Розв'язання системи лінійних рівнянь із трьома невідомими методом крамера. Розв'язання лінійних рівнянь із прикладами Як розв'язати систему рівнянь із 3 змінними

Системою m лінійних рівнянь із n невідомиминазивається система виду

де a ijі b i (i=1,…,m; b=1,…,n) – деякі відомі числа, а x 1, ..., x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс iпозначає номер рівняння, а другий j- Номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Коефіцієнти при невідомих записуватимемо у вигляді матриці , яку назвемо матрицею системи.

Числа, що стоять у правих частинах рівнянь, b 1 ..., b mназиваються вільними членами.

Сукупність nчисел c 1 ..., c nназивається рішеннямданої системи, якщо кожне рівняння системи перетворюється на рівність після підстановки до нього чисел c 1 ..., c nзамість відповідних невідомих x 1, ..., x n.

Наше завдання полягатиме у знаходженні рішень системи. При цьому можуть виникнути три ситуації:

Система лінійних рівнянь, що має хоча одне рішення, називається спільної. Інакше, тобто. якщо система не має рішень, то вона називається несумісний.

Розглянемо методи знаходження рішень системи.

МАТРИЧНИЙ МЕТОД РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Матриці дають змогу коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь із трьома невідомими:

Розглянемо матрицю системи та матриці стовпці невідомих та вільних членів

Знайдемо твір

тобто. в результаті твору ми отримуємо ліві частини рівнянь цієї системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць цю систему можна записати як

або коротше A∙X=B.

Тут матриці Aі Bвідомі, а матриця Xневідома. Її треба знайти, т.к. її елементи є рішенням цієї системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля A| ≠ 0. Тоді матричне рівняння розв'язується в такий спосіб. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A -1, зворотну матрицю A: . Оскільки A -1 A = Eі E∙X = X, то отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X = A -1 B .

Зауважимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна вирішувати ті системи, в яких кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих. Однак, матричний запис системи можливий і у випадку, коли число рівнянь не дорівнює числу невідомих, тоді матриця Aне буде квадратною і тому не можна знайти рішення системи у вигляді X = A -1 B.

приклади.Розв'язати системи рівнянь.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими:

Визначник третього порядку, який відповідає матриці системи, тобто. складений з коефіцієнтів за невідомих,

називається визначником системи.

Складемо ще три визначники наступним чином: замінимо в визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів

Тоді можна довести наступний результат.

Теорема (правило Крамера).Якщо визначник системи Δ ≠ 0, то система, що розглядається, має одне і тільки одне рішення, причому

Доведення. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо перше рівняння системи на алгебраїчне доповнення A 11елемента a 11, Друге рівняння - на A 21і третє - на A 31:

Складемо ці рівняння:

Розглянемо кожну зі дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця

Аналогічно можна показати, що і .

Нарешті неважко помітити, що

Отже, отримуємо рівність: .

Отже, .

Аналогічно виводяться рівність і , звідки і випливає твердження теореми.

Отже, зауважимо, що й визначник системи Δ ≠ 0, то система має єдине рішення і назад. Якщо ж визначник системи дорівнює нулю, то система або має безліч рішень, або немає рішень, тобто. несумісна.

приклади.Розв'язати систему рівнянь

МЕТОД ГАУСА

Раніше розглянуті методи можна застосовувати при вирішенні лише тих систем, у яких кількість рівнянь збігається з числом невідомих, причому визначник системи має бути відмінний від нуля. Метод Гауса є більш універсальним і придатний для систем із будь-яким числом рівнянь. Він полягає у послідовному виключенні невідомих із рівнянь системи.

Знову розглянемо систему із трьох рівнянь із трьома невідомими:

Перше рівняння залишимо без зміни, а з 2-го та 3-го виключимо доданки, що містять x 1. Для цього друге рівняння розділимо на а 21 і помножимо на – а 11 а потім складемо з 1-им рівнянням. Аналогічно третє рівняння розділимо на а 31 і помножимо на – а 11, а потім складемо з першим. В результаті вихідна система набуде вигляду:

Тепер з останнього рівняння виключимо доданок, що містить x 2. Для цього третє рівняння розділимо на , помножимо на і складемо з другим. Тоді матимемо систему рівнянь:

Звідси з останнього рівняння легко знайти x 3потім з 2-го рівняння x 2і, нарешті, з 1-го – x 1.

При використанні методу Гаусса рівняння за необхідності можна міняти місцями.

Часто замість того, щоб писати нову систему рівнянь, обмежуються тим, що виписують розширену матрицю системи:

і потім призводять до трикутного або діагонального вигляду за допомогою елементарних перетворень.

До елементарним перетвореннямматриці відносяться такі перетворення:

перестановка рядків чи стовпців;
множення рядка на число, відмінне від нуля;
додаток до одного рядка інших рядків.

Приклади:Розв'язати системи рівнянь методом Гауса.

Таким чином, система має безліч рішень.

Система лінійних рівняньмає вигляд

де – коефіцієнти; - вільні члени; - Невідомі величини.

