O'tkazib yuborilganlar sonining matematik taxminini toping. Ehtimollik va statistika asosiy faktlardir. Matematik kutish uchun asosiy formulalar

Ehtimollar nazariyasi matematikaning faqat oliy o'quv yurtlari talabalari tomonidan o'rganiladigan maxsus bo'limidir. Hisoblash va formulalarni yaxshi ko'rasizmi? Oddiy taqsimot, ansamblning entropiyasi, matematik kutish va diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan tanishish istiqbollaridan qo'rqmaysizmi? Shunda bu mavzu sizni juda qiziqtiradi. Keling, ushbu fan bo'limining eng muhim asosiy tushunchalari bilan tanishamiz.

Keling, asosiy narsalarni eslaylik

Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalarini eslab qolsangiz ham, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, asoslarni aniq tushunmasdan, siz quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.

Shunday qilib, qandaydir tasodifiy hodisa, qandaydir tajriba bor. Amalga oshirilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarni olishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez uchraydi, boshqalari kamroq. Hodisa ehtimoli - bu bir turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining mumkin bo'lganlarning umumiy soniga nisbati. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi va tarqalishini o'rganishni boshlashingiz mumkin.

O'rta arifmetik

Maktabda, matematika darslarida siz o'rtacha arifmetik bilan ishlay boshladingiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Hozir biz uchun asosiy narsa shundaki, biz buni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.

Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan barcha narsalarni jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bo'lsin. Elementlar yig'indisi 45 ga teng bo'ladi va biz bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.

Dispersiya

Ilmiy nuqtai nazardan, dispersiya - bu olingan xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati. Biri bosh lotin harfi D bilan belgilanadi. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va arifmetik o'rtacha o'rtasidagi farqni hisoblab chiqamiz va uning kvadratiga aylantiramiz. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani umumlashtiramiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'linadi. Agar bizda beshta mumkin bo'lgan natija bo'lsa, unda beshga bo'ling.

Dispersiya shuningdek, muammolarni hal qilishda uni qo'llash uchun eslab qolishingiz kerak bo'lgan xususiyatlarga ega. Misol uchun, agar tasodifiy miqdor X marta ko'paytirilsa, dispersiya kvadratdan X marta ortadi (ya'ni, X*X). U hech qachon noldan kam emas va qiymatlarni teng qiymatga yuqoriga yoki pastga siljishiga bog'liq emas. Shuningdek, mustaqil sinovlar uchun yig'indining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga teng.

Endi biz, albatta, diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini ko'rib chiqishimiz kerak.

Aytaylik, biz 21 ta tajriba o'tkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1,2,2,3,4,4 va 5 marta kuzatdik. Farq nima bo'ladi?

Birinchidan, biz o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: elementlarning yig'indisi, albatta, 21. Biz uni 7 ga bo'lamiz, 3 olamiz. Endi biz dastlabki ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiramiz va natijalarni birgalikda qo'shamiz. . Bu 12 bo'lib chiqdi. Endi biz uchun raqamni elementlar soniga bo'lish qoladi va bu hammasi bo'lib tuyuladi. Ammo bir yutuq bor! Keling, muhokama qilaylik.

Tajribalar soniga bog'liqlik

Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan biri bo'lishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (bu asosan bir xil). Bu nimaga bog'liq?

Agar testlar soni yuzlab o'lchangan bo'lsa, u holda biz maxrajga N qo'yishimiz kerak, agar birliklarda bo'lsa, N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqami bo'ylab ishlaydi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, unda biz miqdorni N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.

Vazifa

Keling, dispersiya va kutish masalasini hal qilish misolimizga qaytaylik. Biz oraliq raqamni oldik 12, uni N yoki N-1 ga bo'lish kerak edi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2 = 2.

Kutilgan qiymat

Keling, ushbu maqolada ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan natijalarni mos keladigan ehtimollar bilan ko'paytirish natijasidir. Olingan qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, qancha natijalarni hisobga olishidan qat'i nazar, butun vazifa uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.

