Математична статистика і її методи. Математична статистика для фахівців різних областей. Варіаційний ряд для вибірки має вигляд

Методи математичної статистики

1. Введення

Математичною статистикою називається наука, що займається розробкою методів отримання, опису і обробки дослідних даних з метою вивчення закономірностей випадкових масових явищ.

У математичній статистиці можна виділити два напрямки: описову статистику і індуктивну статистику (статистичний висновок). Описова статистика займається накопиченням, систематизацією та поданням досвідчених даних в зручній формі. Індуктивна статистика на основі цих даних дозволяє зробити певні висновки щодо об'єктів, про які зібрані дані, або оцінки їх параметрів.

Типовими напрямками математичної статистики є:

1) теорія вибірок;

2) теорія оцінок;

3) перевірка статистичних гіпотез;

4) регресійний аналіз;

5) дисперсійний аналіз.

В основі математичної статистики лежить ряд вихідних понять без яких неможливе вивчення сучасних методів обробки дослідних даних. В ряд перших з них можна поставити поняття генеральної сукупності і вибірки.

При масовому промисловому виробництві часто потрібно без перевірки кожного виробу, що випускається встановити, чи відповідає якість продукції стандартам. Так як кількість продукції, що випускається дуже велике або перевірка продукції пов'язана з приведенням її у непридатність, то перевіряється невелика кількість виробів. На основі цієї перевірки потрібно дати висновок про всю серії виробів. Звичайно не можна стверджувати, що всі транзистори з партії в 1 млн. Штук придатні або непридатні, перевіривши один з них. З іншого боку, оскільки процес відбору зразків для випробувань і самі випробування можуть виявитися тривалими за часом і привести до великих витрат, то обсяг перевірки виробів повинен бути таким, щоб він зміг дати достовірне уявлення про всю партії виробів, будучи мінімальних розмірів. З цією метою введемо ряд понять.

Вся сукупність досліджуваних об'єктів або експериментальних даних називається генеральною сукупністю. Будемо позначати через N число об'єктів або кількість даних, що складають генеральну сукупність. Величину N називають обсягом генеральної сукупності. Якщо N \u003e\u003e 1, тобто N дуже велике, то зазвичай вважають N \u003d ¥.

Випадкової вибірки або просто вибіркою називають частину генеральної сукупності, навмання відібрану з неї. Слово "навмання" означає, що ймовірність вибору будь-якого об'єкта з генеральної сукупності однакова. Це важливе припущення, проте, часто важко це перевірити на практиці.

Об'ємом вибірки називають число об'єктів або кількість даних, що становлять вибірку, і позначають n . Надалі будемо вважати, що елементам вибірки можна приписати відповідно числові значення х 1, х 2, ... х n. Наприклад, в процесі контролю якості вироблених біполярних транзисторів це можуть бути вимірювання їх коефіцієнта посилення по постійному струму.

2. Числові характеристики вибірки

2.1 Вибіркове середнє

Для конкретної вибірки обсягу n її вибіркове середнє

визначається співвідношенням

де х i - значення елементів вибірки. Звичайно потрібно описати статистичні властивості довільних випадкових вибірок, а не однієї з них. Це означає, що розглядається математична модель, яка передбачає досить велику кількість вибірок обсягу n. В цьому випадку елементи вибірки розглядаються як випадкові величини Х i, що приймають значення х i з щільністю ймовірностей f (x), що є щільністю ймовірностей генеральної сукупності. Тоді вибіркове середнє також є випадковою величиною

рівній

Як і раніше будемо позначати випадкові величини прописними буквами, а значення випадкових величин - малими.

Середнє значення генеральної сукупності, з якої виробляється вибірка, будемо називати генеральним середнім і позначати m x. Можна очікувати, що якщо обсяг вибірки значний, то вибіркове середнє не буде помітно відрізнятися від генерального середнього. Оскільки вибіркове середнє є випадковою величиною, для неї можна знайти математичне очікування:

Таким чином, математичне очікування вибіркового середнього одно генеральному середньому. У цьому випадку говорять, що вибіркове середнє є несмещенной оцінкою генерального середнього. Надалі ми повернемося до цього терміну. Так як вибіркове середнє є випадковою величиною, флуктуірует навколо генерального середнього, то бажано оцінити цю флуктуації за допомогою дисперсії вибіркового середнього. Розглянемо вибірку, обсяг якої n значно менше обсягу генеральної сукупності N (n<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

Випадкові величини Х i і X j (i¹j) можна вважати незалежними, отже,

Підставами отриманий результат в формулу для дисперсії:

де s 2 - дисперсія генеральної сукупності.

