Kvadrat tenglamaning ildizi ta’rifini tuzing. Kvadrat ildizlar. Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Shunchaki. Formulalar va aniq, oddiy qoidalarga ko'ra. Birinchi bosqichda

berilgan tenglamani standart shaklga qisqartirish kerak, ya'ni. qaramoq:

Agar tenglama sizga ushbu shaklda allaqachon berilgan bo'lsa, birinchi bosqichni bajarishingiz shart emas. Eng muhimi to'g'ri

barcha koeffitsientlarni aniqlang; a, b va c.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi diskriminant ... Ko'rib turganingizdek, x ni topish uchun biz

foydalanish faqat a, b va c. Bular. dan koeffitsientlar kvadrat tenglama... Faqat ehtiyotkorlik bilan almashtiring

ma'nosi a, b va c Ushbu formulaga kiriting va hisoblang. bilan almashtiring ular tomonidan belgilar!

Masalan, tenglamada:

a =1; b = 3; c = -4.

Qiymatlarni almashtiring va yozing:

Misol amalda hal qilingan:

Bu javob.

Eng keng tarqalgan xatolar ma'no belgilari bilan chalkashlikdir. a, b va bilan... Aksincha, almashtirish bilan

ildizlarni hisoblash formulasida salbiy qiymatlar. Bu erda formulaning batafsil yozuvi saqlanadi

aniq raqamlar bilan. Agar sizda hisoblash bilan bog'liq muammolar bo'lsa, buni qiling!

Aytaylik, biz ushbu misolni hal qilishimiz kerak:

Bu yerda a = -6; b = -5; c = -1

Biz hamma narsani batafsil, ehtiyotkorlik bilan, barcha belgilar va qavslar bilan o'tkazib yubormasdan bo'yab turamiz:

Kvadrat tenglamalar ko'pincha bir oz boshqacha ko'rinadi. Masalan, bu kabi:

Hozircha xatolarni keskin kamaytiradigan eng yaxshi amaliyotlarga e'tibor bering.

Birinchi qabul... Oldin dangasa bo'lmang kvadrat tenglamaning yechimi uni standart shaklga keltiring.

Bu nimani anglatadi?

Aytaylik, ba'zi o'zgarishlardan so'ng siz quyidagi tenglamaga ega bo'ldingiz:

Ildiz formulasini yozishga shoshilmang! Siz ehtimollarni aralashtirib yuborasiz. a, b va c.

Misolni to'g'ri tuzing. Birinchidan, X kvadrat, keyin kvadratsiz, keyin erkin atama. Mana bunday:

Minusdan xalos bo'ling. Qanaqasiga? Siz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishingiz kerak. Biz olamiz:

Ammo endi siz ildizlar uchun formulani xavfsiz yozishingiz, diskriminantni hisoblashingiz va misolni to'ldirishingiz mumkin.

Buni o'zing qil. Sizda 2 va -1 ildizlari bo'lishi kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlarni tekshiring! tomonidan Vyeta teoremasi.

Berilgan kvadrat tenglamalarni yechish uchun, ya'ni. koeffitsienti bo'lsa

x 2 + bx + c = 0,

keyinx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -b

To'liq kvadrat tenglama uchun a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

butun tenglamani ga bo'ling a:

→ →

qayerda x 1 va x 2 - tenglamaning ildizlari.

Uchinchi qabul... Agar sizning tenglamangizda kasr koeffitsientlari bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! Ko'paytiring

umumiy maxraj tenglamasi.

Chiqish. Amaliy maslahat:

1. Yechishdan oldin kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz, tuzamiz to'g'ri.

2. Agar kvadratdagi x ning oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, uni umumiy sonni ko'paytirish orqali yo'q qilamiz.

-1 ga tenglamalar.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, biz butun tenglamani mos keladigan ko'paytirish orqali kasrlarni yo'q qilamiz.

omil.