Matematik kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uni ehtimollik bilan ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natija uchun bir xil qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash oson. Masalan, matematik taxminlar yig'indisi yig'indining matematik kutishiga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Ehtimollar nazariyasidagi har bir miqdor bunday oddiy operatsiyalarni bajarishga imkon bermaydi. Keling, topshiriqni olamiz va bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning qiymatini hisoblaymiz. Bundan tashqari, biz nazariya bilan chalg'itdik - amaliyot vaqti keldi.

Yana bir misol

Biz 50 ta sinovni o'tkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - har xil foizlarda paydo bo'ladi. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz foiz qiymatlarini 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0,1 va boshqalar. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish masalasini yechish misolini keltiramiz.

Biz boshlang'ich maktabda eslab qolgan formuladan foydalanib, o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: 50/10 = 5.

Keling, hisoblashni qulayroq qilish uchun ehtimollarni natijalar soniga "bo'laklarga" aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan o'rtacha arifmetikni ayirib, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga aylantiramiz. Misol sifatida birinchi element bilan buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5 = (-4). Keyinchalik: (-4) * (-4) = 16. Boshqa qiymatlar uchun ushbu amallarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, unda hamma narsani qo'shgandan so'ng siz 90 ni olasiz.

90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va o'rtachani hisoblashni davom ettiramiz. Nima uchun biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Shunday qilib: 90/10 = 9. Biz dispersiyani oldik. Agar siz boshqa raqamni olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda xato qildingiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshiring, shunda hamma narsa joyiga tushadi.

Va nihoyat, matematik kutish formulasini eslaylik. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, faqat barcha kerakli protseduralarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutilayotgan qiymat 5,48 bo'ladi. Biz faqat birinchi elementlarning misolidan foydalanib, operatsiyalarni qanday bajarishni eslaymiz: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz shunchaki natijaning qiymatini uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz.

Burilish

Dispersiya va matematik kutish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushuncha standart og'ishdir. U lotincha sd harflari yoki yunoncha kichik "sigma" bilan belgilanadi. Ushbu kontseptsiya o'rtacha qiymatlarning markaziy xususiyatdan qanday chetga chiqishini ko'rsatadi. Uning qiymatini topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblash kerak.

Agar siz oddiy taqsimotni chizsangiz va to'g'ridan-to'g'ri kvadrat og'ishini ko'rishni istasangiz, bu bir necha bosqichda amalga oshirilishi mumkin. Rasmning yarmini rejimning chap yoki o'ng tomoniga (markaziy qiymat) oling, natijada olingan raqamlarning maydonlari teng bo'lishi uchun gorizontal o'qga perpendikulyar chizing. Tarqatishning o'rtasi va gorizontal o'qdagi natijada proyeksiya o'rtasidagi segmentning qiymati standart og'ish bo'ladi.

Dasturiy ta'minot

Formulalarning tavsifi va keltirilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oson protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi - u "R" deb ataladi. U statistika va ehtimollik nazariyasidan ko'plab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funktsiyalarga ega.

Masalan, siz qiymatlar vektorini aniqlaysiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Nihoyat

Dispersiya va matematik kutish - bularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular fanni o'rganishning birinchi oylaridayoq ko'rib chiqiladi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaganliklari va ularni hisoblab chiqa olmaganliklari tufayli ko‘pchilik talabalar darhol dasturda qolib keta boshlaydilar va keyinchalik mashg‘ulotlar oxirida yomon baho oladilar, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.

Kuniga kamida bir hafta yarim soat mashq qiling, ushbu maqolada keltirilganlarga o'xshash vazifalarni hal qiling. Keyin, har qanday ehtimollik nazariyasi testida siz begona maslahatlar va nayranglarsiz misollar bilan kurashasiz.