З цієї формули випливає, що зі збільшенням обсягу вибірки флуктуації середнього вибіркового близько середнього генерального зменшуються як s 2 / n. Проілюструємо сказане прикладом. Нехай є випадковий сигнал з математичним очікуванням і дисперсією відповідно рівними m x \u003d 10, s 2 \u003d 9.

Відлік сигналу беруться в рівновіддалені моменти часу t 1, t 2, ...,

X (t)
X 1

t 1 t 2. . . t n t

Так як відліки є випадковими величинами, то будемо їх позначати X (t 1), X (t 2),. . . , X (t n).

Визначимо кількість відліків, щоб середньоквадратичне відхилення оцінки математичного очікування сигналу не перевищило 1% його математичного очікування. Оскільки m x \u003d 10, то потрібно, щоб

З іншого боку тому чи Звідси отримуємо, що n ³ 900 відліків.

2.2 вибіркова дисперсія

За вибірковими даними важливо знати не тільки вибіркове середнє, а й розкид вибіркових значень близько вибіркового середнього. Якщо вибіркове середнє є оцінкою генерального середнього, то вибіркова дисперсія повинна бути оцінкою генеральної дисперсії. вибіркова дисперсія

для вибірки, що складається з випадкових величин визначається наступним чином

Використовуючи цю виставу вибіркової дисперсії, знайдемо її математичне очікування

(Е.П. Врублевський, О.Е. Лихачов, Л.Г. Врублевська)

Застосовуючи в дослідженні ті чи інші методи, в кінцевому підсумку експериментатор отримує більшу або меншу сукупність різних числових показників, покликаних характеризувати досліджуване явище. Але без систематизації та належної обробки отриманих результатів, без глибокого і всебічного аналізу фактів не вдається витягти закладену в них інформацію, відкрити закономірності, зробити обґрунтовані висновки. Наведені в тексті найелементарніші і цілком доступні для кожного студента прийоми математичної обробки результатів носять демонстраційний характер. Це означає, що приклади ілюструють застосування того чи іншого математико-статистичного методу, а не дають його розгорнуту інтерпретацію.

Середні величини і показники варіації.Прежде ніж говорити про більш важливих речах, необхідно усвідомити такі статистичні поняття, як генеральна і вибіркова сукупності. Група чисел, що об'єднуються якою-небудь ознакою, називається сукупністю . Спостереження, проведені над якимись об'єктами, можуть охоплювати всіх членів досліджуваної сукупності без винятку або обмежуватися обстеженням лише певної її частини. У першому випадку спостереження буде називатися суцільним, або повним, у другому - частковим, або вибірковим. Суцільне обстеження проводиться дуже рідко, так як в силу ряду причин воно практично або нездійсненно, або недоцільно. Так, неможливо, наприклад, обстежити всіх майстрів спорту з легкої атлетики. Тому в переважній більшості випадків замість суцільного спостереження вивчення піддають якусь частину обстежуваної сукупності, по якій і судять про її стан в цілому.

Сукупність, з якої відбирається частина її членів для спільного вивчення, називається генеральною, а відібрана тим чи іншим способом частина даної сукупності отримала назву виборочнойсовокупності або просто вибіркою. Слід уточнити, що поняття генеральної сукупності є відносним. В одному випадку це все спортсмени, а в іншому - міста, вузу. Так, наприклад, генеральною сукупністю можуть бути всі студенти вузу, а вибіркою - студенти спеціалізації футболу. Число об'єктів в будь-який сукупності називається об'ємом (обсяг генеральної сукупності позначається N, а обсяг вибірки n).

