Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм – функції унікально прості з погляду похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (похідна однакова у всіх точках, оскільки це лінійна функція, пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

І тому скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут приватне двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі добуток двох функцій:

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для прикладу, .

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягуємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

І теорему про похідну складну функцію, формулювання якої така:

Нехай 1) функція $u=\varphi (x)$ має у певній точці $x_0$ похідну $u_(x)"=\varphi"(x_0)$; 2) функція $y=f(u)$ має у відповідній точці $u_0=\varphi (x_0)$ похідну $y_(u)"=f"(u)$. Тоді складна функція $y=f\left(\varphi (x) \right)$ у згаданій точці також матиме похідну, рівну добутку похідних функцій $f(u)$ і $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

або, у більш короткому записі: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

У прикладах цього розділу всі функції мають вигляд $y=f(x)$ (тобто розглядаємо лише функції однієї змінної $x$). Відповідно, у всіх прикладах похідна $y"$ береться за змінною $x$. Щоб підкреслити те, що похідна береться за змінною $x$, часто замість $y"$ пишуть $y"_x$.

У прикладах №1, №2 та №3 викладено докладний процес знаходження похідної складних функцій. Приклад №4 призначений більш повного розуміння таблиці похідних і з ним має сенс ознайомитися.

Бажано після вивчення матеріалу у прикладах №1-3 перейти до самостійного рішення прикладів №5, №6 та №7. Приклади №5, №6 та №7 містять коротке рішення, щоб читач міг перевірити правильність свого результату.

Приклад №1

Знайти похідну функції $y=e^(\cos x)$.

Нам потрібно знайти похідну складної функції $y"$. Оскільки $y=e^(\cos x)$, то $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Щоб знайти похідну $ \left(e^(\cos x)\right)"$ використовуємо формулу №6 з таблиці похідних . Щоб використати формулу №6, потрібно врахувати, що в нашому випадку $u=\cos x$. Подальше рішення полягає у банальній підстановці у формулу №6 виразу $\cos x$ замість $u$:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Тепер потрібно знайти значення виразу $(\cos x)"$. Знову звертаємося до таблиці похідних, вибираючи з неї формулу №10. Підставляючи $u=x$ у формулу №10, маємо: $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Тепер продовжимо рівність (1.1), доповнивши його знайденим результатом:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Оскільки $x"=1$, то продовжимо рівність (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Отже, з рівності (1.3) маємо: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Природно, що пояснення та проміжні рівності зазвичай пропускають, записуючи перебування похідної в один рядок, - як у рівності ( 1.3) Отже, похідна складної функції знайдена, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Приклад №2

Знайти похідну функції $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Нам необхідно обчислити похідну $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Спочатку відзначимо, що константу (тобто число 9) можна винести за знак похідної:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Тепер звернемося до виразу $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Щоб вибрати потрібну формулу з таблиці похідних було легше, я представлю вираз, що розглядається в такому вигляді: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Тепер видно, що потрібно використовувати формулу №2, тобто. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. У цю формулу підставимо $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ і $\alpha=12$:

Доповнюючи рівність (2.1) отриманим результатом, маємо:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

У цій ситуації часто допускається помилка, коли вирішувач на першому кроці вибирає формулу $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ замість формули $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Справа в тому, що першою повинна бути похідна зовнішньої функції. Щоб зрозуміти, яка саме функція буде зовнішньою для вираження $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, уявіть, що ви вважаєте значення виразу $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ за якогось значення $x$. Спочатку ви порахуєте значення $5^x$, потім помножите результат на 4, отримавши $4\cdot 5^x$. Тепер від цього результату беремо арктангенс, отримавши $ arcctg (4 cdot 5 ^ x) $. Потім зводимо отримане число в дванадцятий ступінь, отримуючи $ arctg (12) (4 cdot 5 x) $. Остання дія, - тобто. зведення в ступінь 12 - і буде зовнішньою функцією. І саме з неї слід починати перебування похідної, що було зроблено рівності (2.2).