Ma'lumki, taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflaydi. Biroq, tarqatish qonuni ko'pincha noma'lum va o'zini kamroq ma'lumot bilan cheklash kerak. Ba'zan tasodifiy o'zgaruvchini jami tasvirlaydigan raqamlardan foydalanish yanada foydali bo'ladi; bunday raqamlar deyiladi tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari.

Matematik kutish muhim raqamli xususiyatlardan biridir.

Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatiga taxminan teng.

Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.

Agar tasodifiy o'zgaruvchi cheklangan taqsimot qatori bilan tavsiflangan bo'lsa:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	p 1	p 2	p 3	…	r p

keyin matematik kutish M(X) formula bilan aniqlanadi:

Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tenglik bilan aniqlanadi:

bu yerda tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi X.

4.7-misol. Zar otilganda qancha ball tushishi haqidagi matematik taxminni toping.

Yechim:

Tasodifiy qiymat X 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymatlarini oladi. Uning taqsimlanish qonunini tuzamiz:

X
R

Keyin matematik taxmin:

Matematik kutishning xususiyatlari:

1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng:

M(S)=S.

2. Doimiy omil kutish belgisidan chiqarilishi mumkin:

M(CX) = CM(X).

3. Ikki mustaqil tasodifiy o'zgaruvchining ko'paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng:

M(XY) = M(X)M(Y).

4.8-misol. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar X Va Y Quyidagi taqsimot qonunlari bilan belgilanadi:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

XY tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Yechim.

Keling, ushbu miqdorlarning har birining matematik taxminlarini topamiz:

tasodifiy o'zgaruvchilar X Va Y mustaqil, shuning uchun kerakli matematik kutish:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Natija. Bir nechta o'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.

4. Ikki tasodifiy o'zgaruvchining yig'indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig'indisiga teng:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Natija. Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig'indisiga teng.

4.9-misol. Nishonga tegish ehtimoli teng bo'lgan 3 ta o'q uziladi p 1 = 0,4; p2= 0,3 va p 3= 0,6. Urishlar umumiy sonining matematik taxminini toping.

Yechim.

Birinchi zarbadagi zarbalar soni tasodifiy o'zgaruvchidir X 1, bu faqat ikkita qiymatni qabul qilishi mumkin: ehtimollik bilan 1 (urish). p 1= 0,4 va 0 (o'tkazib yuborish) ehtimollik bilan q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Birinchi zarbada urishlar sonining matematik kutilishi urish ehtimoliga teng:

Xuddi shunday, biz ikkinchi va uchinchi kadrlardagi zarbalar sonining matematik taxminlarini topamiz:

M(X 2)= 0,3 va M (X 3) \u003d 0,6.

Xitlarning umumiy soni, shuningdek, uchta zarbaning har biridagi urishlar yig'indisidan iborat tasodifiy o'zgaruvchidir:

X \u003d X 1 + X 2 + X 3.

Istalgan matematik kutish X biz matematik teorema orqali yig'indining kutilishini topamiz.

Tasodifiy o'zgaruvchi har bir test natijasida tasodifiy sabablarga ko'ra oldindan noma'lum qiymatni qabul qiladigan o'zgaruvchi deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilar katta lotin harflari bilan belgilanadi: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Turiga ko'ra tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin. diskret Va davomiy.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi- bu shunday tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uning qiymatlari sanaladigan, ya'ni chekli yoki sanab bo'lmaydigan bo'lishi mumkin. Hisoblash tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini sanab o'tish mumkinligini anglatadi.

1-misol . Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar keltiramiz:

a) $n$ zarbalar bilan nishonga urishlar soni, bu erda mumkin bo'lgan qiymatlar $0,\ 1,\\nuqtalar,\n$.

b) tanga otish paytida tushgan gerblar soni, bu erda mumkin bo'lgan qiymatlar $0,\1,\\nuqtalar,\n$.

c) bortga kelgan kemalar soni (hisoblanadigan qiymatlar to'plami).

d) birjaga kelgan qo'ng'iroqlar soni (hisoblanadigan qiymatlar to'plami).

1. Diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti qonuni.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ $x_1,\dots,\ x_n$ qiymatlarini $p\left(x_1\o'ng),\\dots,\ p\left(x_n\o'ng)$ ehtimoli bilan qabul qilishi mumkin. Ushbu qiymatlar va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik deyiladi diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Qoidaga ko'ra, ushbu yozishmalar jadval yordamida aniqlanadi, uning birinchi qatorida $x_1,\nuqta,\x_n$ qiymatlari ko'rsatilgan, ikkinchi qatorda esa ushbu qiymatlarga mos keladigan ehtimolliklar $. p_1,\nuqtalar,\p_n$.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \nuqtalar & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(massiv)$

2-misol . Tasodifiy o'zgaruvchi $X$ zar o'yilganda tashlangan ochkolar soni bo'lsin. Bunday tasodifiy $X$ $1,\2,\3,\4,\5,\6$ qiymatlarini olishi mumkin. Ushbu qiymatlarning barchasining ehtimoli $1/6$ ga teng. Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi uchun ehtimollik taqsimoti qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(massiv)$

Izoh. $1,\ 2,\ \nuqta,\ 6$ hodisalari $X$ diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunida hodisalarning toʻliq guruhini tashkil qilganligi sababli, ehtimollar yigʻindisi bittaga teng boʻlishi kerak, yaʼni $\sum( p_i)=1$.

2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi.

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning "markaziy" qiymatini belgilaydi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutish $x_1,\dots,\ x_n$ qiymatlari va ushbu qiymatlarga mos keladigan $p_1,\dots,\ p_n$ ehtimolliklarining mahsuloti yig'indisi sifatida hisoblanadi, ya'ni: $ M \ chap (X \ o'ng) = \ summa ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Ingliz adabiyotida yana bir $E\left(X\right)$ belgisi qoʻllaniladi.

Kutish xususiyatlari$M\chap(X\oʻng)$:

1. $M\left(X\right)$ $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining eng kichik va eng katta qiymatlari orasida.
2. Doimiyning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng, ya'ni. $ M \ chap (C \ o'ng) = C $.
3. Doimiy omilni kutish belgisidan chiqarish mumkin: $M \ chap (CX \ o'ng) = CM \ chap (X \ o'ng) $.
4. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko'paytmasiga teng: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3-misol . $2$ misolidan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining matematik kutilmasini topamiz.

$$M\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6) ustida)+2\cdot ((1)\(6) ustida )+3\cdot ((1)\(6) ustida)+4\cdot ((1)\(6) ustida)+5\cdot ((1)\(6) ustida)+6\cdot ((1) )\ortiqcha (6))=3,5.$$

Biz $M\left(X\right)$ $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining eng kichik ($1$) va eng katta ($6$) qiymatlari orasida ekanligini koʻrishimiz mumkin.

4-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning matematik kutilishi $M\left(X\right)=2$ ga teng. $3X+5$ tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ ni olamiz. cdot 2 +5=11$.

5-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning matematik kutilishi $M\left(X\right)=4$ ga teng. $2X-9$ tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ ni olamiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.

Teng matematik taxminlarga ega tasodifiy o'zgaruvchilarning mumkin bo'lgan qiymatlari ularning o'rtacha qiymatlari atrofida turlicha tarqalishi mumkin. Masalan, ikkita talabalar guruhida ehtimollar nazariyasi bo'yicha imtihon uchun o'rtacha ball 4 ga teng bo'ldi, lekin bir guruhda hamma yaxshi talabalar, ikkinchi guruhda esa faqat C talabalari va a'lochilar bo'lib chiqdi. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi atrofida tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining tarqalishini ko'rsatadigan bunday raqamli xarakteristikaga ehtiyoj bor. Bu xususiyat dispersiyadir.