Передбачається, що вибірка з належною достовірністю представляє генеральну сукупність тільки в тому випадку, якщо її елементи обрані з генеральної нетенденціозно. Для цього існує кілька шляхів: відбір вибірки відповідно до таблиці випадкових чисел, поділ генеральної сукупності на ряд непересічних груп, коли з кожної вибирається певна кількість об'єктів, і ін.

Що стосується обсягу вибірки, то відповідно до основних положень математичної статистики вибірки тим більш представницьким (репрезентативна), ніж вона повніше. Дослідник, прагнучи до рентабельності своєї роботи, зацікавлений в мінімальному обсязі вибірки, і в такій ситуації кількість об'єктів, що відбираються в вибірку, є результатом компромісного рішення. Щоб знати, наскільки вибірка досить достовірно представляє генеральну сукупність, необхідно визначити ряд показників (параметрів).

Обчислення середньої арифметичної величини.Середня арифметична величина вибірки характеризує середній рівень значень досліджуваної випадкової величини в спостерігалися випадках і обчислюється шляхом ділення суми окремих величин досліджуваної ознаки на загальне число спостережень:

, (1)

де х i - варіант ряду;

п-обсяг сукупності.

Сумою Σпрінято позначати підсумовування тих даних, які стоять праворуч від нього. Нижні і верхні показники Σ вказують, з якого числа слід почати складання і якими показниками його закінчити. Так, позначає, що необхідно скласти всі х, мають порядкові номери від 1 до п. Знак показує підсумовування всіх х від першого до останнього показника.

Таким чином, обчислення за формулою (1) припускають наступний порядок дій:

1. Підсумовують всі отримані х i, т. Е.,

2. Знайдену суму - ділять на обсяг сукупності п.

Для зручності і наочності роботи з показниками необхідно скласти таблицю, так як складання підлягають x i , Перебирались від першого до останнього числа.

Наприклад, середня арифметична визначається за формулою:

Результати вимірювань наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Результати тестування спортсменів

З даними, отриманими в результаті експерименту, властива мінливість, яка може бути викликана випадковою помилкою: похибкою вимірювального приладу, неоднорідністю зразків і т.д. Після проведення великої кількості однорідних даних експериментатору необхідно їх обробити для вилучення якомога точнішої інформації про розглянутої величиною. Для обробки великих масивів даних вимірювань, спостережень і т.п., які можуть бути отримані при проведенні експерименту, зручно застосовувати методи математичної статистики.

Математична статистика нерозривно пов'язана з теорією ймовірностей, але між цими науками є істотна відмінність. Теорія ймовірностей використовує вже відомі розподілу випадкових величин, на основі яких розраховуються ймовірності подій, математичне очікування т.д. Завдання математичної статистики - отримати якомога більш достовірну інформацію про розподіл випадкової величини на основі експериментальних даних.

типові напрямку математичної статистики:

• теорія вибірок;
• теорія оцінок;
• перевірка статистичних гіпотез;
• регресійний аналіз;
• дисперсійний аналіз.

Методи математичної статистики

Методи оцінки і перевірки гіпотез грунтуються на імовірнісних і гіпервипадкових моделях походження даних.

Математична статистика оцінює параметри і функції від них, які представляють важливі характеристики розподілів (медіану, математичне очікування, стандартне відхилення, квантилі і ін.), Щільності та функції розподілу та ін. Використовуються точкові і інтервальні оцінки.

Сучасна математична статистика містить великий розділ - статистичний послідовний аналіз, В якому допускається формування масиву спостережень за одним масиву.

Математична статистика також містить загальну теорію перевірки гіпотез і велика кількість методів для перевірки конкретних гіпотез (Наприклад, про симетрії розподілу, про значення параметрів і характеристик, про згоду емпіричної функції розподілу із заданою функцією розподілу, гіпотеза перевірки однорідності (збіг характеристик або функцій розподілу в двох вибірках) і ін.).

проведенням вибіркових обстежень, Пов'язаних з побудовою адекватних методів оцінки і перевірки гіпотез, з властивостями різних схем організації вибірок, займається розділ математичної статистики, що має велике значення. Методи математичної статистики безпосередньо використовує в такому значенні.

вибірка

визначення 1

вибіркою називаються дані, які отримані при проведенні експерименту.

