Рівняння сторін прямокутника і його діагоналі. Прямокутник. Формули і властивості прямокутника. Всі кути прямокутника прямі

Визначення.

прямокутник - це чотирикутник у якого дві протилежні сторони рівні і всі чотири кути однакові.

Прямокутники відрізняються між собою тільки ставленням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довгу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, А коротку - шириною прямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Основні властивості прямокутника

Прямокутником можуть бути паралелограм, квадрат або ромб.

1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:

AB \u003d CD, BC \u003d AD

2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:

3. Прилеглі боку прямокутника завжди перпендикулярні:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Всі чотири кути прямокутника прямі:

∠ABC \u003d ∠BCD \u003d ∠CDA \u003d ∠DAB \u003d 90 °

5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB \u003d 360 °

6. Діагоналі прямокутника мають однакової довжини:

7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнюють сумі квадратів сторін:

2d 2 \u003d 2a 2 + 2b 2

8. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.

9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

		AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO \u003d	d
			2

10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника і також є центром описаного кола

11. Діагональ прямокутника є діаметром описаної окружності

12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, так як сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:

∠ABC \u003d ∠CDA \u003d 180 ° ∠BCD \u003d ∠DAB \u003d 180 °

13. У прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, так як суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можна тільки в окремий випадок прямокутника - квадрат).

сторони прямокутника

Визначення.

довжиною прямокутника називають довжину довшої пари його сторін. шириною прямокутника називають довжину коротшою пари його сторін.

Формули визначення довжин сторін прямокутника

1. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) через діагональ і іншу сторону:

a \u003d √ d 2 - b 2

b \u003d √ d 2 - a 2

2. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) через площу і іншу сторону:

b \u003d d cos	β
	2

Діагональ прямокутника

Визначення.

діагоналлю прямокутника називається будь-який відрізок з'єднує дві вершини протилежних кутів прямокутника.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):

d \u003d √ a 2 + b 2

2. Формула діагоналі прямокутника через площу і будь-яку сторону:

4. Формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:

d \u003d 2R

5. Формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:

d \u003d D про

6. Формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, і довжину сторони протилежної цьому кутку:

8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями і площею прямокутника

d \u003d √2S: sin β

периметр прямокутника

Визначення.

периметром прямокутника називається сума довжин всіх сторін прямокутника.

Формули визначення довжини периметру прямокутника

1. Формула периметру прямокутника через дві сторони прямокутника:

P \u003d 2a + 2b

P \u003d 2 (a + b)

2. Формула периметру прямокутника через площу і будь-яку сторону:

P \u003d	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Формула периметру прямокутника через діагональ і будь-яку сторону:

P \u003d 2 (a + √ d 2 - a 2) \u003d 2 (b + √ d 2 - b 2)

4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола і будь-яку сторону:

P \u003d 2 (a + √4R 2 - a 2) \u003d 2 (b + √4R 2 - b 2)

5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола і будь-яку сторону:

P \u003d 2 (a + √D o 2 - a 2) \u003d 2 (b + √D o 2 - b 2)

Площа прямокутника

Визначення.

площею прямокутника називається простір обмежений сторонами прямокутника, тобто в межах периметра прямокутника.

Формули визначення площі прямокутника

1. Формула площі прямокутника через дві сторони:

S \u003d a · b

2. Формула площі прямокутника через периметр і будь-яку сторону:

5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола і будь-яку сторону:

S \u003d a √4R 2 - a 2 \u003d B √4R 2 - b 2

6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола і будь-яку сторону:

S \u003d a √D o 2 - a 2 \u003d B √D o 2 - b 2

Окружність описана навколо прямокутника

Визначення.

Окружністю описаної навколо прямокутника називається коло проходить через чотири вершини прямокутника, центр якого лежить на перетині діагоналей прямокутника.

Формули визначення радіусу кола описаної навколо прямокутника

1. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через дві сторони:

прямокутник - це чотирикутник, у якого кожен кут є прямим.

Доведення

Властивість пояснюється дією ознаки 3 паралелограма (тобто \\ angle A \u003d \\ angle C, \\ angle B \u003d \\ angle D)

2. Протилежні сторони рівні.

AB \u003d CD, \\ enspace BC \u003d AD

3. Протилежні сторони паралельні.