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi$X$ bu:

$$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2).\ $$

Ingliz adabiyotida $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ yozuvidan foydalaniladi. Ko'pincha $D\left(X\right)$ dispersiyasi $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formulasi bilan hisoblanadi. chap (X \o'ng)\o'ng))^2$.

Dispersiya xususiyatlari$D\chap(X\o'ng)$:

1. Dispersiya har doim noldan katta yoki teng, ya'ni. $D\chap(X\o'ng)\ge 0$.
2. Doimiydan dispersiya nolga teng, ya'ni. $D\chap(C\oʻng)=0$.
3. Doimiy omil dispersiya belgisidan chiqarilishi mumkin, agar u kvadrat bo'lsa, ya'ni. $D \ chap (CX \ o'ng) = C ^ 2D \ chap (X \ o'ng) $.
4. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig'indisiga teng, ya'ni. $D \ chap (X + Y \ o'ng) = D \ chap (X \ o'ng) + D \ chap (Y \ o'ng) $.
5. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar farqining dispersiyasi ularning dispersiyalarining yig'indisiga teng, ya'ni. $D\chap(X-Y\o'ng)=D\chap(X\o'ng)+D\chap(Y\o'ng)$.

6-misol . $2$ misolidan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining dispersiyasini hisoblaylik.

$$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2)=((1)\ortiq (6))\cdot (\left(1-3,5\o'ng))^2+((1)\(6) ustida)\cdot (\left(2-3,5\o'ng))^2+ \nuqtalar +((1)\(6) ustidan)\cdot (\chap(6-3,5\o'ng))^2=((35)\(12))\taxminan 2,92.$$

7-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning dispersiyasi $D\left(X\right)=2$ ga teng. $4X+1$ tasodifiy oʻzgaruvchining dispersiyasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= ni topamiz. 16D\ chap(X\o'ng)=16\cdot 2=32$.

8-misol . Ma'lumki, $X$ dispersiyasi $D\left(X\right)=3$ ga teng. $3-2X$ tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= ni topamiz. 4D\ chap(X\o'ng)=4\cdot 3=12$.

4. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish funksiyasi.

Diskret tasodifiy miqdorni taqsimot qatori ko‘rinishida ifodalash usuli yagona emas, eng muhimi, u universal emas, chunki taqsimot qatori yordamida uzluksiz tasodifiy miqdorni aniqlab bo‘lmaydi. Tasodifiy o'zgaruvchini ifodalashning yana bir usuli bor - taqsimlash funktsiyasi.

tarqatish funktsiyasi$X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $F\left(x\right)$ funksiyasi boʻlib, $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x$, yaʼni $F\left(x\) dan kichik qiymatni qabul qilish ehtimolini aniqlaydi. o'ng)$ )=P\chap(X< x\right)$

Tarqatish funksiyasi xossalari:

1. $0\le F\left(x\o'ng)\le 1$.
2. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $\left(\alpha;\ \beta \right)$ oralig'idan qiymatlarni olish ehtimoli ushbu oraliq oxiridagi taqsimlash funktsiyasi qiymatlari orasidagi farqga teng. : $P\left(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - kamaymaydigan.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9-misol . $2$ misolidan $X$ diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni uchun $F\left(x\right)$ taqsimot funksiyasini topamiz.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(massiv)$

Agar $x\le 1$ bo'lsa, u holda $F\left(x\o'ng)=0$ (shu jumladan $x=1$ $F\left(1\o'ng)=P\left(X) bo'lsa< 1\right)=0$).