Наприклад, результати дальності польоту кулі при пострілі одного і того ж або групи однотипних знарядь.

Емпірична функція розподілу

зауваження 1

функція розподілу дає можливість висловити все найважливіші характеристики випадкової величини.

У математичної стаітістіке існує поняття теоретичної (Заздалегідь не відомої) і емпіричної функції розподілу.

Емпірична функція визначається за даними досвіду (емпіричні дані), тобто за вибіркою.

Гістограма

Гістограми використовуються для наочного, але досить наближеного, уявлення про невідомому розподілі.

Гістограма являє собою графічне зображення розподілу даних.

Для отримання якісної гістограми дотримуються наступних правил:

• Кількість елементів вибірки має бути істотно менше обсягу вибірки.
• Інтервали розбиття повинні містити достатню кількість елементів вибірки.

Якщо вибірка дуже велика найчастіше інтервал елементів вибірки розбивають на однакові частини.

Вибіркове середнє і вибіркова дисперсія

За допомогою даних понять можна отримати оцінку необхідних числових характеристик невідомого розподілу, не вдаючись до побудови функції розподілу, гістограми тощо

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ ЇХ РОЗПОДІЛУ.

випадкової називають таку величину, яка приймає значення в залежності від збігу випадкових обставин. розрізняють дискретні і випадкові безперервні величини.

дискретноїназивають величину, якщо вона приймає рахункове безліч значень. ( приклад:число пацієнтів на прийомі у лікаря, число букв на сторінці, число молекул в заданому обсязі).

безперервноїназивають величину, яка може приймати значення всередині деякого інтервалу. ( приклад: температура повітря, маса тіла, зріст людини і т.д.)

законом розподілу випадкової величини називається сукупність можливих значень цієї величини і, які відповідають цим значенням, ймовірностей (або частот зустрічальності).

П р и м і р:

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
p	р 1	р 2	р 3	р 4	...	p n

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
m	m 1	m 2	m 3	m 4	...	m n

ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН.

У багатьох випадках поряд з розподілом випадкової величини або замість нього інформацію про ці величини можуть дати числові параметри, що отримали назву числових характеристик випадкової величини . Найбільш вживані з них:

1 .Математичне очікування - (Середнє значення) випадкової величини є сума добутків всіх можливих її значень на ймовірності цих значень:

2 .дисперсія випадкової величини:

3 .Середнє квадратичне відхилення :

Правило "ТРЬОХ Сигма" - якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом, то відхилення цієї величини від середнього значення за абсолютною величиною не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення

ЗАОН Гаусса - НОРМАЛЬНИЙ ЗАКОН РОЗПОДІЛУ

Часто зустрічаються величини, розподілені по нормальному закону (Закон Гаусса). Головна особливість : Він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу.

Випадкова величина розподілена за нормальним законом, якщо її щільність ймовірності має вид:

M (X)- математичне очікування випадкової величини;

s- середнє квадратичне відхилення.

щільність ймовірності (Функція розподілу) показує, як змінюється ймовірність, віднесена до інтервалу dx випадкової величини, в залежності від значення самої величини:

Основні поняття математичної СТАТИСТИКИ

Математична статистика - розділ прикладної математики, що безпосередньо примикає до теорії ймовірностей. Основна відмінність математичної статистики від теорії ймовірностей полягає в тому, що в математичній статистиці розглядаються не дії над законами розподілу і числовими характеристиками випадкових величин, а наближені методи відшукання цих законів і числових характеристик за результатами експериментів.

основними поняттями математичної статистики є:

1. Генеральна сукупність;

2. вибірка;

3. варіаційний ряд;

4. мода;

5. медіана;

6. процентиль,

7. полігон частот,

8. гістограма.

Генеральна сукупність- велика статистична сукупність, з якої відбирається частина об'єктів для дослідження

(приклад: все населення області, студенти вищих навчальних закладів даного міста і т.д.)

Вибірка (вибіркова сукупність) - безліч об'єктів, відібраних з генеральної сукупності.

варіаційний ряд- статистичний розподіл, що складається з варіант (значень випадкової величини) і відповідних їм частот.