AB \\ parallel CD, \\ enspace BC \\ parallel AD

4. Прилеглі боку перпендикулярні один одному.

AB \\ perp BC, \\ enspace BC \\ perp CD, \\ enspace CD \\ perp AD, \\ enspace AD \u200b\u200b\\ perp AB

5. Діагоналі прямокутника рівні.

AC \u003d BD

Доведення

згідно властивості 1 прямокутник є паралелограма, а значить AB \u003d CD.

Отже, \\ triangle ABD \u003d \\ triangle DCA за двома катетам (AB \u003d CD і AD - спільний).

Якщо обидві фігури - ABC і DCA тотожні, то і їх гіпотенузи BD і AC теж тотожні.

Значить, AC \u003d BD.

Тільки у прямокутника з усіх фігур (тільки з паралелограмів!) Рівні діагоналі.

Доведемо і це.

ABCD - паралелограм \\ Rightarrow AB \u003d CD, AC \u003d BD за умовою. \\ Rightarrow \\ triangle ABD \u003d \\ triangle DCA вже за трьома сторонами.

Виходить, що \\ angle A \u003d \\ angle D (як кути паралелограма). І \\ angle A \u003d \\ angle C, \\ angle B \u003d \\ angle D.

Виводимо, що \\ Angle A \u003d \\ angle B \u003d \\ angle C \u003d \\ angle D. Всі вони по 90 ^ (\\ circ). У сумі - 360 ^ (\\ circ).

Доведено!

6. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів двох прилеглих його сторін.

Це властивість справедливо в силу теореми Піфагора.

AC ^ 2 \u003d AD ^ 2 + CD ^ 2

7. Діагональ ділить прямокутник на два однакових прямокутних трикутника.

\\ Triangle ABC \u003d \\ triangle ACD, \\ enspace \\ triangle ABD \u003d \\ triangle BCD

8. Точка перетину діагоналей ділить їх навпіл.

AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO

9. Точка перетину діагоналей є центром прямокутника і описаного кола.

10. Сума всіх кутів дорівнює 360 градусів.

\\ Angle ABC + \\ angle BCD + \\ angle CDA + \\ angle DAB \u003d 360 ^ (\\ circ)

11. Всі кути прямокутника прямі.

\\ Angle ABC \u003d \\ angle BCD \u003d \\ angle CDA \u003d \\ angle DAB \u003d 90 ^ (\\ circ)

12. Діаметр описаного навколо прямокутника кола дорівнює діагоналі прямокутника.

13. Навколо прямокутника завжди можна описати коло.

Це властивість справедливо в силу того, що сума протилежних кутів прямокутника дорівнює 180 ^ (\\ circ)

\\ Angle ABC \u003d \\ angle CDA \u003d 180 ^ (\\ circ), \\ enspace \\ angle BCD \u003d \\ angle DAB \u003d 180 ^ (\\ circ)

14. Прямокутник може містити вписану окружність і тільки одну, якщо він має однакові довжини сторін (є квадратом).

У загальному вигляді формула лівих прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (21) :

У цій формулі x 0 \u003d A, x n \u003d b, Так як будь-який інтеграл в загальному вигляді виглядає: (див. Формулу 18 ).

h можна обчислити за формулою 19 .

y 0 , y 1 , ..., y n-1 x 0 , x 1 , ..., x n-1 (x i \u003d x i-1 + h).

Формула правих прямокутників.

У загальному вигляді формула правих прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (22) :

У цій формулі x 0 \u003d A, x n \u003d b(Див. Формулу для лівих прямокутників).

h можна обчислити за тією ж формулою, що і в формулі для лівих прямокутників.

y 1 , y 2 , ..., y n - це значення відповідної функції f (x) в точках x 1 , x 2 , ..., x n (x i \u003d x i-1 + h).

Формула середніх прямокутників.

У загальному вигляді формула середніх прямокутниківна відрізку виглядає наступним чином (23) :

де x i \u003d x i-1 + h.

У цій формулі, як і в попередніх, потрібно h множити суму значень функції f (x), але вже не просто підставляючи відповідні значення x 0 , x 1 , ..., x n-1 в функцію f (x), а додаючи до кожного з цих значень h / 2(X 0 + h / 2, x 1 + h / 2, ..., x n-1 + h / 2), а потім тільки підставляючи їх в задану функцію.

h можна обчислити за тією ж формулою, що і в формулі для лівих прямокутників. "[ 6 ]

На практиці ці методи реалізуються в такий спосіб:

Mathcad ;

Excel .

