Kublarning yig'indisi va ayirmasi qanday echiladi. Kub va kub farqi: qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash qoidalari. FSO qo'llanilishiga misollar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikki ifodaning ayirmasining kvadrati; ikki ifoda kvadratlarining farqi; yig'indining kubi va ikki ifodaning ayirma kubi; ikki ifoda kublarining yig‘indisi va ayirmalari.

Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

Ifodalarni soddalashtirish, ko‘phadlarni faktorlarga ajratish va ko‘phadlarni standart ko‘rinishga keltirish uchun qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari qo‘llaniladi. Yoddan bilishingiz kerak bo'lgan qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

a, b R bo'lsin. Keyin:

1. Ikki ifoda yig'indisining kvadrati birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Ikki ifoda ayirmasining kvadrati birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchisi plyus ikkinchi ifodaning kvadrati.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratchalar farqi ikkita ifoda bu ifodalar ayirmasi va ularning yig‘indisi ko‘paytmasiga teng.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. summa kubi ikkita ifodaning kubi birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifodaning uch karra kvadratiga ikkinchi plyus birinchi ifodaning uch karra ko‘paytmasi ikkinchi ifodaning kvadratiga plyus ikkinchi ifoda kubiga teng.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. farq kubi ikki ifodaning kubi birinchi ifodaning kvadratining koʻpaytmasining uch marta koʻpaytmasiga, ikkinchisi esa birinchi ifodaning uch karrali koʻpaytmasiga va ikkinchisining kvadrati minus ikkinchi ifoda kubining koʻpaytmasiga teng.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kublar yig'indisi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar yig‘indisining ushbu ifodalar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kublarning farqi ikki ifodaning birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining ushbu ifodalar yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

1-misol

Hisoblash

a) Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati formulasidan foydalanib, biz bor

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Ikki ifodaning kvadrat ayirmasi formulasidan foydalanib, hosil qilamiz

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

2-misol

Hisoblash

Ikki ifoda kvadratlarining farqi uchun formuladan foydalanib, biz olamiz

3-misol

Ifodani soddalashtirish

(x - y) 2 + (x + y) 2

Ikki ifodaning yig'indisining kvadrati va ayirmasining kvadrati uchun formulalardan foydalanamiz

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Bitta jadvalda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Kvadratchalar farqi

$a^2-b^2$ kvadratlar farqi formulasini olamiz.

Buning uchun quyidagi qoidani yodda tuting:

Agar ifodaga har qanday monomial qo'shilsa va bir xil monomial ayirilsa, biz to'g'ri identifikatsiyani olamiz.

Keling, ifodamizga qo'shamiz va undan $ab$ monomialini ayiramiz:

Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:

Ya'ni, ikkita monomning kvadratlari ayirmasi ularning ayirmasi va yig'indisining ko'paytmasiga teng.

1-misol

$(4x)^2-y^2$ ko'paytmasi sifatida ifodalang

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\chap(2x-y\o'ng)(2x+y)\]

Kublar yig'indisi

Biz $a^3+b^3$ kublar yigʻindisi formulasini olamiz.

Qavslar ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:

Qavslar ichidan $\left(a+b\right)$ chiqaramiz:

Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:

Ya'ni, ikkita monomialning kublari yig'indisi ularning yig'indisining ayirmasining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng.

2-misol

$(8x)^3+y^3$ mahsulot sifatida ifodalang

Ushbu ifoda quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

\[((2x))^3+y^3=\chap(2x+y\o'ng)(4x^2-2xy+y^2)\]

Kublarning farqi

Biz $a^3-b^3$ kublar farqi formulasini olamiz.

Buning uchun biz yuqoridagi qoidadan foydalanamiz.

Keling, ifodamizga qo'shamiz va undan $a^2b\ va \ (ab)^2$ monomlarini ayiramiz:

Qavslar ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:

Qavslar ichidan $\left(a-b\right)$ chiqaramiz:

Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:

Ya'ni, ikkita monomial kublarining farqi ularning ayirmasining yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng.

3-misol

$(8x)^3-y^3$ ko'paytmasi sifatida ifodalang

Ushbu ifoda quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

\[((2x))^3-y^3=\chap(2x-y\o'ng)(4x^2+2xy+y^2)\]

Kvadratlar ayirmasi va kublar yig'indisi va ayirmasi formulalaridan foydalanish bo'yicha topshiriqlarga misol

4-misol

Ko'paytiring.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Yechim:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Kvadratlar farqi formulasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

\[((a+5))^2-3^2=\chap(a+5-3\o'ng)\chap(a+5+3\o'ng)=\chap(a+2\o'ng)(a +8)\]

Ushbu ifodani quyidagi shaklda yozamiz:

Keling, kub kublar formulasini qo'llaymiz:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Ushbu ifodani quyidagi shaklda yozamiz:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\chap(\frac(1)(3)\o'ng))^3-x^3\]

Keling, kub kublar formulasini qo'llaymiz:

\[(\left(\frac(1)(3)\o'ng))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\o‘ng)\]

Arifmetikada, aniqrog'i algebrada katta algebraik ifodalarni tezroq hisoblash uchun formulalar yoki qisqartirilgan ko'paytirish qoidalari qo'llaniladi. Formulalarning o'zi bir nechta polinomlarni ko'paytirish uchun algebrada mavjud qoidalardan olingan.

Ushbu formulalardan foydalanish turli xil matematik muammolarni juda tez hal qilishni ta'minlaydi, shuningdek, ifodalarni soddalashtirishga yordam beradi. Algebraik o'zgartirishlar qoidalari ifodalar bilan ba'zi manipulyatsiyalarni bajarishga imkon beradi, shundan so'ng siz o'ng tomonda joylashgan tenglikning chap tomonidagi ifodani olishingiz yoki tenglikning o'ng tomonini o'zgartirishingiz mumkin (ifodani olish uchun). teng belgisidan keyin chap tomon).

Xotiraga qisqartirilgan ko'paytirish uchun ishlatiladigan formulalarni bilish qulay, chunki ular ko'pincha masala va tenglamalarni echishda qo'llaniladi. Ushbu ro'yxatga kiritilgan asosiy formulalar va ularning nomlari quyida keltirilgan.

yig'indisi kvadrat

Yig'indining kvadratini hisoblash uchun siz birinchi hadning kvadratidan, birinchi va ikkinchi hadning ikki barobari va ikkinchisining kvadratidan iborat yig'indini topishingiz kerak. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha yoziladi: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Farqning kvadrati

Farqning kvadratini hisoblash uchun siz birinchi raqamning kvadratidan, birinchi raqamning ikkinchi ko'paytmasining ikki barobariga (qarama-qarshi belgi bilan olingan) va ikkinchi raqamning kvadratidan tashkil topgan summani hisoblashingiz kerak. Ifoda shaklida ushbu qoida quyidagicha ko'rinadi: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Kvadratchalar farqi

Ikki sonning kvadrati ayirmasining formulasi bu sonlar yig‘indisi va ularning ayirmasi ko‘paytmasiga teng. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

summa kubi

Ikki a'zo yig'indisining kubini hisoblash uchun siz birinchi hadning kubidan tashkil topgan yig'indini hisoblashingiz kerak, birinchi hadning kvadratining ko'paytmasini uch baravar va ikkinchi, birinchi hadning uch barobar ko'paytmasi va ikkinchi kvadrat va ikkinchi hadning kubi. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Kublar yig'indisi

Formulaga ko'ra, bu hadlar yig'indisi va ularning to'liq bo'lmagan ayirma kvadratining ko'paytmasiga teng. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Misol. Ikki kubni qo'shish orqali hosil bo'lgan raqamning hajmini hisoblash kerak. Faqat ularning tomonlari kattaligi ma'lum.

Agar tomonlarning qiymatlari kichik bo'lsa, unda hisob-kitoblarni bajarish oson.

Agar tomonlarning uzunligi noqulay raqamlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu holda "Kublar yig'indisi" formulasini qo'llash osonroq bo'ladi, bu esa hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi.

farq kubi

Kub farqining ifodasi shunday eshitiladi: birinchi hadning uchinchi darajali yig'indisi sifatida birinchi hadning kvadratining manfiy ko'paytmasini ikkinchisiga, birinchi hadning ko'paytmasini ikkinchisining kvadratiga uch marta ko'paytiring. , va ikkinchi hadning manfiy kubi. Matematik ifoda ko'rinishida farq kubi quyidagicha ko'rinadi: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Kublarning farqi

Kublarning farqi formulasi kublar yig'indisidan faqat bitta belgi bilan farq qiladi. Shunday qilib, kublar farqi bu raqamlarning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng formuladir. Shaklda kublarning farqi quyidagicha ko'rinadi: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Misol. Ko'k kubning hajmidan kub bo'lgan sariq hajmli raqamni ayirishdan keyin qoladigan raqam hajmini hisoblash kerak. Kichik va katta kubning faqat tomonining o'lchami ma'lum.

Agar tomonlarning qiymatlari kichik bo'lsa, hisob-kitoblar juda oddiy. Va agar tomonlarning uzunligi sezilarli raqamlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda "Kublar farqi" (yoki "Farq kubi") deb nomlangan formuladan foydalanishga arziydi, bu hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari (FSU) raqamlar va ifodalarni ko'paytirish va ko'paytirish uchun ishlatiladi. Ko'pincha bu formulalar hisob-kitoblarni yanada ixcham va tez bajarishga imkon beradi.

Ushbu maqolada biz qisqartirilgan ko'paytirishning asosiy formulalarini sanab o'tamiz, ularni jadvalga guruhlaymiz, ushbu formulalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqamiz, shuningdek qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini isbotlash tamoyillariga to'xtalamiz.

Birinchi marta 7-sinf uchun “Algebra” kursi doirasida FDU mavzusi ko‘rib chiqildi. Quyida 7 ta asosiy formulalar keltirilgan.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

1. yig'indisi kvadrat formulasi: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. Farq kvadrat formulasi: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. yig'indisi kub formulasi: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. farq kub formulasi: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. kvadratchalar farqi formulasi: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. kublar yig'indisi formulasi: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. kub farq formulasi: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Bu ifodalardagi a, b, c harflari har qanday son, o‘zgaruvchi yoki ifoda bo‘lishi mumkin. Foydalanish qulayligi uchun ettita asosiy formulani yoddan o'rganish yaxshiroqdir. Biz ularni jadvalda umumlashtiramiz va ularni quti bilan aylantirib, quyida beramiz.

Birinchi to'rtta formula sizga mos ravishda ikkita ifodaning yig'indisi yoki farqining kvadrati yoki kubini hisoblash imkonini beradi.

Beshinchi formula ifodalar kvadratlarining farqini ularning yig‘indisi va ayirmasini ko‘paytirish yo‘li bilan hisoblab chiqadi.

Oltinchi va ettinchi formulalar, mos ravishda, ifodalar yig'indisi va ayirmasining ayirmaning to'liq bo'lmagan kvadratiga va yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirilishi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ba'zan qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlari deb ham ataladi. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki har bir tenglik o'ziga xoslikdir.

Amaliy misollarni echishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari ko'pincha chap va o'ng qismlarni qayta tartibga solingan holda qo'llaniladi. Bu, ayniqsa, polinomni faktoringlashda qulaydir.

Qo'shimcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

Biz o'zimizni algebra bo'yicha 7-sinf kursi bilan cheklab qo'ymaymiz va FSU jadvalimizga yana bir nechta formulalarni qo'shamiz.

Birinchidan, Nyutonning binomial formulasini ko'rib chiqing.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Bu yerda C n k - Paskal uchburchagida n qator raqamida joylashgan binom koeffitsientlari. Binom koeffitsientlari quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

C nk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Ko'rib turganingizdek, farq va yig'indining kvadrati va kubi uchun FSU mos ravishda n=2 va n=3 uchun Nyutonning binomial formulasining maxsus holatidir.

Ammo kuchga ko'tarilishi kerak bo'lgan summada ikkidan ortiq muddat bo'lsa-chi? Uch, to'rt yoki undan ortiq shartlar yig'indisining kvadrati uchun formula foydali bo'ladi.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Foydali boʻlishi mumkin boʻlgan yana bir formula bu ikki hadning n-darajali ayirmasining formulasi.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ushbu formula odatda ikkita formulaga bo'linadi - mos ravishda juft va toq darajalar uchun.

Juft darajali 2 m uchun:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

2m+1 toq darajalar uchun:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Kvadratlar farqi va kublar farqi formulalari, siz taxmin qilgansiz, mos ravishda n = 2 va n = 3 uchun ushbu formulaning maxsus holatlari. Kublar farqi uchun b ham - b bilan almashtiriladi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qanday o'qish kerak?

Biz har bir formula uchun tegishli formulalarni beramiz, lekin birinchi navbatda formulalarni o'qish printsipi bilan shug'ullanamiz. Buni qilishning eng oson yo'li - misol. Keling, ikkita son yig'indisining kvadratining birinchi formulasini olaylik.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Ular aytadilar: a va b ikkita ifoda yig'indisining kvadrati birinchi ifoda kvadratining yig'indisiga, ifodalar ko'paytmasining ikki barobari va ikkinchi ifoda kvadratiga teng.

Boshqa barcha formulalar xuddi shunday o'qiladi. Kvadrat farq uchun a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 yozamiz:

ikkita a va b ifodalar ayirmasining kvadrati bu ifodalar kvadratlari yig’indisidan birinchi va ikkinchi ifodalarning ikki baravar ko’paytmasiga teng.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 formulasini o‘qib chiqamiz. Ikki a va b ifodalar yig‘indisining kubi bu ifodalarning kublari yig‘indisiga, birinchi ifoda va ikkinchi ifoda kvadratining uch karra ko‘paytmasiga, ikkinchi ifoda kvadratining uch karra ko‘paytmasiga teng. va birinchi ifoda.

Biz a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 kublarning farqi formulasini o'qishni davom ettiramiz. Ikki a va b ifodalar ayirmasining kubi birinchi ifodaning kubiga minus birinchi ifoda kvadratining uch karrasini va ikkinchi ifodaning kvadratiga, plyus ikkinchi ifoda va birinchi ifoda kvadratining uch karrasini, minus kubga teng. ikkinchi ifodadan.

Beshinchi formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (kvadratlar farqi) quyidagicha o'qiladi: ikkita ifoda kvadratlarining farqi farqning ko'paytmasiga va ikkita ifodaning yig'indisiga teng.

Qulaylik uchun a 2 + a b + b 2 va a 2 - a b + b 2 kabi ifodalar mos ravishda yig'indining to'liqsiz kvadrati va ayirmaning to'liqsiz kvadrati deb ataladi.

Shuni hisobga olib, kublarning yig'indisi va ayirmasining formulalari quyidagicha o'qiladi:

Ikki ifodaning kublari yig'indisi bu ifodalar yig'indisi va ularning ayirmasining to'liq bo'lmagan kvadratining ko'paytmasiga teng.

Ikki ifoda kublarining ayirmasi bu ifodalar ayirmasining ularning yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

FSU isboti

FSUni isbotlash juda oddiy. Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslanib, biz qavs ichidagi formulalar qismlarini ko'paytirishni amalga oshiramiz.

Masalan, farqning kvadrati formulasini ko'rib chiqing.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Ifodani ikkinchi darajaga ko'tarish uchun ifodani o'ziga ko'paytirish kerak.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Qavslarni kengaytiramiz:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formula isbotlangan. Boshqa FSOlar ham xuddi shunday isbotlangan.

FSO qo'llanilishiga misollar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llashdan maqsad ifodalarni tez va ixcham ko'paytirish va darajaga chiqarishdir. Biroq, bu FSOning to'liq doirasi emas. Ular ifodalarni qisqartirish, kasrlarni qisqartirish, ko'phadlarni ko'paytirishda keng qo'llaniladi. Keling, misollar keltiraylik.

1-misol. FSO

9 y - (1 + 3 y) 2 ifodasini soddalashtiramiz.

Kvadratlar yig'indisi formulasini qo'llang va quyidagilarni oling:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

2-misol. FSO

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 kasrni kamaytiring.

Numeratordagi ifoda kublar ayirmasi, maxrajda esa kvadratlar ayirmasi ekanligini ko'ramiz.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Biz qisqartiramiz va olamiz:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSUs shuningdek, ifodalarning qiymatlarini hisoblashda yordam beradi. Asosiysi, formulani qaerga qo'llashni payqash mumkin. Buni misol bilan ko'rsatamiz.

Keling, 79 raqamini kvadratga aylantiramiz. Qiyin hisoblar o'rniga biz yozamiz:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari va ko'paytirish jadvalidan foydalangan holda murakkab hisoblash tezda amalga oshirilganga o'xshaydi.

Yana bir muhim nuqta - binomialning kvadratini tanlash. 4 x 2 + 4 x - 3 ifodasini 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 ga aylantirish mumkin. Bunday transformatsiyalar integratsiyada keng qo'llaniladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing