Ірраціональні рівняння і нерівності 10. ірраціональні нерівності. Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

В даному уроці ми розглянемо рішення ірраціональних нерівностей, наведемо різні приклади.

Тема: Рівняння і нерівності. Системи рівнянь і нерівностей

урок:ірраціональні нерівності

При вирішенні ірраціональних нерівностей досить часто необхідно зводити обидві частини нерівності в деяку ступінь, це досить відповідальна операція. Нагадаємо особливості.

Обидві частини нерівності можна звести в квадрат, якщо обидві вони невід'ємні, тільки тоді ми отримуємо з вірного нерівності вірне нерівність.

Обидві частини нерівності можна звести куб в будь-якому випадку, якщо вихідне нерівність було вірним, то при зведенні в куб ми отримаємо вірне нерівність.

Розглянемо нерівність виду:

Подкоренное вираз має бути невід'ємним. Функція може приймати будь-які значення, необхідно розглянути два випадки.

У першому випадку обидві частини нерівності невід'ємні, маємо право звести в квадрат. У другому випадку права частина негативна, і ми не маємо права зводити в квадрат. В такому випадку необхідно дивитися на зміст нерівності: тут позитивний вираз ( квадратний корінь) Більше негативного вираження, значить, нерівність виконується завжди.

Отже, маємо таку схему вирішення:

У першій системі ми не захищаємо окремо подкоренное вираз, т. К. При виконанні другого нерівності системи подкоренное вираз автоматично має бути позитивно.

Приклад 1 - вирішити нерівність:

Згідно зі схемою, переходимо до еквівалентної сукупності двох систем нерівностей:

Проілюструємо:

Мал. 1 - ілюстрація рішення прикладу 1

Як ми бачимо, при позбавленні від ірраціональності, наприклад, при зведенні в квадрат, отримуємо сукупність систем. Іноді цю складну конструкцію можна спростити. В отриманій сукупності ми маємо право спростити першу систему і отримати еквівалентну сукупність:

В якості самостійного вправи необхідно довести еквівалентність даних сукупностей.

Розглянемо нерівність виду:

Аналогічно до попереднього нерівності, розглядаємо два випадки:

У першому випадку обидві частини нерівності невід'ємні, маємо право звести в квадрат. У другому випадку права частина негативна, і ми не маємо права зводити в квадрат. В такому випадку необхідно дивитися на зміст нерівності: тут позитивний вираз (квадратний корінь) менше негативного вираження, значить, нерівність суперечливо. Другу систему розглядати не потрібно.

Маємо еквівалентну систему:

Іноді ірраціональне нерівність можна вирішити графічним методом. Даний метод можна застосовувати, коли відповідні графіки можна досить легко побудувати і знайти їх точки перетину.

Приклад 2 - вирішити нерівності графічно:

а)

б)

Перше нерівність ми вже вирішували і знаємо відповідь.

Щоб вирішити нерівності графічно, потрібно побудувати графік функції, що стоїть в лівій частині, і графік функції, що стоїть в правій частині.

Мал. 2. Графіки функцій і

Для побудови графіка функції необхідно перетворити параболу в параболу (дзеркально відобразити щодо осі у), отриману криву змістити на 7 одиниць вправо. Графік підтверджує, що дана функція монотонно убуває на своїй області визначення.

Графік функції - це пряма, її легко побудувати. Точка перетину з віссю у - (0; -1).

Перша функція монотонно убуває, друга монотонно зростає. Якщо рівняння має корінь, то він єдиний, по графіку легко його вгадати:.

Коли значення аргументу менше кореня, парабола знаходиться вище прямої. Коли значення аргументу знаходиться в межах від трьох до семи, пряма проходить вище параболи.

Маємо відповідь:

Ефективним методом вирішення ірраціональних нерівностей є метод інтервалів.

Приклад 3 - вирішити нерівності методом інтервалів:

а)

б)

згідно з методом інтервалів, необхідно тимчасово відійти від нерівності. Для цього перенести в заданому нерівності все в ліву частину (отримати праворуч нуль) і ввести функцію, рівну лівій частині:

тепер необхідно вивчити отриману функцію.

ОДЗ:

Дане рівняння ми вже вирішували графічно, тому не зупиняємося на визначенні кореня.