4. Agar x kvadrat sof bo'lsa, undagi koeffitsient birga teng bo'lsa, yechimni osongina tekshirish mumkin.

Video darslik 2: Kvadrat tenglamalarni yechish

Leksiya: Kvadrat tenglamalar

Tenglama

Tenglama- bu qandaydir tenglik bo'lib, uning ifodalarida o'zgaruvchi mavjud.

Tenglamani yeching- to'g'ri tenglikka keltiruvchi o'zgaruvchi o'rniga shunday sonni topishni bildiradi.

Tenglama bitta yechimga, bir nechta yechimga yoki umuman yechimga ega boʻlishi mumkin.

Har qanday tenglamani yechish uchun uni iloji boricha quyidagi shaklga soddalashtirish kerak:

Chiziqli: a * x = b;

Kvadrat: a * x 2 + b * x + c = 0.

Ya'ni, echishdan oldin har qanday tenglama standart shaklga o'tkazilishi kerak.

Har qanday tenglamani ikki usulda yechish mumkin: analitik va grafik.

Grafikda tenglamaning yechimi grafikning OX o'qini kesishgan nuqtalari deb hisoblanadi.

Kvadrat tenglamalar

Tenglamani kvadrat deb atash mumkin, agar soddalashtirilganda u quyidagi shaklni oladi:

a * x 2 + b * x + c = 0.

Qayerda a, b, c tenglamaning noldan farq qiluvchi koeffitsientlari. A "NS"- tenglamaning ildizi. Kvadrat tenglama ikkita ildizga ega yoki umuman yechimga ega bo'lmasligi mumkin, deb ishoniladi. Olingan ildizlar bir xil bo'lishi mumkin.

"a"- kvadrat ildiz oldida turgan koeffitsient.

"b"- birinchi darajali noma'lum oldida turadi.

"bilan" tenglamaning erkin hadi hisoblanadi.

Agar, masalan, bizda quyidagi shakldagi tenglama mavjud bo'lsa:

2x 2 -5x + 3 = 0

Unda “2” tenglamaning eng yuqori hadidagi koeffitsient, “-5” ikkinchi koeffitsient, “3” esa erkin haddir.

Kvadrat tenglamani yechish

Kvadrat tenglamani yechishning ko'plab usullari mavjud. Biroq, maktab matematika kursida yechim Vyeta teoremasi bo'yicha, shuningdek diskriminant yordamida o'rganiladi.

Diskriminant yechim:

Ushbu usul yordamida hal qilishda diskriminantni quyidagi formula bo'yicha hisoblash kerak:

Agar hisob-kitoblar paytida siz diskriminant noldan kichik ekanligini aniqlasangiz, bu tenglamaning echimi yo'qligini anglatadi.

Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, tenglama ikkita bir xil yechimga ega bo'ladi. Bunday holda, ko'phadni yig'indi yoki ayirma kvadratiga qisqartirilgan ko'paytirish formulasi bilan qisqartirish mumkin. Keyin uni chiziqli tenglama sifatida yeching. Yoki formuladan foydalaning:

Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, siz quyidagi usuldan foydalanishingiz kerak:

Vyeta teoremasi

Agar tenglama kamaytirilsa, ya'ni etakchi atamadagi koeffitsient birga teng bo'lsa, siz foydalanishingiz mumkin Vyeta teoremasi.

Shunday qilib, tenglamani deylik:

Tenglamaning ildizlari quyidagicha topiladi:

Tugallanmagan kvadrat tenglama

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olishning bir nechta variantlari mavjud, ularning shakli koeffitsientlar mavjudligiga bog'liq.

1. Agar ikkinchi va uchinchi koeffitsientlar nolga teng bo'lsa (b = 0, c = 0), u holda kvadrat tenglama quyidagicha bo'ladi:

Bu tenglama yagona yechimga ega bo'ladi. Tenglik faqat tenglamaning yechimi sifatida nol bo'lsa, haqiqiy bo'ladi.

Sizga shuni eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish berilganlarga qaraganda biroz qiyinroq (birozgina).

Eslab qoling, diskriminant yordamida har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin!

Hatto to'liqsiz.

Qolgan usullar buni tezroq bajarishga yordam beradi, lekin kvadrat tenglamalar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, avval diskriminant yordamida yechimni o'rganing.

1. Diskriminant yordamida kvadrat tenglamalarni yechish.

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda yechish juda oddiy, asosiysi amallar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir.

Agar, u holda tenglamaning 2 ta ildizi bor. 2-bosqichga alohida e'tibor berishingiz kerak.

Diskriminant D bizga tenglamadagi ildizlar sonini bildiradi.

• Agar bo'lsa, qadamdagi formula ga qisqartiriladi. Shunday qilib, tenglama butun ildizga ega bo'ladi.
• Agar, unda biz qadamda diskriminantdan ildizni ajratib ololmaymiz. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Keling, kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosiga murojaat qilaylik.

Funktsiya grafigi parabola:

Keling, tenglamalarimizga qaytaylik va ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol

Tenglamani yeching

1-qadam o'tkazib yuborish.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Demak, tenglamaning ikkita ildizi bor.

3-qadam.

Javob:

10-misol

Tenglamani yeching

Shuning uchun tenglama standart shaklda taqdim etiladi 1-qadam o'tkazib yuborish.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Demak, tenglama bitta ildizga ega.

Javob:

11-misol

Tenglamani yeching

Shuning uchun tenglama standart shaklda taqdim etiladi 1-qadam o'tkazib yuborish.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Shuning uchun biz diskriminantdan ildizni ajratib ololmaymiz. Tenglamaning ildizlari yo'q.

Endi biz bunday javoblarni qanday qilib to'g'ri yozishni bilamiz.

Javob: Ildiz yo'q

2. Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish

Esingizda bo'lsa, qisqartirilgan deb ataladigan tenglamalar turi mavjud (a koeffitsienti teng bo'lganda):

Bunday tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish juda oson:

Ildizlar yig'indisi berilgan kvadrat tenglama bo'lib, ildizlarning ko'paytmasi bo'ladi.

Siz shunchaki bir juft raqamlarni tanlashingiz kerak, ularning mahsuloti tenglamaning erkin muddatiga teng bo'ladi va yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientdir.

12-misol

Tenglamani yeching

Bu tenglama Viet teoremasi yordamida yechish uchun javob beradi, chunki ...

Tenglamaning ildizlari yig'indisi teng, ya'ni. birinchi tenglamani olamiz:

Va mahsulot teng:

Keling, tizimni tuzamiz va hal qilamiz:

• va. Miqdor teng;
• va. Miqdor teng;
• va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Javob: ; .

13-misol

Tenglamani yeching

Javob:

14-misol

Tenglamani yeching

Tenglama qisqartirildi, ya'ni:

Javob:

KVADRATIK TENGLAMALAR. O'RTACHA DARAJASI

Kvadrat tenglama nima?

Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglama ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda noma'lum, ba'zi sonlar va.

Raqam eng katta yoki deyiladi birinchi koeffitsientlar kvadrat tenglama, - ikkinchi koeffitsient, a - bepul a'zo.

Chunki agar, tenglama darhol chiziqli bo'ladi, chunki yo'qoladi.

Bundan tashqari, va nolga teng bo'lishi mumkin. Ushbu kafedrada tenglama chaqiriladi to'liqsiz.

Agar barcha shartlar joyida bo'lsa, ya'ni tenglama - to'liq.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Boshlash uchun, keling, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish usullarini tahlil qilaylik - ular oddiyroq.

Quyidagi tenglama turlarini ajratish mumkin:

I., bu tenglamada koeffitsient va kesishma teng.

II. , bu tenglamada koeffitsient.

III. , bu tenglamada erkin muddat.

Keling, ushbu kichik turlarning har biriga yechimni ko'rib chiqaylik.

Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirganda natija har doim ijobiy son bo'ladi. Shunung uchun:

agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q;

agar bizda ikkita ildiz bor

Bu formulalarni eslab qolish shart emas. Esda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, u kamroq bo'lishi mumkin emas.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

15-misol

Javob:

Salbiy ildizlarni hech qachon unutmang!

16-misol

Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildizlari yo'q.

Muammoning yechimi yo'qligini qisqacha qayd qilish uchun biz bo'sh to'plam belgisidan foydalanamiz.

Javob:

17-misol

Demak, bu tenglamaning ikkita ildizi bor: va.

Javob:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaring:

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu shuni anglatadiki, tenglama quyidagi hollarda yechimga ega:

Demak, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega: va.

Misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglamaning chap tomonini ko‘paytiring va ildizlarini toping:

Javob:

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish usullari

1. Diskriminant

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda yechish oson, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir. Esingizda bo'lsin, har qanday kvadrat tenglama diskriminant yordamida echilishi mumkin! Hatto to'liqsiz.

Ildiz formulasida diskriminantning ildizini payqadingizmi?

Ammo diskriminant salbiy bo'lishi mumkin.

Nima qilish kerak?

2-bosqichga alohida e'tibor berish kerak diskriminant bizga tenglamaning ildizlari sonini ko'rsatadi.

• Agar, tenglamaning ildizi bo'lsa:
• Agar, tenglama bir xil ildizga ega bo'lsa, lekin aslida bitta ildiz bo'lsa:

  Bunday ildizlar qo'sh ildiz deyiladi.

• Agar, u holda diskriminantning ildizi chiqarilmaydi. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Nima uchun ildizlarning soni boshqacha?

Keling, kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosiga murojaat qilaylik. Funktsiya grafigi parabola:

Kvadrat tenglama bo'lgan maxsus holatda.

Va bu kvadrat tenglamaning ildizlari abscissa o'qi (o'qi) bilan kesishish nuqtalari ekanligini anglatadi.

Parabola o'qni umuman kesib o'tmasligi yoki uni bitta (parabola cho'qqisi o'qda yotganda) yoki ikkita nuqtada kesishi mumkin.

Bundan tashqari, koeffitsient parabola shoxlarining yo'nalishi uchun javobgardir. Agar, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga, agar - pastga yo'naltirilgan bo'lsa.

Kvadrat tenglamalarni yechishga 4 ta misol

18-misol

Javob:

19-misol

Javob: .

20-misol

Javob:

21-misol

Shunday qilib, hech qanday yechim yo'q.

Javob: .

2. Vyeta teoremasi

Vyeta teoremasidan foydalanish juda oson.

Sizga shunchaki kerak olib ketish; ko'tarish hosilasi tenglamaning erkin hadiga teng bo'lgan, yig'indisi esa qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsient bo'lgan bunday juft son.

Shuni yodda tutish kerakki, Vyeta teoremasi faqat qo'llanilishi mumkin qisqartirilgan kvadrat tenglamalar ().

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

22-misol

Tenglamani yeching.

Yechim:

Bu tenglama Viet teoremasi yordamida yechish uchun javob beradi, chunki ... Boshqa koeffitsientlar:; ...

Tenglama ildizlarining yig'indisi:

Va mahsulot teng:

Keling, ko'paytmasi teng bo'lgan shunday juft raqamlarni tanlaymiz va ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

• va. Miqdor teng;
• va. Miqdor teng;
• va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Shunday qilib, va bizning tenglamamizning ildizlari.

Javob: ; ...

23-misol

Yechim:

Keling, mahsulotda berilgan shunday juft raqamlarni tanlaymiz va keyin ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

va: qo'shing.

va: qo'shing. Olish uchun siz faqat taxmin qilingan ildizlarning belgilarini o'zgartirishingiz kerak: va, albatta, mahsulot.

Javob:

24-misol

Yechim:

Tenglamaning erkin hadi manfiy, ya’ni ildizlarning hosilasi manfiy sondir. Bu faqat ildizlardan biri salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lsa mumkin. Demak, ildizlarning yig'indisi ularning modullaridagi farq.

Keling, mahsulotda beradigan va farqi teng bo'lgan raqamlar juftlarini tanlaymiz:

va: ularning farqi teng - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos keladi. Faqat ildizlardan biri salbiy ekanligini eslash qoladi. Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerakligi sababli, mutlaq qiymatdagi eng kichigining ildizi manfiy bo'lishi kerak:. Biz tekshiramiz:

Javob:

25-misol

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama qisqartirildi, ya'ni:

Erkin atama manfiy, ya'ni ildizlarning hosilasi manfiy. Va bu tenglamaning bir ildizi manfiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lgandagina mumkin.

Keling, ko'paytmasi teng bo'lgan bunday juft raqamlarni tanlaymiz va keyin qaysi ildizlarda salbiy belgi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:

Shubhasiz, faqat ildizlar va birinchi shartga mos keladi:

Javob:

26-misol

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama qisqartirildi, ya'ni:

Ildizlarning yig'indisi manfiy, ya'ni kamida bitta ildiz manfiy. Ammo ularning mahsuloti ijobiy bo'lganligi sababli, ikkala ildiz ham minus belgisi bilan.

Keling, ko'paytmasi teng bo'lgan shunday juft raqamlarni tanlaymiz:

Shubhasiz, ildizlar raqamlar va.

Javob:

Tan oling, bu yomon diskriminantni sanash o'rniga, og'zaki ildizlarni topish juda qulay.

Vieta teoremasidan iloji boricha tez-tez foydalanishga harakat qiling!

Ammo ildizlarni topishni osonlashtirish va tezlashtirish uchun Viet teoremasi kerak.

Undan foydalanish foydali bo'lishi uchun siz harakatlarni avtomatlashtirishga olib kelishingiz kerak. Va buning uchun yana beshta misolga qaror qiling.

Lekin aldamang: siz diskriminantdan foydalana olmaysiz! Faqat Viet teoremasi!

Mustaqil ish uchun Vyeta teoremasidan 5 ta misol

27-misol

Vazifa 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Viet teoremasi bo'yicha:

Odatdagidek, tanlovni bir parcha bilan boshlaymiz:

To'g'ri kelmaydi, chunki miqdori;

: miqdor sizga kerak bo'lgan narsadir.

Javob: ; ...

28-misol

Vazifa 2.

Va yana, bizning sevimli Vyeta teoremasi: yig'indi ishlashi kerak, lekin mahsulot teng.

Ammo bo'lmasligi kerakligi sababli, lekin, biz ildizlarning belgilarini o'zgartiramiz: va (yig'indida).

Javob: ; ...

29-misol

Vazifa 3.

Hmm... Bu qayerda?

Barcha shartlarni bir qismga o'tkazish kerak:

Ildizlarning yig'indisi mahsulotga teng.

Shunday qilib, to'xtang! Tenglama berilmagan.

Ammo Vyeta teoremasi faqat yuqoridagi tenglamalarda amal qiladi.

Shunday qilib, avval siz tenglamani keltirishingiz kerak.

Agar siz buni ko'tara olmasangiz, bu tashabbusni tashlab, uni boshqa yo'l bilan hal qiling (masalan, diskriminant orqali).

Sizga shuni eslatib o'tamanki, kvadrat tenglamani keltirish, etakchi koeffitsientni quyidagilarga tenglashtirishni anglatadi:

Keyin ildizlarning yig'indisi teng bo'ladi va mahsulot.

Bu erda olish oson: axir - asosiy raqam (tavtologiya uchun uzr).

Javob: ; ...

30-misol

Vazifa 4.

Erkin atama salbiy.

Buning nimasi o'ziga xos?

Va ildizlarning turli belgilar bo'lishi haqiqatdir.

Va endi, tanlov vaqtida biz ildizlarning yig'indisini emas, balki ularning modullarining farqini tekshiramiz: bu farq teng, lekin mahsulot.

Shunday qilib, ildizlar teng va, lekin ulardan biri minus bilan.

Vyeta teoremasi bizga ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgili ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi, ya'ni.

Bu shuni anglatadiki, kichikroq ildiz minusga ega bo'ladi: va, chunki.

Javob: ; ...

31-misol

Vazifa 5.

Birinchi navbatda nima qilish kerak?

To'g'ri, tenglamani keltiring:

Yana: biz sonning omillarini tanlaymiz va ularning farqi teng bo'lishi kerak:

Ildizlar teng va, lekin ulardan biri minus bilan. Qaysi? Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerak, ya'ni minus bilan kattaroq ildiz bo'ladi.

Javob: ; ...

Xulosa qiling

1. Vyeta teoremasi faqat berilgan kvadrat tenglamalarda qo'llaniladi.
2. Vieta teoremasidan foydalanib, siz tanlab, og'zaki ildizlarni topishingiz mumkin.
3. Agar tenglama berilmagan bo'lsa yoki bitta mos bo'sh muddatli ko'paytiruvchi juft bo'lmasa, unda butun ildizlar yo'q va siz boshqa yo'l bilan echishingiz kerak (masalan, diskriminant orqali).

3. To'liq kvadratni tanlash usuli

Agar noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalar qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan atamalar shaklida ifodalangan bo'lsa - yig'indining kvadrati yoki ayirma - u holda o'zgaruvchilarni o'zgartirgandan so'ng, tenglama turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama sifatida ifodalanishi mumkin.

Masalan:

32-misol

Tenglamani yeching:.

Yechim:

Javob:

33-misol

Tenglamani yeching:.

Yechim:

Javob:

Umuman olganda, transformatsiya quyidagicha ko'rinadi:

Bu shuni anglatadiki: .

Hech narsaga o'xshamaydimi?

Bu diskriminant! To'g'ri, biz diskriminant formulasini oldik.

KVADRATIK TENGLAMALAR. ASOSIY HAQIDA QISQA

Kvadrat tenglama ko'rinishdagi tenglama, bu erda noma'lum, kvadrat tenglamaning koeffitsientlari, erkin haddir.

To'liq kvadrat tenglama- koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan tenglama.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama- koeffitsienti bo'lgan tenglama, ya'ni:.

Tugallanmagan kvadrat tenglama- koeffitsient va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglama:

• Agar koeffitsient bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:,
• agar erkin atama bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:,
• agar va, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:.

1. Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

1.1. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda:

1) Noma'lumni ifodalaymiz:,

2) ifoda belgisini tekshiring:

• agar tenglamaning yechimlari bo'lmasa,
• bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

1.2. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda:

1) Qavslar ichidan umumiy omilni chiqarib oling:,

2) Komillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega:

1.3. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi, bu erda:

Bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:.

2. Bu yerda ko‘rinishdagi to‘liq kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

2.1. Diskriminant yordamida qaror qabul qilish

1) Tenglamani standart shaklga keltiramiz:,

2) Diskriminantni quyidagi formula bo'yicha hisoblaymiz, bu tenglamaning ildizlari sonini ko'rsatadi:

3) tenglamaning ildizlarini toping:

• agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi:
• agar, u holda tenglamaning ildizi bo'lsa, u formula bilan topiladi:
• bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q.

2.2. Viet teoremasi yordamida yechim

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi (shakldagi tenglamalar, bu erda) teng, ildizlarning mahsuloti esa teng, ya'ni. , a.

2.3. To'liq kvadrat yechim

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar. Haqiqiy, ko'p va murakkab ildiz hollari ko'rib chiqiladi. Kvadrat trinomialni faktoring qilish. Geometrik talqin. Ildizlarni aniqlash va faktoringga misollar.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamalarni onlayn yechish

Asosiy formulalar

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Kvadrat ildizlar(1) formulalar bilan aniqlanadi:
; .
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lganda, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (koeffitsientlar) sifatida ko'rsatish mumkin:
.

Bundan tashqari, biz bu haqiqiy raqamlar deb hisoblaymiz.
O'ylab ko'ring kvadratik diskriminant:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
; .
U holda kvadrat trinomialning faktorizatsiyasi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Mana xayoliy birlik,;
va - ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik talqini

Agar siz funktsiyani chizsangiz
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
Qachonki, grafik abscissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi ().
Qachonki, grafik bir nuqtada () abscissa o'qiga tegsa.
Qachonki, grafik abscissa o'qini kesib o'tmaydi ().

Foydali kvadrat tenglamalar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

O'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:




,
qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phad uchun formulani oldik:
.
Shundan ko'rinib turibdiki, tenglama

da amalga oshirildi
va .
Ya'ni, ular kvadrat tenglamaning ildizlari
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar

1-misol

(1.1) .

.
(1.1) tenglamamiz bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bundan kvadrat trinomning faktorizatsiyasini olamiz:

.

Funktsiya grafigi y = 2 x 2 + 7 x + 3 abscissa o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abtsissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).

;
;
.

2-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

U holda trinomialning faktorizatsiyasi:
.

Funktsiya grafigi y = x 2 - 4 x + 4 bir nuqtada abscissa o'qiga tegadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada abscissa o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta (2.1) dastlabki tenglamaning ildizidir. Chunki bu ildiz faktorizatsiyaga ikki marta kiradi:
,
keyin bunday ildiz odatda ko'p deb ataladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz borligiga ishonishadi:
.

;
.

3-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant salbiy,. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Murakkab ildizlarni topish mumkin:
;
;
.

Keyin


.

Funksiya grafigi abscissa o'qini kesib o'tmaydi. Yaroqli ildizlar yo'q.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abscissa (o'q) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Yaroqli ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.

Shuningdek qarang:

", Ya'ni birinchi darajali tenglamalar. Ushbu darsda biz tahlil qilamiz nima kvadrat tenglama deyiladi va uni qanday hal qilish kerak.

Kvadrat tenglama nima deyiladi

Muhim!

Tenglamaning darajasi noma'lum turgan eng katta daraja bilan aniqlanadi.

Agar noma'lum bo'lgan maksimal quvvat "2" bo'lsa, sizda kvadrat tenglama mavjud.

Kvadrat tenglamalarga misollar

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Muhim! Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi quyidagicha ko'rinadi:

A x 2 + b x + c = 0

"A", "b" va "c" raqamlari berilgan.

• "A" - birinchi yoki eng muhim koeffitsient;
• "B" - ikkinchi koeffitsient;
• "C" bepul a'zo.

"A", "b" va "c" ni topish uchun siz o'zingizning tenglamangizni "ax 2 + bx + c = 0" kvadrat tenglamaning umumiy shakli bilan taqqoslashingiz kerak.

Kvadrat tenglamalarda “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlashni mashq qilaylik.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Tenglama	Imkoniyatlar
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Chiziqli tenglamalardan farqli o'laroq, kvadrat tenglamalarni echish uchun maxsus ildizlarni topish formulasi.

Eslab qoling!

Kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

• kvadrat tenglamani "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishga keltiring. Ya'ni, o'ng tomonda faqat "0" qolishi kerak;
• ildizlar uchun formuladan foydalaning:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish uchun formuladan foydalanishga misol keltiramiz. Kvadrat tenglamani yechamiz.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" tenglamasi allaqachon "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishiga qisqartirilgan va qo'shimcha soddalashtirishlarni talab qilmaydi. Buni hal qilish uchun biz faqat murojaat qilishimiz kerak kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Bu tenglama uchun “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlaymiz.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Uning yordami bilan har qanday kvadrat tenglama yechiladi.

"x 1; 2 =" formulasida radikal ifoda ko'pincha almashtiriladi
"D" harfi bilan "B 2 - 4ac" va diskriminant deb ataladi. Diskriminant tushunchasi "Diskriminant nima" darsida batafsilroq muhokama qilinadi.

Kvadrat tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqing.

x 2 + 9 + x = 7x

Ushbu shaklda "a", "b" va "c" koeffitsientlarini aniqlash juda qiyin. Avval tenglamani "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishga keltiramiz.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Endi siz ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Javob: x = 3

Kvadrat tenglamalarda ildiz bo'lmagan holatlar mavjud. Bu holat formulada ildiz ostida manfiy raqam topilganda yuzaga keladi.