Haqiqiy bilim har doim namuna o'rnatishga va muayyan sharoitlarda uning to'g'riligini isbotlashga asoslangan. Mantiqiy mulohazalar mavjud bo'lgan bunday uzoq vaqt davomida qoidalarning formulalari berilgan va Aristotel hatto "to'g'ri fikrlash" ro'yxatini tuzgan. Tarixan barcha xulosalarni ikki turga bo'lish odatiy holdir - aniqdan ko'plikka (induksiya) va aksincha (deduksiya). Shuni ta'kidlash kerakki, dalilning xususiydan umumiyga va umumiydan xususiyga bo'lgan turlari faqat o'zaro bog'liqlikda mavjud bo'lib, ularni almashtirib bo'lmaydi.

Matematikada induksiya

"Induksiya" (induksiya) atamasi lotincha ildizlarga ega va so'zma-so'z tarjimada "yo'l-yo'riq" deb tarjima qilinadi. Yaqindan o'rganib chiqqach, so'zning tuzilishini, ya'ni lotincha prefiksi - in- (yo'naltirilgan harakatni ichkariga yoki ichkariga kirishni bildiradi) va -duction - kirishni ajratish mumkin. Shuni ta'kidlash kerakki, ikki xil - to'liq va to'liq bo'lmagan induksiya. To'liq shakl ma'lum bir sinfning barcha mavzularini o'rganish natijasida olingan xulosalar bilan tavsiflanadi.

To'liq bo'lmagan - sinfning barcha mavzulariga taalluqli, ammo faqat ba'zi birliklarni o'rganish asosida tuzilgan xulosalar.

To'liq matematik induktsiya - bu funktsional bog'liqlik haqidagi bilimga asoslangan tabiiy raqamlar qatori munosabatlari bilan funktsional bog'liq bo'lgan har qanday ob'ektlarning butun sinfi haqida umumiy xulosaga asoslangan xulosa. Bunday holda, isbotlash jarayoni uch bosqichda amalga oshiriladi:

• birinchi bosqichda matematik induksiya bayonining to'g'riligi isbotlanadi. Misol: f = 1, induksiya;
• keyingi bosqich pozitsiya barcha natural sonlar uchun amal qiladi degan taxminga asoslanadi. Ya'ni, f=h, bu induktiv taxmin;
• uchinchi bosqichda f=h+1 soni uchun pozitsiyaning to'g'riligi, oldingi bandning pozitsiyasining to'g'riligiga asoslanib isbotlanadi - bu induksion o'tish yoki matematik induksiya bosqichidir. Misol, agar qatordagi birinchi suyak tushsa (asos), keyin qatordagi barcha suyaklar tushadi (o'tish).

Ham hazil, ham jiddiy

Idrok qilish qulayligi uchun matematik induksiya usuli bilan echimlar misollari hazil masalalari shaklida qoralanadi. Bu muloyim navbat vazifasi:

• Xulq-atvor qoidalari erkakning ayolning oldida burilishni taqiqlaydi (bunday vaziyatda u oldiga qo'yiladi). Ushbu bayonotga asoslanib, agar navbatdagi oxirgi odam erkak bo'lsa, qolganlarning hammasi erkaklardir.

Matematik induksiya usulining yorqin misoli "O'lchovsiz parvoz" muammosi:

• Mikroavtobusga istalgan miqdordagi odam sig'ishini isbotlash talab qilinadi. To'g'ri, bir kishi qiyinchiliksiz transport ichiga sig'ishi mumkin (asos). Ammo mikroavtobus qanchalik to'la bo'lmasin, unga 1 yo'lovchi doimo sig'adi (induksiya bosqichi).

tanish doiralar

Masalalar va tenglamalarni matematik induksiya yordamida yechish misollari juda keng tarqalgan. Ushbu yondashuvning misoli sifatida biz quyidagi muammoni ko'rib chiqishimiz mumkin.

Vaziyat: tekislikda h aylanalar joylashtiriladi. Raqamlarning har qanday joylashuvi uchun ular tomonidan tuzilgan xaritani ikkita rang bilan to'g'ri bo'yash mumkinligini isbotlash talab qilinadi.

Yechim: h=1 uchun gapning haqiqati ravshan, shuning uchun h+1 doiralar soni uchun isbot quriladi.

Faraz qilaylik, bu gap har qanday xarita uchun to'g'ri va tekislikda h + 1 doiralar berilgan. Jami doiralardan birini olib tashlash orqali siz ikkita rang (qora va oq) bilan to'g'ri bo'yalgan xaritani olishingiz mumkin.

O'chirilgan doirani tiklashda har bir maydonning rangi teskarisiga o'zgaradi (bu holda, doira ichida). Ikki rangda to'g'ri bo'yalgan xarita paydo bo'ldi, buni isbotlash kerak edi.

Natural sonlar bilan misollar

Matematik induktsiya usulini qo'llash quyida aniq ko'rsatilgan.

Yechim misollari:

Har qanday h uchun tenglik to'g'ri bo'lishini isbotlang:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. h=1 bo‘lsin, u holda:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Bundan kelib chiqadiki, h=1 uchun gap to'g'ri.

2. h=d deb faraz qilsak, quyidagi tenglama olinadi:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. h=d+1 deb faraz qilsak, shunday chiqadi:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Shunday qilib, h=d+1 uchun tenglikning to'g'riligi isbotlangan, demak, matematik induksiya orqali yechim misolida ko'rsatilgan har qanday natural son uchun bayonot to'g'ri bo'ladi.

Vazifa

Vaziyat: h ning istalgan qiymati uchun 7 h -1 ifoda 6 ga qoldiqsiz bo'linishini isbotlash talab qilinadi.

Yechim:

1. Bu holda h=1 deylik:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (ya'ni, qoldiqsiz 6 ga bo'lingan)

Demak, h=1 uchun gap to'g'ri;

2. h=d va 7 d -1 6 ga qoldiqsiz bo‘linsin;

3. h=d+1 uchun gapning to‘g‘riligini isboti formula hisoblanadi:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

Bunda birinchi had birinchi xatboshi faraziga ko’ra 6 ga bo’linadi, ikkinchi had esa 6 ga teng bo’ladi. 7 h -1 hech qanday natural h uchun qoldiqsiz 6 ga bo’linadi degan gap to’g’ri.

Hukmning noto'g'riligi

Ko'pincha, qo'llaniladigan mantiqiy tuzilmalar noto'g'ri bo'lganligi sababli isbotlashda noto'g'ri fikrlash qo'llaniladi. Asosan, bu isbotning tuzilishi va mantig'i buzilganda sodir bo'ladi. Noto'g'ri fikrlashning misoli quyidagi rasmdir.

Vazifa

Vaziyat: har qanday tosh uyumi qoziq emasligini isbotlashni talab qiladi.

Yechim:

1. Aytaylik, h=1, bu holda qoziqda 1 ta tosh bor va gap to'g'ri (asos);

2. h=d uchun tosh uyumi qoziq emasligi to'g'ri bo'lsin (taxmin);

3. h=d+1 bo'lsin, bundan kelib chiqadiki, yana bitta tosh qo'shilsa, to'plam uyum bo'lmaydi. Xulosa shuni ko'rsatadiki, bu taxmin barcha tabiiy h uchun haqiqiydir.

Xato shundaki, qancha toshlar qoziq hosil qilishi haqida hech qanday ta'rif yo'q. Bunday o'tkazib yuborish matematik induksiya usulida shoshilinch umumlashtirish deb ataladi. Bir misol buni yaqqol ko'rsatib turibdi.

Induksiya va mantiq qonunlari

Tarixiy jihatdan ular har doim "qo'l qo'llab yurishadi". Mantiq, falsafa kabi ilmiy fanlar ularni qarama-qarshilik shaklida tasvirlaydi.

Mantiq qonuni nuqtai nazaridan, induktiv ta'riflar faktlarga asoslanadi va binolarning to'g'riligi natijaviy bayonotning to'g'riligini aniqlamaydi. Ko'pincha xulosalar ma'lum darajada ehtimollik va ishonchlilik bilan olinadi, bu, albatta, qo'shimcha tadqiqotlar bilan tasdiqlanishi va tasdiqlanishi kerak. Mantiqdagi induksiya misoli quyidagi bayonot bo'lishi mumkin:

Estoniyada qurg'oqchilik, Latviyada qurg'oqchilik, Litvada qurg'oqchilik.

Estoniya, Latviya va Litva Boltiqbo'yi davlatlari. Barcha Boltiqbo'yi davlatlarida qurg'oqchilik.

Misoldan xulosa qilishimiz mumkinki, induksiya usuli yordamida yangi ma'lumot yoki haqiqatni olish mumkin emas. Hisoblash mumkin bo'lgan yagona narsa - bu xulosalarning mumkin bo'lgan haqiqati. Bundan tashqari, binolarning haqiqati bir xil xulosalarga kafolat bermaydi. Biroq, bu fakt deduksiyaning orqa hovlisida induksiya o'simliklari borligini anglatmaydi: induktsiya usuli yordamida juda ko'p qoidalar va ilmiy qonunlar asoslanadi. Bunga matematika, biologiya va boshqa fanlar misol bo'la oladi. Bu, asosan, to'liq induktsiya usuli bilan bog'liq, lekin ba'zi hollarda qisman ham qo'llaniladi.

Induksiyaning hurmatli yoshi unga inson faoliyatining deyarli barcha sohalariga kirib borishga imkon berdi - bu fan, iqtisodiyot va kundalik xulosalar.

Ilmiy muhitda induksiya

Induksiya usuli ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishni talab qiladi, chunki juda ko'p narsa butunning o'rganilgan tafsilotlari soniga bog'liq: o'rganilgan soni qanchalik ko'p bo'lsa, natija shunchalik ishonchli bo'ladi. Bu xususiyatdan kelib chiqqan holda, induksiya usuli bilan olingan ilmiy qonuniyatlar barcha mumkin bo'lgan strukturaviy elementlar, bog'lanishlar va ta'sirlarni ajratib olish va o'rganish uchun ehtimollik taxminlar darajasida etarlicha uzoq vaqt davomida sinovdan o'tkaziladi.

Fanda induktiv xulosa muhim belgilarga asoslanadi, tasodifiy qoidalar bundan mustasno. Bu fakt ilmiy bilishning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq holda muhim ahamiyatga ega. Bu fandagi induksiya misollarida yaqqol ko‘rinadi.

Ilmiy dunyoda induksiyaning ikki turi mavjud (o'rganish usuli bilan bog'liq holda):

1. induksiya-tanlash (yoki tanlash);
2. induksiya - istisno qilish (yo'q qilish).

Birinchi tur sinfni (kichik sinflarni) uning turli sohalaridan uslubiy (sinf) tanlab olish bilan ajralib turadi.

Bunday induksiyaning misoli quyidagicha: kumush (yoki kumush tuzlari) suvni tozalaydi. Xulosa uzoq muddatli kuzatishlarga asoslanadi (tasdiqlash va rad etishning bir turi - tanlash).

Induktsiyaning ikkinchi turi sabab-oqibat munosabatlarini o'rnatadigan va uning xususiyatlariga mos kelmaydigan holatlarni, ya'ni universallik, vaqtinchalik ketma-ketlikka rioya qilish, zarurat va noaniqlikni istisno qiladigan xulosalarga asoslanadi.

Falsafa nuqtai nazaridan induksiya va deduksiya

Agar tarixiy retrospektivga nazar tashlasangiz, “induksiya” atamasi birinchi marta Sokrat tomonidan tilga olingan. Aristotel falsafadagi induksiya misollarini ko'proq taxminiy terminologik lug'atda tasvirlab bergan, ammo to'liq bo'lmagan induksiya masalasi ochiqligicha qolmoqda. Aristotel sillogizmi ta'qib qilingandan so'ng, induktiv usul tabiiy fanda samarali va yagona mumkin bo'lgan usul sifatida tan olindi. Bekon mustaqil maxsus usul sifatida induksiyaning otasi hisoblanadi, lekin u zamondoshlari talab qilganidek, induksiyani deduktiv usuldan ajrata olmadi.

Induksiyaning keyingi rivojlanishini J.Mill amalga oshirdi, u induksiya nazariyasini to‘rtta asosiy usul: kelishik, farq, qoldiq va tegishli o‘zgarishlar nuqtai nazaridan ko‘rib chiqdi. Bugungi kunda sanab o'tilgan usullar batafsil ko'rib chiqilsa, deduktiv bo'lishi ajablanarli emas.

Bekon va Mill nazariyalarining nomuvofiqligini bilish olimlarni induksiyaning ehtimollik asoslarini tekshirishga olib keldi. Biroq, bu erda ham ba'zi haddan tashqari holatlar mavjud edi: ehtimollik nazariyasiga induksiyani barcha oqibatlar bilan kamaytirishga urinishlar qilindi.

Induksiya ma'lum fan sohalarida amaliy qo'llashda va induktiv asosning metrik aniqligi tufayli ishonch ovozini oladi. Falsafadagi induksiya va deduksiyaga misol qilib olamshumul tortishish qonunini keltirish mumkin. Qonun kashf etilgan sanada Nyuton uni 4 foiz aniqlik bilan tekshirishga muvaffaq bo'ldi. Va ikki yuz yildan ko'proq vaqt o'tgandan so'ng, tekshirish xuddi shu induktiv umumlashtirishlar bilan amalga oshirilgan bo'lsa-da, to'g'rilik 0,0001 foiz aniqlik bilan tasdiqlandi.

Zamonaviy falsafa deduksiyaga ko'proq e'tibor beradi, bu tajribaga, sezgiga murojaat qilmasdan, balki "sof" fikrlashdan foydalanib, allaqachon ma'lum bo'lgan narsadan yangi bilim (yoki haqiqat) olish mantiqiy istagi bilan belgilanadi. Deduktiv usulda haqiqiy binolarga murojaat qilganda, barcha hollarda chiqish haqiqiy bayonotdir.

Bu juda muhim xususiyat induktiv usulning qiymatini soya qilmasligi kerak. Tajriba yutuqlariga asoslangan induksiya ham uni qayta ishlash vositasiga (shu jumladan umumlashtirish va tizimlashtirish) aylanadi.

Induksiyaning iqtisodiyotda qo‘llanilishi

Induksiya va deduksiya uzoq vaqtdan beri iqtisodiyotni o‘rganish va uning rivojlanishini bashorat qilish usullari sifatida qo‘llanilgan.

Induksiya usulini qo'llash doirasi ancha keng: prognoz ko'rsatkichlari (foyda, amortizatsiya va boshqalar) bajarilishini o'rganish va korxona holatini umumiy baholash; faktlar va ularning munosabatlariga asoslangan samarali korxonani ilgari surish siyosatini shakllantirish.

Xuddi shu induksiya usuli Shewhart grafiklarida qo'llaniladi, bu erda jarayonlar boshqariladigan va boshqarilmaydiganlarga bo'linadi, degan faraz ostida boshqariladigan jarayonning ramkasi faol emasligi ko'rsatilgan.

Shuni ta'kidlash kerakki, ilmiy qonunlar induksiya usuli yordamida asoslanadi va tasdiqlanadi va iqtisodiyot ko'pincha matematik tahlil, tavakkalchilik nazariyasi va statistik ma'lumotlardan foydalanadigan fan bo'lganligi sababli, induktsiya asosiy qonunlar ro'yxatiga kiritilganligi ajablanarli emas. usullari.

Quyidagi holat iqtisodiyotda induksiya va deduksiyaga misol bo‘la oladi. Oziq-ovqat (iste'mol savatchasidan) va zaruriy tovarlar narxining oshishi iste'molchini davlatda paydo bo'ladigan yuqori narx (induksiya) haqida o'ylashga undaydi. Shu bilan birga, yuqori xarajat faktidan matematik usullardan foydalangan holda, alohida tovarlar yoki tovarlar toifalari (chegirma) bo'yicha narxlarning o'sishi ko'rsatkichlarini olish mumkin.

Ko'pincha boshqaruv xodimlari, menejerlar va iqtisodchilar induksiya usuliga murojaat qilishadi. Korxonaning rivojlanishini, bozor xatti-harakatlarini va raqobat oqibatlarini etarlicha haqiqat bilan bashorat qilish uchun axborotni tahlil qilish va qayta ishlashga induktiv-deduktiv yondashuv zarur.

Iqtisodiyotda noto'g'ri hukmlarga ishora qiluvchi induksiyaning yorqin misoli:

• kompaniyaning foydasi 30% ga kamaydi;
  raqobatchi mahsulot qatorini kengaytirdi;
  boshqa hech narsa o'zgarmadi;
• raqobatchi kompaniyaning ishlab chiqarish siyosati foydaning 30% ga qisqarishiga olib keldi;
• shuning uchun bir xil ishlab chiqarish siyosatini amalga oshirish kerak.

Misol, induksiya usulidan noto'g'ri foydalanish korxonaning vayron bo'lishiga qanday hissa qo'shishining rangli tasviridir.

Psixologiyada deduksiya va induksiya

Usul mavjud bo'lgani uchun, mantiqan, to'g'ri tashkil etilgan fikrlash ham mavjud (usuldan foydalanish uchun). Psixologiya psixik jarayonlarni, ularning shakllanishi, rivojlanishi, munosabatlari, o'zaro ta'sirini o'rganuvchi fan sifatida deduksiya va induksiyaning namoyon bo'lish shakllaridan biri sifatida "deduktiv" tafakkurga e'tibor beradi. Afsuski, Internetdagi psixologiya sahifalarida deduktiv-induktiv usulning yaxlitligi uchun amalda hech qanday asos yo'q. Garchi professional psixologlar induksiyaning namoyon bo'lishiga, aniqrog'i, noto'g'ri xulosalarga duch kelishlari mumkin.

Psixologiyadagi induksiyaning misoli, noto'g'ri hukmlarning misoli sifatida, quyidagi bayonotdir: mening onam yolg'onchi, shuning uchun barcha ayollar yolg'onchidir. Hayotdan induksiyaning "noto'g'ri" misollari ham bor:

• talaba matematikadan ikki daraja olgan bo'lsa, hech narsaga qodir emas;
• u ahmoq;
• u aqlli;
• Men hamma narsani qila olaman;

Va mutlaqo tasodifiy va ba'zan ahamiyatsiz xabarlarga asoslangan boshqa ko'plab baholar.

Shuni ta'kidlash kerakki: insonning hukmlarining noto'g'riligi bema'nilik darajasiga yetganda, psixoterapevt uchun ish jabhasi paydo bo'ladi. Mutaxassisning qabuliga kirishning bir misoli:

"Bemor har qanday ko'rinishda qizil rang uning uchun faqat xavf tug'dirishiga mutlaqo amin. Natijada, inson bu rang sxemasini hayotidan chiqarib tashladi - iloji boricha. Uy sharoitida farovon yashash uchun ko'plab imkoniyatlar mavjud. Siz barcha qizil narsalarni rad qilishingiz yoki ularni boshqa rang sxemasida tayyorlangan analoglar bilan almashtirishingiz mumkin. Ammo jamoat joylarida, ishda, do'konda - bu mumkin emas. Stressli vaziyatga tushib qolgan bemor har safar butunlay boshqacha hissiy holatlarning "to'lqinini" boshdan kechiradi, bu boshqalar uchun xavfli bo'lishi mumkin.

Induksiyaning bu misoli va ongsiz ravishda "sobit g'oyalar" deb ataladi. Agar bu ruhiy jihatdan sog'lom odam bilan sodir bo'lsa, biz aqliy faoliyatni tashkil etmaslik haqida gapirishimiz mumkin. Deduktiv fikrlashning elementar rivojlanishi obsesif holatlardan xalos bo'lish usuliga aylanishi mumkin. Boshqa hollarda, psixiatrlar bunday bemorlar bilan ishlaydi.

Induksiyaning yuqoridagi misollari shuni ko'rsatadiki, "qonunni bilmaslik oqibatlardan (noto'g'ri hukmlardan) ozod qilmaydi".

Deduktiv fikrlash mavzusida ishlaydigan psixologlar odamlarga ushbu usulni o'zlashtirishga yordam beradigan tavsiyalar ro'yxatini tuzdilar.

Birinchi qadam muammoni hal qilishdir. Ko'rinib turibdiki, matematikada qo'llaniladigan induksiya shaklini "klassik" deb hisoblash mumkin va bu usuldan foydalanish aqlning "tartibiga" hissa qo'shadi.

Deduktiv fikrlashni rivojlantirishning navbatdagi sharti ufqlarni kengaytirishdir (aniq fikrlaydiganlar, aniq aytadilar). Bu tavsiyanoma «azob»ni ilm-fan va axborot xazinalariga (kutubxonalar, veb-saytlar, ta'lim tashabbuslari, sayohatlar va boshqalar) yo'naltiradi.

Alohida-alohida, "psixologik induksiya" deb ataladigan narsalarni eslatib o'tish kerak. Bu atama, kamdan-kam bo'lsa-da, Internetda topish mumkin. Barcha manbalar ushbu atamaning hech bo'lmaganda qisqacha ta'rifini bermaydi, balki "hayotdan misollar" ga murojaat qiladi, shu bilan birga taklifni, ruhiy kasallikning ayrim shakllarini yoki inson psixikasining ekstremal holatlarini induksiyaning yangi turi sifatida o'tkazadi. Yuqorida aytilganlarning barchasidan ko'rinib turibdiki, noto'g'ri (ko'pincha noto'g'ri) binolarga asoslangan "yangi atama" ni chiqarishga urinish eksperimentatorni noto'g'ri (yoki shoshqaloq) bayonot olishga majbur qiladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, 1960 yildagi eksperimentlarga havola (o'tkaziladigan joy, eksperimentchilarning ismlari, sub'ektlarning namunasi va eng muhimi, eksperimentning maqsadi ko'rsatilmagan holda) yumshoq qilib aytganda, ishonchsiz ko'rinadi va bayonot Miyaning barcha idrok a'zolarini chetlab o'tib, ma'lumotni qabul qilishi (bu holda "tajribali" iborasi ko'proq organik tarzda mos keladi) odamni bayonot muallifining ishonchliligi va tanqidsizligi haqida o'ylashga majbur qiladi.

Xulosa o'rniga

Fanlar malikasi - matematika induksiya va deduksiya usulining barcha mumkin bo'lgan zaxiralaridan bejiz foydalanmaydi. Ko'rib chiqilgan misollar, hatto eng to'g'ri va ishonchli usullarni yuzaki va bema'ni (ular aytganidek, o'ylamasdan) qo'llash har doim noto'g'ri natijalarga olib keladi degan xulosaga kelishimizga imkon beradi.

Ommaviy ongda deduksiya usuli mashhur Sherlok Xolms bilan bog'liq bo'lib, u o'zining mantiqiy konstruktsiyalarida ko'pincha zarur vaziyatlarda deduksiyadan foydalangan holda induksiya misollaridan foydalanadi.

Maqolada ushbu usullarni inson hayotining turli fanlari va sohalarida qo'llash misollari ko'rib chiqildi.

Matematik isbotlashning eng keng tarqalgan usullaridan biri asosida matematik induksiya yotadi. Uning yordami bilan siz ko'pgina formulalarni natural sonlar bilan isbotlashingiz mumkin, masalan, S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 n progressiyaning birinchi hadlari yig'indisini topish formulasi, Nyutonning binomial formulasi a. + b n = C n 0 a n C n 1 a n - 1 b +. . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n.

Birinchi xatboshida biz asosiy tushunchalarni tahlil qilamiz, keyin usulning o'zi asoslarini ko'rib chiqamiz, keyin esa tenglik va tengsizliklarni isbotlash uchun qanday foydalanishni aytamiz.

Induksiya va deduksiya tushunchalari

Birinchidan, induksiya va deduksiya nima ekanligini ko'rib chiqaylik.

Ta'rif 1

Induksiya xususiydan umumiyga o'tishdir va chegirma aksincha, umumiydan xususiyga.

Misol uchun, bizda bir bayonot bor: 254 ni butunlay ikkiga bo'lish mumkin. Undan biz ko'plab xulosalar chiqarishimiz mumkin, ular orasida ham haqiqat, ham yolg'on bo'ladi. Masalan, oxirida 4 raqami bo'lgan barcha butun sonlarni qoldiqsiz ikkiga bo'lish mumkin, degan fikr to'g'ri, lekin uchta raqamdan iborat har qanday son 2 ga bo'linishi noto'g'ri.

Umuman olganda, aytish mumkinki, induktiv mulohazalar yordamida bitta ma'lum yoki ravshan fikrlashdan ko'plab xulosalar chiqarish mumkin. Matematik induksiya bu xulosalar qanchalik asosli ekanligini aniqlash imkonini beradi.

Faraz qilaylik, bizda 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, kabi raqamlar ketma-ketligi bor. . . , 1 n (n + 1), bu yerda n qandaydir natural sonni bildiradi. Bunday holda, ketma-ketlikning birinchi elementlarini qo'shganda, biz quyidagilarni olamiz:

S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 2, S 2 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 \u003d 2 3, S 3 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \u003d 34 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5,. . .

Induksiyadan foydalanib, S n = n n + 1 degan xulosaga kelishimiz mumkin. Uchinchi qismda biz ushbu formulani isbotlaymiz.

Matematik induksiya usuli qanday

Bu usul xuddi shu nomdagi printsipga asoslanadi. U shunday tuzilgan:

Ta'rif 2

1) n = 1 uchun va 2) bu ifoda ixtiyoriy natural qiymat uchun n = k uchun to'g'ri bo'lganidan ma'lum bir bayonot n natural qiymat uchun to'g'ri bo'ladi, shundan kelib chiqadiki, u ham to'g'ri bo'ladi. n = k + 1 uchun.

Matematik induktsiya usulini qo'llash 3 bosqichda amalga oshiriladi:

1. Birinchidan, biz n ning ixtiyoriy natural qiymati bo'lgan taqdirda dastlabki bayonotning to'g'riligini tekshiramiz (odatda test birlik uchun amalga oshiriladi).
2. Shundan so'ng, biz n = k da sodiqlikni tekshiramiz.
3. Va keyin n = k + 1 bo'lsa, bayonotning to'g'riligini isbotlaymiz.

Tengsizliklar va tenglamalarni yechishda matematik induksiya usulini qo‘llash

Keling, yuqorida aytib o'tgan misolni olaylik.

1-misol

S n = 1 1 2 + 1 2 3 + formulasini isbotlang. . . + 1 n (n + 1) = n n + 1.

Yechim

Biz allaqachon bilganimizdek, matematik induksiya usulini qo'llash uchun ketma-ket uchta bosqichni bajarish kerak.

1. Birinchidan, bu tenglik birga teng n uchun haqiqiy bo'ladimi yoki yo'qligini tekshiramiz. Biz S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 1 + 1 \u003d 1 2 ni olamiz. Bu erda hamma narsa to'g'ri.
2. Bundan tashqari, biz S k = k k + 1 formulasini to'g'ri deb taxmin qilamiz.
3. Uchinchi bosqichda oldingi tenglikning haqiqiyligiga asoslanib, S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 ekanligini isbotlashimiz kerak.

Biz k + 1 ni dastlabki ketma-ketlikning birinchi hadlari yig'indisi va k + 1 sifatida ifodalashimiz mumkin:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

Ikkinchi bosqichda biz S k = k k + 1 ni olganimiz sababli, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) .

Endi biz kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz. Biz kasrni umumiy maxrajga qisqartirishimiz, o'xshash shartlarni kamaytirishimiz, qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llashimiz va nima sodir bo'lganini kamaytirishimiz kerak:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

Shunday qilib, matematik induksiya usulining barcha uch bosqichini bajarib, uchinchi banddagi tenglikni isbotladik.

Javob: S n = n n + 1 formulasi haqidagi faraz to'g'ri.

Trigonometrik funksiyalar bilan murakkabroq masalani olaylik.

2-misol

cos 2 a · cos 4 a · shaxsini tasdiqlovchi hujjatni keltiring. . . cos 2 n a \u003d sin 2 n + 1 a 2 n sin 2 a.

Yechim

Esda tutganimizdek, birinchi qadam n birga teng bo'lganda tenglikning to'g'riligini tekshirish bo'lishi kerak. Buni bilish uchun biz asosiy trigonometrik formulalarni eslab qolishimiz kerak.

cos 2 1 = cos 2 a sin 2 1 + 1 a 2 1 sin 2 a = sin 4 a 2 sin 2 a = 2 sin 2 a cos 2 a 2 sin 2 a = cos 2 a

Shuning uchun, birga teng n uchun, o'ziga xoslik to'g'ri bo'ladi.

Endi faraz qilaylik, uning haqiqiyligi n = k uchun saqlanib qolgan, ya'ni. cos 2 a · cos 4 a · ekanligi to'g'ri bo'ladi. . . cos 2 k a \u003d sin 2 k + 1 a 2 k sin 2 a.

cos 2 a · cos 4 a · tengligini isbotlaymiz. . . cos 2 k + 1 a = sin 2 k + 2 a 2 k + 1 sin 2 a n = k + 1 bo'lgan holat uchun oldingi faraz asosida.

Trigonometrik formulaga ko'ra,

sin 2 k + 1 a cos 2 k + 1 a = = 1 2 (sin (2 k + 1 a + 2 k + 1 a) + sin (2 k + 1 a - 2 k + 1 a)) = = 1 2 sin (2 2 k + 1 a) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 a

Binobarin,

cos 2 a cos 4 a . . . · cos 2 k + 1 a = = cos 2 a · cos 4 a ·. . . cos 2 k a cos 2 k + 1 a = = sin 2 k + 1 a 2 k sin 2 a cos 2 k + 1 a = 1 2 sin 2 k + 1 a 2 k sin 2 a = sin 2 k + 2 a 2 k + 1 sin 2 a

Bu usul yordamida tengsizlikni isbotlash masalasini yechish misoli eng kichik kvadratlar usuli haqidagi maqolada keltirilgan. Taxminan koeffitsientlarni topish uchun formulalar olingan paragrafni o'qing.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

MBOU "Texnik-iqtisodiy" litseyi

MATEMATIK INDUKSIYA USULI

MATEMATIK INDUKSIYA USULI.

IZOH

Matematik profilning 10-sinf o‘quvchilari uchun “Matematik induksiya usuli” uslubiy ishlanma tuzilgan.

Birlamchi maqsadlar: talabalarni matematik induksiya usuli bilan tanishtirish va uni turli masalalarni yechishda qo‘llashni o‘rgatish.

Uslubiy ishlanmada elementar matematikaning savollari ko'rib chiqiladi: bo'linish masalalari, o'ziga xosliklarni isbotlash, tengsizliklarni isbotlash, turli darajadagi murakkablikdagi masalalar, shu jumladan olimpiadalarda taklif qilinadigan masalalar.

Eksperimental fanlarda induktiv xulosalarning roli juda katta. Ular o'sha qoidalarni beradi, undan keyin chegirma yo'li bilan keyingi xulosalar chiqariladi. Ism Matematik induksiya usuli aldamchi - aslida bu usul deduktiv bo'lib, induksiya orqali taxmin qilingan gaplarning qat'iy isbotini beradi. Matematik induktsiya usuli matematikaning turli bo'limlari orasidagi bog'lanishlarni aniqlashga yordam beradi, o'quvchining matematik madaniyatini rivojlantirishga yordam beradi.

Matematik induksiya usulining ta'rifi. To'liq va to'liqsiz induksiya. Tengsizliklarni isbotlash. Shaxsni tasdiqlovchi hujjat. Bo‘linish masalalarini yechish. “Matematik induksiya usuli” mavzusida turli masalalar yechish.

O'QITUVCHI UCHUN ADABIYOT

1. M.L.Galitskiy. Algebra va matematik analiz kursini chuqur o'rganish. - M. Ma'rifatparvar.1986 yil.

2. L.I.Zvavich. Algebra va tahlilning boshlanishi. Didaktik materiallar. M. Drofa, 2001 yil.

3. N.Ya.Vilenkin. Algebra va matematik tahlil. M Ma'rifat. 1995 yil.

4. Yu.V.Mixeev. Matematik induksiya usuli. NGU.1995.

TALABLAR UCHUN ADABIYOT

1. N.Ya.Vilenkin. Algebra va matematik tahlil. M Ma'rifat. 1995 yil.

2. Yu.V.Mixeev. Matematik induksiya usuli. NGU.1995.

KALİT SO'ZLAR

Induksiya, aksioma, matematik induksiya prinsipi, to‘liq induksiya, to‘liqsiz induksiya, tasdiq, o‘ziga xoslik, tengsizlik, bo‘linuvchanlik.

MAVZUGA DIDAKTIK ILOVA

«MATEMATIK INDUKSIYA USULI».

№1 dars

Matematik induksiya usulining ta'rifi.

Matematik induksiya usuli yangi natijalarni topish va ilgari surilgan taxminlarning haqiqatini isbotlashning yuqori samarali usullaridan biridir. Garchi bu usul matematikada yangi bo'lmasa-da, unga bo'lgan qiziqish susaymaydi. Birinchi marta aniq taqdimotda matematik induksiya usuli 17-asrda taniqli frantsuz olimi Blez Paskal tomonidan sonli uchburchakning xususiyatlarini isbotlashda qo'llanilgan va keyinchalik uning nomi bilan atalgan. Biroq, matematik induksiya g'oyasi qadimgi yunonlarga ma'lum edi. Matematik induksiya usuli aksioma sifatida qabul qilingan matematik induksiya tamoyiliga asoslanadi. Biz matematik induksiya g'oyasini misollar bilan ko'rib chiqamiz.

№1 misol.

Kvadrat segment bilan ikki qismga bo'linadi, keyin hosil bo'lgan qismlardan biri ikki qismga bo'linadi va hokazo. Kvadrat necha qismga bo'linganligini aniqlang P qadamlar?

Yechim.

Birinchi qadamdan so'ng, biz shartga ko'ra 2 qismni olamiz. Ikkinchi bosqichda biz bir qismini o'zgarishsiz qoldiramiz, ikkinchisini esa 2 qismga bo'linib, 3 qismga ega bo'lamiz. Uchinchi bosqichda biz 2 qismni o'zgarishsiz qoldiramiz va uchinchisini ikki qismga bo'linib, 4 qismga ega bo'lamiz. To'rtinchi bosqichda biz 3 qismni o'zgarishsiz qoldiramiz va oxirgi qismni ikki qismga ajratamiz va 5 qismni olamiz. Beshinchi bosqichda biz 6 ta qismni olamiz. Taklif shu orqali amalga oshiriladi P qadamlarni olamiz (n+1) qismi. Ammo bu taklifni isbotlash kerak. Faraz qilaylik, bu orqali uchun kvadrat bosqichlarga bo'linadi (k+1) qismi. Keyin davom eting (k+1) qadam biz uchun qismlari o'zgarishsiz qoldiriladi, va (k+1) qismini ikki qismga bo'ling va oling (k+2) qismlar. E'tibor bergan bo'lasizki, siz o'zingiz xohlagancha shunday bahslasha olasiz, infinitum. Ya'ni, bizning taxminimiz shunday P qadamlar kvadratga bo'linadi (n+1) qismi, isbotlangan bo'ladi.

№2 misol.

Buvimning murabboni juda yaxshi ko'radigan nevarasi bor edi, ayniqsa litrli bankada. Ammo buvisi unga tegishiga ruxsat bermadi. Va nevaralar buvisini aldashga qaror qilishdi. U har kuni bu kavanozdan 1/10 litr eyishga va uni yaxshilab aralashtirib, suv bilan to'ldirishga qaror qildi. Agar murabbo yarim suv bilan suyultirilganda ko'rinishi bir xil bo'lib qolsa, buvisi necha kundan keyin aldovni aniqlaydi?

Yechim.

Keyin bankada qancha sof murabbo qolishini toping P kunlar. Birinchi kundan keyin aralash 9/10 murabbo va 1/10 suvdan iborat kavanozda qoladi. Ikki kundan keyin suv va murabbo aralashmasining 1/10 qismi bankadan yo'qoladi va qoladi (1 litr aralashmada 9/10 litr murabbo, 1/10 litr aralashmada 9/100 litr murabbo mavjud)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 litr murabbo. Uchinchi kuni kavanozdan 81/100 murabbo va 19/100 suvdan tashkil topgan 1/10 litr aralashma yo'qoladi. 1 litr aralashmada 81/100 litr murabbo, 1/10 litr aralashmada 81/1000 litr murabbo bor. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 litr murabbo 3 kundan keyin qoladi, qolgani esa suv bilan olinadi. Shakl paydo bo'ladi. orqali P bankda qolgan kunlar (9/10) P m murabbo. Ammo yana, bu bizning taxminimiz.

Mayli uchun ixtiyoriy natural sondir. Faraz qilaylik, bu orqali uchun bankda kun qoladi (9/10) l murabbo. Keling, bankda yana bir kunda nima bo'lishini ko'rib chiqaylik, ya'ni (k+1) kun. Bankdan yo'qoladi 1/10 l aralashmasi (9/10) uchun l murabbo va suv. DA 1l aralashmasi hisoblanadi (9/10) uchun l murabbo, in 1/10 l aralashmalar (9/10) k+1 l murabbo. Endi biz buni ishonch bilan aytishimiz mumkin P bankda kunlar qoldi (9/10) P l murabbo. 6 kun ichida bank bo'ladi 531444/1000000l murabbo, 7 kundan keyin - 4782969/10000000l murabbo, ya'ni yarmidan kam.

Javob: 7 kundan keyin buvisi yolg'onni aniqlaydi.

Keling, ko'rib chiqilayotgan muammolarni hal qilishda eng asosiylarini ajratib ko'rsatishga harakat qilaylik. Biz ularning har birini alohida yoki ular aytganidek, alohida ishlarni ko‘rib chiqish orqali hal qila boshladik. Keyin kuzatishlarimiz asosida ba'zi taxminlar qildik P(n), tabiiyligiga qarab P.

da'vo tekshirildi, ya'ni isbotlandi P(1), P(2), P(3);

buni taklif qildi P(n) uchun amal qiladi n=k va keyin u keyingi uchun amal qiladi degan xulosaga keldi n, n=k+1.

Va keyin ular shunday bahslashdilar: P(1) to'g'ri, P(2) to'g'ri, P(3) to'g'ri, P(4) to'g'ri ... bu to'g'ri P(n).

Matematik induksiya printsipi.

Bayonot P(n), tabiiyligiga qarab P, barcha tabiiylar uchun amal qiladi P, agar

1) da'voning haqiqiyligi n=1;

2) bayonotning haqiqiyligi haqidagi taxmindan P(n) da n=k kerak

adolat P(n) da n=k+1.

Matematikada matematik induksiya tamoyili, qoida tariqasida, sonlarning natural qatorini belgilovchi aksiomalardan biri sifatida tanlanadi va shuning uchun isbotsiz qabul qilinadi. Matematik induktsiya printsipi bo'yicha isbotlash usuli odatda matematik induksiya usuli deb ataladi. E'tibor bering, bu usul teoremalarni, o'ziga xosliklarni, bo'linish masalalarini echishda tengsizliklarni va boshqa ko'plab masalalarni isbotlashda keng qo'llaniladi.

№2 dars

To'liq va to'liqsiz induksiya.

Matematik bayonot ob'ektlarning cheklangan soniga taalluqli bo'lsa, buni har bir ob'ektni tekshirish orqali isbotlash mumkin, masalan, "Har bir ikki xonali juft son ikkita tub sonning yig'indisidir". Cheklangan holatlar uchun bayonotni sinab ko'radigan isbotlash usuli to'liq matematik induksiya deb ataladi. Ushbu usul nisbatan kamdan-kam qo'llaniladi, chunki bayonotlar ko'pincha cheksiz to'plamlarda ko'rib chiqiladi. Masalan, “Har qanday juft son ikki tub sonning yig‘indisiga teng” teoremasi hozirgacha na isbotlangan, na inkor etilgan. Agar biz ushbu teoremani birinchi milliard uchun sinab ko'rsak ham, bu bizni isbotlashga bir qadam ham yaqinlashtirmaydi.

Tabiiy fanlarda to'liq bo'lmagan induksiya qo'llaniladi, tajribani bir necha marta sinab ko'radi, natijani barcha holatlarga o'tkazadi.

№3 misol

Natural sonlar kublari yig'indisi uchun to'liq bo'lmagan induksiya formulasidan foydalanib taxmin qiling.

Yechim.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Isbot.

Bu haqiqat bo'lsin n=k.

Bu to'g'ri ekanligini isbotlaylik n=k+1.

Xulosa: natural sonlar kublari yig'indisi formulasi har qanday natural uchun to'g'ri keladi P.

4-misol

Tengliklarni ko'rib chiqing va bu misollar qanday umumiy qonunga olib kelishini taxmin qiling.

Yechim.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

№5 misol

Quyidagi ifodalarni yig‘indi sifatida yozing:

1)
2)
3)
; 4)
.

Yunoncha "sigma" harfi.

6-misol.

Belgi yordamida quyidagi yig‘indilarni yozing
:

2)

№7 misol.

Quyidagi iboralarni mahsulot sifatida yozing:

1)

3)
4)

№8 misol.

Belgidan foydalanib, quyidagi ishlarni yozing

(bosh yunoncha "pi" harfi)

1)
2)

№9 misol.

Polinomning qiymatini hisoblash f ( n )= n 2 + n +11 , da n=1,2,3,4,5,6,7 har qanday tabiiy uchun, deb taxmin qilish mumkinP raqam f ( n ) oddiy.

Bu taxmin to'g'rimi?

Yechim.

Agar har bir yig'indi raqamga bo'linadigan bo'lsa, yig'indi shu songa bo'linadi,
har qanday natural son uchun tub son emasP.

Cheklangan sonli holatlarni tahlil qilish matematikada muhim rol o'ynaydi: u yoki bu bayonotni isbotlamasdan, bu bayonotning to'g'ri shakllantirilishini taxmin qilishga yordam beradi, agar u hali ma'lum bo'lmasa. Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining a'zosi Goldbax ikkitadan boshlanadigan har qanday natural son uchta tub sonning yig'indisi degan taxminga shunday keldi.

№3 dars

Matematik induksiya usuli bizga turli xilliklarni isbotlash imkonini beradi.

№10 misol. Keling, buni hamma uchun isbotlaylik P shaxs

Yechim.

Keling, qo'ying

Biz buni isbotlashimiz kerak

Keling, buni shaxsning haqiqatidan isbotlaylik

shaxsning haqiqati quyidagicha

Matematik induksiya printsipiga ko'ra, hamma uchun o'ziga xoslik haqiqati P.

№11 misol.

Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

muddatga tenglik.

;
. Demak, bu o'ziga xoslik hamma uchun to'g'riP .

Dars raqami 4.

Matematik induksiya orqali shaxsni isbotlash.

№12 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

Matematik induktsiya tamoyilini qo'llagan holda, biz tenglik hamma uchun to'g'ri ekanligini isbotladik P.

№13 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

Matematik induksiya printsipini qo'llagan holda, biz bu bayonot har qanday natural uchun to'g'ri ekanligini isbotladik P.

№14 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

№15 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

1) n=1;

2) uchun n=k tenglik

3) tenglik amal qilishini isbotlang n=k+1:

Xulosa: identifikatsiya har qanday tabiiy uchun amal qiladi P.

№16 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

Agar a n=1 , keyin

Identifikatsiya uchun ruxsat bering n=k.

Keling, identifikatsiya tegishli ekanligini isbotlaylik n=k+1.

Keyin identifikatsiya har qanday tabiiy uchun amal qiladi P.

Dars raqami 5.

Matematik induksiya orqali shaxsni isbotlash.

№17 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

Agar a n=2 , keyin biz to'g'ri tenglikni olamiz:

Tenglik to'g'ri bo'lsinn=k:

uchun da'voning to'g'riligini isbotlaylik n=k+1.

Matematik induksiya tamoyiliga ko`ra o`ziga xoslik isbotlangan.

№18 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik
n≥2 uchun.

Da n=2 bu identifikatsiyani juda oddiy shaklda qayta yozish mumkin

va aniq haqiqat.

ruxsat bering n=k haqiqatan ham

.

uchun da'voning to'g'riligini isbotlaylikn=k+1, ya'ni tenglik bajariladi: .

Shunday qilib, biz o'ziga xoslik har qanday tabiiy uchun to'g'ri ekanligini isbotladik n≥2.

№19 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Da n=1 to'g'ri tenglikni olamiz:

Faraz qilaylik, bu vaqtda n=k biz ham to'g'ri tenglikni olamiz:

uchun tenglikning haqiqiyligi kuzatilganligini isbotlaylik n=k+1:

Keyin identifikatsiya har qanday tabiiy uchun amal qiladi P.

Dars raqami 6.

Bo‘linish masalalarini yechish.

№20 misol. Matematik induksiya bilan isbotlang

tomonidan bo'linadi 6 izsiz.

Isbot.

Da n=1 ga bo'linish mavjud6 izsiz,
.

ruxsat bering n=k ifoda
bir nechta6.

Keling, buni qachon isbotlaylik n=k+1 ifoda
bir nechta6 .

Har bir atama ko'p sonli 6 , shuning uchun yig'indi ning karrali 6 .

Misol raqami 21.
ustida5 izsiz.

Isbot.

Da n=1 ifoda bo‘linishi mumkin
.

ruxsat bering n=k ifoda
ga ham ajratiladi5 izsiz.

Da n=k+1 tomonidan bo'linadi 5 .

22-misol. Ifodaning bo‘linuvchanligini isbotlang
ustida16.

Isbot.

Da n=1 bir nechta 16 .

ruxsat bering n=k
bir nechta16.

Da n=k+1

Barcha atamalar ga bo'linadi 16: birinchisi, shubhasiz, taxmin bo'yicha ikkinchisi, uchinchisi esa qavs ichida juft raqamga ega.

№23 misol. Bo‘linuvchanlikni isbotlang
ustida676.

Isbot.

Keling, avvalo buni isbotlaylik
tomonidan bo'linadi
.

Da n=0
.

ruxsat bering n=k
tomonidan bo'linadi26 .

Keyin soat n=k+1 tomonidan bo'linadi 26 .

Endi masalaning shartida tuzilgan fikrni isbotlaylik.

Da n=1 tomonidan bo'linadi 676.

Da n=k bu haqiqat
tomonidan bo'linadi26 2 .

Da n=k+1 .

Ikkala atama ham ga bo'linadi 676 ; birinchisi, bo'linuvchanlikni isbotlaganimiz uchun 26 qavs ichidagi ifoda, ikkinchisi esa induktiv gipotezaga bo'linadi.

Dars raqami 7.

Bo‘linish masalalarini yechish.

Misol raqami 24.

Buni isbotlang
tomonidan bo'linadi5 izsiz.

Isbot.

Da n=1
tomonidan bo'linadi5.

Da n=k
tomonidan bo'linadi5 izsiz.

Da n=k+1 har bir atama ga bo'linadi5 izsiz.

№25 misol.

Buni isbotlang
tomonidan bo'linadi6 izsiz.

Isbot.

Da n=1
tomonidan bo'linadi6 izsiz.

ruxsat bering n=k
tomonidan bo'linadi6 izsiz.

Da n=k+1 tomonidan bo'linadi 6 qoldiq yo'q, chunki har bir atama ga bo'linadi6 qoldiqsiz: birinchi a'zo, induktiv taxmin bo'yicha, ikkinchi, aniq, uchinchi, chunki
juft son.

№26 misol.

Buni isbotlang
ga bo'linganda9 qolganini beradi 1 .

Isbot.

Keling, buni isbotlaylik
tomonidan bo'linadi9 .

Da n=1
tomonidan bo'linadi 9 . ruxsat bering n=k
tomonidan bo'linadi9 .

Da n=k+1 tomonidan bo'linadi 9 .

Misol raqami 27.

ga boʻlinishini isbotlang15 izsiz.

Isbot.

Da n=1 tomonidan bo'linadi 15 .

ruxsat bering n=k tomonidan bo'linadi 15 izsiz.

Da n=k+1

Birinchi atama ko'p sonli15 induksiya gipotezasiga ko'ra, ikkinchi a'zo ning karrali15 – aniqki, uchinchi atama ning karrali15 , chunki
bir nechta5 (21-misolda isbotlangan), to'rtinchi va beshinchi hadlar ham ko'paytiriladi5 , bu ochiq-oydin bo'lsa, u holda yig'indi ko'paytiriladi15 .

Dars raqami 8-9.

Tengsizliklarni matematik induksiya orqali isbotlash

28-misol.
.

Da n=1 bizda ... bor
- to'g'ri.

ruxsat bering n=k
haqiqiy tengsizlikdir.

Da n=k+1

Shunda tengsizlik har qanday natural uchun amal qiladi P.

№29-misol. Tengsizlik haqiqat ekanligini isbotlang
har qanday uchun P.

Da n=1 to'g'ri tengsizlikni olamiz 4 >1.

ruxsat bering n=k tengsizlik
.

Keling, buni qachon isbotlaylik n=k+1 tengsizlik

Har qanday tabiiy uchun uchun tengsizlik kuzatiladi.

Agar a
da
keyin

№30 misol.

har qanday tabiiy uchun P va har qanday

Mayli n=1
, to'g'ri.

Faraz qilaylik, tengsizlik amal qiladi n=k:
.

Da n=k+1

Misol raqami 31. Tengsizlikning to‘g‘riligini isbotlang

har qanday tabiiy uchun P.

Keling, avvalo har qanday tabiiy narsa uchun buni isbotlaylik t tengsizlik

Tengsizlikning ikkala tomonini ga ko'paytiring
. Ekvivalent tengsizlikni olamiz yoki
;
; - bu tengsizlik har qanday tabiiy uchun amal qiladi t.

Da n=1 asl tengsizlik haqiqatdir
;
;
.

Tengsizlik saqlanib qolsin n=k:
.

Da n=k+1

Dars raqami 10.

Mavzu bo'yicha muammolarni hal qilish

Matematik induksiya usuli.

№32 misol. Bernulli tengsizligini isbotlang.

Agar a
, keyin barcha tabiiy qadriyatlar uchunP tengsizlik

Isbot.

Da n=1 isbotlanayotgan tengsizlik shaklni oladi
va aniq to'g'ri. uchun to'g'ri deb faraz qilaylikn=k , ya'ni nima
.

Chunki shartga ko'ra
, keyin
, va shuning uchun tengsizlik uning ikkala qismiga ko'paytirilganda ham o'z ma'nosini o'zgartirmaydi
:

Chunki
, keyin biz buni olamiz

.

Demak, tengsizlik uchun to'g'ri n=1, va uning haqiqatidan da n=k shundan kelib chiqadiki, bu haqiqat va n=k+1. Demak, matematik induksiyaga ko'ra, u barcha tabiiy narsalar uchun amal qiladi P.

Masalan,

Misol raqami 33. Barcha tabiiy qadriyatlarni topingP , buning uchun tengsizlik

Yechim.

Da n=1 tengsizlik to'g'ri. Da n=2 tengsizlik ham haqiqatdir.

Da n=3 tengsizlik endi qanoatlanmaydi. Faqat qachon n=6 tengsizlik o'rinli bo'ladi, shuning uchun biz induksiya asosini olishimiz mumkin n=6.

Faraz qilaylik, tengsizlik ba'zi bir tabiiy uchun to'g'ri kimga:

Tengsizlikni ko'rib chiqing

Oxirgi tengsizlik bajariladi if
Mavzu bo'yicha test ishi n=1 takroriy beriladi: n≥5 , bu yerda P- - natural son.

Saratov viloyati ta'lim vazirligi

Saratov davlat ijtimoiy-iqtisodiy universiteti

Maktab o'quvchilarining matematika va kompyuter ishlari bo'yicha viloyat tanlovi

"Kelajak vektori - 2007"

«Matematik induksiya usuli.

Uning algebraik masalalarni yechishda qo‘llanilishi”

("matematika" bo'limi)

Ijodiy ish

10 "A" sinf o'quvchilari

“1-sonli gimnaziya” memorandumi

Saratovning Oktyabr tumani

Arutyunyan Gayane.

Ish menejeri:

matematika o'qituvchisi

Grishina Irina Vladimirovna

Saratov

2007

Kirish…………………………………………………………………………………3

Matematik induksiya printsipi va uning

dalil…………………………………………………………………………..4

Muammoni yechishga misollar……………………………………………………………..9

Xulosa……………………………………………………………………………..16

Adabiyot…………………………………………………………………………………17

Kirish.

Matematik induksiya usulini progress bilan solishtirish mumkin. Biz eng pastdan boshlaymiz, mantiqiy fikrlash natijasida biz eng yuqori darajaga chiqamiz. Inson doimo taraqqiyotga, o'z tafakkurini mantiqiy rivojlantirish qobiliyatiga intilgan, demak, tabiatning o'zi unga induktiv fikrlashni va o'z fikrini mantiqning barcha qoidalariga muvofiq amalga oshiriladigan dalillar bilan qo'llab-quvvatlashni tayinlagan.
Hozirgi vaqtda matematik induksiya usulini qo'llash sohasi kengaydi, lekin afsuski, maktab o'quv dasturida unga kam vaqt ajratilgan. Ammo bu juda muhim - induktiv fikr yurita olish.

Matematik induksiya printsipi va uning isboti

Keling, matematik induksiya usulining mohiyatiga murojaat qilaylik. Keling, turli xil bayonotlarni ko'rib chiqaylik. Ularni umumiy va xususiy turlarga ajratish mumkin.Umumiy gaplarga misollar keltiramiz.

Barcha Rossiya fuqarolari ta'lim olish huquqiga ega.

Har qanday parallelogrammada kesishish nuqtasidagi diagonallar ikkiga bo'linadi.

Nol bilan tugaydigan barcha raqamlar 5 ga bo'linadi.

Shaxsiy bayonotlarning tegishli misollari:

Petrov ta'lim olish huquqiga ega.

ABCD parallelogrammasida kesishish nuqtasidagi diagonallar ikkiga bo'lingan.

140 soni 5 ga bo'linadi.

Umumiy gaplardan alohida gaplarga o'tish deduksiya deb ataladi (lotinchadan chegirma - mantiq qoidalariga muvofiq xulosa).

Deduktiv xulosaga misol keltiring.

Barcha Rossiya fuqarolari ta'lim olish huquqiga ega. (bir)

Petrov Rossiya fuqarosi. (2)

Petrov ta'lim olish huquqiga ega. (3)

Umumiy tasdiqdan (1) (2) yordamida xususiy tasdiq (3) olinadi.

Muayyan gaplardan umumiy gaplarga teskari o'tish induksiya deb ataladi (lotinchadan induksiya - yo'l-yo'riq).

Induksiya ham to'g'ri, ham noto'g'ri xulosalar chiqarishga olib kelishi mumkin.

Buni ikkita misol bilan tushuntiramiz.

140 soni 5 ga boʻlinadi. (1)

Nol bilan tugaydigan barcha raqamlar 5 ga bo'linadi. (2)

140 soni 5 ga boʻlinadi. (1)

Barcha uch xonali raqamlar 5 ga bo'linadi. (2)

Maxsus gapdan (1) umumiy gap (2) olinadi. (2) bayonot to'g'ri.

Ikkinchi misol umumiy bayonotni (3) qanday qilib ma'lum bir bayonotdan (1) olish mumkinligini ko'rsatadi, bundan tashqari, (3) bayonot to'g'ri emas.

Keling, faqat to'g'ri xulosalar chiqarish uchun matematikada induksiyadan qanday foydalanish kerakligi haqida o'zimizga savol beraylik. Keling, matematikada qabul qilinishi mumkin bo'lmagan induksiyaning ba'zi misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol.

Leonard Eyler e'tibor bergan quyidagi R(x)= x 2 + x + 41 ko'rinishdagi kvadrat trinomialni ko'rib chiqaylik.

P (0) = 41, P (1) = 43, P (2) = 47, P (3) = 53, P (4) = 61, P (5) = 71, P (6) = 83, P (7) = 97, P (8) = 113, P (9) = 131, P (10) = 151.

Har safar uch a'zoning qiymati tub son ekanligini ko'ramiz. Olingan natijalarga asoslanib, biz ko'rib chiqilayotgan trinomialga almashtirilganda x o'rniga Har qanday manfiy bo'lmagan butun son har doim tub songa olib keladi.

Biroq, chiqarilgan xulosani ishonchli deb hisoblash mumkin emas. Nima bo'ldi? Gap shundaki, mulohaza yuritishda har qanday x haqida umumiy gaplar faqat x ning ba'zi qiymatlari uchun bu bayonot to'g'ri bo'lganligi sababli amalga oshiriladi.

Haqiqatan ham, P(x) uch a'zosini chuqurroq o'rganib chiqsak, P(0), P(1), ..., P(39) raqamlari tub sonlardir, lekin P(40) = 41 2 kompozit sondir. Va juda aniq: P(41) = 41 2 +41+41 41 ning karrali.

Ushbu misolda biz 40 ta alohida holatda to'g'ri bo'lgan va umuman olganda adolatsiz bo'lgan bayonot bilan uchrashdik.

Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

2-misol

17-asrda V.G. Leybnits har qanday natural n uchun n 3 - n ko‘rinishdagi sonlar 3 ga karrali, n 5 - n 5 ga karrali, n 7 - n 7 ga karrali bo‘lishini isbotladi. Shunga asoslanib, u har qanday toq k sonlar uchun ko‘rinishdagi sonlar ekanligini isbotladi. va tabiiy n, n k - n soni k ning karrali, lekin tez orada uning o'zi 2 9 -2=510 ekanligini payqadi, bu aniq, 9 ga bo'linmaydi.

Ko'rib chiqilgan misollar muhim xulosa chiqarishga imkon beradi: bayonot bir qator maxsus holatlarda to'g'ri va shu bilan birga umuman adolatsiz bo'lishi mumkin.

Tabiiyki, savol tug'iladi: bir nechta alohida holatlarda to'g'ri bo'lgan bayonot mavjud; barcha alohida holatlarni ko'rib chiqish mumkin emas; bu gapning to'g'riligini qanday bilasiz?

Bu savolni ba'zan matematik induksiya usuli deb ataladigan maxsus fikrlash usulini qo'llash orqali hal qilish mumkin. Bu usul asoslanadi matematik induksiya printsipi, quyidagicha xulosa qilingan: bayonot har qanday natural n uchun to'g'ri bo'ladi, agar:

u n = 1 uchun amal qiladi;

ba'zi bir ixtiyoriy natural n =k uchun bayonotning haqiqiyligidan kelib chiqadiki, u n = k +1 uchun to'g'ri.

Isbot.

Buning aksini faraz qilaylik, ya’ni har bir natural n uchun gap to‘g‘ri bo‘lsin. U holda shunday natural m soni mavjud

n = m uchun bayonot to'g'ri emas,

hamma uchun n

Ko'rinib turibdiki, m >1, chunki tasdiq n =1 (1-shart) uchun to'g'ri. Demak, m -1 natural sondir. m -1 natural soni uchun bayonot to'g'ri, keyingi m natural soni uchun esa bu to'g'ri emas. Bu 2-shartga zid keladi. Natijada paydo bo'lgan ziddiyat farazning noto'g'ri ekanligini ko'rsatadi. Demak, tasdiq har qanday natural n, h.e.d.

Matematik induksiya tamoyiliga asoslangan isbot matematik induksiya usuli bilan isbot deyiladi. Bunday isbot ikkita mustaqil teoremani isbotlashdan ikki qismdan iborat bo'lishi kerak.

Teorema 1. Ushbu bayonot n =1 uchun to'g'ri.

Teorema 2. Bu gap n =k +1 uchun to'g'ri bo'ladi, agar u n=k uchun to'g'ri bo'lsa, bu erda k - ixtiyoriy natural son.

Agar bu ikkala teorema isbotlangan bo'lsa, matematik induksiya printsipiga asoslanib, bu bayonot har qanday teorema uchun to'g'ri bo'ladi.
tabiiy n.

Shuni ta'kidlash kerakki, matematik induksiya bilan isbotlash, albatta, 1 va 2-teoremalarni ham isbotlashni talab qiladi. 2-teoremani e'tiborsiz qoldirish noto'g'ri xulosalarga olib keladi (1-2-misollar). Keling, 1-teoremani isbotlash qanchalik zarurligini misol orqali ko'rsatamiz.

3-misol. "Teorema": har bir natural son undan keyingi natural songa teng.

Isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.

Faraz qilaylik, k =k +1 (1).

k +1=k +2 (2) ekanligini isbotlaylik. Buning uchun "tenglik" (1) ning har bir qismiga 1 qo'shing.Biz "tenglik" (2) olamiz. Ma’lum bo‘lishicha, agar n =k uchun gap to‘g‘ri bo‘lsa, n =k +1 uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi. va hokazo.

“Teorema”dan aniq “natija”: barcha natural sonlar tengdir.

Xato shundan iboratki, matematik induksiya tamoyilini qo‘llash uchun zarur bo‘lgan 1-teorema isbotlanmagan va haqiqat emas, faqat ikkinchi teorema isbotlangan.

1 va 2 teoremalar alohida ahamiyatga ega.

1-teorema induksiya uchun asos yaratadi. 2-teorema ushbu bazani cheksiz avtomatik ravishda kengaytirish huquqini, ushbu aniq holatdan keyingisiga, n dan n + 1 ga o'tish huquqini beradi.

Agar 1-teorema isbotlanmagan bo'lsa-da, lekin 2-teorema isbotlangan bo'lsa, demak, induksiyani o'tkazish uchun asos yaratilmagan va keyin 2-teoremani qo'llashning ma'nosi yo'q, chunki aslida kengaytirish uchun hech narsa yo'q. .

Agar 2-teorema isbotlanmagan bo'lsa va faqat 1-teorema isbotlangan bo'lsa, u holda induksiyani o'tkazish uchun asos yaratilgan bo'lsa-da, bu asosni kengaytirish huquqi yo'q.

Izohlar.

Ba'zan isbotning ikkinchi qismi faqat n =k uchun emas, balki n =k -1 uchun ham bayonotning haqiqiyligiga asoslanadi. Bunday holda, birinchi qismdagi bayonot n ning keyingi ikkita qiymati uchun sinovdan o'tkazilishi kerak.

Ba'zan gap har qanday natural n uchun emas, balki n > m uchun isbotlanadi, bu erda m qandaydir butun sondir. Bunday holda, isbotning birinchi qismida tasdiq n = m +1 uchun va agar kerak bo'lsa, n ning bir nechta keyingi qiymatlari uchun tekshiriladi.

Aytilganlarni umumlashtirib, bizda shunday bo'ladi: matematik induksiya usuli umumiy qonunni izlashda bu holatda paydo bo'ladigan gipotezalarni sinab ko'rish, yolg'onni rad etish va haqiqatni tasdiqlash imkonini beradi.

Empirik, eksperimental fanlar uchun individual kuzatishlar va tajribalar (ya’ni induksiya) natijalarini umumlashtirish jarayonlarining ahamiyati hammaga ma’lum. Boshqa tomondan, matematika uzoq vaqtdan beri sof deduktiv usullarni amalga oshirishning klassik namunasi hisoblanadi, chunki har doim aniq yoki bilvosita barcha matematik takliflar (boshlang'ich sifatida qabul qilinganlardan tashqari - aksiomalar) isbotlangan va maxsus qo'llanmalar mavjud deb taxmin qilinadi. bu mulohazalar umumiy holatlar uchun mos dalillardan (chegirma) olingan.

Induksiya matematikada nimani anglatadi? Buni unchalik ishonchli bo'lmagan usul deb tushunish kerakmi va bunday induktiv usullarning ishonchliligi mezonini qanday izlash kerak? Yoki eksperimental fanlarning eksperimental umumlashtirishlari bilan bir xil tabiatdagi matematik xulosalarning aniqligi, har qanday isbotlangan faktni "tasdiqlash" yomon bo'lmaydimi? Aslida esa bunday emas.

Gipoteza bo'yicha induksiya (yo'l-yo'riq) matematikada juda muhim, ammo sof evristik rol o'ynaydi: bu yechim qanday bo'lishi kerakligini taxmin qilish imkonini beradi. Ammo matematik takliflar faqat deduktiv tarzda o'rnatiladi. Matematik induksiya usuli esa sof deduktiv isbot usulidir. Darhaqiqat, bu usul bilan amalga oshirilgan isbot ikki qismdan iborat:

"asos" deb ataladigan narsa - bir (yoki bir nechta) natural sonlar uchun kerakli jumlaning deduktiv isboti;

umumiy gapning deduktiv isbotidan iborat induktiv qadam. Teorema barcha natural sonlar uchun aniq isbotlangan. Isbotlangan asosdan, masalan, 0 raqami uchun biz induksiya bosqichida 1 raqamini isbotlaymiz, keyin xuddi shu tarzda 2 uchun, 3 uchun ... - va shuning uchun bayonotni asoslash mumkin. har qanday natural son.

Boshqacha qilib aytganda, "matematik induksiya" nomi bu usulning bizning ongimizda oddiygina an'anaviy induktiv fikrlash bilan bog'langanligi bilan bog'liq (oxir-oqibat, asos faqat ma'lum bir holat uchun isbotlangan); induktiv qadam, tabiiy va ijtimoiy fanlar tajribasiga asoslangan induktiv fikrlashning ishonchlilik mezonlaridan farqli o'laroq, hech qanday alohida asosga muhtoj bo'lmagan va deduktiv fikrlashning qat'iy qonunlariga muvofiq isbotlangan umumiy bayonotdir. Shuning uchun matematik induktsiya deduktiv, to'liq ishonchli isbot usuli bo'lgani uchun "to'liq" yoki "mukammal" deb ataladi.

Muammoni hal qilishga misollar

Algebrada induksiya

Algebraik masalalarning bir nechta misollarini, shuningdek, matematik induksiya usuli yordamida yechish mumkin bo'lgan turli xil tengsizliklarni isbotlashni ko'rib chiqing.

Vazifa 1. Yig‘indining formulasini toping va isbotlang.

LEKIN( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

Yechim.

1. A(n) yig‘indisi uchun ifodani o‘zgartiramiz:

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = V(n) + C(n), bunda B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 , C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2.

2. C (n) va B (n) yig'indilarini ko'rib chiqing.

a) C( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . Matematik induksiya usulida tez-tez uchraydigan masalalardan biri bu har qanday natural n uchun tenglikni isbotlashdir.

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

Faraz qilaylik (1) hamma n uchun to‘g‘ri  N.

b ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 . Keling, B (n) qiymatlari n ga qarab qanday o'zgarishini kuzatamiz.

B(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

Shunday qilib, shunday deb taxmin qilish mumkin
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) Natijada A(n) yig‘indiga erishamiz

LEKIN( n) ==

= (*)

3. Olingan formulani (*) matematik induksiya usuli bilan isbotlaymiz.

a) n = 1 uchun tenglikni (*) tekshiring.

A(1) = 2  =2,

Shubhasiz, (*) formula n = 1 uchun to'g'ri.

b) faraz qilaylik (*) formula n=k uchun to'g'ri bo'lsin, bu erda k N, ya'ni tenglik.

A(k)=

Farazga asoslanib, n =k +1 uchun formulaning to'g'riligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham,

A(k+1)=

(*) formula n =1 uchun to‘g‘ri bo‘lgani uchun va u qandaydir natural k uchun to‘g‘ri degan farazdan kelib chiqadiki, u n =k +1 uchun to‘g‘ri bo‘ladi, matematik induksiya tamoyiliga asoslanib, shunday xulosaga kelamiz: tenglik

har qanday tabiiy n uchun amal qiladi.

Vazifa 2.

1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n yig'indisini hisoblang.

Yechim.

Keling, n ning turli qiymatlari uchun yig'indilarning qiymatlarini ketma-ket yozamiz.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

Naqshni kuzatib, A (n)= - hatto n va A (n)= uchun, deb taxmin qilishimiz mumkin.
toq n uchun. Keling, ikkala natijani bitta formulaga birlashtiramiz:

A(n) =
, bu erda r - n ni 2 ga bo'lishning qoldig'i.

Va r , quyidagi qoida bilan aniqlanishi aniq

0 agar n juft,

r=

1 agar n g'alati.

Keyin r(taxmin qilish mumkin) quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Nihoyat, A (n) uchun formulani olamiz:

A(n)=

(*)

Hamma n uchun tenglikni (*) isbotlaylik  N Matematik induksiya usuli.

2. a) n =1 uchun (*) tenglikni tekshiring. A(1) = 1=

Tenglik adolatlidir

b) Faraz qilaylik, tenglik

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

rost da n=k. n =k + 1 uchun ham amal qilishini isbotlaylik, ya'ni.

A(k+1)=

Haqiqatdan ham,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

Q.E.D.

Matematik induksiya usuli boʻlinish masalalarini yechishda ham qoʻllaniladi.

Vazifa 3.

N (n)=n 3 + 5n soni har qanday natural n uchun 6 ga bo‘linishini isbotlang.

Isbot.

Da n =1 soni N (1)=6 va shuning uchun bayonot to'g'ri.

N (k )=k 3 +5k soni qandaydir natural k uchun 6 ga bo‘linsin.N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) 6 ga bo‘linishini isbotlaylik. Darhaqiqat, bizda bor
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

Chunki k va k +1 qo'shni natural sonlar bo'lsa, u holda ulardan biri majburiy ravishda juft bo'ladi, shuning uchun 3k (k +1) ifoda 6 ga bo'linadi. Shunday qilib, N (k +1) ham 6 ga bo'linishini olamiz. N (n)=n 3 + 5n soni har qanday natural n uchun 6 ga bo‘linadi.

To'liq matematik induksiya usulini bir necha marta qo'llash kerak bo'lganda, murakkabroq bo'linish masalasini hal qilishni ko'rib chiqing.

Vazifa 4.

Har qanday natural n son uchun buni isbotlang
hatto 2 n +3 ga bo'linmaydi.

Isbot.

Tasavvur qiling
asar shaklida
=

= (*)

Taxminlarga ko'ra, (*) ning birinchi omili 2 k +3 soniga bo'linmaydi, ya'ni kompozit sonni ifodalashda
tub sonlar ko'paytmasi ko'rinishida 2 soni (k + 2) martadan ko'p bo'lmagan takrorlanadi. Shunday qilib, raqamni isbotlash uchun
2 k +4 ga bo'linmaydi, buni isbotlashimiz kerak
4 ga bo'linmaydi.

Bu fikrni isbotlash uchun yordamchi tasdiqni isbotlaymiz: har qanday natural n uchun 3 2 n +1 soni 4 ga bo‘linmaydi. n =1 uchun ta’kid aniq, chunki 10 4 ga qoldiqsiz bo‘linmaydi. 3 2 k +1 ni 4 ga boʻlinmaydi deb faraz qilsak, 3 2(k +1) +1 ham boʻlinmasligini isbotlaymiz.
tomonidan 4. Oxirgi ifodani yig‘indi sifatida ifodalaymiz:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . Yig'indining ikkinchi hadi 4 ga bo'linadi, lekin birinchisi bo'linmaydi. Demak, butun yig‘indi 4 ga qoldiqsiz bo‘linmaydi. Yordamchi fikr isbotlangan.

Endi bu aniq
4 ga bo'linmaydi, chunki 2k juft son.

Nihoyat, biz bu raqamni olamiz
har qanday natural n uchun 2 n +3 ga teng boʻlinmaydi.

Endi tengsizliklarni isbotlash uchun induksiyani qo'llash misolini ko'rib chiqing.

Vazifa 5.

2 n > 2n + 1 tengsizlik qaysi natural n uchun to‘g‘ri keladi?

Yechim.

1. Qachon n=1 2 1< 2*1+1,

da n=2 2 2< 2*2+1,

da n =3 2 3 > 2*3+1,

da n =4 2 4 > 2*4+1.

Ko'rinib turibdiki, tengsizlik har qanday natural n uchun o'rinli  3. Keling, bu fikrni isbotlaylik.

2. Qachon n =3 tengsizlikning haqiqiyligi allaqachon ko'rsatilgan. Endi tengsizlik n =k uchun o'rinli bo'lsin, bu erda k - 3 dan kam bo'lmagan qandaydir natural son, ya'ni.

2 k > 2k+1 (*)

U holda tengsizlik n =k +1, ya’ni 2 k +1 >2(k +1)+1 uchun ham o‘rinli ekanligini isbotlaylik. (*) ni 2 ga ko'paytirsak, biz 2 k +1 >4k +2 ni olamiz. 2(k +1)+1 va 4k +2 ifodalarni solishtiramiz.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. Shubhasiz, har qanday tabiiy k uchun 2k -1>0. Keyin 4k +2>2(k +1)+1, ya'ni. 2k+1 >2(k+1)+1. Da'vo isbotlangan.

Vazifa 6.

n ta manfiy bo'lmagan sonning o'rta arifmetik va geometrik o'rtacha qiymati uchun tengsizlik (Koshi tengsizligi)., biz = olamiz

Agar raqamlardan kamida bittasi bo'lsa
nolga teng bo'lsa, (**) tengsizlik ham o'rinli bo'ladi.

Xulosa.

Ishni bajarishda matematik induksiya usulining mohiyatini va uning isbotini o‘rgandim. Maqolada to'liq bo'lmagan induksiya muhim rol o'ynagan va to'g'ri echimga olib keladigan muammolar taqdim etiladi, so'ngra matematik induktsiya usuli yordamida olingan dalil amalga oshiriladi.

Adabiyot.

Boltyanskiy V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. Boshlang'ich matematikadan ma'ruzalar va masalalar; Fan, 1974 yil.

Vilenkin N.Ya. , Shvartsburd S.I. Matematik tahlil.
M.: Ta'lim, 1973 yil.

Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra va matematik tahlil kursini chuqur o'rganish. - M .: Ta'lim, 1990.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra va elementar funksiyalar tahlili.- M.: Nauka, 1980.

Sominskiy I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. Matematik induksiya haqida. - M.: Nauka, 1967.

Agar n natural soniga bog‘liq bo‘lgan A(n) gap n=1 uchun to‘g‘ri bo‘lsa va n=k uchun to‘g‘ri bo‘lishidan (bu yerda k har qanday natural son) shunday xulosa chiqadi. keyingi n=k +1 soni uchun to'g'ri, u holda A(n) faraz har qanday natural n soni uchun to'g'ri bo'ladi.

Bir qator hollarda, ma'lum bir fikrning to'g'riligini barcha natural sonlar uchun emas, balki faqat n>p uchun isbotlash kerak bo'lishi mumkin, bu erda p - qat'iy belgilangan natural son. Bunda matematik induksiya tamoyili quyidagicha tuzilgan.

Agar A(n) taklif n=p uchun to‘g‘ri bo‘lsa va har qanday k>p uchun A(k) X A(k+1) bo‘lsa, A(n) taklif har qanday n>p uchun to‘g‘ri bo‘ladi.

Matematik induksiya usuli bilan isbotlash quyidagicha amalga oshiriladi. Birinchidan, isbotlanishi kerak bo'lgan tasdiq n=1 uchun tekshiriladi, ya'ni. A(1) gapning haqiqati aniqlanadi. Isbotning bu qismi induksiya asosi deb ataladi. Buning ortidan induksiya bosqichi deb ataladigan dalilning bir qismi keladi. Bu qismda n=k+1 uchun mulohazaning to‘g‘riligi n=k uchun (induksiya farazi) to‘g‘ri degan faraz asosida isbotlanadi, ya’ni. A(k) ~ A(k+1) ekanligini isbotlang.

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ekanligini isbotlang.

• 1) Bizda n=1=1 2 bor. Shuning uchun, bayonot n=1 uchun to'g'ri, ya'ni. A(1) rost
• 2) A(k) ~ A(k+1) ekanligini isbotlaymiz.

k har qanday natural son bo'lsin va n=k uchun bayonot to'g'ri bo'lsin, ya'ni.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

Isbot qilaylikki, u holda tasdiq keyingi natural son n=k+1 uchun ham to'g'ri, ya'ni. nima

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 Haqiqatan ham,
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

Demak, A(k) X A(k+1). Matematik induksiya tamoyiliga asoslanib, A(n) faraz har qanday n O N uchun to‘g‘ri degan xulosaga kelamiz.

Buni isbotlang

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), bu erda x № 1

• 1) n=1 uchun biz olamiz
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

shuning uchun n=1 uchun formula to'g'ri; A(1) rost

• 2) k har qanday natural son bo‘lsin va n=k uchun formula to‘g‘ri bo‘lsin,
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

Keling, tenglikni isbotlaylik

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) Haqiqatan ham
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

Demak, A(k) ⋅ A(k+1). Matematik induksiya tamoyiliga asoslanib, formula har qanday natural n soni uchun to‘g‘ri degan xulosaga kelamiz.

Qavariq n-burchakning diagonallari soni n(n-3)/2 ekanligini isbotlang.

Yechish: 1) n=3 bo‘lganda gap to‘g‘ri, chunki uchburchakda

A 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 diagonal; A 2 A(3) rost

2) Faraz qilaylik, har qanday qavariq k-gonda A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonal mavjud. A k Qavariq A k+1 (k+1)-gonda diagonallar soni A k+1 =(k+1)(k-2)/2 ekanligini isbotlaymiz.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 -qavariq (k+1)-gon bo‘lsin. Unda A 1 A k diagonali chizamiz. Ushbu (k + 1) -gon diagonallarining umumiy sonini hisoblash uchun siz k-gondagi diagonallar sonini hisoblashingiz kerak A 1 A 2 ...A k, natijada olingan songa k-2 qo'shing, ya'ni. (k+1)-burchakning A tepasidan chiquvchi diagonallar soni k+1 , va bundan tashqari, A 1 A k diagonalini hisobga olish kerak.

Shunday qilib,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

Demak, A(k) ⋅ A(k+1). Matematik induksiya printsipi tufayli bu bayonot har qanday qavariq n-gon uchun to'g'ri bo'ladi.

Har qanday n gap uchun to'g'ri ekanligini isbotlang:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

Yechish: 1) U holda n=1 bo‘lsin

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) n=k deb faraz qilaylik

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) n=k+1 uchun ushbu bayonotni ko'rib chiqing

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Biz n=k+1 uchun tenglikning to‘g‘riligini isbotladik, shuning uchun matematik induksiya usuli tufayli bu gap har qanday natural n uchun to‘g‘ri bo‘ladi.

Har qanday natural n uchun tenglik to‘g‘ri ekanligini isbotlang:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

Yechish: 1) n=1 bo‘lsin

U holda X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Biz n=1 uchun bayonot to'g'ri ekanligini ko'ramiz.

2) n=k uchun tenglik to‘g‘ri deb faraz qilaylik

X k \u003d k 2 (k + 1) 2/4

3) n=k+1 uchun bu fikrning haqiqatligini isbotlaylik, ya’ni.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

Yuqoridagi dalildan ko'rinib turibdiki, n=k+1 uchun gap to'g'ri, demak, har qanday natural n uchun tenglik to'g'ri bo'ladi.

Buni isbotlang

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ğ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ğ … ğ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), bu yerda n>2

Yechish: 1) n=2 bo‘lganda, o‘ziga xoslik quyidagicha ko‘rinadi:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ̱ 2 ̱ 3)/2(2 2 +2+1), ya'ni. bu to'g'ri
• 2) n=k uchun ifoda to‘g‘ri deb faraz qilaylik
• (2 3 +1) / (2 3 -1) ğ ... ğ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
• 3) n=k+1 ifodaning to’g’riligini isbotlaymiz
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ğ … ğ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ğ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) g ((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 g

g ((k+1) 2 +(k+1)+1)

Biz n=k+1 uchun tenglikning to‘g‘riligini isbotladik, shuning uchun matematik induksiya usuliga ko‘ra, har qanday n>2 uchun bayonot to‘g‘ri bo‘ladi.

Buni isbotlang

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) har qanday tabiiy n uchun

Yechish: 1) U holda n=1 bo‘lsin

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) n=k, deb faraz qilaylik
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) n=k+1 uchun bu gapning haqiqatligini isbotlaymiz
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1 uchun tenglikning haqiqiyligi ham isbotlangan, shuning uchun ham har qanday natural n uchun bayonot to‘g‘ri bo‘ladi.

Shaxsning haqiqiyligini isbotlang

(1 2 /1 ̱ 3)+(2 2 /3 ̱ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ̧ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) har qanday tabiiy n uchun

• 1) n=1 uchun identifikatsiya rost 1 2 /1 ̧ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) n=k uchun shunday deb faraz qilaylik
• (1 2 /1 g 3)+…+(k 2 /(2k-1) g (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) n=k+1 uchun aynanlik to‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz
• (1 2 /1 g 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) g ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) g (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1)

Yuqoridagi dalildan ko'rinib turibdiki, har qanday musbat butun n soni uchun tasdiq haqiqatdir.

(11 n+2 +12 2n+1) 133 ga qoldiqsiz boʻlinishini isbotlang

Yechish: 1) U holda n=1 bo‘lsin

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

Lekin (23 ̱ 133) 133 ga qoldiqsiz bo‘linadi, shuning uchun n=1 uchun gap to‘g‘ri; A (1) to'g'ri.

• 2) Faraz qilaylik (11 k+2 +12 2k+1) 133 ga qoldiqsiz bo‘linadi.
• 3) Bu holda (11 k+3 +12 2k+3) 133 ga qoldiqsiz bo‘linishini isbotlaylik. Haqiqatdan ham
• 11 k+3 +12 2k+3 =11 g 11 k+2 +12 2 g 12 2k+1 =11 g 11 k+2 +

+(11+133) g 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 g 12 2k+1

Hosil boʻlgan yigʻindi 133 ga qoldiqsiz boʻlinadi, chunki uning birinchi aʼzosi faraz boʻyicha qoldiqsiz 133 ga boʻlinadi, ikkinchisida esa omillardan biri 133 ga teng. Demak, A (k) Yu A (k + 1). Matematik induksiya usuli yordamida ta'kid isbotlangan

Har qanday n 7 n -1 uchun 6 ga qoldiqsiz bo‘linishini isbotlang

• 1) n=1 bo'lsin, keyin X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 6 ga qoldiqsiz bo'linadi. Shunday qilib, n = 1 uchun bayonot to'g'ri
• 2) Aytaylik, n \u003d k 7 uchun k -1 6 ga qoldiqsiz bo'linadi.
• 3) n=k+1 uchun gap to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik

X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 g g 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6

Birinchi had 6 ga bo'linadi, chunki 7 k -1 faraz bo'yicha 6 ga bo'linadi, ikkinchi had 6 ga teng. Demak, 7 n -1 har qanday natural n uchun 6 ga karrali hisoblanadi. Matematik induksiya usuli yordamida ta'kid isbotlangan.

Ixtiyoriy musbat n son uchun 3 3n-1 +2 4n-3 11 ga boʻlinishini isbotlang.

1) U holda n=1 bo‘lsin

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 11 ga qoldiqsiz bo'linadi.

Shunday qilib, n = 1 uchun bayonot to'g'ri

• 2) Faraz qilaylik, n=k X k =3 uchun 3k-1 +2 4k-3 11 ga qoldiqsiz bo‘linadi.
• 3) n=k+1 uchun gap to‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

Birinchi had 11 ga qoldiqsiz bo'linadi, chunki 3 3k-1 +2 4k-3 faraz bilan 11 ga bo'linadi, ikkinchisi 11 ga bo'linadi, chunki uning ko'rsatkichlaridan biri 11 soni. Demak, yig'indisi har qanday natural n uchun qoldiqsiz 11 ga ham bo‘linadi. Matematik induksiya usuli yordamida ta'kid isbotlangan.

Ixtiyoriy musbat butun n uchun 11 2n -1 6 ga qoldiqsiz bo‘linishini isbotlang.

• 1) n=1 bo'lsin, u holda 11 2 -1=120 6 ga qoldiqsiz bo'linadi. Shunday qilib, n = 1 uchun bayonot to'g'ri
• 2) Faraz qilaylik, n=k 1 uchun 2k -1 6 ga qoldiqsiz bo‘linadi.
• 11 2(k+1) -1=121 g 11 2k -1=120 g 11 2k +(11 2k -1)

Har ikkala atama 6 ga qoldiqsiz bo'linadi: birinchisi 6 ga karrali 120 raqamini o'z ichiga oladi, ikkinchisi esa faraz bo'yicha qoldiqsiz 6 ga bo'linadi. Shunday qilib, yig'indi 6 ga qoldiqsiz bo'linadi. Matematik induksiya usuli yordamida ta'kid isbotlangan.

Ixtiyoriy musbat butun n uchun 3 3n+3 -26n-27 26 2 ga (676) qoldiqsiz boʻlinishini isbotlang.

Avval 3 3n+3 -1 ning 26 ga qoldiqsiz bo‘linishini isbotlaymiz

• 1. n=0 bo‘lganda
• 3 3 -1=26 26 ga bo'linadi
• 2. Faraz qilaylik, n=k uchun
• 3 3k+3 -1 26 ga bo'linadi
• 3. n=k+1 uchun gap to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik
• 3 3k+6 -1=27 g 3 3k+3 -1=26 g 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26 ga boʻlinadi

Endi masalaning shartida tuzilgan fikrni isbotlaylik

• 1) Ko'rinib turibdiki, n=1 uchun gap to'g'ri
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) n=k uchun 3 3k+3 -26k-27 ifoda 26 2 ga qoldiqsiz bo‘linsin deylik.
• 3) n=k+1 uchun gap to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

Ikkala atama ham 26 2 ga bo'linadi; birinchisi 26 2 ga bo'linadi, chunki biz qavs ichidagi ifoda 26 ga bo'linishini, ikkinchisi esa induktiv gipoteza orqali bo'linishini isbotladik. Matematik induksiya usuli yordamida ta'kid isbotlangan

Agar n>2 va x>0 bo'lsa, (1+x) tengsizlik n >1+n g' x ekanligini isbotlang.

• 1) n=2 uchun tengsizlik rost, chunki
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

Shunday qilib, A (2) to'g'ri

• 2) A(k) ⋅ A(k+1) k> bo‘lsa, isbot qilaylik 2. A(k) to‘g‘ri, ya’ni tengsizlik deb faraz qilaylik.
• (1+x) k >1+k g g x. (3)

U holda A(k+1) ham to'g'ri ekanligini, ya'ni tengsizlikni isbotlaylik

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

Haqiqatan ham, (3) tengsizlikning ikkala tomonini musbat 1+x soniga ko'paytirib, biz hosil bo'lamiz.

(1+x) k+1 >(1+k g g x)(1+x)

Oxirgi tengsizlikning o'ng tomonini ko'rib chiqing; bizda ... bor

(1+k ̧ x)(1+x)=1+(k+1) ̧ x+k ̧ x 2 >1+(k+1) ̧ x

Natijada (1+x) k+1 >1+(k+1) g̀ x ni olamiz

Demak, A(k) ⋅ A(k+1). Matematik induksiya printsipiga asoslanib, Bernulli tengsizligi har qanday n> 2 uchun o'rinli deb aytish mumkin.

(1+a+a 2) m > 1+m ̧ a+(m(m+1)/2) ̧ a 2 tengsizlik a> 0 uchun to‘g‘ri ekanligini isbotlang.

Yechish: 1) m=1 uchun

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) g a 2 ikkala qism teng
• 2) m=k uchun shunday deb faraz qilaylik
• (1+a+a 2) k >1+k ̧ a+(k(k+1)/2) ̧ a 2
• 3) m=k+1 uchun tengsizlik haqiqat ekanligini isbotlaylik
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ̧ a+

+(k(k+1)/2) ̧ a 2)=1+(k+1) ̧ a+((k(k+1)/2)+k+1) ̧ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ̧ a 3 +(k(k+1)/2) ̧ a 4 > 1+(k+1) ̧ a+

+((k+1)(k+2)/2) g a 2

Biz m=k+1 uchun tengsizlikning to‘g‘riligini isbotladik, shuning uchun ham matematik induksiya usuli tufayli tengsizlik har qanday natural m uchun o‘rinli bo‘ladi.

n>6 uchun 3 n >n g 2 n+1 tengsizlik ekanligini isbotlang

Tengsizlikni (3/2) n >2n ko’rinishda qayta yozamiz

• 1. n=7 uchun bizda 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 g 7 tengsizlik rost.
• 2. Faraz qilaylik, n=k (3/2) uchun k >2k
• 3) n=k+1 uchun tengsizlikning haqiqiyligini isbotlaymiz
• 3k+1 /2k+1 =(3k /2k) g (3/2)>2k g (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 bo'lgani uchun oxirgi tengsizlik aniq.

Matematik induksiya usuli tufayli tengsizlik har qanday natural n uchun amal qiladi

n>2 tengsizlik uchun ekanligini isbotlang

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

• 1) n=3 uchun tengsizlik rost
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. Faraz qilaylik, n=k uchun
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1,7-(1/k)
• 3) n=k+1 uchun tengsizlikning haqiqiyligini isbotlaymiz
• (1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2) ekanligini isbotlaylik.<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

s k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

Ikkinchisi aniq va shuning uchun

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

Matematik induksiya usuli yordamida tengsizlik isbotlangan.