Тепер потрібно знайти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Використовуємо формулу №19 таблиці похідних, підставивши в неї $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Трохи спростимо отриманий вираз, враховуючи $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Рівність (2.2) тепер стане такою:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Залишилося знайти $(4\cdot \ln x)"$. Винесемо константу (тобто 4) за знак похідної: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. того, щоб знайти $(\ln x)"$ використовуємо формулу №8, підставивши в неї $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$. Оскільки $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x )$.Підставивши отриманий результат у формулу (2.3), отримаємо:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)). $

Нагадаю, що похідна складної функції найчастіше знаходиться в один рядок - як записано в останній рівності. Тому при оформленні типових розрахунків або контрольних робіт зовсім не обов'язково розписувати рішення так само детально.

Відповідь: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Приклад №3

Знайти $y"$ функції $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Для початку трохи змінимо функцію $y$, висловивши радикал (корінь) у вигляді ступеня: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Тепер приступимо до знаходження похідної. Оскільки $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, то:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Використовуємо формулу №2 з таблиці похідних , підставивши до неї $u=\sin(5\cdot 9^x)$ і $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Продовжимо рівність (3.1), використовуючи отриманий результат:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Тепер потрібно знайти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Використовуємо для цього формулу №9 з похідних таблиці, підставивши в неї $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Доповнивши рівність (3.2) отриманим результатом, маємо:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Залишилося знайти $(5\cdot 9^x)"$. Для початку винесемо константу (число $5$) за знак похідної, тобто $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x) "$. Для знаходження похідної $(9^x)"$ застосуємо формулу №5 таблиці похідних, підставивши до неї $a=9$ і $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Оскільки $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Тепер можна продовжити рівність (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Можна знову від ступенів повернутися до радикалів (тобто коріння), записавши $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ у вигляді $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Тоді похідна буде записана у такій формі:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Відповідь: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Приклад №4

Показати, що формули №3 і №4 таблиці похідних є окремий випадок формули №2 цієї таблиці.

У формулі №2 таблиці похідних записано похідну функцію $u^\alpha$. Підставляючи $\alpha=-1$ у формулу №2, отримаємо:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Оскільки $u^(-1)=\frac(1)(u)$ і $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, то рівність (4.1) можна переписати так: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Це і є формула №3 таблиці похідних.

Знову звернемося до формули №2 таблиці похідних. Підставимо до неї $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Оскільки $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ і $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, то рівність (4.2) можна переписати в такому вигляді:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Отримана рівність $(sqrt(u))"=\frac(1)(2sqrt(u))cdot u"$ і є формула №4 таблиці похідних. Як бачите, формули №3 та №4 таблиці похідних виходять із формули №2 підстановкою відповідного значення $ alfa $.

Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показової функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На цьому уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо складніші похідні, а також познайомимося з новими прийомами та хитрощами знаходження похідної, зокрема з логарифмічною похідною.

Тим читачам, які мають низький рівень підготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? Приклади рішеньяка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, зрозуміти та вирішувати Усенаведені приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви впевнено диференціюватимете досить складні функції. Небажано дотримуватись позиції «Куди ще? Та й так вистачить!», оскільки всі приклади та прийоми рішення взяті з реальних контрольних робіт і часто трапляються на практиці.

Почнемо із повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули низку прикладів із докладними коментарями. У ході вивчення диференціального обчислення та інших розділів математичного аналізу – диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Найкращими «кандидатами» для цього є похідні найпростіших із складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем матану в майбутньому такий докладний запис найчастіше не потрібний, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Припустимо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це має бути майже миттєва і ввічлива відповідь: .

Перший приклад буде одразу призначений для самостійного рішення.

Приклад 1

Знайти такі похідні усно, на одну дію, наприклад: . Для виконання завдання потрібно використовувати лише таблицю похідних елементарних функцій(Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді наприкінці уроку

Складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, наступні два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і мучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні здаватиметься дитячим жартом.

Приклад 2

Знайти похідну функції

Як зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, передусім, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідне значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшний вираз».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, отже, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести до куба:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, зовнішня функція – це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосовуються у зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до внутрішньої. Вирішуємо:

Начебто без помилок.

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифму.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися дуже важко, але це ще не найбільш звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірку Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідної. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, чи розуміє студент, як знаходити похідну складної функції, чи не розуміє.

Наступний приклад самостійного рішення.

Приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності та правило диференціювання твору

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Настав час перейти до чогось більш компактного та симпатичного.
Не рідкісна ситуація, як у прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

Приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на твір двох функцій? Наприклад, якби у нас у творі було два багаточлени, то можна було б розкрити дужки. Але в прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твору два рази

Фокус у тому, що з «у» ми позначимо твір двох функцій: , а й за «ве» – логарифм: . Чому можна так зробити? А хіба - Це не твір двох множників і правило не працює? Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще поплутатися і винести щось за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше перевірятиме.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

Приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення, у зразку він вирішений першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади із дробами.

Приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна йти кількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться компактніше, якщо в першу чергу використовувати правило диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

У принципі приклад вирішено, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але за наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна спростити відповідь? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника та позбавимося триповерховості дробу:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання та просять «довести до пуття» похідну.

Простіший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропоновано «страшний» логарифм

Приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший крок відразу кидає у зневіру - належить взяти неприємну похідну від дробового ступеня, а потім ще й від дробу.

Тому перед тимяк брати похідну від «накрученого» логарифму, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит із практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошита немає, перемалюйте їх на листочок, оскільки приклади уроку, що залишилися, буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворимо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропоновано подібний логарифм, його завжди доцільно «розвалити».

А зараз кілька нескладних прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 9

Знайти похідну функції

Приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення та відповіді в кінці уроку.

Логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів – це така солодка музика, виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть треба.

Приклад 11

Знайти похідну функції

Подібні приклади ми нещодавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, та був правило диференціювання твори. Недолік способу полягає в тому, що вийде величезний триповерховий дріб, з яким зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії та практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Примітка : т.к. функція може набувати негативних значень, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: , які зникнуть внаслідок диференціювання Однак допустиме і поточне оформлення, де за умовчанням беруться до уваги комплекснізначення. Але якщо з усією суворістю, то і в тому, і в іншому випадку слід зробити застереження, що.

Тепер потрібно максимально розвалити логарифм правої частини (формули перед очима?). Я розпишу цей процес докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правої частини досить проста, її я не коментуватиму, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено з нею впоратися.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю питання: «Чому, там же одна буква «ігрок» під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна літерка ігорок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(якщо не зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм – це зовнішня функція, а «гравець» – внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрок» із знаменника лівої частини нагору правої частини:

А тепер згадуємо, про який такий «гравець»-функцію ми міркували під час диференціювання? Дивимося на умову:

Остаточна відповідь:

Приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу цього типу наприкінці уроку.

За допомогою логарифмічної похідної можна було вирішити будь-який з прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіші, і, можливо, використання логарифмічної похідної не надто й виправдане.

Похідна статечно-показової функції

Цю функцію ми ще розглядали. Ступінно-показова функція – це функція, у якої і ступінь та основа залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам наведуть у будь-якому підручнику або на будь-якій лекції:

Як знайти похідну від статечно-показової функції?

Необхідно використовувати щойно розглянутий прийом – логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, у правій частині з-під логарифму виноситься ступінь:

У результаті в правій частині у нас вийшов добуток двох функцій, який диференціюватиметься за стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього укладаємо обидві частини під штрихи:

Подальші дії нескладні:

Остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміле, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прикладу №11.

У практичних завданнях статечно-показова функція завжди буде складнішою, ніж розглянутий лекційний приклад.

Приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа та твір двох множників – «ікса» та «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладено ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще одразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

На цьому уроці ми навчимося знаходити похідну складної функції. Урок є логічним продовженням заняття Як знайти похідну?, На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомилися з правилами диференціювання та деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти цієї статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищезгаданим уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад – матеріал не з простих, але я намагаюся викласти його просто і доступно.