Тепер необхідно виділити інтервали знакопостоянства і визначити знак функції на кожному інтервалі:

Мал. 3. Інтервали знакопостоянства наприклад 3

Нагадаємо, що для визначення знаків на інтервалі необхідно взяти пробну точку і підставити її в функцію, отриманий знак функція буде зберігати на всьому інтервалі.

Перевіримо значення в граничної точці:

Очевидним є зміст відповіді:

Розглянемо наступний тип нерівностей:

Спочатку запишемо ОДЗ:

Коріння існують, вони невід'ємні, обидві частини можемо звести в квадрат. отримуємо:

Отримали еквівалентну систему:

Отриману систему можна спростити. При виконанні другого і третього нерівностей перша істинно автоматично. маємо ::

Приклад 4 - вирішити нерівність:

Діємо за схемою - отримуємо еквівалентну систему.

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
• Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

• У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

додаток №3

Урок загального розбору теми з використанням опорних схем

«Ірраціональні нерівності»

Перед початком уроку учні розсідаються відповідно до трьома рівнями підготовки на певні ряди. Відзначимо, що навички з даної теми не належать до обов'язкових вимог до підготовки учнів, тому, у мене її вивчають тільки більш підготовлені учні (1 і 2 група).

Мета уроку. Розібрати способи вирішення ірраціональних нерівностей середнього і підвищеного рівня складності, розробити опорні схеми.

1 етап уроку - організаційний (1хв.)

Учитель повідомляє учням тему уроку, мета і пояснює призначення роздаткового матеріалу, який знаходиться на партах.

2 етап уроку (5хв.)

Усна робота на повторення за рішенням найпростіших завдань по темі «Ступінь з раціональним показником»

Учитель пропонує учням по черзі відповідати на питання, коментуючи свою відповідь з посиланням на відповідний теоретичний факт.

Повторення рекомендується проводити на кожному уроці в 10-11-х класах. Учням лунають листи із завданнями для усної роботи, складені на основі крайових діагностичних контрольних робіт такого змісту.

Ступінь з раціональним показником

Спростити: 1) 12m 4 / 3m 8

2) 6с 3/7 + 4 (з 1/7) 3

3) (32х 2) 1/5 · х 3/5

4) 2 4,6а · 2 -1,6а

5) 2х 0,2 · х -1,2

6) 4х 3/5 · х 1/10

7) (25х 4) 0,5

8) 2х 4/5 · 3х 1/5

9) (3х 2/5) 2 + 2х 4/5

10) 3х 1/2 · х 3/2

Обчислити: 11) 4 3,2m · 4 -1,2m, при m \u003d 1/4

12) 6 -5,6а · 6 3,6А, при а \u003d 1/2

13) 5 · 27 2/3 - 16 1/4

14) 3 4,4с · 3 -6,4с, при с \u003d 1/2

15) 3х 2/5 · х 3/5, при х \u003d 2

3 етап уроку - вивчення нової теми (20хв.), Лекція

Учитель пропонує 3 групі учнів приступити до роботи над повторенням з картками - консультантами по темі «Найпростіші тригонометричні рівняння»(Тому що досліджуваний матеріал підвищеного рівня складності і до обов'язкового не відноситься). Учні 3 групи - це, як правила учні зі слабкою математичної підготовкою, педагогічно запущені школярі. Після виконання завдання відбувається обмін картками всередині групи. Більш підготовлені учні приступають до розбору нової теми.

Перед розбором способів рішень ірраціональних нерівностей учням необхідно нагадати основні теоретичні факти, на основі яких будуть будуватися опорні схеми для рівносильних переходів. Залежно від рівня підготовки учнів це можуть бути або усні відповіді на запитання вчителя, або спільна робота вчителя й учнів, але в будь-якому випадку на уроці має прозвучати наступне.

Визначення 1. Нерівності, що мають один і той же безліч рішень, називають рівносильними.

При вирішенні нерівностей зазвичай таку нерівність перетворюється в йому рівносильне.

Наприклад, нерівність(Х - 3) / (х 2 + 1) рівносильні, тому що мають один і той же безліч рішень:х. нерівності 2х / (х - 1)\u003e 1 і 2х\u003e х - 1 НЕ рівносильні, тому що рішеннями першого є рішення х 1, а рішеннями другого - числа х\u003e -1.

Визначення 2. Область визначення нерівності - це безліч таких значень х, при яких мають сенс обидві частини нерівності.