Mathcad ;

Excel .

Для того, щоб обчислити інтеграл за формулою середніх прямокутників в Excel, необхідно виконати наступні дії:

Продовжити роботу в тому ж документі, що і при обчисленні інтеграла за формулами лівих і правих прямокутників.

У осередок E6 ввести текст xi + h / 2, а в F6 - f (xi + h / 2).

Ввести в клітинку E7 формулу \u003d B7 + $ B $ 4/2, скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок E8: E16

Ввести в клітинку F7 формулу \u003d КОРІНЬ (E7 ^ 4-E7 ^ 3 + 8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок F8: F16

Ввести в клітинку F18 формулу \u003d СУММ (F7: F16).

Ввести в клітинку F19 формулу \u003d B4 * F18.

Ввести в клітинку F20 текст середніх.

В результаті отримуємо наступне:

Відповідь: значення заданого інтеграла одно 13,40797.

Виходячи з отриманих результатів, можна зробити висновок, що формула середніх прямокутників є найбільш точною, ніж формули правих і лівих прямокутників.

1. Метод Монте-Карло

"Основна ідея методу Монте-Карло полягає в багаторазовому повторенні випадкових випробувань. Характерною особливістю методу Монте-Карло є використання випадкових чисел (числових значень деякої випадкової величини). Такі числа можна отримувати за допомогою датчиків випадкових чисел. Наприклад, в мові програмування Turbo Pascal є стандартна функція random , Значеннями якої є випадкові чіс¬ла, рівномірно розподілені на відрізку . Сказане означає, що якщо розбити вказаний відрізок на деяке число рівних інтервалів і обчислити значення функції random велике число раз, то в кожен інтервал потрапить приблизно однакову кількість випадкових чисел. У мові програмування basin подібним датчиком є \u200b\u200bфункція rnd. У табличному процесорі MS Excel функція СЛЧИС повертає рівномірно розподілене випадкове число більше або рівне 0 і менше 1 (змінюється при перерахунку) "[ 7 ].

Для того щоб його вирахувати, необхідно скористатися формулою () :

Де (i \u003d 1, 2, ..., n) - випадкові числа, що лежать в інтервалі .

Для отримання таких чисел на основі послідовності випадкових чисел x i, рівномірно розподілених в інтервалі, достатньо виконати перетворення x i \u003d a + (b-a) x i.

На практиці даний спосіб реалізується в такий спосіб:

Для того, щоб обчислити інтеграл методом Монте-Карло в Excel, необхідно виконати наступні дії:

У осередок B1 ввести текст n \u003d.

У осередок B2 ввести текст a \u003d.

У осередок B3 ввести текст b \u003d.

У осередок C1 ввести число 10.

У осередок C2 ввести число 0.

У осередок C3 ввести число 3,2.

У осередок A5 ввести I, в В5 - xi, в C5 - f (xi).

Осередки A6: A15 заповнити числами 1,2,3, ..., 10 - так як n \u003d 10.

Ввести в клітинку B6 формулу \u003d СЛЧИС () * 3,2 (відбувається генерація чисел в діапазоні від 0 до 3,2), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок В7: В15.

Ввести в клітинку C6 формулу \u003d КОРІНЬ (B6 ^ 4-B6 ^ 3 + 8), скопіювати цю формулу методом протягування в діапазон комірок C7: C15.

Ввести в клітинку B16 текст «сума», в B17 - «(b-a) / n», в B18 - «I \u003d».

Вести в осередок C16 формулу \u003d СУММ (C6: C15).

Вести в осередок C17 формулу \u003d (C3-C2) / C1.

Вести в осередок C18 формулу \u003d C16 * C17.

В результаті отримуємо:

Відповідь: значення заданого інтеграла одно 13,12416.

Оцінка залишкового члена формули: , або .

призначення сервісу. Сервіс призначений для онлайн обчислення певного інтеграла за формулою прямокутників.

Інструкція. Введіть підінтегральної функції f (x), натисніть Вирішити. Отримане рішення зберігається в файлі Word. Також створюється шаблон рішення в Excel. Нижче представлена \u200b\u200bвідеоінструкція.

