності, також рівна 50%, не має даної ознаки, при цьому дисперсія досягає максимального значення, що дорівнює 0,25, т .е. Р = 0,5, G = 1 - Р = 1 - 0,5 = 0,5 та про 2 = 0,5 0,5 = 0,25. Нижня межа цього показника дорівнює нулю, що відповідає ситуації, коли у сукупності відсутня варіація. Практичне застосування дисперсії альтернативної ознаки полягає у побудові довірчих інтервалів під час проведення вибіркового спостереження.

Чим менше значення дисперсії та середнього квадратичного відхилення, тим однорідніша сукупність і тим більш типовою буде середня величина. На практиці статистики часто виникає необхідність порівняння варіацій різних ознак. Наприклад, цікавим є порівняння варіацій віку робітників та їх кваліфікації, стажу роботи та розміру заробітної плати, собівартості та прибутку, стажу роботи та продуктивності праці тощо. Для таких зіставлень показники абсолютної коливань ознак непридатні: не можна порівнювати коливання стажу роботи, вираженого в роках, з варіацією заробітної плати, вираженої в рублях. Для здійснення таких порівнянь, а також порівнянь коливання однієї й тієї ж ознаки в кількох сукупностях з різними середніми арифметичними використовуються показники варіації - коефіцієнт осциляції, лінійний коефіцієнт варіації та коефіцієнт варіації, які показують міру коливань крайніх значень навколо середньої.

Коефіцієнт осциляції:

де V R -значення коефіцієнта осциляції; R- Значення розмаху варіації; х -

Лінійний коефіцієнт варіації.

де Vj -значення лінійного коефіцієнта варіації; I -значення середнього лінійного відхилення; х -середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності.

Коефіцієнт варіації:

де V a -значення коефіцієнта варіації; а – значення середнього квадратичного відхилення; х -середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності.

Коефіцієнт осциляції - це відсоткове відношення розмаху варіації до середнього значення ознаки, що досліджується, а лінійний коефіцієнт варіації - це відношення середнього лінійного відхилення до середнього значення досліджуваної ознаки, виражене у відсотках. Коефіцієнт варіації є відсоткове відношення середнього квадратичного відхилення до середнього значення досліджуваної ознаки. Як відносна величина, виражена у відсотках, коефіцієнт варіації застосовується для порівняння ступеня варіації різних ознак. З допомогою коефіцієнта варіації оцінюється однорідність статистичної сукупності. Якщо коефіцієнт варіації менше 33%, то досліджувана сукупність є однорідною, а варіація слабкою. Якщо коефіцієнт варіації більше 33%, то досліджувана сукупність є неоднорідною, варіація сильною, а середня величина – нетиповою і її не можна використовувати як узагальнюючий показник цієї сукупності. Крім того, коефіцієнти варіації використовуються для порівняння коливання однієї ознаки в різних сукупностях. Наприклад, з метою оцінки варіації стажу роботи працівників на двох підприємствах. Чим більше значення коефіцієнта, тим варіація ознаки суттєвіша.

На основі розрахованих квартилів є можливість розрахувати також відносний показник квартальної варіації за формулою

де Q 2 і

Міжквартильний розмах визначається за формулою

Квартильне відхилення застосовується замість розмаху варіації, щоб уникнути недоліків, пов'язаних із використанням крайніх значень:

Для нерівноінтервальпих варіаційних рядів розраховується також густина розподілу. Вона визначається як окреме від поділу відповідної частоти або частоти на величину інтервалу. У нерівноінтервальних рядах використовуються абсолютна та відносна щільності розподілу. Абсолютна щільність розподілу – це частота, що припадає на одиницю довжини інтервалу. Відносна густина розподілу - частота, що припадає на одиницю довжини інтервалу.

Все вищезазначене справедливо для розподілу, закон розподілу яких добре описується нормальним законом розподілу або близький до нього.

Варіаційниминазивають ряди розподілу, побудовані за кількісним ознакою. Значення кількісних ознак в окремих одиниць сукупності непостійні, більш-менш різняться між собою.

Варіація- коливання, змінність величини ознаки в одиниць сукупності. Окремі числові значення ознаки, що зустрічаються в сукупності, що вивчається, називають варіантамизначень. Недостатність середньої величини для повної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання (варіації) ознаки, що вивчається.

Наявність варіації обумовлено впливом значної частини чинників формування рівня ознаки. Ці чинники діють з різною силою й у різних напрямах. Для опису міри мінливості ознак використовують показники варіації.

Завдання статистичного вивчення варіації:

• 1) вивчення характеру та ступеня варіації ознак у окремих одиниць сукупності;
• 2) визначення ролі окремих чинників чи його груп у варіації тих чи інших ознак сукупності.

У статистиці застосовуються спеціальні методи дослідження варіації, що ґрунтуються на використанні системи показників, здопомогою яких вимірюється варіація.

Дослідження варіацій має важливе значення. Вимірювання варіацій необхідне під час проведення вибіркового спостереження, кореляційному та дисперсійному аналізі тощо. Єрмолаєв О.Ю. Математична статистика для психологів: Підручник [Текст]/О.Ю. Єрмолаєв. – М.: Вид-во Флінта Московського психолого-соціального інституту, 2012. – 335с.

За рівнем варіації можна будувати висновки про однорідності сукупності, про стійкість окремих значень ознак і типовості середньої. На основі розробляються показники тісноти зв'язку між ознаками, показники оцінки точності вибіркового спостереження.

Розрізняють варіацію у просторі та варіацію у часі.

Під варіацією у просторі розуміють коливання значень ознаки в одиниць сукупності, що представляють окремі території. Під варіацією у часі мають на увазі зміну значень ознаки у різні періоди часу.

Для вивчення варіації у лавах розподілу проводять розташування всіх варіантів значень ознаки у зростаючому чи спадному порядку. Цей процес називають ранжуванням низки.

Найпростішими ознаками варіації є мінімум та максимум- Найменше та найбільше значення ознаки в сукупності. Число повторень окремих варіантів значень ознак називають частотою повторення (fi). Частоти зручно замінювати частостями – wi. Частина - відносний показник частоти, що може бути виражений у частках одиниці чи відсотках і дозволяє зіставляти варіаційні ряди з різним числом спостережень. Виражається формулою:

де Хmax, Хmin - максимальне та мінімальне значення ознаки в сукупності; n – число груп.

Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники. До абсолютних показників варіації відносяться розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє відхилення квадратичне. До відносних показників коливання відносять коефіцієнт осциляції, відносне лінійне відхилення, коефіцієнт варіації.

Приклад знаходження варіаційного ряду

Завдання.За цією вибіркою:

• а) Знайти варіаційний ряд;
• б) побудувати функцію розподілу;

№ = 42. Елементи вибірки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Рішення.

• а) побудова ранжованого варіаційного ряду:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• б) побудова дискретного варіаційного ряду.

Обчислимо число груп у варіаційному ряді, користуючись формулою Стерджесса:

Приймемо число груп, рівним 7.

Знаючи число груп, розрахуємо величину інтервалу:

Для зручності побудови таблиці приймемо число груп рівним 8 інтервал складе 1.

Мал. 1 Обсяг продажу магазином товару за певний проміжок часу