Мотивація. Нерівності самі по собі становлять інтерес для вивчення, тому що саме з їх допомогою на символічній мові записуються найважливіші завдання пізнання реальної дійсності. Часто нерівність служить важливим допоміжним засобом, що дозволяє довести або спростувати існування будь-яких об'єктів, оцінити їх кількість провести класифікацію. Тому, з нерівностями доводиться стикатися не менш часто, ніж з рівняннями.

Визначення. Нерівність, що містять змінну під знаком кореня, називається ірраціональним.

Приклад 1. √ (5 - х)

Яка область визначення нерівності?

За якої умови при зведенні в квадрат обох частин вийде рівносильне нерівність?

5 - х ≥ 0

√ (5 - х) 5 - х -11

Приклад 2. √10 + х - х 2 ≥ 2 10 + х - х 2 ≥ 0 10 + х - х 2 ≥ 4

10 + х - х 2 ≥ 4

тому кожне рішення другого нерівності системи є рішенням першого нерівності.

Приклад 3. вирішити нерівності

А) √3х - 4

Б) √2х 2 + 5х - 3 ≤ 0 2х 2 + 5х - 3 \u003d 0

Розберемо три типові приклади, з яких буде видно, як при вирішенні нерівностей робити рівносильні переходи, коли напрошується перетворення рівносильним не є.

Приклад 1. √1 - 4х

Хотілося б, звичайно, звести обидві частини в квадрат, щоб отримати квадратне нерівність. При цьому ми можемо одержати не рівносильне нерівність. Якщо розглядати тільки ті х для яких обидві здебільшого не негативні (ліва неотрицательно свідомо), то зведення в квадрат буде все таки можливим. Але що ж робити з тими х, для яких права частина негативна? А нічого не робити, оскільки жодне з цих х рішенням нерівності не буде: адже для будь-якого рішення нерівності права частина більше лівої, що є невід'ємним числом, і, отже, сама не негативна. Отже, наслідком нашого нерівності буде така система

1 - 4-х 2

Х + 11 ≥ 0.

Проте, ця система не повинна бути рівноцінною вихідного нерівності. Областю визначення отриманої системи є вся числова пряма, в той час як вихідне нерівність визначено лише для тих х, для яких 1 - 4х ≥ 0. Значить якщо ми хочемо, щоб наша система була рівносильна нерівності треба приписати це умова:

1 - 4-х 2

Х + 11 ≥ 0

1 - 4-х ≥ 0

Відповідь: (- 6; ¼]

Пропонується сильному учневі провести міркування в загальному вигляді, вийде ось, що

√f (х) f (х) 2

G (х) ≥ 0

F (х) ≥ 0.

Якби в вихідному нерівності стояв знак ≤ замість 2.

Приклад 2. √х\u003e х - 2

Тут знову можна звести в квадрат для тих х, для яких виконана умова х - 2 ≥ 0. Однак тепер уже не можна відкинути ті х, для яких права частина негативна: адже в цьому випадку права частина буде менше свідомо не негативною лівої, так що все такі х будуть рішеннями нерівностей. Втім, не всі, а ті які входять в область визначення нерівності, тобто для яких х ≥ 0.Які випадки слід розглянути?

1 випадок: якщо х - 2 ≥ 0, то з нашого нерівності слід система

х\u003e (х - 2) 2

Х - 2 ≥ 0

2 випадок: якщо х - 2

х ≥ 0

Х - 2

При розборі випадків виникає складене умова під назвою «сукупність». Отримаємо рівносильну нерівності сукупність двох систем

х\u003e (х - 2) 2

Х - 2 ≥ 0

Х ≥ 0

Х - 2

Сильному учню пропонується провести міркування в загальному, вигляді, то вийде ось, що:

√f (х)\u003e g (х) f (х)\u003e (g (х))2

G (х) ≥ 0

F (х) ≥ 0

G (х)

Якби в вихідному нерівності стояв знак ≥ замість\u003e, то в якості першого нерівності цієї системи треба було взяти f (х) ≥ (g (х))2 .

Приклад 3. √х 2 - 1\u003e √х + 5.

питання:

Які значення приймають вирази стоять в лівій і правій частині?

Чи можна звести в квадрат?

Яка область визначення нерівностей?

Отримаємо х 2 - 1\u003e х + 5

Х + 5 ≥ 0

Х 2 - 1 ≥ 0

Яке умова зайве?

Таким чином, отримаємо, що таку нерівність рівносильно системі

Х 2 - 1\u003e х + 5

Х + 5 ≥ 0

Сильному учню пропонується провести міркування в загальному вигляді, то вийде ось, що:

√f (х)\u003e √g (х) f (х)\u003e g (х)

G (х) ≥ 0.

Подумайте, що зміниться, якщо замість\u003e в вихідному нерівності буде стояти знак ≥, ≤ або<.>

На дошці вивішуються 3 схеми рішення ірраціональних нерівності, ще раз обговорюється принцип їх побудови.

4 етап - закріплення знань (5хв.)

Учням 2 групи пропонується вказати, якою системою або їх сукупності рівносильно нерівність № 167 (Алгебра і початки аналізу 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алімов)

Двом найбільш підготовленим учням з цієї групи пропонується вирішити на дошці нерівності: № 1. √х2 - 1 >1

№ 2. √25 - х 2

Учні 1 групи отримують аналогічне завдання, але більш високого рівня складності № 170 (Алгебра і початки аналізу 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алімов)

одному найбільш підготовленим учню з цієї групи пропонується вирішити на дошці нерівність: √4х - х2

При цьому всім учням дозволяється користуватися конспектом.

У цей час учитель працює з учнями 3 групи: відповідає на їхні запитання при необхідності допомагає; і контролює вирішення завдань на дошці.

По закінченню часу кожній групі видається для перевірки лист відповідей (можна показати відповіді на екрані, використовуючи мультимедійну систему).

5 етап уроку - обговорення рішень задач, представлених на дошці (7хв.)

Учні, які виконували завдання у дошки, коментують свої рішення, а інші вносять при необхідності корективи і виконують записи в зошитах.

6 етап уроку - підведення підсумків уроку, коментарі по домашньому завданню (2хв.)

3 група обмін картками всередині групи.

2 група № 168 (3, 4)

1 група № 169 (5), № 170 (6)

Будь-яке нерівність, до складу якого входить функція, що стоїть під коренем, називається ірраціональним. Існує два типи таких нерівностей:

У першому випадку корінь менше функції g (x), у другому - більше. Якщо g (x) - константа, Нерівність різко спрощується. Зверніть увагу: зовні ці нерівності дуже схожі, але схеми рішення у них принципово різняться.

Сьогодні навчимося вирішувати ірраціональні нерівності першого типу - вони самі прості і зрозумілі. Знак нерівності може бути суворим або нестрогим. Для них вірно наступне твердження:

Теорема. Будь-яке ірраціональне нерівність виду

Рівносильно системі нерівностей:

Неслабо? Давайте розглянемо, звідки береться така система:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - тут все зрозуміло. Це вихідне нерівність, зведена в квадрат;
2. f (x) ≥ 0 - це ОДЗ кореня. Нагадаю: арифметичний квадратний корінь існує тільки з неотрицательного числа;
3. g (x) ≥ 0 - це область значень кореня. Зводячи нерівність в квадрат, ми спалюємо мінуси. В результаті можуть виникнути зайві корені. Нерівність g (x) ≥ 0 відсікає їх.

Багато учнів «зациклюються» на першому нерівності системи: f (x) ≤ g 2 (x) - і геть-чисто забувають два інших. Результат передбачуваний: неправильне рішення, втрачені бали.

Оскільки ірраціональні нерівності - досить складна тема, розберемо відразу 4 приклади. Від елементарних до дійсно складних. Всі завдання взяті з вступних іспитів МГУ ім. М. В. Ломоносова.

Приклади розв'язання задач

Завдання. Вирішіть нерівність:

Перед нами класичне ірраціональне нерівність: F (x) \u003d 2x + 3; g (x) \u003d 2 - константа. маємо:

З трьох нерівностей до кінця рішення залишилося тільки два. Тому що нерівність 2 ≥ 0 виконується завжди. Перетнемо залишилися нерівності:

Отже, x ∈ [-1,5; 0,5]. Всі точки зафарбовані, оскільки нерівності несуворі.

Завдання. Вирішіть нерівність:

Застосовуємо теорему:

Вирішуємо перша нерівність. Для цього розкриємо квадрат різниці. маємо:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Тепер вирішимо друга нерівність. там теж квадратний тричлен:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(X - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (-∞; 1] ∪∪∪∪)