На практиці з похідною складною функцією доводиться стикатися дуже часто, я навіть сказав би, майже завжди, коли Вам дано завдання на перебування похідних.

Дивимося в таблицю правило (№5) диференціювання складної функції:

Розбираємось. Насамперед звернемо увагу на запис . Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.

Функцію я називатиму зовнішньою функцією, а функцію – внутрішньою (або вкладеною) функцією.

! Дані визначення не є теоретичними та не повинні фігурувати у чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази "зовнішня функція", "внутрішня" функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.

Для того щоб прояснити ситуацію, розглянемо:

Приклад 1

Знайти похідну функції

Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираження, тому знайти похідну відразу за таблицею не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але річ у тому, що «розривати на частини» синус не можна:

У цьому прикладі з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція – це складна функція, причому многочлен є внутрішньої функцією (вкладенням), а – зовнішньої функцією.

Перший крок, який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка – зовнішньою.

У разі простих прикладів зрозуміло, що під синус вкладений многочлен . А як бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити подумки або на чернетці.

Уявимо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу (замість одиниці може бути будь-яке число).

Що ми обчислимо насамперед? В першу чергунеобхідно виконати таку дію: , тому многочлен і буде внутрішньої функцією :

У другу чергупотрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньою функцією:

Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯз внутрішньої та зовнішньої функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції.

Починаємо вирішувати. З уроку Як знайти похідну?ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - укладаємо вираз у дужки і ставимо праворуч угорі штрих:

Спочаткузнаходимо похідну зовнішньої функції (синусу), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що . Всі табличні формули застосовні і в тому випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:

Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.

Ну і цілком очевидно, що

Результат застосування формули у чистовому оформленні виглядає так:

Постійний множник зазвичай виносять на початок виразу:

Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і прочитайте пояснення.

Приклад 2

Знайти похідну функції

Приклад 3

Знайти похідну функції

Як завжди записуємо:

Розбираємось, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при . Що потрібно виконати насамперед? В першу чергу потрібно порахувати чому рівна основа: , отже, багаточлен - і є внутрішня функція:

І тільки потім виконується зведення в ступінь , отже, статечна функція - це зовнішня функція:

Відповідно до формули , спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, у разі, від ступеня. Розшукуємо у таблиці необхідну формулу: . Повторюємо ще раз: будь-яка таблична формула справедлива не тільки для «ікс», але і для складного вираження. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється:

Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «зачесати» результат:

Приклад 4

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Для закріплення розуміння похідної складної функції наведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?

Приклад 5

а) Знайти похідну функції

б) Знайти похідну функції

Приклад 6

Знайти похідну функції

Тут у нас корінь, а для того, щоб продиференціювати корінь, його потрібно подати у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вигляд:

Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків – це внутрішня функція, а зведення у ступінь – зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції:

Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:

Готово. Можна ще у дужках привести вираз до спільного знаменника та записати все одним дробом. Гарно, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні – краще цього не робити (легко заплутатися, припуститися непотрібної помилки, та й викладачеві буде незручно перевіряти).

Приклад 7

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило приватного диференціювання , але таке рішення буде виглядати як спотворення смішно. Ось характерний приклад:

Приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна використовувати правило диференціювання приватного , але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:

Підготовляємо функцію для диференціювання – виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо до чисельника:

Косинус – внутрішня функція, зведення у ступінь – зовнішня функція.
Використовуємо наше правило:

Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад донизу:

Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися у знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила , відповіді повинні збігтися.

Приклад 9

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Досі ми розглядали випадки, коли у нас у складній функції було лише одне вкладення. У практичних завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.

Приклад 10

Знайти похідну функції

Розбираємось у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми рахували на калькуляторі?