Agar $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Agar $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Agar $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Agar $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Agar 5 dollar bo'lsa< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Agar $x > 6$ bo'lsa, $F\left(x\o'ng)=P\left(X=1\o'ng)+P\left(X=2\o'ng)+P\chap(X=3\o'ng) + P\chap(X=4\o'ng)+P\chap(X=5\o'ng)+P\chap(X=6\o'ng)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Shunday qilib, $F(x)=\left\(\begin(matritsa)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1 da< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3 da< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1, \ uchun \ x > 6.
\end (matritsa)\o'ng.$

Matematik kutish tushunchasini zar otish misolida ko'rib chiqish mumkin. Har bir otishda tushgan ochkolar qayd etiladi. Ularni ifodalash uchun 1 dan 6 gacha bo'lgan tabiiy qiymatlar qo'llaniladi.

Muayyan miqdordagi otishlardan so'ng, oddiy hisob-kitoblar yordamida siz tushgan nuqtalarning o'rtacha arifmetik qiymatini topishingiz mumkin.

Har qanday diapazon qiymatlaridan voz kechish bilan bir qatorda, bu qiymat tasodifiy bo'ladi.

Va agar siz otishlar sonini bir necha marta oshirsangiz? Ko'p sonli otishlar bilan ballarning o'rtacha arifmetik qiymati ehtimollik nazariyasida matematik kutish nomini olgan ma'lum bir raqamga yaqinlashadi.

Shunday qilib, matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati sifatida tushuniladi. Bu ko'rsatkich ehtimoliy qiymatlarning o'lchangan yig'indisi sifatida ham taqdim etilishi mumkin.

Ushbu tushuncha bir nechta sinonimlarga ega:

• o'rtacha qiymati;
• o'rtacha qiymat;
• markaziy trend indikatori;
• birinchi daqiqa.

Boshqacha qilib aytganda, bu tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari atrofida taqsimlanadigan raqamdan boshqa narsa emas.

Inson faoliyatining turli sohalarida matematik kutishni tushunishga yondashuvlar biroz boshqacha bo'ladi.

Buni quyidagicha ko'rish mumkin:

• qaror qabul qilishdan olingan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar nazariyasi nuqtai nazaridan ko'rib chiqilsa;
• har bir tikish uchun o'rtacha hisoblangan g'alaba qozonish yoki yutqazishning mumkin bo'lgan miqdori (qimor nazariyasi). Slangda ular "o'yinchining afzalligi" (o'yinchi uchun ijobiy) yoki "kazino afzalligi" (futbolchi uchun salbiy) kabi eshitiladi;
• yutuqdan olingan foyda foizi.

Matematik kutish mutlaqo barcha tasodifiy o'zgaruvchilar uchun majburiy emas. Tegishli summa yoki integralda nomuvofiqlikka ega bo'lganlar uchun bu mavjud emas.

Kutish xususiyatlari

Har qanday statistik parametr singari, matematik kutish ham quyidagi xususiyatlarga ega:

Matematik kutish uchun asosiy formulalar

Matematik kutilmani hisoblash uzluksizligi (A formulasi) va diskretligi (B formulasi) bilan tavsiflangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ham amalga oshirilishi mumkin:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, bu erda xi tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari, pi - ehtimolliklar:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, bu yerda f(x) berilgan ehtimollik zichligi.

Matematik kutishni hisoblash misollari

Misol A.

Qorqiz haqidagi ertakdagi gnomlarning o'rtacha balandligini bilish mumkinmi? Ma'lumki, 7 gnomning har biri ma'lum bir balandlikka ega edi: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 va 0,81 m.

Hisoblash algoritmi juda oddiy:

• o'sish ko'rsatkichining barcha qiymatlari yig'indisini toping (tasodifiy o'zgaruvchi):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Olingan miqdor gnomlar soniga bo'linadi:
  6,31:7=0,90.

Shunday qilib, ertakdagi gnomlarning o'rtacha balandligi 90 sm. Boshqacha qilib aytganda, bu gnomlarning o'sishining matematik kutishidir.

Ishchi formula - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Matematik kutishning amaliy amalga oshirilishi

Matematik kutishning statistik ko'rsatkichini hisoblash amaliy faoliyatning turli sohalarida qo'llaniladi. Avvalo, biz tijorat sohasi haqida gapiramiz. Darhaqiqat, Gyuygens tomonidan ushbu ko'rsatkichning kiritilishi qandaydir hodisa uchun qulay yoki aksincha, noqulay bo'lishi mumkin bo'lgan imkoniyatlarni aniqlash bilan bog'liq.

Ushbu parametr, ayniqsa moliyaviy investitsiyalar haqida gap ketganda, xavflarni baholash uchun keng qo'llaniladi.
Shunday qilib, biznesda matematik kutishni hisoblash narxlarni hisoblashda xavfni baholash usuli sifatida ishlaydi.

Shuningdek, ushbu ko'rsatkichdan ma'lum chora-tadbirlarning samaradorligini hisoblashda, masalan, mehnatni muhofaza qilish bo'yicha foydalanish mumkin. Uning yordamida siz voqea sodir bo'lish ehtimolini hisoblashingiz mumkin.

Ushbu parametrni qo'llashning yana bir sohasi menejmentdir. U mahsulot sifatini nazorat qilish vaqtida ham hisoblanishi mumkin. Masalan, mat yordamida. taxminlar, siz ishlab chiqarish nuqsonli qismlarning mumkin bo'lgan sonini hisoblashingiz mumkin.

Ilmiy tadqiqot jarayonida olingan natijalarni statistik qayta ishlash jarayonida matematik kutish ham ajralmas hisoblanadi. Bundan tashqari, maqsadga erishish darajasiga qarab, tajriba yoki tadqiqotning istalgan yoki istalmagan natijasi ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Axir, uning yutug'i daromad va foyda bilan bog'liq bo'lishi mumkin, va erishilmasligi - yo'qotish yoki yo'qotish sifatida.

Forexda matematik kutishdan foydalanish

Ushbu statistik parametrni amalda qo'llash valyuta bozorida operatsiyalarni amalga oshirishda mumkin. U savdo operatsiyalarining muvaffaqiyatini tahlil qilish uchun ishlatilishi mumkin. Bundan tashqari, kutish qiymatining oshishi ularning muvaffaqiyati oshishini ko'rsatadi.

Shuni ham yodda tutish kerakki, matematik kutish treyder faoliyatini tahlil qilish uchun foydalaniladigan yagona statistik parametr sifatida qaralmasligi kerak. O'rtacha qiymat bilan bir qatorda bir nechta statistik parametrlardan foydalanish ba'zida tahlilning aniqligini oshiradi.

Ushbu parametr savdo hisoblari kuzatuvlarini kuzatishda o'zini yaxshi isbotladi. Unga rahmat, depozit hisobvarag'ida amalga oshirilgan ishlarni tezkor baholash amalga oshiriladi. Treyderning faoliyati muvaffaqiyatli bo'lgan va u yo'qotishlardan qochgan hollarda, faqat matematik kutishni hisoblashdan foydalanish tavsiya etilmaydi. Bunday hollarda xavflar hisobga olinmaydi, bu esa tahlil samaradorligini pasaytiradi.

Treyderlarning taktikasi bo'yicha o'tkazilgan tadqiqotlar shuni ko'rsatadiki:

• eng samarali - tasodifiy kiritishga asoslangan taktikalar;
• eng kam samarali bo'lganlar tuzilgan ma'lumotlarga asoslangan taktikalardir.

Ijobiy natijalarga erishish uchun bir xil darajada muhim:

• pulni boshqarish taktikasi;
• chiqish strategiyalari.

Matematik kutish kabi ko'rsatkichdan foydalanib, biz 1 dollar investitsiya qilishda qanday foyda yoki zarar bo'lishini taxmin qilishimiz mumkin. Ma'lumki, kazinoda o'ynaladigan barcha o'yinlar uchun hisoblangan ushbu ko'rsatkich muassasa foydasiga. Bu sizga pul ishlash imkonini beradi. Uzoq seriyali o'yinlar bo'lsa, mijoz tomonidan pul yo'qotish ehtimoli sezilarli darajada oshadi.

Professional o'yinchilarning o'yinlari kichik vaqt oralig'ida cheklangan, bu g'alaba qozonish imkoniyatini oshiradi va yo'qotish xavfini kamaytiradi. Xuddi shunday holat investitsiya operatsiyalarini bajarishda ham kuzatiladi.

Investor qisqa vaqt ichida ijobiy kutish va ko'p sonli bitimlar bilan katta miqdorda daromad olishi mumkin.

Kutishni foyda foizi (PW) o'rtacha foyda (AW) va yo'qotish ehtimoli (PL) o'rtacha yo'qotish (AL) o'rtasidagi farq sifatida ko'rib chiqilishi mumkin.

Misol tariqasida quyidagilarni ko'rib chiqing: pozitsiya - 12,5 ming dollar, portfel - 100 ming dollar, har bir omonat uchun xavf - 1%. Bitimlarning rentabelligi o'rtacha foyda 20% bo'lgan hollarda 40% ni tashkil qiladi. Yo'qotish bo'lsa, o'rtacha yo'qotish 5% ni tashkil qiladi. Savdo uchun matematik kutishni hisoblash $625 qiymatini beradi.

Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatidir.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklarining mahsuloti yig'indisidir:

Misol.

X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5

Yechish: Matematik kutish X ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklarining ko'paytmalari yig'indisiga teng:

M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.

Matematik kutishni hisoblash uchun Excelda hisob-kitoblarni amalga oshirish qulay (ayniqsa, ko'p ma'lumotlar mavjud bo'lganda), biz tayyor shablondan foydalanishni tavsiya qilamiz ().

Mustaqil yechim uchun misol (siz kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin).
Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni bilan berilgan matematik kutilmasini toping:

X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4

Matematik kutish quyidagi xususiyatlarga ega.

Xossa 1. O‘zgarmas qiymatning matematik kutilishi doimiyning o‘ziga teng: M(S)=S.

Xossa 2. Kutish belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin: M(SX)=SM(X).

Xususiyat 3. O'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutishlari omillarning matematik kutishlari mahsulotiga teng: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)

4-xususiyat. Tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+…+M. (Xn).

Masala 189. Agar X va Y matematik taxminlar ma'lum bo'lsa, Z tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Yechish: Matematik kutish xossalaridan foydalanib (yig‘indining matematik kutilishi atamalarning matematik kutilmalari yig‘indisiga teng; doimiy omilni kutish belgisidan chiqarish mumkin), M(Z)=M ni olamiz. (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Matematik kutish xossalaridan foydalanib, isbotlang: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) X-M(X) chetlanishning matematik kutilishi nolga teng.

191. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X uchta mumkin bo'lgan qiymatni oladi: x1= 4 p1 = 0,5 ehtimollik bilan; x3 = 6 ehtimollik bilan P2 = 0,3 va x3 p3 ehtimollik bilan. M(X)=8 ekanligini bilib, toping: x3 va p3.

192. X diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ro'yxati berilgan: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, bu miqdor va uning kvadratining matematik taxminlari ham ma'lum: M (X). ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0,9. Xi mumkin bo'lgan qiymatlarga mos keladigan p1, p2, p3 ehtimolliklarini toping

194. 10 qismli partiya uchta nostandart qismdan iborat. Ikki element tasodifiy tanlab olingan. X diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilmasini toping - ikkita tanlangan qismdan nostandart qismlar soni.

196. X diskret tasodifiy o‘zgaruvchining matematik kutilmasini toping, agar uloqtirishlarning umumiy soni yigirmata bo‘lsa, har birida ikkita zarda bitta nuqta paydo bo‘ladigan beshta zardan iborat shunday otishlar soni.

Binom taqsimotining matematik kutilishi sinovlar soni va bitta sinovda sodir bo'ladigan hodisa ehtimoli ko'paytmasiga teng: