Рішення дрібно раціональних нерівностей онлайн калькулятор. Рішення нерівностей з модулем. Лінійні нерівності. Рішення, приклади
нерівність цей вислів с, ≤, або ≥. Наприклад, 3x - 5 Вирішити нерівність означає знайти всі значення змінних, при яких ця нерівність вірно. Кожне з цих чисел є розв'язком нерівності, а безліч всіх таких рішень є його безліччю рішень. Нерівності, які мають той же безліч рішень, називаються еквівалентними нерівностями.
лінійні нерівності
Принципи рішення нерівностей аналогічні принципам рішення рівнянь.Принципи рішення нерівностей
Для будь-яких дійсних чисел a, b, і c:
Принцип додавання нерівностей: Якщо a Принцип множення для нерівностей: Якщо a 0 вірно, тоді ac Якщо a bc також вірно.
Подібні твердження також застосовуються для a ≤ b.
Коли обидві сторони нерівності множаться на негативне число, необхідно повністю змінити знак нерівності.
Нерівності першого рівня, як в прикладі 1 (нижче), називаються лінійними нерівностями.
приклад 1 Вирішіть кожне з наступних нерівностей. Потім покажіть безліч рішень.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Рішення
Будь-яке число, менше ніж 11/5, є рішенням.
Безліч рішень є (x | x
Щоб зробити перевірку, ми можемо намалювати графік y 1 \u003d 3x - 5 і y 2 \u003d 6 - 2x. Тоді звідси видно, що для x 
Безліччю рішень є (x | x ≤ 1), або (-∞, 1]. Графік безлічі рішень зображений нижче. 
подвійні нерівності
Коли два нерівності з'єднані словом і, або, Тоді формується подвійне нерівність. Подвійне нерівність, як
-3
і 2x + 5 ≤ 7
називається з'єднаним, Тому що в ньому використано і. Запис -3 Подвійні нерівності можуть бути вирішені з використанням принципів додавання і множення нерівностей.
приклад 2 Вирішіть -3 Рішення У нас є
Безліч рішень (x | x ≤ -1 або x\u003e 3). Ми можемо також написати рішення з використанням позначення інтервалу і символ для об'єднання або включення обох множин: (-∞ -1] (3, ∞). Графік безлічі рішень зображений нижче. 
Для перевірки, намалюємо y 1 \u003d 2x - 5, y 2 \u003d -7, і y 3 \u003d 1. Зауважте, що для (x | x ≤ -1 або x\u003e 3), y 1 ≤ y 2 або y 1\u003e y 3. 
Нерівності з абсолютним значенням (модулем)
Нерівності іноді містять модулі. Наступні властивості використовуються для їх вирішення.
Для а\u003e 0 і алгебраїчного виразу x:
| X | | X | \u003e A еквівалентно x або x\u003e a.
Подібні твердження і для | x | ≤ a і | x | ≥ a.
наприклад,
| X | | Y | ≥ 1 еквівалентно y ≤ -1 або y ≥ 1;
і | 2x + 3 | ≤ 4 еквівалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
приклад 4 Вирішіть кожне з наступних нерівностей. Побудуйте графік безлічі рішень.
a) | 3x + 2 | b) | 5 - 2x | ≥ 1
Рішення
a) | 3x + 2 |
b) | 5 - 2x | ≥ 1
Безліччю рішенням є (x | x ≤ 2 або x ≥ 3), або (-∞, 2]. У наступному прикладі така дужка використовується.
Запишемо відповідь: х ≥ -0,5 через проміжки:
х ∈ [-0,5; + ∞)
читається: ікс належить проміжку від мінус 0,5, включаючи, до плюс нескінченності.
Нескінченність не може включатися ніколи. Це не число, це символ. Тому в подібних записах нескінченність завжди є сусідами з круглою дужкою.
Така форма запису зручна для складних відповідей, що складаються з декількох проміжків. Але - саме для остаточних відповідей. У проміжних результатах, де передбачається подальше рішення, краще використовувати звичайну форму, у вигляді простого нерівності. Ми з цим у відповідних темах розберемося.
Популярні завдання з нерівностями.
Самі по собі лінійні нерівності прості. Тому, часто, завдання ускладнюються. Так, щоб подумати треба було. Це, якщо з незвички, не дуже приємно.) Але корисно. Покажу приклади таких завдань. Чи не для того, щоб ви їх вивчили, це зайве. А для того, щоб не боялися при зустрічі з подібними прикладами. Трохи подумати - і все просто!)
1. Знайдіть будь-які два рішення нерівності 3х - 3< 0
Якщо не дуже зрозуміло, що робити, згадуємо головне правило математики:
Не знаєш, що потрібно - роби, що можна!)