Спочатку потрібно знайти , отже, арксинус - найглибше вкладення:

Потім цей арксинус одиниці слід звести у квадрат:

І, нарешті, сімку зводимо в ступінь:

Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому найвнутрішній функцією є арксинус, а зовнішньої функцією – показова функція.

Починаємо вирішувати

Відповідно до правила спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних і знаходимо похідну показової функції: Єдина відмінність – замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули. Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Під штрихом знову складна функція! Але вона вже простіша. Легко переконатися, що внутрішня функція – арксинус, зовнішня функція – ступінь. Відповідно до правила диференціювання складної функції спочатку потрібно взяти похідну від ступеня.

Якщо ти зайшов сюди, то вже, напевно, встиг побачити у підручнику цю формулу

і зробити ось таке обличчя:

Друг, не хвилюйся! Насправді все просто до неподобства. Ти обов'язково все зрозумієш. Тільки одне прохання – прочитай статтю не кваплячись, намагайся зрозуміти кожен крок. Я писав максимально просто та наочно, але вникнути в ідею все одно треба. І обов'язково виріши завдання із статті.

Що таке складна функція?

Уяви, що ти переїжджаєш в іншу квартиру і тому збираєш речі у великі коробки. Нехай треба зібрати якісь дрібні предмети, наприклад, шкільне письмове приладдя. Якщо просто скидати їх у величезну коробку, вони загубляться серед інших речей. Щоб цього уникнути, ти спочатку кладеш їх, наприклад, у пакет, який потім вкладаєш у велику коробку, після чого її запечатуєш. Цей "найскладніший" процес представлений на схемі нижче:

Здавалося б, до чого тут математика? Та при тому, що складна функція формується точно таким же способом! Тільки «упаковуємо» ми не зошити і ручки, а (x), при цьому «пакетами» і «коробками» служать різні.

Наприклад, візьмемо x і «запакуємо» його у функцію:

В результаті отримаємо, ясна річ, \(\cos⁡x). Це наш «пакет із речами». А тепер кладемо його в "коробку" - запаковуємо, наприклад, у кубічну функцію.

Що вийде у результаті? Так, мабуть, буде "пакет з речами в коробці", тобто "косинус ікса в кубі".

Конструкція, що вийшла, і є складна функція. Вона відрізняється від простої тим, що до одного ікса застосовується КІЛЬКА «впливів» (упаковок) поспільі виходить як би "функція від функції" - "упаковка в упаковці".

У шкільному курсі видів цих самих «упаковок» зовсім мало, лише чотири:

Давай тепер «упакуємо» ікс спочатку у показову функцію з основою 7, а потім у тригонометричну функцію . Отримаємо:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

А тепер «упакуємо» ікс двічі в тригонометричні функції, спочатку в , а потім в :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Просто, правда?

Напиши тепер сам функції, де ікс:
- спочатку «упаковується» в косинус, а потім у показову функцію з основою (3);
- спочатку у п'яту ступінь, а потім у тангенс;
- спочатку в логарифм на підставі \(4\) потім у ступінь \(-2\).

Відповіді на це завдання подивися наприкінці статті.

А чи можемо ми «упакувати» ікс не двічі, а тричі? Да без проблем! І чотири, і п'ять, і двадцять і п'ять разів. Ось, наприклад, функція, в якій ікс «упакований» (4) рази:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Але такі формули у шкільній практиці не зустрінуться (студентам пощастило більше – у них може бути й складніше☺).

«Розпакування» складної функції

Подивися на попередню функцію ще раз. Чи зможеш ти розібратися в послідовності "упаковки"? У що ікс запхали спочатку, а потім і так далі до самого кінця. Тобто – яка функція вкладена у яку? Візьми листок та запиши, як ти вважаєш. Можна зробити це ланцюжком зі стрілками, як ми писали вище або будь-яким іншим способом.

Тепер правильна відповідь: спочатку ікс «упакували» в \(4\)-ий ступінь, потім результат упаковали в синус, його в свою чергу помістили в логарифм на підставі \(2\), і зрештою всю цю конструкцію засунули в ступінь п'ятірки.