Рішенням цієї системи називається сукупність чисел, які, будучи підставлені замість невідомих у рівняння, перетворюють ці рівняння на тотожність. Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча одне рішення. Якщо ж система немає жодного рішення, вона називається несовместной.

Спільна система називається певною, якщо вона має лише одне рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення.

називаються відповідно матрицею та розширеною матрицею системи (2).

Теорема Кронекер-Капеллі. Для спільності системи (2) необхідно і достатньо, щоб ранг матриці цієї системи дорівнював рангу розширеної матриці:

Правило Крамер.Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює числу її невідомих, система є певною. Якщо число невідомих системи (2) збігається з числом рівнянь і матриця системи невироджена, то система має єдине рішення, яке знаходиться за правилом Крамера:

У цих формулах – визначник системи, а – визначник, отриманий з визначника системи заміною стовпця стовпцем вільних членів

Матричне вирішення системи.Система лінійних рівнянь (2) може бути записана у матричній формі

де А – матриця системи; X - матриця-стовпець невідомих; В - матриця-стовпець вільних членів. Якщо матриця А квадратна і невироджена, рішення системи (3) може бути записано в матричній формі:

Рівносильні системи рівнянь.Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо множини їх рішень збігаються. Знаходження рішень системи лінійних рівнянь ґрунтується на переході до рівносильної системи, яка простіше за вихідну. Вкажемо найпростіші операції, які призводять до рівносильної системи:

1) зміна місцями двох рівнянь у системі;

2) множення будь-якого рівняння системи на дійсне число (відмінне від нуля);

3) додавання одного рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Невідоме називається дозволеним або базисним, якщо якесь рівняння системи містить його з коефіцієнтом 1, а у всі інші рівняння не входить.

Якщо кожне рівняння системи містить дозволене невідоме, така система називається дозволеною. Її невідомі, які є базисними, називаються вільними.

Для пошуку всіх рішень спільної системи лінійних рівнянь досить визначити рівносильну їй дозволену систему. Якщо невідомі виявляться базисними, то дозволена система дає значення цих невідомих, складові єдине рішення вихідної системи. Інакше виражають базисні невідомі через вільні.

Метод Жордана – Гауса.Запишемо систему лінійних рівнянь (2) у вигляді таблиці

Жордановим перетворенням системи з роздільною здатністю елементом називається наступна послідовність дій:

1) множення рядка таблиці на число;

2) додавання до першого рядка таблиці її рядка (отриманої після першої дії), помноженої на -

3) додаток до другого рядка рядка, помноженого на - і т.д.

Після цих перетворень невідоме стане дозволеним, всі коефіцієнти стовпця дорівнюватимуть нулю, крім

Проводячи послідовно жорданові перетворення з роздільними елементами, взятими в різних рядках, отримаємо дозволену систему, рівносильну вихідній.

Якщо в результаті перетворень всі коефіцієнти при невідомих у якомусь рядку виявляться рівними нулю, а вільний член цього рядка не буде рівним нулю, то система рівнянь несумісна. Якщо ж вийде рядок, що складається з одних нулів, він викреслюється з таблиці.

Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь

Рішення. Запишемо цю систему у вигляді таблиці та проведемо її перетворення до дозволеного виду за шість кроків.

Зміст уроку

Лінійні рівняння із двома змінними

У школяра є 200 рублів, щоб пообідати у школі. Тістечко коштує 25 рублів, а чашка кави 10 рублів. Скільки тістечок та чашок кави можна накупити на 200 рублів?

Позначимо кількість тістечок через x, а кількість чашок кави через y. Тоді вартість тістечок позначатиметься через вираз 25 x, а вартість чашок кави через 10 y .

25x -вартість xтістечок
10y -вартість yчашок кави

Підсумкова сума повинна дорівнювати 200 рублів. Тоді вийде рівняння із двома змінними xі y

25x+ 10y= 200

Скільки коренів має це рівняння?

Все залежить від апетиту школяра. Якщо він придбає 6 тістечок і 5 чашок кави, то корінням рівняння будуть числа 6 і 5.

Кажуть, що пара значень 6 і 5 є корінням рівняння 25 x+ 10y= 200. Записується як (6; 5), при цьому перше число є значенням змінної x, а друге - значенням змінної y .

6 і 5 не єдине коріння, яке обертає рівняння 25 x+ 10y= 200 на тотожність. За бажання на ті ж 200 рублів школяр може купити 4 тістечка і 10 чашок кави:

У цьому випадку корінням рівняння 25 x+ 10y= 200 є пара значень (4; 10).

Більше того, школяр може взагалі не купувати кави, а купити тістечка на всі 200 рублів. Тоді корінням рівняння 25 x+ 10y= 200 будуть значення 8 та 0

Або навпаки, не купувати тістечка, а купити каву на всі 200 рублів. Тоді корінням рівняння 25 x+ 10y= 200 будуть значення 0 та 20

Спробуємо перерахувати всі можливі корені рівняння 25 x+ 10y= 200. Умовимося, що значення xі yналежать безлічі цілих чисел. І нехай ці значення будуть більшими або рівними нулю:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Так буде зручно і самому школяреві. Тістечка зручніше купувати цілими, ніж наприклад кілька цілих тістечок і половину тістечка. Каву також зручніше брати цілими чашками, ніж кілька цілих чашок і половину чашки.

Зауважимо, що при непарному xнеможливо досягти рівності за жодного y. Тоді значеннями xбудуть наступні числа 0, 2, 4, 6, 8. А знаючи xможна легко визначити y

Таким чином, ми отримали наступні пари значень (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ці пари є рішеннями або корінням рівняння 25 x+ 10y= 200. Вони звертають це рівняння в тотожність.

Рівняння виду ax + by = cназивають лінійним рівнянням із двома змінними. Рішенням або корінням цього рівняння називають пару значень ( x; y), яка перетворює його на тотожність.

Зазначимо також, що якщо лінійне рівняння із двома змінними записано у вигляді ax + b y = c ,то кажуть, що воно записано в канонічному(Нормальному) вигляді.

Деякі лінійні рівняння із двома змінними можуть бути приведені до канонічного вигляду.

Наприклад, рівняння 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) можна привести до вигляду ax + by = c. Розкриємо дужки в обох частинах цього рівняння, отримаємо 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Доданки, що містять невідомі, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки вільні від невідомих — у правій. Тоді отримаємо 32x − 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Наведемо подібні доданки в обох частинах, отримаємо рівняння 16 x+ 8y= 32. Це рівняння наведено до виду ax + by = cта є канонічним.

Розглянуте раніше рівняння 25 x+ 10y= 200 є лінійним рівнянням з двома змінними в канонічному вигляді. У цьому рівнянні параметри a , bі cрівні значенням 25, 10 та 200 відповідно.

Насправді рівняння ax + by = cмає безліч рішень. Вирішуючи рівняння 25x+ 10y= 200, ми шукали його коріння тільки на безлічі цілих чисел. В результаті отримали кілька пар значень, які перетворювали це рівняння на тотожність. Але на безлічі раціональних чисел рівняння 25 x+ 10y= 200 матиме безліч рішень.

Для отримання нових пар значень потрібно взяти довільне значення для x, потім висловити y. Наприклад, візьмемо для змінної xзначення 7. Тоді отримаємо рівняння з однією змінною 25 × 7 + 10y= 200 в якому можна висловити y

Нехай x= 15 . Тоді рівняння 25x+ 10y= 200 набуде вигляду 25 × 15 + 10y= 200. Звідси знаходимо, що y = −17,5

Нехай x= −3. Тоді рівняння 25x+ 10y= 200 набуде вигляду 25 × (−3) + 10y= 200. Звідси знаходимо, що y = −27,5

Система двох лінійних рівнянь із двома змінними

Для рівняння ax + by = cможна скільки завгодно раз брати довільні значення для xі знаходити значення для y. Окремо взяте таке рівняння матиме безліч рішень.

Але буває й так, що змінні xі yпов'язані не одним, а двома рівняннями. У цьому випадку вони утворюють так звану систему лінійних рівнянь із двома змінними. Така система рівнянь може мати одну пару значень (або інакше: одне рішення).

Може статися так, що система зовсім не має рішень. Безліч рішень система лінійних рівнянь може мати в рідкісних і у виняткових випадках.

Два лінійних рівняння утворюють систему тоді, коли значення xі yвходять до кожного з цих рівнянь.

Повернемося до першого рівняння 25 x+ 10y= 200. Однією з пар значень при цьому рівняння була пара (6; 5) . Це випадок, коли на 200 рублів можна було купити 6 тістечок і 5 чашок кави.

Складемо завдання так, щоб пара (6; 5) стала єдиним рішенням для рівняння 25 x+ 10y= 200. Для цього складемо ще одне рівняння, яке пов'язувало б ті ж xтістечок і yчашки кави.

Поставимо текст завдання так:

«Школяр купив на 200 рублів кілька тістечок і кілька чашок кави. Тістечко коштує 25 рублів, а чашка кави 10 рублів. Скільки тістечок і чашок кави купив школяр, якщо відомо, що кількість тістечок на одну одиницю більша за кількість чашок кави?»

Перше рівняння ми вже маємо. Це рівняння 25 x+ 10y= 200. Тепер складемо рівняння до умови «кількість тістечок на одну одиницю більше кількості чашок кави» .

Кількість тістечок це x, а кількість чашок кави це y. Можна записати цю фразу за допомогою рівняння x − y= 1. Це рівняння означатиме, що різниця між тістечками та кавою становить 1.

x = y+ 1 . Це рівняння означає, що кількість тістечок на одиницю більша, ніж кількість чашок кави. Тому для здобуття рівності, до кількості чашок кави додана одиниця. Це легко можна зрозуміти, якщо скористатися моделлю терезів, які ми розглядали щодо найпростіших завдань:

Отримали два рівняння: 25 x+ 10y= 200 та x = y+ 1. Оскільки значення xі y, а саме 6 і 5 входять у кожне з цих рівнянь, разом вони утворюють систему. Запишемо цю систему. Якщо рівняння утворюють систему, вони обрамляються знаком системи. Знак системи це фігурна дужка:

Давайте вирішимо цю систему. Це дозволить побачити, як ми прийдемо до значень 6 та 5. Існує багато методів вирішення таких систем. Розглянемо найпопулярніші з них.

Метод підстановки

Назва цього методу говорить сама за себе. Суть його полягає в тому, щоб одне рівняння підставити в інше, заздалегідь висловивши одну із змінних.

У нашій системі нічого не потрібно висловлювати. У другому рівнянні x = y+ 1 змінна xвже виражена. Ця змінна дорівнює виразу y+ 1 . Тоді можна підставити цей вислів у перше рівняння замість змінної x

Після підстановки виразу y+ 1 у перше рівняння замість x, отримаємо рівняння 25(y+ 1) + 10y= 200 . Це лінійне рівняння з однією змінною. Таке рівняння вирішити досить просто:

Ми знайшли значення змінної y. Тепер підставимо це значення в одне із рівнянь і знайдемо значення x. Для цього зручно використовувати друге рівняння x = y+ 1 . У нього і підставимо значення y

Отже пара (6; 5) є рішенням системи рівнянь, як і задумували. Виконуємо перевірку та переконуємось, що пара (6; 5) задовольняє системі:

Приклад 2

Підставимо перше рівняння x= 2 + yу друге рівняння 3 x − 2y= 9. У першому рівнянні змінна xдорівнює виразу 2 + y. Це вираз і підставимо у друге рівняння замість x

Тепер знайдемо значення x. Для цього підставимо значення yу перше рівняння x= 2 + y

Отже рішенням системи є пара значення (5; 3)

Приклад 3. Вирішити методом підстановки таку систему рівнянь:

Тут, на відміну від попередніх прикладів, одна із змінних не виражена явно.

Щоб підставити одне рівняння до іншого, спочатку потрібно .

Висловлювати бажано ту змінну, що має коефіцієнт одиницю. Коефіцієнт має одиницю змінна x, яка міститься у першому рівнянні x+ 2y= 11 . Цю змінну та виразний.

Після вираження змінної x, наша система набуде наступного вигляду:

Тепер підставимо перше рівняння до другого і знайдемо значення y

Підставимо y x

Отже рішенням системи є пара значень (3; 4)

Звичайно, можна висловлювати і змінну y. Коріння від цього не зміниться. Але якщо висловити y,вийде не дуже й просте рівняння, на вирішення якого піде більше часу. Виглядати це буде так:

Бачимо, що у цьому прикладі висловлювати xнабагато зручніше, ніж висловлювати y .

Приклад 4. Вирішити методом підстановки таку систему рівнянь:

Виразимо у першому рівнянні x. Тоді система набуде вигляду:

Підставимо yу перше рівняння та знайдемо x. Можна скористатися початковим рівнянням 7 x+ 9y= 8 , чи скористатися рівнянням , у якому виражена змінна x. Цим рівнянням і скористаємося, оскільки це зручно:

Отже рішенням системи є пара значень (5; −3)

Метод складання

Метод складання у тому, щоб почленно скласти рівняння, які входять у систему. Це додавання призводить до того, що утворюється нове рівняння з однією змінною. А розв'язати таке рівняння досить просто.

Розв'яжемо наступну систему рівнянь:

Складемо ліву частину першого рівняння з лівою частиною другого рівняння. А праву частину першого рівняння із правою частиною другого рівняння. Отримаємо таку рівність:

Наведемо такі складові:

В результаті отримали найпростіше рівняння 3 x= 27 корінь якого дорівнює 9. Знаючи значення xможна знайти значення y. Підставимо значення xу друге рівняння x − y= 3. Отримаємо 9 − y= 3. Звідси y= 6 .

Отже рішенням системи є пара значень (9; 6)

Приклад 2

Складемо ліву частину першого рівняння з лівою частиною другого рівняння. А праву частину першого рівняння із правою частиною другого рівняння. У рівності, що вийшла, наведемо подібні доданки:

В результаті отримали найпростіше рівняння 5 x= 20, корінь якого дорівнює 4. Знаючи значення xможна знайти значення y. Підставимо значення xу перше рівняння 2 x + y= 11 . Отримаємо 8+ y= 11 . Звідси y= 3 .

Отже рішенням системи є пара значень (4; 3)

Процес додавання докладно не розписують. Його потрібно виконувати в умі. При додаванні обидва рівняння повинні бути приведені до канонічного вигляду. Тобто до вигляду ac + by = c .

З розглянутих прикладів видно, основна мета складання рівнянь це позбавлення однієї зі змінних. Не завжди вдається відразу вирішити систему рівнянь шляхом складання. Найчастіше систему попередньо приводять до вигляду, при якому можна скласти рівняння, що входять до цієї системи.

Наприклад, систему можна відразу вирішити шляхом додавання. При додаванні обох рівнянь, доданки yі −yзникнуть, оскільки їхня сума дорівнює нулю. В результаті утворюється найпростіше рівняння 11 x= 22 , корінь якого дорівнює 2. Потім можна буде визначити yрівний 5.

А систему рівнянь шляхом додавання відразу вирішити не можна, оскільки це призведе до зникнення однієї зі змінних. Додавання приведе до того, що утворюється рівняння 8 x+ y= 28 , що має безліч рішень.

Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння рівносильне даному. Це справедливо і для системи лінійних рівнянь із двома змінними. Одне з рівнянь (або обидва рівняння) можна помножити на якесь число. В результаті вийде рівносильна система, коріння якої співпадатиме з попередньою.

Повернемося до найпершої системи, яка описувала скільки тістечок і чашок кави купив школяр. Рішенням цієї системи була пара значень (6; 5).

Помножимо обидва рівняння, що входять до цієї системи на якісь числа. Скажімо перше рівняння помножимо на 2, а друге на 3

В результаті отримали систему
Рішенням цієї системи, як і раніше, є пара значень (6; 5)

Це означає, що рівняння, що входять до системи, можна привести до вигляду, придатного для застосування методу складання.

Повернімося до системи , яку ми змогли вирішити шляхом складання.

Помножимо перше рівняння на 6, а друге на −2

Тоді отримаємо таку систему:

Складемо рівняння, що входять до цієї системи. Додавання компонентів 12 xта −12 xдасть в результаті 0, додавання 18 yта 4 yдасть 22 y, а додавання 108 і −20 дасть 88. Тоді вийде рівняння 22 y= 88 , звідси y = 4 .

Якщо перший час важко складати рівняння в умі, можна записувати як складається ліва частина першого рівняння з лівою частиною другого рівняння, а права частина першого рівняння з правою частиною другого рівняння:

Знаючи, що значення змінної yодно 4, можна знайти значення x. Підставимо yв одне з рівнянь, наприклад, у перше рівняння 2 x+ 3y= 18 . Тоді отримаємо рівняння з однією змінною 2 x+ 12 = 18. Перенесемо 12 у праву частину, змінивши знак, отримаємо 2 x= 6 , звідси x = 3 .

Приклад 4. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Помножимо друге рівняння на −1. Тоді система набуде наступного вигляду:

Складемо обидва рівняння. Складання компонентів xі −xдасть в результаті 0, додавання 5 yта 3 yдасть 8 y, а додавання 7 і 1 дасть 8. В результаті вийде рівняння 8 y= 8 , корінь якого дорівнює 1. Знаючи, що значення yодно 1, можна знайти значення x .

Підставимо yу перше рівняння, отримаємо x+ 5 = 7 , звідси x= 2

Приклад 5. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Бажано, щоб доданки, що містять однакові змінні, розташовувалися один під одним. Тому в другому рівнянні доданки 5 yта −2 xпоміняємо місцями. В результаті система набуде вигляду:

Помножимо друге рівняння на 3. Тоді система набуде вигляду:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання отримаємо рівняння 8 y= 16, корінь якого дорівнює 2.

Підставимо yу перше рівняння, отримаємо 6 x− 14 = 40 . Перенесемо доданок −14 у праву частину, змінивши знак, отримаємо 6 x= 54 . Звідси x= 9.

Приклад 6. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Позбавимося дробів. Помножимо перше рівняння на 36, а друге на 12

У системі, що вийшла перше рівняння можна помножити на −5, а друге на 8

Складемо рівняння в системі, що вийшла. Тоді отримаємо найпростіше рівняння -13 y= −156. Звідси y= 12 . Підставимо yу перше рівняння та знайдемо x

Приклад 7. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Наведемо обидва рівняння до нормального вигляду. Тут зручно застосувати правило пропорції обох рівняннях. Якщо першому рівнянні праву частину уявити як , а праву частину другого рівняння як , то система набуде вигляду:

У нас вийшла пропорція. Перемножимо її крайні та середні члени. Тоді система набуде вигляду:

Перше рівняння помножимо на −3, а у другому розкриємо дужки:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання цих рівнянь ми отримаємо рівність, в обох частинах якої буде нуль:

Виходить, що система має безліч рішень.

Але ми не можемо просто так взяти з неба довільні значення для xі y. Ми можемо вказати одне із значень, а інше визначиться залежно від значення, вказаного нами. Наприклад, нехай x= 2. Підставимо це значення в систему:

В результаті вирішення одного з рівнянь, визначиться значення для y, яке задовольнятиме обох рівнянь:

Пара значень (2; −2), що вийшла, задовольнятиме системі:

Знайдемо ще одну пару значень. Нехай x= 4. Підставимо це значення до системи:

На око можна визначити, що значення yодно нулю. Тоді отримаємо пару значень (4; 0), яка задовольняє нашій системі:

Приклад 8. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Помножимо перше рівняння на 6, а друге на 12

Перепишемо те, що залишилося:

Перше рівняння помножимо на -1. Тоді система набуде вигляду:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті додавання утворюється рівняння 6 b= 48 , корінь якого дорівнює 8. bу перше рівняння та знайдемо a

Система лінійних рівнянь із трьома змінними

У лінійне рівняння із трьома змінними входить три змінні з коефіцієнтами, а також вільний член. У канонічному вигляді його можна записати так:

ax + by + cz = d

Дане рівняння має безліч рішень. Надаючи двом змінним різні значення можна знайти третє значення. Рішенням у цьому випадку є трійка значень ( x; y; z) яка звертає рівняння у тотожність.

Якщо змінні x, y, zпов'язані між собою трьома рівняннями, то утворюється система трьох лінійних рівнянь із трьома змінними. Для вирішення такої системи можна застосовувати ті ж методи, що застосовуються до лінійних рівнянь із двома змінними: метод підстановки та метод складання.

Приклад 1. Розв'язати таку систему рівнянь методом підстановки:

Виразимо у третьому рівнянні x. Тоді система набуде вигляду:

Тепер виконаємо підстановку. Змінна xдорівнює виразу 3 − 2y − 2z . Підставимо цей вислів у перше і друге рівняння:

Розкриємо дужки в обох рівняннях і наведемо такі складові:

Ми прийшли до системи лінійних рівнянь із двома змінними. У разі зручно застосувати метод складання. В результаті змінна yзникне, і ми зможемо знайти значення змінної z

Тепер знайдемо значення y. Для цього зручно скористатися рівнянням - y+ z= 4. Підставимо до нього значення z

Тепер знайдемо значення x. Для цього зручно скористатися рівнянням x= 3 − 2y − 2z . Підставимо в нього значення yі z

Таким чином, трійка значень (3; -2; 2) є рішенням нашої системи. Перевіркою переконуємось, що ці значення задовольняють системі:

Приклад 2. Вирішити систему шляхом додавання

Складемо перше рівняння з другим, помноженим на −2.

Якщо друге рівняння помножити на −2, воно набуде вигляду −6x+ 6y − 4z = −4 . Тепер складемо його з першим рівнянням:

Бачимо, що в результаті елементарних перетворень визначилося значення змінної x. Воно дорівнює одиниці.

Повернемося до головної системи. Складемо друге рівняння з третім, помноженим на −1. Якщо третє рівняння помножити на −1, то воно набуде вигляду −4x + 5y − 2z = −1 . Тепер складемо його з другим рівнянням:

Здобули рівняння x − 2y= −1. Підставимо в нього значення x, що ми знаходили раніше. Тоді ми зможемо визначити значення y

Тепер нам відомі значення xі y. Це дозволяє визначити значення z. Скористаємося одним із рівнянь, що входять до системи:

Отже, трійка значень (1; 1; 1) є рішенням нашої системи. Перевіркою переконуємось, що ці значення задовольняють системі:

Завдання на складання систем лінійних рівнянь

Завдання складання систем рівнянь вирішується шляхом введення кількох змінних. Далі складаються рівняння виходячи з умов завдання. Зі складених рівнянь утворюють систему і вирішують її. Вирішивши систему, необхідно виконати перевірку те що, задовольняє її рішення умовам завдання.

Завдання 1. З міста до колгоспу виїхала машина «Волга». Назад вона поверталася іншою дорогою, яка була на 5 км коротша за першу. Всього в обидва кінці машина проїхала 35 км. Скільки кілометрів становить довжина кожної дороги?

Рішення

Нехай x -довжина першої дороги, y- Довжина другий. Якщо обидва кінці машина проїхала 35 км, то перше рівняння можна записати як x+ y= 35. Це рівняння визначає суму довжин обох доріг.

Сказано, що назад машина поверталася дорогою, яка була коротшою за першу на 5 км. Тоді друге рівняння можна записати як x− y= 5. Це рівняння показує, що різниця між довжинами доріг становить 5 км.

Або друге рівняння можна записати як x= y+ 5 . Цим рівнянням і скористаємось.

Оскільки змінні xі yв обох рівняннях позначають те саме число, то ми можемо утворити з них систему:

Вирішимо цю систему якимось із вивчених раніше методів. В даному випадку зручно скористатися методом підстановки, оскільки у другому рівнянні змінна xвже виражена.

Підставимо друге рівняння до першого і знайдемо y

Підставимо знайдене значення yу друге рівняння x= y+ 5 і знайдемо x

Довжина першої дороги була позначена через змінну x. Тепер ми знайшли її значення. Змінна xдорівнює 20. Отже, довжина першої дороги становить 20 км.

А довжина другої дороги була позначена через y. Значення цієї змінної дорівнює 15. Значить, довжина другої дороги становить 15 км.

Виконаємо перевірку. Для початку переконаємось, що система вирішена правильно:

Тепер перевіримо, чи задовольняє рішення (20; 15) умов задачі.

Було сказано, що всього обидва кінці машина проїхала 35 км. Складаємо довжини обох доріг і переконуємося, що рішення (20; 15) задовольняє цю умову: 20 км + 15 км = 35 км

Наступна умова: назад машина поверталася іншою дорогою, яка була на 5 км коротша за першу . Бачимо, що рішення (20; 15) задовольняє й цій умові, оскільки 15 км коротше, ніж 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км

При складанні системи важливо, щоб змінні позначали одні й самі числа у всіх рівняннях, які входять у цю систему.

Так наша система містить два рівняння. Ці рівняння, у свою чергу, містять змінні. xі y, які позначають одні й самі числа в обох рівняннях, саме довжини доріг, рівних 20 км і 15 км.

Завдання 2. На платформу були занурені дубові та соснові шпали, лише 300 шпал. Відомо, що всі дубові шпали важили на 1 т менше, ніж усі соснові. Визначити, скільки було дубових та соснових шпал окремо, якщо кожна дубова шпала важила 46 кг, а кожна соснова – 28 кг.

Рішення

Нехай xдубових та yсоснових шпал було занурено на платформу. Якщо всього шпал було 300, то перше рівняння можна записати як x + y = 300 .

Усі дубові шпали важили 46 xкг, а соснові важили 28 yкг. Оскільки дубові шпали важили на 1 т менше, ніж соснові, друге рівняння можна записати, як 28y − 46x= 1000 . Це рівняння показує, що різниця мас між дубовими та сосновими шпалами становить 1000 кг.

Тони були переведені в кілограми, оскільки маса дубових та соснових шпал виміряна у кілограмах.

В результаті одержуємо два рівняння, які утворюють систему

Вирішимо цю систему. Виразимо у першому рівнянні x. Тоді система набуде вигляду:

Підставимо перше рівняння у друге і знайдемо y

Підставимо yу рівняння x= 300 − yі дізнаємося чому одно x

Значить на платформу було занурено 100 дубових та 200 соснових шпал.

Перевіримо, чи задовольняє рішення (100; 200) умов задачі. Для початку переконаємось, що система вирішена правильно:

Було сказано, що всього було 300 шпал. Складаємо кількість дубових та соснових шпал і переконуємося, що рішення (100; 200) задовольняє цій умові: 100 + 200 = 300.

Наступна умова: усі дубові шпали важили на 1 т менше, ніж усі соснові . Бачимо, що рішення (100; 200) задовольняє й цій умові, оскільки 46×100 кг дубових шпал легше, ніж 28×200 кг соснових шпал: 5600 кг – 4600 кг = 1000 кг.

Завдання 3. Взяли три шматки сплаву міді з нікелем у відносинах 2: 1, 3: 1 та 5: 1 за масою. З них сплавлений шматок масою 12 кг із ставленням вмісту міді та нікелю 4: 1 . Знайдіть масу кожного вихідного шматка, якщо маса першого з них удвічі більша за масу другого.

2.3.1. Визначення.

Нехай дані лінійні рівняння:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Якщо потрібно знайти загальне рішення рівнянь (2.3.1)? (2.3.3), то кажуть, що вони утворюють систему . Система, що складається з рівнянь (2.3.1) ¾ (2.3.3), позначається так:

Загальне рішення рівнянь, що становлять систему, називається рішенням системи . Вирішити систему (2.3.4) - це означає або знайти безліч всіх його рішень, або довести, що їх немає.

Як і в попередніх випадках, нижче ми знайдемо умови, за яких система (2.3.4) має єдине рішення, має більше одного рішення та не має жодного рішення.

2.3.2. Визначення. Нехай дана система (2.3.4) лінійних рівнянь. Матриці

називаються відповідно ( Основний )матрицею і розширеною матрицею системи.

2.3.3. Визначення рівносильних систем виду (2.3.4), а також елементарних перетворень 1-го та 2-го типів вводяться аналогічно, як і для систем із двох рівнянь із двома та трьома невідомими.

Елементарним перетворенням 3-го типу системи (2.3.4) називається зміна місцями деяких двох рівнянь цієї системи. Аналогічно попереднім випадкам систем із 2-х рівнянь при елементарних перетвореннях системи виходить система,рівносильна даній.

2.3.4. Вправа. Розв'язати системи рівнянь:

Рішення. а)

(1) Поміняли місцями перше та друге рівняння системи (перетворення 3-го типу).

(2) Перше рівняння, помножене на 4, відняли від другого, і перше рівняння, помножене на 6, відняли від третього (перетворення 2-го типу); таким чином, з другого та третього рівнянь виключили невідому x .

(3) Друге рівняння, помножене на 14, відняли від третього; з третього виключили невідому y .

(4) З останнього рівняння знаходимо z = 1, підставляючи яке у друге, знаходимо y = 0. Нарешті, підставляючи y = 0 і z = 1 у перше рівняння, знаходимо x = -2.

(1) Поміняли місцями перше та друге рівняння системи.

(2) Перше рівняння, помножене на 4, відняли від другого, і перше рівняння, помножене на 6, відняли від третього.

(3) Друге та третє рівняння збіглися. Одне з них виключаємо із системи (або, по-іншому, якщо відняти з третього рівняння друге, то третє рівняння звернеться у тотожність 0 = 0; воно виключається із системи. Вважаємо z = a .

(4) Підставляємо z = a у друге та перше рівняння.

(5) Підставляючи y = 12 - 12a у перше рівняння, знаходимо x .

в) Якщо перше рівняння розділити на 4, а третє ¾ на 6, то прийдемо до рівносильної системи

яка рівносильна рівнянню x - 2y - z = -3. Рішення цього рівняння відомі (див. приклад 2.2.3 б))

Остання рівність в отриманій системі є суперечливою. Отже система рішень не має.

Перетворення (1) і (2) ¾ такі самі, як і відповідні перетворення системи б))

(3) З останнього рівняння відняли друге.

Відповідь: а) (-2; 0; 1);

б) (21 - 23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;

в) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};

г) Система рішень немає.

2.3.5. Із попередніх прикладів випливає, що система з трьома невідомими, як і система з двома невідомими, може мати єдине рішення, безліч рішень і не мати жодного рішення. Нижче ми розберемо усі можливі випадки. Але попередньо введемо деякі позначення.

Через D позначимо визначник матриці системи:

Через D 1 позначимо визначник, отриманий із D заміною першого стовпця на стовпець вільних членів:

Аналогічно, припустимо

D 2 = та D 3 = .

2.3.6. Теорема. Якщо D¹0, то система(2.3.4)має єдине рішення

, , . (2.3.5)

Формули (2.3.5) називаються формулами = = 0 для всіх i ¹ j і хоча б один із визначників , , не дорівнює нулю, то система рішень не має.

4) Якщо = = = = = = 0 для всіх i ¹ j , то система має безліч рішень, залежать від двох параметрів.

Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими

а 11 , a 12 , …, a 33- Коефіцієнти при невідомих,

b 1 , b 2 , b 3- Вільні члени.

Вирішити систему (2.4) означає знайти таку впорядковану трійку чисел x 1 = c 1 x 2 = c 2 x 3 = c 3при підстановці яких у рівняння системи останні звертаються до тотожності.

Система рівнянь, що має рішення (єдине чи незліченне безліч), називається спільної, система рівнянь, що не має рішень, – несумісний.

Наведемо три способи розв'язання системи (2.4).

Правило Крамера

Складемо визначник системи з коефіцієнтів при невідомих

(2.5)

Якщо , то система (2.4) має єдине рішення, що знаходиться за формулами Крамера:

де , отримані з визначника заміною відповідно першого, другого, третього стовпця стовпцем з вільних членів системи (2.4).

(2.7)

Приклад 7.Вирішити систему

Обчислюємо визначник системи (2.5) та визначники , , (2.6).

отже, система має єдине рішення.

За формулами Крамера (2.6) знаходимо:

Можна зробити перевірку, підставивши значення невідомих рівнянь системи.

Отже, x 1 = x 2 = x 3 = 1- Рішення системи.

Метод Гауса

Розглянемо систему (2.4):

Метод Гаусса, інакше метод послідовного виключення невідомих, ось у чому. Нехай Виключимо з 2-го та 3-го рівнянь системи x 1. Отримаємо систему:

Отримаємо систему трикутного вигляду. З 3-го рівняння знайдемо x 3, підставляючи його на друге рівняння, знайдемо x 2потім з 1-го рівняння знайдемо x 1, підставляючи в нього x 2і x 3.

приклад 8.Вирішити систему

Переставимо 3-е та 1-е рівняння, щоб у 1-му рівнянні коефіцієнт при x 1дорівнював 1.

Виключимо x 1з 2-го та 3-го рівнянь. Для цього помножимо перше рівняння на (-4) і складемо його з 2-м рівнянням; потім помножимо перше рівняння на (-6) і складемо з 3-м рівнянням. Отримаємо систему:

Виключимо x 2з 3-го рівняння. Для цього помножимо 2-е рівняння на (-13/10) та складемо з 3-м рівнянням. Отримаємо систему:

З останнього рівняння знаходимо x 3= -1, підставляємо у друге рівняння:

10x 2 - 13(-1) = -7, -10x 2 = - 20, x 2 = 2.

Підставляючи x 2і x 3в перше рівняння, отримаємо

Отже, рішення системи: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = -1.

Рішення системи за допомогою зворотної матриці

Дана система: (2.8)

Складемо матрицю Аз коефіцієнтів при невідомих, матрицю-стовпець Х- з невідомих, матрицю-стовпець У- З вільних членів.

Систему (2.8) можна записати у матричній формі так:

Матриця-рішення Хзнаходиться за формулою:

А -1- Зворотна матриця для матриці Авона складається з алгебраїчних доповнень елементів матриці. Аза формулою (2.3):

– детермінант чи визначник матриці А, .

Приклад 9.Вирішити систему:

Введемо матриці: ,

Зворотна матриця обчислена у прикладі 6. За формулою (2.9) знаходимо рішення системи

Отже, x 1=1, x 2=1, x 3=1.

Елементи векторної алгебри

Вектор– спрямований відрізок; позначається або . А- Початок вектора, У- Кінець.

Довжинаабо модуль вектора позначається.

Мал. 21.

В координатному просторі вектор 0xyz може бути представлений у вигляді

(3.1)

Ця формула дає розкладання вектора по базисувекторів , ; , - прямокутні декартові координати вектора (інакше проекції вектора на осі координат).

Формулу (3.1) можна записати так:

- Вектор має координати , , .

Довжина(модуль) вектора знаходиться за формулою:

. (3.2)

Якщо вектор заданий задано координатами початку A(x 1 ,y 1 ,z 1)і кінця B(x 2 ,y 2 ,z 2), то координати знаходяться за формулами:

Якщо відомі розкладання векторів і осях координат , то при додаванні (відніманні) векторів їх однойменні координати складаються (віднімаються), при множенні вектора число координати вектора множаться цього число, тобто.

(3.4)