х < 1
І що? Та нічого особливого. Що нас просять? Нас просять знайти два конкретних числа, які є рішенням нерівності. Тобто підходять під відповідь. Два будь-яких числа. Власне, це і бентежить.) Підходить парочка 0 і 0,5. Парочка -3 і -8. Так цих парочок безліч! Яку відповідь правильний ?!
Відповідаю: все! Будь-яка парочка чисел, кожне з яких менше одиниці, буде правильною відповіддю. Пишіть, яку хочете. Їдемо далі.
2. Вирішити нерівність:
4х - 3 ≠ 0
Завдання в такому вигляді зустрічаються рідко. Але, як допоміжні нерівності, при знаходженні ОДЗ, наприклад, або при знаходженні області визначення функції, - зустрічаються часто-густо. Таке лінійне нерівність можна вирішувати як звичайне лінійне рівняння. Тільки скрізь, крім знака "\u003d" ( одно) Ставити знак " ≠ " (не дорівнює). Так до відповіді і підійдете, зі знаком нерівності:
х ≠ 0,75
У більш складних прикладах, краще чинити по-іншому. Зробити з нерівності рівність. Ось так:
4х - 3 = 0
Спокійно вирішити його, як вчили, і отримати відповідь:
х \u003d 0,75
Головне, в самому кінці, під час запису остаточної відповіді, не забути, що ми знайшли ікс, який дає рівність. А нам потрібно - нерівність. Стало бути, цей ікс нам якраз і не потрібний.) І треба записати його з правильним значком:
х ≠ 0,75
При такому підході виходить менше помилок. У тих, хто рівняння на автоматі вирішує. А тим, хто рівняння не вирішує, нерівності, власне, ні до чого ...) Ще приклад популярного завдання:
3. Знайти найменший цілий розв'язок нерівності:
3 (х - 1) < 5х + 9
Спочатку просто вирішуємо нерівність. Ракриваем дужки, переносимо, наводимо подібні ... Отримуємо:
х > - 6
Не так вийшло !? А за знаками стежили !? І за знаками членів, і за знаком нерівності ...
Знову міркуємо. Нам потрібно знайти конкретне число, відповідне і під відповідь, і під умову "Найменше ціле".Якщо відразу не осіняє, можна просто взяти будь-яке число і прикинути. Два більше мінус шести? Звісно! А є відповідне число поменше? Зрозуміло. Наприклад, нуль більше -6. А ще менше? Нам же найменше з можливих треба! Мінус три більше мінус шести! Уже можна вловити закономірність і перестати тупо перебирати числа, правда?)
Беремо число ближче до -6. Наприклад, -5. Відповідь виконується, -5 > - 6. Чи можна знайти ще число, менше -5, але більше -6? Можна, наприклад -5,5 ... Стоп! нам сказано цілерішення! Чи не котить -5,5! А мінус шість? Е-е-е! Нерівність суворе, мінус 6 ніяк не менше мінус 6!
Стало бути, правильна відповідь: -5.
Сподіваюся, з вибором значення із загального рішення все зрозуміло. Ще приклад:
4. Вирішити нерівність:
7 < 3х + 1 < 13
Ось як! Такий вираз називається потрійним нерівністю. Строго кажучи, це скорочений запис системи нерівностей. Але вирішувати такі потрійні нерівності все одно доводиться в деяких завданнях ... Воно вирішується без жодних систем. За тим же тотожним перетворенням.
Треба спростити, довести це нерівність до чистого ікси. Але ... Що куди переносити !? Ось тут саме час згадати, що перенесення вліво-вправо, це скорочена форма першого тотожного перетворення.
А повна форма звучить ось як: До обох частин рівняння (нерівності) можна додати / відняти будь-яке число, або вираз.
Тут три частини. Ось і будемо застосовувати тотожні перетворення до всіх трьох частинах!
Отже, позбудемося одинички в середній частині нерівності. Віднімемо від всієї середньої частини одиничку. Щоб нерівність не змінилося, віднімемо одиницю і від решти двох частин. Ось так:
7 -1< 3х + 1-1 < 13-1
6 < 3х < 12
Вже краще, правда?) Залишилося розділити всі три частини на трійку:
2 < х < 4
От і все. Це відповідь. Ікс може будь-яким числом від двійки (не включаючи) до четвірки (не включаючи). Ця відповідь теж записується через проміжки, такі записи будуть в квадратних нерівностях. Там вони - саме звичайна справа.
В кінці уроку повторю найголовніше. Успіх у вирішенні лінійних нерівностей залежить від уміння перетворювати і спрощувати лінійні рівняння. Якщо при цьому стежити за знаком нерівності, проблем не буде. Чого я вам і бажаю. Відсутність проблем.)
Якщо Вам подобається цей сайт ...
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
можна познайомитися з функціями і похідними.