Правила введення функції

приклади
≡ x ^ 2 / (1 + x)
cos 2 (2x + π) ≡ (cos (2 * x + pi)) ^ 2
≡ x + (x-1) ^ (2/3) Це найпростіша квадратурная формула обчислення інтеграла, в якій використовується одне значення функції
(1)
де; h \u003d x 1 -x 0.
Формула (1) являє собою центральну формулу прямокутників. Обчислимо залишковий член. Розкладемо в ряд Тейлора функцію y \u003d f (x) в точці ε 0:
(2)
де ε 1; x∈. Проинтегрируем (2):
(3)

У другому доданку подинтегральная функція непарна, а межі інтегрування симетричні щодо точки ε 0. Тому другий інтеграл дорівнює нулю. Таким чином, з (3) випливає .
Т. к. Другий множник подинтегрального вираження не змінює знак, то по теоремі про повну загальну середню отримаємо , Де. Після інтегрування отримаємо . (4)
Порівнюючи із залишковим членом формули трапецій, ми бачимо, що похибка формули прямокутників в два рази менше, ніж похибка формули трапецій. Цей результат вірний, якщо у формулі прямокутників ми беремо значення функції в середній точці.
Отримаємо формулу прямокутників і залишковий член для інтервалу. Нехай задана сітка x i \u003d a + ih, i \u003d 0,1, ..., n, h \u003d x i + 1 -x i. Розглянемо сітку ε i \u003d ε 0 + ih, i \u003d 1,2, .., n, ε 0 \u003d a-h / 2. тоді . (5)
Остаточний член .
Геометрично формула прямокутників може бути представлена \u200b\u200bнаступним малюнком:

Якщо функція f (x) задана таблично, то використовують або лівосторонній формулу прямокутників (для рівномірної сітки)

або правостороннім формулу прямокутників

.
Похибка цих формул оцінюється через першу похідну. Для інтервалу похибка дорівнює

; .
Після інтегрування отримаємо.

Приклад. Обчислити інтеграл при n \u003d 5:
а) за формулою трапецій;
б) за формулою прямокутників;
в) за формулою Сімпсона;
г) за формулою Гаусса;
д) за формулою Чебишева.
Розрахувати похибку.
Рішення. Для 5-ти вузлів інтегрування крок сітки складе 0.125.
При вирішенні будемо користуватися таблицею значень функції. Тут f (x) \u003d 1 / x.

	x		f (x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a) формула трапецій:
I \u003d h / 2 ×;
I \u003d (0.125 / 2) × \u003d 0.696;
R \u003d [- (b-a) / 12] × h × y ¢¢ (x);
f ¢¢ (x) \u003d 2 / (x 3).
Максимальне значення другої похідної функції на інтервалі дорівнює 16: max (f ¢¢ (x)), xÎ \u003d 2 / (0.5 3) \u003d 16, тому
R \u003d [- (1-0.5) / 12] × 0.125 × 16 \u003d - 0.0833;
б) формула прямокутників:
для лівосторонньої формули I \u003d h × (y0 + y1 + y2 + y3);
I \u003d 0.125 × (2 + 1.6 + 1.33 + 1.14) \u003d 0.759;
R \u003d [(b-a) / 6] × h 2 × y ¢¢ (x);
R \u003d [(1-0.5) / 6] × 0.125 2 × 16 \u003d 0.02;
в) формула Сімпсона:
I \u003d (2h / 6) × (y0 + y4 + 4 × (y1 + y3) + 2 × y2);
I \u003d (2 × 0.125) / 6 × (2 + 1 + 4 × (1.6 + 1.14) + 2 × 1.33) \u003d 0.693;
R \u003d [- (b-a) / 180] × h 4 × y (4) (x);
f (4) (x) \u003d 24 / (x 5) \u003d 768;
R \u003d [- (1-0.5) / 180] × (0.125) 4 × 768 = - 5.2 e-4;
г) формула Гаусса:
I \u003d (b-a) / 2 ×;
x i \u003d (b + a) / 2 + t i (b-a) / 2
(A i, t i - табличні значення).