Тобто розмотувати послідовність треба в зворотному порядку. І тут підказка як це робити простіше: одразу дивися на ікс – від нього і треба танцювати. Давай розберемо кілька прикладів.

Наприклад, така функція: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Дивимось на ікс - що з ним відбувається спочатку? Береться від нього. А потім? Береться тангенс від результату. Ось і послідовність буде така сама:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ще приклад: \(y=\cos⁡((x^3))\). Аналізуємо – спочатку ікс звели до куба, а потім від результату взяли косинус. Отже, послідовність буде: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Зверніть увагу, функція начебто схожа на першу (там, де з картинками). Але це зовсім інша функція: тут у кубі ікс (тобто \(\cos⁡((x·x·x)))\), а там у кубі косинус \(x\) (тобто \(\cos⁡) x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ця різниця виникає через різні послідовності «упаковки».

Останній приклад (з важливою інформацією у ньому): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Зрозуміло, що спочатку зробили арифметичні дії з іксом, потім від результату взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). І це важливий момент: незважаючи на те, що арифметичні дії функціями власними силами не є, тут вони теж виступають як спосіб «упаковки». Давай трохи заглибимося в цю тонкість.

Як я вже говорив вище, у простих функціях ікс «упаковується» один раз, а в складних – два і більше. При цьому будь-яка комбінація простих функцій (тобто їх сума, різницю, множення чи поділ) - також проста функція. Наприклад, \(x^7\) - проста функція і \(ctg x\) - теж. Значить, і всі їх комбінації є простими функціями:

\(x^7+ ctg x\) - проста,
\(x^7· ctg x\) – проста,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) - проста і т.д.

Однак, якщо до такої комбінації застосувати ще одну функцію – буде вже складна функція, оскільки «упаковок» стане дві. Дивись схему:

Добре, давай тепер сам. Напиши послідовність «загортання» функцій:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Відповіді знову наприкінці статті.

Внутрішня та зовнішня функції

Навіщо нам потрібно розбиратися у вкладеності функцій? Що це нам дає? Справа в тому, що без такого аналізу ми не зможемо надійно знаходити похідні розібраних вище функцій.

І для того, щоб рухатися далі, нам потрібні ще два поняття: внутрішня та зовнішня функції. Це дуже проста річ, більше того, насправді ми їх уже розібрали вище: якщо згадати нашу аналогію на самому початку, то внутрішня функція – це пакет, а зовнішня – це коробка. Тобто. те, у що ікс "загортають" спочатку - це внутрішня функція, а те, у що "загортають" внутрішню - вже зовнішня. Ну, зрозуміло чому – вона ж зовні, отже, зовнішня.

Ось у цьому прикладі: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), функція \(\log_2⁡x\) – внутрішня, а
- Зовнішня.

А в цьому: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) - внутрішня, а
- Зовнішня.

Виконай останню практику аналізу складних функцій, і перейдемо, нарешті, до того, заради чого все починалося - знаходитимемо похідні складних функцій:

Заповни пропуски у таблиці:

Похідна складної функції

Браво нам, ми все-таки дісталися «босу» цієї теми – власне, похідної складної функції, а саме, до тієї жахливої ​​формули з початку статті.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Формула ця читається так:

Похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за незмінною внутрішньою на похідну внутрішньої функції.

І відразу дивися схему розбору "за словами" щоб розуміти, що до чого ставитися:

Сподіваюся, терміни «похідна» та «твор» труднощів не викликають. "Складну функцію" - ми вже розібрали. Загвоздка в «похідній зовнішньої функції за незмінною внутрішньою». Що це таке?

Відповідь: це звичайна похідна зовнішньої функції, коли він змінюється лише зовнішня функція, а внутрішня залишається такою ж. Все одно незрозуміло? Добре, давай на прикладі.

Нехай ми маємо функцію \(y=\sin⁡(x^3)\). Зрозуміло, що внутрішня функція тут (x^3), а зовнішня
. Знайдемо тепер похідну зовнішньої за незмінною внутрішньою.