приклад:

X, кг

m

x - значення випадкової величини (маса дівчаток у віці 10 років);

m- частота народження.

Мода - значення випадкової величини, якому відповідає найбільша частота народження. (В наведеному вище прикладі моді відповідає значення 24 кг, воно зустрічається частіше за інших: m \u003d 20).

медіана - значення випадкової величини, яке ділить розподіл навпіл: половина значень розташована правіше медіани, половина (максимум) - лівіше.

приклад:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

У прикладі ми спостерігаємо 40 значень випадкової величини. Всі значення розташовані в порядку зростання з урахуванням частоти їх зустрічальності. Видно, що праворуч від виділеного значення 7 розташовані 20 (половина) з 40 значень. Стало бути, 7 - це медіана.

Для характеристики розкиду знайдемо значення, не вище яких виявилося 25 і 75% результатів вимірювання. Ці величини називаються 25-м і 75-м процентилями . Якщо медіана ділить розподіл навпіл, то 25-й і 75-й процентилі відсікають від нього по четвертинки. (Саму медіану, до речі, можна вважати 50-м процентиль.) Як видно з прикладу, 25-й і 75-й процентилі рівні відповідно 3 і 8.

використовують дискретне (Точкове) статистичний розподіл і безперервне (Інтервальний) статистичний розподіл.

Для наочності статистичні розподілу зображують графічно у вигляді полігону частот або - гістограми .

полігон частот- ламана лінія, відрізки якої з'єднують точки з координатами ( x 1, m 1), (x 2, m 2), ..., або для полігону відносних частот - з координатами ( x 1, р * 1), (x 2, р * 2), ... (Рис.1).

m m i / n f (x)

рис.1 Рис.2

Гістограма частот- сукупність суміжних прямокутників, побудованих на одній прямій лінії (Рис.2), підстави прямокутників однакові і рівні dx , А висоти дорівнюють відношенню частоти до dx , або р * до dx (Щільність ймовірності).

приклад:

х, кг	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
m

полігон частот

Ставлення відносної частоти до ширини інтервалу носить назву щільності ймовірності f (x) \u003d m i / n dx \u003d p * i / dx

Приклад побудови гістограми .

Скористаємося даними попереднього прикладу.

1. Розрахунок кількості класових інтервалів

де n - число спостережень. У нашому випадку n = 100 . отже:

2. Розрахунок ширини інтервалу d х :

,

3. Складання інтервального ряду:

d х	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
m
f (x)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

Гістограма

Методи математичної статистики застосовуються, як правило, на всіх етапах аналізу дослідницьких матеріалів для вибору стратегії вирішення завдань по конкретним вибірковими даними, оцінювання отриманих результатів. Для обробки матеріалу використовувалися методи математичної статистики. Математична обробка матеріалів дозволяє з усією чіткістю виділити і оцінити кількісні параметри об'єктивної інформації, проаналізувати і представити їх в різних співвідношеннях і залежностях. Вони дозволяють визначити міру варіювання величин в зібраних матеріалах, що містять кількісну інформацію про деякій множині випадків, частина з яких підтверджує ймовірні зв'язки, а частина не виявляє їх, обчислити вірогідність кількісних відмінностей між виділеними сукупностями випадків, отримати інші математичні характеристики, необхідні для вірного тлумачення фактів . Достовірність відмінностей отриманих в ході дослідження визначалася по t-критерієм Стьюдента.

Розраховувалися наступні величини.

1. Середнє арифметичне значення вибірки.

Характеризує середнє значення даної сукупності. Позначимо результати вимірювань. тоді:

де У сума всіх значень, коли поточний індекс i змінюється від 1 до n.

2. Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення), що характеризує розсіювання, розкиданість розглянутої сукупності щодо середнього арифметичного значення.

\u003d (X max - x min) / k

де - середньоквадратичне відхилення

хmaх - максимальне значення таблиці;

хmin - мінімальне значення таблиці;

k - коефіцієнт

3. Стандартна помилка середньої арифметичної або помилка репрезентативності (m). Стандартна помилка середньої арифметичної характеризує ступінь відхилення вибіркової середньої арифметичної від середньої арифметичної генеральної сукупності.

Стандартна помилка середньої арифметичної обчислюється за формулою:

де у - стандартне відхилення результатів вимірювань,

n - обсяг вибірки. Чим менше m тим вище стабільність, стійкість результатів.

4. Критерій Стьюдента.

(В чисельнику - різниця середніх значень двох груп, в знаменнику - квадратний корінь з суми квадратів стандартних помилок цих середніх).

При обробці полеченной результатів дослідження використовували комп'ютерну програму з пакетом Excel.

організація дослідження

Дослідження проводилося нами за загальноприйнятими правилами, і здійснювалося в 3 етапи.

На першому етапі було зібрано і проаналізовано отриманий матеріал з даної проблеми дослідження. Формувався предмет наукового дослідження. Проведений аналіз літератури на даному етапі дозволив конкретизувати мету і завдання дослідження. Проведено первинне тестування техніки бігу на 30 м.<... class="gads_sm">

На третьому етапі було систематизовано отриманий в результаті наукового дослідження матеріал, узагальнена вся наявна інформація з проблеми дослідження.

Експериментальне дослідження проводилося на базі ДУО «Ляховічскій середня школа», в цілому вибірка склала 20 учнів 6 класів (11-12 років).

Глава 3. Аналіз результатів дослідження

В результаті педагогічного експерименту нами були виявлено вихідний рівень техніки бігу на 30 м учнів в контрольній та експериментальній групах (Додатки 1-2). Статистична обробка отриманих результатів дозволила отримати наступні дані (таблиця 6).

Таблиця 6. Вихідний рівень якості бігу

Як видно з таблиці 6 середня кількість балів у спортсменів контрольної та експериментальної групи статистично не відрізняються, в експериментальній групі середній бал склав 3,6 бала, а в контрольній 3,7 бала. T-критерій в обох групах tемп \u003d 0,3; Р? 0,05, при tкріт \u003d 2,1; Результати вихідного тестування показали, що показники не залежать від навченості і носять випадковий характер. За початковим тестування показники якості бігу у контрольної групи трохи перевищували показники експериментальної групи. Але не було виявлено статистично достовірних відмінностей в групах, що є доказом ідентичності учнів контрольної та експериментальної груп по техніці бігу 30м.

За час експерименту в обох групах покращилися показники, що характеризують ефективність техніки бігу. Однак це поліпшення в різних групах учасників експерименту носило різний характер. В результаті навчання виявлено закономірний невеликий приріст показників в контрольній групі (3,8 бала). Як видно з Додатка 2 в експериментальній групі був виявлений великий приріст показників. Учні займалися за запропонованою нами програмою, що достовірно покращило показники.

Таблиця 7. Зміни якості бігу у піддослідних експериментальної групи

В ході експерименту ми встановили, що підвищені навантаження в експериментальній групі дали значні поліпшення розвитку швидкості, ніж у контрольній групі.

У підлітковому віці доцільно розвивати швидкість шляхом переважного використання засобів фізичного виховання, спрямованих на підвищення частоти рухів. У віці 12-15 років підвищуються швидкісні здібності, в результаті застосування головним чином швидкісно-силових і силових вправ які використані нами в процесі проведення уроків фізичної культури та позакласних занять спортивній секції баскетболу та легкої атлетики.

При проведенні занять в експериментальній групі велася строга етапність ускладнення і рухового досвіду. Своєчасно велася робота над помилками. Як показав аналіз фактичних даних, експериментальна методика навчання справила значний зміна на якість виконання техніки бігу (tемп \u003d 2,4). Аналіз отриманих результатів в експериментальній групі і порівняння їх з даними, отриманими в контрольній групі при використанні загальноприйнятої методики навчання, дають підставу стверджувати, що запропонована нами методика підвищить ефективність навчання.

Таким чином, на етапі вдосконалення методики бігу 30м в школі ми виявили динаміку зміни показників тестування в експериментальній і контрольній групі. Після проведеного експерименту якість виконання прийому підвищилася в експериментальній групі до 4,9 балів (t \u003d 3,3; Р? 0,05). До кінця експерименту якість володіння технікою бігу в експериментальній групі виявилося вище, ніж у контрольній групі.