				t (n \u003d 5)		A (n \u003d 5)
x1	0.9765	y1	1.02	t 1	0.90617985	A 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t 2	0.53846931	A 2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t 3	0	A 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t 4	-0.53846931	A 4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t 5	-0.90617985	A 5	0.23692688

I \u003d (1-0.5) / 2 × (0.2416 + 0.5408 + 0.7566 + 0.7777 + 0.4525) \u003d 0.6923;
д) формула Чебишева:
I \u003d [(b-a) / n] × S f (x i), i \u003d 1..n,
x i \u003d (b + a) / 2 + [t i (b-a)] / 2 - необхідна приведення інтервалу інтегрування до інтервалу [-1; 1].
Для n \u003d 5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

Знайдемо значення x і значення функції в цих точках:

x1	0,958	f (x1)	1,043
x2	0,844	f (x2)	1,185
x3	0,75	f (x3)	1,333
x4	0,656	f (x4)	1,524
x5	0,542	f (x5)	1,845

Сума значень функції дорівнює 6,927.
I \u003d (1-0,5) / 5 × 6,927 \u003d 0,6927.

Одним з базових понять математики є периметр прямокутника. На цю тему існує безліч завдань, при вирішенні яких не обійтися без формули периметра і навичок його обчислення.

Основні поняття

Прямокутник - це чотирикутник, у якого всі кути прямі, а протилежні сторони попарно рівні і паралельні. У нашому житті багато фігур мають форму прямокутника, наприклад, поверхня стола, зошит та інше.

Розглянемо приклад: по межах земельної ділянки необхідно поставити паркан. Для того щоб дізнатися довжину кожної зі сторін необхідно їх виміряти.

Мал. 1. Земельна ділянка формою прямокутника.

Земельна ділянка має боку довжиною 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. Тому щоб загальну дізнатися довжину забору необхідно скласти довжини всіх сторін:

2 + 2 + 4 + 4 \u003d 2 · 2 + 4 · 2 \u003d (2 + 4) · 2 \u003d 12 м.

Саме ця величина в загальному випадку і називається периметром. Таким чином, для знаходження периметра необхідно скласти всі сторони фігури. Для позначення периметра використовують букву P.

Для обчислення периметра прямокутної фігури не потрібно розділяти її на прямокутники, потрібно виміряти лінійкою (рулеткою) лише всі сторони даної фігури і знайти їх суму.

Периметр прямокутника вимірюється в мм., См., М., Км і так далі. При необхідності, дані в завданні, переводять в однакову систему вимірювання.

Периметр прямокутника вимірюється в різних одиницях: мм., См., М., Км і так далі. При необхідності, дані в завданні, переводять в одну систему вимірювання.

Формула периметра фігури

Якщо прийняти до уваги той факт, що протилежні сторони прямокутника рівні, то можна вивести формула периметра прямокутника:

$ P \u003d (a + b) * 2 $, де а, b - сторони фігури.

Мал. 2. Прямокутник, з позначеними протилежними сторонами.

Існує й інший спосіб знайти периметр. Якщо в завдання дано лише одну сторону і площу фігури, можна використовувати висловити іншу сторону через площу. Тоді формула буде виглядати наступним чином:

$ P \u003d ((2S + 2a2) \\ over (a)) $, де S - площа прямокутника.

Мал. 3. Прямокутник з сторонами a, b.

завдання : Обчислити периметр прямокутника, якщо його сторони рівні 4 см. І 6 см.

Рішення:

Використовуємо формулу $ P \u003d (a + b) * 2 $

$ P \u003d (4 + 6) * 2 \u003d 20 см $

Таким чином, периметр фігури $ P \u003d 20 см $.

Так як периметр - це сума все сторін фігури, то напівпериметр це сума тільки однієї довжини і ширини. Щоб отримати периметр необхідно напівпериметр помножити на 2.

Площа і периметр - це два основних поняття вимірювання будь-якої фігури. Їх не можна плутати, хоч вони і пов'язані між собою. Якщо збільшити, або зменшити площу, то, відповідно, збільшиться або зменшиться його периметр.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, як знайти периметр прямокутника. А також ознайомилися з формулою його обчислення. З цією темою можна зіткнутися не тільки при вирішенні математичних завдань, але і в реальному житті.

Тест по темі

оцінка статті

Середня оцінка: 4.5. Всього отримано оцінок: 365.